BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB LANDASAN TEORI. Peluang Peluang adalah suatu nla untuk menguku tngkat kemungknan tejadnya suatu pestwa (event) akan tejad d masa mendatang yang haslnya tdak past (uncetan event). Peluang dnyatakan antaa (nol) sampa (satu) atau dalam pesentase. Peluang menunjukkan pestwa yang tdak mungkn tejad, sedangkan peluang menunjukkan pestwa yang past tejad. P(A),99 atnya pobabltas bahwa kejadan A akan tejad sebesa 99 % dan peluang A tdak tejad adalah sebesa %. Ada tga hal pentng dalam angka membcaakan peluang, yatu pecobaan (epement), uang sampel (sample space), kejadan (event), dan ttk sampel (sample pont). Pecobaan (epement) adalah pengamatan tehadap bebeapa aktvtas atau poses yang memungknkan tmbulnya palng sedkt (dua) pestwa tanpa mempehatkan pestwa mana yang akan tejad. Ruang sampel (sample space) atau semesta (unvese) meupakan hmpunan da semua hasl (outcome) yang mungkn da suatu pecobaan (epement). Jad uang sampel adalah seluuh kemungknan pestwa yang akan tejad akbat adanya suatu pecobaan atau kegatan. Kejadan (event) adalah kumpulan da satu atau lebh hasl yang tejad pada sebuah pecobaan atau kegatan. Kejadan menunjukkan hasl yang tejad da suatu pecobaan. Dalam setap pecobaan atau kegatan hanya ada satu hasl. Pada kegatan jual bel saham, kalau tdak membel beat menjual. Pada peubahan haga tejad nflas atau deflas. Dua pestwa tesebut tdak dapat tejad besamaan.

2 Besanya nla kemungknan bag munculnya suatu kejadan adalah selalu dantaa (nol) dan (satu). Penyataan n dapat dtuls sebaga P(A), dmana P(A) menyatakan nla kemungknan bag munculnya kejadan A. Jka suatu pecobaan dapat menghaslkan N macam hasl yang bekemungknan sama (equally lkely) dan jka tepat tedapat sebanyak n hasl yang bekatan dengan kejadan A, maka peluang kejadan A adalah : n P ( A) (.) N Ttk sampel (sample pont) meupakan tap anggota atau elemen da uang sampel. Jka suatu opeas dapat dlakukan dengan n caa, dan bla untuk setap caa n opeas kedua dapat dlakukan dengan n caa, dan bla untuk setap caa n opeas ketga dapat dlakukan dengan n caa, dst, maka deetan k opeas dapat dlakukan dengan n, n,...,n k caa. Dalam peneltan n akan dbahas teo peluang besyaat dan peluang dua pestwa yang salng bebas, sebaga bekut :.. Peluang Besyaat Jka A dan B adalah dua buah pestwa yang d bentuk da uang sampel S, maka peluang besyaat da A dbekan B ddefenskan sebaga : P( A B) P( A B) Dengan P(A) (.) P( B) Dalam hal n, P( A B) adalah pehtungan peluang pestwa A, apabla pestwa B sudah tejad. Atau dapat dnyatakan bahwa peluang pestwa A dan B kedua-duanya tejad sama dengan peluang pestwa B tejad dkalkan dengan peluang pestwa A tejad apabla pestwa B sudah tejad.

3 .. Peluang Dua Pestwa yang Salng Bebas Dalam pembcaaan seha-ha, dua buah pestwa dkatakan bebas, jka tejadnya atau tdak tejadnya pestwa yang satu tdak dpengauh oleh tejadnya pestwa yang lan. Peumusan dua pestwa yang salng bebas ddasakan pada peumusan pekalan da peluang besyaat, yatu : P ( A B) P( B). P( A B) Kaena dua pestwa A dan B bebas, maka dalam pehtungan P( A B) tejadnya pestwa A tdak dpengauh oleh tejadnya pestwa B. Sehngga pestwa A dbekan pestwa B akan meupakan pestwa A tu send. Akbatnya, P ( A B) P( A). Dengan demkan : P ( A B) P( B). P( A) (.). Peubah Acak dan Dstbusnya.. Peubah Acak Peubah acak atau vaabel acak meupakan hasl-hasl posedu penyampelan acak (andom samplng) atau ekspemen acak da suatu data yang telah danalss secaa statstk. Peubah acak dapat dnyatakan dengan huuf besa (), sedangkan nla da peubah acak dnyatakan dengan huuf kecl (). Defns. : Peubah acak alah suatu fungs yang mengatkan suatu blangan eal pada setap unsu dalam uang sampel, (Walpole & Myes, 995: 5).

