SIFAT - SIFAT MATRIKS UNITER, MATRIKS NORMAL, DAN MATRIKS HERMITIAN

Transkripsi

1 SFT - SFT MTRKS UNTER, MTRKS NORML, DN MTRKS HERMTN Tasa bstak : Tujuan peneltan n adalah untuk mengetahu pengetan dan sfat sfat da matks unte, matks nomal, dan matks hemtan. Metode peneltan yang dgunakan adalah stud lteatue, yatu semua bahan dambl da buku efeens yang mendukung dan behubungan dengan pengetan dan sfat sfat da matks unte, matks nomal, dan matks hemtan. Kesmpulan da peneltan n adalah sebaga bekut: Sebuah matks buju sangka dengan anggotaanggota blangan kompleks dnamakan matks unte jka, dnamakan matks nomal jka =, dnamakan matks hemtan jka =. Sfat sfat matks unte adalah nves dan tanspose matks unte adalah matks unte, hasl kal dua atau lebh matks unte adalah unte, detemnan matks unte mempunya nla mutlak, vekto vekto bas dan vekto vekto kolom matks unte membentuk suatu hmpunan otonomal pada C n dengan hasl kal dalam Eucldean. Sfat sfat matks nomal adalah jka tedapat matks nomal dan U matks unte, maka B = UU adalah matks nomal, jka adalah vekto nvaan yang behubungan dengan aka kaaktestk da suatu matks nomal, maka juga vekto nvaan da yang behubungan dengan aka kaaktestk, jka nomal maka suatu matks buju sangka smla secaa unte tehadap suatu matks dagonal, vekto egen da uang egen yang bebeda da matks nomal adalah otogonal. Sfat sfat matks hemtan adalah nla egen da suatu matks hemtan adalah blangan eal, vekto vekto nvaan yang behubungan dengan aka aka kaaktestk yang belanan da suatu matks hemtan adalah salng otogonal. Kata kunc: Matks unte, Matks nomal, Matks hemtan ENDHULUN Salah satu cabang lmu matematka adalah ljaba. Ddalamnya dpelaja tentang matks. Jensjens matks ada bemacam macam, antaa lan matks buju sangka, matks smets, matks dagonal dan lan sebaganya. Dmana matks matks tesebut mempunya sfat sfat tetentu. ada peneltan n penelt tetak untuk melhat sfat sfat Matks Unte, Matks Nomal dan Matks Hemtan yang meupakan matks matks dengan anggota anggota blangan kompleks. CR ENELTN Metode peneltan yang dgunakan adalah stud lteatue, yatu semua bahan dambl da buku efeens yang mendukung dan behubungan dengan pengetan dan sfat sfat da matks unte, matks nomal, dan matks hemtan. EMBHSN Bekut akan dbahas sfat sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan. enddkan Matematka UNWDH Klaten Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95

2 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan. engetan Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan meupakan matks dengan anggota anggota blangan kompleks. Sebelum membahas pengetan Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan djelaskan telebh dahulu defns dan sfat sfat dasa tanspose konjugat da sebaga bekut: Defns (nton, :5) Jka adalah suatu matks dengan anggota anggota kompleks, maka tanspose konjugat da, yang dnyatakan dengan, ddefnskan oleh T = Dmana adalah matks yang anggota anggotanya adalah konjugat kompleks da anggota anggota yang bepadanan pada dan adalah tanspose da. Contoh T Jka, maka. Sehngga = T. Sfat sfat dasa da opeas tanspose konjugat adalah sebaga bekut: Teoema (nton, :) Jka dan B adalah matks matks dengan anggota anggota kompleks dan k adalah sebaang blangan kompleks, maka: (a) () = (b) (+B) = + B (c) (k) = k (d) (B) = B Dbawah n djelaskan pengetan Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan:. engetan Matks Unte Dbekan defns sebaga bekut: Defns (yes, 989:) Matks buju sangka dsebut unte jka = =, yatu jka =. Contoh Dketahu Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95

