BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI Untuk encaai tujuan enelitian, dierlukan beberaa engertian dan teori yang relevan dengan ebahasan. Dala bab ini akan diberikan beberaa teori berua definisi, teorea, auun lea yang berkaitan dengan konse struktur aljabar. 2. Gru dan Subgru Definisi 2. Gru G adalah sebuah siste aljabar yang terdiri atas suatu hiunan tak kosong G dan suatu oerasi biner ( * ) yang didefinisikan dala G serta eenuhi aksioa-aksioa berikut ini: () Oerasi * bersifat assosiatif, yaitu a * ( b * c) = (a * b) * c, untuk setia a, b, c G. (2) Terdaat eleen identitas eg sedeikian sehingga a e e a a, untuk setia a G. (3) Untuk setia a G, terdaat eleen a G sedeikian sehingga a a a a e. Sebuah Gru G disebut sebagai gru koutatif atau gru abelian jika oerasi * bersifat koutatif yang eenuhi aksioa: (4) a * b = b * a, untuk setia a, b G (Fraleigh 2003). Jika sebuah gru G eiliki julah eleen yang berhingga aka disebut gru berhingga (finite grou) dan jika julah eleen dari suatu gru G tak berhingga aka disebut gru tak berhingga (infinite grou). Order dari sebuah gru G saa dengan banyaknya eleen dala gru G yang dinotasikan dengan G (Guritan 2004). Contoh gru yang tidak asing lagi adalah bilangan bulat terhada oerasi enjulahan. Misalkan, eruakan hiunan bilangan bulat {..., 3, 2,,0,,2,3,...}. (, ) eruakan suatu gru, karena untuk setia a, b aka ( a b). Bila a, b, c aka a ( b c) a ( b c) juga eleen (eenuhi sifat assosiatif). 0 dan untuk setia a aka 0 a a 0 0 (0 eleen identitas. Bila a aka terdaat a sedeikian sehingga a ( a) ( a) a 0 ( a eleen invers). Gru ini juga eruakan gru koutatif, karena a b b a.

2 5 Misalkan gru G dan S sebarang hiunan bagian tidak kosong dari G, aka berikut eruakan definisi subgru yang saling ekuivalen, yaitu sebuah hiunan bagian S dari gru G disebut subgru dari G jika S sendiri ebentuk gru di bawah oerasi yang saa dengan yang diiliki G (Aliatiningtyas 2002). Sebagai contoh,, dan eruakan subgru dari terhada oerasi enjulahan. Tentu saja dan asing-asing eruakan gru terhada oerasi yang saa yaitu enjulahan. Misalkan S adalah hiunan bagian dari sebuah gru G. S dikatakan subgru dari G jika dan hanya jika eenuhi sifat berikut ini. i). S tertutu dala oerasi dala G, yaitu jika a, bs aka ab S. ii). S tertutu terhada inversnya, yaitu a S aka a S (Aliatiningtyas 2002). Bilangan bulat adalah gru terhada oerasi enjulahan. Misalkan S adalah hiunan bagian dari yang terdiri atas seluruh erkalian bilangan bulat ositif, yaitu S {..., 2,, 0,, 2,...}. Dengan enggunakan sifat di atas, aka daat ditunjukkan bahwa S adalah subgru dari G. Hubungan antara gru dan subgrunya daat ditabahkan dengan satu definisi yang disebut dengan koset. Definisi 2.2 Misalkan S adalah subgru dari gru G. Untuk setia a G, aka hiunan yang dinotasikan dengan as { as s S} disebut koset kiri dari S yang euat a dan S a { sa s S} disebut koset kanan dari S yang euat a (Aliatiningtyas 2002). Teorea 2.3 (Teorea Lagrange) Misalkan G yaitu gru berhingga dan S yaitu subgru dari G, aka order dari S ebagi order dari G (Aliatiningtyas 2002). Jika S eruakan subgru dari gru G, aka indeks dari S di dala G daat diartikan sebagai banyaknya koset dari S di dala G, dinotasikan (G : S) (Aliatiningtyas 2002).

3 6 Misalkan adalah sebuah gru bilangan bulat dala enjulahan dan subgru 3 {..., -6, -3, 0, 3, 6,...} terdiri atas keliatan 3. Terdaat tiga koset kiri yang berbeda dari 3 dala, yaitu = 3 = {..., -6, -3, 0, 3, 6,...}, + 3 = {..., -5, -2,, 4, 7,...}, = {..., -4, -, 2, 5, 8,...}. Meskiun dan 3 keduanya tak berhingga, indeks dari 3 dala adalah berhingga, yaitu ( :3 ) = 3 adalah banyaknya koset. 2.2 Gru Siklik Sebelu endefinisikan tentang gru siklik, aka berikut ini diberikan beberaa definisi yang terkait dengan order suatu unsur gru. Misalkan G adalah sebarang gru, a G dan bilangan bulat ositif, aka a : aa... a, kali a : a a... a, dan a 0 : kali e (Guritan 2004). Jadi, jika G adalah suatu gru dan a G ositif dan n berlaku huku eksonen berikut ini., aka untuk seua bilangan bulat ). a a n n a 2). ( a ) a n n 3). a ( a ) ( a ). Misalkan G gru, dan a G. Order dari eleen a dinotasikan O( a) didefinisikan sebagai bilangan bulat ositif terkecil sehingga a e. Jika tidak ada bilangan deikian, aka dikatakan order tak hingga (infinity) atau nol (Aliatiningtyas 2002). Teorea 2.4 ). Jika O( a), aka ada teat kuasa dari a (ower of a) yang asing-asing berbeda, yaitu 0 2 a e, a, a,..., a. 2). Jika O( a) tak hingga, aka seua kuasa dari a berbeda. Artinya, jika r dan s adalah dua bilangan bulat yang berbeda