4 .. Dstbus Peubah Acak... Dstbus Peubah Acak Dskt Sengkal untuk memudahkan suatu pehtungan semua peluang peubah acak dnyatakan dalam suatu fungs nla-nla sepet f() yatu f ( ) P( ). Pada peubah acak dskt, setap nlanya dkatkan dengan peluang. Hmpunan pasangan beuutan (,f()) dsebut dstbus peluang peubah acak. Sebuah dstbus yang mencantumkan semua kemungknan nla peubah acak dskt bekut peluangnya dsebut peluang dskt, (Wbsono, 5: 4). Suatu peubah acak dskt dapat dnyatakan sebaga: f ( ) p( ) (.4) Defns. : Hmpunan pasangan teuut (,f()) meupakan suatu fungs peluang, fungs massa peluang, atau dstbus peluang peubah acak dskt bla, untuk setap kemungknan hasl :. f ( ). f ( ). f ( ) P( ) (Walpole & Myes, 995 :54) Defns. : Jka peubah dapat menema suatu hmpunan dskt da nla-nla,,..., n dengan peluang masng-masng P,P,... P n, dmana P +P P n, maka suatu fungs f() yang mempunya nla masng - masng P,P,... P untuk,,..., dsebut fungs peluang. Sehngga dapat dtulskan dengan f() P( ), yatu pobabltas P nla peubah ke- (yatu ) sama dengan f().

5 ... Dstbus Peubah Acak Kontnu Dstbus peluang bag peubah acak kontnu tdak dapat dsajkan dalam bentuk tabel, akan tetap dstbusnya dapat dnyatakan dalam pesamaan yang meupakan fungs nla-nla peubah acak kontnu dan dgambakan dalam bentuk kuva, (Wbsono,5:6). Suatu peubah acak kontnu dapat dnyatakan sebaga: ( ) f ( ) f d (.5) Defns. 4 : Fungs f() adalah fungs padat peluang peubah acak kontnu, yang ddefnskan atas hmpunan semua blangan eal R, bla. f() untuk semua R.. f ( ) d b a. P(a < < b) ( ) f d (Walpole & Myes, 995 :6).. Dstbus Peubah Acak Gabungan Sepet yang djelaskan pada subbab sebelumnya ada dua macam peubah acak, yatu peubah acak dskt dan peubah acak kontnu. Tetap kaena dstbus yang akan dtelt dalam peneltan n meupakan dstbus kontnu, maka hanya akan dbahas peubah acak kontnu. Jka S meupakan uang sampel da sebuah ekspemen, maka pasangan (,Y) dnamakan peubah acak gabungan, jka dan Y masng-masng menghubungkan sebuah blangan eal dengan setap anggota S.

