Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti

Transkripsi

1 Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti

2 Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,, x j 1, x j + h, x j+1,, x n = lim h 0 h f x 1,, x n jika ada, disebut turunan parsial ke-j dari f. Bab 2 Indah Yanti

3 Turunan Parsial CATATAN Jika untuk setiap j = 1,..., n, ditulis Maka e j = 0,, 0 j 1, 1, 0,, 0 n j f f x + he j x x 1,, x n = lim j h 0 h f x Bab 2 Indah Yanti

4 Turunan Implisit Misalkan sebuah fungsi z = f(x, y) dinyatakan dalam sebagai F(x, y, z) = C. Maka turunan parsial f terhadap x dapat dihitung sebagai z x = F x F z Bab 2 Indah Yanti

5 Contoh Pandang fungsi f:r 2 R, dimana f(x, y) = sin xy + x cos y untuk setiap (x, y) R 2. Maka Bab 2 Indah Yanti

6 Turunan Total DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Dikatakan f diferensiabel di x 0 A jika semua turunan parsial ada f x j, j = 1,, n Bab 2 Indah Yanti

7 Turunan Total dan jika f x f x 0 Df x 0 x x 0 lim = 0 x x 0 x x 0 dengan (Df)(x 0 )(x x 0 ) menyatakan perkalian dari mariks Df x 0 = f x 1 x 0 f x n x 0 dengan vektor x x 0 sebagai matriks kolom. Bab 2 Indah Yanti

8 Turunan Total DEFINISI Pandang fungsi f: A R m, dengan A R n adalah himpunan buka. Misalkan f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)) untuk setiap x A. Maka f dikatakan diferensiabel di x 0 A jika f i : A R diferensiabel di x 0 A untuk setiap i = 1,..., m. Dan f: A R m dikatakan diferensiabel jika f diferensiabel di setiap x 0 A. Bab 2 Indah Yanti

9 Turunan Total DEFINISI Pandang fungsi f: A R m, dengan A R n adalah himpunan buka. Misalkan f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)) untuk setiap x A. Maka turunan total dari f di x 0 A didefinisikan sebagai matriks m x n T = Df x 0 = f 1 x 1 x 0 f 1 x n x 0 f m x 1 x 0 f m x n x 0 jika semua turunan parsial ada. Matriks T disebut juga matriks turunan parsial. Bab 2 Indah Yanti

10 Turunan Total CATATAN Pandang fungsi f: A R m, dengan A R n adalah himpunan buka. Dapat ditunjukkan bahwa f diferensiabel di x 0 A jika dan hanya jika semua turunan parsial ada f i x j, i = 1,, m dan j = 1,, n Bab 2 Indah Yanti

11 Turunan Total dan f x f x 0 Df x 0 x x 0 lim = 0 x x 0 x x 0 dengan T(x x 0 ) menyatakan perkalian matriks T yang diberikan persamaan diatas dengan vektor (x x 0 ) sebagai matriks kolom. Bab 2 Indah Yanti

12 Turunan Total CATATAN Pandang kasus khusus m = 1. Maka T = Df x 0 = f x 1 x 0 f x n x 0 Vektor yang berkaitan f x 1,, f x n disebut gradien f dan dinotasikan f atau grad f. Bab 2 Indah Yanti

13 Turunan Total CATATAN Untuk f: R 2 R dan f: R 3 R, dapat digunakan notasi khusus f = f x i + f y j dan f = f x i + f y j + f z k Pada persamaan di atas i, j, dan k adalah vektor satuan pada arah x, y, dan z. Bab 2 Indah Yanti

14 Konsekuensi Keterdiferensiabelan TEOREMA 2A Misalkan f: A R m, dengan A R n adalah himpunan buka. Misalkan f diferensiabel di x 0 A. Maka f kontinu di x 0. Bab 2 Indah Yanti

15 Konsekuensi Keterdiferensiabelan TEOREMA 2B Misalkan f: A R m, dengan A R n adalah himpunan buka. Misalkan f diferensiabel di x 0 A. Maka terdapat bilangan riil positif Mdan δ 1 sedemikian sehingga f x f x 0 M x x 0 untuk setiap x A memenuhi x x 0 < δ 1. Bab 2 Indah Yanti

16 Kondisi Keterdiferensialan TEOREMA 2C Misalkan f: A R m, dengan A R m adalah himpunan buka. Misalkan semua turunan parsial f i x j, i = 1,, m dan j = 1,, n ada dan kontinu di persekitaran titik x 0 A. Maka f diferensiabel di x 0. Bab 2 Indah Yanti

