DINAMIKA LINEAR Teori Singkat Hukum-hukum Newton tentang Gerak Gaya-gaya yang sering dijumpai dalam persoalan mekanika: maksimum

Transkripsi

1 DINAIKA LINEAR Teori Singkat Huku-huku Newton tentang Gerak. Huku Newton Benda yang dia atau berada dala gerak dengan keceatan konstan akan terus berada dala keadaan geraknya kecuali ada gaya yang bekerja adany.. Huku Newton II Benda yang endaat gaya akan bergerak sedeikian sehingga laju erubahan oentunya saa dengan gaya yang bekerja adanyaa. 3. Huku Newton III Jika dua benda saling engerjakan gaya satu terhada yang lainnya, aka kedua gaya itu saa besar dan berlawanan arah. Pasangan gaya ini dikenal sebagai gaya aksi dan gaya reaksi. Gaya-gaya yang sering dijuai dala ersoalan ekanika: Gaya gravitasi Gaya tarikan dari bui. Arahnya selalu ke bawah. W = g. Gaya noral Gaya yang uncul akibat kontak antara dua benda. Arahnya selalu tegak lurus bidang kontak (tidak selalu ke atas, tergantung orientasi bidang kontak). Gaya gesek Gaya yang uncul akibat kontak antara dua benda. Arahnya selalu enyinggung bidang kontak dala arah elawan kecenderungan gerak relatif erukaan kontak. Ada dua jenis gaya gesek: gaya gesek statis dan gaya gesek kinetis. Gaya gesek aksiu: f = μn. Tegangan tali Gaya yang uncul ada tali yang dihubungkan ada benda atau erukaan lain. Arahnya selalu enuju ke arah tali (seanjang tali). Gaya egas Gaya yang uncul ada egas yang ditekan atau ditarik. Arah gaya sedeikian sehingga elawan arah siangan. Gaya gesek diberikan oleh F = - kδx. Usaha, Energi dan oentu Pendekatan (kekekalan) energi dan oentu biasanya digunakan ketika detail gerakan benda tidak erlu diketahui. Energi kinetik berkaitan dengan gerakan benda: E K = ½ v.

2 Usaha adalah besar erkalian antara gaya dengan erindahan yang searah dengan gaya itu. Atau dengan kata lain, usaha adalah akuulasi gaya terhada lintasan. W = F.s untuk kasus diana gaya F konstan seanjang lintasan s. Dala eruusan yang lebih uu, usaha diberikan oleh W= F. ds. Usaha akan engubah besarnya energi kinetik. W = ΔEK = EK f - EK i. Jika kerja W dilakukan dala selang waktu Δt, aka daya rata-rata diberikan oleh Untuk selang waktu yang sangat singkat Pada gaya-gaya tertentu, usaha untuk eindahkan susuatu benda dari satu titik ke titik lainnya tidak bergantung ada lintasan benda, tetai hanya bergantung ada osisi awal dan osisi akhir benda. Gaya-gaya seerti ini dikenal sebagai gaya konservatif. Contoh gaya konservatif adalah gaya gravitasi dan gaya egas. Pada gaya konservatif daat didefinisikan energi otensial. Energi otensial gravitasi: E g = gh. Energi otensial egas: E = ½ kδx. Jika ada suatu siste hanya terdaat gaya-gaya konservatif saja, aka julah dari energi kinetik dan seua jenis energi otensial (total energi ini dikenal sebagai energi ekanik) adalah selalu saa seanjang waktu: E = E K + E tidak bergantung ada waktu. Adanya gaya non konservatif (gaya disiatif seerti gaya gesek) akan engubah besarnya energi ekanik. Usaha gaya non konservatif adalah saa dengan erubahan energi ekanik. oentu didefinisikan sebagai hasil kali antara assa dengan keceatan benda. = v Jika julah gaya-gaya luar dala arah tertentu ada suatu siste artikel adalah nol, aka total oentu ada arah tersebut kekal (tidak bergantung waktu). Iuls adalah akuulasi gaya terhada waktu dan ini eberikan erubahan oentu. I = F Δt = Δ untuk kasus diana gaya F konstan selaa selang waktu Δt. Dala eruusan yang lebih uu, iuls diberikan oleh I= Fdt Pada tubukan, oentu sebelu dan sesudah tubukan adalah saa, selaa tidak ada gaya luar yang bekerja ada siste. Tubukan yang terjadi daat bersifat elastis (energi kekal), dan tidak elastik (energi tidak kekal). Koefisien restitusi didefinisikan sebagai rasio antara keceatan relatif sesudah tubukan terhada keceatan relatif sebelu tubukan.

