BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA

Transkripsi

1 BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN 005

2 Daftar Isi Kata Pengantar i Daftar Isi ii Kometensi iii Informasi... iv Skenario Pembelajaran... v Bab I Pendahuluan A. Latar Belakang B. Tujuan C. Ruang Lingku Bab II Materi Pembelajaran Bilangan Real untuk Siswa SMK. A. Sejarah Bilangan... B. Macam-macam Bilangan... 4 C. Perbandingan senilai dan berbalik nilai... 0 D. Bilangan Berangkat dan Bentuk Akar... 4 E. Logaritma... F. Fungsi Eksonen... 8 Kunci Jawaban Latihan Soal... Bab III Penutu 4 Daftar Pustaka vi ii

3 Kometensi Menjelaskan konse konse dasar materi/okok bahasan matematika yang akan diajarkan keada eserta diklat meliuti:. Menerakan oerasi hitung bilangan real dan sifat sifatnya. Mendeskrisikan dan menggunakan fungsi eksonen dan logaritma serta sifat sifatnya. iii

4 INFORMASI. Kometensi Prasyarat Kometensi rasyarat yang sebaiknya dimiliki oleh ara eserta diklat sebelum memelajari bahan ajar ini adalah memahami himunan bilangan Asli, Cacah, Bulat, Rasional dan Irasional beserta oerasinya.. Indikator Keberhasilan Indikator keberhasilan dalam memelajari bahan ajar ini adalah aabila etatar memiliki kemamuan untuk menjelaskan bilangan real dan melakukan oerasi hitung ada bilangan real. iv

5 SKENARIO PEMBELAJARAN 0 menit 0 menit 60 menit Pendahuluan Aersesi Penyamaian Materi Tujuan Ruang Lingku Memberi motivasi dengan diskusi sejarah bilangan 0 menit Penutu Kesimulan 0 menit Diskusi Penyelesaian soal-soal v

6 Daftar Pustaka Allen R. Angel Stuart R. Porter. A Survey of Mathematics with Alications. USA: Addison Wesley Publishing Comany. Richard G. Brown Advanced Mathematics. Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Boston: Hughtin Mifflin Comany. Marsudi Raharjo. 00. Aritmetika (erangkatan, logaritma, aroksimasi, dan barisan deret. Yogyakarta: PPPG Matematika vi

7 Bagian I Pendahuluan A. Latar Belakang Bilangan real atau disebut juga bilangan nyata meruakan bilangan yang sering digunakan dalam kehiduan sehari-hari. Misalnya ketika melakukan transaksi jual beli, ketika seorang edagang gula membagi satu kilogram gula menjadi beberaa bagian, ketika seorang tukang kayu mengukur tinggi intu yang teat untuk bangunan yang didirikannya, ketika seorang nasabah bank menghitung ersentase hasilbagi dari uang simanannya dan sebagainya. Oerasi hitung ada bilangan real yang meliuti enjumlahan, engurangan, erkalian, embagian, emangkatan dan enarikan akar juga sering digunakan dalam kehiduan sehari-hari meskiun mungkin orang tidak begitu sadar telah menggunakannya. Mengingat enting dan luasnya enggunaan bilangan real dalam kehiduan sehari-hari maka bilangan real erlu dimasukkan sebagai salah satu materi embelajaran di SMK baik SMK teknik mauun SMK nonteknik. B. Tujuan Setelah embelajaran materi bilangan real diharakan eserta diklat mamu untuk:. melakukan oerasi hitung ada bilangan real. membedakan engertian erbandingan senilai dan berbalik nilai

8 . menjelaskan sifat-sifat bilangan berangkat dan bentuk akar 4. menyelesaikan soal logaritma 5. menyelesaikan fungsi eksonen C. Ruang Lingku Materi yang dielajari dalam bahan ajar ini meliuti oerasi hitung ada bilangan real, erbandingan senilai dan berbalik nilai, sifat-sifat bilangan berangkat dan bentuk akar, logaritma dan fungsi eksonen.

