ESTIMASI PARAMETER AUTOREGRESSIVE DENGAN FUNGSI MARGINAL LIKELIHOOD

Transkripsi

1 ESTIMASI PARAMETER AUTOREGRESSIVE DEGA FUGSI MARGIAL LIKELIHOOD ILMIYATI SARI 356 UIVERSITAS IDOESIA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM DEPARTEME MATEMATIKA DEPOK 9 Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

2 ESTIMASI PARAMETER AUTOREGRESSIVE DEGA FUGSI MARGIAL LIKELIHOOD Skrs dajukan sebaga salah satu syarat untuk memeroleh gelar Sarjana Sans Oleh: ILMIYATI SARI 356 DEPOK 9 Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

3 SKRIPSI : ESTIMASI PARAMETER AUTOREGRESSIVE DEGA FUGSI MARGIAL LIKELIHOOD AMA : ILMIYATI SATI PM : 356 SKRIPSI II TELAH DIPERIKSA DA DISETUJUI DEPOK, 9 OVEMBER 9 Dra. IDA FITHRIAI, M. S. PEMBIMBIG I FEVI OVKAIZA, S. S., M. S. PEMBIMBIG II Tanggal lulus Ujan Sdang Sarjana: Desember 9 Penguj I : Dra. Ida Fthran, M. S. Penguj II : Dr. Yud Satra, M. T. Penguj III : Dra. Saskya Mary, M. S. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

4 KATA PEGATAR Alhamdulllah rabbl aalamn. Segala uj dan syukur hanya keada ALLAH SWT, Yang Maha Pengash, sehngga skrs n daat dselesakan dengan bak. Shalawat dan salam enuls samakan keada sur teladan kta, manusa basa dengan akhlak luar basa, Rasulullah SAW. Terselesakannya skrs n tdak terleas dar bantuan, bmbngan, dorongan, dan doa yang tulus dar banyak hak. Oleh karena tu, ada kesematan n, enuls ngn menyamakan ucaan terma kash yang sebesar-besarnya keada:. Ibu Ida Fthran selaku Pembmbng enuls yang telah meluangkan waktunya untuk memberkan bmbngan, saran, engarahan dan kemudahan lannya dengan sangat sabar sehngga skrs n daat dselesakan dengan bak.. Mba Fev ovkanza selaku Pembmbng yang juga telah meluangkan waktu dsela kesbukkan. Terma kash banyak atas saran dan engarahan yang mba berkan selama enulsan skrs n. 3. Orang tua enuls yang terus memberkan semangat, engorbanan, doa, dan banyak dukungan lannya selama n. 4. Kakak dan adk enuls yang telah banyak memberkan dukungan, bantuan, dan doanya. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

5 5. Keonakan enuls Dhea dan s kembar Sfa, Ss, dan Icha dengan celotehannya bsa menghburku d sela-sela keenatan. 6. Baak Suryad MT dan Ibu St urrohmah embmbng akadems yang telah memberkan nashat dan bmbngannya. 7. Seluruh dosen Deartemen Matematka atas segala lmu yang enuls eroleh selama menjad mahasswa Matematka UI. 8. Seluruh karyawan Deartemen Matematka yang telah banyak memberkan bantuannya. 9. Ka Av, ka Intan, Dest, urma, Ran, Rasa, akmal, Mrant, Yun, Temanteman seerjuangan enuls yang sama-sama berjuang untuk menyelesakan skrs ada semester n.. Dyant dan Fa, teta semangat ya... Allah ast unya rencana yang ndah untuk kalan. Aya dan karlna, semoga ceat menyusul enuls dan yun yach...!!!!. Teman-teman angkatan 5 lannya yang sama-sama berjuang untuk menyelesakan skrsnya seceatnya. 3. Teman-teman angkatan 4, 6, 7, dan Kaka-ku yang selalu memberkan suort yang sangat bermanfaat bag enuls dan kesedaannya dalam mendengarkan keluh kesah enuls. 5. Semua hak yang telah membantu enuls dengan dukungan dan doanya. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

6 Semoga skrs n daat berguna bag saa saja yang mengkajnya, serta daat dkembangkan dan dsemurnakan agar lebh bermanfaat untuk keentngan yang bak orang banyak. Deok, 3 ovember 9 Penuls Ilmyat Sar Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

7 ABSTRAK Estmas arameter model autoregressve daat deroleh dengan beberaa metode, salah satunya adalah metode Margnal Lkelhood. Untuk memeroleh fungs margnal lkelhood, roses autoregressve daat dnyatakan sebaga structural model (Fraser, 968). Dalam structural model, data runtun waktu stasoner dnyatakan sebaga kombnas lnear dar mean roses dan varabel error yang tdak terobservas. Dengan menggangga varabel error sebaga roses crcular dan noncrcular, deroleh sfat dstrbus dar varabel error yang tdak bergantung ada arameter oulas, sehngga data runtun waktu mengkut model Locaton-scale. Melalu model Locaton-Scale daat dbuktkan bahwa vektor data runtun waktu yang dstandarsas meruakan ancllary statstc. Ancllary statstc n menjad dasar untuk membangun fungs margnal lkelhood karena dstrbus dar ancllary statstc bebas dar arameter oulas. Kata kunc : estmas arameter autoregressve, fungs margnal lkelhood, struktural model, roses crcular dan noncrcular, ancllary statstc. x+5 hlm.;gbr,; lam. Bblograf: (955-5) v Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

8 DAFTAR ISI Halaman KATA PEGATAR... ABSTRAK DAFTAR ISI...v...v DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRA...v...x BAB I PEDAHULUA.... Latar Belakang.... Perumusan Masalah....3 Tujuan Penulsan Pembatasan Masalah Sstematka Penulsan...3 BAB II LADASA TEORI...5. Konse Dasar Matrks...5. Konse Dasar Runtun Waktu Runtun Waktu dan Proses Stokastk Fungs Mean, Fungs Autokovarans dan Fungs Autokorelas Kestasoneran Stasoner Kuat Stasoner Lemah...9 Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9. v

9 ..4 Proses Whte ose....3 Proses Autoregressve Proses AR () Proses AR () Proses AR () Proses Crcular Proses oncrcular....6 Dstrbus Margnal....7 Suffcent dan Ancllary Statstc Suffcent Statstc Ancllary Statstc Margnal Lkelhood...33 BAB III FUGSI MARGIAL LIKELIHOOD UTUK PROSES AR Structural Model Proses AR sebaga Structural Model Proses AR yang Crcular Proses AR yang oncrcular Fungs Margnal Lkelhood untuk AR () AR () sebaga Structural Model Fungs Margnal Lkelhood untuk AR () yang Crcular Fungs Margnal Lkelhood untuk AR () yang oncrcular Estmas Parameter Autoregressve dengan Fungs v Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

10 Margnal Lkelhood Estmas Parameter AR () yang Crcular Estmas Parameter AR () yang oncrcular BAB IV APLIKASI ESTIMASI PARAMETER AR () DEGA FUGSI MARGIAL LIKELIHOOD Pendahuluan Taksran Parameter AR () dengan Fungs Margnal Lkelhood untuk Data Annual Yeld of Gran Broadbalk Feld at Rothamsted BAB V PEUTUP Kesmulan Saran...67 DAFTAR PUSTAKA...68 v Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

11 DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman. Plot data Annual yeld of gran on Broadbalk feld at Rothamsted Plot ACF (Autocorrelaton Functon) data Annual yeld of gran on Broadbalk feld at Rothamsted Plot PACF (Partal Autocorrelaton Functon) data Annual yeld of gran on Broadbalk feld at Rothamsted v Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

12 DAFTAR LAMPIRA Lamran Halaman 4. Menunjukkan γ, = E( X X ) µ µ, untuk t, s =, ±, ±, t s t s t s 5. Menunjukkan Ω (matrks autokovarans), berukuran, dalam roses crcular daat dnyatakan sebaga ( ) ( ) ( ) Ω = σ { I + ρ ( W + W ) ρ ( W + W )} untuk ganjl dan Ω = σ { I + ρ ( W + W ) ρ ( W + W )} untuk gena W matrks ortogonal Menunjukkan W = I Menunjukkan Ω (Matrk Autokovarans), berukuran, dalam roses noncrcular daat dnyatakan sebaga Ω = σ { I + ρ ( U + U ) ρ ( U + U )} untuk semua...87 ' '( ) 9. Menunjukkan U =...9. Menunjukkan dstrbus dar d bebas dar arameter µ dan σ Menunjukkan σ Zt Memunya Sfat-Sfat Dstrbus yang Sama dengan a t...97 x Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

13 . Menunjukkan θ memaksmumkan ( ) L θ θ memaksmumkan lnl ( θ ) Data Annual yeld of gran on Broadbalk feld at Rothamsted Taksran Parameter AR () dengan Fungs Margnal Lkelhood Untuk Data Annual yeld of gran on Broadbalk feld at Rothamsted Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9. x

14 BAB I PEDAHULUA. LATAR BELAKAG Dalam berbaga eneltan serng kal deroleh data yang berhubungan dengan waktu, atau yang lebh dkenal dengan stlah runtun waktu. Runtun waktu adalah hmunan barsan engamatan yang terurut dengan waktu, dengan jarak nterval waktu yang sama ( Box Jenkns, 976). Jka barsan engamatan tersebut dcatat dalam waktu yang kontnu maka dsebut runtun waktu kontnu. Sedangkan jka barsan engamatan dcatat dalam waktu dskrt maka dsebut runtun waktu dskrt. Pada tahun 97, Box & Jenkns memerkenalkan model runtun waktu yang basa dgunakan untuk memodelkan runtun waktu yatu Autoregressve Movng Avarage (ARMA (,q)), dmana dan q berturut-turut adalah orde dar autoregressve dan movng avarage. Suatu roses runtun waktu agar daat dmodelkan dengan model ARMA, harus memenuh sfat stasoner, yatu fungs mean dan varansnya konstan terhada waktu, dan fungs autokovarans antara dua observas ada dua ttk waktu yang berbeda hanya bergantung ada selsh antara dua ttk waktu tersebut. Salah satu bentuk khusus dar model ARMA adalah autoregressve yang meruakan model ARMA dengan bagan movng avarage berorde. Model Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

15 autoregressve berdasarkan namanya adalah regres terhada drnya sendr (Jonathan D. Cryer, 986). Dalam suatu model autoregressve erlu dlakukan enaksran arameter yang terdaat dalam model autoregressve tersebut. Salah satu metode yang daat dgunakan untuk mengestmas arameter dalam model autoregressve adalah metode Margnal Lkelhood. Untuk memeroleh fungs margnal lkelhood dalam roses autoregressve, maka roses autoregressve daat dnyatakan sebaga struktural model (Fraser, 968). Berbeda dengan fungs lkelhood, fungs margnal lkelhood tdak lag mengandung arameter oulas yang ada umumnya tdak dketahu. Untuk membangun fungs margnal lkelhood, derlukan ancllary statstc yang dstrbusnya tdak bergantung ada arameter oulas.. PERUMUSA MASALAH Perumusan masalah tugas akhr n adalah: ) Bagamana mencar fungs margnal lkelhood untuk roses autoregressve. ) Bagamana menaksr arameter autoregressve dengan fungs margnal lkelhood. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

16 3.3 TUJUA PEULISA Tujuan enulsan tugas akhr n adalah: ) Mencar fungs margnal lkelhood untuk roses autoregressve. ) Mencar taksran untuk arameter autoregressve menggunakan fungs margnal lkelhood..4 PEMBATASA MASALAH Dalam mencar taksran arameter dalam roses autoregressve dengan fungs margnal lkelhood erlu dadakan embatasan masalah: ) Penaksran arameter untuk roses autoregressve orde. ) Error berdstrbus normal..5 SISTEMATIKA PEULISA Penulsan tugas akhr yang meruakan hasl stud ustaka n, dbag menjad lma bab, yatu: Bab I Membahas tentang latar belakang masalah, erumusan masalah, tujuan enulsan, embatasan masalah, dan sstematka enulsan. Bab II Membahas tentang dasar-dasar teor yang dgunakan dalam enulsan skrs, yatu konse dasar matrks, konse dasar runtun waktu, roses autoregressve, roses crcular, roses noncrcular, Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

17 4 dstrbus margnal, suffcent dan ancllary statstc, dan margnal lkelhood. Bab III Membahas bagamana mendaatkan fungs margnal lkelhood untuk roses autoregressve, dan bagamana menaksr arameter autoregressve dar fungs margnal lkelhood. Bab IV Alkas enaksran arameter model untuk roses autoregressve orde satu. Bab V Kesmulan dan Saran untuk tugas akhr n. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