3 Untuk tubukan elastis seurna, koefisien restitusi e adalah. Untuk tubukan tidak elastic saa sekali e adalah 0. Untuk tubukan elastik sebagian, nilai e antara 0 dan. Koefisien restitusi didefinisikan ada garis tubukan Contoh Soal. Sebuah bola bilyar bergerak dengan keceatan u 4iˆ /s. Bola enubuk bola lain yang identik dala keadaan dia. Setelah tubukan bola ertaa ebentuk sudut 30 dengan arah seula. Bila tubukan bersifat lenting seua, tentukanlah keceatan asingasing bola setelah tubukan. Situasinya dierlihatkan dala gabar. Inforasi tabahan yang diberikan adalah bahwa keceatan akhir bola ertaa ebentuk sudut 30 dengan arah seula. Kekekalan oentu: 0 arah x : u u cos30 v cos u 0 v cos30 v cos () 0 arah y : v cos30 v sin v sin 30 v cos () Kekekalan energi kinetik untuk tubukan lenting seurna u v v u v v (3) Bila ersaaan () dan () kita kuadratkan, lalu hasil kuadratnya kita julahkan, aka kita

4 daatkan : u u o o cos30 cos sin 30 sin v vv v o v v vv cos 30 enurut ersaaan (3), ruas kiri haruslah nol sehingga : cos (a + 30 ) = 0 atau α = 60 Substitusi ke dala ersaaan () eberikan : v 3 0 v atau v 3 Dengan hasil ini ersaaan () enjadi u 3 v v v 3 v v 4 v v u = /s dengan arah ebentuk sudut 60 o dari subuh x v /s dengan arah ebentuk sudut 30 o dari subuh x +. Sebuah benda kecil berassa eluncur ke bawah suatu bukit licin dari ketinggian h tana keceatan awal. Di dasar bukit benda engenai aan berassa. Karena gesekan antara benda dan aan, benda dierlabat dan keudian bergerak bersaa aan dengan keceatan saa. Hitung usaha total yang dilakukan oleh gaya gesekan dala roses ini. assa jatuh dari ketinggian h. Dengan engingat bahwa energi otensial diubah enjadi energi kinetik keceatan benda di dasar bukit adalah: Tubukan antara assa dan aan (oentu kekal): v = ( + )v Dari kedua ersaaan di atas kita eroleh nilai v'. Usaha yang dilakukan gaya gesekan aan dengan benda saa dengan erbedaan energi kinetik: Diana Ek = ½ v dan Ek = ½ ( + )v

5 Dari ersaaan-ersaaan di atas kita eroleh,. 3. Tinjau siste seerti ada gabar. Jika assa benda adalah 4 kali assa benda dan tinggi h = 0 c serta assa katrol, assa tali dan gesekan dibaikan, aka ada saat benda dileaskan, beraakah tinggi aksiu yang dicaai oleh benda?. h Perhatikan bahwa ketika benda turun sejauh s, benda akan naik sejauh s sehingga erceatan benda dua kali erceatan benda. a = a T T g g g T = a T g = a Karena katrol yang bergerak tidak berassa aka; T = T Selesaikan ersaaan-ersaaan di atas, kita akan eroleh, ( ) Atau ( ) Waktu yang dierlukan benda encaai tanah dicari dengan ruus: atau Dala waktu t ini benda akan encaai ketinggian h dan keceatan v.

