EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A

Transkripsi

1 EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field (2 ) adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 Yana NRP G

3 ABSTRACT YANA. The Exploration of Discrete Logarithm Problem over Finite Field (2 ). Under direction of SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS. Discrete logarithm problem represents a problem which is defined as modular arithmetic. It is often used to generate a key pair on public key cryptography as security object. Given cyclic group G of order n, α generator of G, and β, then, in general, discrete logarithm problem is determined as the integer, 0, 1such that α β(mod ). In Menezes et al. (1997) the algorithm to solve the discrete logarithm problem in common cyclic group G are Exhaustive Search algorithm, Baby-Step Giant-Step, Pollard's rho, Pohlig Hellman and Index Calculus. Furthermore, these algorithms are explored to determine the solution of discrete logarithm problem on (2 ). The reconstructed algorithms are implemented using Maple 11 software. These implementation can be used to measure security level of cryptography algorithm, which is based on security aspects of discrete logarithm problem. Keywords : discrete logarithm problem, cyclic group, finite field (2 ).

4 RINGKASAN YANA. Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret Pada Finite Field (2 ). Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan NUR ALIATININGTYAS. (2 ) = Z []/ () adalah field berorder 2 dengan ()adalah polinomial irredusibel atas Z berderajad. Setiap (2 ) dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk =, dimana Z, 0. 1(2 ) = (2 )\{0} adalah grup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian modulo 2. Jika diberikan grup siklik (2 ) berorder, generator (2 ), (2 ), dan () adalah polinomial irredusibel atas Z. Logaritma diskret dengan basis adalah integer unik, 0, 1sedemikian sehingga (mod ()), dan bagaimana menentukan disebut masalah logaritma diskret. Dalam Menezes et al. (1997) lima algoritme untuk menyelesaikan masalah logaritma diskret pada grup siklik umum adalah Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard s rho, Pohlig Hellman dan Index Calculus. Kelima algoritme ini dieksplorasi untuk menentukan masalah logaritma diskret pada (2 ). Ide dasar Algoritme Exhaustive Search untuk menentukan logaritma diskret adalah Definisi Masalah Logaritma Diskret, yaitu dengan mencoba setiap kemungkinan nilai, 0 2 1, sampai ditemukan yang benar. Baby-Step Giant-Step adalah merupakan time-memory trade-off dari Algoritme Exhaustive Search yakni situasi dimana memori komputer digunakan untuk mengurangi biaya dan waktu eksekusi program. Representasi polinomial akan disimpan di memori komputer sebanyak, adalah order (2 ). Semakin besar maka representasi polinomial yang disimpan di memori komputer semakin banyak juga. Ide dasar algoritme ini adalah membagi dengan suatu representasi polinomial, =, hingga ditemukan salah satu representasi polinomial yang disimpan di memori komputer. Ide dasar Algoritme Pollard s rho adalah menemukan cycle dalam barisan {,,,, }. Untuk menemukan cycle dalam barisan {,,,, } digunakan Algoritme Floyd s Cycle-Finding dengan membandingkan elemen-elemen sampai sehingga pasangan = ditemukan. Selanjutnya Birthday Paradox digunakan untuk menjamin bahwa mulai adanya satu atau lebih bilangan yang sama dalam barisan bilangan sedikitnya setelah langkah ke- 2 ln 2 dengan peluang lebih dari setengah. Misalkan (2 ) adalah grup siklik dibawah operasi perkalian berorder = 2 1, =, adalah bilangan prima berbeda dan 1. Ide dari Algoritme Pohlig Hellman untuk menentukan masalah logaritma diskret log (mod ()) adalah menemukan mod, dengan terlebih dahulu menentukan mod, untuk setiap, 1, menggunakan Teorema Sisa Cina. Artinya komputasi dilakukan pada subgrup berorder prima berpangkat integer positif ( ).