3 Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan kan dtunjukkan bahwa adalah matks unte. Þ T Maka = kaena = = maka tebukt bahwa adalah Matks Unte.. engetan Matks Nomal Sebuah matks buju sangka dengan anggota anggota kompleks dsebut nomal jka = Jad setap matks unte meupakan matks nomal. Contoh Setap matks unte adalah matks nomal kaena = = Jad contoh d atas juga temasuk matks nomal adalah Matks Nomal. engetan Matks Hemtan Suatu matks buju sangka dengan anggota anggota kompleks dsebut Hemtan jka = Jelas bahwa setap matks hemtan adalah nomal kaena belaku = =

4 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan Contoh Jka 5, maka 5 Sehngga T 5. Yakn adalah Hemtan B. Sfat-sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan ada bagan n akan djelaskan sfat sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan.. Sfat-sfat Matks Unte Untuk menunjukkan sfat sfat da Matks Unte dbekan bebeapa teoema sebaga bekut: Teoema (yes, 989:) nves dan tanspose da matks unte adalah unte. Bukt: nves matks unte adalah unte. unte Unte unte atnya = = kan dbuktkan unte sebaga bekut: meupakan nves da suatu matks atnya Jad unte yakn Tanspose matks unte adalah unte. unte T unte unte atnya = = kan dbuktkan T unte sebaga bekut: T meupakan tanspose da matks. Jad T Contoh 5 T T. unte yakn T T T T maka Msal Þ, maka nves da adalah: Magsta No. 8 Th. V Maet SSN

5 Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan = = Bukt bahwa adalah unte sebaga bekut: Þ Maka.. Jad tebukt bahwa adalah unte kaena Tanspose da adalah: T Kaena = T, jad jelas bahwa tanspose da adalah unte. Teoema (yes, 989:) Hasl kal dua atau lebh matks unte adalah unte. Bukt: unte atnya = = B unte atnya BB = BB = Da unte dan B unte d atas, dapat dbuktkan B unte sebaga bekut: B B B B Contoh Msal dan B adalah matks unte, maka B ) ( B

6 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan Sehngga B ( B) ( B) B Jad tebukt bahwa hasl kal dua atau lebh matks matks unte adalah unte kaena B ( B) ( B) B Teoema (yes, 989:) Detemnan matks unte mempunya nla mutlak. Bukt: unte atnya kan dbuktkan detemnan matks unte mempunya nla mutlak sebaga bekut, maka det () = det () det () det () = det () det () = det Maka nla mutlak da det () = det Contoh 7 Msal, maka det () = = det Msal, maka det()= = det Magsta No. 8 Th. V Maet SSN

7 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan Teoema 5 (nton, :) Jka adalah suatu matks nn dengan anggota anggota kompleks, maka yang bekut n ekuvalen: a) adalah matks unte b) Vekto vekto bas da membentuk suatu hmpunan otonomal pada C n dengan hasl kal dalam Eucldean. c) Vekto vekto kolom da membentuk hmpunan otonomal pada C n dengan hasl kal dalam Eucldean. Bukt: a) b) nggota pada bas ke dan kolom ke j da hasl kal matks adalah hasl kal ttk da vekto bas ke dan vekto kolom ke j da. Tetap, kecual kaena pebedaan notas, vekto kolom ke j da adalah vekto bas ke j da. Jad jka vekto vekto bas da adalah,,, n, maka hasl kal matks bsa dnyatakan sebaga : n n n n n n Jad = jka dan hanya jka n n dan j jka j. Yang beat jka dan hanya jka,,, n adalah suatu hmpunan otonomal pada n C. b) c) nggota pada bas ke dan kolom ke j da hasl kal matks adalah hasl kal ttk da vekto bas ke dan vekto kolom ke j da. Kecual kaena pebedaan notas, vekto bas ke da adalah vekto kolom ke da. Jad vekto vekto kolom da adalah,,, n, maka hasl kal matks bsa dnyatakan sebaga n n n n n n Jad = jka dan hanya jka n n dan j jka j beat jka dan hanya jka,,, n adalah suatu hmpunan otonomal pada n C Contoh 8. Yang a) 8 Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95