6 Setelah benda encaai lantai, gerakan benda adalah seerti gerakan benda yang dilearkan ke atas dengan keceatan awal v dari ketinggian h. Benda akan encaai tinggi aksiu setelah waktu t'. v = v 0 gt 0 = v gt t = v /g Ketinggian aksiu benda dicari dengan ruus: ax ax ( ) ax ax 4. Sebuah artikel A berassa enubuk artikel B yang dia. assa artikel B adalah. Partikel A keudian enyiang dengan sudut 90 0, sedangkan artikel B enyiang dengan sudut 30 0 terhada gerakan awal artikel A. Beraa ersen erubahan energi kinetik siste setelah tubukan jika / = 5? Dala soal ini, oentu linear siste dala arah x dan y kekal. Gunakan variabel berikut: Partikel A datang dengan keceatan awal u, keceatan A setelah tubukan adalah v A, dan keceatan B setelah tubukan adalah v B. Huku kekekalan oentu dala arah x: u = v B cos30 0, Huku kekekalan oentu dala arah y: 0 = v A v B sin30 0. Dari dua hubungan ini, didaat dan v A = u tan30 0 Perbandingan energi kinetik akhir terhada energi kinetik awal Jadi energi kinetik yang hilang adalah 40%. 5..

7 Dinaika Rotasi Rotasi berlawanan jaru ja sering kali didefinisikan sebagai arah rotasi ositif dan rotasi berlawanan arah jaru ja sering kali didefinisikan sebagai arah rotasi negatif. Konvensi ini tidak wajib diikuti, selaa besaran-besaran lain yang terkait didefinisikan dengan tanda yang konsisten. Keceatan sudut ω eruakan besaran vektor, deikian juga erceatan sudut α. Energi kinetik rotasi sebuah benda yang berutar terhada subu sietri yang elalui usat assanya diberikan oleh julah total dari energi kinetik translasi assa-assa kecil (ebentuk benda itu) yang berotasi Karena keceatan assa-assa kecil yang berotasi diberikan oleh v i = ωr i, didaat ( ) oen inersia eruakan ukuran kelebaan benda berutar, didefinisikan sebagai: atau dala notasi integral I= r d sehingga energi kinetik rotasi diberikan oleh Teorea subu sejajar: jika oen inersia suatu benda relatif terhada subu sietri yang elewati usat assa adalah I 0, aka oen inersia benda tersebut relatif terhada suatu subu yang sejajar dengan subu sietri tersebut dan berjarak h darinya diberikan oleh I = I 0 + h. Keauan sebuah gaya F untuk eutar sebuah benda ditentukan oleh besar gaya itu, jarak titik tangka gaya terhada usat rotasi dan juga sudut antara gaya dan garis yang enghubungkan titik tangka ke usat rotasi. Keauan ini disebut sebagai torka. Torka didefinisikan sebagai Huku Newton untuk rotasi: τ = I α. Usaha torka diberikan oleh W = τδθ untuk besar torka yang saa selaa erubahan sudut Δθ Untuk kasus yang lebih uu, usaha torka diberikan oleh W= dt. oentu sudut terhada suatu titik O dari sebuah artikel dengan oentu dan berada ada osisi r dari titik O diberikan oleh L=r Untuk benda tegar yang berotasi terhada subu yang elalui usat assanya dengan suatu keceatan sudut tertentu, terdaat tabahan oentu sudut rotasi sebesar: L = Iω Jika tidak ada torka luar yang bekerja ada suatu siste, aka total oentu sudut siste itu tidak berubah terhada waktu (oentu sudut kekal).

8 Iuls sudut adalah akuulasi torka terhada waktu dan ini eberikan erubahan oentu sudut. I θ = τ Δt = ΔL untuk kasus diana gaya τ konstan selaa selang waktu Δt. Dala eruusan yang lebih uu, iuls sudut diberikan oleh Analogi gerak lurus dan gerak rotasi Translasi urni Rotasi urni Posisi x Posisi sudut θ Keceatan v = dx/dt Keceatan sudut ω = dθ/dt Perceatan a = dv/dt Perceatan sudut α = dω/dt assa oen inersia I Huku ke- Newton F t = a Huku ke- Newton τ t = Iα untuk assa teta untuk assa teta Usaha W= F.ds Usaha W = d Energi kinetik translasi EK = ½ v Energi kinetik rotasi EK = ½ Iω Daya P = Fv Daya P = τω Gaya F Torka =r F oentu satu = v oentu sudut satu L=r artikel artikel oentu benda tegar = v c oentu sudut benda L = Iω tegar Iuls I= Fdt Iuls sudut I = dt Huku ke- Newton untuk assa berubah Huku ke- Newton untuk assa berubah Gerakan benda enggelinding tana sli eruakan gerak kobinasi translasi urni dan rotasi urni dengan hubungan v = ωr, R adalah jari-jari benda yang enggelinding. Arah gaya gesek dala roses enggelinding berlawanan dengan arah kecenderungan gerak relatif kedua erukaan yang bersentuhan. Untuk kasus khusus, diana terjadi kesetibangan (benda tidak bergerak selaanya), berlaku hubungan ΣF = 0, Στ = 0. Syarat keadaan setibang: Julah vektor dari seua gaya luar yang bekerja ada benda dala keadaan seibang harus saa dengan nol,

