MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

Transkripsi

1 MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1

2 Persamaan diferensial orde satu Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinamik antara variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran besaran yang berubah, dan karena itu persamaan persamaan diferensial sering muncul dalam persoalan - persoalan teknik. 2

3 Persamaan diferensial orde satu 3 Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapatd alam persamaan diferensial tersebut.

4 Persamaan diferensial orde satu 4 Setelah mempelajari persamaan diferensial orde satu maka diharapkan dapat : 1. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan bermacam macam metode. 2. Dapat menyelesaikan keadaan transien rangkaian RL atau rangkaian RC.

5 Pemecahan Persamaan Diferensial Orde Satu 5 Pemecahan Persamaan Diferensial Orde Satu : 1. Metode Integrasi Langsung. 2. Metode Pemisahan Variabel. 3. Metode Persamaan Homogen dengan Substitusi y = vt 4. Metode Faktor Integral Persamaan diferensial linear. 5. Metode Persamaan Bernoulli.

6 Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu 6 Rangkaian RL Contoh : Pada rangkaian Gambar 1 Switch S menutup pada t = 0, arus pada induktor pada saat switch menutup adalah nol. Tentukanalah arus yang mengalir pada induktor dan plotlah arus Vs waktu. Dik. E = 12 V, R = 1,2 ohm, L = 250mH.

7 1 Metode Penyelesaian PDB 1. Metode Integrasi Langsung

8 1. Metode Integrasi Langsung 8 Dalam bentuk : Contoh 1. dy dx 3x 2 2x

9 Tabel Integral 9 Basic Integrals with Exponentials

10 2 Metode Penyelesaian PDB 2. Metode Pemisahan Variabel

11 2. Metode Pemisahan Variabel 11 Persamaan dalam bentuk : F ( y) dy f ( t) dt Contoh 1. 2.

12 3 Metode Penyelesaian PDB 3. Metode Persamaan Homogen dengan Substitusi y = vx

13 3. Metode Persamaan Homogen dengan Substitusi y = vx 13 Jika : F ( y) dy f ( t) dt Metode Persamaan Homogen dengan Substitusi y = vx

14 3. Metode Persamaan Homogen dengan Substitusi y = vt 14 Jika suatu persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan antara faktor y disebelah kiri dan faktor t disebelah kanan maka dapat dilakukan dengan cara substitusi (y = vt). Kunci utama untuk menggunakan metode substitusi y = vt adalah persamaan diferensial tersebut haruslah homogen. Persamaan diferensial dikatakan homogen jika pangkat t dan pangkat y yang terlibat dalam masing masing suku sama derajatnya. Contoh 1. dy dt t 3 t y

15 4 Metode Penyelesaian PDB 4. Metode Faktor Integral Persamaan diferensial linear

16 16 4. Metode Faktor Integral Persamaan diferensial linear Persamaan diferensial yang berbentuk : dengan : P dan Q adalah fungsi atau Konstanta Faktor Integral Contoh 1. 1 dy x dx 4y 2 2. dengan x = 0 ; y = 4;

17 17 4. Metode Faktor Integral Persamaan diferensial linear

18 5 Metode Penyelesaian PDB 5. Metode Persamaan Bernoulli

19 5. Metode Persamaan Bernoulli 19 Ide dasar metode persamaan Bernoulli diambil dari metode Faktor Integrasi Dalam bentuk : Penyelesaian persamaan Bernoulli adalah dengan mengubahnya menjadi bentuk metode Faktor Integrasi yaitu

20 5. Metode Persamaan Bernoulli 20 Langkah : 1. Membagi kedua ruas persamaan Bernoulli dengan y n, sehingga menghasilkan : y dy dt Py n 1 n Q...(1) 2. Substitusi persamaan (1) dengan z = y 1-n sehingga dz dt 1 n y n dy dt 3. Persamaan (1) dikalikan dengan (1 n) sehingga persamaan (1) menjadi : dy dt n 1 n 1 n y 1 n Py 1 n Q

21 5. Metode Persamaan Bernoulli 21 Contoh: dikalikan dengan (1 n) = 1 Faktor Integral

22 22 LATIHAN

23 Latihan

24 24 TUGAS

25 25 Aplikasi Persamaan Diferensial Orde Satu

26 26 HOW??

27 Rangkaian Listrik 27 Prinsip dasar kelistrikan Potensial yang dihasilkan pada resistor adalah, E R = I.R Potensial yang dihasilkan pada induktor adalah, E L = L. di/dt Potensial yang dihasilkan pada kapasitor adalah, E C = Q/C,

28 Rangkaian Listrik 28 Rangkaian RL Seri Persamaan Umum

29 Rangkaian Listrik 29 Contoh Rangkaian RL Seri Pada rangkaian Gambar 1 Switch S menutup pada t = 0, arus pada induktor pada saat switch menutup adalah nol. Tentukanlah arus yang mengalir pada induktor dan plotlah arus Vs waktu. Dik. E = 12 V, R = 1,2 ohm, L = 250mH.

30 Rangkaian Listrik 30 Rangkaian RC Seri Persamaan Umum

31 Rangkaian Listrik 31 Contoh Rangkaian RC Seri Switch S pada gambar 7 menutup pada t = 0, keadaan awal kapasitor Vc = 0, tentukanlah tegangan pada kapasitor dan plotlah tegangan terhadap waktu. E = 12 volt, R = 2,2 ohm, C = 220 F.

32 32 TUGAS 2

33 Tugas Diketahui. E = 128 V, R = 4 ohm, L = 1 H. tentukan I, Jika pada saat I (t=0) =0 2. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 4te -8t 3. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 16 sin 8t (Tegangan berupa Sumber AC)

34 Tugas Diketahui. E = 30V, R = 100 ohm, C = 0,1 F. tentukan q dan I, Jika pada saat t=0 nilai q=0 5. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 20te -2t 6. Tentukan Seperti diatas, Jika E = 50 cos 2t (Tegangan berupa Sumber AC)

35 Tugas

36 Tugas

37 37 Penerapan Dalam Ekonomi Teknik

38 Penerapan Dalam Ekonomi Teknik 38 Contoh : Uang sejumlah 250 Juta didepositokan dengan bunga 18% tiap tahun dan bertambah secara kontinu. Berapa jumlah uang setelah setelah 22 tahun.

39 Referensi 39 Google Stroud, K.A., Matematika untuk Teknik. Jakarta: Penerbit Erlangga, Buku ajar matematika Teknik I Jurusan Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Diktat matematika Teknik I Jurusan Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Mataram

40