Probabilitas dan Statistika Distribusi Peluang Kontinyu 1. Adam Hendra Brata

Transkripsi

1 Probabilitas dan Statistika Distribusi Peluang Kontinyu 1 Adam Hendra Brata

2 Variabel Acak Kontinyu - Variabel Acak Kontinyu Suatu variabel yang memiliki nilai pecahan didalam range tertentu Distribusi variabel acak kontinu tidak dapat disusun dalam tabel yang menyatakan nilai probabilitas Nilai distribusi kontinu dinyatakan dalam bentuk fungsi matematis, dihitung menggunakan integral dan digambarkan dalam bentuk kurva

3 Distribusi Uniform Kontinyu - Distribusi Uniform Kontinyu Fungsi rapat probabilitas dari distribusi variabel random X yang bersifat uniform dan kontinu dalam interval [A,B] diberikan oleh : f(x) 1/(B-A) ì ï f (x; A, B) = í ï î 1 (B - A) A x B 0 lainnya A B x

4 Distribusi Uniform Kontinyu Distribusi Uniform Kontinyu - Mean Variansi A B 2 B 12 2 A 2

5 Distribusi Uniform Kontinyu Contoh 1 Sebuah ruang rapat di suatu perusahaan hanya bisa dipakai tak lebih dari 4 jam. Pemakaian ruang tersebut untuk rapat singkat maupun panjang sama seringnya. Bisa diasumsikan bahwa jika X menyatakan lamanya sebuah rapat di ruang tersebut. a. Bentuklah fungsi rapat probabilitasnya? b. Berapa probabilitasnya sebuah rapat di ruang tersebut akan berlangsung paling lama 3 jam? c. Berapakah lama rata-rata rapat di ruang tersebut?

6 Distribusi Uniform Kontinyu Contoh 1 a. Fungsi rapat probabilitas B = 4 dan A=0, maka (B-A) = 4 dan fungsi rapat probabilitasnya adalah: f(x) = ¼ untuk 0 x 4 dan f(x)=0 untuk x di luar itu b. Probabilitasnya sebuah rapat di ruang tersebut akan berlangsung paling lama 3 jam ( P(x<3) ) 3 1 P( x 3) f ( x;0,4) dx dx c. Rata - rata A B / 4

7 Distribusi Normal - Distribusi Uniform Kontinyu Pada tahun 1733 DeMoivre menemukan persamaan matematika kurva normal yang menjadi dasar banyak teori statistika induktif Distribusi Normal sering pula disebut Distribusi Gauss untuk menghormati Gauss ( ) Distribusi Probabilitas normal adalah distribusi probabilitas kontinu yang simetrik Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya Dua parameter yang menentukan suatu bentuk kurva normal adalah rata-rata dan standar deviasi

8 Distribusi Normal - Distribusi Normal Fungsi rapat probabilitas variabel random X dengan mean μ dan variansi σ 2 yang memiliki distribusi normal adalah : n( x;, ) 1 e X dapat bernilai - sampai +, dengan demikian nilai distribusi normal tak terbatas Dengan : x = nilai dari distribusi variabel μ = mean dari nilai-nilai distribusi variabel σ = standar deviasi dari nilai-nilai distribusi variabel Nilai = 3,14 Nilai e = 2,718 2 ( x) 2

9 Distribusi Normal Distribusi Normal -

10 Distribusi Normal - Contoh Distribusi Normal Contoh variabel random yang memiliki Distribusi Normal misalnya : Distribusi error dalam pengukuran Pengukuran dalam meteorologi Pengukuran curah hujan Sebagai pendekatan bagi distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik, dan lainnya

11 Distribusi Normal - Sifat Distribusi Normal Sifat-Sifat Distribusi Normal : Rata-ratanya (mean) μ dan standard deviasinya = σ Mode (maximum) terjadi di x = μ Bentuknya simetrik thd x = μ Titik belok tepat di x = μ±σ Kurva mendekati nol secara asimptotis semakin x jauh dari x = μ Total luasnya = 1 Bentuk kurva Distribusi Normal dipengaruhi oleh μ dan σ

12 Distribusi Normal Sifat Distribusi Normal -

13 Distribusi Normal - Luas Di Bawah Kurva dan Probabibilitas P(x 1 < x < x 2 ) = probabilitas variabel random x memiliki nilai antara x 1 dan x 2 P(x 1 < x < x 2 ) = luas di bawah kurva normal antara x = x 1 dan x = x 2 P( x x x2) 1 x 2 x 1 f ( x) dx

14 Distribusi Normal Luas Di Bawah Kurva dan Probabibilitas - P(x ) = 0,5 P(x) = 0,5 Sehingga Luas kurva normal : P( x ) f ( x) dx 1

15 Distribusi Normal Standar - Kurva Distribusi Normal Standar Dalam proses perhitungan distribusi normal, seringkali ditemukan nilai nilai yang susah untuk dihitung secara manual Maka dari itu diperlukan suatu standar yang menjadi acuan proses perhitungan tanpa merubah substansi nilai nilai yang dihitung dengan distribusi normal Transformasi Z memetakan distribusi normal menjadi distribusi normal standar, sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki mean = 0 dan standard deviasi = 1 z x

16 Distribusi Normal Standar - Kurva Distribusi Normal Standar Distribusi normal standar adalah distribusi normal dengan mean μ=0 dan standar deviasi σ=1 Transformasi Z memetakan distribusi normal menjadi distribusi normal standar, sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki mean = 0 dan standard deviasi = 1 Transformasi ini juga mempertahankan luas dibawah kurvanya, artinya : Luas dibawah kurva distribusi normal antara x 1 dan x 2 z 1 = (x 1 -μ)/σ = Luas dibawah kurva distribusi normal standar antara z 1 dan z 2 z 2 = (x 2 -μ)/σ

17 Distribusi Normal Standar Kurva Distribusi Normal Standar Dengan z 1 = (x 1 -μ)/σ dan z 2 = (x 2 -μ)/σ Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal standard kumulatif saja -

18 Distribusi Normal Standar Contoh 2 Pergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk menghitung luas daerah : a. Di sebelah kanan z = 1.84 b. Antara z = s/d z = 0.86 Ingat bahwa luas yang diberikan dalam tabel distribusi normal kumulatif adalah luas dari z= - s/d z 0 tertentu: P(z<z 0 ) a. Di sebelah kanan z = 1.84 P(z>1.84) = 1 P(z 1.84) = = b. Antara z = s/d z = 0.86 P(-1.97<z<0.86) = P(z<0.86) P(z<-1.97) = =

19 Distribusi Normal Standar Contoh 3 Sebuah perusahaan bolam (bola lampu) mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah bolam produksinya akan berumur antara 778 jam dan 834 jam! μ = 800 σ = 40, P(778 < x < 834) x 1 = 778 z 1 = (x 1 -μ)/σ = ( )/40 = x 2 = 834 z 2 = (x 2 -μ)/σ = ( )/40 = 0.85 P(778 < x < 834) = P(-0.55 < z < 0.85) = P(z < 0.85) - P(z<-0.55) = =

20 Tugas 9 Mengerjakan soal soal yang berada di lembar soal yang terdapat di link materi pendukung secara individu Cek adamhendrabrata.wordpress.com Mengerjakan soal soal tersebut dengan cara menghitung dan ditulis di kertas Dikumpulkan pada pertemuan berikutnya Kelas C : (Rabu minggu depan) Kelas D : (Kamis minggu depan)

21 Terimakasih dan Semoga Bermanfaat v^^