9 Julah vektor seua torka luar yang bekerja ada benda dala keadaan seibang haruslah saa dengan nol Contoh Soal. Dua bola berassa asing-asing 0 kg digantung dengan sebuah batang tegar yang assanya daat diabaikan seerti taak ada gabar disaing. Panjang tali adalah 4 eter. Bola yang bawah ditebak dengan eluru yang eluncur ada arah endatar dengan laju 400 /s dan assanya 00 gra a. Bila eluru enanca ada bola dan keudian bergerak bersaa. beraakah ketinggian aksiu dari eluru dan bola tersebut?, b. Bila eluru enebus bola dan ternyata ketinggian aksiu dari bola adalah 50% dari hasil di a, beraakah laju eluru setelah enebus bola? Catatan : Seua gesekan yang ada diabaikan a. Tinjau siste bola tersebut. bersaa eluru. Tana oen gaya luar berlaku huku kekekalan oentu sudut : L + Lb + Lb = L b' +Lb ' L = v L = oentu sudut eluru terhada titik O sebelu tubukan Lb = b v b L = 0 = oentu sudut bola terhada titik O sebelu tubukan. ( vb = 0 ) Lb = b v b L = 0 = oentu sudut bola terhada titik O sebelu tubukan ( vb = 0 ) Lb ' = b ω' L = oentu sudut bola + eluru terhada titik O setelah tubukan Lbl' = b ω' ( L / ) = oentu sudut bola terhada titik O setelah tubukan vl 0, Jadi ' = 0,794 rad/s L L / L 0, b b isalkan bola dan batang berhenti setelah berutar terhada titik O setelah eneuh sudut utaran sebesar θ. aka berdasarkan huku kekekalan energi 0,5L ' L ' g0,5l cos ( )gl cos 8 L ' cos g 0,5L cos 8 0 gl 0 0, 4 0 0, q = 6,5 o Dengan ini, aka eluru dan bola akan naik sebesar 4(0.05) = sebelu

10 berhenti. b). Bila bola berhenti setelah naik 0.5 x 0.4 = 0. ( = h ), aka harga keceatan sudut siste sesaat setelah ditebus eluru daat dieroleh sbb. L / ' L ' gh / gh ' gh / gh 00 0,/ 00 0, 0,35 ' 0,56 rad/s L L 0 4 /8 0 4 / Dari huku kekekalan oentu sudut Lv L/ ' L ' Lv' v' L / ' L ' 0 0, ,35 v 400 4,5 /s. L 0, 4 Jadi keceatan eluru sesaat setelah enebus bola adalah 4.5 / s.. Dari gabar disaing, sebuah bola ejal berassa enggelinding turun seanjang bidang iring segi tiga yang berassa ( = 7). Jari jari bola = r (r = 0. h) dan bidang iring ini bergerak terhada lantai tana gesekan. ula ula siste dia. Jika diketahui sinθ = 0,6 dan g adalah erceatan grafitasi serta ada gesekan yang besar antara assa dan agar tidak sli, beraakah keceatan ketika bola turun sejauh h?. θ h v Energi otensial ula-ula = gh sin θ. Energi kinetik ula-ula = 0 Energi otensial akhir = 0 Energi kinetik akhir = energi kinetik translasi + Energi kinetik rotasi + energi kinetik translasi. Energi kinetik translasi = v v Energi kinetik rotasi = I I, r diana v = keceatan relatif terhada seanjang bidang iring. v cos θ v θ v v sin θ