9 Bagian II Bilangan Real A. Sejarah Bilangan Untuk memotivasi embelajaran bilangan real daat diceritakan secara singkat sejarah bilangan sebagai berikut. Bilangan selalu muncul akibat kebutuhan manusia. Bilangan yang ertama kali dikenal adalah bilangan asli. Bilangan ini muncul akibat kebutuhan manusia untuk menghitung. Kemudian muncul bilangan nol, suatu bilangan yang menyatakan kekosongan. Maka dikenalkan bilangan cacah. Setelah oerasi hitung dikenal, muncul bilangan negatif untuk mengatasi kebutuhan akan hasil engurangan dua bilangan asli yang bilangan ertama lebih kecil dari bilangan kedua, maka dikenalkan bilangan bulat. Kemudian untuk mengatasi masalah embagian dua bilangan yang hasilnya bukan bilangan bulat, dierlukan bilangan rasional. Sedangkan bilangan irasional muncul karena adanya oerasi angkat dua, ketika ternyata diketahui bahwa tidak selalu ada bilangan rasional yang memenuhi a = b. Gabungan Bilangan Rasional dan Irasional kemudian disebut bilangan Real. Sekitar abad 6, ara ahli matematika mulai menggunakan bilangan yang memiliki akar negatif, contohnya, 5, 8, dan sebagainya. Maka muncullah himunan bilangan imajiner. Selanjutnya, bilangan yang terbentuk dari bilangan real dan bilangan imajiner disebut bilangan komleks.

10 B. Macam-macam Bilangan Berikut ini ringkasan materi mengenai himunan-himunan bilangan.. Bilangan asli/natural Numbers Bilangan asli adalah yang digunakan untuk menghitung. Karena dalam menghitung kita memulai dengan, maka himunan bilangan asli juga dimulai dari,,, 4,.dan seterusnya. Simbol yang sering digunakan untuk himunan bilangan asli adalah A atau N. Bilangan asli dibagi menjadi kelomok yaitu bilangan gena dan bilangan ganjil. Bilangan gena adalah bilangan yang habis dibagi, sedangkan bilangan ganjil tidak habis dibagi. Himunan bilangan gena adalah G= {, 4, 6, 8, } Himunan bilangan ganjil adalah J = {,, 5, 7,.} Setia bilangan asli yang lebih dari daat dikelomokkan menjadi bilangan rima atau bilangan komosit/tersusun. Sedangkan tidak termasuk keduanya, adalah unit/satuan. Untuk menentukan bilangan rima yang tidak terlalu besar daat digunakan metode Saringan Erastothenes. Teorema dasar aritmetika menyatakan bahwa setia bilangan komosit daat dinyatakan sebagai hasilkali bilangan-bilangan rima. Misalnya 00 daat dinyatakan dengan..5. Ini disebut juga faktorisasi rima dari 00. 4

11 . Bilangan Cacah/Whole Numbers Bilangan cacah adalah semua bilangan asli ditambah dengan 0. Simbol bilangan cacah adalah C.. Bilangan bulat/integers Bilangan bulat adalah semua bilangan cacah ditambah dengan bilangan bulat negatif. 4. Bilangan rasional Bilangan rasional adalah bilangan yang daat dinyatakan dalam bentuk /q, dimana dan q adalah bilangan bulat dan q 0. Simbol bilangan rasional adalah Q. Jika habis dibagi q maka bilangan itu adalah bilangan bulat (ecahan alsu), jika tidak maka berua ecahan. Ada 4 macam ecahan yaitu ecahan sejati, ecahan camuran, ecahan alsu dan ecahan desimal. Bilangan rasional yang dinyatakan dalam bentuk ecahan desimal daat berua desimal terbatas dan desimal tak terbatas berulang 5. Bilangan irasional Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak daat dinyatakan dalam bentuk /q, dimana dan q adalah bilangan bulat dan q 0. Bilangan irasional dikenal sejak sekitar 600 SM di Yunani, ketika orang berusaha mencari solusi dari rumus Pythagoras a +b =c untuk a= dan b= ternyata tidak ada bilangan rasional yang teat untuk c, 5