18 5 BAB II LADASA TEORI Bab n akan membahas landasan teor yang menjad dasar estmas arameter autoregressve dengan fungs margnal lkelhood, yatu konse dasar matrks, dstrbus margnal, suffcent dan ancllary statstc serta fungs margnal lkelhood. Selan tu, untuk lebh mengenal roses autoregressve, dberkan ula konse dasar runtun waktu dan roses autoregressve yang telah dkenal secara umum.. KOSEP DASAR MATRIKS Dalam subbab n dberkan beberaa teorema dalam oeras dasar matrks yang akan dgunakan dalam tugas akhr n yang dambl dar buku Howard Anton, 994. Teorema.. Msalkan A adalah matrks berukuran M dan B adalah matrks berukuran P Q, dmana,m, P dan Q adalah blangan asl, maka a) (( A)') ' = A b) ' ' A + B = A + B dan ( )' = ' ' ( ) ' A B A B, dmana =P dan M=Q c) ( ka) ' = ka ', dmana k adalah sembarang skalar Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9. 5

19 6 d) ( AB)' = B ' A ', dmana M=P Selanjutnya dberkan defns dar mnor dan kofaktor yang akan dgunakan dalam mencar detemnan suatu matrks teorema mengena determnan suatu matrks. Defns.. Defns Mnor dan kofaktor dengan A dan beberaa Jka A adalah matrks erseg, maka mnor dar entr a j dnotaskan M j dan ddefnskan sebaga determnan dar submatrks yang berssa setelah bars ke- dan kolom ke-j dhlangkan dar A. Blangan ( ) + j M j dnotaskan dengan C j dan dsebut kofaktor dar entr a j. Teorema..3 Determnan dar matrks A daat dhtung dengan mengalkan entrentr dalam bars (atau kolom) dengan kofaktor mereka dan menambahkan hasl erkalannya, untuk seta dan j, dan det( A ) = a C + a C a C j j j j j j (erluasan kofaktor seanjang kolom ke-j) det( A ) = a C + a C ac (erluasan kofaktor seanjang bars ke-) Teorema..4 Msalkan A adalah matrks bujur sangkar. a) Jka A memunya bars atau kolom yang nol, maka det ( A )=. b) Det ( A ) = det ( A ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

20 7 Teorema..5 Jka A adalah matrks segtga berukuran (matrks segtga atas, bawah atau dagonal), maka det( A ) adalah erkalan entr-entr dagonalnya, yatu det ( A )= a a... a Teorema..6 skalar, maka Msalkan A dan B adalah matrks yang berukuran dan k adalah a) Det (k A )= k det( A ) b) det( AB )= det( A ) det( B ) Teorema..7 Jka A nvertble, maka det( A ) = det( A) Teorema..8 Jka A adalah matrks yang memunya nvers, maka A ' juga memunya nvers, dan A = A. ( ') ( )'. KOSEP DASAR RUTU WAKTU.. Runtun Waktu dan Proses Stokastk Runtun waktu adalah hmunan barsan engamatan yang terurut dengan waktu, dengan jarak nterval waktu yang sama (Box Jenkns, 976). Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

21 8 Jka barsan engamatan tersebut dcatat dalam waktu yang kontnu maka dsebut runtun waktu kontnu, dan jka barsan engamatan dcatat dalam waktu yang dskrt maka dsebut runtun waktu dskrt. otaskan X t sebaga observas ada waktu t. Untuk memodelkan ketdakastan dalam observas, asumskan bahwa untuk seta ttk waktu t, X t adalah varabel random. Runtun waktu yang akan danalss daat dandang sebaga realsas dar roses stokastk... Fungs Mean, Fungs Autokovarans dan Fungs Autokorelas Untuk roses stokastk { X t : t =, ±, ±,...}, fungs mean dnotaskan dengan µ t, yatu: µ = E( X ) untuk t =, ±, ±,... t t Fungs autokovarans antara X t dan X s, dnotaskan dengan γ t, s, yatu : γ t, s = Cov( Xt, Xs ) = E[( Xt µ t )( X s µ s )] = E( XtX s ) µ tµ s untuk t, s =, ±, ±,... (dtunjukkan dalam lamran ) Jka t = s maka γ t, s menjad varans X t, yatu : γ = Cov( X X ) = Var( X ) untuk t =, ±, ±,... t, t t, t t Fungs autokorelas antara X t dan X s, dnotaskan dengan ρ t, s, yatu ρ = Cov( X, X ) γ Corr( X, X ) = = untuk t dan s =, ±, ±,... t s t, s t, s t s / / ( Var( X t ). Var( X s )) ( γ t, t. γ s, s ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

22 9..3 Kestasoneran..3. Stasoner Kuat Proses stokastk { X t } bersfat stasoner kuat jka dstrbus bersama dar X, X,..., X sama dengan dstrbus bersama dar t t t n X X X,,...,, t k t k tn k yatu daat dtuls : Pr( X,,..., ) Pr(,,..., ) t X t X t = X n t k X t k X tn k Untuk seta ttk waktu t, t,..., t n dan lag k (Jonathan D. Crayer, 986)...3. Stasoner Lemah Proses stokastk { X t } bersfat statoner lemah jka :. Fungs mean konstan terhada waktu, yatu: Untuk seta t dan k. E( X ) = E( X ) = µ µ <, t tk. Fungs kovarans antara X t dan X t-k hanya bergantung ada selang waktu k, tdak bergantung ada t, yatu : Cov( X, X ) = Cov( X, X ) = γ γ < Untuk seta t, k, dan j. t tk t j tk j k k Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

23 Jka k= maka γ k menjad varans X t, yatu : Var( X ) = Cov( X, X ) = γ < t t t Sehngga jka {X t } stasoner lemah maka fungs autokorelas antara X t dan X t-k Cov( X, X ) γ γ ρk = Corr( X t, X tk ) = = = ( Var( X ). Var( X )) (. ) t t tk k k / / tk γ γ γ Untuk embahasan selanjutnya, kata stasoner saja berart stasoner lemah...4 Proses Whte ose Proses whte nose ddefnskan sebaga barsan varabel random {a t } yang ndeenden dan berdstrbus dentk. Proses whte nose bersfat stasoner kuat. Buktnya adalah sebaga berkut : Pr(a x,a x,...,a x ) = Pr(a x ).Pr(a x )...Pr(a x ) t t t n t t t n n n (karena ndeenden) = Pr(a x ).Pr(a x )...Pr(a x ) t k t k t k n n (karena berdstrbus dentk) = Pr(a x,a x,...,a x ) t k t k t k n n Karena berdstrbus dentk, roses whte nose memunya fungs mean konstan, yatu µ = E(a ) t =,,... t Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

24 Fungs autokovaransnya konstan : γ k = Var(a ) = σ jka k = t a = Cov(a,a ) = jka k t tk Sehngga fungs autokorelasnya, yatu : ρ =, jka k = k =, jka k Pada umumnya roses whte nose dasumskan berdstrbus normal dengan mean nol dan varans konstan σ a sehngga daat dtuls a t IID(, σ a )..3 PROSES AUTOREGRESSIVE Msalkan {X t } menotaskan runtun waktu yang terobservas, dengan E( X t ) = µ dan {a t } adalah roses whte nose yang berdstrbus IID (, σ ). Asumskan bahwa E( X ) = µ =, dan jka µ maka nla runtun waktu {X t } t masng-masng dkurang dengan µ, sehngga runtun waktu {X t - µ } memunya mean nol. Asumskan {X t } statoner dan a t ndeenden dengan X t-, X t-,.... Proses autoregressve, seert ada namanya, berart regres terhada drnya sendr. Runtun waktu {X t } mengkut roses autoregressve orde ke- aabla memenuh ersamaan berkut n : X t + αx t + αx t α X t = at (.) atau a Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

25 X t = φ X t + φ X t φ X t + at dmana φ = α untuk =,,..., Jad ada roses n, nla runtun waktu saat n dreresentaskan sebaga kombnas lnear dar drnya sendr sama satuan waktu kebelakang, kemudan dtambah satu suku whte nose a t..3. Proses Autoregressve Orde Pertama Runtun waktu {X t } mengkut roses autoregressve orde ertama, atau AR (), aabla memenuh ersamaan berkut : X t αx t at + = Fungs autokovarans roses AR () ddaatkan dengan mengalkan kedua ss ersamaan X + αx = a dengan X t-k, lalu t t t mengeksektaskannya, yatu : E( X X + α X X ) = E(a X ) t tk t tk t tk E( X X ) + α E( X X ) = E( a X ), k (.) t tk t tk t tk Karena a t ndeenden dengan X t-k, k, maka E(a t X t-k ) =. Lalu untuk roses yang stasoner maka daat dtuls E(X t X t-k ) = γ k dan E(X t- X t-k )= γ k. Sehngga (.) menjad : γ, k = αγ k k (.) Untuk k =, akan deroleh varans dar AR(). Dengan mengambl varans ada kedua ss X + αx = a ddaatkan t t t Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

26 3 Var ( X ) + Var( α X ) + Cov( X, α X ) = Var(a ) t t t t t Var ( X ) + α Var( X ) + α Cov( X, X ) = Var(a ) t t t t t Karena dasumskan rosesnya stasoner, maka Var (X t ) = Var(X t- ) = γ dan Cov( X t, X t )= γ. Sehngga varans roses AR() yatu : γ + α γ + α γ = + σ a γ ( + α ) = σ α γ a γ σ α γ a = + α Dengan mensubsttuskan ersamaan (.) maka deroleh γ a = + α a a a = α σ α ( α γ ) γ ( + α ) = σ + α γ γ ( + α α ) = σ γ σ Karena γ adalah varans maka konds stasoner untuk AR(). α > atau α <. Hal n meruakan Dengan mensubsttuskan varans dar AR() atau γ ke dalam ersamaan (.) maka ddaatkan k k σ γ k = ( ) α α a,k (.3) Dengan membag kedua ss ersamaan (.) dengan γ, ddaatkan fungs autokorelas roses AR(), yatu : ρ =, k k α ρk Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

27 4 Atau dar (.3), k σ ( ) α γ k ρk = = = γ σ k a α a α ( ) k α, k (.4) k.3. Proses Autoregressve Orde Dua Runtun waktu {X t } mengkut roses autoregressve orde kedua, atau AR (), aabla memenuh ersamaan berkut : X + X + X = (.5) t α t α t at Jka kedua ss ersamaan (.5) dkalkan dengan X t-k lalu deksektaskan maka ddaatkan fungs autokovarans roses AR(), yatu : X X + α X X + α X X = a X t tk t tk t tk t tk ( + α + α ) = ( a ) E X X X X X X E X t tk t tk t tk t tk ( ) α ( ) α ( ) ( ) E X tx t k + E X t X t k + E X t X t k = E a tx t k, k (.6) Karena a t ndeenden dengan X t-k, k, maka E(a t X t-k ) =. Lalu untuk roses yang stasoner maka daat dtuls E(X t X t-k ) = γ k, E(X t- X t-k )= γ k dan E(X t- X t-k )= γ k. Sehngga (.6) menjad : γ = α γ α γ, k (.7) k k k Untuk k =, γ = α γ α γ = α γ α γ α γ = α + α, karena γ γ = Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

28 5 Untuk k =, γ = α γ α γ α γ = α α γ + α ( ) γ α α α = + α Dengan mengambl varans ada kedua ss ersamaan (.5) ddaatkan : Var( X + α X + α X ) = Var(a ) t t t t Var( X ) + Var( α X ) + Var( α X ) + t t t Cov( X, α X ) + Cov( X, α X ) + Cov( α X, α X ) = Var(a ) t t t t t t t Var( X ) + α Var( X ) + α Var( X ) + t t t α Cov( X, X ) + α Cov( X, X ) + α α Cov( X, X ) Var(a t ) t t t t t t = Karena dasumskan stasoner maka Var(X t ) = Var (X t- ) = Var (X t- ) = γ, Cov (X t,x t- )= Cov(X t-,x t- )= γ, Cov(X t,x t- )= γ, dan Sehngga varans roses AR () yatu : γ ( + α + α ) + α γ + α γ + α α γ = σ a ( )( ) ( + α ) ( ) α γ γ α α α α γ γ α α α α α α σ ( + + ) = a + α + α + α γ + α + α + α α γ α γ α γ 3 = σ a + α 3 γ ( α α + α + αα α ) = σ + α σ γ = + α α α α α α γ = a 3 + ( + α ) ( ) ( ) σ a a ( )( ( )) α α α + α + α Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