8 9 Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan Maka Kaena = =, tebukt bahwa adalah unte. b) Matks mempunya vekto vekto bas, ;, Hasl kal dalam Eucldean pada C n mempunya dan Sehngga vekto vekto bas tesebut membentuk suatu hmpunan otonomal pada C. c) Matks mempunya vekto vekto kolom, Hasl kal dalam Eucldean pada C n mempunya

9 Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan dan = = = Sehngga vekto-vekto kolom tesebut membentuk suatu hmpunan otonomal pada C.. Sfat-sfat Matks Nomal Sebelum menunjukkan sfat sfat da matks nomal, tetapkan sebaga matks nomal dan U sebaga matks unte dan tulskan U U B, maka U U B dan BB = UU UU = UU = UU = UU UU = B B. Sfat (yes, 989:8) Jka adalah matks nomal dan U adalah matks unte, maka B = UU adalah matks nomal. Bukt: nomal atnya = U unte atnya = = kan dbuktkan B = UU nomal sebaga bekut BB = UU UU = UU = UU = UU UU = B B Jad tebukt bahwa B = UU nomal, kaena BB = BB Contoh 9 Msal U Þ U

10 Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan Maka B = UU = = = B = Jad tebukt bahwa B = UU adalah matks nomal. Sfat (yes, 989:8) Jka adalah vekto nvaan yang behubungan dengan aka kaaktestk da suatu matks nomal, maka juga vekto nvaan da yang behubungan dengan aka kaaktestk. Bukt: Kaena nomal, maka = = = Sehngga adalah nomal. Msal B sehngga dpeoleh B, maka B B B B B B B B dan B Jad, adalah vekto nvaan da yang behubungan dengan aka kaaktestk. Sfat (yes, 989:8) Suatu matks buju sangka smla secaa unte tehadap suatu matks dagonal jka dan hanya jka nomal.

11 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan Bukt: nda nomal, tedapat suatu matks U sedemkan sehngga: U U b b b b b, n, n n b n b n B b n, n n Menuut sfat d atas, B adalah nomal sehngga BB=BB. Sekaang elamen pada bas petama dan kolom petama BB adalah sedangkan elemen yang bepadanan d BB adalah bb bb bn b n Kaena elemen elemen n sama dan kaena setap b j b j, dsmpulkan bahwa setap b j =. Selanjutnya dengan elemen elemen yang bepadanan pada bas kedua dan kolom kedua dan seteusnya, dsmpulkan bahwa setap b j da B adalah nol. Jad, B = dagonal,, n. Sebalknya, tetapkan dagonal; maka nomal. Dbekan teoema sebaga bekut: Teoema (nton, :9) jka adalah suatu matks buju sangka dengan anggota anggota kompleks, maka yang bekut n ekuvalen: a) dapat ddagonalkan secaa unte. b) mempunya suatu hmpunan n vekto egen yang otonomal. c) adalah nomal. Bukt: a) b) Kaena danggap dapat ddagonalkan secaa unte, maka ada suatu matks yang dapat dbalk atau konjugat da n n n n nn Sedemkan sehngga (=) dagonal, katakanlah (=) = D, dmana D n adalah matks dagonal Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95