6 (,Y) dsebut peubah acak gabungan kontnu, jka banyak nla-nla yang mungkn da dan Y masng-masng bebentuk sebuah nteval. Pehtungan peubah acak kontnu yang masng-masng behaga tetentu, memelukan sebuah fungs yang dnamakan fungs kepadatan gabungan. Yang ddefenskan sebaga bekut : ( y) P [( ) A] f, d dy (.6) Dengan A teletak dalam bdang-y. A Sebuah fungs da dua peubah acak kontnu dan Y dapat dgunakan sebaga fungs kepadatan gabungan, jka nla-nlanya yatu f (, y), memenuh sfat-sfat sebag bekut :. f (, y) untuk < <, < y <. [( ) ] (, ) P A f y d dy. Defens Momen Dalam menentukan nla ekspektas ata-ata dan nla ekspektas vaans, dmana nla nla kedua ukuan datas meupakan pangkat ke- dan pangkat ke- da nla ekspektas. Sehngga dapat dtentukan peumusan umum untuk menghtung nla ekspektas da pangkat ke- yang basa dsebut dengan momen. Momen ted da jens, yatu:.. Momen d Sekta Ttk Asal Momen ke- d sekta ttk asal da sebuah andom vaabel dapat ddefnskan sebaga E [( ) ] E[( ) ] asalkan nla ekspektas tu ada. Untuk dskt, maka fungs peluang f() : E [( ) ] f ) + f ( ) f ( ) ( n n

7 E [( ) ] n f ( ) (.7) Untuk kontnu, maka fungs peluang f() : E [( ) ] f ( ) (.8) Dalam hal n, E[( )] meupakan momen ke-. Sehngga dapat dpeoleh momen ke- sampa ke-4 d sekta ttk asal, sebaga bekut : Tabel. Momen d Sekta Ttk Asal Momen Momen d Sekta Ttk Asal Momen ke- E[( ) ] Momen ke- E [( ) ] E( ) Momen ke- E[( ) ] Momen ke- E[( ) ] Momen ke-4 E[( 4 ) ] 4 Da tabel d atas dapat dlhat momen petama d sekta ttk asal da suatu dstbus adalah nla ata-ata... Momen d Sekta Rataan Momen ke- d sekta ataan da sebuah andom vaabel dapat ddefnskan sebaga E [( ) ]. Teoema. : Momen petama da momen d sekta ataan benla. Bukt: E[( ) ] E[( )] E[ ] Sehngga dapat dpeoleh momen ke- sampa ke-4 d sekta ataan, sebaga bekut :

8 Tabel. Momen d Sekta Rataan Momen Momen d Sekta Rataan Momen ke- E [( ) ] Momen ke- E [( ) ] Momen ke- E [( ) ] Momen ke- E[( ) ] Momen ke-4 E [( 4 ) ] 4 Da tabel d atas dapat dlhat momen kedua d sekta ataan da suatu dstbus adalah nla vaans..4 Konves Momen d Sekta Ttk Asal ke Momen d Sekta Rataan Dengan menggunakan dall bnomal, maka dapat dpeoleh konves momen pusat ke- d sekta ttk asal ke momen pusat ke- d sekta ataan sebaga bekut: E [( ) ] ( ) (.9) Kemudan dengan mensubttuskan bebeapa nla ke dalam umus d atas, maka akan ddapat nla vaans, kemngan dan kutossnya. Dmana nla vaansnya ddapat da subttus nla, sebaga bekut : ( ) ( ) + ( ) + ( ) + (.) Sehngga ddapat nla vaansnya, yatu hasl da penguangan momen pusat ke- d sekta ttk asal ke- dkuang kuadat da momen pusat ke- d sekta ttk asal ke-. Atau seng d notaskan dengan : Va ( ) E( ) E( ) (.)

