BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 21 Beberapa Pengertian Definisi 1 [Ruang Contoh] Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan (Grimmet dan Stirzaker,1992) Definisi 2 [Medan- ] Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari yang memenuhi kondisi, 1 2 jika 3 jika (Grimmet dan Stirzaker,1992) Definisi 3 [Peubah Acak] Misalkan F adalah medan- dari ruang contoh Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi dengan sifat untuk setiap (Grimmet dan Stirzaker,1992) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital (X, Y, Z), dan nilai peubah acak dituliskan dengan huruf kecil (x, y, z) Definisi 4 [Fungsi Kepekatan Peluang] Fungsi kepekatan peluang adalah limit dari peluang suatu individu mengalami kejadian pada interval pendek t ke per satuan panjang, dan dapat diekspresikan sebagai, (Cox dan Oakes, 1984)

2 4 Definisi 5 [Waktu Ketahanan] Waktu ketahanan adalah jangka waktu dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu peristiwa yang berupa kegagalan, kematian, respon, timbulnya gejala, dan lain-lain Definisi 6 [Analisis Ketahanan] Analisis ketahanan adalah suatu analisis statistika yang memperhatikan waktu bertahannya sesuatu, yang disebut sebagai waktu ketahanan (survival time) Definisi 7 [Fungsi Ketahanan (Survivor Function)] Fungsi ketahanan adalah fungsi yang menyatakan peluang suatu individu dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu t (mengalami kejadian sesudah waktu Misal T adalah peubah acak, maka fungsi ketahanan didefinisikan sebagai, S( = P(T Misalkan f fungsi kepekatan peluang, fungsi ketahanan merupakan komplemen dari fungsi kumulatif F dengan, S( = = P(T> = 1 P(T? = 1 F( (Collett,1994) Definisi 8 [Fungsi Hazard (The Hazard Function)] Fungsi hazard adalah fungsi yang menyatakan peluang suatu individu mengalami kejadian pada waktu t dengan syarat bahwa individu itu telah bertahan hingga waktu t, fungsinya diberikan sebagai berikut, (Cox dan Oakes, 1984) Definisi 9 [Metode Life Table] Metode Life Table adalah cara menganalisis data dengan mengelompokkan data dalam selang-selang yang panjangnya sama, dan selanjutnya data disusun dalam suatu tabel sebagai berikut

3 5 j 1 2 m Keterangan: Nilai awal selang - j : selang pengamatan, j = 1, 2,, m - d j : banyaknya kejadian pada setiap selang j - c j : banyaknya data yang tersensor pada setiap selang j - n j : banyaknya individu yang bertahan dan berisiko untuk mengalami kejadian - : rata-rata dari banyaknya individu yang berisiko tersensor - : peluang bertahan individu pada selang j - ( dan : penduga fungsi ketahanan dan penduga fungsi hazard Definisi 10 [Metode Kaplan-Meier] ( Pada dasarnya metode Kaplan-Meier hampir sama dengan metode Life Table Bedanya dalam metode Kaplan-Meier setiap selang memuat satu kejadian, kemudian data disusun dalam suatu tabel sebagai berikut ( Keterangan: - n j : banyaknya individu pada awal selang j - t : waktu - : panjang selang j - d j : banyaknya kejadian pada setiap selang j - c j : banyaknya data yang tersensor pada setiap selang j - : peluang bertahan individu pada selang j - ( dan : penduga fungsi ketahanan dan penduga fungsi hazard

4 6 Definisi 11 [Metode Hazard Proporsional] Metode hazard proporsional menggunakan asumsi bahwa hazard tiap kelompok individu bersifat proporsional, dan secara umum fungsi hazard untuk individu ke-i dapat dinyatakan dengan:, dengan = dengan: t = waktu hingga suatu kejadian tertentu terjadi = fungsi hazard dasar (baseline hazard function) = vektor koefisien peubah penjelas = peubah penjelas ke-j untuk individu ke-i (Cox dan Oakes,1984) Definisi 12 [Sebaran Weibull] Sebaran Weibull merupakan generalisasi dari sebaran eksponensial Sebaran Weibull dicirikan oleh adanya dua parameter yaitu? dan? Nilai? menunjukkan kemiringan kurva distribusi, sedangkan nilai? menunjukkan penskalaan Fungsi kepekatan peluang dari sebaran Weibull adalah Definisi 13 [Fungsi Likelihood] Misalkan adalah peubah acak yang saling bebas dari sebaran yang mempunyai fungsi kepekatan peluang dengan parameter dimana himpunan ruang parameter Fungsi likelihood adalah fungsi kepekatan peluang bersama yang merupakan fungsi dari yang dinotasikan dengan Penduga yang memaksimumkan fungsi likelihood dapat dicari dengan menentukan solusi dari persamaan (Hogg &Craig,1995)

5 7 Definisi 14 [Deret Taylor] Jika diberikan fungsi f, kontinu dan terturunkan sampai turunan ke n+1 Misalkan, untuk setiap terdapat yang terletak antara x dan sehingga Definisi 15 [Sifat Ragam] Bila X suatu peubah acak dan a konstanta, maka (Hogg &Craig,1995) (Hogg &Craig,1995) Definisi 16 [Ragam bagi Penduga Parameter] Ragam bagi penduga parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood didefinisikan sebagai berikut, Ketika nilai harapan dari turunan kedua sulit diperoleh, maka ragam dari diperoleh dari pendekatan dan standar error merupakan akar dari ragam, yaitu (Collett,1994) Definisi 17 [Interval Kelahiran Anak Pertama] Interval kelahiran anak pertama adalah selisih antara umur kelahiran anak pertama (L) dengan umur perkawinan pertama (K), yaitu Definisi 18 [Peubah Acak T] oleh Peubah acak T yang menyatakan interval kelahiran anak pertama dinyatakan dengan

6 8 P : umur pada saat pengamatan s : status data 1 : data lengkap, jika sampai dengan pengamatan telah terjadi kelahiran anak pertama 2 : data tersensor, jika sampai dengan pengamatan belum terjadi kelahiran anak pertama 22 Beberapa Teorema Teorema 1 Jika fungsi ketahanan S dengan peluang dari T adalah f dengan, maka fungsi kepekatan Bukti:, kedua ruas diturunkan terhadap t, Dengan teorema dasar kalkulus (TDK) didapat Teorema 2 Untuk T suatu peubah acak kontinu, maka dapat dibuktikan bahwa (Collett,1994) = d ln[s(], bukti:

7 9 = f( = = ds( 1 dt S( 1 ds( S( dt = d ln[s(] (Cox dan Oakes, 1984) Teorema 3 Sebaran Weibull dengan fungsi kepekatan peluang mempunyai fungsi ketahanan dan fungsi hazard Bukti: karena, maka Misal maka, sehingga =, dengan c suatu konstanta Jadi,