KONSTRUKSI ALGORITME ARITMETIK GF(3 m ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK I L H A M

Transkripsi

1 KONSTRUKSI ALGORITME ARITMETIK GF(3 ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK I L H A M SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya enyatakan bahwa tesis dengan judul Konstruksi Algorite Aritetik GF(3 ) dengan Operasi Dibangkitkan dari Sifat Grup Siklik adalah karya saya sendiri dengan arahan dari koisi pebibing dan belu diajukan dala bentuk apapun kepada perguruan tinggi ana pun. Suber inforasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan aupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dala teks dan dicantukan dala daftar pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 I L H A M NRP G

3 ABSTRACT ILHAM. The Construction of Arithetic Algorith GF(3 ) with Operation Generated fro Cyclic Group. Supervised by SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS. To construct a cryptographic algorith, any arithetic concepts are needed. ElGaal encryption for exaple, can be defined over cyclic group, the usual arithetic concept. If the use of this arithetic is associated with security aspect, then it requires large coputational work. This thesis ais to construct arithetic algorith as an alternative arithetic to apply in any cryptographic schee, especially public key schee. This algorith is generated fro finite field GF (3 ). Thus, the procedures to construct arithetic algorith as follows. Firstly, take the priitive polynoial p( x) [ x] as the iniu polynoial of degrees with as a root. Secondly, 3 represent all eleents of GF(3 ) as vectors in -diensional vector space over 3. The resulted arithetic algoriths are coputational procedures for standard operation in GF (3 ), i.e. addition, ultiplication, division, invertion, and exponentiation. Asyptotically, coplexity of the algoriths is the sae as the previous one, which is constructed by irreducible polynoial. However, for a sall value of the resulted algoriths are better because soe operations can be reduced using priitive polynoial or cyclic group properties. Keywords: arithetic, cyclic group, priitive polynoial, cryptography. p

4 RINGKASAN ILHAM. Konstruksi Algorite Aritetik GF(3 ) dengan Operasi Dibangkitkan dari Sifat Grup Siklik. Dibibing oleh SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS. Perkebangan teknologi inforasi eudahkan seseorang untuk endapatkan inforasi yang dibutuhkan. Untuk engaankan inforasi yang sifatnya rahasia diperlukan suatu teknik pengaanan. Teknik tersebut dapat dilakukan dengan engaankan baik secara fisik aupun non fisik. Salah satu pengaanan secara non fisik adalah dengan engenkripsi inforasi rahasia enggunakan teknik kriptografi. Terdapat dua tipe uu dari algorite yang berbasis kunci, yaitu Algorite Sietrik dan Algorite Asietrik (kunci publik) (Schneier 1996). Kriptografi sietrik disebut juga kriptografi konvensional, yaitu kunci enkripsi dapat dihitung dari kunci deskripsi atau sebaliknya, karena kunci yang digunakan adalah saa. Kriptografi sietrik tergantung pada kerahasiaan kunci yang digunakan. Kriptografi asietrik disebut juga kriptografi kunci publik yang didesain bahwa yang digunakan untuk enkripsi berbeda dengan kunci yang digunakan untuk deskripsi. Kriptografi kunci publik terdiri atas dua buah kunci yaitu kunci publik dan kunci pribadi. Kunci publik digunakan untuk engenkripsi suatu pesan kedala siferteks sedangkan kunci pribadi digunakan untuk endekripsi siferteks enjadi pesan asli. Salah satu contoh penyandian dengan enggunakan kunci publik adalah penyandian kunci publik ElGaal dengan aritetik odular atas dasar sifat grup siklik yang pertaa kali diperkenalkan oleh Taher ElGaal pada tahun 1985 dan sapai p saat ini asih dipercaya sebagai etode penyandian. Kunci publik yang digunakan a dala penyandian ElGaal ini adalah (,, od p) diana kunci pribadinya adalah a. Dengan deikian, untuk keaanan penyandian ElGaal ini dibuatlah p dengan eilih p yang sangat besar dala proses kalkulasi aritetik untuk ebangkitkan kunci yang digunakan (Menezes 1997). Jika penggunaan aritetik pada penyandian ElGaal dikaitkan dengan aspek keaanan, aka eerlukan beban koputasi yang cukup besar sehingga dala dekade terakhir diperlukan aritetik alternatif sebagai pengganti aritetik odular. Aritetik-aritetik pengganti tersebut di antaranya adalah aritetik yang dibangkitkan dari srtuktur field berhingga GF (3 ), kurva eliptik, atau kurva hipereliptik. Dala peneltian ini, penulis enitikberatkan pada pebahasan aritetik yang dibangkitkan dari struktur field berhingga GF(3 ) sebagai perluasan dari field 3. Atas dasar inilah, aka penelitian ini bertujuan untuk engkonstruksi field berhingga GF(3 ) dari 3 berdasarkan sifat perluasan field, engonstruksi algorite aritetik GF(3 ) seperti operasi penjulahan, operasi perkalian, operasi invers, operasi pebagian, dan operasi exponensial, dan engukur kinerja algorite yang dihasilkan berdasarkan kopleksitas. Untuk engonstruksi algorite aritetik GF(3 ) dala penelitian ini dilakukan dengan prosedur sebagai berikut. p