9 .5 Fungs Pembangkt Fungs Pembangkt adalah salah satu metode yang dapat dgunakan untuk menyelesakan pemasalahan. Dengan men-tanslas pesoalan ke dalam Fungs Pembangkt, maka kta dapat menggunakan sfat-sfat khusus da Fungs Pembangkt sebaga jalan untuk memecahkan masalah. Fungs Pembangkt n bsa kta pelakukan sebagamana fungs-fungs pada umumnya. Msal saja melakukan opeas dfeensal. Fungs Pembangkt memlk banyak penggunaan, msalnya untuk menyelesakan pemasalahan ekuens, countng, membuktkan denttas kombnatoka, maupun aplkas-aplkas lan yang beagam. Dalam peneapannya, banyak metode yang menggunakan Fungs Pembangkt sebaga alat penyelesaan masalah. Fungs pembangkt da basan blangan S (tehngga atau takhngga) a a, a,,... dapat ddefenskan dalam bentuk deet sebaga bekut :, a A ( ) a a + a + a + a a (.) Pada deet tesebut, pangkat da vaabel meupakan ndkato sedemkan hngga koefsen da adalah haga fungs numek pada. Untuk sebuah fungs numek a dgunakan nama A() untuk menyatakan fungs pembangktnya. Walaupun ada banyak jens-jens fungs pembangkt, tetap dalam peneltan n hanya akan d bahas fungs pembangkt eksponensal dan fungs pembangkt momen..5. Fungs Pembangkt Eksponensal Fungs pembangkt eksponensal meupakan salah satu alat penyelesaan masalah da bebeapa jens fungs pembangkt. Dmana fungs pembangkt n dambl da Deet Maclaun sebaga bekut : a + a + a!! + a! a! o a!

10 Jka nla a a, a, a,...,, maka dapat ddefenskan fungs pembangkt, a eksponensal adalah sebaga bekut e + +! +! ! o! (.) Dan untuk e ddefenskan sebaga bekut : e +!! ( )! o ( )! (.4) Dalam peneltan n hanya akan dbahas satu ekspans bnomal dalam bentuk fungs pembangkt eksponensal sebaga bekut : Teoema. : ( e ) n n n ( ) e Bukt : Dengan menggunakan umus Bnom Newton : Maka : ( n e ) n n n ( a + b) a b (.5) n n n ( ) n n ( ) ( e n n ( ) e ) n (( )( e )).5. Fungs Pembangkt Momen Menuut Ronald dan Raymond (995). Kegunaan yang jelas da fungs pembangkt momen n adalah untuk menentukan momen-momen dstbus. Akan tetap, kegunaan yang tepentng adalah untuk menca dstbus da fungs peubah acak. (Walpole & Myes. 995 : 6)

11 Defns.5 : Fungs pembangkt momen da suatu peubah acak ddefnskan untuk setap t blangan l t sebaga M E( e ) (Dudewch & Msha, 995 : ) Da defns.5, dapat duakan dalam kasus yang bebeda, yatu untuk peubah acak dskt dan peubah acak kontnu. Fungs pembangkt momen untuk peubah acak dskt da d yatu: M t t E( e ) e f ( ) (.6) Fungs pembangkt momen untuk peubah acak kontnu da d yatu: t t M E( e ) e f ( ) (.7) (Spegel, 99:8) Teoema. : Bla fungs pembangkt momen M (t) da peubah acak ada untuk t T, untuk T () >, maka E( ) dengan (n,,, ), maka E ( ) M (). () E ( ) M () d dt M t (Dudewch & Msha, 995 : ) Bukt : t Dketahu bahwa M E( e ), Dengan menggunakan deet Maclaun : e y + y + y! + y! y! Jka y dgant t maka : e y + t ( t ) +! ( t ) +! ( t ) ! Sehngga dpeoleh : M (t) E ( e t )

12 ( t ) ( t ) ( t ) E + t !!! E + E t ( t ) + E ( t ) + E ( t ) E ( ) ( )!!! + te( ) + E( ) + E( ) E( )! + te( ) + E( ) + E( ) E( )!!!!! Jka M (t) dtuunkan tehadap t, kemudan haganya sama dengan nol, maka akan dpeoleh: M ( ) ( ) ( ) t t. t E + E + E E( )!! M () E ( ) momen pusat ke- d sekta ttk asal M! 6t ( ) t E( ) + E( ) E( )! M () E ( ) momen pusat ke- d sekta ttk asal M M ( ) ()... Sampa tuunan ke-! ( )( ) t E( ) E( )! E momen pusat ke- d sekta ttk asal Jad untuk mendapatkan momen ke- da suatu peubah acak adalah dengan menuunkan fungs pembangkt momen sebanyak kal dan memasukkan nla t, sehngga tebukt bahwa: E ( ) d dt M t