29 6 karena γ adalah varans maka : γ + α α ( ( α α ))( + ( α + α )) = > Solusnya adalah syarat kestasoneran untuk AR(), yatu : α <, α α <, α + α < (.8) Dengan membag kedua ss ersamaan (.7) dengan γ, ddaatkan fungs autokorelas roses AR (), yatu : ρ = α ρ α ρ, k =,,... (.9) k k k Jad ρ k, k =,3,..., daat dcar secara rekursf dar (.9) dengan nla awal α ρ = dan ρ =. la n akan menurun secara eksonensal untuk + α nla k yang semakn besar. Persamaan (.7) dan (.9) dsebut ersamaan Yule-Walker..3.3 Proses Autoregressve Orde ke- Runtun waktu {X t } mengkut roses autoregressve umum orde ke-, atau AR (), aabla memenuh ersamaan berkut : X t + αx t + αx t α X t = at (.) Dengan mengalkan kedua ss ersamaan (.) dengan X t-k lalu deksektaskan maka ddaatkan fungs autokovarans untuk AR (), yatu : Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

30 7 X X + α X X + α X X α X X = a X t tk t tk t tk t tk t tk ( t tk + α t tk + α t tk α t tk ) = ( at tk ) ( t tk ) + α ( t tk ) + α ( t tk ) α ( t tk ) = E X X X X X X X X E X E X X E X X E X X E X X ( ) E X X = α E( X X ) α E( X X )... α E( X ) t tk t tk t tk t X t k γ = α γ α γ α γ (.) k k k... k Kalkan ersamaan (.) dengan X t lalu deksektaskan, ddaatkan : X X + α X X + α X X α X X = a X t t t t t t t t t t E( X X + α X X + α X X α X X ) = E(a X ) t t t t t t t t t t E( X X ) + α E( X X ) + α E( X X ) α E( X X ) = E(a X ) t t t t t t t t t t E( X, X ) = α E( X, X ) α E( X, X )... α E( X, X ) + E(a X ) t t t t t t t t t t γ = α γ α γ... α γ + E( a X ) t t Karena E(a t X t ) = E ( at ( φ X t + φ X t φ X t + at )) = E ( a t ) = σ a, maka varans roses AR (), yatu : γ = α γ α γ α γ + σ a... Dengan membag ersamaan (.) dengan γ, ddaatkan fungs autokorelas roses AR (), yatu : ρ = α ρ α ρ α ρ (.) k k k... k Persamaan (.) dsebut ersamaan Yule-walker. la n akan menurun secara eksonensal untuk nla k yang semakn besar. Untuk X t dengan mean tdak nol (E(X t ) = µ ), model AR () daat dtuls : ( X µ ) + α ( X µ ) + α ( X µ ) α ( X µ ) = a t t t t t X = µ α X + α µ φ X + α µ +... α X + α µ = a t t t t t X = θ α X α X... α X + a t t t t t Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

31 8 dengan θ = µ ( + φ + φ φ ). Penambahan θ ada ruas kanan tdak memengaruh varans dan fungs autokovarans. Buktnya adalah sebaga berkut : X = θ α X α X... α X + a t t t t t E( X X ) = E( θ X α X X α X X... α X X + a X ) t t t t t t t t t t t E X E X E X X E X X E X X E X ( t ) = θ ( t ) α ( t t ) α ( t t )... α ( t t ) + (a t t ) E X = E X X E X X α E( X X ) + E(a X ) ( t ) µ ( α α... α ) µ α ( t t ) α ( t t )... t t t t E( X ) = µ + α µ + α µ α µ α E( X X ) α E( X X )... α E( X X ) + E(a X ) t t t t t t t t t E( X tx t ) µ = α E( X tx t ) µ α E( X tx t ) µ... α E( X t X t ) µ + E(a tx t ) γ = α γ α γ α γ + σ... Untuk membuktkan bahwa fungs autokovarans tdak berubah dengan enambahan θ ada ruas kanan daat dlakukan dengan cara yang sama seert membuktkan bahwa varans tdak berubah dengan enambahan θ..4 PROSES CIRCULAR Defns Vektor dar varabel random dberkan dengan X ' = { X, X,..., X}, dsebut roses crcular jka memunya sfat-sfat dstrbus seert dbawah n:. E ( X) =. E( X ) = σ s =,,..., s Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

32 9 3. E( X s X s+ L ) = σ ρl s =,,..., dmana ρ = ρ = ρ + L L L barsan dar nla ρ, ρ,..., ρ adalah barsan autokorelas dar roses. 4. E ρ ρ ρ3... ρ ρ ρ ρ ρ... ρ ρ = = Ω ρ ρ ρ3 ρ4... ρ 3 ( XX ') σ ρ ρ ρ... ρ4 ρ3 dmana Ωadalah matrks autokovarans yang berukuran (J. Wse, 955). Berdasarkan defns datas, roses crcular daat dsmulkan meruakan roses yang statoner berdasarkan sub..3.. Matrks autokovarans, Ω, daat dnyatakan dalam bentuk dbawah n: ( ) ( ) - ( ) Ω = σ { I + ρ ( W + W ) + ρ ( W + W ) ρ ( W + W )}, dmana blangan ganjl ostf, atau Ω = σ { I + ρ ( W + W ) + ρ ( W + W ) ρ ( W + W )}, - dmana blangan gena ostf (dtunjukkan dalam lamran ). Untuk semua nla, I menotaskan matrks denttas berukuran dan W adalah crculant defnton of auxlary dentty matrx berukuran, dmana Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

33 W =... Sfat-sfat dar W, yatu :.. ' W = W (dtunjukkan dalam lamran 3). W = I (dtunjukkan dalam lamran 4)..5 PROSES OCIRCULAR Defns Vektor dar varabel random dberkan dengan X ' = { X, X,..., X}, dsebut roses noncrcular jka memunya sfat-sfat dstrbus seert dbawah n:. E ( X) =. 3. E( X ) = σ s =,,..., s E( X X ) = σ ρ s,t =,,...,, s t s t s t barsan dar nla ρ, ρ,..., ρ adalah barsan autokorelas dar roses. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

34 4. E ρ ρ ρ3... ρ ρ ρ ρ ρ... ρ ρ = = Ω ρ ρ ρ 3 ρ 4... ρ 3 ( XX ') σ ρ ρ ρ... ρ 4 ρ 3 dmana Ωadalah matrks autokovarans yang berukuran (J. Wse, 955). Berdasarkan defns datas, daat dsmulkan roses noncrcular adalah roses yang stasoner berdasarkan..3.. Matrks autokovarans, Ω, daat dnyatakan dalam bentuk dbawah n: Ω = σ { I + ρ ( U + U ) + ρ ( U + U ) ρ ( U + U )}, ' ' '( ) Untuk sembarang, dmana blangan asl (dtunjukkan dalam lamran 5). Untuk semua nla, I adalah matrks denttas berukuran dan U adalah noncrculant defnton of auxlary dentty matrx berukuran, dmana Sfat dar matrks U adalah U =... U = berukuran (dtunjukkan dalam lamran 6)., dmana adalah matrks nol Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

35 .6 DISTRIBUSI MARGIAL Defns Jka X dan Y adalah varabel random kontnu dan f(x,y) adalah df bersama dar X dan Y, maka = untuk < x g( x) f ( x, y) dy adalah df margnal dar X, dan = untuk < y h( y) f ( x, y) dx adalah df margnal dar Y (J. E. Freund, 99). Defns datas daat derluas untuk varabel random X, X,..., X. Jka df bersama dar varabel random kontnu X, X,..., X adalah < < f ( x, x,..., x ), maka df margnal dar X adalah h( x )... f ( x, x,..., x ) dx dx... dx = 3 untuk < x Pdf margnal dar X dan X adalah < = untuk x dan x ϕ( x, x )... f ( x, x,..., x ) dx dx... dx 3 < < < < Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

36 3.7 SUFFICIET DA ACILLARY STATISTIC Msalkan X, X,..., X adalah samel random berukuran dar varabel random X, dmana X memlk dstrbus tertentu. Jka sembarang fungs Y = u( X, X,..., X ) adalah fungs dar samel random X yang tdak bergantung ada arameter maka fungs Y = u( X, X,..., X ) dsebut dengan statstk (Robert V. Hogg, Joseh W. Mckean, dan Allen T. Crag, 5). Contoh, varabel random Y = X adalah statstk. = Walauun statstk tdak bergantung ada arameter, namun dstrbusnya bsa saja mash bergantung ada arameter. Statstk yang dstrbusnya bergantung ada arameter dsebut suffcent statstc. Suffcent statstc mengandung semua nformas mengena arameter, namun ada statstk lan yang kelhatannya tdak memuat nformas mengena arameter karena dstrbusnya bebas dar arameter, statstk n dsebut ancllary statstc. Berkut n, dberkan enjelasan lebh lanjut mengena suffcent dan ancllary statstc. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

37 4.7. Suffcent Statstc Berkut n defns dar suffcent statstc: Msal X,X,...,X menyatakan suatu samel random berukuran dar suatu dstrbus yang memunya df f ( x; θ ), θ Ω. Msal Y = u( X, X,..., X ) adalah suatu statstk yang df-nya adalah g( y; θ ). Maka Y adalah suffcent statstc untuk θ jka dan hanya jka Dmana ( ) ( ; θ ) ( ; θ )... ( ; θ ) g u ( x, x,..., x ); θ f x f x f x (,,..., x ) = H x x H x, x,..., x tdak bergantung ada θ Ω (Robert V. Hogg, Joseh W. Mckean, dan Allen T. Crag, 5). Defns daat derluas untuk kasus dmana X, X,..., X tdak salng bebas dan tdak berdstrbus dentk, yatu dengan ersamaan berkut: f ( x, x,..., x ; θ ) H ( x, x,..., x ) g ( u ( x, x,..., x ); θ ) = dmana f ( x, x,..., x ) adalah df bersama dar X, X,..., X dan H ( x, x,..., x ) tdak bergantung ada θ Ω. Berdasarkan defns datas, jka Y = u ( X, X,..., X ) adalah Suffcent statstc, robabltas bersyarat dar X, X,..., X tdak tergantung ada θ. Secara ntus, jka dtentukan Y = y, dstrbus dar statstk lan, msalnya Y = u ( X, X,..., X ), tdak bergantung ada arameter θ karena dstrbus Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

38 5 bersyarat dar X, X,..., X tdak bergantung ada θ. Jad, Y mengambl semua nformas dar θ yang terkandung dalam samel..7. Ancllary statstc Ada statstk lan yang hamr kelhatannya berlawanan dengan suffcent statstc. Jka suffcent statstc mengandung semua nformas mengena arameter, statstk yang lan n, dsebut ancllary statstc, memunya dstrbus yang bebas dar arameter dan kelhatannya tdak mengandung nformas mengena arameter tu. Untuk lustras, varans dar samel random yang berdstrbus ( θ,) memunya dstrbus yang S X tdak bergantung ada θ. Contoh lan, raso Z = X + X, dmana X, X adalah samel random dar dstrbus gamma dengan arameter α > dketahu dan arameter β = θ tdak dketahu, karena Z memunya dstrbus beta yang bebas dar arameter θ, maka Z adalah ancllary statstc (Robert V. Hogg, Joseh W. Mckean, dan Allen T. Crag, 5). Untuk menentukan aakah statstk adalah ancllary statstc, harus dbuktkan bahwa dstrbus dar statstk tersebut bebas dar arameter oulas yang tdak dketahu. Robert V. Hogg, Joseh W. Mckean, dan Allen T. Crag, (5), memberkan beberaa aturan sehngga daat lebh mudah menemukan ancllary statstc untuk model tertentu, yatu: Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

39 6. Model Locaton jka Samel random berukuran, X, X,..., X, mengkut Model locaton X = θ + W =,,..., (.3) dmana < θ < dan W, W,..., W adalah varabel random dengan df f ( W ) yang tdak bergantung ada θ dan cdf kontnu F ( W ). Dengan endefnsan seert n, maka θ adalah locaton arameter. Dar ersamaan (.3), w = x θ, =,,...,, maka df dar X adalah dx g( x; θ ) = f ( w ) dw = f ( x θ ). = f ( x θ ) =,,..., Msalkan v = u( x, x,..., x ) adalah statstk sedemkan sehngga ( ) u x + c, x + c,..., x + c = u( x, x,..., x ) untuk semua blangan real c. Oleh karena tu, v = u( W + θ, W + θ,..., W + θ ) = u( W, W,..., W ) adalah fungs dar W, W,..., W yang tdak tergantung ada θ. Oleh sebab tu, v memunya dstrbus yang tdak bergantung ada θ. Statstk v = u( x, x,..., x ) dsebut juga locaton-nvarant statstc. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

