Kalkulus Multivariabel I

Transkripsi

1 Penerapan Integral Lipat-Dua Atina Ahdika,.i, M.i tatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214

2 Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan lain dari integral lipat-dua antara lain adalah menghitung pusat massa, momen inersia, dan luas permukaan. Tinjaulah sebuah lembaran tipis yang sedemikian tipisnya sehingga kita dapat memandangnya sebagai objek berdimensi dua, kita menyebut lembaran ini lamina. Di sini, kita akan mempelajari lamina-lamina dengan berbagai kerapatan.

3 Penerapan Integral Lipat-Dua Andaikan sebuah lamina menutupi sebuah daerah pada bidang xy, dan misalkan kerapatan (massa per satuan luas) di (x, y) disimbolkan dengan δ(x, y). Daerah dipartisi menjadi persegi panjang-persegi panjang kecil R 1, R 2,..., R k seperti ditunjukkan pada gambar. Ambil sebuah titik ( x k, ȳ k ) pada R k.

4 Penerapan Integral Lipat-Dua Maka massa R k secara hampiran adalah δ( x k, ȳ k )A(R k ), dan massa total lamina tersebut secara hampiran adalah m n δ( x k, ȳ k )A(R k ) k=1 Massa sebenarnya, m diperoleh dengan mengambil limit rumus di atas sebagai norma partisi mendekati nol, yang tentu saja merupakan sebuah integral lipat dua m = δ(x, y)da

5 Penerapan Integral Lipat-Dua Contoh 1: ebuah lamina dengan kerapatan δ(x, y) = xy dibatasi oleh sumbu x, garis x = 8, dan kurva y = x 2/3. Tentukan massa totalnya.

6 Penerapan Integral Lipat-Dua Penyelesaian: m = = 8 = 1 2 xy da = [ xy 2 2 ] x 2/3 8 [ ] x 1/3 x 2/3 dx = 1 2 = xy dy dx 8 x 7/3 dx = 153.6

7 Pusat Massa Penerapan Integral Lipat-Dua Pusat Massa Jika m 1, m 2,..., m n berturut-turut adalah kumpulan titik-titik massa yang masing-masing terletak di (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ), maka momen total terhadap sumbu y dan sumbu x dapat dinyatakan dengan M y = n x k m k M x = k=1 n y k m k Lebih lanjut, koordinat ( x, ȳ) dari pusat massa (titik keseimbangan) adalah k=1 x = M y m = n x k m k k=1 n m k k=1 ȳ = M x m = n y k m k k=1 n m k k=1

8 Pusat Massa ekarang perhatikan sebuah lamina dengan kerapatan berupa peubah δ(x, y) yang melingkupi daerah pada bidang xy. Buat partisi seperti pada gambar dan asumsikan sebagai sebuah hampiran bahwa suatu massa dari setiap R k terpusat di ( x k, ȳ k ), k = 1, 2,..., n. Gunakan limitnya sebagai suatu aturan pembagian partisi yang mendekati nol. Cara ini menghasilkan rumus umum, x = M y m = xδ(x, y)da δ(x, y)da ȳ = M x m = yδ(x, y)da δ(x, y)da

9 Pusat Massa Contoh 2: Tentukan pusat massa dari lamina pada Contoh 1. Penyelesaian: Pada Contoh 1, kita telah mendapatkan massa m dari lamina yaitu Momen M y dan M x yang mengacu pada sumbu y dan sumbu x adalah M y = = xδ(x, y)da = 8 x 1/3 dx = x 2/3 x 2 y dy dx =

10 Pusat Massa M x = = yδ(x, y)da = x 3 dx = x 2/3 xy 2 dy dx = Maka x = M y m = = 6.15 ȳ = M x m = 22 9 = 2.22

11 Momen Inersia Penerapan Integral Lipat-Dua Momen Inersia Dari pelajaran fisika kita pelajari bahwa energi kinetik, KE, dari sebuah partikel dengan massa m, dan kecepatan v, yang bergerak dalam sebuah garis lurus dirumuskan dengan KE = 1 2 mv 2 (1) Jika suatu partikel tidak bergerak dalam sebuah garis lurus tetapi berputar dalam sebuah sumbu dengan kecepatan sudut sebesar ω radian per satuan waktu, maka kecepatan linearnya adalah v = rω, di mana r adalah jari-jari dari lintasan perputarannya. Ketika kita mensubstitusikan ini ke dalam (1), maka kita akan memperoleh KE = 1 2 (r 2 m)ω 2

