BAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
|
|
- Iwan Lesmana
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan penjelasan mengenai sifat-sifat dasar Ring, mahasiswa minimal 80% dapat : a. Menjelaskan definisi dari Ring b. Menjelaskan definisi Ring Komutatif c. Menjelaskan definisi Ring dengan unsur kesatuan d. Mengidentifikasi suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yang berupa Ring maupun tidak e. Menjelaskan definisi dari Integral Domain f. Mengidentifikasi suatu Ring apakah merupakan Integral Domain (tanpa pembagi nol) atau bukan Integral Domain (ada pembagi nol) g. Menjelaskan definisi dari Field h. Mengidentifikasi suatu Ring apakah merupakan Field Deskripsi Singkat : Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi dua operasi biner terhadap penjumlahan dan perkalian. Dalam bab ini akan dibahas sifat-sifat Ring, Integral Domain dan Field. 90
2 6.1. Sifat-sifat Ring Pada bab terdahulu telah dibicarakan mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan satu operasi biner yaitu terhadap penjumlahan (aditif) atau terhadap perkalian (multifikatif) yang disebut Grup. Misalkan kita pandang suatu bilangan bulat Z sebagai suatu Grup (Z, +) dan himpunan bilangan bulat yang tidak sama dengan nol Z sebagai monoid (Z,.), tetapi kedua struktur tersebut mengabaikan relasi antara penjumlahan (+) dan perkalian (.), misalkan kita ketahui bahwa perkalian tersebut distributif terhadap penjumlahan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yaitu terhadap penjumlahan dan perkalian, struktur aljabar ini disebut dengan Ring (Gelanggang). Untuk lebih jelasnya dalam definisi berikut : Definisi 6.1 : Suatu ring (R,+,.) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (.) pada R yang memenuhi aksiomaaksioma berikut : 1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) Misalkan a dan b adalah anggota R, maka a dan b tertutup bila a + b R 2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) Misalkan a, b, c R maka (a + b) + c = a + (b + c) 3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) Misalkan a R maka a + e = e + a = a 91
3 4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) Misalkan a R maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0 5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) Misalkan a, b R maka a + b = b + a 6. Tertutup terhadap penjumlahan (+) Misalkan a dan b adalah anggota R, maka a dan b tertutup bila a. b R 7. Assosiatif terhadap perkalian (.) Misalkan a, b, c R maka (a. b). c = a. (b. c) 8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) Misalkan a R maka a. e = e. a = a 9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) Misalkan a, b, c R maka a. (b + c) = (a. b) + (a. c) dan (a + b). c = (a. c) + (b. c) Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) bila : 1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif 2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid (Catatan : Beberapa penulis buku mengatakan bahwa di dalam suatu Ring tidak perlu mempunyai identitas terhadap perkalian) 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan 92
4 Sebagai catatan yang perlu diingat pada konsep Ring bahwa notasi untuk kedua operasi tersebut boleh apa saja, misalkan (R,+,o) ataupun (R,+,*) ataupun yang lainnya. Kita juga bebas menamakan mana yang merupakan operasi yang pertama ataupun mana operasi yang kedua, asalkan operasi biner tersebut memenuhi syarat-syarat suatu Ring. Contoh 6.1 : Tunjukan bahwa Z 4 adalah merupakan suatu Ring. Penyelesaian : Tabel 6.1. Daftar Cayley (Z 4, +) dan (Z 4,.) Dari tabel 6.1. akan ditunjukan bahwa Z 4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi : 1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z 4,+) Tertutup Ambil sebarang nilai dari Z 4 misalkan 0, 1, 2, 3 Z = = 2 93
5 1 + 2 = = 0 karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z 4, maka tertutup terhadap Z 4 Assosiatif Ambil sebarang nilai dari Z 6 misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z 4 (a + b) + c = (2 + 1) + 3 = = 2 a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = = 2 Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = 2 maka Z 4 assosiatif Adanya unsur satuan atau identitas Ambil sebarang nilai dari Z 4 o misalkan 0 Z e = e + 0 = 0 o misalkan 1 Z e = e + 1 = 1 o misalkan 2 Z e = e + 2 = 2 o misalkan 3 Z e = e + 3 = 3 maka Z 4 ada unsur satuan atau identitas Adanya unsur balikan atau invers o Ambil sebarang nilai dari Z 4, misalkan 0 Z 4, pilih 0 Z 4, sehingga = 0 = e, maka (0) -1 = 0 o Ambil sebarang nilai dari Z 4, misalkan 1 Z 4, pilih 3 Z 4, sehingga = 0 = e, maka (1) -1 = 3 o Ambil sebarang nilai dari Z 4, misalkan 2 Z 4, pilih 2 Z 4, sehingga = 0 = e, maka (2) -1 = 2 94