12 karena tidak ada bilangan rasional yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri hasilnya. Ketika dinyatakan dalam desimal, bilangan irasional adalah desimal yang tak terbatas dan tak berulang. Contoh bilangan Irasional yang menarik adalah π yaitu bilangan yang didaat dari erbandingan antara keliling dan luas lingkaran. 6. Bilangan Real/Bilangan Nyata Bilangan real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan Irasional. Simbol bilangan real adalah R. Oerasi hitung ada bilangan real meliuti antara lain enjumlahan, engurangan, erkalian, embagian, emangkatan, enarikan akar, dan logaritma. Sifat tertutu (closure): Jika dilakukan oerasi tertentu ada anggota suatu himunan bilangan dan hasilnya adalah bilangan yang meruakan anggota himunan bilangan itu maka dikatakan himunan itu tertutu dalam oerasi tersebut. Contoh: Dalam himunan bilangan asli. Oerasi enjumlahan bersifat tertutu, tetai oerasi engurangan tidak, karena 5 7 = -, dan bukanlah anggota bilangan asli. Sifat-sifat oerasi ada bilangan real dierlihatkan ada tabel berikut. Untuk a, b, c R berlaku: a. Sifat komutatif ada enjumlahan: a + b = b + a 6

13 b. Sifat komutatif ada erkalian: a x b = b x a c. Sifat asosiatif ada enjumlahan: (a + b) + c = a + (b + c) d. Sifat asosiatif ada erkalian: (a x b) x c = a x (b x c) e. Sifat distributif erkalian terhada enjumlahan: ax(b+c)=(axb)+(axc). Identitas ada enjumlahan adalah 0 sedangkan identitas ada erkalian adalah. Invers enjumlahan adalah lawannya, misalnya invers a adalah a. Invers erkalian adalah kebalikannya, misalnya invers a adalah /a 7. Bilangan imajiner Kata imajiner digunakan untuk menggambarkan bilangan seerti, 5, 8. Unit imajiner (disimbolkan i) didefinisikan sebagai berikut: i = dan i = -. Selanjutnya didefinisikan akar dari bilangan negatif sebagai berikut: jika a > 0, a = i a 8. Bilangan komleks Setia bilangan yang berbentuk a+bi, dimana a dan b adalah bilangan real dan i adalah unit imajiner, disebut bilangan komleks. Contohnya 4i, +i, i 7, 7 dan 0. Pada a+bi, a di sebut bagian real, dan b disebut bagian imajiner. Jika b 0, maka bilangan tersebut disebut bilangan imajiner. Pada bilangan imajiner, a+bi, jika a = 0, maka disebut bilangan imajiner murni. Contohnya i, -i, i 7 dan sebagainya. 7

14 Dua bilangan komleks a+bi dan c+di dikatakan sama, jika dan hanya jika a=c dan b=d. Berikut ini kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan. Bilangan ganjil Bilangan gena Bilangan rima Bilangan Asli 0 komosit Bilangan bulat ositif Bilangan Negatif Bilangan Cacah Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Rasional Bilangan Pecahan Biasa Bilangan Pecahan Desimal terbatas/berulang Bilangan Real Bilangan imajiner Bilangan Komleks Contoh soal dan embahasan:. Bagaimana langkah-langkah menentukan semua bilangan rima di bawah 0 dengan metode Saringan Erasthotenes? Pembahasan a. Tulislah semua bilangan asli dibawah 0. b. Coretlah 8

15 c. Lingkarilah, bilangan rima yang ertama, lalu coret semua keliatan, yaitu 4, 6, 8, 0, 0 dst d. Lingkarilah, bilangan rima yang kedua. Lalu coret semua keliatan, yang belum tercoret. e. Lanjutkan roses ini samai mendaat bilangan rima, di mana x atau lebih dari bilangan bilangan terakhir yang tertulis yaitu Jadi P = {,, 5, 7,,, 7, 9,, 9}. Tunjukkan bahwa 0, adalah bilangan rasional! Pembahasan Misalkan x = 0, Maka 000x =56, x =56, x = 0, x = 56 x = Karena sesuai dengan definisi bilangan rasional maka 999 0, adalah bilangan rasional Latihan. Tentukan semua bilangan komosit antara 0 samai 50!. Daat digolongkan dalam sistem bilangan aa sajakah bilanganbilangan di bawah ini? 9