13 Teoema.4 : Jka M (t) adalah fungs pembangkt momen da peubah acak dan a adalah suatu konstanta, maka fungs pembangkt momen da a adalah: M a (t) (at) M Bukt: M a (t) E( e ta ) ( ( ta) E e ) M (at) (Spegel, 99 : 8) Teoema.5 : Jka M (t) adalah fungs pembangkt momen da peubah acak, a dan b adalah suatu konstanta, maka fungs pembangkt momen da a + b adalah: Bukt : M a + b (t) M a + b (t) M ( at) e bt ( ( a + b) E e t ) at + bt E( e ) at bt E ( e ). E( e ) M ( at). e bt.5. Fungs Pembangkt Momen Gabungan Fungs pembangkt momen gabungan atau Jont MGF dapat ddefnskan sebaga fungs pembangkt momen yang dpeoleh bedasakan fungs peluang gabungan atau fungs denstas gabungan da dua peubah acak. Dalam hal n, fungs pembangkt momen gabungan dapat dgunakan untuk mempeoleh momen-momen, bak untuk satu peubah acak maupun dua peubah acak.

14 Sehngga fungs pembangkt momen gabungan da (, ) ddefnskan untuk blangan l (t, t ) sebaga: t + t M ( t, ) E( e ), t (.8) (Dudewcz & Msha, 995 : 5) Teoema.6 : Msal fungs pembangkt momen gabungan da (, ) ada, maka dan meupakan peubah acak yang salng bebas jka M ( t, ) M t ). M ( ) Bukt: t + t M ( t, ) E( e ), t t t E ( e. e ) t t E ( e ). E( e ) M t ). M ( ) ( t, t ( t Untuk peubah acak dan yang kontnu, maka fungs pembangkt momen gabungannya dnotaskan dengan : M ( t, t) e t + t f( ) f( ) d d (.9) Bedasakan fungs pembangkt momen gabungan da dan, dapat dtentukan fungs pembangkt momen masng-masng da dan yang dnamakan fungs pembangkt momen magnal da dan fungs pembangkt momen magnal da. Fungs pembangkt momen magnal da dpeoleh da fungs pembangkt momen gabungan dengan mensubsttuskan t, sehngga : t M ( t,) M ( t ) E( e ) (.) Fungs pembangkt momen magnal da dpeoleh da fungs pembangkt momen gabungan dengan mensubsttuskan t, sehngga : t M (, t ) M ( t ) E( e ) (.)

15 Sehngga ddapat hasl tansfomasnya, yang kemudan dapat dtentukan momen momen da peubah acak bedasakan fungs pembangkt momen magnalnya. Dmana momen ke- yang juga meupakan nla paamete ata-ata (), dhtung dengan meggunakan umus : E( ) M ( t,) M (,) t t t (.) Dan momen ke-nya dhtung dengan menggunakan umus: E( M ( t,) M (,) ) t t t (.) Da hasl htung momen ke- dan momen ke-, maka dapat dhtung nla paamete vaans (σ )nya dengan menggunakan umus : Va M (,) M (,) ( σ ) t t (.4) Pehtungan yang sama juga dapat dlakukan dalam menentukan nla paamete ata-ata () dan nla paamete vaans (σ ) da peubah acak bedasakan fungs pembangkt momen magnalnya dengan menggunakan umus d atas..6 Dstbus Eksponensal Tegeneals Dua Vaabel Dstbus eksponensal tegenaals (Genealzed Eponental Dstubuton) petama kal dpekenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 999. Dstbus n dambl da salah satu fungs kepadatan kumulatf yang dgunakan pada petengahan abad 9 (Gompetz-Vehulst) untuk membandngkan tabel kematan dan menghaslkan laju petumbuhan penduduk. Yang ddefenskan sebaga bekut : G( t) ( tλ α ρ e ) Kemudan dengan menstandasaskan ρ dan t, maka ddapat dstbus ekponensal tegeneals satu vaabel (Unvaate Genealzed Eponental

