I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)

Transkripsi

1 I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa grup abelian berhingga memiliki faktorisasi di bawah operasi perkalian sehingga apabila merupakan faktorisasinya maka setiap unsur dapat difaktorkan dalam bentuk... dengan. Muncul tiga istilah yakni, n-good yaitu apabila dari tiap-tiap faktorisasi setidaknya ada satu faktornya yang periodik, jika tidak ada yang periodik maka disebut n-bad, dan apabila selalu n-good untuk setiap nilai yang mungkin disebut totally good. Kemudian hal-hal tersebut di atas menimbulkan pertanyaan berikut, misalkan sembarang faktorisasi dari grup G, untuk setiap nilai yang mungkin, apakah grup selalu n-good? Sehingga merupakan totally good? atau justru n-bad? Masalah yang dibahas di dalam karya ilmiah ini hanya meliputi pembahasan pada 3- grup berorder 3,3 dan 3. Adapun untuk 3- grup berorder 3 akan dibahas untuk semua nilai yang mungkin, yaitu 2 dan 3. Sedangkan 3-grup berorder 3 dan 3 tidak dibahas untuk semua nilai yang mungkin, yakni hanya 2 dan 3 untuk yang berorder 3, lalu 4 untuk yang berorder 3. Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk menganalisis faktorisasi grup abelian pada beberapa 3-grup dengan order 3, 3 dan 3. Pada karya ilmiah ini akan ditunjukkan bahwa 3-grup dengan order 3 merupakan totally good, 3-grup dengan order 3 merupakan 3- good tapi 2-bad dan 3-grup dengan order 3 merupakan 4-good. Sistematika Penulisan Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi pustaka yang materinya diambil dari jurnal yang berjudul The Factorization of Abelian Group oleh Khalid Amin tahun Karya ilmiah ini terdiri dari tujuh bagian. Bagian pertama berisi pendahuluan yang terdiri atas latar belakang, batasan masalah, tujuan, metode dan sistematika penulisan. Bagian kedua adalah landasan teori yang menjadi dasar penulisan karya ilmiah ini yang mencakup definisi-definisi, notasi, contoh, sifat-sifat serta beberapa teorema dari berbagai literatur yang dapat digunakan sebagai landasan untuk mengembangkan teorema dan lema lain di pembahasan nantinya. Bagian ketiga berisi pembahasan dan hasilnya berupa pembuktian-pembuktian teorema dan lema berkenaan dengan faktorisasi grup abelian berhingga yaitu 3- grup dengan order 3, 3 dan 3, serta perlakuannya dalam beberapa 3-grup dengan tipe grup yang berbeda di beberapa kasus. Bagian keempat berisi kesimpulan dan saran. Bagian kelima adalah daftar pustaka dan bagian keenam merupakan lampiran-lampiran yang berisi pembuktian sifat dan teorema pada landasan teori. II LANDASAN TEORI Himpunan dan Himpunan Bagian Definisi Himpunan Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. (Kurtz, 1992) Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital seperti,,,,. Sedangkan obyek dilambangkan dengan,,,,. Definisi Himpunan Bagian Himpunan dikatakan himpunan bagian dari himpunan jika setiap anggota merupakan anggota. (Kurtz, 1992) Notasi pada Himpunan anggota himpunan. bukan anggota himpunan. himpunan bagian dari. Setiap anggota himpunan. Ada anggota himpunan. anggota himpunan kecuali.