5 Pertaa, engabil polinoial priitif berderajat atas 3 yang erupakan polinoial iniu ( x) a0 a1x... ax diana erupakan akar priitifnya sedeikian sehingga ( ) 0. Pengabilan polinoial priitif ini dilakukan secara koputasi dengan langkah-langkah sebagai berikut. Tes apakah polinoial ( x) adalah irreducible, tes apakah polinoial irreducible adalah priitif, selanjutnya eilih polinoial priitif yang bersuku kecil, yaitu dari polinoial priitif yang bersuku dua, polinoial priitif yang bersuku tiga, atau polinoial priitif yang bersuku epat. Kedua, representasikan seua eleen dari GF(3 ) sebagai vektor dala ruang vektor berdiensi- atas 3. Untuk kepentingan koputasi, eleen GF(3 ) dapat direpresentasikan sebagai vektor terner dari derajat terkecil ke derajat terbesar dala bentuk [ a0, a1,..., a 1]. Algorite aritetik GF(3 ) yang dihasilkan dikonstruksi dari polinoial priitif bersuku kecil yang terdiri atas algorite operasi penjulahan, algorite operasi perkalian, algorite operasi invers, algorite operasi pebagian, dan algorite operasi eksponensial. Secara uu, algorite yang dihasilkan secara asiptotik epunyai kinerja yang saa dengan algorite sebelunya yang didasarkan pada pengabilan polinoial irreducible. Dengan deikian, secara rata-rata algorite yang dihasilkan enjadi lebih baik karena beberapa operasi dapat direduksi enggunakan polinoial priitif atau sifat dari grup siklik. Kata kunci: aritetik, grup siklik, polinoial priitif, kriptografi.

6 Hak Cipta Milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang 1. Dilarang engutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa encantukan atau enyebutkan suber a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan penelitian, penulisan karya iliah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu asalah. b. Pengutipan tidak erugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang enguukan dan eperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dala bentuk laporan apapun tanpa ijin IPB.

7 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia dan hidayahnya sehingga karya iliah berjudul Konstruksi Algorite Aritetik GF(3 ) dengan Operasi Dibangkitkan dari Sifat Grup Siklik berhasil diselesaikan. Teria kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Sugi Guritan dan Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M. Si. yang telah ebibing penulis selaa elakukan penelitian dan banyak eberikan asukan dan saran, serta Ibu Dr. Ir. Sri Nurdiati, M. Sc. selaku penguji luar koisi pada ujian tesis yang telah eberikan asukan dan saran. Tak lupa penulis sapaikan penghargaan atas segala kerjasaa dan dukungan dari Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. selaku Ketua Progra Studi Mateatika Terapan, Ibu Dr. Berlian Setiawaty selaku Ketua Departeen Mateatika, dan Departeen Agaa Republik Indonesia yang telah eberikan beasiswa kepada penulis selaa enepuh studi di Institut Pertanian Bogor. Akhirnya, ucapan teria kasih yang tak terhingga penulis berikan kepada ayah, ibu, istri, dan putra-putri tercinta atas segala pengorbanan dan dukungannya selaa penulis enyelesaikan studi. Seoga karya iliah ini dapat beranfaat bagi keajuan ilu pengetahuan dan teknologi di asa endatang. Bogor, Agustus 2009 I L H A M

8 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Desa Risa Kecaatan Woha Kabupaten Bia pada tanggal 20 Oktober 1971 dari Bapak Usan Zakaria dan Ibu Sitti Hawa H. Bahari. Penulis erupakan putra kedua dari ena bersaudara. Tahun 1990 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Woha Kabupaten Bia dan elanjutkan studi pada IAIN Alauddin Makassar dengan eilih Progra Studi Tadris Mateatika Fakultas Tarbiyah dan lulus pada tahun Penulis endapatkan kesepatan untuk elanjutkan studi ke progra agister pada Progra Studi Mateatika Terapan Institut Pertanian Bogor pada tahun 2007 dengan endapatkan beasiswa pendidikan dari Departeen Agaa Republik Indonesia. Saat ini penulis telah enikah dengan Faridah, S. Ag dan dikaruniai satu orang putra yang bernaa Muhaad Farid berusia 12 tahun dan dua orang putri, yang asing-asing bernaa Dewi Arifah berusia 11 tahun, dan Berlian Setiawati berusia 1 tahun 2 bulan. Tahun 2001 penulis diangkat sebagai Pegawai Negeri Sipil pada Departeen Agaa Republik Indonesia dan engajar Bidang Studi Mateatika pada Madrasah Aliyah Korleko Kabupaten Lobok Tiur Nusa Tenggara Barat. Keudian pada tahun 2003 penulis diutasikan pada Madrasah Tsanawiyah Negeri Kandai II Kabupaten Dopu Nusa Tenggara Barat sebagai Guru Mateatika sapai sekarang.

9 KONSTRUKSI ALGORITME ARITMETIK GF(3 ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK I L H A M Tesis Sebagai salah satu syarat untuk eperoleh gelar Magister Sains pada Progra Studi Mateatika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

10 Penguji Luar Koisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Sri Nurdiati, M. Sc.