16 a. 7 b. - c. e =,788 d. 4, e. 8 7 f.,4 C. Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Arti erbandingan: Perbandingan dua bilangan adalah hasilbagi bilangan ertama dengan bilangan kedua. Contohnya erbandingan antar 5 dan 7 daat ditulis 5 banding 7 atau 5:7 atau 5/7. Perbandingan juga boleh ditulis dalam ersen atau desimal.. Perbandingan Senilai/berbanding lurus Untuk memulai embelajaran mengenai erbandingan senilai daat diberikan masalah engantar sebagai berikut. Sebuah mobil melaju dengan keceatan rata-rata 5 km/jam. Jika mobil itu menemuh jarak 00 km maka dierlukan waktu 4 jam. Jika jarak yang ditemuh bertambah menjadi 00 km, bagaimana waktu yang dierlukan? Semakin bertambah atau semakin berkurang? Dari sini eserta diklat dibimbing untuk melihat bagaimana hubungan antara jarak dengan waktu temuh jika keceatan teta. Ternyata dengan keceatan teta sementara jarak yang ditemuh bertambah maka waktu yang dierlukan juga akan bertambah. Perbandingan senilai terjadi aabila jika salah satu komonen yang dibandingkan semakin besar maka komonen yang lain juga akan semakin besar. 0

17 . Perbandingan berbalik nilai/berbanding terbalik Berikut ini alternatif masalah engantar yang daat diajukan. Misalkan untuk menyelesaikan suatu ekerjaan dalam waktu 0 hari dierlukan 0 ekerja. Jika jumlah ekerja ditambah bagaimana waktu yang dierlukan? Semakin lama atau semakin singkat? Dari sini daat dilihat bahwa erbandingan berbalik nilai terjadi aabila salah satu komonen yang dibandingkan naik maka komonen yang lain justru akan turun. Alternatif lain untuk menggambarkan erbandingan berbalik nilai adalah hubungan antara volum dengan tekanan gas. Jika volum ditambah maka tekanan gas akan turun atau jika volum dikurangi maka tekanan akan meningkat. Contoh soal dan embahasan:. Untuk mengecat dinding seluas meter ersegi seorang tukang cat memerlukan waktu 5 menit. Beraakah waktu yang dierlukan untuk mengecat dinding seluas 00 meter ersegi? Pembahasan: m 5 menit 00 m x menit Perbandingan senilai =.x = x = 500 x = = 66 menit 00 x Jadi waktu yang dierlukan tukang cat itu untuk mengecat dinding seluas 00 m adalah 66 menit

18 . Untuk menyelesaikan embuatan lemari orang tukang kayu bekerja bersama-sama dan mereka memerlukan waktu 0 jam kerja efektif. Jika ekerjanya ditambah menjadi 5 orang, beraa jam waktu yang dierlukan? Jawaban: orang 0 jam 5 orang x jam Perbandingan berbalik nilai x 60 = 5.x =.0 5x = 60 x = = Jadi waktu yang dierlukan oleh 5 orang ekerja tersebut adalah jam kerja efektif.. Suatu ekerjaan jika diselesaikan 4 orang selesai 0 hari. Setelah dikerjakan 4 hari ternyata ekerjaan tersebut harus terhenti selama 8 hari. Beraa ekerja tambahan yang dierlukan agar ekerjaan selesai teat ada waktunya? Pembahasan: 4 orang 0 hari Setelah dikerjakan 4 hari, ekerjaan tersebut terhenti selama 8 hari, jadi masih ada sisa ekerjaan untuk 0 4=6 hari yang seharusnya daat diselesaikan oleh 4 orang. Tetai waktu yang tersisa hanya hari. Jadi didaatkan:

19 4 orang 6 hari x orang 8 hari 4 x 8 64 = 8x = 4.6 8x = 64 x = x = Jadi agar selesai teat ada waktunya, ekerjaan tersebut harus ditangani oleh 8 orang. Karena sudah ada 4 orang, ekerja yang harus ditambah sebanyak 4 orang. Latihan. Jika di sebuah eta tertulis skala : artinya cm mewakili cm atau km. Beraakah jarak yang diwakili,5 cm?. Hubungan antara hambatan dan luas enamang suatu kabel listrik adalah berbanding terbalik. Artinya jika enamang semakin besar maka hambatan justru semakin kecil, sebaliknya jika luas enamang makin kecil maka hambatan semakin besar. Dari hasil enelitian terhada suatu bahan diketahui bahwa jika luas enamangnya dierbesar,5 kali maka hambatannya akan turun 0,5 hambatan mula-mula, demikian ula sebaliknya. Jika luas enamang semula 5 mm dan hambatannya 0 ohm. Tentukan: a. luas enamang jika hambatannya 5 ohm b. hambatan jika luas enamang 6 mm

