BAB 3 Ksamaan Matks Kovaans Bagan n akan mmahas tntang ngujan hotss ksamaan matks kovaans. 3. Uj Ksamaan Dua Matks Kovaans 3.. Ukuan Pnyaan Multvaat ( X ( ( Msalkan X suatu vkto acak d mana X dan X masngmasng dmns dan q. Tuls µ ( X ( ( E X ;, dan t ( ( ( j ( j (( µ ( µ Σ j E X X X dtuls ( ;,j,. Maka matk kovaans da Σ Σ Σ Σ Σ Untuk q, Σj adalah kovaans klask. Dalam kasus lan, (Escouf (973 dalam Djauha (006 mndfnskan ahwa ( ( V Cov X, X T Σ Σ saga kovaans da dua vkto acak atau ( ( asa dsut dngan kovaans vkto. T ( Σ Σ lmn dagonal da ( ΣΣ. adalah jumlah smua Da ngtan tsut, daat ddfnskan vaans vkto da X ( ( dan X masng-masng adalah: ( ( VV X T Σ dan VV X T Σ ( ( ( (
v v v Msalkan X, X,..., Xn saml acak da dstus N ( µ, Σ vkto ata-ata saml dan matk kovaans saml adalah: n n t X X dan ( X X( X X n n- Djauha (006 mnangkan ahwa jka n cuku sa, vaans vkto 8 n saml T ( konvgn dalam dstus k N T( Σ, T( Σ 4 3... Uj Hotss Mlalu Vkto Vaans Dkan dua saml acak yang salng as v, v,..., v n da dstus nomal (,Σ N µ dan w w w da dstus nomal (,Σ,,..., n N µ. Bdasakan saml tsut akan duj aakah matks kovaans oulas tama sama dngan matks kovaans oulas kdua. aga hotss tandngan adalah matks kovaans kdua oulas da. Ho : Σ Σ dan H : Σ Σ Pngujan akan dlakukan dngan mnggunakan T ( dan ( yang dusulkan Djauha (006. Kana ( 8 n 4 k N T( Σ, T( Σ NT Z 8 N 4 ( Σ, T( Σ, ( T st T konvgn dalam dstus T konvgn dalam dstus k dan salng as, maka ( T ( T ( T ( Σ T ( Σ 8 8 T n N D awah Ho, kta daatkan: Z ( 4 4 ( Σ + T ( Σ ( T ( T ( 8 8 T n N 4 4 ( Σ + T ( Σ ( ~ N 0, ( ~ N 0, 3
Untuk n yang cuku sa, maka nyut daat dgant dngan taksannya σ ( T ( T (. Dngan dmkan Z ( T ( T ( ˆ σ ( T( ( T Dmana mnuut Djauha (006, 8 8 ˆ σ ( ( ( + + T ( + + + T ( ( T n n n N N N T 4 4 ( Hotss Ho dtolak ada taaf katan α, jka Z > Z α 3..3. Uj Hotss Mlalu Dtmnan Matks Kovaans Pngujan dngan ndkatan dtmnan matks kovaans ddasakan kada aso lklhood. Fungs lklhood, lhat G.A.F. (984, 03, adalah: ( µ, µ, Σ, Σ ( µ, Σ ( µ, Σ L L L Nla maksmum da L adalah: ( ˆ µ, ˆ µ,, Σ ˆ ( ˆ µ, ( ˆ µ, L L L ( π n / n / / / Bla H 0 na dan Σ Σ Σ, maka ( ˆ µ, ˆ µ, ΣΣ ˆ, ˆ ( ˆ µ, ( ˆ µ, L L L ( π / n/ / 4
Dngan dmkan, aso lklhood l adalah: L l L ( ˆ µ, ˆ µ,, ( ˆ µ, ˆ µ,, ( π ( π / n / / / n/ n/ ˆ ˆ / Σ Σ n/ ; dngan n n + n n/ n/ T.W. Andson (966, 67 mnunjukkan : T log ( l - log atau T log log n/ n/ n/ n/ n/ n/ gaungan n n gaungan n mmlk dstus ndkatan χ α, υ. Dngan dmkan, H 0 dtolak ada taaf katan α jka T > χ. α, υ 3.. Uj Ksamaan Baa Matks Kovaans Dkan m saml yang salng as da suatu dstus (,Σ N µ, masng-masng saml ukuan n, n,..., n m. Msalkan matks kovaans saml k-. 5
Rata-ata matks kovaans tsut adalah m ( n n m m n m ( n ( dngan m n n. Bla n n... nm n 0, maka m. Vkto vaans saml k-, m ( T konvgn dalam dstus k (, (006, m n ( N µ σ d mana, mnuut Djauha ˆ µ + T ( adalah stmas tak as ag T ( Σ 0 µ dan 8 4 ˆ σ + + T ( adalah stmas tak as n0 m( n0 { m( n0 } ag ˆ σ. Poulas k- dkatakan mmlk matks kovaans yang da da Σ la ( T tdak ada d antaa ˆ µ Z α ˆ σ dan ˆ µ + Z α ˆ σ. 3... Uj Hotss Mlalu Dtmnan Matks Kovaans Untuk mlakukan ngujan dasakan dtmnan matks kovaans, nuls akan mnggunakan ndkatan yang dkan olh Djauha (005. Bdasakan ndkatan tsut matks kovaans da oulas k- da da Σ 0 jka > Q α atau < Q d mana α α (- 00 da dstus nomal (, (Djauha (005 adalah Qα adalah kuantl k N ξ ψ. Taksan ag ξ dan ψ ˆ ξ dan 3 ψ ˆ 3 + 4 6
d mana: n ( n ( n ( n n j n j j + j ( m( n ( ( ( 3 m n + ( m( n ( ( 4 ( m( n m( n j 3 m n j + j + j + ( ( ( Pada taaf katan α, oulas k- dkatakan mmlk matks kovaans yang da dngan Σ la dan ˆ Q ˆ α ξ + Z α ψ. tdak ada d antaa ˆ ˆ Q α ξ Z α ψ 7