Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan VARIABEL RANDOM. Statistika dan Probabilitas

Transkripsi

1 Unverstas Gadjah Mada Fakultas Teknk Jurusan Teknk Sl dan Lngkungan VARIABEL RANDOM Statstka dan Probabltas

2 2 Pengertan Random varable (varabel acak) Jens suatu fungs yang ddefnskan ada samle sace Dscrete random varables Contnuous random varables Contoh jumlah har hujan selama 1 tahun à dskrt jumlah (volume) hujan selama 1 tahun à kontnu

3 3 Notas à varabel random à nla varabel random Fungs Suatu fungs varabel random adalah varabel random ula Jka adalah varabel random, maka Z = f() adalah juga varabel random

4 Dskrt 4 = dscrete random varables = 1, 2, 3,, n f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) robabltas f ( ) = 1 f ( n )

5 f ( ) dstrbus robabltas dskrt n 1 n 1 F ( ) dstrbus robabltas kumulatf dskrt n 1 n robabltas 5

6 Dstrbus robabltas kumulatf suatu varabel random untuk = F ( ) = f ( ) Dstrbus robabltas suatu varabel random untuk = f ( ) F ( ) F ( ) = 1 6

7 7 Frekuens relatf Probabltas ( ) ( ) = f F ( ) = = j j f F 1 1 = F F f Frekuens relatf kumulatf ( ) ( ) ( ) 1 = F F f

8 8 Kontnu Probabltas rob n n ( A ) = = f n = jumlah data d klas ke- n = jumlah seluruh data Dengan demkan f daat dandang sebaga nla estmas robabltas f à estmas rob (A) hstogram frekuens à endekatan dstrbus robabltas frekuens kumulatf à endekatan dstrbus robabltas kumulatf varabel random kontnu derlakukan seolah-olah varabel random dskrt

9 () 1 P () P (b) P (a) 0 luas = rob( b) luas = 1 a a b b luas = rob(a b) rob(a b) df = robablty densty functon cdf = cumulatve robablty dstrbuton functon P () = rob( ) 9

10 () = robablty densty functon of a contnuous random varable P () = cumulatve robablty dstrbuton functon P ( ) = rob ( ) d P ( ) = ( ) d P ( ) = ( t) dt 10

11 11 Beberaa Sfat Probabltas (1) (2) (3) + P ( ) 0, ( ) d = 1 ( ) = 0 (5) (6) rob b ( a b) = ( t) dt = P ( b) P ( a) c a ( = c) = ( t) dt = P ( c) P ( c) 0 rob = c (4) P ( + ) = 1 rob ( a b) = rob( a < b) = rob( a < b) = rob( a < < b)

12 12 Kala Ulang (Return Perod) rob ( a) = rob( > a) Jad dalam defns kala ulang a. suatu kejadan yang menyama atau melamau suatu nla tertentu b. suatu kejadan yang melamau suatu nla tertentu Kedua defns, a dan b, adalah sama mengngat robabltas suatu kejadan (event) menyama suatu nla tertentu bernla nol

13 13 Contoh #1 Dketahu suatu varabel random memlk fungs keraatan robabltas (df) sbb. ( ) 2 untuk 0 < < 2 = 0 untuk nla yang lan Gambarlah df tersebut Tunjukkan bahwa rob(0 < < 2) = 1 Htunglah rob( < 1.5)= P (1.5) Htunglah rob(0.5 < < 1.5)

14 14 Contoh #2 Pengolahan data annual seres curah hujan haran maksmum, H mm, d suatu stasun ARR (Automatc Ranfall Recorder) menunjukkan bahwa sebaran robabltas suatu besaran curah hujan, H (h), daat dnyatakan dengan suatu fungs (df) sbb. H ( h) = ( 100 h) untuk 0 < h < 50 untuk 50 < h < 100 untuk nla h yang lan Gambarlah df tsb. Carlah fungs cdf berdasarkan df tsb. Htunglah rob(40 mm < H < 60 mm)

15 15 Bvarate Dstrbutons Pada bahasan sebelumnya, varabel random adalah varabel tunggal (unvarate dstrbuton) Pada bahasan berkut n, varabel random terdr dar dua varabel (bvarate dstrbutons) Aabla kta ngn memelajar erlaku dua atau lebh varabel random, maka kta erlu menghtung robabltas gabungan atau robabltas bersama (jont robabltes) Probabltas gabungan à df gabungan

16 16 Bvarate Dstrbutons Probabltas gabungan, robabltas bersama = Y df y ( y) P ( y), Y,,, P, Y (, y) = rob( Y y) = + +, Y ( s, t) dt ds cdf

17 17 Bvarate Dstrbutons Beberaa sfat bvarate dstrbuton P Y ( ),, ( y) P Y, cdf varabel random saja (unvarate), cdf varabel random Y saja (unvarate) (, y) 0, Y ( +, + ) 1 P, Y = P ( y) = P (, ) 0, Y,, Y =

18 18 Dstrbus Margnal Dua varabel random dan Y Ingn dketahu erlaku varabel tana memertmbangkan nla varabel Y Denstas margnal (df) dan dstrbus kumulatf margnal (cdf), Y (, y) ( ) P, Y (, y) P ( ) P ( ) = P (, ) = rob( Y ) = rob( ) + ( ) (, t) = dt, Y = +, Y ( s, t) dt ds = ( s) ds df cdf

19 19 Dstrbus Margnal Dua varabel random dan Y Untuk varabel Y Y, Y (, y) Y ( y) P, Y (, y) PY ( y) P ( y) = P (, y) = rob( Y y) = rob( Y y) + ( y) ( s, y) = ds, Y Y = Y y +, Y ( s, t) dsdt = ( t) y Y dt df cdf

20 20 Dstrbus Bersyarat (Condtonal Dstrbutons) Dua varabel random dan Y Ingn dketahu erlaku varabel yang bergantung ada varabel Y n Dstrbus jka Y = y 0 n Dstrbus Y jka 1 2

21 21 Dstrbus Bersyarat (Condtonal Dstrbutons), Y rob Y Y ( y d dalam S) (, t) ( t) ( d dalamr y d dalam S) = ( y d dalam S) ( y = y ) ( y) = 0, Y = Y = S S, Y (, y0 ) Y ( y0 ) (, y) ( y), Y Y dt dt R Y yang lebh serng dtulskan d

22 22 Indeendence Varabel random dan Y dan Y ndeendence jka Y Y ( y) bukan ( y) = ( ) fungs y Jont robabltes n Perkalan denstas margnal kedua varabel, Y (, y) = ( ) ( y) Y

23 23 Contoh Data jumlah har yang memlk temeratur udara rerata (T C) dan kelembaban udara relatf (H%) d suatu stasun klmatolog Temeratur udara, T C Kelembaban relatf, H%

24 24 Contoh Dar tabel temeratur udara dan kelembaban udara tsb. df (gabungan) df margnal dan cdf margnal temeratur udara rerata df margnal dan cdf margnal kelembaban udara relatf robabltas temeratur udara berksar ada 28 C s.d. 30 C robabltas temeratur udara berksar ada 28 C s.d. 30 C ada saat kelembaban udara relatf 60% s.d. 80%

25 25