6 o Ambil sebarang nilai dari Z 4, misalkan 3 Z 4, pilih 1 Z 4, sehingga = 0 = e, maka (3) -1 = 1 maka Z 4 ada unsur balikan atau invers Komutatif Ambil sebarang nilai dari Z 4 misalkan a = 2, b = 3 Z 4 (a + b) = (2 + 3) = 1 (b + a) = (3 + 2) = 1 Sehingga : (a + b) = (b + a) = 1 maka Z 4 komutatif Jadi, Z 4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z 4, +). 2. Semigrup terhadap perkalian (Z 4,.) Tertutup Ambil sebarang nilai dari Z 4 misalkan 0, 1, 2, 3 Z = = = = 3 karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z 4, maka tertutup terhadap Z 4 Assosiatif Ambil sebarang nilai dari Z 4 misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z 4 (a. b). c = (2. 1). 3 = 2. 3 = 2 a. (b. c) = 2. (1. 3) = 2. 3 = 2 Sehingga : (a. b). c = a. (b. c) = 2 95
7 maka Z 4 assosiatif Jadi, Z 4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z 4,.). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari Z 4 misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z 4 a.(b + c) = 2.(1 + 3) = 2.(0) = 0 (a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3) = = 0 maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0 (a + b).c = (2 + 1).3 = (3).3 = 1 (a.c) + (b.c) =(2.3) + (1.3) = = 1 maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1 Jadi, Z 4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan. Karena Z 4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z 4 adalah suatu Ring (Z 4,+,.). Contoh 6.2 : Misalkan R = {-1, 1}, (R,+,.) bukan merupakan suatu Ring karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan. Contoh 6.3 : Misalkan R = {0, 1}, (R,+,.) bukan merupakan suatu Ring karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan, tetapi Z 2 = {0, 1}, (Z 2,+,.) merupakan suatu Ring karena tertutup terhadap operasi penjumlahan dan memenuhi sifat-sifat dari Ring. 96
8 Suatu Ring dikatakan komutatif/abelian bila pada operasi perkalian (multifikatif) terpenuhi sifat komutatifnya. Secara singkat akan dijelaskan syarat dari Ring Komutatif pada definisi berikut : Definisi 6.2 : Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) Komutatif (Abelian) bila : 1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif 2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid Komutatif 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Jadi, pada Ring Komutatif (R,.) yang merupakan suatu Semigrup/Monoid harus memenuhi sifat-sifat komutatifnya, yaitu : a. b = b. a, a,b R Contoh 6.4 : Dari contoh 6.1, tunjukan bahwa Ring (Z 4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif. Penyelesaian : Dari contoh 6.1, telah ditunjukan bahwa Z 4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z 4,+,.). Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut. a. b = b. a, a,b Z 4 Ambil sebarang nilai dari Z 4, misalkan 2 dan 3 Z 4 (pada tabel 6.1.) 2. 3 = = 2 sehingga 2. 3 = 3. 2 = 2 Karena Ring (Z 4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z 4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian. 91
9 Contoh 6.5 : Misalkan P = {genap, ganjil} dan P Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan genap dan ganjil adalah suatu Ring Komutatif. Penyelesaian : Tabel 6.2. Daftar Cayley (P, +) dan (P,.) + genap ganjil. Genap ganjil genap genap ganjil genap Genap genap ganjil ganjil genap ganjil Genap ganjil Dari tabel 6.2. akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif bila memenuhi : 1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+) Tertutup Ambil sebarang nilai dari P misalkan genap, ganjil P genap + genap = genap genap + ganjil = ganjil ganjil + ganjil = genap karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P Assosiatif Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P (a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil Sehingga : 92
10 (a + b) + c = a + (b + c) = ganjil maka P assosiatif Adanya unsur satuan atau identitas o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P, sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih genap P, sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap maka P ada unsur satuan atau identitas Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P, sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap) -1 = genap Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P, sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil) -1 = ganjil maka P ada unsur balikan atau invers Komutatif Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil P (a + b) = (genap + ganjil) = ganjil Sehingga : (a + b) = (b + a) = ganjil maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +). 2. Monoid terhadap perkalian (P,.) Tertutup Ambil sebarang nilai dari P misalkan genap dan ganjil P genap. ganjil = genap genap. genap = genap 93