12 Momen Inersia uku r 2 m disebut momen inersia dari suatu partikel dan dilambangkan dengan I. Jadi, untuk sebuah partikel yang berputar KE = 1 2 I ω2 (2) Kita simpulkan dari (1) dan (2) bahwa momen inersia dari benda dalam gerak berputar memainkan peranan yang serupa dengan massa benda dengan gerak linear.

13 Momen Inersia Untuk sebuah sistem dengan n partikel pada suatu bidang dengan massa m 1, m 2,..., m n dan pada jarak-jarak r 1, r 2,..., r n dari garis L, maka momen inersia sistem terhadap L didefinisikan sebagai I = m 1 r m 2 r m n r 2 n = n m k rk 2 Dengan kata lain, kita melakukan penjumlahan momen inersia dari setiap partikel. k=1

14 Momen Inersia Misalkan sebuah lamina dengan kerapatan δ(x, y) yang melingkupi daerah pada bidang xy. Jika kita mempunyai partisi, membuat hampiran untuk momen inersia dari setiap bagian R k, menjumlahkan dan menentukan limitnya, maka akan diperoleh rumus-rumus berikut. Momen inersia (disebut juga momen kedua) dari suatu lamina terhadap sumbu x, sumbu y, dan sumbu z dinyatakan dengan I x = y 2 δ(x, y)da I y = x 2 δ(x, y)da I z = (x 2 + y 2 )δ(x, y)da = I x + I y

15 Momen Inersia Contoh 3: Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y, dan z dari lamina pada Contoh 1. Penyelesaian: I x = I y = xy 3 da = x 3 yda = 8 8 I z = I x + I y = x 2/3 x 2/3 xy 3 dy dx = 1 4 x 3 y dy dx = x 11/3 dx = x 13/3 dx =

16 Luas Permukaan Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan Pada materi ini, kita akan membahas mengenai luas permukaan yang didefinisikan dengan z = f (x, y) atas sebuah daerah spesifik. Andaikan G adalah permukaan atas sebuah daerah yang tertutup dan terbatas pada bidang xy. Asumsikan bahwa f mempunyai turunan-turunan parsial pertama kontinu f x dan f y. Kita akan mulai dengan membuat partisi P pada daerah dengan garis-garis sejajar dengan sumbu x dan sumbu y (Gambar kiri).

17 Luas Permukaan Misalkan R m, m = 1, 2,..., n, menyatakan persegi panjang-persegi panjang yang dihasilkan dan terletak sepenuhnya di dalam. Untuk setiap m, misalkan G m adalah bagian dari permukaan yang diproyeksikan ke R m, dan misalkan P m adalah suatu titik dari G m yang diproyeksikan ke sudut R m dengan koordinat x dan koordinat y yang terkecil. Misalkan T m menyatakan suatu jajaran genjang dari bidang singgung di P m yang diproyeksikan ke R m, seperti ditunjukkan pada Gambar kiri, dan perincian selanjutnya ditunjukkan pada Gambar kanan.

18 Luas Permukaan elanjutnya, kita mencari luas jajaran genjang T m yang proyeksinya adalah R m. Misalkan u m dan v m menyatakan vektor-vektor yang membentuk sisi-sisi T m. Maka, u m = x m i + f x (x m, y m ) x m k v m = y m j + f y (x m, y m ) y m k

19 Luas Permukaan Luas jajaran genjang T m adalah u m v m di mana i j k u m v m = x m f x (x m, y m ) x m y m f y (x m, y m ) y m = ( f x (x m, y m ) x m y m )i (f y (x m, y m ) x m y m )j + ( x m y m )k = x m y m [ f x (x m, y m )i f y (x m, y m )j + k] = A(R m )[ f x (x m, y m )i f y (x m, y m )j + k] Dengan demikian, luas T m adalah A(T m ) = u m v m = A(R m ) [f x (x m, y m )] 2 + [f y (x m, y m )] 2 + 1