4 7 aka a r s a. 3). Misalkan a adalah unsur dari gru G dan O( a), aka t a e jika dan hanya jika t adalah keliatan dari (t keliatan, artinya ada bilangan bulat q sehingga t q ) (Aliatiningtyas 2002). Definisi 2.5 Sebuah gru G dan sebuah eleen a G (a disebut eleen ebangun). Jika G a { a } aka G disebut gru siklis (cyclic grou). Jika G berhingga dan berorder, aka daat ditunjukkan G a a e a a a 0 2 {,,,..., }. Jika G adalah gru aditif, aka daat ditunjukkan G a { a } dan jika berorder, aka daat ditunjukkan G a {0a 0, a, 2 a,..., (-) a} (Guritan 2004). 2.3 Hooorfisa Gru dan Isoorfisa Definisi 2.6 Diberikan gru G dan H. Suatu hooorfisa gru dari G ke H adalah suatu fungsi f : G H sedeikian sehingga untuk sebarang a dan b di dala G, berlaku f ( ab) f ( a) f ( b) (Fraleigh 2003). Terkait dengan jenis fungsi, aka terdaat eat jenis hooorfisa f, yaitu: ). Jika f bersifat injektif, aka f disebut onoorfisa. 2). Jika f bersifat surjektif, aka f disebut eiorfisa. Dala hal ini, H disebut iej hooorfik dari G oleh f. 3). Jika f bersifat bijektif, aka f disebut isoorfisa. Dala hal ini, G dan H dikatakan isoorfik.

5 8 4). Jika f bersifat bijektif dan GH, aka f disebut autoorfise (Aliatiningtyas 2002). Definisi 2.7 Kernel dari f, ditulis Ker( f ) adalah hiunan dari eleen G yang iagenya adalah eleen identitas e dari H, yaitu Ker ( f ) { a G : f ( a) e}. Sedangkan Bayangan (Iage) dari f, ditulis f(g) atau I( f ) terdiri dari iage-iage dari eleen-eleen G dala f, yaitu I ( f ) { b H : b f ( a)}, untuk beberaa a G (Guritan 2004). Sebagai contoh, diberikan fungsi f : 6, 3, dengan f ( x) x(od 3), x 6 aka f eruakan hooorfisa, sebab x, x2 6 berlaku f(x +x 2 ) = (x + x 2 ) od 3 = (x od 3) + (x 2 od 3) = f(x ) + f(x 2 ) dan ker( f ) { x 6 f ( x) 0} { x x(od 3) 0} 6 {0, 3}. Dengan deikian, 3 disebut bayangan hooorfik dari G oleh f. Teorea 2.8 Misalkan G dan H adalah gru. Suatu fungsi f : G H adalah hooorfisa, aka sifat-sifat berikut dienuhi. ). f ( e) e (secara ilisit bahwa e ada ruas kiri adalah unsur identitas G dan e ada ruas kanan adalah unsur identitas H). 2). f ( a ) [ f ( a)] untuk setia a G. 3). I( f ) eruakan subgru dari H. 4). Ker( f ) eruakan subgru dari G (Guritan 2004). Selanjutnya, dua gru G dan Hdikatakan isoorfik (dinotasikan G H ), jika ada suatu isoorfisa dari G ke H. Sifat enting yang terkandung dari akna isoorfik adalah walauun secara fisik kedua gru tersebut berbeda, tetai dari segi struktur adalah

