PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING

Transkripsi

1

2 Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem Informasi Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNIVERSITAS JEMBER

3 Kata Pengantar Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa, karena atas anugerah dan kasih- Nya, telah berhasil disusun sebuah handout untuk mata kuliah Aljabar Abstrak dengan judul Pengantar pada Teori Grup dan Ring. Untuk dapat mempelajari materi-materi inti yang disajikan dalam handout ini, diharapkan mahasiswa sudah menguasai konsep tentang himpunan dan fungsi. Oleh karenanya sebagai apersepsi maka pada bab I disajikan sekilas tentang konsep himpunan dan fungsi. Secara umum konsep-konsep struktur aljabar yang disajikan dalam buku ini banyak dituangkan dalam bentuk definisi dan teorema. Sebagian besar teorema disajikan tanpa disertai pembuktian dan hanya pada beberapa teorema diberikan langkah-langkah pembuktiannya. Hal ini dimaksudkan agar selain memahami suatu teorema, mahasiswa juga dapat berlatih untuk membuktikannya. Ucapan terima kasih disampaikan kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan handout ini. Dan diharapkan agar handout ini dapat bermanfaat bagi pembaca sekalian, khususnya para mahasiswa yang menempuh matakuliah Aljabar Abstrak. Oleh karena itu kritik dan saran sangat diharapkan untuk lebih sempurnanya penyusunan handout ini. Jember, Pebruari 2016 Antonius C. Prihandoko i

4 Daftar Isi Kata Pengantar Daftar Isi i iv 1 HIMPUNAN DAN FUNGSI Himpunan Partisi dan Relasi Ekuivalensi Fungsi Operasi Biner GRUP Pengertian Grup Sifat-sifat Dasar Grup Ordo Grup dan Elemen Grup Subgrup GRUP SIKLIK Konsep dan Beberapa Sifat Dasar Subgrup dari Grup Siklik Hingga GRUP PERMUTASI Permutasi Orbit dan Cycle KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE Koset ii

5 5.2 Teorema Lagrange HOMOMORPHISMA GRUP Homomorphisma Isomorphisma dan Teorema Cayley GRUP FAKTOR Pembentukan Grup Faktor oleh Homomorfisma Pembentukan Grup Faktor oleh Subgrup Normal Teorema Homomorfisma Dasar RING DAN FIELD Pengertian dan Sifat-sifat Dasar Ring Subring Homomorfisma dan Isomorfisma Unity dan Field Soal Latihan Definisi dan Sifat Dasar Ring INTEGRAL DOMAIN Pembagi Nol Integral Domain Karakteristik Ring Soal Latihan Integral Domain TEOREMA FERMAT DAN EULER Teorema Fermat Generalisasi Euler Penerapan pada Kongruensi ax b mod m Soal Latihan Teorema Fermat dan Euler FIELD QUOTIEN DARI SUATU INTEGRAL DOMAIN Pembentukan Field Quotien Keunikan Soal Latihan Field Quotien Dari Suatu Integral Domain iii

6 12 RING POLINOMIAL Polinomial dalam Sebuah Indeterminasi Homomorfisma Evaluasi Algoritma Pembagian dalam F [x] Soal Latihan Ring Polinomial HOMOMORPHISMA RING Homomorfisma Ring dan Sifat-sifatnya Kernel Isomorfisma Soal Latihan Homomorfisma Ring RING FAKTOR (QUOTIEN) Pembentukan Ring Faktor Ideal Teorema Homomorfisma Dasar Soal Latihan Ring faktor IDEAL MAKSIMAL DAN PRIMA Ideal Maksimal Ideal Prima Soal latihan Ideal maksimal dan Prima KUMPULAN SOAL LATIHAN 88 iv

7 Bab 1 HIMPUNAN DAN FUNGSI Bab ini menyajikan materi pengantar untuk dapat memahami materi utama (grup dan homomorfisma) dalam perkuliahan Struktur Aljabar I. Karena pada dasarnya grup adalah sebuah himpunan dan homomorfisma adalah sebuah fungsi, maka perlu dibahas tentang konsep dasar himpunan dan fungsi. Selain dua materi tersebut, dalam bab ini juga dibahas tentang konsep dasar yang lain yakni partisi, relasi ekuivalensi dan operasi biner. 1.1 Himpunan Tidak semua konsep dalam matematika dapat didefinisikan secara tepat, sehingga adakalanya suatu konsep dapat dipahami dengan mengidentifikasi sifat-sifatnya. Hal serupa juga terjadi pada konsep himpunan. Seandainya himpunan didefinisikan sebagai kumpulan dari obyek-obyek tertentu, maka akan timbul pertanyaan tentang apa pengertian dari kata kumpulan dalam definisi ini. Kemudian seandainya kumpulan didefinisikan sebagai sebuah kesatuan dari bendabenda, maka akan timbul pertanyaan tentang apa pengertian dari kata kesatuan dalam definisi ini. Demikian seterusnya pertanyaan berantai ini tidak akan berhenti, atau kalau tidak memaksa kita untuk mengulang kata-kata dalam definisi sebelumnya. Oleh karenanya dalam bab ini, pengertian himpunan tidak akan didefinisikan, tetapi akan diidentifikasi dengan menampilkan beberapa karakteristik yang berhubungan dengannya. 1

8 Bab I. Himpunan dan Fungsi antonius cp 2 Secara singkat beberapa hal yang berkaitan dengan himpunan dapat disebutkan sebagai berikut. 1. Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a S. 2. Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai φ. 3. Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2, 3, 5}, atau {x x bilangan prima 5}. 4. Sebuah himpunan dikatakan well-defined, jika secara definitif dapat dinyatakan apakah suatu obyek merupakan elemen atau bukan elemen dari himpunan tersebut. Misalkan, S = {beberapa bilangan asli}, maka S bukan merupakan himpunan yang well-defined sebab tidak dapat dinyatakan apakah 5 S ataukah 5 S. Berbeda jika dinyatakan, S = {empat bilangan asli pertama }, maka elemen-elemen S dapat disebutkan secara definitif, yakni 1, 2, 3, 4. Definisi 1.1 Sebuah himpunan B dikatakan merupakan sebuah subset dari himpunan A dan dinotasikan B A atau A B, jika setiap elemen B merupakan elemen A. Catatan : untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakan subset pada A. A disebut sebagai improper subset, sedangkan subset lainnya disebut proper subset. Contoh : Misalkan S = {a, b, c}, maka S memiliki 8 macam subset yakni φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Konsep subset ini dapat dimanfaatkan untuk membuktikan kesamaan dua buah himpunan secara analisis aljabar, yakni dua buah himpunan A dan B dikatakan sama apabila A B dan B A.