11 ganjil. ganjil = ganjil karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P Assosiatif Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P (a. b). c = (genap. ganjil). genap = genap. genap = genap a. (b. c) = genap. (ganjil. genap) = genap. genap = genap Sehingga : (a. b). c = a. (b. c) = genap maka P assosiatif Adanya unsur satuan atau identitas o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P, sehingga genap. e = e. genap = genap, maka e = ganjil o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P, sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil maka P ada unsur satuan atau identitas Komutatif Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil P (a. b) = (genap. ganjil) = genap (b. a) = (ganjil. genap) = genap Sehingga : (a. b) = (b. a) = genap maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P,.). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P 94
12 a.(b + c) = genap. (ganjil + genap) = genap.(ganjil) = genap (a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap) = genap + genap = genap maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap (a + b).c = (genap + ganjil). genap = (ganjil). genap = genap (a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap) = genap + genap = genap maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan. Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+,.). 95
13 STRUKTUR ALJABAR Operasi Penjumlahan (+) Operasi Perkalian (.) GRUP KOMUTATIF SEMIGRUP Identitas Distributif MONOID RING Komutatif (.) RING KOMUTATIF Gambar 6.1. Bagan dari suatu Ring Telah kita ketahui bahwa suatu Ring merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan. Balikan suatu unsur terhadap operasi penjumlahan dinamakan lawan atau invers aditif yang dinyatakan dengan tanda (-). Jadi yang dimaksud dengan a adalah invers aditif dari a. Misalkan unsur a ditambah invers aditif dari b, yaitu b, maka ditulis a + (-b) atau a b. Teorema 6.1 : Dalam suatu Ring berlaku sifat-sifat : 1. a.0 = 0.a = 0 2. a.(-b) = -(a.b) = (-a).b 3. -(-a) = a 96
14 4. -(a + b) = (-a) + (-b) 5. a.(b c) = a.b a.c 6. (a b).c = a.c b.c 7. (-1).a = -a 8. (-a).(-b) = a.b Bukti : 1. a.0 = 0.a = 0 a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0 Karena a.0 R dan R suatu Ring maka terdapat (a.0) R, sehingga : a.0 = a.0 + a.0 a.0 a.0 = a.0 + a.0 a.0 0 = a.0 Jadi terbukti a.0 = 0 2. a.(-b) = -(a.b) = (-a).b -(a.b) adalah balikan dari a.b Akan ditunjukan a.(-b) adalah balikan dari ab a.b + a.(-b) = a.(b + (-b) = a.0 = 0 Jadi terbukti -(a.b) = a.(-b) 3. -(-a) = a -(-a) + (-a) = 0 -(-a) + (-a) + a = 0 + a -(-a) + (-a + a) = a -(-a) + 0 = a -(-a) = a Jadi terbukti -(-a) = a 4. -(a + b) = (-a) + (-b) (a + b) + (-(a + b)) = 0 (-b) +(a + b) + (-(a + b)) = (-b)
15 a + ((-b) + b) + (-(a + b)) = (-b) -(a + b) = (-a) + (-b) Jadi terbukti -(a + b) = (-a) + (-b) 5. a.(b c) = a.b a.c a.(b + (-c)) = a.b + a.(-c) a.(b c) = a.b a.c Jadi terbukti a.(b c) = a.b a.c 6. (a b).c = a.c b.c (a + (-b)).c = a.c + (-b).c (a b).c = a.c b.c Jadi terbukti (a b).c = a.c b.c 7. (-1).a = -a (-1).a = -1.(1.a) = -(1.1).a = -a(1.1) = -a Jadi terbukti (-1).a = -a 8. (-a).(-b) = a.b (-a).(-b) = (-1).a.(-1).b = (-1).(-1).a.b = 1.a.b = a.b Jadi terbukti (-a).(-b) = a.b 6.2. Integral Domain (Daerah Integral) Salah satu sifat yang banyak digunakan dari sistem bilanganbilangan yang telah kita kenal adalah bahwa bila ab =0, maka a = 0 atau b = 0. Sifat tersebut menyatakan bahwa hukum kensel berlaku untuk 98
16 unsur-unsur (elemen-elemen) yang bukan unsur nol, karena bila ab = ac dan a 0, maka a(b c) = 0 dan diperoleh b = c. Definisi 6.3 : Bila (R,+,.) adalah suatu Ring Komutatif, suatu unsur bukan nol a R disebut pembagi nol bila ada unsur yang bukan nol b R sedemikian hingga a.b = 0 Dengan kata lain suatu unsur a 0 R disebut pembagi nol di R bila a.b = 0 untuk suatu unsur b 0 R Definisi 6.4 : Suatu Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut Integral Domain (Daerah Intergral). Untuk lebih jelas mengenai syarat-syarat dari Integral Domain adalah sebagai berikut : Definisi 6.5 : Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Integral Domain (Daerah Integral) bila : 1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) Misalkan a dan b adalah anggota R, maka a dan b tertutup bila a + b R 2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) Misalkan a,b,c R maka (a + b) + c = a + (b + c) 3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) Misalkan a R 99