6 9 saa. Kesaaan struktur eegang eranan enting dala ateatika secara uu, karena tibulnya konse ateatika berangkat dari konse abstraksi. Jika kita eelajari bangun segitiga, aka kita tidak akan eertanyakan segitiga itu terbuat dari aa, naun bagaiana sifat-sifat dan struktur segitiga itu. Dari akna ini, jika G H (walauun ungkin eleen dan oerasi dari keduanya berbeda), aka sifat-sifat yang terkait dengan eleen dan oerasinya saa. Hal ini daat disajikan dala teorea berikut ini. Teorea 2.9 Sifat-sifat isoorfik ). Untuk gru berhingga, aka G H 2). G abelian jika dan hanya jika H abelian. 3). G siklik jika dan hanya jika H siklik. 4). G dibangkitkan oleh dua unsur jika dan hanya jika H dibangkitkan oleh dua unsur. 5). Julah unsur yang eunyai invers dirinya sendiri di dala GdanH adalah saa (Guritan 2004). Misalkan G adalah gru bilangan real dala enjulahan dan H adalah gru dari bilangan ositif real dala erkalian dengan eetaan f : G H yang didefinisikan oleh f ( a) 3 a, aka eetaan f eruakan hooorfisa karena ab a b f ( a b) f ( a) f ( b). Selanjutnya, f adalah injektif karena f ( a) f ( b) a b 3 3 a b dan f adalah surjektif karena untuk setia 3 a H terdaat a G sedeikian sehingga f ( a) 3 a. Dengan deikian, aka f adalah sebuah isoorfisa. 2.4 Gru Faktor dan Subgru Noral Definisi 2.0 Misalkan G gru dan S subgru dari G. Maka S disebut subgru noral dari G jika untuk setia g G, s S, gsg S (Aliatiningtyas 2002). Teorea 2. Misalkan G gru, S subgru dari G, aka S subgru noral dari G jika dan hanya jika gs = Sg untuk setia g G (Aliatiningtyas 2002).

7 0 Jika S adalah subgru noral dari gru G, aka koset dari S dala G ebentuk sebuah gru G / S di bawah oerasi ( as)( bs) abs. Gru ini disebut gru faktor (quotient) dari G dan S. Pernyataan ini daat disajikan dala teorea berikut. Teorea 2.2 Misalkan S adalah subgru noral dari gru G. Koset dari S dala G ebentuk sebuah gru G / S berorder G : S (Fraleigh 2003). Misalkan adalah gru bilangan bulat dala oerasi enjulahan dan isalkan 3 adalah subgru dari gru yang terdiri atas erkalian 3, aka 3 adalah subgru noral dari karena adalah gru koutatif. Misalkan 0,, dan 2 berturut-turut enyatakan 3 koset yaitu: {..., 3,0,3,6,...} 3 {..., 2,,4,7,...} {...,,2,5,8,...} aka gru faktor / 3 adalah {0,, 2}. Gru ini biasa disebut dengan Bilangan Bulat Modulo 3 dan dinyatakan dengan 3. Dengan cara yang saa, untuk setia bilangan bulat ositif, terdaat gru faktor yang disebut dengan bilangan bulat odulo. Terkait dengan definisi gru di atas, aka berikut ini diberikan konse tentang gru bilangan bulat odulo. Misalkan adalah bilangan bulat ositif. Untuk sebarang bilangan bulat x, x odulo dinotasikan dengan x od, yaitu sisa dari x dibagi oleh. Aturan julah odulo (digunakan notasi uu + ) ada bilangan bulat diartikan sebagai x y z z ( x y) od, sedangkan aturan kali odulo (digunakan notasi kali ada uunya) ada integer diartikan sebagai xy z z ( xy) od (Guritan 2004). Misalkan {0,, 2,..., ( )}. Julah odulo eruakan oerasi ada, dan daat ditunjukkan bahwa eruakan gru abelian yang selanjutnya disebut dengan gru bilangan bulat odulo. Dala hal ini, 0 adalah eleen identitas, jika a aka invers dari a adalah a. Di sisi lain, kali odulo eruakan oerasi ada

8 yang bersifat asosiatif, koutatif dan adalah eleen identitas. Naun tidak seua eleen eunyai invers, khususnya 0. Aaun nilai aka eleen 0 tidak eunyai invers (tidak ada eleen jika dikalikan 0 enghasilkan ). Jelas bahwa bukan gru terhada oerasi kali odulo. Dengan deikian, cuku beralasan jika endefinisikan hiunan {0}. Pertanyaannya, aakah * * akan enjadi gru terhada kali odulo?. Jawabannya bisa ya dan bisa juga tidak, hal ini tergantung ada nilai. Proosisi berikut eruakan dasar dari konse ini. Proosisi 2.3 * adalah bilangan ria (Guritan 2004). akan eruakan gru terhada oerasi kali jika dan hanya jika * 6 * Sebagai contoh, isalkan 6 {, 2, 3, 4, 5}. Hal ini daat ditunjukkan bahwa bukan eruakan gru karena 2 dan 3 tidak eunyai invers. Selanjutnya jika adalah ria, aka * kali odulo dan jika sx od. {, 2, 3,..., } eruakan gru abelian terhada oerasi * s aka invers dari s eruakan solusi dari ersaaan Teorea 2.4 Misalkan f : G H adalah eiorfisa dengan S = Ker( f ), aka H G / S (Herstein 964). Teorea 2.4 disebut dengan Teorea Fundaental Hooorfisa yang enyatakan bahwa setia iej hooorfik dari G adalah isoorfik dengan gru faktor dari G. Sebagai contoh, jika diberikan f : 6 3 dengan f ( x) 2x untuk setia x 6. Fungsi f adalah eiorfisa, karena untuk setia 2x 3 terdaat x 6 sehingga f ( x) 2x. Di sisi lain, ker( f ) S { x 6 f ( x) 0} { x 2x 0} 6 {0, 3}. Berdasarkan Teorea 2.4, aka 6 S 3.