5 Kekuatan Algoritme Index Calculus terletak pada faktorisasi polinomial. Faktorisasi polinomial dapat dilakukan dalam 4 tahap. Tahap pertama adalah faktorisasi bebas kuadrat, kedua faktorisasi bebas kuadrat berderajad, ketiga faktorisasi berderajad, dan terakhir faktorisasi lengkap () = () () (). Ide dasar Algoritme Index Calculus adalah dengan memilih subset dari (2 ) sebagai faktor basis sedemikian sehingga elemen-elemen (2 ) secara efisien dapat dinyatakan sebagai produk elemen-elemen. Kata kunci : masalah logaritma diskret, grup siklik, finite field (2 ).

6 Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya Tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

7 EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom.

9 Judul Tesis : Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field (2 ) Nama : Yana NRP : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Sugi Guritman Ketua Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Progam Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian : 13 Agustus 2009 Tanggal Lulus :

10 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunianya tugas akhir yang berjudul Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field (2 ) ini bisa terselesaikan sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan pada Program Studi Matematika, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Terimakasih yang mendalam penulis sampaikan kepada Abah dan Mama atas segala doa dan kasih sayangnya. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Dr. Sugi Guritman dan Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si selaku pembimbing yang telah membantu dan mengarahkan penulis selama penyusunan tugas akhir ini, serta Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku dosen penguji. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan di IPB. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Ai Tusi Fatimah, Salamia, Lathifaturrahmah dan semua pihak yang tidak dapat dituliskan namanya satu persatu atas segala bantuannya selama penelitian. Tentu saja dari awal hingga selesainya tulisan ini tidak terlepas dari dukungan, motivasi dan doa dari suami tercinta dan semua keluarga. Akhirnya penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih begitu banyak kekurangan. Dengan segala keterbatasan yang ada, semoga tugas akhir ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2009 Yana

11 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tambarangan, Banjarmasin pada tanggal 13 Juni 1977 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara. Pada tahun 2001 penulis menyelesaikan pendidikan strata satu di Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP UNLAM Banjarmasin, dan langsung bekerja sebagai tenaga pengajar pada Madrasah Tsanawiyah Negeri Binuang sampai sekarang. Pada tahun 2007 penulis diberi kesempatan melanjutkan studi di Program Studi Matematika, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor dengan beasiswa dari Departemen Agama Republik Indonesia.

12 DAFTAR ISI DAFTAR ISI..... DAFTAR TABEL... DAFTAR ALGORITME... DAFTAR LAMPIRAN... Halaman BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Teori Bilangan Integer Modulo Struktur Aljabar Masalah Logaritma Diskret Sistem Persamaan Linear Algoritme Berlekamp s Q-Matrix Kompleksitas Waktu Asimptotik BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field (2 ) Finite Field (2 ) Masalah Logaritma Diskret pada (2 ) Solusi Masalah Logaritma Diskret pada (2 ) Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF(2 ) dengan Algoritme Exhaustive Search Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF(2 ) dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF(2 ) dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF(2 ) dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF(2 ) dengan Algoritme Naif Square Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF(2 ) dengan Algoritme Pollard s rho Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF(2 ) dengan Algoritme Pohlig Hellman Solusi Masalah Logaritma Diskret pada GF(2 ) dengan Algoritme Index Calculus Faktorisasi Polinomial x xii xiv xv

13 Solusi Masalah Logaritma Diskret pada (2 ) dengan Algoritme Index Calculus Komputasi Masalah Logaritma Diskret pada (2 ) BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