17 maka a + e = e + a = a 4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) Misalkan a R maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0 5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) Misalkan a,b R maka a + b = b + a 6. Tertutup terhadap perkalian (.) Misalkan a dan b adalah anggota R, maka a dan b tertutup bila a. b R 7. Assosiatif terhadap perkalian (.) Misalkan a,b,c R maka (a.b).c = a.(b.c) 8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (.) Misalkan a R maka a.e = e.a = a 9. Komutatif terhadap perkalian (.) Misalkan a,b R maka a. b = b. a 10. Tidak ada pembagi nol Misalkan a,b R Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) Misalkan a,b,c R maka a.(b +c) = (a.b) + (a.c) dan (a + b).c = (a.c) + (b.c) Contoh 6.6 : Dari soal 6.5, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan ditunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain. 100
18 Penyelesaian : Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain: a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0 Misalkan : X = {,-3, -1, 1, 3,...} adalah himpunan bilangan ganjil dan Y = {, -4, -2, 0, 2, 4, } adalah himpunan bilangan genap. Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol. Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, a,b P. Contoh 6.7 : Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a 0, serta b,c R.Tunjukan bahwa b = c. Penyelesaian : ab = ac, maka: ab ac = 0 a(b c) = 0 Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a 0, maka : b c = 0 Jadi b = c Contoh 6.8 : Tunjukan bahwa Z 4 bukan merupakan Integral Domain. Penyelesaian : 101
19 Tabel 6.3. Daftar Cayley (Z 4,.) Dari tabel 6.3, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperolah [2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] [3]. Jadi dapat disimpulkan bahwa Z 4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki pembagi nol yaitu [2] Field (Lapangan) Pada umumnya di dalam suatu Ring, penjumlahan, pengurangan dan perkalian terhadap unsur suatu Ring akan diperoleh hasil, tetapi untuk pembagian tidak selalu diperoleh hasil. Di dalam Integral Domain, unsurunsurnya dapat dikensel tetapi tidak selalu diperoleh hasil bila dibagi dengan unsur yang bukan nol. Misalkan, bila a,b Z, maka 3a =3b menghasilkan a = b, tetapi tidak setiap unsur Z dapat dibagi 3. Ada suatu sistem bilangan-bilangan yang selalu diperoleh hasil bila dibagi unsur yang bukan nol, yang disebut Field (Lapangan). 102
20 Definisi 6.6 : Field adalah suatu Ring yang unsur-unsur bukan nolnya membentuk Grup Komutatif/Abelian terhadap perkalian. Dengan kata lain suatu Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan/invers terhadap perkalian. Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Field bila : 1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif 2. (R-0,.) merupakan suatu Grup Komutatif 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Jadi untuk menunjukan bahwa suatu Ring adalah Field harus kita buktikan Ring itu komutatif dan mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian. Atau kita tunjukan R merupakan suatu Grup Komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian serta distributif perkalian terhadap penjumlahan. Contoh 6.9 : Dari soal 6.5, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan ditunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field. Penyelesaian : Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain: a P, a -1 P, sedemikian sehingga a. a -1 = a -1. a = e Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P, sehingga genap.ganjil = genap e Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P, sehingga genap.genap = genap e 103
21 maka P tidak ada unsur balikan atau invers Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Field. bukan Dari contoh 6.9, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan) Rangkuman 1. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) bila : (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif (R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid Distributif perkalian terhadap penjumlahan 2. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) Komutatif bila : (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif (R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif Distributif perkalian terhadap penjumlahan 3. Bila (R,+,.) adalah suatu Ring Komutatif, suatu unsur bukan nol a R disebut pembagi nol bila ada unsur yang bukan nol b R sedemikian hingga a.b = 0 4. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Integral Domain (Daerah Integral) bila : 104