9 2 2.5 Ring Definisi 2.5 Ring R adalah sebuah siste aljabar yang dibentuk oleh suatu hiunan tak kosong R dengan dua oerasi biner yaitu enjulahan (+) dan erkalian (.) yang didefinisikan dala R, dan eenuhi sifat berikut: ) (R, +) adalah gru abelian. 2) Oerasi erkalian bersifat asosiatif, yaitu a.(b.c) = (a.b).c untuk seua a, b, c R. 3) Oerasi erkalian bersifat distributif terhada enjulahan. Untuk setia a, b, c R eenuhi : Huku distributif kiri, yaitu a. (b + c) = (a. b) + (a. c), dan Huku distributif kanan, yaitu : (b + c). a = (b. a) + (c. a) (Fraleigh 2003). Jenis-jenis ring didefinisikan dengan enabahkan beberaa sifat oerasi erkalian yang lain ada Definisi 2.5 (2). Misalnya, jika oerasi erkalian bersifat koutatif ada ring R, aka R disebut dengan ring koutatif. Jika R eunyai unsur identitas di bawah oerasi erkalian (dinotasikan ) dan x.. x x, x R, aka R disebut dengan unsur kesatuan. Suatu ring yang hanya eunyai satu unsur yaitu 0 aka disebut dengan ring trivial, sedangkan ring yang lebih dari satu unsur disebut dengan ring nontrivial. Beberaa contoh ring yang tidak asing lagi adalah,,, dan. Keeat contoh tersebut eruakan ring tak-hingga dan ring koutatif dengan unsur kesatuan, sedangkan untuk ring berhingga daat diabil dengan oerasi enjulahan odulo, dan oerasi erkalian odulo. Definisi 2.6 Misalkan R adalah ring koutatif, a R, a 0. Unsur a disebut ebagi nol jika ada b 0, b R sehingga ab 0. Selanjutnya, suatu ring R dikatakan tidak euat ebagi nol jika dan hanya jika ab 0, aka a 0 atau b ). (Aliatiningtyas Jika R adalah ring dengan unsur kesatuan dan a R yang eenuhi aa a a untuk setia a R, aka a disebut berinvers (invertible) dan a disebut invers dari a. Untuk 0 yang eruakan identitas dari R terhada oerasi

10 3 enjulahan tidak berinvers karena andaikata berinvers aka ada a R sedeikian sehingga 0a 0. Definisi 2.7 Suatu ring yang koutatif dengan unsur kesatuan dan tidak euat ebagi nol disebut daerah integral (Aliatiningtyas 2002). Misalkan, 6 euat ebagi nol. Abil 2,36 aka 2 dan 3 disebut euat ebagi nol dala 6, karena 2.3 = 0 (erkalian dala odulo 6). Jadi 6 bukan daerah integral. 5 tidak euat ebagi nol, karena setia eleen tak-nol dala 5 eunyai invers, yaitu. =, 2.3 =, 3.2 = dan 4.4 =. Jadi 5 eruakan daerah integral. Definisi 2.8 Bilangan disebut karakteristik dari ring R jika adalah bilangan bulat ositif terkecil sehingga. a 0 untuk setia a R. Jika tidak ada bilangan seerti ini aka dikatakan berkarakteristik 0 (Aliatiningtyas 2002). Ring berkarakteristik 0, sebab tidak ada bilangan bulat sehingga. a 0 untuk setia a. Pada hanya untuk 0 sehingga 0. a 0 untuk setia a. Sedangkan eunyai karakteristik. Teorea 2.9 Di dala suatu daerah integral D dengan karakteristik tidak nol, aka karakteristiknya asti bilangan ria (Gallian 990). Teorea 2.20 Di dala suatu daerah integral D dengan karakteristik bilangan ria, aka ( ) untuk setia eleen, D (Guritan 2004). Definisi 2.2 Suatu ring koutatif ada unsur kesatuan dan setia unsur tak nolnya eunyai invers disebut field (Menezes, 997). Dari Definisi 2.2, daat diaati bahwa definisi field dieroleh dari engganti sifat (2) ada Definisi 2.5 dengan ernyataan bahwa R\ 0 adalah gru koutatif terhada oerasi erkalian. Dengan deikian, isalkan R adalah suatu ring yang koutatif aka,,. disebut field jika eenuhi sifat, adalah gru koutatif,

