SIMULASI PERGERAKAN TINGKAT BUNGA BERDASARKAN MODEL VASICEK

Transkripsi

1 Jurnal Maemaika Murni dan Terapan εpsilon Vol.9 No.2 (215) Hal SIMULASI PEGEAKAN TINGKAT BUNGA BEDASAKAN MODEL VASICEK Shanika Marha, Dadan Kusnandar, Naomi N. Debaaraja Fakulas MIPA Universias Tanjungpura ABSTAK Pergerakan ingka bunga yang berubah dari waku ke waku dapa dipandang sebagai suau proses sokasik unuk waku koninu. Salah sau model pergerakan ingka bunga unuk waku yang koninu adalah model Vasicek. Peneliian ini berujuan unuk menggambarkan karakerisik pergerakan ingka bunga berdasarkan model Vasicek. Pada model Vasicek erdapa iga parameer yaiu k, θ, dan σ. Berdasarkan hasil simulasi ampak bahwa pergerakan ingka bunga berdasarkan model Vasicek bersifa mean reversion (cenderung berada di sekiar θ). Semakin besar nilai k maka proses ingka bunga akan semakin cepa menuju θ. Sedangkan semakin besar nilai σ maka proses akan semakin jauh menyimpang dari θ. Keywords: proses sokasik, karakerisik, mean reversion 1. PENDAHULUAN Dalam berinvesasi, masyaraka aaupun perusahaan hendaknya memperhaikan ingka suku bunga yang sedang berlaku agar memperoleh keunungan maksimal. Karena pada kenyaaaya ingka bunga selalu berubahubah, maka diperlukan gambaran mengenai pergerakan ingka bunga di masa depan. Tingka bunga yang berubah sepanjang waku merupakan suau proses sokasik. Oleh karena iu, model sokasik diperlukan unuk menggambarkan pergerakan ingka bunga sepanjang waku. Unuk waku yang diskri (1, 2,, T) dapa digunakan model runun waku (merupakan proses sokasik unuk waku diskri). Sedangkan unuk kegiaan perdagangan di pasar finansial yang dapa berlangsung secara erus-menerus, diperlukan model pergerakan ingka bunga unuk waku yang koninu. Salah sau model pergerakan ingka bunga unuk waku yang koninu adalah model Vasicek. Model ini diperkenalkan oleh Vasicek pada ahun 1977 dalam penenuan harga dari suau obligasi. Model ingka bunga Vasicek merupakan model unuk perubahan ingka bunga yang bebas resiko, yang berari bahwa ada kepasian dari bunga yang akan diperoleh. Peneliian ini membahas karakerisik model ingka bunga Vasicek dengan cara melakukan simulasi unuk menggambarkan pergerakan ingka bunga berdasarkan parameer model Vasicek. 2. LANDASAN TEOI 2.1 Persamaan Diferensial Sokasik Proses sokasik {XX, TT} adalah koleksi dari variabel acak XX yang ersusun menuru waku [1]. Salah sau conoh dari proses sokasik yang 15

2 Jurnal Maemaika Murni dan Terapan εpsilon Vol.9 No.2 (215) Hal memiliki peranan sebagai fakor acak pada model-model ingka bunga shor rae adalah Brownian moion aau proses Wiener. Definisi [2] Misalkan W menyaakan Brownian moion dengan [, T]. Suau persamaan diferensial sokasik (PDS) dapa dinyaakan dalam benuk: dx = µ ( X,) d + σ( X,) dw, (1) dimana fungsi µ ( X,) merupakan suku deerminisik yang disebu sebagai koefisien drif, dan fungsi σ ( X,) disebu sebagai koefisien difusi. Jika σ =, maka PDS pada persamaan (1) menjadi suau persamaan diferensial biasa (PDB). Persamaan diferensial sokasik (1) dapa pula dinyaakan sebagai beriku: dengan sokasik. X = X + µ ( X, s) ds + s( X, s) dw, s s s µ ( X s, s) ds adalah inegral iema dan s ( X s, s) dws adalah inegral 2.2 Model Vasicek Perubahan ingka bunga pada model Vasicek dinyaakan dalam benuk: [3] dddd() = kk(θθ rr() )dddd + σσ dddd() (2) dengan dddd() adalah perubahan ingka bunga pada inerval waku pendek d, θθ adalah raa-raa ingka bunga dalam jangka panjang (mean reversion level), σσ 2 adalah variansi perubahan ingka bunga persauan waku (variance rae), k adalah seberapa cepa proses unuk kembali menuju θθ, dan {WW(), } adalah Brownian Moion. Pada model Vasicek, ingka bunga diasumsikan memiliki sifa mean reversion. Sifa mean reversion pada ingka bunga adalah kecenderungan dari ingka bunga unuk kembali menuju raa-raa jangka panjang apabila ingka bunga berada diaas aau dibawah raa-raa jangka panjang. aa-raa jangka panjang selanjunya disebu mean reversion level. Model Vasicek memiliki solusi analiik: rr() = rr()ee kkkk + θθ(1 ee kkkk ) + σσee kkkk ee kkkk ddww ss (3) Jika r() dikeahui, maka r() pada persamaan (3) adalah variabel acak yang berdisribusi Normal dengan mean rr()ee kkkk + θθ(1 ee kkkk ) dan variansi σσ 2 (1 2kk ee 2kkkk ). Jadi, unuk, variabel acak r() memiliki mean θθ dan variansi σσ2. 2kk Unuk mengesimasi parameer model Vasicek kk, θθ, dan σσ, dilakukan dengan menggunakan Maximum Likelihood Esimaor (MLE). Misalkan ingka suku bunga inisial rr() = rr, = dan rr ττ = xx, > ττ, maka pdf ingka suku bunga rr = yy adalah: kk ff(yy, xx) = ππσσ 2 (1 ee 2kk( ττ ) eeeeee kk yy θθ (xx θθ)ee kk( ττ) σσ 2 (1 ee 2kk( ττ ) 2 16