40 7. Model Scale Msalkan varabel random X, X,..., X mengkut model scale, bentuk modelnya yatu: Dmana θ >, dan,,..., X = θw =,,..., (.4) W W W adalah varabel dengan df ( ) f W yang tdak bergantung ada θ dan cdf kontnu F ( W ). Dengan endefnsan seert n, maka θ adalah scale arameter. Dar ersamaan (.4), w x θ =, =,,...,, maka df dar X adalah dx g( x; θ ) = f ( w ) dw x = f ( ). θ θ x = f =,,..., θ θ Msalkan v = u( x, x,..., x ) adalah statstk sedemkan sehngga ( ) untuk semua blangan real c>. Maka u cx, cx,..., cx = u( x, x,..., x ) v = u( X, X,..., X ) = u( θw, θw,..., θw ) = u( W, W,..., W ) adalah fungs dar W, W,..., W yang tdak tergantung ada θ. Oleh sebab tu, v memunya dstrbus yang tdak bergantung ada θ. Statstk v = u( x, x,..., x ) dsebut juga scale-nvarant statstc. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

41 8 3. Model Locaton-Scale Msalkan varabel random X, X,..., X mengkut model Locatonscale, bentuk modelnya yatu: X = θ + θw =,,..., (.5) Dmana < θ <, θ >, dan W, W,..., W adalah varabel random dengan df f ( W ) yang tdak bergantung ada θ dan θ. Dengan endefnsan seert n, maka θ adalah Locaton arameter dan θ adalah scale arameter. adalah x θ Dar ersamaan (.5), w =, =,,...,, maka df dar X θ dx g( x; θ ) = f ( w ) dw x θ f. = θ θ x θ = = θ θ f,,..., Msalkan v = u( x, x,..., x ) adalah statstk sedemkan sehngga ( ) u cx + d, cx + d,..., cx + d = u( x, x,..., x ) untuk semua blangan real d dan c>. Maka v = u( X, X,..., X ) = u( θ + θ W,..., θ + θ W ) = u( W, W,..., W ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

42 9 adalah fungs dar W, W,..., W yang tdak tergantung ada θ dan θ. Oleh sebab tu, v memunya dstrbus yang tdak bergantung ada θ dan θ. Statstk v = u( x, x,..., x ) dsebut juga locaton-scale-nvarant statstc. Berkut n, dberkan contoh dar enggunaan model Locaton-Scale untuk membuktkan suatu statstk adalah ancllary statstc. Msalkan terdaat varabel random X, X,..., X, daat dnyatakan sebaga: X = µ + σ e =,,..., dmana e memunya dstrbus tertentu yang tdak bergantung ada µ dan { } σ. Akan dbuktkan { } ( ) d = d = x x / s,=,,...,, dmana x = x x / = sx = x x /( ) adalah ancllary statstc. dan ( ) Bukt: = Karena varabel random X, X,..., X mengkut model locaton-scale { } d = d = x x / s,=,,..., dsebut ancllary statstc jka untuk maka { } ( ) x sembarang blangan real d dan c> berlaku ( ) u cx + d, cx + d,..., cx + d = u( x, x,..., x ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

43 3 Untuk sembarang blangan real d dan c>, ( ),,..., d u cx d cx d cx d cx d cx d cx d cx d = = = = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).... (,,..., ) x c x d c x d d c x c x d d c x x x c x c x x c x x c x x c x x x x s u x x x = = = = = = = = + = + = = = = = Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

44 3 sehngga d = u ( x, x,..., x ) = u( µ + σ e,..., µ + σe ) = u( e, e,..., e ) adalah fungs dar e, e,..., e yang tdak tergantung ada µ dan σ. Oleh sebab tu, d memunya dstrbus yang tdak bergantung ada µ dan σ. Jad { } { } ( ) d = d = x x / s,=,,...,, adalah ancllary statstc. x Berkut n dberkan alternatf lan untuk membuktkan bahwa { } { } ( ) d = d = x x / s,=,,..., adalah ancllary statstc. x { } { } ( ) d = d = x x / s,=,,..., adalah ancllary statstc jka dstrbus dar d x tdak bergantung ada µ dan σ. Oleh karena tu, akan dbuktkan bahwa dstrbus dar d tdak bergantung ada µ dan σ. Bukt: Transformas d = x s x x =,,..., x x Invers dar transformas, d =,=,,...,, yatu s x x = d s + x x µ + σ e = d s + x x jad e ds = x + x µ σ untuk =,,..., Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

45 3 Pdf dar x, sx, d (,, ;, ) ( (,, ),..., (,, );, x µ σ = x x µ σ ) f x s d J f v x s d v x s d e e e e e... x s d d d x e e e e e... x s d d d x J = e e e e e =... x s d d d x e e e e e... x s d d d x e e e e e... x s d d d x d sx... d sx... = σ d... sx d... d... = σ d s... d s... d... d x ( d d ) x x 3 x σ s x... d... d s... x d s... s x s d = = σ d... s d d... d... sx = σ x d sx... σ σ σ d sx... σ σ σ d sx... σ σ σ d σ σ... d σ σ... teorema..6 a Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

46 33 Jad (,, ;, ) ( (,, ),..., (,, );, x µ σ = x x µ σ ) f x s d J f v x s d v x s d ( ) sx d d d sx + x µ d sx + x µ = f,..., σ σ σ (.6) Integras terhada x dan s x mengelmnas µ dan σ (dtunjukkan dalam lamran 7). In menunjukkan dstrbus margnal dar d bebas dar arameter µ dan σ. Sehngga terbukt bahwa d adalah ancllary statstc..8 Margnal Lkelhood Msalkan varabel random X = { x }, =,,,, dengan df f ( x; θ ) dan θ=(µ,σ) adalah vektor arameter yang tdak dketahu, maka fungs lkelhood adalah sebaga berkut L( µ, σ ; X ) = f ( X ; µ, σ ) Menurut Srott D.A (), jka statstk d = { d }, =,,...,, meruakan ancllary statstc untuk µ, maka fungs margnal lkelhood untuk σ, L ( σ ; d), adalah m L( µ, σ ; X ) = f ( X ; µ, σ ) = f ( d, σ ) f ( X ; µ, σ d) = L ( σ ; d) L ( µ, σ ; X ) dmana factor L ( µ, σ ; X ) mengandung nformas yang tdak berart res mengena σ ketka µ tdak dketahu. m res Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

47 34 BAB III Fungs Margnal Lkelhood untuk Proses AR 3. Structural Model Msalkan varabel reson X dhaslkan dar suatu roses yang stabl. Varas dalam varabel reson basanya dakbatkan oleh: varas dalam alat yang dgunakan, varas dalam konds roses, dan varas dalam oeras dar roses. Sumber-sumber varas n membentuk error dar roses yang meruakan varabel random yang membutuhkan ukuran scale. Msalkan x adalah reson ke-, dan v, v,..., v r adalah constructed varabel yang bersesuaan dengan reson ke-. Dan msalkan σ adalah scalng reson dar varabel error dan β, β,..., β r adalah kontrbus yang dberkan oleh constructed varabel terhada varabel reson. Fraser (967) memerkenalkan structural model. Structural model adalah varabel reson dar suatu roses yang stabl daat dnyatakan sebaga kombnas lnear dar constructed varabel dan varabel error, dan daat dtuls sebaga: x = β v β v + σ e r r x = β v β v + σ e r r x = β v β v + σ e r r (3.) 34 Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

48 35 3. Proses Autoregressve sebaga Structural Model Pada umumnya, bentuk umum roses autoregressve orde telah dnyatakan dalam ersamaan (.) sebaga k= dmana { X : t,,..., } t α ( X µ ) = a ( α = ) k tk t = adalah data runtun waktu yang stasoner, a t adalah whte nose, a t IID(, σ ), α = ( α,..., α )' adalah arameter autoregressve dan µ adalah mean roses. Msalkan terdaat varabel random Z t yang memunya mean nol, varans dan ndeendent, maka σ Zt akan memunya mean nol dan varans σ sama halnya dengan a t (dtunjukkan dalam lamran 8), sehngga ersamaan (.) daat dtuls sebaga: α k ( X tk µ ) = σ Zt ( α = ) (3.) k= Untuk ukuran samel, data runtun waktu yang stasoner { X ; t =,,..., }, daat dnyatakan sebaga structural model, yatu: t X = µ + σe (3.3) dmana X = (,,..., )', ' = (,,...,) dan = ( ) X X X e e, e,..., e ' adalah vektor varabel error yang tdak terobservas yang dbatas ada embatasan masalah berdstrbus normal. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

49 36 sebaga: Berdasarkan ersamaan (3.3), maka ersamaan (3.) daat dtuls k = α ( X µ ) = σ Z ( α = ) k tk t α ( X µ ) + α ( X µ ) α ( X µ ) = σ Z t t t t α ( µ + σ e µ ) + α ( µ + σ e µ ) α ( µ + σ e µ ) = σ Z t t t t σ ( α e + α e α e ) = σ Z t t t t α e + α e α e = Z t t t t αset s = Zt ( α = ) (3.4) s= Persamaan (3.3) dan (3.4) adalah roses autoregressve sebaga structural model. 3.. Proses Autoregressve yang Crcular Dengan memandang e sebaga roses autoregressve yang crcular, maka ersamaan (3.4) untuk observas daat dtuls sebaga: e + α e + α e α e = Z e + α e + α e α e = Z 3 e + α e + α e α e = Z 3 4 e + α e + α e α e = Z + e + α e + α e α e = Z (3.5) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

50 37 Dengan menggunakan notas matrks, ersamaan (3.5) dnyatakan sebaga:... α... α α... e Z... α α... e Z e Z = α α e Z... α... α α... e Z e Z e Z e + α + α +... Z - + α = e Z e Z atau dmana ' = { e, e,..., e, e} ( α α... α ) I + W + W + + W e = Z (3.6) e dan Z ' = { Z, Z,..., Z, Z } nvers, maka deroleh ( α ) α... α. Dengan metode e = I + W + W + + W Z (3.7) Selanjutnya akan dcar arameter dar e yatu µ = E( e ) dan e Ω = E( ee '). Dar ersaamaan (3.7), deroleh E (( α α α ) ) ( I αw αw... α W ) E ( Z) E( e) = I + W + W W Z = = (3.8) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

51 38 dan E( ee') = Ω ( matrks autoko var ans) ' = E ( + α α ) ( + α α ) I W W Z I W W Z ' = E ( + α α ) ' ( + α α ) I W W ZZ I W W teorema.. (d) ( α α ) ( α α ) ' E = I + W W ( ') I W W ZZ ( α... α ) ( α... α ) = I + W + + W I W W ' ( α... α ) ( α... α ) = I + W + + W I W W teorema..8 ( α α ) ( α ) ( α ) ' ( ) = I + W W ' + ' ' I W W teorema.. (b) ( α... α ) ( α '... α ' ) = I + W + + W I + W + + W teorema.. (c) ( ) ( α... α ) ( α... α ) = I + W + + W I + W + + W sfat W ke- Jad, deroleh ( α... α ) ( α... α ) Ω = I + W + + W I + W + + W (3.9) Dengan mengnverskan matrks autokovarans maka deroleh, ( α... α ) ( α... α ) Ω = I + W + + W I + W + + W ( I αw... α W ) ( I αw... α W ) = ( α... α )( α... α ) Ω = I + W + + W I + W + + W (3.) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

52 39 Dengan demkan, jka mengangga e meruakan roses autoregressve yang crcular, e berdstrbus normal dengan mean dan varans Ω, dmana Ω adalah matrks autokovarans dalam ersamaan (3.9). 3.. Proses Autoregressve yang oncrcular Dengan memandang e sebaga roses autoregressve yang noncrcular, maka ersamaan (3.4) untuk observas daat dtuls sebaga e + α e + α e α e = Z e + α e + α e α e = Z 3 e + α e + α e α e = Z 3 4 e + α e = Z e - - = Z (3.) Dengan menggunakan notas matrks, ersamaan (3.) daat dtuls dalam bentuk :... α... α α... e Z... α α... e Z e Z =... α α α e Z e Z e Z e Z e Z - + α + α α = e Z e Z Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