2 Contoh Himpunan Himpunan 0, dibaca himpunan kecuali nol. Definisi Operasi Biner Operasi biner pada himpunan S adalah suatu fungsi ke S yang membawa, ke, bersifat tunggal. Definisi Prima dan Komposit Suatu bilangan bulat 2 dikatakan prima jika hanya dapat dibagi oleh 1 dan p. Jika tidak, maka p dikatakan komposit. (Menezes et all, 1997) Grup, Subgrup, Eksponen, Order, Periodik dan Replaceable Definisi Grup Grup, adalah himpunan tak kosong tertutup di bawah operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma berikut: 1. Operasi biner bersifat assosiatif,,, ( )c= 2. Terdapat unsur identitas kiri dan kanan,, 3. Terdapat unsur invers kiri dan kanan, ¹, ¹ ¹ Pada pembahasan berikutnya operasi diganti sebagai operasi perkalian. Sifat-sifat Grup 1. Unsur identitas di grup tunggal. 2. Penyelesaian tunggal untuk sembarang. Bukti Sifat-sifat Grup (lihat lampiran1). Contoh Grup Himpunan bilangan 0}, prima di bawah operasi perkalian. Himpunan bilangan,,, di bawah operasi penjumlahan. Definisi Produk Langsung Misalkan grup dan, himpunan bagian dari. Grup disebut produk langsung dari, jika,. Berdasarkan definisi tersebut diperoleh misalkan grup dan, himpunan bagian dari dengan,,. Jika produk langsung dari, maka. (Aliatiningtyas, 2006 dan Amin, 1999) Definisi Faktorisasi Misalkan grup, himpunan bagian dan. Perkalian dikatakan faktorisasi dari, jika setiap unsur di dapat difaktorkan secara khas (unik) dalam bentuk... dengan. Jika setiap himpunan bagian memuat unsur identitas maka faktorisasinya disebut faktorisasi normal. Berdasarkan dua definisi di atas diperoleh hubungan antara produk langsung dan faktorisasi yaitu misalkan grup yang merupakan produk langsung dari dan, maka berdasarkan definisi produk langsung,, sehingga. Jika untuk, ;, tersebut unik maka merupakan faktorisasi dari. Secara umum dapat ditulis, misalkan maka,,, sehingga. Jika unik maka.. merupakan faktorisasi dari. Akibatnya faktorisasi juga merupakan produk langsung namun sebaliknya produk langsung belum tentu merupakan faktorisasi. Contoh Produk langsung dan Faktorisasi Misalkan 0, terdapat 1,2,3 dan 4,5,6. Masing-masing merupakan himpunan bagian dari dan berlaku 1,2,3. 1,4,5,6 11,14,15,16, 21,24,25,26, 31,34,35,36 1,4,5,6,2,1,3,5,3,5,1,4. Atau ,4,5,6 21,4,5,6 31,4,5,6 1,4,5,6 2,1,3,5 3,5,1,4. Juga dapat diperoleh bahwa untuk,,, sehingga, berikut penjabarannya: 1 1.1;1,1 2.4; 2,4 3.5; 3, ;2, ;3,1 2.5;2,5 41.4;1,4 3.6;3,6

3 5 1.5;1,5 2.6;2,6 3.4;3, ;1,6 Akan tetapi karena yaitu 1,3,4,5 yang faktornya tidak unik maka produk langsung tersebut bukan merupakan faktorisasi. Adapun untuk contoh produk langsung yang juga merupakan faktorisasi adalah sebagai berikut. Misalkan 0, 1,2,3 dan 2,5, masing-masing merupakan himpunan bagian dari dan berlaku 1,2,3. 2,5 12,15,22,25,32,35 2,5,4,3,6,1. Atau ,5 22,5 32,5 2,5 4,3 6,1. Juga dapat diperoleh untuk,,, sehingga. berikut penjabarannya: 13.5;3,5 21.2;1,2 32.5;2,5 42.2;2, ; 1,5 63.2; 3,2 Setiap bisa dibentuk dalam yang unik dengan, maka merupakan faktorisasi dari grup. Eksponen Jika grup dengan unsur identitas dan serta bilangan bulat positif, maka didefinisikan: 1. (sebanyak kali) 2. (sebanyak kali) 3. Hukum Eksponen Jika grup,, dan bilangan bulat, maka berlaku: Bukti Hukum Eksponen (lihat lampiran 2). Definisi Order Grup Jika grup berhingga (grup yang jumlah anggotanya berhingga), banyaknya unsur dari disebut order grup. Dinotasikan dengan simbol. (Pinter, 1990) Teorema 2.1 (Order Grup) Misalkan grup dan, himpunan bagian dari dengan setiap unsur di tidak ada yang sama dengan setiap unsur di dan merupakan faktorisasi dari., jika hanya jika. Bukti Teorema 2.1 (lihat lampiran 3). Definisi Grup Abelian Suatu grup dengan operasi biner disebut grup abelian jika dan hanya jika operasi biner bersifat komutatif yaitu,,,. Definisi Subgrup Misal grup dan, disebut subgrup dari jika merupakan grup di bawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada. Sifat-sifat Subgrup 1. Subgrup adalah himpunan tak kosong. 2. subgrup jika hanya jika, maka. 3.. (Durbin, 1992 dan Connel, 1999) Bukti sifat subgrup (lihat lampiran 4). Contoh Subgrup Misal grup abelian dan bilangan bulat positif, maka, untuk suatu merupakan subgrup dari. (Beachy, 2000) Definisi Order Unsur Misalkan grup dan, order unsur adalah bilangan bulat positif minimal sehingga ⁿ. Dinotasikan dengan simbol. Jika tidak ada bilangan demikian, maka dikatakan order unsur tak hingga atau nol. Aliatiningtyas, 2006). Jika bilangan prima maka disebut order kuasa prima dari..