20 C. Bilangan Berangkat dan Bentuk Akar. Bilangan berangkat Pembelajaran bilangan berangkat dimulai dengan mengingatkan kembali arti bilangan berangkat. Untuk itu daat dimulai dengan ilustrasi sebagai berikut. Diambil sembarang bilangan, misalkan, kemudian dikalikan sebanyak 5 kali, jadi x x x x. Penulisan seerti ini terlalu anjang dan kurang raktis. Jadi cuku menuliskannya sebagai bilangan berangkat yaitu 5. Disini berarti embelajaran bilangan berangkat telah dimulai secara induktif (dimulai dari contoh), selanjutnya dengan memerhatikan ola, didaat kesimulan umum. Bilangan berangkat adalah erkalian berulang dari bilangan tersebut. a x a x a x a x a = a Keterangan: a = bilangan berangkat a = bilangan okok = angkat Semula tamaknya bilangan berangkat harus meruakan bilangan asli, namun dalam erkembangan selanjutnya dikenalkan bilangan berangkat 0, bilangan berangkat negatif, dan bilangan berangkat rasional. Bilangan yang diangkatkan juga berkembang bukan hanya bilangan cacah, tetai bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real. 4

21 Sifat-sifat bilangan berangkat: a. Perkalian dua bilangan berangkat Contoh: x = xx x x = 5 maka a.a q = a +q b. Pembagian dua bilangan berangkat Contoh: : : = xx : x = maka a : a q = a -q xx x = c. Perangkatan dua bilangan berangkat Contoh: ( ) 4 = x x x = (x)x(x)x(x)x(x) = x4 = 8 maka (a ) q = a q d. Perangkatan bilangan rasional Contoh: ( ) xx = x x = xx = maka a [ ] a = b b e. Perangkatan dua erkalian bilangan Contoh: ( x ) = (x)x(x) = xxx = x x x = x maka (a.b) = a.b f. Bilangan berangkat 0 Contoh: : = - = 0 Padahal : xx = = xx = 8 8 = Jadi 0 = 5

22 maka a 0 = Bukti: Sesuai dengan sifat angkat nomor yaitu a.a q = a +q untuk q = 0 dieroleh a.a 0 = a. Tamak bahwa a o berlaku seerti bilangan sehingga didefinisikan a 0 = untuk a. g. Pangkat bulat negatif Contoh: : 5 = -4 = - Padahal : 5 = = 5 x xxxx = xx = Jadi - = maka a - = a Bukti: Sesuai dengan sifat angkat nomor yaitu a.a q = a +q untuk q = - dieroleh a.a - = a +(-) = a 0 =. Karena hasilkali a.a - = maka a dan a - berkebalikan. Sehingga a - = a Rangkuman sifat-sifat eksonen/angkat:. a x a q = a +q 5. (a x b) = a x b. a : a q = a -q 6. a 0 =. (a ) q = a q 7. a - = a a 4. [ ] a = b b 6

23 Contoh soal dan Pembahasan:. Sederhanakan Pembahasan: q ( ). q ( ) q ( ). q ( ) 6 ( ) 9 q 4q. ( ) sifat nomor ( q ).(4q ) sifat nomor ( 6) 9+ q.sifat nomor 4 q 0.sifat enjumlahan 4q..sifat nomor 6 x + 4x. Sederhanakan: x 6. Pembahasan: x + 4x x x x + x x..sifat embagian ecahan x x + 4 x 6 x..sifat nomor x + 4x..sifat nomor x 5 + 4x 8 hasil enjumlahan Latihan. Sederhanakan. Sederhanakan ( r ). ( r ) 8x y ( xy ) 4xy 7