53 4 atau dmana ' = { e, e,..., e, e} ( α α... α ) I + U + U + + U e = Z (3.) e dan Z ' = { Z, Z,..., Z, Z } nvers, maka deroleh ( α ) α... α. Dengan metode e = I + U + U + + U Z (3.3) Selanjutnya akan dcar arameter dar e yatu µ = E( e ) dan e Ω = E( ee '). Dar ersaamaan (3.3), deroleh E (( α α α ) ) ( I αu α U... α U ) E ( Z) E( e) = I + U + U U Z = = (3.4) Dan E( ee') = Ω ( matrks autoko var ans) ' = E ( + α α ) ( + α α ) I U U Z I U U Z ' = E ( + α α ) ' ( + α α ) I U U ZZ I U U teorema.. (d) ( α α ) ( α α ) ' E = I + U U ( ') I U U ZZ ( α... α ) ( α... α ) = I + U + + U I U U ' ( α... α ) ( α... α ) = I + U + + U I U U teorema..8 ( α α ) ( α ) ( α ) ' ( ) = I + U U ' + ' ' I U U teorema.. (b) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

54 4 ( ) ( ) E( ee ) = I + α U α U I + α U ' α U ' teorema.. (c) Jad deroleh ( α... α ) ( α '... α ' ) Ω = I + U + + U I + U + + U (3.5) Dengan ersamaan (3.5) maka deroleh, (... ) ( '... ' ) Ω = I + α U + + α U I + α U + + α U σ ( I αu '... α U ' ) ( I αu... α U ) = ( '... ' )(... α α α α ) = I + U + + U I + U + + U (3.6) Sehngga jka mengangga e sebaga roses autoregressve yang noncrcular, e berdstrbus normal dengan mean dan varans Ω, dmana Ω adalah matrks autokovarans dalam ersamaan (3.5). 3.3 Fungs Margnal Lkelhood untuk AR () Dar dua subbab datas, dstrbus dar e tdak bergantung ada arameter µ dan σ, sehngga ersamaan (3.3) X = µ + σe adalah model Locaton-scale berdasarkan.7..(3), sehngga µ adalah locaton arameter, σ adalah scale arameter, dan < µ <, σ >. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

55 4 Telah dbuktkan dalam sub bab.7. ( x x) ( e e) d = = ( =,,..., ) s s x e adalah ancllary statstc, sehngga dstrbus margnal dar d hanya tergantung ada α = ( α, α,..., α ) '. Dstrbus margnal dar d dberkan oleh (Fraser, 968, 3) e e e L( α; d) = f (..., s ( t+ d ),...) s dtds (3.7) Dalam tugas akhr n, e dbatas ada embatasan masalah berdstrbus normal, dengan mean dan varans Ω yang deroleh ada sub bab 3.. dan 3.., maka df dar e, f ( eω ; ), adalah ( π ) Ω ex( e' Ω e ) Dengan demkan, enyelesaan ersamaan (3.7) adalah ( ) L( α; d) = Ω A ( C B / A) (3.8) dmana A = Ω ', = Ω ' d dan B C = d ' Ω d AR () sebaga Structural Model Berdasarkan ersamaan (3.3) dan (3.4), model AR () yang dnyatakan dalam structural model, daat dtuls sebaga berkut: et + αet = Zt t =,,..., x = µ + σe (3.9) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

56 Fungs Margnal Lkelhood untuk AR () yang Crcular Msalkan e sebaga roses AR () yang crcular, maka e ( Ω, ) dmana Ω adalah matrks autokovarans dalam ersamaan (3.9), yatu Ω = ( I + α W) ( I + α W ) (3.) Bentuk umum fungs margnal Lkelhood berdasarkan ersamaan (3.8) ( ) L( α; d) = Ω A ( C B / A) - Dmana A = 'Ω, - - B = 'Ω d dan C = d'ω d. Dalam menurunkan fungs margnal lkelhood L( ρ; d) untuk AR () yang crcular dlakukan dalam beberaa taha. a) Taha ertama Dalam taha n, akan dcar determnan dar matrks autokovarans AR () yang crcular. Dar ersamaan (3.) nvers matrks autokovarans untuk AR () yang crcular adalah Ω = ( I + α W )( I + α W ) (3.) Berdasarkan ersamaan (.4), ρ = α, sehngga ersamaan (3.) menjad Ω = I ρ W I ρ W ( )( ) + ρ ρ ρ + ρ ρ ρ + ρ = + ρ ρ ρ ρ + ρ Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

57 44 ( )( ) Ω = I ρw I ρw teorema..6 b ( ) ( ) = I ρw I ρw Msalkan P = ( I ρw ) dan Q = ( I ρw ) P = ( I ρw ) Q = ( I ρw ) = ρ = I I W ρ W = ρ W = ρ W ρ = = Sehngga ρ Ω I W I W = ( ρ ) ( ρ ) ( ρ )( ρ ) = ( ρ ) = Berdasarkan teorema..7, maka Ω = = = Ω ( ρ ) (3.) b) Taha kedua - A = 'Ω - Dalam taha kedua n, akan dcar A = 'Ω. + ρ ρ ρ + ρ ρ ρ + ρ = [ ] + ρ ρ ρ ρ + ρ Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

58 45 A = + ρ ρ + ρ ρ + ρ ρ + ρ ρ + ρ ρ = ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) = (3.3) c) Taha ketga Dalam taha ketga n, akan dcar - B = 'Ω d. B = - 'Ω d [ ] + d ρ ρ d ρ + ρ ρ ρ + ρ d 3 = + ρ ρ d ρ ρ + ρ d d d d 3 = + ρ ρ + ρ ρ + ρ ρ + ρ ρ + ρ ρ d d d d d 3 = ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) d d Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

59 46 ( ρ ) ( ρ ) ( ρ )... ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) B = d + d + d + + d + d 3 = ( d + d + d d + d ) 3 = ( ρ ) d = d + d + d d + d 3 x x x x x x x x x x... s s s s s 3 = = x x x x x x + x + x x + x n x = s x = d = x x = = = s x Jad B = - 'Ω d ( ρ ) = ( ρ ) = =. d = (3.4) d) Taha keemat - Dalam taha n, akan dcar C = d'ω d. - C = d'ω d + d ρ + ρ ρ 3 ρ ρ 3 [ ] ρ ρ ρ d = d d d d + d ρ + ρ d Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

60 47 d d ( ρ) ( ρ) ( ρ) ( ρ) ( ρ) 3( ρ) ( ρ) 3( ρ) 4( ρ) ( ρ) ( ρ) ( ρ) 3 C= d + d + + d d + d + + d d + d + + d d + d + + d d d = d d ( ρ) + d ( + ρ) + d ( ρ) + d d ( ρ) + d ( + ρ) + d3 ( ρ) + d 3 d ( ρ) + d3 ( + ρ) + d4 ( ρ) d d ( ρ) + d ( + ρ) + d ( ρ ) = dd ( ) ρ+ d( + ρ) + dd( ρ) + dd( ρ) + d( + ρ) + dd( ) ρ+ dd( ) ρ+ d( + ρ) + dd( ρ) d d( ) ρ+ d( + ρ) + dd( ) ρ = = ( + ρ )( d + d + d d ) ρ( d d + d d + d d d d ) 3 3 ( ρ ) d ρ dd+ = = = + d = d + d + d d 3 ( x x ) ( x x ) ( x 3 x ) ( x x ) = ( x x ) = s s s s = = x x x x s x x ( ) s s = x r ' = = d d +, dmana d d = + Jad - C = d'ω d ( ρ ) d ρ dd+ = = = + ( ) ρ ( ) ( ) r ' = + ρ ( )( ρr ' ρ ) = + (3.5) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

61 48 Dengan mensubsttuskan ersamaan (3.), (3.3), (3.4) dan (3.5), sehnga deroleh fungs margnal lkelhood untuk AR() yang crcular, yatu ( ) L( α; d) = Ω A ( C B / A) (( ) ) ( ) ( ) (( )( ) ( ) ) ( ) L( ρ; d) = ρ ρ ρr ' + ρ / ρ ( )( ) ( ) ( ) r ' ( ) ( = ρ ρ ρ + ρ ) (3.6) Fungs Margnal Lkelhood untuk AR () yang oncrcular Msalkan e sebaga roses AR () yang noncrcular, maka e ( Ω, ) dmana Ω adalah matrks autokovarans dalam ersamaan (3.5), yatu ( α ) ( α ) ' Ω = I + U I + U (3.7) Bentuk umum fungs margnal Lkelhood berdasarkan ersamaan (3.8) ( ) L( α; d) = Ω A ( C B / A) - Dmana A = 'Ω, - - B = 'Ω d dan C = d'ω d. Dalam menurunkan fungs margnal lkelhood L( ρ; d) untuk AR () yang noncrcular dlakukan dalam beberaa taha. a) Taha ertama Dalam taha n, akan dcar determnan dar matrks autokovarans AR () yang noncrcular. Dar ersamaan (3.6) nvers matrks autokovarans untuk AR () yang noncrcular adalah Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

62 49 Ω ( I U ')( I U ) (3.8) = + α + α Berdasarkan ersamaan (.4), ρ = α, sehngga ersamaan (3.8) menjad Ω = I ρ U I ρ U ( ')( ) ρ ρ ρ ρ + ρ + ρ = + ρ ρ ρ Ω = ρ... ρ + ρ ρ... ρ + ρ ρ... ρ + ρ ρ ρ... + ρ ρ ρ... ρ ρ + ρ ρ... ρ + ρ ρ... ρ + ρ ρ... ρ + ρ... ρ + ρ ρ ρ... + ρ ρ ρ ρ ρ... ρ + ρ ρ + ρ ρ... ρ... ( ) ( ) = ( + ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ( ) ( ) ρ... = + ρ ρ ρ ρ ρ + ρ +... ρ + ρ... + ρ ρ... ρ ρ ρ ρ ( ) ( )... ρ ρ... ρ + ρ... ρ... + ρ ρ... + ρ ρ ρ... ρ ( ) ( ) ( ) ( ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

63 5 Ω ρ ρ ρ ρ ρ + ρ ρ + ρ = + ρ... + ρ ρ... + ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ... ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ρ... + ρ ρ... ρ + ρ... ρ + ρ... + ρ ρ... + ρ ρ... + ρ ρ... ρ + ρ ρ... ρ + ρ ρ... ρ... ρ ( ) ( ) ( ) ( ) + ρ ρ... ρ... ρ + ρ... ρ + ρ... = + ρ... + ρ ρ... + ρ ρ... ρ + ρ ρ... ρ + ρ ρ... ρ... ρ +... ρ ρ ρ ( ) ( ) + ρ... ρ... = ( + ρ )... + ρ ρ + ρ... + ρ ρ... ρ + ρ ρ ρ... ρ ρ ρ... + ρ ρ... + ρ ( 3) ( 3)... ( 3) ( 3) ρ ρ ρ ( 3) ( 3) ( ) ( ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

64 5 Ω ρ = + ρ... + ρ ρ... + ρ ρ... ρ + ρ ρ... ρ + ρ ρ... ρ... ρ ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ρ + ρ + ρ... + ρ ρ ρ... + ρ ρ... ρ + ρ ρ... ρ + ρ ρ... ρ... ρ ( 3) ( 3) ρ + ρ =... + ρ ρ + ρ... + ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ... ρ... ρ + ρ ρ ρ = ρ + ρ ρ ρ + ρ ρ + ρ ρ + ρ ρ ρ + ρ ρ ρ ρ ( ) ρ ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) + + ρ ρ ρ ρ ρ = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ + ρ ρ + ρ ρ ρ + ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = ρ ρ ρ ρ + ρ ρ ρ = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

65 5 Ω = + ρ + ρ ρ ( ) + ρ ρ ρ + ρ ρ ρ ρ ρ + ρ ρ + ρ ρ ρ + ρ ρ = + ρ + ρ ρ ρ ρ ρ ρ + ρ ρ ρ = + ρ ρ ρ = + ρ ρ + ρ ρ ( ) ( ) = ρ Berdasarkan teorema..7, maka Ω = = = Ω ( ρ ) (3.9) Msalkan l = = d l = d d + = 3 = d = l b) Taha kedua - Dalam taha kedua n, akan dcar A = 'Ω. - A = 'Ω ρ ρ ρ ρ + ρ + ρ = [ ] + ρ ρ ρ ρ = ρ + ρ ρ + ρ ρ + ρ ρ ρ Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

66 53 A = ρ ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ρ ( ρ ) ( )( ρ ) ( ρ )( ( )( ρ )) = + = + ( ) ( ) ( ) = ρ ρ + ρ (3.3) c) Taha ketga Dalam taha ketga n, akan dcar - B = 'Ω d. - B = 'Ω d ρ d ρ + ρ ρ ρ + ρ d3 = [ ] + ρ ρ d ρ ρ d d d d ρ ρ ρ ρ ρ d ρ ρ ρ d d d d d = 3 ρ ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ρ d d 3 = ( ρ )( d d ) ( ρ ) ( d d... d d ) = Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