17 Contoh Pandang fungsi f x, y = sin x + ey x 2 + y 2, 1 x 2 + y 2 1. Dapat ditulis sin x + ey f 1 x, y = x 2 + y 2 dan f 2 x, y = 1 x 2 + y 2 1 Bab 2 Indah Yanti

18 Sifat sifat Turunan TEOREMA 2D Misalkan f: A R m dan g: A R m, dengan A R n adalah himpunan buka. Misalkan x 0 A. a) Jika f diferensiabel di x 0, maka cf juga diferensiabel di x 0 untuk setiap c R, dan (D(cf))(x 0 ) = c(df)(x 0 ) b) Jika f dan g diferensiabel di x 0, maka f + g juga diferensiabel di x 0, dan (D(f + g))(x 0 ) = (Df)(x 0 ) + (Dg)(x 0 ) Bab 2 Indah Yanti

19 Sifat sifat Turunan TEOREMA 2E Misalkan f: A R dan g: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Jika f dan g diferensiabel di x 0 A a) Maka fg diferensiabel di x 0, dan (D(fg))(x 0 ) = g(x 0 )(Df)(x 0 ) + f(x 0 )(Dg)(x 0 ) b) Jika g(x 0 ) 0, maka f/g juga diferensiabel di x 0, dan (D(f/g))(x 0 ) = [g(x 0 )(Df)(x 0 ) f(x 0 )(Dg)(x 0 )]/g 2 (x 0 ) Bab 2 Indah Yanti

20 Sifat sifat Turunan TEOREMA 2F Misalkan f: A R m dan g: B R p, dengan A R n dan B R m adalah himpunan buka. Misalkan f(a) B, sehingga g f: A R m terdefinisi dengan baik. Jika f diferensiabel di x 0 A dan g diferensiabel di y 0 = f(x 0 ) B, maka g f diferensiabel di x 0, dan (D(g f)(x 0 ) = (Dg)(y 0 )(Df)(x 0 ) dengan ruas kanan menunjukkan perkalian matriks (Df)(x 0 ) dengan (Dg)(y 0 ). Bab 2 Indah Yanti

21 Soal Misalkan f: R R 2 : t (x(t), y(t)) dan g: R 2 R : (x, y) g(x, y), dimana f dan g diferensiabel. Maka sehingga diperoleh dan Bab 2 Indah Yanti

22 Soal Diketahui f(x, y) = x 2 + y 2 dan g(x, y) = x + y Jika h(x, y) = f(x, y)/g(x, y), tentukan (Dh)(x, y)! Bab 2 Indah Yanti

23 Soal Diketahui f(x, y,z) = (x 2, x 2 y, e z ) g(u, v,w) = u 2 + v 2 w 2 1. Tentukan a. (Dg)(u, v,w)(df)(x, y,z) b. (Df)(x, y,z)(dg)(u, v,w) 2. Jika h = g f, tentukan (Dh)(x, y,z). Bab 2 Indah Yanti

24 Soal Carilah bidang singgung dari grafik fungsi z = x 2 + y 4 + e xy di titik (1, 0, 2). Bab 2 Indah Yanti

25 Gradien dan Turunan Berarah Misalkan f: A R, dengan A R 3 himpunan buka. Misalkan f diferensiabel di x 0 A. Maka vektor pada R 3 yang diberikan oleh f x 0 = f x x 0, f y x 0, f z x 0 disebut gradien dari f di x 0. Bab 2 Indah Yanti

26 Gradien dan Turunan Berarah DEFINISI Misalkan f: R 3 R. Maka limit lim t 0 f x 0 + tn f x 0 t jika ada, disebut turunan berarah dari f di x 0 pada arah n. Bab 2 Indah Yanti

27 Gradien dan Turunan Berarah CATATAN Ingatlah bahwa lim t 0 f x 0 + tn f x 0 t = d dt f x 0 + tn t=0 Bab 2 Indah Yanti

28 Gradien dan Turunan Berarah TEOREMA 2G Misalkan f: R 3 R diferensiabel. Maka semua turunan berarah dari f ada, untuk setiap x 0 R 3 dan untuk setiap vektor satuan n R 3, turunan berarah dari f di x 0 pada arah n = (n 1, n 2, n 3 ) diberikan oleh perkalian skalar f x 0. n = f x x 0 n 1 + f y x 0 n 2 + f z x 0 n 3 Bab 2 Indah Yanti

29 Gradien dan Turunan Berarah CATATAN Ingatlah bahwa (Df)(x 0 ).n = ( f )(x 0 ).n ruas kiri menyatakan perkalian matriks turunan total (Df)(x 0 ) dengan matriks kolom n. Bab 2 Indah Yanti