4 Definisi Subgrup Siklik Misal grup, subgrup. disebut subgrup siklik jika,,²,,, disebut unsur pembangun dari dan bilangan bulat dengan 1. Teorema 2.2 (Grup Abelian Berhingga) Setiap grup abelian dengan unsur pembangun berhingga dapat dijadikan sebagai produk langsung dari subgrup siklik yang berhingga. (Schreier dan Sperner, 1955) Teorema 2.3 (Order Unsur) Misal grup dan, 1. Jika maka ⁰,¹,²,...,ⁿ ¹ semuanya berbeda. 2. Jika, maka jika dan hanya jika kelipatan. Bukti sifat order unsur (lihat lampiran 5). Definisi p-grup Grup disebut p-grup jika setiap unsur non-identitas di mempunyai order kuasa prima. Definisi Grup Bertipe Suatu grup dikatakan memiliki tipe ₁ ₁,,..., jika merupakan produk langsung dari grup siklik dengan order ₁ ₁,,..., dengan adalah prima. Contoh Subgrup Siklik, Grup Bertipe, grup dan Order Kuasa Prima Misalkan grup 0 1,2,3,4,5,6. Terdapat dan subgrup siklik dari, 2 2,2,2 1,2,4 6 6,6 1,6 Jika merupakan produk langsung dari dan maka berlaku, 1,2,4 24 1,6 21,6 41,6 1,6 2,5 4,3 Sehingga. Oleh karena 3 dan 2, maka grup bertipe (3,2) dengan Grup di sini merupakan contoh 3-grup karena setiap unsur non-identitas di yaitu 2 dan 4 mempunyai order kuasa prima 3. Sedangkan grup merupakan 2-grup karena setiap unsur non-identitas di yaitu 6 mempunyai order kuasa prima 2. Teorema 2.4 Setiap grup dengan order prima adalah siklik dan,,. Bukti (lihat lampiran 6). Teorema 2.5 Misalkan grup berhingga, jika maka. (Aliatiningtyas,2006) Bukti (lihat lampiran 7). Definisi Subgrup Normal Misalkan grup dan subgrup dari, jika dan berlaku ¹ maka disebut subgrup normal dari G. Atau,. Teorema 2.6 Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal. Bukti: Misalkan grup dan subgrup dari. Karena abelian maka untuk setiap dan berlaku, Sehingga terbukti normal. Definisi Subgrup Sejati Misalkan G grup dan subgrup, disebut subgrup sejati apabila tidak sama dengan unsur identitas di dan tidak sama dengan. Grup Faktor Misalkan grup dan subgrup normal dari dan himpunan / adalah sebagai berikut : / dan didefinisikan operasi pada /,.. Unsur disebut koset-koset dari. Teorema 2.7 Himpunan / adalah grup dan disebut grup faktor. Bukti (lihat lampiran 8).