20 Luas Permukaan Kemudian, jumlahkan luas dari bidang-bidang singgung jajaran genjang T m ini, m = 1, 2,..., n, dan ambil limitnya agar diperoleh luas permukaan G. A(G) = lim P m=1 = lim = P n A(T m ) [f x (x m, y m )] 2 + [f y (x m, y m )] 2 + 1A(R m ) [f x (x m, y m )] 2 + [f y (x m, y m )] 2 + 1dA ingkatnya, A(G) = f 2 x + f 2 y + 1dA

21 Luas Permukaan Gambar di atas dibuat seolah-olah daerah pada bidang xy adalah sebuah persegi panjang, tapi prakteknya tidak selalu demikian. Gambar berikut memperlihatkan apa yang terjadi ketika bukan merupakan sebuah persegi panjang.

22 Luas Permukaan Contoh 1: Jika adalah daerah persegi panjang pada bidang xy yang dibatasi oleh garis x =, x = 1, y =, dan y = 2, tentukan luas dari bagian permukaan silindris z = 4 x 2 yang diproyeksikan ke.

23 Luas Permukaan Penyelesaian: Misalkan f (x, y) = 4 x 2. Maka f x = x, f 4 x 2 y =, dan A(G) = = = 4 1 fx 2 + fy 2 + 1dA = 1 2 da = 4 x 2 2 x 2 4 x 2 + 1dA 2 dy dx 4 x 2 1 [ dx = 4 sin 1 x ] 1 = 2π 4 x 2 2 3

24 Luas Permukaan Contoh 2: Tentukan luas permukaan z = x 2 + y 2 di bawah bidang z = 9.

25 Luas Permukaan Penyelesaian: Bagian G (yang diarsir) dari permukaan tersebut diproyeksikan ke daerah melingkar di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 9. Misalkan f (x, y) = x 2 + y 2. Maka f x = 2x, f y = 2y, dan A(G) = 4x 2 + 4y 2 + 1dA

26 Luas Permukaan Bentuk menyarankan kita untuk menggunakan koordinat kutub. A(G) = = = 2π 3 2π 2π 1 8 4r 2 + 1r dr dθ [ ] (4r 2 + 1) 3/2 dθ 1 12 (373/2 1)dθ = π 6 (373/2 1)

27 Latihan Penerapan Integral Lipat-Dua Latihan 1. Tentukan massa m dan pusat massa ( x, ȳ) dari lamina yang dibatasi kurva-kurva berikut dengan kerapatan yang diberikan. a. x =, x = 4, y =, y = 3; δ(x, y) = y + 1 b. y = e x, y =, x =, x = 1; δ(x, y) = 2 x + y 2. Tunjukkan bahwa momen inersia dari sebuah lamina persegi panjang homogen dengan panjang sisi a dan b terhadap sumbu tegak lurus melalui pusat massanya adalah I = k 12 (a3 b + ab 3 ) Di sini k adalah konstanta kerapatan.

28 Latihan 3. ketsalah daerah-daerah berikut dan hitung luas permukaannya. a. Bagian dari permukaan z = 4 y 2 yang tepat berada di atas bujursangkar pada bidang xy dengan verteks-verteks (1, ), (2, ), (2, 1), dan (1, 1). b. Bagian dari permukaan z = 4 y 2 pada oktan pertama yang tepat berada di atas lingkaran x 2 + y 2 = 4 pada bidang xy. c. Bagian dari bola x 2 + y 2 + z 2 = a 2 di dalam silinder lingkaran x 2 + y 2 = ay (r = asinθ pada koordinat kutub), a >.

29 Pustaka Pustaka Purcell, E. J & D. Vanberg, Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga. piegel. M. & Wrede R.C. 22. Theory and Problem of Advanced Calculus. chaum Outline eries. New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, 23. Terjemahan, Kalkulus, Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, chaum s Outlines, 3 olved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.