11 4 {0},. adalah gru koutatif, dan sifat distributif berlaku a( b c) ab ac dan ( a b) c ac bc. Contoh field tak-hingga di antaranya adalah, dan. Sedangkan contoh field berhingga daat diabil. Dari contoh sebelunya bahwa 5 tidak auat ebagi nol, aka 5 eruakan daerah integral. Selanjutnya, karena setia eleen tak-nol dala 5 eunyai invers, yaitu. =, 2.3 =, 3.2 = dan 4.4 = aka 5 juga eruakan field. Hal ini enunjukkan bahwa untuk setia daerah integral berhingga berkarakteristik bilangan ria adalah field dan setia field adalah daerah integral. Hal ini daat disajikan dala teorea berikut. Teorea 2.22 adalah field jika dan hanya jika adalah bilangan ria (Menezes 997). Sebagaiana di dala bahasan tentang subgru, suatu hiunan tak-kosong S di dala ring R disebut subring jika S sendiri eruakan ring terhada oerasi yang diiliki oleh R. Dala ebahasan ring secara keseluruhan, sub ring tidak begitu bereran dibandingkan dengan ideal. Jadi disini lebih enekankan enggunaan ideal dari ada subring. Definisi 2.23 Suatu hiunan bagian tak-kosong I dari ring R disebut ideal jika eenuhi aksioa-aksioa berikut ini. a. Tertutu terhada engurangan, yaitu a, b I ( a b) I. b. I enyera roduk di dala R, yaitu a I dan r R ar I dan ra I (Guritan 2004). Misalkan adalah ring dan didefinisikan hiunan seua bilangan bulat gena, aka adalah sebuah ideal dari. Hal ini daat ditunjukkan dengan enggunakan definisi Jelas 0. Misalkan x, y, aka terdaat k, l sehingga x k dan y l dieroleh x y k l ( k l). Jadi ( k l). Selanjutnya, untuk setia r, aka x. r ( k) r ( kr) juga eleen dari. Dengan deikian, adalah sebuah ideal dari.

12 5 Definisi 2.24 Misalkan R adalah ring koutatif dengan unsur kesatuan dan a R. Suatu hiunan, dilabangkan a, didefinisikan sebagai a { ra r R} eruakan ideal. Ideal yang deikian disebut ideal utaa (Princial Ideal) yang dibangun oleh a (Guritan 2004). Contoh, isalkan adalah ring. Ideal dari adalah hiunan seua bilangan bulat gena yang dibangun oleh 6 adalah 6 {..., 8, 2, 6, 0, 6,2,8,...} dan eruakan ideal utaa. Definisi 2.25 Suatu hooorfisa dari ring R ke ring ' R adalah suatu fungsi ' f : R R yang eenuhi: a. f ( a b) f ( a) f ( b), dan b. f ( ab) f ( a) f ( b), untuk setia a, b R. Jika f surjektif, aka ' R disebut bayangan hooorfik dari R. Kernel dari f didefinisikan Ker( f ) { x R f ( x) 0}, dan Range dari f didefinisikan Ran( f ) { f ( x) x R}. Jika f adalah hooorfisa yang bijektif, aka f disebut isoorfisa. Dala hal ini R dan (Guritan 2004). ' R dikatakan isoorfik, dinotasikan R R ' Sebagai ilustrasi, untuk setia integer kita daat endefinisikan sebuah fungsi f : oleh f ( x) x(od ). Fungsi f eruakan hooorfisa ring, isalkan a, b aka f ( a b) ( a b)(od ) a(od ) b(od ) f ( a) f ( b) dan f ( ab) ( ab)(od ) a(od ). b(od ) f ( a) f ( b) Di sisi lain, kernel dari hooorfisa f adalah

13 6 ker( f ) { a f ( a) 0} { a a(od ) 0} { a a k., k }. =. Teorea 2.26 Misalkan f : R R ' hooorfisa ring, aka ker( f ) { x R f ( x) 0} eruakan ideal dari R (Gallian 990). Definisi 2.27 Misalkan R ring dan I ideal dari R. Untuk a R, I a { i a i I} disebut koset dari I di dala R. Oerasi enjulahan dan erkalian ada koset-koset didefinisikan sebagai ( I a) ( I b) I ( a b) dan ( I a)( I b) I ab (Guritan 2004). Dari contoh sebelunya bahwa 6 {..., 8, 2, 6, 0, 6,2,8,...} adalah ideal utaa dengan koset-kosetnya adalah 6 0 {..., 8, 2, 6,0,6,2,8,...} 0, 6 {..., 7,, 5,,7,3,9,...}. 6 2 {..., 6, 0, 4, 2,8,4, 20,...} {..., 5, 9, 3,3,9,5, 2,...} {..., 4, 8, 2, 4,0,6, 22,...} {..., 3, 7,,5,,7,23,...} 5 Jadi hiunan koset-koset yang dibangun oleh 6 adalah 6 {0,, 2, 3, 4, 5}. Teorea 2.28 R I dengan oerasi enjulahan dan oerasi erkalian eruakan ring dan disebut ring faktor dari R oleh I (Guritan 2004).