22 (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif (R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif Tidak ada pembagi nol Distributif perkalian terhadap penjumlahan 5. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Field (Lapangan) bila : (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif (R-0,.) merupakan suatu Grup Komutatif Distributif perkalian terhadap penjumlahan 6.5. Soal-soal Latihan 1. Tunjukan bahwa bilangan bulat (Z,+,.) adalah merupakan suatu Ring Komutatif, dengan penjumlahan dan perkalian pada kelas-kelas kongruensi modulo n yang didefinisikan oleh [x] + [y] = [x + y] dan [x].[y] = [x.y]. 2. Misalkan (R,+,.) didefinisikan operasi dan pada R sebagai berikut: a b = a + b + 1 dan a b = ab + a + b. Tunjukan apakah merupakan suatu Ring Komutatif. 3. Tunjukan bahwa ( Q ( 2),+,.) adalah Ring Komutatif dengan Q ( 2) = { a + b( 2) a,b Q}. 4. Buatlah tabel penjumlahan dan perkalian untuk (Z 5,+,.). Tunjukan apakah merupakan suatu Ring Komutatif. 105
23 5. Tunjukan pada soal no 1, apakah merupakan : a. Integral Domain b. Field 6. Tunjukan pada soal no 2, apakah merupakan : a. Integral Domain b. Field 7. Tunjukan pada soal no 3, apakah merupakan : a. Integral Domain b. Field 8. Tunjukan pada soal no 4, apakah merupakan : a. Integral Domain b. Field 106
SOAL DAN PENYELESAIAN RING
SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid
BAB 2 SEMIGRUP DAN MONOID Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid Tujuan Instruksional Khusus : Setelah
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal
BAB 7 SUBRING DAN IDEAL Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
5 BAB 2 LANDASAN TEORI Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu sistem aljabar dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada sistem aljabar tersebut. Struktur
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciSifat Lapangan pada Bilangan Kompleks
Jurnal Analisa 3 (1) (2017) 70-75 p-issn: 2549-5135 http://journal.uinsgd.ac.id/index.php/analisa/index e-issn: 2549-5143 Sifat Lapangan pada Bilangan Kompleks Ida Nuraida 1,a) 1 Prodi Pendidikan Matematika
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
Lebih terperinciRING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA
BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring Tujuan Instruksional
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciSEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II
ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciIDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring
Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 41 46 (2013) IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring YOHANA YUNET BAKARBESSY 1, HENRY W. M. PATTY
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciTUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP
TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP KELOMPOK 8 1. I WAYAN AGUS PUTRAWAN (2008.V.1.0093) 2. I KADEK DWIJAYAPUTRA (2008.V.1.0094) 3. I KETUT DIARTA (2008.V.1.0123) 4. AGUS EKA SURYA KENCANA (2008.V.1.0043)
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Contoh sederhana dari ring adalah himpunan bilangan bulat Z.
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu struktur aljabar adalah himpunan takkosong yang dilengkapi satu atau lebih operasi biner pada himpunan tersebut. Salah satu contoh struktur aljabar adalah ring,
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem dan Struktur Aljabar Menurut Jong Jek Siang, 2002:436 (seperti dikutip Manik, 2011:2), sistem aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan
Lebih terperinciTeorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik ( )
Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik (20110060311101) Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik Program
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta diakhiri dengan sistematika penulisan. 1.1 Latar
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Pada bab ini dibahas landasan teori yang akan digunakan untuk menentukan ciri-ciri dari polinomial permutasi atas finite field.