24 ) Bentuk Akar Untuk memulai embelajaran bentuk akar eserta diingatkan kembali tentang erangkatan baru dilanjutkan ke akar dengan mengajukan ertanyaan sebagai berikut: Kita sudah mengenal erangkatan, Beraakah? Setelah dijawab 8, lalu ertanyaan dilanjutkan dengan beraa x beraa x beraa suaya hasilnya 8? Disinilah letak konse akar yaitu mencari bilangan okok aabila angkat dan hasil erangkatannnya diketahui. = 8 8 =. ( ) Padahal = = ( ) = 8 Jadi 8 daat ditulis 8 Secara umum q a = q a Bentuk akar: yang dimaksud bentuk akar adalah akar-akar yang hasilnya bukan bilangan Rasional. Misalnya 4, 00,, bukan bentuk akar karena hasilnya berturut-turut 9 adalah, 0, dan /. Bentuk akar misalnya, 8,, dan sebagainya. Tamak bahwa adanya tanda akar bukan berarti bilangan tersebut termasuk bentuk akar. 8

25 Oerasi ada bentuk akar:. Oerasi enjumlahan dan engurangan Bentuk akar daat dijumlah atau dikurangkan bila akarnya sejenis a b + c b = (a+c) b dan a b c b = (a-c) b Contoh: + 5 = = - 5. Oerasi erkalian dan embagian ada bentuk akar: a. Perkalian: ) a. b = ab ) a b.c d = ac bd b. Pembagian a = b b a Selanjutnya sifat oerasi bentuk akar dirangkum sebagai berikut:. a b + c b = (a+c) b. a b c b = (a-c) b. ab = a. b 4. a = b b a Mengubah bilangan angkat ecahan menjadi bentuk akar: x x x = x x x = x xx = Jadi = 4 Jadi secara umum: a q = q a 9

26 Dengan syarat : q a terdefinisi ada bilangan Real. Contoh soal dan embahasan:. Sederhanakan : a. 00 b. Pembahasan: c. 5 x 8 a. 00 = 00x.sifat erkalian = 00x.sifat nomor =0..(hasil 00 = 0) b =..sifat nomor = 0 7..hasil 49 = 7 dan 00 = 0 c. 5 x 8 = 5x 8..sifat nomor = 0 hasil erkalian = 4x 0.enguraian erkalian = 4 x 0..sifat nomor = 0..hasil 4 =. Rasionalkan enyebut ecahan akar berikut: a. 5 b. + c. 5 Pembahasan: 0

27 a =. = = = b. + = +. = ( ) ( + )( ) = 6 4 = 6 c. 5 = = ( ( + ) ( 5) 5) = Latihan = 5) = (4 + 5). Nyatakan dalam bentuk angkat ecahan: a. b. a 5 c. x. Nyatakan dalam bentuk angkat ecahan a. b. 5 c Hitunglah: 5 a b Sederhanakan: a b. ( )

28 D. Logaritma Pembelajaran dimulai dengan ertanyaan sebagai berikut: Kita sudah mengenal bilangan berangkat. Beraa? Setelah dijawab bahwa =8. maka ertanyaan diubah menjadi diangkatkan beraa suaya menjadi 8? Disinilah letak konse logaritma: yaitu mencari angkat jika bilangan okok dan hasil erangkatannya diketahui. Pernyataan diangkatkan beraa menjadi 8 ditulis log 8 =. x = 8 log 8 = x Jadi secara umum: a log b = c a c = b, dimana a, b, c Real dan a > 0, a, b> 0 Keterangan: a disebut bilangan okok logaritma (jika bilangan okok 0 tidak ditulis) b disebut bilangan yang dicari logaritmanya c adalah hasil enarikan logaritma. Sifat-sifat Logaritma: Berikut ini 0 sifat logaritma yang sering digunakan untuk menyelesaikan berbagai ermasalahan yang berkaitan dengan logaritma disertai dengan buktinya, yaitu:. a log xy = a log x + a log y Bukti: Misalkan x = a, y = a q, xy = a r Maka a. a q = a r a +q = a r + q = r..)

29 Padahal dari definisi x = a = a log x ) y = a q q = a log y.) xy = a r r = a log xy.4) Substitusi ), ), 4) kedalam ) didaat a log x + a log y = a Log xy. a log y x = a log x a log y Bukti: Misalkan x = a, y = a q, y x = a r Maka a a q = a r a q = a r - q = r..) Padahal dari definisi x = a = a log x ) y = a q q = a log y.) x = a r r = a x log.4) y y Substitusi ), ), 4) kedalam ) didaat a log x a log y = a Log y x. a log x n = n. a log x Bukti: a Log x n = a Log x.x.x.x n faktor = a log x + a log x + a log x +.+ a log x (menurut sifat ) n suku = n. a log x (menurut definisi erkalian) Jadi a log x n = n. a Log x m 4. a m n log x =. a log x n