14 7 Teorea 2.29 Jika I adalah ideal dari ring R, aka fungsi R I adalah ring dan eruakan bayangan hooorfisa dari R (Herstein 964). Teorea 2.30 Misalkan R dan ' R adalah asing-asing ring dan ' f : R R adalah eiorfisa dengan K adalah kernel dari f, aka R ' R K (Aliatiningtyas 2002). Misalkan adalah ring seerti ada contoh sebelunya, ker( f ) 6 adalah ideal, dan / 6 adalah ring faktor (quosen), aka / 6 isoorfik dengan 6. Definisi 2.3 Suatu ideal utaa I dari suatu ring R dikatakan ideal aksial jika tidak ada ideal T dari R sedeikian sehingga I T (Guritan 2004). Teorea 2.32 Misalkan R adalah ring koutatif dengan unsur kesatuan dan I adalah ideal dari R, aka I adalah ideal aksial jika dan hanya jika ring faktor R I adalah field (Gallian 990). 2.6 Ring Polinoial Misalkan R adalah ring koutatif dengan unsur kesatuan dan x eruakan sibol yang tak teta, aka setia eksresi dari a a x... a x a x disebut 0 olinoial dala x dengan koefisien ai R atau lebih sederhana disebut olinoial dala x atas R. Eksresi dari i0 a x i i disebut terinologi dari olinoial. Misalkan Polinoial dala x diodelkan dengan sibol a( x), b( x), f ( x ), dan lain-lain. i 0 i i0 f ( x) a a x... a x a x a x eruakan sebarang olinoial. Derajat dari olinoial f ( x) yaitu bilangan terbesar sehingga koefisien dari x bukan nol dan dinotasikan dengan deg f ( x ). Polinoial f ( x) 0 0 x... 0 x... yang seua koefisiennya nol disebut olinoial nol, dinotasikan dengan f ( x) 0, dan disebut olinoial tak berderajat. Jika olinoial tak nol f ( x) a a x... a x ax eunyai derajat, aka a 0 disebut

15 8 koefisien dean. Jika olinoial f ( x) a0, aka f ( x) berderajat nol dan disebut olinoial konstan. Sebarang olinoial yang koefisien deannya saa dengan disebut olinoial onik. Misalkan f ( x) a a x... a x a x berderajat dan 0 g x b b x b x n ( ) 0... n berderajat n, aka f ( x) g( x) jika dan hanya jika n dan a i b untuk setia k 0,,...,. Oerasi enjulahan dan erkalian dala ring i olinoial sistenya saa seerti dala aljabar eleenter. Misalkan fungsi f x a a x a x ( ) 0... dan didefinisikan g x b b x b x n ( ) 0... n, aka oerasi enjulahan f x g x c c x c x k ( ) ( ) 0... k, dengan c i a i b i untuk setia i. Oerasi erkalian didefinisikan f x g x c c x c x ( ) ( ) 0... i diana ci akbi k a0bi ab i... ai b aib0 k 0. n n Definisi 2.33 Misalkan R adalah ring koutatif, ring olinoial R[ x] adalah ring yang dibentuk oleh hiunan dari seua olinoial-olinoial dala x yang koefisiennya ada dala R dengan oerasi enjulahan olinoial dan oerasi erkalian olinoial (Menezes 997). Sebagai contoh, x 0 x..., 2 0x 0 x..., x x x , 2 2 x 0 0x x..., dan sebagainya. Dengan deikian, R[ x] daat dinyatakan secara 2 unik sebagai { a a x a x... a x } diana a i R. 0 2 Teorea 2.34 Jika R ring koutatif, aka R[ x] juga eruakan ring koutatif dan jika R eiliki unsur kesatuan aka juga eruakan unsur kesatuan dala R[ x ]. Teorea 2.35 Jika D adalah daerah integral, aka D[ x] juga daerah integral.

16 9 Teorea 2.36 Jika adalah field, aka [ x] daerah integral. Karena adalah daerah integral aka [ x] adalah daerah integral dan karena adalah field aka [ x] 5 5 adalah daerah integral. Teorea 2.37 Misalkan adalah field dan ring olinoial [ x]. Jika f ( x), g( x) [ x] dengan g( x) 0, aka ada olinoial unik q( x), r( x) [ x] sehingga f ( x) q( x) g( x) r( x) dengan r( x) 0 atau derajat r( x) derajat g( x) (Fraleigh 2003). Akibat 2.38 Misalkan adalah field. Eleen c dala adalah dari f ( x) [ x] jika dan hanya jika x c adalah faktor dari f ( x) dala [ x] (Gilbert 2004). Akibat 2.39 Sebuah olinoial berderajat atas field eunyai aling banyak akar dala (Gilbert 2004). Definisi 2.40 Misalkan g( x), h( x) [ x] keduanya tidak nol, aka Greatest Coon Divisor dari g( x) dan h( x) dinotasikan gcd( g( x), h( x)) adalah olinoial onik berderajat terbesar dala [ x] diana keduanya ebagi g( x) dan h( x ) (Menezes 997). Definisi 2.4 Suatu olinoial non-konstanta f ( x) [ x] dikatakan irreducible atas [ x] jika f ( x) tidak daat dinyatakan sebagai erkalian g( x) h( x) diana g( x) dan h( x) adalah dua olinoial dala [ x] yang keduanya berderajat lebih rendah dari derajat f ( x ) (Fraleigh 2003). Teorea 2.42 Misalkan adalah field dan f ( x) [ x]. Setia ideal dala [ x] adalah ideal utaa dan ideal f ( x) adalah ideal aksial jika dan hanya jika f ( x) adalah irreducible atas (Gallian 990).