9 Bab I. Himpunan dan Fungsi antonius cp Partisi dan Relasi Ekuivalensi Definisi 1.2 Suatu partisi dari sebuah himpunan A merupakan sebuah keluarga himpunan yang terdiri dari subset-subset tak kosong dari A yang saling asing (disjoint) satu sama lain dan gabungan dari semua subset tersebut akan kembali membentuk himpunan A Contoh : {{a, b}, {c}} merupakan salah satu bentuk partisi terhadap himpunan S = {a, b, c}. Berdasarkan definisi tersebut di atas, maka untuk menunjukkan bahwa sebuah keluarga himpunan {A 1, A 2, A 3,..., A n } merupakan partisi dari himpunan A, harus dibuktikan bahwa : 1. i, j {1, 2, 3,..., n}, jika i j maka A i A j = φ; 2. n i=1a i = A Contoh : 1. Himpunan bilangan bulat, Z, dapat dipartisi menjadi himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil. 2. Z dapat juga dipartisi menjadi kelas-kelas yang masing-masing kelas mempunyai sifat jika dibagi tiga menghasilkan sisa yang sama, sehingga partisi yang terjadi adalah {0, 1, 2}, dimana 0 = {..., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9,...}; 1 = {..., 8, 5, 2, 1, 7, 10,...}; 2 = {..., 7, 4, 1, 2, 8, 11,...}. Konsep lain yang erat kaitannya dengan partisi adalah relasi ekuivalensi. Maksudnya, jika sebuah himpunan dipartisi maka akan ada relasi ekuivalensi yang dapat ditemukan pada himpunan tersebut. Demikian pula sebaliknya, apabila pada suatu himpunan didefinisikan sebuah relasi ekuivalensi, maka himpunan semua kelas ekuivalensi akan merupakan sebuah partisi untuk himpunan tersebut. Definisi 1.3 Suatu relasi pada sebuah himpunan A disebut relasi ekuivalensi jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut:

10 Bab I. Himpunan dan Fungsi antonius cp 4 1. Refleksif; yakni x A, x x; 2. Simetris; yakni jika x y maka y x; 3. Transitif; yakni jika x y dan y z maka x z. Contoh : 1. Relasi kesamaan pada himpunan bilangan riil, R, merupakan sebuah relasi ekuivalensi. 2. Misalkan pada himpunan bilangan rasional, Q, didefinisikan sebuah relasi: a/b c/d jika hanya jika ad = bc, maka relasi merupakan relasi ekuivalensi. 3. Jika pada himpunan Z didefinisikan relasi: x y jika hanya jika xy 0, maka bukan merupakan relasi ekuivalensi. Tunjukkan! 4. Jika Z dipartisi menjadi kelas-kelas yang masing-masing kelas mempunyai sifat jika dibagi lima menghasilkan sisa yang sama, maka relasi sekelas partisi dengan merupakan sebuah relasi ekuivalensi pada Z. Definisi 1.4 Misalkan merupakan relasi ekuivalensi pada himpunan A, dan x adalah suatu elemen dalam A. Himpunan semua elemen yang ekuivalen dengan x disebut kelas ekuivalensi dari x, dan dinotasikan dengan [x]. Dengan kata lain [x] = {a A a x}. Teorema 1.1 Jika x y maka [x] = [y]. Coba anda buktikan teorema di atas dengan memanfatkan konsep kesamaan dua buah himpunan, yakni harus ditunjukkan bahwa [x] [y] dan [y] [x]. Teorema 1.2 Jika merupakan suatu relasi ekuivalensi pada A, maka himpunan semua kelas ekuivalensi, yakni {[x] x A} merupakan partisi pada A.

11 Bab I. Himpunan dan Fungsi antonius cp 5 Teorema ini menyatakan bahwa jika didefinisikan sebuah relasi ekuivalensi pada A maka setiap elemen dalam A akan menjadi elemen pada salah satu kelas ekuivalensi yang terjadi, sehingga akan didapatkan sebuah partisi utnuk A. Dengan demikian oleh sebuah relasi ekuivalensi, A akan dipartisi ke dalam kelas-kelas ekuivalensi. Untuk setiap n Z + ada suatu relasi ekuivalensi yang penting pada Z yang disebut sebagai kongruensi modulo n. Definisi 1.5 Misalkan a dan b adalah dua bilangan bulat pada Z dan n adalah sebarang bilangan bulat positif. Maka dikatakan bahwa a kongruen terhadap b modulo n, dan dinotasikan a b (mod n), jika a b dapat dibagi habis oleh n, yakni a b = nk, untuk suatu k Z. Kelas-kelas ekuivalensi untuk kongruensi modulo n disebut kelas-kelas residu modulo n. Contoh : 7 12 (mod 5) sebab 7 12 = 5( 1). Sedangkan kelas residu yang memuat 7 dan 12 adalah {5n + 2 n Z} = {..., 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17,...} 1.3 Fungsi Definisi 1.6 Suatu fungsi atau pemetaan φ dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap elemen dari A dengan tepat satu elemen dari B. Secara notasi dapat dinyatakan bahwa φ : A B merupakan sebuah fungsi jika ( a A)(!b B), φ(a) = b. Sehingga untuk menunjukkan bahwa suatu aturan merupakan suatu fungsi maka perlu dibuktikan bahwa ( a 1, a 2 A), a 1 = a 2 = φ(a 1 ) = φ(a 2 ) Definisi 1.7 Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B dikatakan satu-satu jika setiap elemen di B memiliki paling banyak satu elemen dari A yang dipetakan kepadanya; dan dikatakan onto jika setiap elemen di B memiliki paling sedikit satu elemen dari A yang dipetakan kepadanya.

12 Bab I. Himpunan dan Fungsi antonius cp 6 Dengan demikian teknis untuk menunjukkan kedua predikat fungsi tersebut adalah sebagai berikut. 1. Untuk menunjukkan bahwa φ adalah satu-satu, maka harus ditunjukkan bahwa φ(a 1 ) = φ(a 2 ) berimplikasi a 1 = a Untuk menunjukkan bahwa φ adalah onto, maka harus ditunjukkan bahwa untuk setiap b B, ada a A sedemikian hingga φ(a) = b. 1.4 Operasi Biner Definisi 1.8 Suatu operasi biner pada suatu himpunan S dimaksudkan sebagai sebuah aturan yang memasangkan setiap pasangan terurut elemen-elemen S, (a, b) dengan suatu elemen dalam S. Definisi ini menunjukkan bahwa himpunan S harus bersifat tertutup di bawah sebuah operasi biner. Artinya, jika a, b S dan merupakan sebuah operasi biner pada S sedemikian hingga a b = c maka haruslah c S. Selain itu istilah pasangan terurut di sini memegang peranan yang penting, sebab elemen yang dipasangkan dengan (a, b) belum tentu sama dengan elemen yang dipasangkan dengan (b, a). Contoh : 1. Operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan riil (R), pada himpunan bilangan bulat (Z), pada himpunan bilangan kompleks (C), atau pada himpunan bilangan rasional (Q) merupakan suatu operasi biner. 2. Misalkan M(R) merupakan himpunan semua matriks dengan entri-entri riil, maka operasi penjumlahan matriks biasa bukan merupakan operasi biner. Mengapa? 3. Operasi penjumlahan juga bukan merupakan operasi biner pada R = R {0}. Mengapa?