67 54 ( ρ ) ( ( ρ ) ( ρ ) 3... ( ρ ) ) ( ρ ) d d... d d ρ ( d d... d d ) B = d + d + d + + d + d ( 3 ) = = ( ρ ) d ρ = ( ρ ) ρ ( ) ρ = = = d d = ρ l 3 (3.3) d) Taha keemat - Dalam taha n, akan dcar C = d'ω d - C= d'ωd ρ d ρ + ρ ρ = [ d d d3 d d ] + ρ ρ d ρ d d ρ + ρ d3 d d = d + d ( ρ ) d ( ρ) + d ( + ρ ) + d3 ( ρ ) d ( ρ) + d ( + ρ ) + d( ρ) d + d( ρ ) d d ( ) ( ) ( ) )... ( ( ) ) ( ) = d d dρ+ d dρ+ d + ρ dρ + + d d ρ+ d + ρ d ρ + d d d ρ 3 = d ddρ+ d ( + ρ ) ddρ+ d ( + ρ )... + d ( + ρ ) d d ρ+ d 3 3 ( ) = d + d + d d + d + ρ d + d d ρ dd + dd d d 3 3 ( ) ρ + = = = + ρ d dd ( ) ρ ( ) ( 3 ) = + l ρl (3.3) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

68 55 Dengan mensubsttuskan ersamaan (3.9), (3.3), (3.3), dan (3.3), sehngga deroleh ( ρ; d) ( ρ ) ( ) L( α; d) = Ω A ( C B / A) L ( ) ( ) ( ) ρ ρ + ρ = ( ) ρ ( ρ ) l3 ρ ρ. ρ ρ ρ ( ) + l l ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + ( ) ρ + ρ ρ ( ρ ) l 3 l l = ρ + ρ ρ + ρ ρ ρ + ρ ( ) ρ 3 l l ( ) ( ) ( ρ ) l ( ) = + ρ ρ ρ ρ + ρ (3.33) Untuk jumlah yang besar ρ ( ρ ) l ( ) 3, ρ ρ ρ dan l = = d = d + d + d d 3 ( x x) ( x x) ( x3 x) ( x x) = s s s s x x x x ( x x) ( ) = = sx sx s x Jad, fungs margnal lkelhood untuk AR () yang noncrcular untuk jumlah yang besar daat ddekat dengan fungs dbawah n: ( ) ( ) ( ) ( ) L( ρ; d ) + ρ ρ ( ) + ρ ( ) ρl Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

69 56 L ( ) ( ) ρl ( ) ( ) ( ) ( ) ρ; d + ρ ρ + ρ (3.34) Persamaan (.34) hamr serua dengan fungs margnal lkelhood untuk roses autoregressve yang crcular. 3.4 Estmas Parameter Autoregressve dengan Fungs Margnal Lkelhood Taksran arameter autoregressve deroleh dengan memaksmumkan ersamaan (3.8). Secara matemats, estmas maksmum margnal lkelhood lebh mudah dlakukan dengan memanulas ersamaan (3.8) menjad logartma fungsnya. Memaksmumkan fungs margnal lkelhood ekvalen dengan memaksmumkan logartma fungs margnal lkelhood (bukt dalam lamran 9). Untuk mencar nla taksran arameter α ɵ = ( α, α,..., α ) yang memaksmumkan ersamaan (3.8), maka endekatan yang alng serng dgunakan adalah menentukan turunan arsal dar logartma fungs margnal lkelhood untuk seta arameter lalu menyamakan dengan nol, ln( L( α, d)) = α untuk =,,, (3.35) Berdasarkan ersamaan(3.35), akan deroleh ersamaan sebanyak arameter yang tdak dketahu. Taksran n daat dselesakan secara Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

70 57 bersamaan. Jka enyelesaan dar fungs turunan arsal tdak daat dtemukan, maka endekatan numerk dlakukan Estmas Parameter AR () yang Crcular Fungs margnal lkelhood untuk AR () yang crcular ada ersamaan (3.6) adalah ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ; d = ' + L ρ ρ ρ ρr ρ Berdasarkan ersamaan (3.35), arameter AR () deroleh dengan menurunkan logartma dar fungs margnal lkelhood terhada ρ lalu menyamakan dengan nol,yatu: dln L ( ( ρ; d) ) d ρ = ( ) ( )( ) ( ) ( ' ) ( dln ρ ρ ρr ρ ) + = d ρ d Ln( ρ ) Ln( ρ ) ( ) Ln( ) ( ) Ln( ρr ' + ρ ) = d ρ ( )( r ρ ) ρ + + = ρ ρ ρr ' + ρ ( )( ' ) ( )( ' ) ( )( )( )( ) ( ρ )( ρ)( ρr' + ρ ) r + + r + + r ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

71 58 Taksran ρ deroleh dengan menyelesakan ersamaan ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) r' + + r' + + r = (3.36) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ dengan syarat ( ρ )( ρ )( ρr ρ ) ' + Persamaan (3.36) meruakan ersamaan olnomal dar ρ derajat +, sehngga akan deroleh + nla akar dar ersamaan tersebut. Karena ρ adalah korelas maka nlanya akan terletak ada nterval ρ, sehngga taksran untuk ρ deroleh dengan mengambl nla akar yang terlatak dalam nterval tersebut Estmas Parameter AR () yang oncrcular Fungs margnal lkelhood untuk AR () yang oncrcular ada ersamaan (3.33) adalah ( ) ρ 3 ( d ) ( ) ( ) ( ρ ) l ( ) L ρ; = + ρ ρ ρ l ρl + ρ Berdasarkan ersamaan (3.35), arameter AR () deroleh dengan menurunkan logartma dar fungs margnal lkelhood terhada ρ lalu menyamakan dengan nol,yatu: dln L ( ( ρ; d) ) d ρ = Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

72 59 ( ) ρ ( ρ ) l 3 dln ( ) + ρ ρ ( ) ρ l ρl + ( ) ρ = dρ ( ) ( ρ) l ( ) ρ 3 d Ln( + ρ) Ln ρ ( ) Ln ( ) + ρ l ρl ρ = dρ ρ ( ρ) l3 ρ l3 ρ ( ρ) l3( + ) ( ) l ρ l + + ( ) ρ ( ) ρ ( ( ) ρ) = ρ ( ) l 3 ( ) + ρ l ρl ( ) ρ ( ) ρ ( ρ ) l3 ρ ( ρ ) l3 l l ( ) ( ) l l ( ) ρ ( ) ρ ( ) ( ) ρ ( ρ ) l 3 ( + ρ) ρ ( ) ρ l ρl + ( ) ρ + ρ ρ ρ ρ + ρ ρ + ρ + ρ ρ + ρ = Taksran ρ deroleh dengan menyelesakan ( ) l ( ) ( ) l ( ) ρ ρ 3 ρ ρ 3 ρ ( ) + ρ l ρl ( + ρ) ( ) + ρ l ρl ρ ρ ( ) ( + ρ ) = (3.37) dengan syarat ( ) ( ) ( ρ ) l ( ) ρ ρ 3 + ρ ρ + ρ l ρl Persamaan (3.37) yang meruakan ersamaan olnomal dar ρ derajat 4, sehngga akan deroleh 4 nla akar dar ersamaan tersebut. Karena ρ adalah korelas maka nlanya akan terletak ada nterval ρ, sehngga Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

73 6 taksran untuk ρ deroleh dengan mengambl nla akar yang terlatak dalam nterval tersebut. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

74 6 BAB IV APLIKASI ESTIMASI PARAMETER AR () DEGA FUGSI MARGIAL LIKELIHOOD Untuk melengka embahasan estmas arameter autoregressve dengan fungs margnal lkelhood, bab n membahas contoh data runtun waktu yang dmodelkan dengan roses AR () yang arameter autoregressvenya dtaksr dengan fungs margnal lkelhood yang telah deroleh ada bab sebelumnya. 4. Pendahuluan Untuk mendaatkan taksran arameter autoregressve dengan fungs margnal lkelhood, dlakukan langkah-langkah sebaga berkut :. Penyedan data runtun waktu yang stasoner yang daat dmodelkan dengan roses autoregressve orde. Melakukan enaksran arameter autoregresve Data yang dgunakan adalah data Annual yeld of gran on Broadbalk feld at Rothamsted (dberkan dalam lamran 9). 6 Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

75 6 4. Taksran arameter Autoregressve dengan Fungs Margnal Lkelhood untuk Data Annual yeld of gran on Broadbalk feld at Rothamsted Data Annual yeld of gran on Broadbalk fled at Rothamsted terdr dar 73 engamatan. Sebelum dlakukan enaksran arameter Autoregressve, enuls terlebh dahulu memaarkan bahwa data tersebut bersfat stasoner dan daat dmodelkan dengan roses autoregressve orde (dentfkas model). Berdasarkan gambar, data yang stasoner bersfat acak (tdak memlk trend atau musman). Secara defntf, konds stasoner AR () adalah nla mutlak arameter AR () kurang dar satu. Plot dar data n, menunjukkan bahwa data tersebut stasoner. Plot dar data tersebut dberkan dbawah n: Tme Seres Plot for C C Tme Untuk roses autoregressve, dentfkas model daat dlhat dar lot ACF (Autocorrelaton Functon) dan PACF (Partal Autocorrelaton Functon). Suatu data runtun waktu daat dmodelkan dengan roses autoregressve Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

76 63 jka bentuk ACF dar data tersebut menurun secara eksonensal serng dengan ertambahan lag dan PACF menunjukkan orde dar roses autoregressve tersebut. Dbawah n dberkan lot ACF dan PACF dar data Annual yeld of gran on Broadbalk fled at Rothamsted ACF "Annual yeld of gran on Broadbalk fled at Rothamsted 85-95" Autocorrelaton Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Partal Autocorrelaton Functon for C Partal Autocorrelaton Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Dar lot datas daat dsmulkan bahwa data tersebut meruakan roses autoregressve orde. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

77 64 Fungs margnal lkelhood untuk AR (), jka varabel error dangga sebaga roses yang crcular, dberkan ada ersamaan (3.7) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ; = ' + ( ) ( ) L ρ d ρ ρ ρr ρ Berdasarkan data tersebut, deroleh r = , dmana r ' = = d d + d, + = d. Sehngga fungs margnal lkelhood untuk data n, jka varabel error adalah roses yang crcular adalah L ( ρ; d ) = ( ρ )( ρ ) 7 ( ρ + ρ ) Berdasarkan lamran (), taksran arameter autoregressve dengan fungs margnal lkelhood jka varabel error dangga sebaga roses yang crcular adalah Sedangkan jka varabel error dangga sebaga roses yang noncrcular, fungs margnal lkelhood dberkan ada ersamaan (3.34) ( ) ρ 3 ( ) ( ) ( ρ ) l ( ) L( ρ; d) = + ρ ρ ρ l ρl + ρ Berdasarkan data tersebut deroleh = d = , = l = dd+ = 6.854, dan = l 3 = d = l = d ( x x) =, =,,..., s x Sehngga fungs margnal lkelhood untuk data n adalah: Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

78 ( ρ ) ( ) ρ L( ρ; d) = + ρ ρ ,37788ρ.6,854ρ ρ Berdasarkan lamran (), taksran arameter autoregressve dengan fungs margnal lkelhood jka varabel error dangga sebaga roses yang noncrcular adalah Untuk erbandngan, dengan menggunakan software PhCast deroleh taksran α dengan fungs maksmum lkelhood adalah dan dengan metode moment deroleh α = Dengan demkan, estmas arameter autoregressve dengan fungs margnal lkelhood mendukung estmas ttk dar motode-metode enaksran arameter autoregressve yang sudah ada. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

79 66 BAB V PEUTUP 5. KESIMPULA Kesmulan yang deroleh dalam enulsan tugas akhr n adalah: ) Proses Autoregressve daat dnyatakan sebaga structural model, sehngga data runtun waktu stasoner meruakan kombnas lnear dar mean roses dan varabel error yang tdak terobservas. ) Dengan menggangga varabel error sebaga roses crcular dan noncrcular daat deroleh sfat dstrbus dar varabel error tdak bergantung ada arameter oulas, sehngga data runtun waktu mengkut model Locaton-scale. 3) Dengan menggunakan model Locaton-Scale, vektor data runtun waktu yang dstandarsas meruakan ancllary statstc untuk µ dan σ. 4) Karena dstrbus dar ancllary statstc bebas dar arameter oulas, maka ancllary statstc meruakan dasar untuk membangun fungs margnal lkelhood yang hanya bergantung ada arameter Autoregressve. 66 Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