3 Shanika Marha, Dadan Kusnandar, Naomi N. Debaaraja - Simulasi Pergerakan Tingka Bunga Berdasarkan model vasicek Benuk pdf bersama dari f unuk ii = 1,2,, yaiu: kk pp(kk, θθ, σσ) = ππσσ 2 (1 ee 2kk( ττ ) eeeeee kk yy θθ (xx θθ)ee kk( ττ) 2 σσ 2 (1 ee 2kk( ττ ) ii=1 Fungsi p dimodifikasi ke dalam benuk ln(p) dan = ττ, sehingga diperoleh: P(kk, θθ, σσ) = llllll kk = llll ππσσ 2 (1 ee 2kk ). kk[yy θθ (xx θθ)ee kk ] 2 σσ 2 (1 ee 2kk ) Unuk memaksimumkan P(kk, θθ, σσ), akan dicari nilai kk, θθ, dan σσ yang merupakan solusi dari (kk,θθ,σσ) (kk,θθ,σσ) =, =, dan (kk,θθ,σσ) =. Karena solusi unuk (kk,θθ,σσ) =, (kk,θθ,σσ) ii=1 =, dan (kk,θθ,σσ) = suli diperoleh, maka unuk mengesimasi parameer model Vasicek kk, θθ, dan σσ, digunakanlah pendekaan numerik yaiu dengan Meode Newon-aphson. Beriku adalah langkah-langkah dari meode Newon-aphson dengan P = lllll : (i) Menenukan nilai aksiran awal dari parameer kk, θθ, dan σσ, yang dinyaakan dengan kk, θθ, dan σσ. (ii) Menghiung nilai kk, θθ, dan σσ secara ieraif dengan formula: kk ii θθ ii = σσ ii 2 PP kk 2 2 PP σσ ii 1 θθ ii 1 = θθ ii 1 θθ 2 2 PP σσ 2 HH 1 (, θθ ii 1, σσ ii 1 )SS(, θθ ii 1, σσ ii 1 ) σσ ii 1 1 h 11 h 12 h 13 ss 1 h 21 h 22 h 23 ss 2 σσ ii 1 h 31 h 32 h 33 ss 3 = θθ ii 1 kk ii θθ ii 1. kk θθ = θθ ii 1 kk θθ = θθ ii 1 σσ σσ ii 1 σσ σσ ii 1 θθ ii 1 (iii) Langkah (ii) diulang hingga memenuhi oleransi yang σσ ii σσ ii 1 dikehendaki. Proses ierasi akan berheni bila max ( kk ii, θθ ii θθ ii 1, σσ ii σσ ii 1 ) < TTTTTT, dengan TOL menyaakan besarnya oleransi yang dikehendaki. (iv) Seelah melewai langkah (iii), dipilih pada ierasi erakhir sebagai σσ ii aksiran dari parameer model Vasicek yang dinoasikan dengan kk, θθ, dan σσ. kk ii θθ ii 17