17 Ruang Vektor Definisi 2.43 Misalkan adalah field dan isalkan sebarang hiunan V didefinisikan aturan julah dan aturan erkalian skalar. V disebut ruang vektor atas jika eenuhi 0 sifat-sifat berikut:. Untuk setia u, v V aka terdaat tunggal wv oerasi enjulahan: u v w. yang sehingga tertutu terhada 2. Untuk setia u, v, wv berlaku sifat assosiatif: ( u v) w u ( v w). 3. Untuk setia u V, terdaat tunggal identitas 0V sehingga 0 u u 0 u. 4. Untuk setia u V, terdaat tunggal invers v V sehingga u v u v 0 ( v u ). 5. Untuk setia u, v, wv berlaku sifat koutatif: u v v u. 6. Untuk setia k, dan setia u V aka terdaat tunggal v V terhada oerasi erkalian ku v. 7. Untuk setia k, dan setia u, v V aka k( u v) ku kv. sehingga tertutut 8. Untuk setia k, l, dan setia u V aka ( k l) u ku lu. 9. Untuk setia k, l, dan setia u V aka ( kl) u k( lu). 0. Untuk setia u V aka u u, diana adalah unsur identitas dari (,.). Unsur dari V disebut vektor dan unsur dari disebut skalar (Guritan 2005). Definisi 2.44 Misalkan V adalah vektor atas field.. Vektor v, v2,..., v dala ruang vektor V disebut bebas linear atas field jika cv c2v2... cv 0 engakibatkan seua skalar c, c2,..., c harus saa dengan nol. 2. Vektor v, v2,..., v dala ruang vektor V disebut bergantung linear atas field jika terdaat skalar c, c2,..., c yang tidak seuanya nol sehingga cv c2v2... cv 0 (Guritan 2005). Vektor-vektor v, v2,..., v akan ebentuk basis untuk ruang vektor V jika dan hanya jika v, v 2,..., v bebas linear dan erentang V.

18 2 2.8 Perluasan Field Definisi 2.45 Field disebut suatu erluasan dari field jika euat subfield (Fraleigh 2003). Definisi 2.46 Suatu eleen c dari erluasan field dari field adalah algebraic atas jika f ( c) 0 untuk beberaa olinoial tidak-nol f ( x) [ x]. Jika c bukan algebraic atas, aka c disebut dengan transendental atas (Fraleigh 2003). Misalkan adalah subfield dari field, dan c adalah eleen dala. Didefinisikan c : [ x] dengan aturan eetaan c( f ( x)) f ( c), diana f ( x) a a x... a x berderajat dan a 0 dala [ x]. Dengan enggunakan 0 Definisi 2.25, aka daat ditunjukkan bahwa c eruakan hooorfisa. Bagaiana dengan Kernel dari c? Ker( ) { f ( x) [ x] ( f ( x)) 0} c = { f ( x) [ x] f ( c) 0} = 0 c { f ( x) [ x] a a c... a c 0} Jadi Ker( c) adalah hiunan seua olinoial-olinoial f ( x) atas [ x] dan eunyai akar c. Berdasarkan Teorea 2.26, Ker( c) adalah ideal dari [ x] dan setia ideal dala [ x] adalah ideal utaa, terdaat ( x) [ x] Ker( ) ( x) c = h( x). ( x) h( x) [ x], diana ( x) sehingga adalah olinoial non konstanta berderajat terkecil, irreducible dan onik diana c eruakan akar dari ( x ). Selanjutnya akan dicari bayangan dari c. I( c ) { c( f ( x)), f ( x) [ x]} { f ( c), f ( x) [ x]}

19 22 { a a c... a c, f ( x) [ x]} ( c) 0 Dengan deikian, dieroleh c : [ x] ( c) adalah eiorfisa dengan ker( ) ( x), diana ( x) c adalah olinoial berderajat terkecil aka berdasarkan Teorea 2.30 berlaku [ x] f ( x) ( c). Karena ( x) adalah olinoial irreducible, aka berdasarkan Teorea 2.42 ( x) adalah ideal aksial. Selanjutnya, berdasarkan Teorea 2.32 aka ring faktor [ x] ( x) adalah field. Karena isoorfik, akibatnya ( c) juga field. Dari uraian di atas, dieroleh teorea berikut ini. Teorea 2.47 Misalkan adalah field dan ( x) [ x] adalah olinoial irreducible atas. Jika c eruakan akar dari ( x) dala beberaa erluasan aka [ x] ( x) [ c] adalah field (Gallian 990). Selanjutnya, jika akar c, aka ( c). Sebaliknya jika c dan c adalah algebraic aka ( c) eruakan erluasan field dari. Karena [ x] ( x) ( c), aka [ x] ( x) juga eruakan erluasan field dari. Definisi 2.48 Misalkan erluasan field dari field. Jika berdiensi berhingga sebagai ruang vektor atas, aka disebut erluasan berhingga berderajat atas (Rosdiana 2009). Definisi 2.49 Suatu erluasan field dari field disebut erluasan tunggal jika ( c) untuk suatu c (Rosdiana 2009). Teorea 2.50 Misalkan ( c) dengan c algebraic atas. Misalkan derajat dari erluasan yaitu, aka setia eleen dari ( c) daat dinyatakan secara unik dala bentuk b b c... b c diana b [ x] (Fraleigh 2003). 0 i