80 67 5) Estmas arameter AR dengan fungs margnal lkelhood mendukung estmas ttk dar metode-metode enaksran arameter AR yang sudah ada. 5. SARA Dalam tugas akhr n enaksran arameter hanya dlakukan untuk roses Autoregressve orde, sehngga enuls menyarankan menaksr arameter roses Autoregressve untuk orde yang lebh tngg. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

81 Daftar Pustaka Anton, Howard. (994). Elementary Lnear Algebra, ew Jersey: John Wley. Box, G. E. P., Jenkns, G. M., dan Rensel, G. C. (994). Tme Seres Analyss Forecastng and Control, ew Jersey: Prantce Hall. Crag, A.T., Hogg, R.V., dan McKean, J.W. (5). Introducton to Mathematcal Statstcs, ew Jersey: Prentce Hall. Cryer, J. D. (986). Tme Seres Analyss, Boston: PSW Publsher. Freund, J. E. (99). Mathematcal Statstcs, ew Jersey: Prentce Hall. Harvlle, D. A. (997). Matrx Algebra from A statstcan s Persectve, ew York: Srnger. Hyndman, R.J. (n.d.) Tme Seres Data Lbrary, htt://robjhyndman.com/tsdl/, 3 ovember 9. k... Levenbach, Hans. (97). Estmaton of Autoregressve Parameter from a Margnal Lkelhood Functon. Bometrka Srott, D. A. (). Statstcal Inference n Scence, ew York: Srnger. Wse, J. (955). The Autocorrelaton Functon and the sectral Densty Functon. Bometrka Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

82 69 LAMPIRA Menunjukkan γ, = E( X X ) µ µ untuk t, s =, ±, ±,... t s t s t s Tujuan: Akan dbuktkan γ, = Cov( X, X ) = E[( X µ )( X µ )] = E( X X ) µ µ untuk t, s =, ±, ±,... t s t s t t s s t s t s Bukt: ( )( ) [ t s µ t s µ s t µ tµ s ] [ t s ] [ µ t s ] [ µ s t ] [ µ tµ s ] [ t s ] µ t [ s ] µ s [ t ] [ µ tµ s ] [ t s ] µ tµ s µ sµ t µ tµ s [ ] µ µ untuk t s γ t, s = Cov( X t, X s ) = E X t µ t X s µ s = E X X X X + = E X X E X E X + E = E X X E X E X + E = E X X + = E X X, =, ±, ±,... t s t s 69 Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

83 7 LAMPIRA Menunjukkan Ω (Matrks Autokovarans), Berukuran, dalam Proses Crcular Daat Dnyatakan sebaga ( ) ( ) - ( ) Ω = σ { I + ρ ( W + W ) + ρ ( W + W ) ρ ( W + W )} Untuk ganjl, dan Ω = σ { I + ρ ( W + W ) + ρ ( W + W ) ρ ( W + W )} - Untuk gena Tujuan: Dalam roses crcular, matrks autokovarans yang berukuran x memunya bentuk seert dbawah n: E ρ ρ ρ3... ρ ρ ρ ρ ρ... ρ ρ = = Ω ρ ρ ρ3 ρ4... ρ 3 ( XX ') σ ρ ρ ρ... ρ4 ρ3 dsn akan dbuktkan bahwa bentuk datas daat dnyatakan dalam bentuk lan seert dbawah n: ( ) ( ) - ( ) Ω = σ { I + ρ ( W + W ) + ρ ( W + W ) ρ ( W + W )}, dmana blangan ganjl ostf, atau Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

84 7 Ω = σ { I + ρ ( W + W ) + ρ ( W + W ) ρ ( W + W )}, - dmana blangan gena ostf. Untuk semua nla, I menotaskan matrks denttas berukuran dan W adalah crculant defnton of auxlary dentty matrx berukuran, dmana I ( ) ( ) W = = a) Untuk blangan ganjl ostf, akan dbuktkan Ω ρ ρ ρ3... ρ ρ ρ ρ ρ... ρ3 ρ = σ ρ ρ ρ... ρ4 ρ 3 = ρ ρ ρ3 ρ4... ρ ( ) ( ) - I W W W W W W ( ) = σ { + ρ ( + ) + ρ ( + ) ρ ( + )} Bukt: [ ] Ω σ σ = = Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

85 7 Ω ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 3 3 = σ ρ ρ = σ + ρ ρ ρ ρ = σ ρ ρ + + ρ ρ σ ρ ρ + = + { I W W '} I ρ ( W W ') σ ρ ρ = + + σ { } I ρ ( W W ) = + + { } = σ + + Ω ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = σ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 5 5 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = σ + ρ ρ + ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = σ + ρ + ρ + ρ + ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = σ + ρ + ρ + ρ + ρ Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

86 73 { ' ( )'} { I ( W W ') ( W ( W )')} { I ( W W ) ( W ( W ) )} I ( W W ) ( W W ) Ω = σ I + ρ W + ρ W + ρ W + ρ W 5 5 = σ + ρ + + ρ + = σ + ρ + + ρ + { } = σ + ρ + + ρ + Dengan melhat ola ada Ω 3 3 dan Ω 5 5, tentu kta daat memerluasnya lag ada berkut: Ω ρ... ρ ρ... ρ ( ) ( ) ρ... ρ ρ... ρ ( 3 ) ( ) ρ ρ... ρ... ρ σ ρ ρ... ρ... ρ ( ) ( ) ( 3 ) ρ ρ... ρ ρ... ( ) ( 3) = ( ) ( 3 ) ( ) Ω, dmana blangan ganjl ostf, sebaga... ρ ρ... ( ) ( ) ρ ρ... ρ ( ) ρ = σ ρ ρ ( ) ρ ρ ( ) ( ) ρ ( ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

87 74 Ω σ = ρ ρ ρ ρ ρ ρ... ( ) ( ) ρ... ( ) ρ ( ) ρ ρ ( ) ρ ( )... ρ... ( ) σ = + ρ ( ) ρ + ρ ρ ( ) = σ + ρ + ρ + + ρ + ρ ( ) ( ) ( ) I W W'... W W' ( ) ( ) σ ( ) ( ) = I + ρw + ρw ρ W + ρ W ( ) ( ) ( ) ( ) = σ I + ρ W + W + + ρ W + W ( ) { ( )... ( )} ( ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

88 75 b) Untuk blangan gena ostf, akan dbuktkan Ω = ρ ρ ρ3... ρ ρ ρ ρ ρ... ρ ρ ρ ρ ρ3 ρ4... ρ 3 σ ρ ρ ρ... ρ4 ρ3 = σ { + ρ ( + ) + ρ ( + ) ρ ( + )} - I W W W W W W Bukt: Ω ρ ρ = σ σ ρ = + ρ σ ρ = + = σ + ρ + = σ I + ρ ( W + W ') = σ I + ρ ( W + W ) Ω 4 4 = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ σ ρ ρ ρ = σ + + σ = + ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ + + ρ ρ ρ ρ ρ = σ + ρ + ρ ρ + + Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

89 76 ( ( )') Ω4 4 = σ I + ρw + ρw ' + ρ W + W = σ I + ρ W + W + ρ W + W = σ I + ρ W + W + ρ W + W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dengan melhat ola ada Ω dan Ω 4 4, tentu kta daat memerluasnya lag ada berkut: Ω, dmana blangan gena ostf, sebaga Ω ρ... ρ ρ... ρ ρ... ρ ρ... ρ ρ ρ... ρ... ρ σ ρ ρ... ρ... ρ ρ ρ... ρ ρ... =... ρ ρ ρ... ρ ρ = σ ρ ρ ρ Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

90 77 Ω σ = ρ ρ ρ ρ ρ = σ ρ + ρ ρ = σ + ρ + ρ + + ρ + ( ) I W W'... W W' = σ I + ρw + ρw ρ W + W = σ { I + ρ( W + W ) ρ ( W + W )} Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

91 78 LAMPIRA 3 W Matrks Ortogonal Tujuan: Akan dbuktkan W adalah matrks ortogonal, yatu: W = W ' dmana W = Bukt: W det( ) Adj( W W ) = Pertama kal akan dcar det( W ) dengan menggunakan teorema.., yatu erluasan kofaktor seanjang kolom ke- det( W) = a C + a C a C = ( ) + ( ) ( ) = ( ) = ( ) + Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

92 79 Jka blangan ganjl, maka + gena, sehngga det( W ) =, sedangkan jka gena, maka + ganjl, sehngga det( W ) =. Selanjutnya akan dcar matrks kofaktor C karena Adj ( W) = C ' (tranose dar matrks kofaktor). C C C3 C C C C3 C C = C( ) C( ) C( )3 C( ) C C C 3 C C ( ) = =. = ( ) ( ) C C 3 3 ( ) + + ( ). = ( ) = ( )( ) = ( ) + = = ( ) 4 ( ) ( ) untuk ganjl untuk gena = =. = ( ) ( ) ( ) ( ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

93 8 C ( ) ( ) + + = =. = ( ) ( ) C ( ) 3 = =. = ( ) ( ) C ( ) 4 = =. = ( ) ( ) C 3 5 ( ) + + ( ). = ( ) = ( )( ) = ( ) + = = ( ) ( ) untuk ganjl untuk gena ( ) ( ) C ( ) ( ) + + = =. = ( ) ( ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

94 8 C( ) C C ( ) ( )3 ( ) ( ) = =. = ( ) ( ) ( ) ( ) + + = =. = ( ) ( ) + + = ( ) = ( ). = ( ) ( ) C ( ) ( ) ( ) = = = = ( ) ( ) untuk ganjl untuk gena C ( ) 3 ( ). = 3 = = = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) untuk ganjl untuk gena ( ) ( ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

95 8 C C 3 ( ) ( ) + + = =. = ( ) ( ) ( ) ( ) = =. = ( ) ( ) C ( ) ( ) = =. = ( ) ( ) sehngga C C C3 C C C C3 C C = = C( ) C( ) C( )3 C( ) C C C 3 C = = ( ) W untuk blangan gena ostf, sedangkan Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

96 83 C C C3 C C C C3 C C = = = W C( ) C( ) C( )3 C( ) C C C 3 C untuk blangan ganjl ostf. Untuk blangan blangan gena W = adj( W) = C' = ( ) W ' = W ' dan untuk blangan ganjl W = adj( W) = C' = W ' Jad terbukt W ortogonal, W = W ' Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

97 84 LAMPIRA 4 Menunjukkan W = I Tujuan: Akan dbuktkan sfat ke- dar matrks W, yatu W = I dmana W = dan I adalah matrks denttas Bukt: Untuk = (, ) W = = a a dmana a = dan a = W = W. W = ( a, a ) = (, ) = = a a I Untuk =3 ( ) W3 3 = = a3, a, a dmana a =, a =, dan a 3 = Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

98 85 W3 3 = W3 3. W3 3 = ( a3, a, a ) = (, 3, ) = a a a W = W. W = ( a, a, a ) = (,, ) = a a a = I Dengan melhat ola dar W dan W 3 3 3, tentu kta daat memerluasnya lag ada W sebaga berkut: W = = ( a, a, a,..., a, a ) dmana a j adalah vektor kolom yang entr ke-j adalaj dan entr lannya W = W. W = a, a, a,..., a, a = a, a, a,..., a, a ( ) ( ) W = W. W = a, a, a,..., a, a = a, a, a,..., a, a ( ) ( ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

99 86 ( a, a, a,..., a, a ) 3 4 ( ) W = W. W = a, a, a,..., a, a = ( a, a, a,..., a, a ) ( ) W = W. W = a, a, a,..., a, a 3 4 = = I Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

100 87 LAMPIRA 5 Menunjukkan Ω (Matrk Autokovarans), berukuran, dalam Proses oncrcular Daat Dnyatakan Sebaga ' '( ) Ω = σ { I + ρ ( U + U ) ρ ( U + U )} untuk semua Tujuan: Dalam roses noncrcular matrk autokovarans yang berukuran x dnyatakan dalam bentuk d bawah n E ρ ρ ρ3... ρ ρ ρ ρ ρ... ρ ρ = = Ω ρ ρ ρ 3 ρ 4... ρ 3 ( XX ') σ ρ ρ ρ... ρ 4 ρ 3 dsn akan dbuktkan bahwa matrks autokovarans datas daat dnyatakan dalam dalam bentuk Ω = σ I + ρ U + U + ρ U + U + + ρ U + U { ( ) ( )... ( )} ' ' '( ) Untuk sembarang, dmana blangan asl. Untuk semua nla, I adalah matrks denttas berukuran dan U adalah noncrculant defnton of auxlary dentty matrx berukuran, dmana U =... Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