13 Bab I. Himpunan dan Fungsi antonius cp 7 Berikut ini beberapa predikat khusus yang dikenakan pada operasi biner tertentu. Definisi 1.9 Operasi biner pada himpunan S dikatakan komutatif jika dan hanya jika a b = b a, a, b S; dan dikatakan asosiatif jika dan hanya jika (a b) c = a (b c), a, b, c S. Dari beberapa uraian dan contoh di atas, dapatlah digarisbawahi bahwa sebuah operasi biner memiliki 2 ciri utama : tunggal hasil dan tertutup, artinya jika merupakan operasi biner pada S, maka untuk setiap pasangan terurut (a, b) dalam S, ada tepat satu elemen c dalam S sedemikian hingga a b = c. SOAL LATIHAN HIMPUNAN DAN FUNGSI 1. Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 2. Buktikan bahwa: (a) Jika M φ, maka M = φ. (b) Jika K L, L M dan M K, maka K = M. (c) A (A B) (d) Jika A B = φ maka A = φ dan B = φ. (e) (A B) A (f) A B jika hanya jika (A B) = B (g) (A B) A (h) (A B) B = φ (i) M N jika hanya jika M N = φ (j) M = N jika hanya jika M N = φ dan N M = φ 3. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar elemen-elemennya! (a) {x R x 2 = 3}

14 Bab I. Himpunan dan Fungsi antonius cp 8 (b) {a Z a 2 = 3} (c) {x Z xy = 60 untuk suatu y Z} (d) {x Z x 2 x < 115} 4. Nyatakan apakah relasi-relasi berikut merupakan relasi equivalensi? Jika ya, nyatakan partisi yang dibangun dari relasi equivalensi tersebut! (a) x y dalam Z jika xy > 0 (b) x y dalam R jika x y (c) x y dalam R jika x = y (d) x y dalam R jika x y 3 (e) x y dalam Z + jika x dan y memiliki jumlah digit yang sama (f) x y dalam Z + jika x dan y memiliki digit akhir yang sama (g) x y dalam Z + jika n m habis dibagi Misalkan n merupakan bilangan bulat tertentu dalam Z +. Tunjukkan bahwa kongruensi modulo n merupakan relasi equivalensi dalam Z. 6. Nyatakan semua kelas residu pada Z modulo n, untuk beberapa nilai n berikut: 1,2,3,4 dan 8 7. Hitunglah banyaknya kemungkinan partisi pada sebuah himpunan S yang memiliki: 1,2,3,4 atau 5 elemen. 8. Jika fungsi f : A B mempunyai fungsi invers f 1 : B A, nyatakan sifat-sifat yang dimiliki oleh f. 9. Jika A = [ 1, 1] dan fungsi f 1 (x) = x 2, f 2 (x) = x 3, f 3 (x) = sin x, f 4 (x) = x 5, f 5 (x) = φ x, periksalah mana yang mempunyai fungsi invers. 10. Buktikan jika f : A B dan g : B C mempunyai fungsi invers f 1 : B A dan g 1 : C B, maka komposisi fungsi g f : A C mempunyai fungsi invers f 1 g 1 : C A

15 Bab I. Himpunan dan Fungsi antonius cp Misal f : A B dan g : B A serta g f = I A, dengan I A adalah fungsi identitas pada A. Tentukan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut. (a) f adalah fungsi satu-satu. (b) g adalah fungsi satu-satu. (c) g = f 1 (d) g adalah fungsi onto. (e) f adalah fungsi onto. 12. Nyatakan apakah operator biner berikut bersifat komutatif atau asosiatif. (a) didefinisikan pada Z dengan a b = a b (b) didefinisikan pada Q dengan a b = ab + 1 (c) didefinisikan pada Q dengan a b = ab 2 (d) didefinisikan pada Z + dengan a b = 2 ab (e) didefinisikan pada Z + dengan a b = a b 13. Misalkan himpunan S memiliki tepat 1 elemen. Berapa banyak operasi biner yang berbeda yang dapat didefinisikan pada S? Jawablah pertanyaan yang sama jika S memiliki tepat 2 elemen; 3 elemen; n elemen. 14. Nyatakan apakah operasi berikut merupakan operasi biner. Jika tidak sebutkan aksioma mana yang tidak terpenuhi. (a) Pada Z + didefinisikan dengan a b = a b. (b) Pada Z + didefinisikan dengan a b = a b. (c) Pada R didefinisikan dengan a b = a b. (d) Pada Z + didefinisikan dengan a b = c, dengan c adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada a dan b.

16 Bab I. Himpunan dan Fungsi antonius cp 10 (e) Pada Z + didefinisikan dengan a b = c, dengan c paling sedikit 5 lebihnya dari a + b. (f) Pada Z + didefinisikan dengan a b = c, dengan c bilangan bulat terbesar yang kurang dari ab. 15. Nyatakan benar atau salah dan berikan alasannya. (a) Jika operasi biner pada himpunan S, maka a a = a, a S. (b) Jika operasi biner komutatif pada himpunan S, maka a, b, c S, a (b c) = (b c) a. (c) Jika operasi biner asosiatif pada himpunan S, maka a, b, c S, a (b c) = (b c) a. (d) Suatu operasi biner pada himpunan S dikatakan komutatif jika ada a, b S, sedemikianhingga a b = b a. (e) Setiap operasi biner yang didefinisikan pada suatu himpunan yang memiliki tepat 1 elemen adalah komutatif dan asosiatif. (f) Sebuah operasi biner pada himpunan S menghubungkan paling tidak 1 elemen S untuk setiap pasangan terurut elemen S. (g) Sebuah operasi biner pada himpunan S menghubungkan paling banyak 1 elemen S untuk setiap pasangan terurut elemen S. (h) Sebuah operasi biner pada himpunan S menghubungkan tepat 1 elemen S untuk setiap pasangan terurut elemen S. 16. Tunjukkan bahwa jika adalah operasi biner komutatif dan asosiatif pada himpunan S, maka (a b) (c d) = [(d c) a] b, a, b, c, d S. 17. Untuk pernyataan-pernyatan berikut, tunjukkan bila benar, atau berikan counter-example bila salah. (a) Setiap operasi biner pada suatu himpunan yang memiliki sebuah elemen, bersifat komutatif dan asosiatif.

17 Bab I. Himpunan dan Fungsi antonius cp 11 (b) Setiap operasi biner komutatif pada suatu himpunan yang memiliki tepat 2 elemen, bersifat asosiatif. (c) Jika F himpunan semua fungsi riil, maka komposisi fungsi pada F bersifat komutatif. (d) Jika F himpunan semua fungsi riil, maka komposisi fungsi pada F bersifat asosiatif. (e) Jika F himpunan semua fungsi riil, maka penjumlahan fungsi pada F bersifat asosiatif. (f) Jika dan sebarang dua operasi biner pada himpunan S, maka a (b c) = (a b) (a c), a, b, c S

18 Bab 2 GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep tentang subgrup. 2.1 Pengertian Grup Suatu struktur aljabar merupakan suatu sistem yang mengandung dua unsur utama yakni sebuah himpunan dan operasi biner yang didefinisikan di dalamnya. Sebuah sistem yang terdiri dari sebuah himpunan tak kosong G dan sebuah operasi biner yang didefinisikan didalamnya disebut grupoid. Jika operasi biner dalam grupoid tersebut bersifat asosiatif, maka sistem tersebut menjadi sebuah semi grup. Selanjutnya semi grup yang memuat elemen identitas, yakni sebuah elemen e sedemikian hingga untuk setiap a G berlaku a e = e a = a, disebut monoid. Dan apabila setiap elemen dalam monoid memiliki invers, yakni untuk setiap a G, a 1 G sedemikian hingga a a 1 = a 1 a = e, maka sistem yang baru disebut grup. Berikut ini disajikan definisi formal dari grup. Definisi 2.1 Suatu himpunan tak kosong G dengan sebuah operasi (dinotasikan (G, )), dapat membentuk Grup jika dan hanya jika memenuhi empat aksioma berikut. 12

19 Bab II. Grup antonius cp Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal. Atau secara simbolis: ( a, b G), (!c G), a b = c 2. Operasi bersifat asosiatif, yakni ( a, b, c G), (a b) c = a (b c). 3. Ada elemen identitas dalam G, yakni ( e G), ( a G), a e = e a = a. 4. Tiap-tiap elemen dalam G memiliki invers, yakni ( a G), ( a 1 G), a a 1 = a 1 a = e, dimana e adalah elemen identitas terhadap operasi. Contoh : 1. Himpunan bilangan riil R terhadap operasi penjumlahan bilangan riil membentuk sebuah grup. 2. Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4} terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 5, membentuk sebuah grup. 3. {a+b 3 a, b Z} terhadap operasi penjumlahan yang didefinisikan sebagai berikut: (a 1 + b 1 3) + (a2 + b 2 3) = (a1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) 3, membentuk sebuah grup. 4. Himpunan semua matrik berukuran 2 2 dengan entri-entri bilangan riil tidak dapat membentuk grup terhadap operasi perkalian matrik. Mengapa? 5. Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi perkalian bilangan bulat, tidak dapat membentuk grup. Mengapa? 6. Himpunan bilangan rasional Q dengan operasi perkalian, membentuk sebuah grup. 7. Dengan menggunakan tabel operasi, tentukan aturan bagi operasi agar himpunan G = {a, b, c, d} dapat membentuk grup terhadap operasi.