5 Teorema 2.8 Jika grup Abelian maka grup factor / juga Abelian. Bukti:... Maka terbukti / abelian. Teorema 2.9 Misalkan subgrup dari. Maka ada korespondensi satu-satu dari ke koset kiri. Bukti (lihat lampiran 9). Teorema Lagrange Misalkan grup hingga, subgrup dari. Maka order dari membagi order dari. Bukti (lihat lampiran 10). Definisi Subgrup Simulate Misalkan grup, subgrup. Subgrup disebut simulate jika,,,. Jika maka subgrup siklik yang dibangun oleh. Tetapi tidak demikian halnya jika sebaliknya (. Sehingga diperoleh bahwa subgrup siklik juga merupakan simulate namun sebaliknya simulate belum tentu siklik. Contoh Subgrup Simulate Misalkan grup 0 1,2,3,4,5,6. Subgrup =4,4,4 2 1,4,2 merupakan subgrup simulate dengan 2. Definisi Periodik Misalkan grup, himpunan bagian disebut periodik jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga. dan disebut periode dari. (Amin,1999) Contoh Periodik Grup 0 dan himpunan bagian 2,3,4,5 disebut periodik dengan periode 6, karena 6 (unsur non identitas di ) yang menyebabkan 6 62,3,4,5 62,63,64,65 5,4,3,2 Grup n-good, Totally good dan n-bad Definisi n-good Grup merupakan grup abelian berhingga dan 1 merupakan bilangan bulat. Grup disebut n-good, jika dari tiap-tiap faktorisasi... setidaknya satu dari himpunan bagian periodik. Definisi n-bad Grup merupakan grup abelian berhingga dan 1 merupakan bilangan bulat. Grup disebut n-bad, jika terdapat faktorisasi ₁₂,... dengan semua himpunan bagian tidak ada yang periodik. Definisi Totally Good Grup merupakan grup abelian berhingga dan 1 merupakan bilangan bulat. Grup disebut totally good, jika n-good untuk semua nilai yang mungkin. Contoh Grup n-good Grup 0 1,2,3,4. Berikut Tabel 1 yang menyajikan daftar produk langsung dari himpunan bagian yang mungkin terbentuk serta hasilnya (faktorisasi atau bukan). Tabel 1 Produk Langsung dari Himpunan Bagian yang Mungkin Terbentuk di, untuk 2. = B/F 1,3 1,3,2,1 B 1,2 1,4 1,2,4,3 F 2,3 2,3,4,1 F 2,4 2,4,4,1 B 3,4 3,1,1,2 B 1,4 1,3,3,4 F 1,3 2,3 2,3,1,4 F 2,4 2,3,1,2 B 3,4 3,4,4,2 B 1,4 2,3 2,3,3,2 B 2,4 2,3,4,1 F 3,4 3,4,2,1 F 2,3 2,4 4,3,1,2 F 3,4 1,3,4,2 F 2,4 3,4 1,3,2,1 B Keterangan tabel. B: Bukan Faktorisasi (karena dan tidak unik). F: Faktorisasi (karena dapat dibentuk dalam dengan, yang unik.

6 Jadi faktorisasi yang mungkin terjadi ada delapan faktorisasi. Sebagai berikut, 1. 1,2, 1,4 2. 1,2, 2,3 3. 1,3, 1,4 4. 1,3, 2,3 5. 1,4, 2,4 6. 1,4, 3,4 7. 2,3, 2,4 8. 