14 DAFTAR TABEL Halaman Oh-Besar Elemen-elemen (2 ) Representasi Polinomial ( (mod ()) untuk (2 ) dengan = Representasi Polinomial ( (mod ()) untuk (2 ) dengan = Hasil Perhitungan (, : mod ()), 0 untuk (2 ) dengan = Hasil Perhitungan (, : mod ()), 0 untuk (2 ) dengan = Hasil Perhitungan (, : mod ()), 0 untuk (2 ) dengan = Hasil Perhitungan (, mod ()), 0 untuk (2 ) dengan = Hasil Perhitungan Birthday Paradox Beberapa Kemungkinan Pendefinisian Keanggotaan Himpunan (2 ), = 1,2,3 untuk Algoritme Pollard s rho Hasil Perhitungan,,,,,, pada (2 ) dengan = dan = Hasil Perhitungan,,,,,, pada (2 ) dengan = dan = = Hasil Perhitungan,,,,,, pada (2 ) dengan = dan = = Hasil Perhitungan,,,,,, pada (2 ) dengan = dan = = Hasil Perhitungan,,,,,, pada (2 ) dengan = dan = = Hasil Perhitungan,,,,,, pada (2 ) dengan

15 = dan = Hasil Perhitungan (), h (), dan (), dengan () = Hasil perhitungan (): (()) Nilai Harapan Kompleksitas Waktu Algoritme Waktu Komputasi dengan Algoritme Exhaustive Search Waktu Komputasi dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step Waktu Komputasi dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step Waktu Komputasi dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step Waktu Komputasi dengan Algoritme Naif Square Waktu Komputasi dengan Algoritme Pollard s rho Waktu Komputasi dengan Algoritme Pohlig-Hellman Waktu Komputasi dengan Algoritme Index Calculus Waktu Komputasi Logaritma Diskret dengan Beberapa Algoritme 95

16 DAFTAR ALGORITME Halaman Algoritme Berlekamp s Q-Matrix Algoritme Exhaustive Search Algoritme Baby-Step Giant-Step Algoritme Baby-Step Giant-Step Algoritme Baby-Step Giant-Step Algoritme Naif Square Algoritme Pollard s rho Algoritme Pohlig Hellman Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Berderajad Algoritme Sisa Bagi Algoritme Sisa Bagi Algoritme Satu Faktor Derajad Algoritme Faktorisasi Lengkap Algoritme Index Calculus.. 86

17 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Program Aritmetika Finite Field (2 ) Program Faktorisasi Polinomial (2 ) Faktorisasi Bebas Kuadrat Faktorisasi Bebas Kuadrat Faktorisasi Bebas Kuadrat Faktorisasi Bebas Kuadrat Berderajad Sisa Bagi Sisa Bagi Satu Faktor Derajad Faktorisasi Lengkap Program Solusi Masalah Logaritma Diskret pada (2 ) Exhaustive Search Penyimpanan Baby-Step Baby-Step Giant-Step Baby-Step Giant-Step Baby-Step Giant-Step Naif Square Pollard s rho Pohlig Hellman Index Calculus. 112

18 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Logaritma adalah suatu operasi matematika kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Dalam persamaan =, dapat dicari dengan pengakaran, dengan logaritma, dan dengan pemangkatan. Contoh, berapakah pada persamaan 2 = 8. dapat dihitung atau dicari dengan menggunakan tabel atau kalkulator yang sudah dilengkapi fitur, hasilnya adalah = 3. Bentuk persamaan 2 = 8 ini adalah suatu sistem aritmetik bilangan nyata (R), sistem aritmetik umum lainnya adalah grup siklik. Struktur aljabar dengan operasi biner yang memenuhi sifat assosiatif, terdapat unsur identitas dan setiap unsurnya memiliki invers disebut grup. Suatu grup yang mempunyai generator disebut grup siklik. Generator ini berperan dalam membangkitkan unsur-unsur grup siklik. Misalkan adalah generator grup siklik, berorder, maka = = {1,,,, =,, }. Pada kasus =, disebut logaritma diskret. Jika diketahui dan, maka masalah bagaimana menentukan dikenal dengan istilah masalah logaritma diskret. Masalah logaritma diskret merupakan masalah yang didefinisikan pada aritmetika modular, sering dijadikan dasar pembangkitan sepasang kunci pada kriptografi kunci publik sebagai tumpuan keamanan. Contohnya pada pertukaran kunci Diffie-Hellman dan enkripsi Elgamal. Logaritma umum pasti akan tuntas secara komputasi, tetapi untuk logaritma diskret khusus berorder besar menentukannya tidak akan layak hitung (sulit dihitung) walaupun menggunakan kalkulator yang canggih. Tidak layak hitung itulah yang menyebabkan masalah logaritma diskret layak digunakan sebagai tumpuan keamanan dalam kriptogafi. Masalah logaritma diskret sering diterapkan pada grup siklik Z, prima. Diberikan bilangan prima, generator dari Z, dan Z. Dalam Menezes et al. (1997), definisi masalah logaritma diskret adalah menentukan, 0 2sehingga (mod ). Berdasarkan definisi ini jika diberikan