20 Bab II. Grup antonius cp 14 Definisi 2.2 Sebuah grup (G, ) dikatakan sebagai grup komutatif apabila ( a, b G), a b = b a. Contoh : Himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan merupakan grup komutatif. 2.2 Sifat-sifat Dasar Grup Setelah memahami konsep tentang suatu grup, maka berikut ini disajikan beberapa teorema yang merupakan sifat-sifat dasar dari grup. Pembuktian teoremateorema tersebut sengaja ditinggalkan untuk latihan. Teorema 2.1 Elemen identitas dari suatu grup adalah tunggal. Teorema 2.2 Invers dari setiap elemen dalam suatu grup adalah tunggal. Teorema 2.3 Jika G adalah grup dengan operasi biner, maka dalam G berlaku hokum kanselasi kiri dan hokum kanselasi kanan. Yakni, a b = a c berimplikasi b = c, dan a b = c b berimplikasi a = c, a, b, c G. Teorema 2.4 Jika G grup dan a 1, a 2,, a n adalah sebarang n elemen dalam G, maka berlaku (a 1 a 2 a n ) 1 = a 1 n a 1 n 1 a 1 1. Teorema 2.5 Jika G adalah grup maka untuk sebarang elemen a dalam G berlaku (a 1 ) 1 = a. Teorema 2.6 Dalam sebuah grup G, persamaan ax = b, dimana a, b G dan x adalah variabel, mempunyai penyelesaian tunggal yakni x = a 1 b. Teorema 2.7 Jika suatu himpunan tak kosong G terhadap operasi memenuhi aksioma: tertutup, asosiatif, dan persamaan a x = b dan y a = b mempunyai penyelesaian untuk setiap a, b G, maka (G, ) merupakan grup.

21 Bab II. Grup antonius cp Ordo Grup dan Elemen Grup Berikut ini disajikan tentang pengertian ordo grup dan ordo elemen grup beserta sifat-sifatnya yang ditampilkan dalam bentuk teorema-teorema. Definisi 2.3 Hasil operasi a a a a a sebanyak m faktor disajikan dengan a m ; hasil operasi a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 sebanyak m faktor disajikan dengan a m ; dan a 0 = e, dimana e adalah elemen identitas dalam G. Teorema 2.8 Jika m bilangan bulat positif maka a m = (a 1 ) m = (a m ) 1 Contoh : 1. Dalam grup (Z, +), 4 7 = = 28; 4 1 = 4 sehingga 4 5 = ( 4)+( 4)+( 4)+( 4)+( 4) = 20; 4 0 = 0, karena 0 merupakan elemen identitas jumlahan pada himpunan bilangan bulat. 2. Dalam grup (R, ), 2 3 = = 8; 2 1 = 1 sehingga = = 1; = 1, karena 1 adalah elemen identitas perkalian pada himpunan bilangan riil. Teorema 2.9 Apabila m dan n bilangan-bilangan bulat maka a m a n = a m+n dan (a m ) n = a mn Definisi 2.4 Ordo (atau order) dari suatu grup berhingga G adalah banyaknya elemen dari G. Sedangkan jika banyaknya elemen G tak berhingga, maka ordo dari G adalah tak berhingga. Ordo dari G dinotasikan G. Definisi 2.5 Misalkan a adalah suatu elemen dari grup G. Ordo (atau order) dari a adalah n jika hanya jika n merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga a n = e, dimana e adalah elemen identitas pada grup G. Sedangkan jika tidak ada bilangan bulat positif yang demikian maka dikatakan bahwa ordo dari a tak berhingga. Ordo dari a dinotasikan O(a).

22 Bab II. Grup antonius cp 16 Contoh : 1. Dalam (Z 5, +), O(2) = 5, sebab 5 adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 2 5 = (mod5). 2. Dalam (Z 5, ), O(2) = 4, sebab 4 adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 2 4 = (mod5). Teorema 2.10 Misalkan a adalah elemen suatu grup G. Jika a berordo berhingga n maka ada n variasi hasil perpangkatan dari a dalam G, yakni: a 1, a 2, a 3,, a n 1, a n Perlu diketahui bahwa pengertian dari hasil perpangkatan disini tidak selalu dikaitkan dengan operasi perkalian bilangan riil, tetapi tergantung dari operasi biner yang berlaku dalam suatu grup. Misalnya, dalam (G, ), maka a n = a a a a sebanyak n faktor; atau dalam (R, +), maka a n = a + a + a + + a sebanyak n faktor; seperti juga halnya dalam grup bilangan rasional Q terhadap operasi perkalian, maka a n = a a a a sebanyak n faktor. Contoh : 1. Dalam (Z 5, +), O(2) = 5, sehingga ada 5 variasi hasil perpangkatan dari 2 yang berbeda yakni 2 1 = 2; 2 2 = 4; 2 3 = 1; 2 4 = 3; dan 2 5 = Dalam (Z 5, ), O(2) = 4, sehingga ada 4 variasi hasil perpangkatan dari 2 yakni 2 1 = 2; 2 2 = 4; 2 3 = 3; dan 2 4 = 1. Teorema 2.11 Jika a berordo tak berhingga maka semua hasil perpangkatan dari a berbeda, yakni jika r s maka a r a s. Contoh : Dalam (Z, +), O(2) tak berhingga, sehingga setiap hasil perpangkatan dari 2 berbeda. Buktikan dua teorema berikut dan berikanlah contohnya masing-masing! Teorema 2.12 Misalkan O(a) = n. (a k = e) n k (n merupakan faktor dari k). Teorema 2.13 Jika O(a) = n maka O(a 1 ) = n

23 Bab II. Grup antonius cp Subgrup Definisi 2.6 Misalkan (G, )adalah sebuah grup dan H suatu subset tak kosong dari G. H dikatakan merupakan subgrup dari G jika hanya jika (H, ) membentuk sebuah grup. Berdasarkan definisi tersebut maka dapatlah dikatakan bahwa agar menjadi sebuah subgrup dari grup G maka H haruslah merupakan sebuah grup dalam grup G, yang berarti H harus memenuhi semua aksioma grup terhadap operasi biner yang sama dengan G. Selanjutnya mengingat H merupakan subset dari G maka ada aksioma yang sudah secara otomatis akan diwariskan dari G ke H, yakni aksioma asosiatif, sehingga dapat diturunkan teorema berikut. Teorema 2.14 Misalkan (G, )adalah sebuah grup dan H suatu subset tak kosong dari G. H dikatakan merupakan subgrup dari G jika memenuhi tiga aksioma berikut. 1. Tertutup : ( c, d H), c d H. 2. Elemen identitas e H; dimana e juga merupakan elemen identitas dalam grup G terhadap operasi. 3. ( c H), c 1 H. Selanjutnya dapat dianalisa bahwa jika aksioma tertutup dan invers sudah dipenuhi oleh H maka aksioma identitas juga akan terpenuhi. Sehingga aksioma pada teorema di atas dapat direduksi dan menghasilkan teorema berikut. Teorema 2.15 Misalkan (G, )adalah sebuah grup dan H suatu subset tak kosong dari G. H dikatakan merupakan subgrup dari G jika memenuhi dua aksioma berikut. 1. Tertutup : ( c, d H), c d H. 2. ( c H), c 1 H.