101 88 Bukt: [ ] Ω σ σ Ω = = ρ ρ = σ σ ρ = + ρ σ ρ = + + ρ { I U U '} I ρ ( U U ') σ ρ ρ { } = + + = σ ρ ρ + + σ = + + Ω ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 3 3 = σ ρ ρ = σ + ρ ρ + ρ ρ σ ρ ρ = ρ ρ = σ ρ ρ ρ ρ { I U U ' U ( U ) '} I ρ ( U + U ') + ρ ( U + U ' ) = σ + ρ + ρ + ρ + ρ σ = + { } Dengan melhat ola ada Ω dan Ω 3 3, tentu kta daat memerluasnya lag ada Ω, dmana blangan asl, sebaga berkut: Ω σ ρ ρ... ρ ρ ρ ρ... ρ ρ 3 ρ ρ... ρ ρ 4 3 = ρ ρ 3 ρ 4... ρ ρ ρ ρ Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

102 89 Ω σ... ρ... ρ ρ... ρ... = ρ... ρ... ρ ρ σ... ρ = ρ ρ ρ ρ ρ... ρ ρ = σ + ρ + ρ ρ + ρ { I U U '... U ( U ') } σ ρ ρ ρ ρ = ( ) { ( ) ( )} '... ' I U U U = σ ρ ρ U... Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

103 9 Lamran 6 Menunjukkan U = Tujuan: Akan dbuktkan sfat dar matrks U, yatu U = dmana U = dan adalah matrks nol.... Bukt: Untuk = (, ) U = = a dmana a = dan = U = U. U = (, a ) = (, ) = = Untuk =3 ( ) U3 3 = =, a, a dmana a =, a =, dan = U3 3 = U3 3. U3 3 = (, a, a ) = (,, ) = a Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

104 9 U = U. U = (,, a ) = (,, ) = = Dengan melhat ola dar U dan U 3 3 3, tentu kta daat memerluasnya lag ada U sebaga berkut: U = = (, a, a,..., a, a ) dmana a j adalah vektor kolom yang entr ke-j adalaj dan entr lannya dan adalah vektor kolom U = U. U =, a, a,..., a, a =,, a,..., a, a ( ) ( ) U = U. U =,, a,..., a, a =,,,..., a, a ( ) ( ) U = U. U =,,,..., a, a =,,,...,, a ( ) ( ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

105 9 (,,,...,, ) ( ) U = U. U =,,,...,, a = = Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

106 93 LAMPIRA 7 Menunjukkan dstrbus dar d bebas dar arameter µ dan σ Tujuan: sebaga: Msalkan terdaat varabel random X, X,..., X, daat dnyatakan X = µ + σ e =,,..., dmana e memunya dstrbus tertentu yang tdak bergantung ada µ dan { } σ. Akan dbuktkan dstrbus margnal dar { } ( ) d = d = x x / s,=,,...,, x dmana = = dan ( ) x = x x / s = x x /( ), bebas dar arameter µ dan σ. Bukt: Berdasarkan ersamaan (.6), df bersama dar x, s x dan d adalah ( ) sx d d dsx + x µ d sx + x µ f ( x, sx, d; µ, σ ) = f,..., σ σ σ Untuk memermudah embuktan msalkan e IID(,), e f ( e ) = ex( ) < e < π Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

107 94 sehngga ersamaan (.6) menjad ( x µ σ ) x ( ) x + µ x + µ s d d d s x d s x f x, s, d;, =. ex... ex σ π σ π σ ( x µ ) sx ( d d ) d s x + = ex = σ ( π ) σ + ( µ ) ( ) + x µ sx ( d d ) sx d sx x d = ex ( ) σ π σ dar ada sub bab c) dan d) telah dbuktkan bahwa d = dan d =, sehngga ( ) ( ) s x ( d d ) sx x µ + f ( x, sx, d; µ, σ ) = ex σ ( π ) σ Berdasarkan defns dalam sub. bab.6, maka dstrbus margnal dar d ( ) sx x sx d d f ( d) = ex dxds σ ( π ) σ ( ) + ( µ ) sx ( d d ) s x = ex ex dxds ( ) σ σ π σ ( ) ( x µ ) x x xµ u = σ x = u = du = dx σ x = u = dx = σdu ( π ) ( ) s = σ sx ( d d ) x u ex ex σ duds x σ () Sebelum menyelesakan ntegral datas, terlebh dahulu akan dcar nla dar y ex( ) dy Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

108 95 Msalkan I y = ex( ) dy Integral n ada, karena ntegrannya ostf kontnu dan dbatas oleh fungs yang ntegrabel, yatu: y < ex( ) < ex( y + ) < y < dan ex( y + ) dy = e. Untuk menghtung ntegral I, I> dan I > dtuls: I y + z = ex( ) dydz Msalkan y = r cosθ dan z r snθ y + z = r + = r dan =, maka ( sn θ cos θ ) y y r θ cosθ r snθ J = = = r ( cos θ + sn θ ) = r, sehngga z z snθ r cosθ r θ π π ( ) I = ex r / rdrdθ ( r ) = ex / = π θ dθ π = = π dθ berart I = π () Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

109 96 Dar () ( π ) ( ) sx ( d d ) sx u f ( d) = ex ex σduds σ σ x g = u u = g = dg = du u = g = du = / dg ( π ) ( ) sx ( d d ) s x g = ex ex σ σ dgds x Berdsarakan ersamaan (), maka f ( d) = ex σ ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) ( ) sx ( d d ) x σ ( ) ( d d ) s sx x = ex ds σ σ σ ( d d ) ( ) = σ h ex h σ dh ( d d ) ( ) = h ex h s ds dh x x sx h = sx = h = σ dh = dsx sx = h = σ ds = σ dh x la dar ntegral ( ) h h dh ex tdak bergantung ada σ, sehngga terbukt bahwa dstrbus margnal dar d tdak bergantung ada µ dan σ. Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

110 97 Menunjukkan σ Zt Lamran 8 Memunya Sfat-Sfat Dstrbus yang Sama dengan a t Tujuan: Akan dbuktkan σ Zt memunya mean dan varans σ sama halnya dengan a t, dmana Z t memunya mean nol, varans dan ndeendent. Bukt: µ = E( σ Z ) σ Z t = σ E( Z ) = t t ( σ ) ( ) Var( σ Zt ) = E Z t E Zt = E σ Z t σ E Z ( ) = t = σ Var( Z ) = σ t Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

111 98 Lamran 9 θ memaksmumkan L( θ ) θ memaksmumkan lnl ( θ ) Tujuan: Menunjukkan, θ memaksmumkan L( θ ) θ memaksmumkan lnl ( θ ). Bukt: ( ) Adt: θ memaksmumkan L( θ ) θ memaksmumkan lnl ( θ ) Karena θ memaksmumkan L( θ ), maka: ( ) L θ θ = ( ) ( θ ) L = L θ θ L θ ( ) ( ) lnl θ θ = () ( ) L θ θ < L ( θ ) <. L ( ) L( ) θ θ θ L ( θ ) θ < L ( θ ) Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

112 99 ( ) ( ) ( ) L θ L θ L θ + < + θ L ( θ ) θ θ L( θ ) θ L( θ ) θ ( θ ) L ( θ ) L + < + θ L ( θ ) θ θ L( θ ) θ L ( θ ) ( θ ) L ( θ ) L + < θ L ( θ ) θ θ L( θ ) ( θ ) L < θ L( θ ) θ ( ) lnl θ < θ θ ( ) lnl θ θ < () Dar () dan () terlhat bahwa θ juga memaksmumkan lnl ( θ ). ( ) Adt: θ memaksmumkan lnl ( θ ) θ memaksmumkan L( θ ). Karena θ memaksmumkan lnl ( θ ), maka ( ) lnl θ θ = L L ( θ ) ( θ ) ( θ ) L = θ ( θ ) ( θ ) L = L ( θ ) L θ Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

113 ( ) L θ θ = (3) ( ) lnl θ θ < ( ) lnl θ < θ θ ( θ ) L < θ L( θ ) θ ( θ ) L ( θ ) L + < θ L ( θ ) θ θ L( θ ) ( θ ) L + < θ L ( θ ) θ L( θ ) L ( θ ) θ L ( θ ) θ < L ( θ ) L < L ( θ ) ( θ ) L( θ ) ( ) L θ θ < (4) Dar (3) dan (4) terlhat bahwa θ juga memaksmumkan L( θ ). Terbukt bahwa θ memaksmumkan ( ) L θ θ memaksmumkan lnl ( θ ). Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

114 Lamran Data Annual yeld of gran on Broadbalk feld at Rothamsted hasl anen hasl anen hasl anen hasl anen hasl anen hasl anen tahun tahun tahun tahun tahun tahun tahun d tahun d tahun d tahun d tahun d Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

115 Lamran Taksran Parameter AR () dengan Fungs Margnal Lkelhood Untuk Data Annual yeld of gran on Broadbalk feld at Rothamsted Tujuan: Berkut n akan dberkan enurunan untuk mendaatkan taksran arameter AR () untuk Data Annual yeld of gran on Broadbalk feld at Rothamsted jka varabel error dangga sebaga roses crcular dan noncrcular. Hasl taksran deroleh dengan menggunakan bantuan software Male 9.5. (). Taksran arameter AR () jka varabel error dangga sebaga roses yang crcular Fungs margnal lkelhood untuk data n adalah L ( ρ; d ) = ( ρ )( ρ ) 7 ( ρ + ρ ) dalam Male 9.5 dberkan dengan > L(rho):=(-rho^73)*(-rho)^(-)*(7)^(-7/)*(- * *rho+rho^)^(-7/); L( ρ ) := ( ρ 73 ) ( ( ρ ) ( ρ + ρ ) 36 ) Taksran arameter autoregressve orde, deroleh dengan memaksmumkan fungs margnal lkelhood datas. Telah dbuktkan ada Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

116 3 lamran 9 bahwa θ memaksmumkan L( θ ) θ memaksmumkan lnl ( θ ). Ln dar fungs margnal lkelhood datas, yatu: > L(rho):=ln(L(rho)); L( ρ) := ln (( ρ 73 ) ( ( ρ ) ( ρ + ρ ) 36 )) > L3(rho):=dff(L(rho),rho)=; L3( ρ) := ( 73 ρ 7 ( ( ρ) ( ρ + ρ ) 36 ) + ( ρ 73 ) ( ( ρ) ( ρ + ρ ) 36 ) ( ρ 73 ) ( ρ ) ( ( ρ ) ( ρ + ρ ) 37 ) ) ( ρ ) ( ρ + ρ ) 36 ( ρ 73 ) = > solve(%); -.,., I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

117 I, , I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, Berdasarkan ersamaan (.4), α = ρ, dan nla < ρ <, sehngga α = (). Taksran arameter AR () jka varabel error dangga sebaga roses yang noncrcular Fungs margnal lkelhood untuk data n adalah 7 7 ( ρ ) ( ) ρ L( ρ; d) = + ρ ρ ,37788ρ.6,854ρ ρ dalam Male 9.5 dberkan dengan > L(rho,d):=(+rho)^(/)*(-(7/73)*rho)^(- /)*( *rho^-* *rho+7-(rho^*(- rho)* )/(7-7*rho))^(-/*7); L ( ρ, d ) := 7 ρ 73 + ρ ρ ρ ( ρ) ρ ρ Taksran arameter autoregressve orde, deroleh dengan memaksmumkan fungs margnal lkelhood datas. Telah dbuktkan ada lamran 9 bahwa θ memaksmumkan L( θ ) θ memaksmumkan lnl ( θ ). Ln dar fungs margnal lkelhood datas, yatu: 36 Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.

118 5 > L3(rho,d):=ln(L(rho,d)); + ρ L3 ( ρ, d) := ln 7 ρ ρ ρ ( ρ) ρ ρ > L3(rho,d):=dff(L3(rho,d),rho)=; L3 ( ρ, d) := 7 ρ + ρ ρ ρ 36 ( ρ) ρ ρ 7 + ρ ρ 46 ( 3/ ) 36 7ρ ρ ρ ρ ( ρ) 7 7ρ ρ ρ ( ρ) ρ ρ ( ρ) ρ 7 7ρ ( 7 7ρ) 7 ρ ρ ρ 37 ( ρ) ρ ρ 7 ρ ρ ρ 36 ( ρ) ρ ρ = 7 7 ρ > solve(%); , , I, I, Berdasarkan ersamaan (.4), α = ρ, dan nla ρ, sehngga α = Estmas arameter..., Ilmyat Sar, FMIPA UI, 9.