16 Dstbuton) dengan fungs kepadatan kumulatf (fkk) dan >, adalah sebaga bekut : F GE ( ; λ α α, λ) ( e ) da tuunan fungs kepadatan kumulatf d atas, juga ddapat fungs kepadatan peluangnya (fkp) adalah sebaga bekut : ( ; α, λ) αλ ( λ λ α F GE e e (.5) ) Dengan : peubah acak α paamete bentuk λ paamete skala e,78 Dmana α > dan λ > masng masng adalah paamete bentuk dan paamete skala. In jelas bla α, maka dstbus datas meupakan dstbus eksponensal. Sekaang untuk memfokuskan pada kajan paamete α, maka λ. Sehngga dstbus eksponensal tegeneals dengan paamete bentuk d notaskan dengan GE(α). Jka tedapat dua peubah acak (, ) yang bedstbus eksponensal tegeneals dengan asums salng bebas, maka dstbus eksponensal tegeneals dua vaabel (fungs kepadatan peluang gabungan da (, )), untuk >, > adalah : F (, ) α α e e α α ( ) ( ) e (.6).7 Estmas Estmas adalah menaks c-c tetentu da populas atau mempekakan nla populas (paamete) dengan memaka nla sampel (statstk). Dengan statstka beusaha menympulkan populas. Caa pengamblan keputusan tentang paamete behubungan dengan caa-caa menaks haga paamete. Jad, haga paamete

17 sebenanya yang tdak dketahu akan destmas bedasakan statstk sampel yang dambl da populas yang besangkutan. Sfat atau c estmato yang bak yatu tdak bas, efsen dan konssten:. Estmato yang tdak bas Estmato dkatakan tdak bas apabla a dapat menghaslkan estmas yang mengandung nla paamete yang destmaskan. Msalkan, estmato θˆ dkatakan estmato yang tdak bas jka ata-ata semua haga θˆ yang mungkn akan sama dengan θ. Dalam bahasa ekspektas dtuls E ( ˆ θ ) θ. Msalkan adalah vaabel andom dengan ata-ata dan vaan σ,,...,, n adalah sampel andom yang besanya n da, maka ata-ata sampel dan vaan sampel σ. S adalah estmato yang tdak bas da dan. Estmato yang Efsen Estmato dkatakan efsen apabla hanya dengan entang nla estmas yang kecl saja sudah cukup mengandung nla paamete. Estmato bevaans mnmum alah estmato yang efsen dantaa semua estmato untuk paamete yang sama. Jka ˆ θ dan ˆ θ dua estmato untuk θ dmana vaans untuk ˆ θ lebh kecl da vaans untuk ˆ θ, maka ˆ θ meupakan estmato yang efsen.. Estmato yang konssten Estmato dkatakan konssten apabla sampel yang dambl bebeapa pun besanya, pada entangnya tetap mengandung nla paamete yang sedang destmas. Msalkan, θˆ estmato untuk θ yang dhtung bedasakan sebuah sampel acak beuutan n. Jka ukuan sampel n makn besa mendekat ukuan populas menyebabkan θˆ mendekat θ, maka θˆ dsebut estmato konssten.

18 Estmas nla paamete memlk dua caa, yatu estmas ttk (pont estmaton) dan estmas selang (nteval estmaton)..7. Estmas Ttk Estmas ttk adalah estmas yang dalam nla populasnya (paamete) dtentukan hanya oleh satu nla saja. Nla yang dpaka menduga populas tesebut dnamakan estmato. Msalkan,..., statstk ˆ h (,,..., ), n meupakan sampel acak beukuan n da, maka θ yang bekatan dengan θ dnamakan penaks da θ. n Setelah sampel dambl, nla-nla yang dhtung da sampel tu dgunakan sabaga taksan ttk θ..7. Estmas Inteval Estmas nteval adalah estmas dalam suatu nteval dmana nteval tesebut dtentukan batas atas dan batas bawah suatu estmato. Metode n memuat nla-nla estmato yang mash danggap bena dalam tngkat (selang) kepecayaan tetentu (confdence nteval).