24 Bab II. Grup antonius cp 18 Akhirnya dua aksioma pada teorema di atas dapat digabungkan dan menghasilkan teorema berikut. Teorema 2.16 Misalkan (G, )adalah sebuah grup dan H suatu subset tak kosong dari G. H dikatakan merupakan subgrup dari G jika ( c, d H), c d 1 H. Contoh: {0, 3} dan {0, 2, 4} keduanya merupakan subgrup pada Z 6, +). Tunjukkan kebenaran akan hal ini! Definisi 2.7 Misalkan (G, ) grup. H dan K keduanya subset dalam G. Maka H K = {a G a = h k, h H k K} dan H 1 = {a G a = h 1, h H} Definisi di atas digunakan untuk operasional teorema-teorema berikut. Teorema 2.17 Jika (H, ) subgrup pada (G, ), maka H H = H dan H 1 = H. Teorema 2.18 Jika H dan K keduanya subgrup pada (G, ), maka H K merupakan subgrup jika hanya jika H K = K H. Teorema 2.19 Jika H dan K keduanya subgrup pada (G, ), maka H K juga merupakan subgrup pada (G, ). Teorema 2.20 Misal G grup dan a G. Jika H adalah himpunan dari semua hasil perpangkatan dari a dalam G, maka H merupakan subgrup dari G. Contoh : Dalam (Z 5, ), ada 4 variasi hasil perpangkatan dari 2 yakni 2 1 = 2; 2 2 = 4; 2 3 = 3; dan 2 4 = 1, sehingga {1, 2, 3, 4} merupakan subgrup dalam (Z 5, ). Catatan : Selanjutnya, untuk menyederhanakan penulisan maka notasi untuk operasi biner dalam suatu grup tidak dituliskan, jadi misalnya G suatu grup dan a, b G maka operasi a dan b dituliskan sebagai ab.

25 Bab II. Grup antonius cp 19 SOAL LATIHAN GRUP 1. Nyatakan apakah struktur aljabar berikut merupakan grupoid, semigrup, monoid atau grup! (a) Himpunan bilangan asli dengan operasi penjumlahan. (b) Himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian. (c) Himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. (d) G = {ma a Z} dengan operasi penjumlahan bilangan bulat, dimana m adalah suatu bilangan bulat tertentu. (e) G = {m a a Z} dengan operasi perkalian, dimana m adalah suatu bilangan bulat tertentu. (f) G = {a + 2b a, b Q} dengan operasi penjumlahan. (g) Himpunan bilangan rasional taknol dengan operasi perkalian. (h) Himpunan bilangan kompleks taknol dengan operasi perkalian. (i) Himpunan bilangan cacah dengan operasi penjumlahan. (j) Himpunan M 2 (R) dengan operasi penjumlahan matriks. (k) Himpunan M 2 (R) dengan operasi perkalian matriks. (l) Himpunan bilangan cacah dengan operasi penjumlahan. (m) Himpunan semua bilangan bulat yang habis dibagi lima dengan operasi penjumlahan. (n) Himpunan semua vector dalam R 2 yang berbentuk (x, 3x) dengan operasi penjumlahan vector. (o) Himpunan semua vector dalam R 2 yang berbentuk (0, y) atau (x, 0) dengan operasi penjumlahan vector. (p) G = {f 1, f 2, f 3, f 4 } dengan operasi komposisi transformasi, dimana f 1 (z) = z, f 2 (z) = z, f 3 (z) = 1, f z 4(z) = 1, untuk setiap z elemen z bilangan kompleks.

26 Bab II. Grup antonius cp Misalkan S merupakan himpunan semua bilangan riil kecuali 1. Didefinisikan operasi pada S sedemikian hingga a b = a + b + ab. (a) Tunjukkan bahwa merupakan sebuah operasi biner. (b) Tunjukkan apakah S merupakan grup. (c) Hitunglah penyelesaian dari 2 x 3 = 7 dalam S. 3. Jika G adalah grup dengan operasi biner, maka tunjukkan bahwa a, b G, (a b) 1 = b 1 a 1! 4. Nyatakan benar atau salah pada setiap pernyataan berikut dan berikan alasannya. (a) Sebuah grup dapat memiliki lebih dari satu elemen identitas. (b) Pada sebuah grup, setiap persamaan linear memiliki penyelesaian. (c) Setiap grup berhingga yang memiliki paling banyak tiga elemen merupakan grup abelian. (d) Himpunan kosong dapat dipandang sebagai sebuah grup. 5. Jika G merupakan grup berhingga dengan elemen identitas e dan banyak elemennya adalah genap, maka tunjukkan bahwa ada a e dalam G sedemikianhingga a a = e! 6. Misalkan adalah operasi biner dalam himpunan S, sebuah elemen x S dikatakan sebuah idempoten untuk jika x x = x. Tunjukkan bahwa sebuah grup memiliki tepat satu elemen idempoten! 7. Jika G adalah grup dengan elemen identitas edan x G, x x = e, maka G merupakan grup abelian! 8. Tunjukkan jika (a b) 2 = a 2 b 2, untuk a dan b dalam G, maka a b = b a! 9. Misalkan G adalah grup dan a, b G. Tunjukkan bahwa (a b) 1 = a 1 b 1 jika hanya jika a*b = b*a!

27 Bab II. Grup antonius cp Nyatakan benar atau salah setiap pernyataan berikut dan berikan alasannya! (a) Hukum asosiatif selalu berlaku pada setiap grup. (b) Dimungkinkan adanya sebuah grup dimana hukum kanselasi tidak berlaku. (c) Setiap grup merupakan subgrup pada dirinya sendiri. (d) Setiap grup memiliki tepat dua subgrup improper. (e) Setiap himpunan bilangan yang merupakan grup terhadap operasi penjumlahan, juga merupakan grup terhadap operasi perkalian. (f) Setiap subset dari setiap grup merupakan subgrup terhadap operasi biner yang sama. (g) Jika b 2 = e maka b = e, dimana e adalah elemen identitas. (h) Jika c 2 = c maka c = e. (i) dalam setiap grup, a n b n = (a b) n. 11. Jika H dan K keduanya merupakan subgrup pada grup abelian G, maka tunjukkan bahwa HK = {hk h H, k K} juga merupakan subgrup pada G. 12. Buktikan bahwa suatu subset tak kosong H pada grup G merupakan subgrup pada G jika hanya jika ab 1 H, a, b H! 13. Buktikan bahwa jika G adalah grup abelian dengan elemen identitas e, maka semua elemen x G yang memenuhi persamaan x 2 = e membentuk subgrup H pada G! 14. Misalkan G adalah grup dan a merupakan elemen tertentu dalam G. Tunjukkan bahwa H a = {x G xa = ax} merupakan subgrup pada G!