19 generator dari (2 ), maka untuk sembarang (2 ) terdapat suatu yang khas pada rentang sedemikian sehingga : (mod ()) (2 ) = Z []/ () adalah field dibawah operasi penjumlahan dan perkalian dalam modulo ()berorder 2, dengan ()polinomial irredusibel atas Z. (2 ) adalah field (2 ) tanpa elemen {0} membentuk grup dibawah operasi perkalian berorder 2 1 (Menezes et al. 1997). Elemen-elemen grup multiplikatif (2 ) dengan generator dalam bentuk representasi grup siklik adalah 1,,,, =,,. Menentukan masalah logaritma diskret menjadi sulit apabila digunakan grup (2 ) dengan order besar. Karena itu diperlukan suatu teknik tertentu untuk menyelesaikannya. Beberapa teknik yang dapat digunakan untuk menentukan masalah logaritma diskret ini adalah Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard s rho, Pohlig Hellman, dan Index Calculus. Dalam Menezes et al. (1997) kelima algoritme tersebut dikenakan pada grup siklik umum. sedangkan pada tulisan ini dikenakan pada sistem aritmatik grup multiplikatif (2 ). Ide dasar Algoritme Exhaustive Search untuk menentukan logaritma diskret adalah Definisi Masalah Logaritma Diskret, yaitu dengan mencoba setiap kemungkinan nilai, 0 2 1, sampai ditemukan yang benar. Algoritme ini tidak efisien digunakan untuk grup multiplikatif (2 ) berorder besar. Baby-Step Giant-Step adalah merupakan time-memory trade-off dari Algoritme Exhaustive Search yakni situasi dimana memori komputer digunakan untuk mengurangi biaya dan waktu eksekusi program. Representasi polinomial akan disimpan di memori komputer sebanyak, adalah order (2 ). Semakin besar maka representasi polinomial yang disimpan di memori komputer semakin banyak juga. Ide dasar algoritme ini adalah membagi dengan suatu representasi polinomial, =, hingga ditemukan salah satu representasi polinomial yang disimpan di memori komputer. Ide dasar Algoritme Pollard s rho adalah menemukan cycle dalam barisan {,,,, }. Untuk menemukan cycle dalam barisan {,,,, } 2

20 digunakan Algoritme Floyd s Cycle-Finding dengan membandingkan elemenelemen sampai sehingga pasangan = ditemukan. Selanjutnya Birthday Paradox digunakan untuk menjamin bahwa mulai adanya satu atau lebih bilangan yang sama dalam barisan bilangan sedikitnya setelah langkah ke- 2 ln 2 dengan peluang lebih dari setengah. Misalkan (2 ) adalah grup siklik dibawah operasi perkalian berorder = 2 1, =, adalah bilangan prima berbeda dan 1. Ide dari Algoritme Pohlig Hellman untuk menentukan masalah logaritma diskret log (mod ()) adalah menemukan mod, dengan terlebih dahulu menentukan mod,untuk setiap, 1, menggunakan Teorema Sisa Cina. Artinya komputasi dilakukan pada subgrup berorder prima berpangkat integer positif ( ). Kekuatan Algoritme Index Calculus terletak pada faktorisasi polinomial, idenya adalah dengan memilih subset dari (2 ) sebagai faktor basis sedemikian sehingga elemen-elemen (2 ) secara efisien dapat dinyatakan sebagai produk elemen-elemen. Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard s rho, Pohlig Hellman, dan Index Calculus dieksplorasi untuk menentukan masalah logaritma diskret pada grup multiplikatif (2 ) dan diimplementasikan dengan bantuan sofware Maple Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah : 1. Mengkaji secara teoritik masalah logaritma diskret pada finite field (2 ). 2. Merekonstruksi algoritme-algoritme yang berhubungan dengan masalah logaritma diskret pada finite field (2 ). 3. Mengimplementasikan algoritme hasil rekonstruksi dengan bantuan software Maple 11. 3