4 Jurnal Maemaika Murni dan Terapan εpsilon Vol.9 No.2 (215) Hal HASIL Seelah mengesimasi parameer model Vasicek, dibualah simulasi pergerakan ingka bunga dengan menggunakan sofware MATLAB. Simulasi dilakukan unuk memberi gambaran pergerakan ingka bunga apabila ingka bunga dimodelkan dengan model Vasicek sera unuk menjelaskan makna dari seiap parameer pada model Vasicek. Adapun langkah-langkah dari simulasi unuk mendapakan sau sample pah adalah: 1) Membangkikan sampel acak berukuran N dari disribusi normal sandar. Sampel acaknya adalah εε 1, εε 2, εε NN barisan variabel acak yang saling bebas dan berdisribusi idenik N(,1). 2) Menenukan nilai, T, r( ), N, = ( ii ii 1 ) = TT, θθ, kk, dan σσ. NN 3) Subsiusi nilai rr( ii 1 ) dan εε ii ke benuk rekursif yang diperoleh dari diskriisasi Euler pada model Vasicek, yaiu: rr( ii ) = rr( ii 1 ) + kk θθ rr( ii 1 ) ( ii ii 1 ) + σσεε ii ii ii 1, unuk ii = 1,, NN dimana nilai parameer θθ, kk, dan σσ elah dienukan. Pada peneliian ini dilakukan empa kali simulasi dari model Vasicek. Tiap simulasi akan diliha pergerakan ingka bunga masing-masing unuk iga nilai rr(), θθ, kk, dan σσ yang berbeda dengan NN = 2. Hasil dari keempa simulasi dapa diliha pada gambar 1, 2, 3, dan 4 beriku: Thea r =.6 r =.8 r = Gambar 1. Simulasi unuk nilai awal yang berbeda Gambar 1 memperlihakan bahwa unuk keiga nilai rr() yang berbeda, keiga pah erliha idenik dan masih berada disekiar θθ yang sama. 18

5 Shanika Marha, Dadan Kusnandar, Naomi N. Debaaraja - Simulasi Pergerakan Tingka Bunga Berdasarkan model vasicek Thea k =.17 k =.69 k = Gambar 2. Simulasi unuk nilai k yang berbeda Gambar 2 memperlihakan bahwa keiga proses dimulai dari rr() =.5, kemudian erliha bahwa unuk nilai k yang makin besar, proses akan lebih cepa mendekai θθ. Gambar 2 mengilusrasikan k sebagai laju/kecepaan proses ingka bunga menuju θθ hea1 =.65 hea2 =.8 hea3 = Gambar 3. Simulasi unuk nilai θθ yang berbeda Gambar 3 memperlihakan bahwa keiga proses dimulai dari rr() =.8. Dalam jangka panjang, pah dari seiap proses berada disekiar iap θ yang berbeda. 19

6 Jurnal Maemaika Murni dan Terapan εpsilon Vol.9 No.2 (215) Hal Thea sigma =.1 sigma =.3 sigma = Gambar 4. Simulasi unuk nilai σσ yang berbeda Gambar 4 memperlihakan bahwa unuk nilai σσ yang semakin besar, proses lebih jauh menyimpang dari θ. σσ dapa diinerpreasikan sebagai gangguan (noise) aau volailias dari pergerakan ingka bunga yang berubah-ubah secara idak pasi. Besarnya ingka bunga berbanding lurus dengan besarnya volailias. Arinya semakin besar nilai σσ, maka volailias pergerakan ingka bunga juga semakin besar. Volailias ini sendiri dipengaruhi oleh unsur Brownian Moion yang erdapa pada model Vasicek. 4. KESIMPULAN Pergerakan ingka bunga berdasarkan model Vasicek dipengaruhi oleh iga parameer yaiu kk, θθ, dan σσ. Berdasarkan hasil simulasi erliha bahwa pergerakan ingka bunga berdasarkan model Vasicek cenderung berada di sekiar θθ. Hal ini menunjukkan bahwa pergerakan ingka bunga berdasarkan model Vasicek bersifa mean reversion. Semakin besar nilai k maka proses ingka bunga akan semakin cepa menuju θθ. Sedangkan semakin besar nilai σσ maka proses akan semakin jauh menyimpang dari θ. DAFTA PUSTAKA [1] oss, S.M Sochasic processes. (2nd ed.). John Wiley and Sons. New York [2] Klebaner, F.C Inroducion o Sochasic Calculus Wih Applicaions. Imperial College Press. London. [3] Shreve, S.E. 24. Sochasic Calculus for Finance II Coninous Time Models. Springer. New York 2