28 Bab II. Grup antonius cp Misalkan H adalah subgrup pada grup G. Untuk a, b G, misalkan a b jika hanya jika ab 1 H. Tunjukkan bahwa merupakan relasi ekuivalensi pada G. Tunjukkan pula bentuk partisi yang dihasilkan oleh relasi ekuivalensi tersebut! 16. Tunjukkan bahwa jika H subgrup G dan K subgrup G, maka H K juga subgrup G!

29 Bab 3 GRUP SIKLIK Menindaklanjuti sebuah teorema yang menyatakan bahwa himpunan semua hasil perpangkatan dari suatu elemen dalam suatu grup dapat membentuk subgrup, maka lahirlah sebuah konsep tentang suatu grup yang elemen-elemennya merupakan hasil perpangkatan dari sebuah elemen tertentu dalam grup tersebut. Grup yang demikian dikenal dengan sebutan grup siklik. Bab ini menyajikan konsep dasar grup siklik dan subgrupnya. 3.1 Konsep dan Beberapa Sifat Dasar Pada bagian akhir bab sebelumnya telah dinyatakan bahwa himpunan semua hasil perpangkatan dari suatu elemen dalam grup dapat membentuk subgrup. Misalnya G grup dan a G, maka H = {h G h = a k, k Z} merupakan subgrup pada G. Dengan demikian a sendiri juga berada dalam H karena a = a 1 dan semua elemen H dapat dinyatakan sebagai hasil perpangkatan dari a. Sehingga dapat dinyatakan bahwa a membangun himpunn H, yang dalam hal ini merupakan sebuah grup. Konsep inilah yang kemudian merupakan dasar dari pembentukan konsep tentang grup siklik yang definisi formalnya adalah sebagai berikut. Definisi 3.1 Suatu grup G dikatakan grup siklik jika ada elemen a G sedemikian 23

30 Bab III. Grup Siklik antonius cp 24 hingga setiap elemen x G, dapat dinyatakan sebagai x = a m, dimana m merupakan bilangan bulat. Elemen a disebut elemen pembangun atau generator dan G disebut sebagai grup siklik yang dibangun oleh a dan dinotasikan: G =< a >. Dari definisi di atas dan beberapa uraian sebelumnya dapat diturunkan beberapa sifat dari grup siklik berikut ini. Teorema 3.1 Setiap grup siklik merupakan grup komutatif Teorema 3.2 Jika G =< a > dan b G maka O(b) O(a). Untuk kebutuhan pembuktian pada teorema-teorema tentang grup siklik selanjutnya, diperlukan algoritma pembagian pada himpunan bilangan bulat (Z) berikut ini: Jika b sebuah bilangan bulat positif dan a sebarang bilangan bulat, maka ada dengan tunggal bilangan bulat q dan r sedemikian hingga a = bq + r dimana 0 r < b. Teorema 3.3 Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik. Akibatnya : Subgrup-subgrup pada Z terhadap operasi penjumlahan berbentuk nz terhadap operasi penjumlahan untuk n Z. Definisi 3.2 Misalkan r dan s adalah dua bilangan bulat positif. Generator positif dari grup siklik G = {nr + ms n, m Z} terhadap operasi penjumlahan merupakan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari r dan s.

31 Bab III. Grup Siklik antonius cp 25 Untuk dapat memahami definisi tersebut maka pertama-tama harus ditunjukkan bahwa G merupakan subgrup dari Z. Dan ini mudah untuk dilakukan, silahkan anda coba. Selanjutnya karena (Z, +) =< 1 > maka G pasti juga siklik dan memiliki sebuah generator d, yang dalam hal ini kita pilih d yang positif. Dari definisi dinyatakan bahwa d merupakan pembagi dari r dan s sebab baik r = 1r + 0s maupun s = 0r + 1s berada dalam G. Karena d G, maka dapat dituliskan d = nr + ms untuk suatu bilangan bulat n dan m. Dapat ditunjukkan bahwa setiap bilangan bulat yang membagi habis r dan s juga akan membagi habis d. Sehingga d pastilah bulangan terbesar yang membagi habis baik r maupun s. Teorema 3.4 Jika G =< a > berordo tak prima n, maka setiap subgrup sejatinya (proper subgrup) dihasilkan oleh a m dengan m merupakan pembagi sejati dari n, artinya (m 1) (m n) sedemikian hingga m n. Sebaliknya apabila m merupakan pembagi sejati dari n maka G pasti memiliki subgrup sejati yang dibangun oleh a m. Teorema 3.5 Jika G =< a > dan O(a) = n maka G = n. Teorema 3.6 Jika G =< a > maka G =< a 1 >. 3.2 Subgrup dari Grup Siklik Hingga Misalkan G adalah grup siklik yang dibangun oleh a (G =< a >). Maka ada dua kemungkinan untuk G, yakni G berordo tak hingga atau G berordo hingga. 1. Jika G berordo tak hingga, maka semua hasil perpangkatan dari a adalah berbeda. Hal ini berarti tidak ada dua bilangan bulat yang berbeda, h dan k, dengan h > k, yang memberikan a h = a k dalam G. Buktikan!

32 Bab III. Grup Siklik antonius cp Jika G berordo hingga, misalkan G = n, maka hanya ada n hasil perpangkatan dari a yang berbeda (mengapa?). Sehingga akan ada dua bilangan bulat yang berbeda, h dan k, yang memberikan a h = a k dalam G. Definisi 3.3 Misalkan n adalah sebuah bilangan bulat tertentu, dan misalkan h dan k sebarang bilangan bulat. Maka hasil jumlah dari h dan k modulo n (dinotasikan h + k (mod n)) adalah sisa apabila h + k dibagi n. Contoh : = 31 = 5(6) + 1. Sehingga (mod 5). Teorema 3.7 Himpunan {0, 1, 2, 3,, n 1} merupakan grup siklik Z n terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat modulo n. Teorema 3.8 Misalkan G =< a > dan G = n. Jika b G dan b = a s, maka b membangun subgrup siklik H dari G yang memuat n d FPB dari n dan s. elemen, dimana d adalah Contoh : Perhatikan Z 12 dengan generator a = 1. Karena 8 = 8 1 dan FPB dari 12 dan 8 adalah 4 maka 8 membangun sebuah subgrup dengan 12 4 = 3 elemen, yakni < 8 >= {0, 4, 8}. Teorema 3.9 Jika G =< a > dan G = n maka generator-generator yang lain untuk G berbentuk a r, dimana r relatif prima terhadap n. Contoh : Kita tahu bahwa Z 12 =< 1 >. Maka generator yang lain untuk Z 12 adalah 5 = 5 1, 7 = 7 1, dan 11 = SOAL LATIHAN GRUP SIKLIK 1. Buktikan bahwa setiap grup siklik adalah abelian! 2. Tunjukkan bahwa sebuah grup tanpa subgrup proper non trivial merupakan grup siklik!