21 1.3 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah algoritme hasil rekonstruksi bisa digunakan untuk mengukur tingkat keamanan dari algoritme kriptografi yang aspek keamanannya bertumpu pada masalah logaritma diskret. 4

22 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi, teorema dan sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan, integer modulo, aljabar abstrak, masalah logaritma diskret, sistem persamaan linear, dan kompleksitas waktu asimptotik sebagai landasan teori untuk penulisan tugas akhir ini. 2.1 Teori Bilangan Definisi Misalkan, integer. membagi (notasi )jika terdapat integer sedemikian sehingga =. Definisi Jika dan adalah integer dengan 1, maka pembagian oleh menghasilkan integer (hasil pembagian) dan (sisa pembagian) sehingga =, dimana 0. Sisa pembagian dinotasikan mod dan hasil pembagian dinotasikan div (Menezes et al. 1997). Definisi Suatu integer dikatakan sebagai pembagi bersama dari dan, jika dan (Menezes et al. 1997). Definisi Suatu integer non-negatif disebut pembagi bersama terbesar (gcd) dari integer dan, dinotasikan = gcd (, ), jika : 1. adalah pembagi bersama dari dan 2. jika dan, maka (Menezes et al. 1997). Teorema (Algoritme Euclidean) Diberikan integer, >. 0Berdasarkan algoritme pembagian, dapat dibentuk barisan persamaan berikut : =, 0 < < =, 0 < < =, 0 < < =, 0 < < =

23 dengan = gcd (, ), yang merupakan sisa terakhir tak nol dari proses pembagian. Nilai dari dan dari (, ) = dapat diperoleh dengan menuliskan setiap sebagai kombinasi linear dari dan (Lestari 2007). Definisi Integer dan dikatakan prima relatif atau koprima jika gcd(, ) = 1 (Lestari 2007). Definisi (Fungsi- Euler) Untuk 1, didefinisikan () adalah banyaknya integer pada selang [1, ] yang prima relatif dengan. Fungsi disebut fungsi- Euler (Menezes et al. 1997). Teorema (Sifat-sifat fungsi- Euler) 1. Jika prima, maka () = Fungsi- Euler bersifat multiplikatif. Artinya, jika gcd(, ) = 1 maka ( ) = () () 3. Jika = adalah faktorisasi prima dari, maka () = (Menezes et al. 1997). Fakta (Teorema Dasar Aritmetika) Setiap integer 2dapat difaktorkan sebagai produk dari kuasa prima yang khas: =, dimana adalah bilangan prima yang berbeda dan adalah integer positif (Menezes et al. 1997). 2.2 Integer Modulo Definisi (Kongruensi) dan adalah integer. dikatakan kongruen dengan modulo, ditulis (mod ), jika membagi habis ( ). Selanjutnya disebut modulus kongruensi (Menezes et al. 1997). Teorema (Syarat-syarat Kekongruenan) Untuk semua,,,, Z, hal-hal di bawah ini adalah benar. 1) (mod ) jika dan hanya jika dan mempunyai sisa yang sama jika dibagi dengan. 2) (refleksif) (mod ) 6