2,3, 3,4 Oleh karena setidaknya terdapat satu dari tiap-tiap faktorisasi untuk 2 yang periodik maka grup merupakan 2-good. Contoh Grup n-bad Misalkan, terdapat 1,3 dan 3,5,6 keduanya merupakan himpunan bagian dan berlaku 1,33,5,6 13,15,16,33,35,36 3,5,6,2,1,4 Dikarenakan dapat dibentuk dalam yang unik dengan, maka merupakan faktorisasi dari. Himpunan bagian tidak periodik karena tidak ada yang mengakibatkan. Demikian pula halnya dengan himpunan bagian tidak ada yang mengakibatkan. Oleh karena itu grup merupakan grup 2-bad. Teorema 2.10 Misalkan grup abelian berhingga yang memiliki subgrup sejati yang bertipe 3,3. Jika order dari grup faktor / komposit maka 2- bad. Contoh Grup Totally good Grup 0 1,2,3,4. Berikut daftar produk langsung dari himpunan bagian yang mungkin terbentuk di, untuk 3 serta hasilnya (faktorisasi atau bukan faktorisasi). Tabel 2 Produk Langsung dari Himpunan Bagian yang Mungkin Terbentuk di, untuk 3. Hasil B/F 1,2 1, ,1.3.1, 2.1.1, ,2, ,1.3.2, 2.1.2, ,1,4, ,1.3.3, 2.1.3, ,1.2.4, 2.1.4, ,2 1, ,1.4.1, 2.1.1, ,1.4.2, 2.1.2, ,1.4.3, 2.1.3, ,1.4.4, 2.1.4, ,2 2, ,1.3.1, 2.2.1,2.3.1} ,1.3.2, 2.2.2, ,1.3.3, 2.2.3, ,1.3.4, 2.2.4, ,2 2, ,1.4.1, 2.2.1, ,1.4.2, 2.2.2, ,1.4.3, 2.2.3, ,1.4.4, 2.2.4, ,2 3, ,1.4.1, 2.3.1, ,4,1,3 4,3,3,4 1,4,2,3 2,3,4,1 3,2,1,4 4,1,3,2 2,3,4,1 4,1,3,2 1,4,2,4 3,2,1,4 2,4,4,3 4,3,3,1 1,2,2,4 3,1,1,2 3,4,1, ,1.4.2, 1,3,2,1

7 2.3.2, ,1.4.3, 2.3.3, ,1.4.4, 2.3.4, ,3 1, ,1.4.1, 3.1.1, ,1.4.2, 3.1.2, ,1.4.3, 3.1.3, ,1.4.4, 3.1.4, ,2 2, ,1.3.1, 2.2.1, ,1.3.2, 2.2.2, ,1.3.3, 2.2.3, ,1.3.4, 2.2.4,2.3.4} 1,3 2, ,1.4.1, 3.2.1, ,1.4.2, 3.2.2, ,1.4.3, 3.2.3, ,1.4.4, 3.2.4, ,3 3, ,1.4.1, 3.3.1, ,1.4.2, 3.3.2, ,1.4.3, 3.3.3, ,1.4.4, 3.3.4,3.4.4} 1,4 2, ,1.3.1, 4.2.1, ,2,2,4 2,1,1,2 1,4,3,2 2,3,1,4 3,2,4,1 4,1,2,3 2,3,4,1 4,1,3,2 1,4,2,3 3,2,1,4 2,4,1,2 4,3,2,4 1,2,3,1 3,1,4,3 3,4,4,2 1,3,2,1 4,2,2,3 2,1,1,3 2,3,3, ,1.3.2, 4.2.2, ,1.3.3, 4.2.3, ,1.3.4, 4.2.4, ,4 2, ,1.4.1, 4.2.1, ,1.4.2, 4.2.2, ,1.4.3, 4.2.3,4.4.3} ,1.4.4, 4.2.4, ,4 3, ,1.4.1, 4.3.1, ,1.4.2, 4.3.2, ,1.4.3, 4.3.3, ,1.4.4, 4.3.4, ,1,1,4 1,4,4,1 3,2,2,3 2,4,3,1 4,3,1,2 1,2,4,3 3,1,2,4 3,4,2,1 1,3,4,2 4,2,1,3 2,1,3,4 Keterangan tabel. B: Bukan Faktorisasi (karena dan tidak unik). F: Faktorisasi (karena dapat dibentuk dalam dengan,, yang unik. Berdasaran tabel di atas dapat dilihat terdapat 24 faktorisasi. Perhatikan bahwa tiap-tiap faktorisasi setidaknya ada satu yang periodik, yaitu 1,4 dan 2.3. Keduanya periodik dengan periode 4. Oleh sebab itu grup merupakan 3-good. Pada contoh n-good sebelumnya, telah ditunjukkan pula bahwa grup ini merupakan 2-good. Dengan demikian telah ditunjukkan bahwa 2-good dan 3-good sehingga merupakan totally good. III PEMBAHASAN Semua grup yang terdapat pada pembahasan merupakan grup abelian berhingga. Pada bagian pembahasan ini yang akan dibahas berupa faktorisasi 3-grup dengan order 3,3 dan3. Untuk membuktikan 3-grup dengan 3 adalah totally good diperlukan beberapa lema-lema berikut. Lema Misalkan, subgrup dari. Jika faktorisasi dari dan 3, maka atau periodik. Bukti : Misalkan,, (1)