33 Bab III. Grup Siklik antonius cp Tentukan faktor persekutuan terbesar dari 32 dan 24, 48 dan 88, 360 dan Misalkan + n menotasikan penjumlahan modulo n. Hitunglah kuantitas berikut: , , , dan Tentukan banyaknya generator dari suatu drup siklik yang berordo: 5, 8, 12, dan Tentukan banyaknya elemen suatu subgrup siklik dari grup Z 30 yang dibangun oleh Carilah semua subgrup dari grup-grup: Z 12, Z 36, dan Z 8, dan gambarlah diagram lattice-nya. 8. Tentukan semua ordo dari subgrup-subgrup dari grup: Z 6, Z 8, Z 12, Z 60, dan Z Untuk setiap pernyataan berikut, tentukan benar atau salah, dan berikan alasannya. (a) Pada setiap grup siklik, setiap elemen merupakan generator. (b) Z 4 merupakan sebuah grup siklik. (c) Setiap grup abelian adalah siklik. (d) Q dibawah operasi penjumlahan adalah siklik. (e) Setiap elemen pada grup siklik merupakan generator. (f) Paling tidak ada satu grup abelian untuk setiap ordo hingga yang lebih besar dari 0. (g) Semua generator dari Z 20 adalah bilangan prima. Setiap grup siklik yang berordo > 2 memiliki paling tidak dua generator yang berbeda. 10. Berikanlah contoh dari masing-masing kriteria grup berikut ini.

34 Bab III. Grup Siklik antonius cp 28 (a) Grup berhingga yang tidak siklik. (b) Grup tak hingga yang tidak siklik. (c) Grup siklik yang hanya punya satu generator. (d) Grup siklik tak hingga yang punya empat generator. (e) Grup siklik hingga yang punya empat generator. 11. Jika G =< a > dan o(a) = n, maka buktikan bahwa G = n. 12. Jika G =< a >, buktikan bahwa juga G =< a 1 >. 13. Jika suatu grup berhingga berordo n memuat elemen yang juga berordo n, buktikan grup tersebut siklik. 14. Dalam grup siklik yang berordo n, buktikan ada elemen yang berordo k, dimana k merupakan faktor dari n. 15. Tunjukkan bahwa suatu grup yang hanya memeiliki sejumlah hingga subgrup, pastilah merupakan grup hingga. 16. Misalkan p dan q merupakan bilangan prima. Tentukan banyaknya generator dari grup siklik Z pq. 17. Misalkan p merupakan bilangan prima, tentukan banyaknya generator pada grup siklik Z p r, dimana r merupakan bilangan bulat Tunjukkan bahwa pada sebuah grup siklik hingga Gyang berordo n, persamaan x m = e memiliki tepat m penyelesaian x dalam G untuk setiap bilangan bulat positif m yang membagi n. 19. Tunjukkan bahwa Z p tidak memiliki subgrup proper jika p merupakan bilangan prima. 20. Jika suatu grup hingga berordo n dan memuat elemen yang juga berordo n, maka buktikan bahwa grup tersebut adalah siklik!

35 Bab III. Grup Siklik antonius cp Dalam grup siklik yang berordo n, buktikan ada elemen berordo k, dimana k merupakan faktor dari n! 22. Buktikan ordo dari setiap grup siklik sama dengan ordo dari elemen pembangunnya! 23. Ada berapa generator dalam grup siklik yang berordo 10?

36 Bab 4 GRUP PERMUTASI Pada bab ini dibahas tentang suatu grup yang beranggotakan permutasipermutasi yang didefinisikan dalam sebuah himpunan. Grup semacam ini perlu mendapatkan pembahasan tersendiri sebab memiliki suatu karakteristik yang khusus. Diawali dengan penyajian pengertian permutasi pada suatu himpunan, pembahasan akan sampai pada suatu teorema yang menyatakan bahwa himpunan semua permutasi tersebut dapat membentuk sebuah grup. 4.1 Permutasi Definisi 4.1 Permutasi pada sebuah himpunan A dimaksudkan sebagai fungsi dari A ke A yang bersifat satu-satu dan onto. Contoh: 1. Misalkan A = {x, y, z} maka α = a b c c a b merupakan sebuah permutasi, dimana α(a) = c; α(b) = a; dan α(c) = b. 2. Misalkan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Diberikan dua permutasi pada B, φ =

37 Bab IV. Grup Permutasi antonius cp 31 dan β = maka perkalian permutasi (= komposisi fungsi) φβ adalah: φβ = = Teorema 4.1 Misalkan A himpunan tak kosong dan S A adalah himpunan semua permutasi pada A. permutasi. Maka S A merupakan grup terhadap operasi perkalian Definisi 4.2 Grup Simetrik. Misalkan A = {1, 2, 3,, n}, maka grup dari semua permutasi pada A disebut grup simetrik pada n angka, dan dinotasikan sebagai S n. Catatan : S n memiliki n! elemen. Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3} maka S 3 memiliki 3! = 6 elemen. Semua permutasi pada A dapat disebutkan sebagai berikut. ρ 0 = 1 2 3, µ 1 = 1 2 3, ρ 1 = 1 2 3, µ 2 = 1 2 3, ρ 2 = 1 2 3, µ 3 = 1 2 3, Dan dapat dibuktikan S 3 = {ρ0, ρ 1, ρ 2, µ 1, µ 2, µ 3 } merupakan sebuah grup terhadap operasi perkalian permutasi. 4.2 Orbit dan Cycle Setiap permutasi σ pada sebuah himpunan A akan mempartisi A ke dalam kelaskelas partisi dengan ketentuan bahwa a, b A, a dan b berada dalam kelas yang

38 Bab IV. Grup Permutasi antonius cp 32 sama jika hanya jika b = σ n (a), untuk suatu n Z. Dengan kata lain dapat ditunjukkan bahwa relasi dengan ketentuan a b b = σ n (a) merupakan sebuah relasi ekuivalensi. Definisi 4.3 Misalkan σ merupakan sebuah permutasi pada himpunan A. Kelaskelas ekuivalensi yang ditentukan oleh relasi ekuivalensi a b b = σ n (a) merupakan orbit-orbit untuk σ. Contoh : Orbit-orbit untuk permutasi σ = pada S 8 dapat dicari dengan mengaplikasikan σ berulangkali sampai kembali pada elemen semula. Berikut ini alur yang kita dapatkan dari permutasi σ di atas sehingga orbit-orbit untuk σ adalah {1, 2, 8}, {3, 4, 6}, {5, 7} Bila diperhatikan maka setiap orbit pada contoh di atas akan dapat menentukan sebuah permutasi baru dalam S 8 dengan ketentuan bahwa elemen yang menjadi anggota orbit akan ditransformasikan sedangkan elemen-elemen lainnya tetap. Misalkan saja orbit yang pertama {1, 2, 8} dengan alur

39 Bab IV. Grup Permutasi antonius cp 33 dapat membentuk sebuah permutasi µ = Dengan demikian permutasi µ hanya memiliki 1 orbit yang beranggotakan lebih dari 1 elemen. Permutasi yang demikian disebut sebagai cycle. Berikut definisi formalnya. Definisi 4.4 Sebuah permutasi σ S n disebut cycle jika σ memiliki paling banyak satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen. Panjang sebuah cycle dimaksudkan sebagai banyaknya elemen pada orbit terbesar. Contoh : Sebagaimana telah disebutkan dalam contoh di atas, permutasi µ merupakan sebuah cycle dengan panjang 3 dan dinotasikan sebagai µ = (1, 8, 2) Ingat, bahwa tidak seperti pada orbit, maka urutan elemen pada penulisan sebuah cycle akan menentukan alur permutasinya. Perhatikan bahwa (1, 8, 2) = (8, 2, 1) = (2, 1, 8) tetapi (1, 8, 2) (1, 2, 8). Sebagaimana telah diketahui bahwa himpunan orbit sebuah permutasi merupakan partisi pada S n, sehingga orbit-orbit sebuah permutasi merupakan himpunanhimpunan yang saling asing. Selanjutnya, karena sebuah orbit dapat membentuk sebuah permutasi baru yang merupakan sebuah cycle, maka dapatlah diturunkan teorema berikut ini. Teorema 4.2 Setiap permutasi σ pada himpunan berhingga merupakan hasil perkalian dari cycle-cycle yang saling asing (disjoint). Contoh : σ = = (1, 8, 2)(3, 6, 4)(5, 7)