30 Bukti: a log m n x = a log n m (x ) (menurut definisi angkat) = m. a n log ( x ) (menurut sifat ) = m. n. a log x (menurut sifat ) = n m. a log x 5. a log x = log x log a Bukti: misalkan a log x = y x = a y (definisi) log x = log a y (kedua ruas dijadikan logaritma) log x = y log a (menurut sifat ) y = log x log a (erkalian diubah menjadi embagian) a log x = log x log a (karena a log x = y) 6. a log x. x log y = a log y Bukti : a log x. x log y = log x log y. log a log x ( Sifat nomor 5) = log y log a (enyederhanaan erkalian ecahan) = a log y (Sifat nomor 5) 7. m a n n log x =. a log x m 4

31 Bukti: a m log x log a n n log x = m (Sifat nomor 5) = n.log x m.log a (Sifat nomor ) n log x =. m log a (Sifat erkalian ecahan) = m n. a log x (Sifat nomor 5) 8. a x a log = x Bukti : Misal a log x = y a log x = y a y = x (menurut definisi logaritma) 9. a log x = a x a log = x (y disubstitusi dengan a log x) log x log a Bukti : Bukti dibalik dari kanan ke kiri Misalkan log x log a = y log x = y. log a (bentuk embagian diubah menjadi erkalian) x = (definisi logaritma) ( y. log a ) x = ( log a )( y) (sifat komutatif erkalian) x = log a y ( ) (Sifat erangkatan) x = a y (menurut sifat 6) y = a log x (menurut definisi logaritma) 5

32 log x log a = a log x (dari emisalan) 0. a log = 0 Bukti: Misal a log = y Menurut definisi logaritma menjadi a y =. Maka bilangan yang memenuhi ersamaan tersebut adalah y = 0 sebab a o =. Sehingga a log = 0. a log x = a log y maka x = y Bukti: Misal a log x = dan a log y = q Dari a log x = maka x = a Dari a log y = q maka y = a q Karena a log x = a log y maka = q Karena =q maka a = a q Karena a = a q maka x = y (terbukti) Rangkuman Sifat-sifat logaritma:. a log xy = a log x + a log y 6. a log x. x log y = a log y. a log y x = a log x a log y 7. a m n n log x =. a log x m. a log x n = n. a log x 8. a x a log = x m 4. a m n log x =. a log x 9. a log x = n 5. a log x = log x log a 0. a log = 0. Jika log x log a a log x = a log y maka x = y 6

33 Contoh soal dan embahasan:. Tentukan nilai dari: a. log 7 b. log 8 c. log Pembahasan: a. log 7 = log = log = 6 b. log 8 = log = log =. log = -6 c. log = log = log + log = log + log = log + log = - +(- ) = Hitunglah: a. 5 log log log = b. log 8 9 log log = Pembahasan: a. 5 log log log = 5 log5 + 5 log5 + log = + (-) + = 0 b. log 8 9 log log = log 4 + log + log 7

34 = = 5. Tentukan x ada ersamaan logaritma berikut: a. log (x ) = b. log(log x) = Pembahasan: a. log (x ) = log (x ) = log log (x ) = log 8 (x ) = 8 x = 9 x = b. log(log x) = log(log x) = log 0 log x = 0 x = 0 0 Latihan 5. Tentukan nilai dari: a. 5 log b. 5 log 0, c. 6 log 6. Tentukan x jika 6 log( log x) = E. Fungsi Eksonen Masalah engantar yang diajukan keada eserta diklat adalah sebagai berikut: Tentukan nilai-nilai y ada ersamaan y = x jika x = { -, -, -, 0,,, } Jawaban ditulis dalam bentuk tabel sebagai berikut: x y

35 Gambarlah titik-titik itu ada kertas beretak dihubungkan dengan kurva Setia fungsi yang berbentuk f(x) = ab x dimana a>0, b>0 dan b disebut fungsi eksonensial. Daerah asalnya adalah himunan bilangan real. Sedangkan daerah hasilnya adalah himunan bilangan real ositif (seerti tamak ada grafik diatas) Contoh soal dan embahasan: Contoh soal dan embahasan:. Sebuah koloni bakteri daat berkembang dengan keceatan 0% er jam. Artinya dalam setia jam bakteri itu akan bertambah sebanyak, kali jumlah semula. Misalkan koloni bakteri itu semula berjumlah 800, maka erkembangan bakteri daat dilihat ada tabel berikut: Waktu(jam) 0 t Jumlah ,4 800(,) t x, x, x, x, 9