12 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan n vekto kolom da adalah vekto egen da kaena otogonal, maka vekto vekto kolom n otonomal, sehngga mempunya n vekto egen yang otonomal. b) a) nggap mempunya n vekto egen yang otonomal,,,, n. Matks dengan vekto egen n sebaga kolom mendagonalkan secaa sama. Kaena vekto egen n otonomal, maka vekto dapat dbalk atau meupakan konjugat tanspose da. Jad (=) = D; yatu, dapat ddagonalkan secaa unte. a) c) ada bukt a) b) dtunjukkan bahwa suatu matks nn, yang dapat ddagonalkan secaa unte oleh suatu matks nn, yang kolom kolomnya membentuk hmpunan hmpunan otonomal da vekto vekto egen. nggap D adalah suatu matks dagonal D = (=) Jad = D (=D ) Dengan demkan = D (=D ) = D D = D D = D D = Sebuah matks nomal ddagonalsas oleh suatu matks unte yang vekto vekto kolomnya adalah vekto vekto egen da. Dbawah n dbekan posedu mendagonalkan suatu matks nomal adalah sebaga bekut Langkah. Ca suatu bass untuk masng masng uang egen da. Langkah. Teapkan poses Gam Schmdt pada masng masng bass untuk mendapatkan suatu bass otonomal untuk setap uang egen. Langkah. Bentuk matks yang kolom kolomnya adalah vekto vekto bass yang dsusun pada langkah. Matks n secaa unte mendagonalkan. Contoh Dketahu Þ pakah matks dapat ddagonalkan secaa unte? Jka dapat maka calah matks yang mendagonalsas secaa unte matks tesebut! enyelesaan: Kaena maka adalah matks Hemtan, sehngga adalah matks nomal. olnom kaaktestk da adalah = = Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95

13 Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan Det Det = = 5 Sehngga pesamaan kaaktestknya adalah 5 Dan nla egennya adalah l = dan l= Bedasakan defns kan menjad suatu vekto egen da yang bepadanan dengan jka dan hanya jka adalah penyelesaan tak teval da Untuk menca vekto egen yang bepadanan dengan, dsubttuskan nla pada B ( ) B +( )B + (+) = = (+) = () Msal = s, = ()s Sehngga vekto egen da yang bepadanan dengan = adalah vekto vekto tak nol dalam C yang bebentuk s s s Jad uang egennya bedmens satu dengan bass u

14 5 Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan Untuk menca vekto egen yang bepadanan dengan =, dsubttuskan nla pada B B +( )B Msal = s, = s Sehngga vekto egen da yang bepadanan dengan = adalah vekto vekto tak nol dalam C yang bebentuk: s s s Jad uang egennya bedmens satu dengan bass u Maka u dan u Dengan meneapkan poses Gam Schmdt yatu menomalkan vekto vekto d atas dpeoleh u,, u

15 Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan,, Jad Da sn = 8 = Jad dapat mendagonalkan secaa unte. Teoema 7 (nton, :) Jka adalah suatu matks nomal maka vekto egen da uang egen yang bebeda da adalah otogonal. Bukt: nggap v dan v adalah vekto egen yang bepadanan dengan nla egen dan yang bebeda da matks. kan dtunjukkan bahwa v v =. Untuk membuktkan n dawal dengan ekspes v v,dawal dengan pengetan matks Hemtan adalah Nomal. Jad bahwa v v = v v = v v, tetap v adalah suatu vekto egen da yang bepadanan dengan dan v adalah suatu vekto egen da yang bepadanan dengan, sehngga dhaslkan hubungan v v = v.v yang bsa dtuls ulang sebaga ( )( v v ) =, tetap kaena dan danggap bebeda. Jad da ( ) ( v v ) = dpeoleh bahwa v v =. Contoh adalah matks nomal, mempunya vekto egen yang bepadanan dengan dan adalah sebaga bekut u dan u akan dtunjukkan bahwa vekto egen da uang egen yang bebeda da adalah otogonal maka u u