11 Energi kinetik translasi = v v cos v sin = v v v v cos v Energi kinetik akhir = v I ( v cos ) v vv r = I ( ) v ( ) v cos vv r Huku kekekalan oentu linier 0 v ( v v cos ) v v cos hasil v ini subtitusikan ke ersaaan energi kinetik akhir, akan didaatkan : I EKakhir ( ) v ( ) ( v ) ( ) v r cos I EKakhir ( ) v r cos Huku kekekalan energi Energi otensial awal = energi kinetik akhir aka akan didaatkan : ghsin v I ( ) r cos Jika nilai-nilai yang diketahui diasukkan, aka akan didaatkan : 3. Sebuah tangga berbentuk segitiga saa kaki seerti ada gabar, eunyai assa yang sangat kecil dan bisa diabaikan. Seorang tukang bangunan dengan assa kg eanjat saai ketinggian 3 eter dari dasar. Beraa tegangan tali enghubung (ada osisi horizontal di gabar) antara kedua sisi tangga? (nyatakan dala dan g, diana g = erceatan gravitasi bui). v gh 0 Tinjau siste tangga dan orang, Gaya yang bekerja dala arah Y : N Tinjau sisi AC tangga, A N g...() B

12 Torka/torsi terhada titik C : 5 N A.( eter) g.(0,5 eter) -T.( eter) 0... () Tinjau sisi BC tangga, Torka/torsi terhada titik C : 5 N B.( eter) T ( eter) 0...(3) Dari ersaaan (), (), dan (3) akan didaatkan : g T 4 5 T 5 sehingga nilai tegangan tali enghubung T adalah : 5 T g Sebuah bola berjari-jari r dan berassa bergerak translasi dengan keceatan awal v 0 ke kanan. Bola ini juga berotasi dengan keceatan sudut awal ω 0. Hitung beraa laa waktu bola tersebut sli? Tentukan keceatan linear akhir bola. Lantai kasar dengan koefisien gesek kinetis μ. oen inersia bola adalah. Tinjau seua kasus yang ungkin (ω 0 searah jaru ja dan berlawanan arah jaru ja). : Pertaa tinjau kasus ω 0 searah jaru ja. Ada 3 keungkinan yang terjadi: ω 0 r > v 0, ω 0 r = v 0 atau ω 0 r < v0. Jika ω 0 r > v 0, aka gaya gesek ke arah dean. Persaaan gerak translasi: f = a. Persaaan gerak rotasi: -fr = Iα. Gaya gesek diberikan oleh f = μg dan oen inersia Gerak bola adalah gerak linear berubah beraturan, keceatan diberikan oleh v=v 0 +µ g t. Deikian juga gerak rotasi, keceatan sudut diberikan oleh Syarat agar berhenti sli v = ωr. aka akan didaat v 0 +µ g t =, atau ( ) dan v=v 0 +µ g t = ( ) Jika ω 0 r = v 0 aka t = 0 dan v = v0. Jika ω 0 r < v 0, aka gaya gesek ke arah belakang. Persaaan gerak translasi: -f = a. Persaaan gerak rotasi: fr = Iα.

13 Gerak translasi diberikan oleh v=v 0 µ g t Gerak rotasi diberikan oleh Syarat agar berhenti sli v = ωr. aka akan didaat v 0 µ g t=ω 0 r + ( ). Untuk kasus ω 0 berlawanan arah jaru ja, gaya gesek selalu ke belakang. Persaaan gerak translasi: -f = a. Persaaan gerak rotasi: fr = Iα. Gerak translasi diberikan oleh v=v 0 µ g t Gerak rotasi diberikan oleh Tanda negatif enunjukkan arah ω 0 berlawanan arah jaru ja. Syarat agar berhenti sli v 0 µ g t=ω 0 r + atau ( ). dan v=v 0 +µg t = ( ) Taak bahwa v akhir bisa negatif jika 5 v 0 <ω 0 r. Benda akan berhenti jika 5v 0 =ω 0 r., atau