40 Bab IV. Grup Permutasi antonius cp 34 Definisi 4.5 Sebuah cycle yang panjangnya 2 disebut transposisi. Setiap cycle dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian transposisi-transposisi, sebagaimana komputasi berikut. (a 1, a 2, a 3,, a n 1, a n ) = (a 1, a n )(a 1, a n 1 ) (a 1, a 3 )(a 1, a 2 ). Akibatnya, setiap permutasi pada suatu himpunan hingga dengan elemen paling sedikit dua, merupakan hasil perkalian dari transposisi-transposisi. Teorema 4.3 Misalkan σ S n dan τ merupakan sebuah transposisi pada S n, maka selisih banyaknya orbit untuk σ dan τσ adalah 1. Teorema di atas dapat dibuktikan dengan memisalkan τ = (i, j). analisis setiap kemungkinan berikut. Kemudian 1. bila i dan j berada dalam orbit yang berbeda pada σ; 2. bila i dan j berada dalam orbit yang sama pada σ. Selanjutnya perhatikan bahwa tidak ada sebuah permutasipun yang dapat dinyatakan sekaligus sebagai hasil perkalian sejumlah genap dan sejumlah ganjil transposisi. Dengan demikian kita dapat mempartisi himpunan permutasi ke dalam dua kelas yang berbeda: ganjil dan genap. Definisi 4.6 Sebuah permutasi pada himpunan hingga dikatakan ganjil bila dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian sejumlah ganjil transposisi; dan dikatakan genap bila dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian sejumlah genap transposisi. Contoh : Coba selidiki termasuk pada permutasi yang manakah, permutasipermutasi berikut ini. 1. σ =

41 Bab IV. Grup Permutasi antonius cp µ = Definisi 4.7 Subgrup pada S n yang beranggotakan permutasi-permutasi genap pada n angka disebut grup alternatif A n pada n angka. Contoh : Tentukan grup alternatif pada S 3! SOAL LATIHAN GRUP PERMUTASI 1. Tentukan banyaknya elemen pada himpunan (a) {α S 4 α(3) = 3}. (b) {α S 5 α(2) = 5}. 2. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut dan berikan alasannya. (a) Setiap permutasi merupakan fungsi satu-satu. (b) Setiap fungsi merupakan permutasi jika hanya jika satu-satu. (c) Setiap fungsi onto dari suatu himpunan hingga kepada dirinya sendiri haruslah satu-satu. (d) Grup simetrik S 10 memiliki 10 elemen. (e) Grup simetrik S 3 adalah siklik. (f) S n tidak siklik untuk setiap n. 3. Tunjukkan bahwa grup simetrik S n tidak abelian untuk n Carilah semua orbit dari permutasi: (a) α : Z Z, dimana α(n) = n + 1. (b) α : Z Z, dimana α(n) = n + 2. (c) α : Z Z, dimana α(n) = n 3.

42 Bab IV. Grup Permutasi antonius cp Untuk permutasi pada {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, hitunglah produk dari cyclecycle berikut ini. (a) (1, 4, 5)(7, 8)(2, 5, 7) (b) (1, 3, 2, 7)(4, 8, 6) (c) (1, 2)(4, 7, 8)(2, 1)(7, 2, 8, 1, 5) 6. Nyatakan permutasi-permutasi berikut sebagai produk dari cycle-cycle yang disjoin, kemudian sebagai produk dari tyransposisi-transposisi. (a) (b) (c) Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut dan berikan alasannya. (a) Setiap permutasi adalah cycle. (b) Setiap cycle adalah permutasi. (c) Grup alternatif A 5 memiliki 120 elemen. (d) Grup alternatif A 3 adalah grup komutatif. (e) Grup simetrik S n tidak siklik untuk setiap n Tunjukkan bahwa untuk setiap subgrup H dari grup S n, untuk n 2, maka semua permutasi dalam H adalah genap atau tepat separuhnya adalah genap. 9. Misalkan G adalah grup dan a elemen tertentu dalam G. Tunjukkan bahwa pemetaan λ a : G G, dimana λ a (g) = ag, g G, merupakan permutasi dalam G.

43 Bab 5 KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE Sebuah subgrup memiliki koset-koset dalam grup. Himpunan kosetkoset ini akan dapat mempartisi grup tersebut. Selanjutnya dengan dilandasi suatu konsep bahwa suatu subgrup akan berkorespondensi satu-satu dengan setiap kosetnya, maka dapatlah dihasilkan suatu rumusan hubungan antara ordo suatu subgrup dengan ordo grupnya. Hasil ini kemudian dituangkan dalam sebuah teorema yang dikenal dengan teorema Lagrange. 5.1 Koset Teorema 5.1 Misalkan H subgrup dari grup G, maka relasi L dengan aturan a L b a 1 b H dan relasi R dengan aturan a R b ab 1 H keduanya merupakan relasi ekuivalensi. Buktikan teorema tersebut di atas! Baik oleh relasi L maupun oleh relasi R maka di dalam G akan terbentuk kelas-kelas ekuivalensi. Misalkan saja kelas yang memuat ayang terjadi oleh L, 37

44 Bab V. Koset dan Teorema Lagrange antonius cp 38 [a] = {x G a L x} atau secara ekuivalen {x G a 1 x H}, atau secara ekuivalen {x G a 1 x = h, h H}, atau secara ekuivalen {x G x = ah, h H}. Sehingga [a] = {ah h H}. Coba anda selidiki kelas yang memuat a oleh relasi ekuivalensi R. Dari uraian di atas maka dapatlah sekarang dinyatakan sebuah definisi formal berikut. Definisi 5.1 Misalkan G grup dan H subgrup pada G. Untuk sebarang elemen a G; ah = {x G x = ah, h H} disebut koset kiri dari H yang memuat a; dan Ha = {y G y = ha, h H} disebut koset kanan dari H yang memuat a. Contoh : Z adalah grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat dan 3Z= {, 6, 3, 0, 3, 6, 9, } merupakan salah satu subgrup dalam Z. Kosetkoset kiri dari 3Zdalam Z adalah 3Z= {, 6, 3, 0, 3, 6, 9, } 1 + 3Z= {, 5, 2, 1, 4, 7, 10, } 2 + 3Z= {, 4, 1, 2, 5, 8, 11, } Bisa ditunjukkan bahwa {3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z} merupakan sebuah partisi untuk Z. Sebenarnya tidak ada perbedaan apakah kita menggunakan koset kiri atau koset kanan, asalkan kita selalu konsisten. Dalam pembahasan selanjutnya kita akan menggunakan koset kiri, dan akan disebut saja dengan koset. Berikut akan disajikan beberapa teorema yang berkaitan dengan koset. Teorema 5.2 Koset ah = bh jika hanya jika a bh. Teorema 5.3 Misal G grup dan H subgrup pada G. Keluarga himpunan dari semua koset H merupakan partisi dari G. Teorema 5.4 Jika ah merupakan koset dari subgrup H, maka H dan ah dapat dikorespondensikan satu-satu.