36 Tamak bahwa harga satu koloni bakteri akan meningkat sesuai dengan fungsi eksonen J = 800(,) t Berdasarkan fungsi tersebut tentukan jumlah bakteri: a. 5 jam dari sekarang b. 5 jam yang lalu Pembahasan: a. J(5) = 800(,) 5 990,66 Jadi jumlah bakteri 5 jam yang akan datang sekitar 99 b. J(-5) = 800(,) -5 77,5 Jadi jumlah bakteri 5 jam yang lalu sekitar 77. Misalkan sebuah isoto radioaktif meluruh dengan keceatan 5% er hari. Jika sekarang ada 40 kg, tentukan a. Banyaknya radiaktif setelah 6 hari b. Waktu yang dierrlukan agar jumlah radioaktif tinggal 0 kg Pembahasan: Karena radioaktif itu meluruh maka jumlahnya akan berkurang dari jumlah semula. Setia hari berkurang sebanyak 5% atau 0,5 kali jumlah sebelumnya. Maka yang tersisa adalah ( 0,5) = 0,85 kali jumlah ada hari sebelumnya. Perhatikan tabel berikut ini: 0

37 Waktu (hari) 0 4 t Jumlah (0,85) t X0,85 X0,85 X0,85 X0,85 Tamak bahwa harga satu bungkus Indomie akan meningkat sesuai dengan fungsi eksonen J = 40(0,85) t a. Jika t = 6 hari maka J = 40(0,85) 6 5, Jadi banyaknya radioaktif setelah 6 hari adalah 5, kg b. Jika J = 0 maka 0 = 40(0,85) t 0 = (0,85) t 0,5 = (0,85) t 40 Dengan mengubah kedalam bentuk logaritma: 0,5 = (0,85) t t = 0,85 log 0,5 t = log 0,5 log 0,85 4,65 Jadi waktu yang dierlukan suaya tinggal 0 kg radioaktif kira-kira 4,65 hari. Latihan soal dan kunci jawaban: Jika sebuah mesin dibeli dengan harga 0 juta ruiah. Setia tahun menyusut sebesar 5% dari harga ada tahun sebelumnya. Setelah x tahun maka nilai mesin itu adalah y = ( 5%) x. Tentukan: a. Harga mesin setelah 0 tahun b. Setelah beraa tahun harga mesin itu menjadi 5 juta ruiah?

38 Kunci Jawaban. Latihan. Dengan menggunakan saringan erasthothenes akan didaatkan bilangan rima antara 0 dan 40. Bilangan yang bukan rima adalah bilangan komosit yaitu,,4,5,8,9,40,4,44,45,46,49.. a. himunan bilangan rasional dan real b. himunan bilangan bulat negatif, rasional, bilangan real c. himunan bilangan irasional dan real d. himunan bilangan rasional dan real e. himunan bilangan rasional dan real f. himunan bilangan rasional dan real Latihan. 7 km. a. 6 mm b. 5 ohm Latihan r. x x y 5 Latihan 4. a. b. a c. x 5. a. b. 5 5 c.. 5

39 . a. b a. b. 4 6 Latihan 5. a. 0 b. c.. 64 Latihan 6 a. R ,9 b.,5 tahun

40 Bagian III Penutu Materi bilangan real dalam bahan ajar ini diawali dengan embahasan konse okok tia bagian dan dilanjutkan dengan contoh soal beserta embahasan. Kemudian dilanjutkan dengan latihan soal dan kunci jawaban. Pemahaman terhada sifat sifat bilangan real, erbandingan senilai dan berbalik nilai, sifat sifat bilangan real dan bentuk akar, serta logaritma dan fungsi eksonen harus betul betul dikuasai agar siswa daat menngunakannya untuk menyelesaikan soal. Disadari masih banyak kekurangan dalam bahan ajar ini, sehingga kritik dan saran dari embaca sangat kami harakan. 4