20 23 Teorea 2.5 Misalkan erluasan field dari field dan c algebraic atas. Jika derajat dari erluasannya, aka ( c) 0 2 dengan basis { c, c, c,..., c } (Fraleigh 2003). adalah ruang vektor atas berdiensi- Sebagai contoh, bilangan rasional eruakan field tak hingga, dan 2. 2 bukan eruakan akar dari sebarang olinoial onik berderajat atas, karena olinoial x 2 [ x]. Tetai 2 eruakan akar dari olinoial 2 x 2, aka 2 adalah eleen algebraic atas. Karena 2 adalah eleen algebraic atas, aka olinoial 2 x 2 eruakan olinoial iniu atas. Jadi derajat dari erluasan adalah ( 2) 2 dengan basisnya {, 2}. Dengan deikian, setia eleen dala ( 2) eruakan kobinasi linear dari dan 2 yang berbentuk a b 2 diana a, b, dinotasikan dengan ( 2) { a b 2 a, b}. Teorea 2.52 (Eksistensi dan kekhasan finite field). Jika adalah finite field aka terdiri dari ria dengan. eleen dengan adalah bilangan 2. Untuk setia ria berorder dinotasikan dengan GF( ), terdaat finite field yang khas berorder (Menezes 997).. Field ini Teorea 2.53 Misalkan f ( x) [ x] adalah olinoial irreducible berderajat, aka [ x] f ( x) adalah finite field berorder. Oerasi enjulahan olinoial dan oerasi erkalian olinoial dilakukan dala odulo f ( x ) (Menezes 997). Dua teorea berikut ini eruakan dasar dari algorite untuk engecekan aakah olinoial f ( x) irreducible atau tidak, dan engecekan aakah olinoial irreducible f ( x) adalah riitif atau tidak. Teorea 2.54 Jika adalah bilangan ria dan adalah integer ositif, aka berlaku: ). Produk dari seua olinoial irreducible onik dala [ x ] ebagi atau faktor dari saa dengan x x. yang derajatnya

21 24 2). Misalkan f ( x) adalah olinoial berderajat dala [ x ], aka f ( x) irreducible atas [ x i ] jika dan hanya jika gcd( f ( x), x x), untuk setia i 2. Teorea 2.55 Misalkan adalah bilangan ria dan isalkan eunyai faktor-faktor ria yang berbeda dari adalah r, r2,..., r t, aka olinoial ireducible f ( x) [ x] adalah riitif jika dan hanya jika untuk setia i t berlaku x ( ) / r i (od f ( x)). Definisi 2.56 Misalkan GF( ) adalah finite field berkarakteristik, dan isalkan c GF( ). Polinoial iniu dari c atas adalah olinoial onik berderajat terkecil atas [ x ] dengan c sebagai akarnya (Menezes 997). Teorea 2.57 Jika c adalah algebraic atas, aka olinoial iniu ( x) atas eunyai sifat:. ( x) adalah olnoial irreducible atas [ x ]. 2. Derajat dari ( x) adalah ebagi dari. 3. Misalkan t adalah bilangan bulat terkecil sedeikian sehingga t ( x) ( x c i ) (Menezes 997). i0 t c c, aka 2.9 Koleksitas Koutasi Algorite aritetik yang dihasilkan daat dianalisis dari segi fungsi koleksitas waktu (tie-colexity function), yaitu sebagai fungsi untuk engukur banyaknya oerasi dala suatu algorite yang eunyai variabel inut n. Yang diaksud dengan banyaknya oerasi adalah banyaknya oerasi dasar (julah, kurang, kali dan bagi) ditabahkan dengan assignent dan erbandingan (eksresi logika). Setelah endefinisikan fungsi f ( n) untuk suatu algorite, keudian dengan Tabel O- Besar kita tentukan order dari f sebagai ukuran efisiensi algorite yang bersangkutan (Guritan 2004). Naun deikian, algorite aritetik yang dihasilkan dala enelitian

22 25 ini tidak terlalu ebutuhkan inforasi beraa julah oerasi dasar tersebut, akan tetai yang dibutuhkan adalah erkiraan kasar kebutuhan waktu algorite dan seberaa ceat fungsi kebutuhan waktu itu tubuh. Kinerja algorite akan taak untuk n yang sangat besar, bukan ada n yang berukuran kecil. Untuk n yang berukuran kecil aka erbedaan keceatannya tidak akan terlihat. Tetai, bila algorite tersebut diterakan untuk n yang berukuran lebih besar aka erbedaan keceatannya akan terlihat sangat berarti.