16 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan u u = = + = jad tebukt bahwa vekto egen da uang egen yang bebeda da adalah otogonal.. Sfat-sfat Matks Hemtan Sekaang akan dbahas sfat sfat da matks hemtan. Dbekan teoema d bawah n. Teoema 8 (nton, :) Nla egen da suatu matks hemtan adalah blangan eal. Bukt: Jka adalah suatu nla egen dan v adalah vekto egen yang bepadanan da suatu matks hemtan nn, maka v v. Dengan mengalkan setap uas da pesamaan, da k tanspose tasf da v dpeoleh v v v v v v Dtunjukkan bahwa matks, vv dan vv, keduanya mempunya anggota anggota eal sehngga da dpeoleh bahwa pastlah suatu blangan eal. Contoh Msal adalah matks hemtan olnom kaaktestk da adalah = = det det = = 5 Sehngga pesamaan kaaktestknya adalah 5 dan nla egennya adalah l = ; l = Jad bahwa nla egen da adalah blangan eal. = 5 Teoema 9 (yes, 989:8) Vekto vekto nvaan yang behubungan dengan aka aka kaaktestk yang belanan da suatu matks hemtan adalah salng otogonal. Bukt: Tetapkan dan sebaga vekto vekto nvaan yang masng masng dhubungkan dengan akaaka kaaktestk l dan l yang belanan da. Maka dan, juga dan Magsta No. 8 Th. V Maet SSN

17 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan engamblan konjugat tanspose dan Maka dan kaena,. Jad dan adalah otogonal. Selan da teoema teoema d atas dbekan sfat matks hemtan bahwa elemenelemen dagonalnya beupa blangan l a j ¹ a j untuk ¹ j dan a j = a j untuk =j. SMULN Bedasakan pembahasan d depan dapat dtak bebeapa kesmpulan sebaga bekut:. Matks Unte adalah suatu matks buju sangka dengan elemen elemen kompleks jka atnya bahwa belaku.. Matks Nomal adalah sebuah matks buju sangka dengan anggota anggota kompleks jka =. Jad setap matks unte meupakan matks nomal.. Matks Hemtan adalah suatu matks buju sangka dengan anggota anggota kompleks jka =. Jad setap matks hemtan adalah nomal kaena belaku = =.. Sfat sfat Matks Unte adalah sebaga bekut: a. nves dan tanspose da matks unte adalah unte b. Hasl kal dua matks atau lebh matksmatks unte adalah unte. c. Detemnan matks unte mempunya nla mutlak. d. Vekto vekto bas dan vekto vekto kolom matks unte membentuk suatu hmpunan otonomal pada C n dengan hasl kal dalam Eucldean. 5. Sfat sfat Matks Nomal a. Jka tedapat matks nomal dan U matks unte, maka B = UU adalah matks nomal. b. Jka adalah vekto nvaan yang behubungan dengan aka kaaktestk da suatu matks nomal, maka juga vekto nvaan da yang behubungan dengan aka kaaktestk. c. Suatu matks buju sangka smla secaa unte tehadap suatu matks dagonal jka dan hanya jka nomal. d. Vekto egen da uang egen yang bebeda da matks nomal adalah otogonal.. Sfat sfat Matks Hemtan a. Nla egen da suatu matks hemtan adalah blangan eal. b. Vekto vekto nvaan yang behubungan dengan aka aka kaaktestk yang belanan da suatu matks hemtan adalah salng otogonal. c. Elemen elemen dagonalnya beupa blangan l a j ¹ a j untuk ¹ j dan a j = a j untuk =j. 8 Magsta No. 8 Th. V Maet SSN 5-95

18 Sfat - sfat Matks Unte, Matks Nomal, dan Matks Hemtan DFTR USTK nton H.,. Dasa dasa ljaba Lne. Batam: nteaksa. yes F., 98. Theoy and oblems of Matks. Sngapua: Mc Gaw Hll. Hon. Roge and Johnson R. Chales, 985. Matk nalyss. Cambdge Unvesty ess. H.S. Suyad dan M. Han, 99. Teo dan Soal endahuluan ljaba Lne. Jakata: Ghala ndonesa. Katono,. ljaba Lne, Vekto dan Eksploasnya dengan Maple. Yogyakata: Gaha lmu. Mundt, maw K., 98. Teo teo enyelesaan ljaba Lne. Bandung: CV. mca. admodsasto, Sudanah, 989. ljaba Lne. Suakata: UNS ess. Supanto S enganta Matks. Jakata: T. Rneka Cpta. Magsta No. 8 Th. V Maet SSN