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas landasan teori yang akan digunakan untuk menentukan ciri-ciri dari polinomial permutasi atas finite field. Hal ini dimulai dengan memberikan pengertian dari group
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciPertemuan ke-4 ALJABAR BOOLEAN I
Pertemuan ke-4 ALJABAR BOOLEAN I Materi Perkuliahan a. Pengertian Aljabar Boolean b. Ekspresi Boolean c Prinsip Dualitas Kompetensi Umum Setelah mengikuti perkuliah ini, diharapkan Anda dapat memahami
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih
Lebih terperinciMODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS
MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciSOAL. Pada himpunan bilangan real, selidiki apakah merupakan grup terhadap operasi yang didefinisikan sebagai berikut: PEMBAHASAN
Halo! Kali ini aku mau membahas soal ujian tengah semester (UTS) mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar I di Prodi Matematika FMIPA UGM pada tahun akademik 2014/2015. Dosen pengampunya adalah Bu Sri Wahyuni.
Lebih terperinciGELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini berisi tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berisi penelitian-penelitan yang dilaksanakan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian
Lebih terperinciKajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan
Kajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan Soleha 1, Dian W. Setyowati 2, Satrio A. W. 3 1 Institut Teknologi Sepuluh Nopember, seha_07@matematika.its.ac.id 2 Institut
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Pertemuan Standar kompetensi: mahasiswa memahami cara membangun sistem bilangan real, aturan dan sifat-sifat dasarnya. Kompetensi dasar Memahami aksioma atau sifat aljabar bilangan real Memahami fakta-fakta
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciPROSIDING ISBN : Dhian Arista Istikomah, S.Si, M.Sc 1. Abstrak
KARAKTERISASI E SEMIGRUP Dhian Arista Istikomah, S.Si, M.Sc A- Universitas PGRI Yogyakarta dhian.arista@gmail.com Abstrak Dalam suatu semigrup terdapat himpunan elemen idempoten yang menjadi latar E semigrup
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciUNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA F A K U L T A S M I P A
Fakultas : FMIPA Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah/Kode : Aljabar Abstrak I, MAT 309 Jumlah SKS : Teori=3 sks; Praktek= Semester : Genap Mata Kuliah Prasyarat/kode : Teori Bilangan, MAT
Lebih terperinciSyarat Cukup dan Perlu Elemen Gelanggang Merupakan Pembagi Nol Kiri maupun Kanan )(RMnn
Syarat Cukup dan Perlu Elemen Gelanggang Merupakan Pembagi Nol Kiri maupun Kanan )(RMnn Oleh K a r y a t i R. Rosnawati Abstrak Himpunan matriks ordo atas gelanggang nr komutatif, yang selanjutnya dinotasikan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang
BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup
Lebih terperinciAljabar Boole. Meliputi : Boole. Boole. 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar
Aljabar Boole Meliputi : 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar Boole 3. Teorema Dasar Aljabar Boole 4. Orde dalam sebuah Aljabar Boole Definisi Aljabar Boole Misalkan B adalah himpunan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang menghubungkan dua himpunan yang terpisah, yakni daerah asal (domain) dan
BAB LANDASAN TEORI. Fungsi.. Definisi dan Notasi Fungsi Menurut Bertrand Russell (967), fungsi didefinisikan sebagai pemetaan yang menghubungkan dua himpunan yang terpisah, yakni daerah asal (domain) dan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: GRUP
STRUKTUR ALJABAR: GRUP BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI Bandung 2016 1 A. Pendahuluan Ilustrasi 1.1: Perhatikan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Tinjauan Pustaa Untu menacapai tujuan penulisan sripsi, diperluan beberapa pengertian dan teori yang relevan dengan pembahasan. Karena itu, dalam subbab ini aan diberian beberapa
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciHIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma
HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciHIMPUNAN BILANGAN KOMPLEKS YANG MEMBENTUK GRUP
HIMPUNAN BILANGAN KOMPLEKS YANG MEMBENTUK GRUP WAHIDA A. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Wahyuni Abidin Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Wahdaniah Info: Jurnal
Lebih terperinciRencana Perkuliahan. Kelas : A, B, C, D. SKS/JS : 3/3 : Yus Mochamad Cholily
Rencana Perkuliahan Jurusan : Matematika Mata Kuliah : Struktur Aljabar Semester : IV (empat) Kelas : A, B, C, D. SKS/JS : 3/3 Pengajar : Yus Mochamad Cholily 1. Pendahuluan. Struktur Aljabar atau dikenal
Lebih terperinciSemi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi Subjudul (jika diperlukan) [TNR14, spasi 1] Suroto, Ari Wardayani Jurusan Matematika
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional
SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas
Lebih terperinci