24 3) (simetri) Jika (mod )maka (mod ). 4) (transitif) Jika (mod ) dan (mod ), maka (mod ). 5) Jika (mod ) dan (mod ), maka (mod ) dan (mod )(Guritman et al. 2004). Definisi Integer modulo, dinotasikan Z, adalah himpunan (kelas ekuivalensi) integer {0,1,2,, 1} yang dikenai operasi penjumlahan dan perkalian diperlakukan dalam modulo. Untuk,, Z, = (mod ) = (mod ) (Guritman et al. 2004). Definisi (Sistem Residu Lengkap Modulo ) Jika (mod ), maka disebut residu dari modulo. Selanjutnya himpunan = {,,, } dinamakan sistem residu lengkap modulo jika untuk setiap integer terdapat satu dan hanya satu sedemikian sehingga (mod )(Lestari 2007). Definisi (Sistem Residu Tereduksi Modulo ) Sistem residu tereduksi modulo adalah himpunan integer, dimana gcd(, ) = 1,, jika. Selanjutnya setiap yang prima relatif dengan, kongruen dengan suatu pada himpunan tersebut (Lestari 2007). Fakta (Invers) Misalkan Z. memiliki invers jika dan hanya jika gcd(, ) = 1 (Menezes et al. 1997). Definisi (Invers Multiplikatif) Misalkan Z, Invers multiplikatif dari modulo adalah suatu integer Z sehingga 1 (mod ). Faktanya tidak semua anggota Z mempunyai invers (belum tentu ada). Dalam hal yang bersangkutan ada, maka disebut invertibel dan disebut invers dari, dinotasikan = (Guritman et al. 1997). Definisi (Pembagian) Misalkan, Z. Pembagian oleh modulo adalah perkalian dengan modulo, yang terdefinisi jika mempunyai invers modulo (Menezes et al. 1997). 7

25 Definisi Grup multiplikatif Z adalah Z = { Z gcd(, ) = 1}. Jika bilangan prima, maka Z = { 1 1}(Menezes et al. 1997). Teorema (Solusi Persamaan kongruen) Misal = gcd (, ). Persamaan kongruen (mod ) mempunyai solusi jika dan hanya jika membagi, dalam hal ini terdapat tepat solusi antara 0 dan 1; solusi ini semua kongruen modulo /(Menezes et al. 1997). Teorema (Teorema Sisa Cina) Jika,,, merupakan integer yang prima relatif satu sama lain,,,, adalah sembarang integer, maka sistem kongruensi (mod ) (mod ) (mod ) ( ) mempunyai solusi unik modulo, = (Menezes et al. 1997). Algoritme (Algoritme Gauss s) Solusi dari sistem kongruensi Teorema dapat dihitung sebagai = mod, dimana = dan = mod (Menezes et al. 1997). Teorema Misalkan 2adalah integer. (i) (Teorema Euler) Jika Z, maka () 1(mod ). (ii) Jika adalah produk bilangan prima berbeda, dan jika (mod ()), maka (mod ), untuk semua integer (Menezes et al. 1997). Teorema Misalkan prima, 1. (Teorema Fermat) Jika gcd(, ) = 1, maka 1 (mod ). 2. Jika (mod, 1) maka (mod ), untuk semua integer. 3. Untuk setiap integer, (mod )(Menezes et al. 1997). 2.3 Struktur Aljabar Definisi Operasi biner pada suatu himpunan adalah suatu fungsi dari ke, yang membawa setiap (,) ke yang unik. Jadi 8

26 (,). Karena juga berada dalam maka dikatakan tertutup di bawah operasi (Aliatiningtyas 2002). Definisi (Grup) Struktur aljabar dengan operasi biner disebut grup jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini, 1. operasi bersifat assosiatif ( ) = ( ),,,. 2. ada unsur identitas, untuk pada sehingga berlaku = =,. 3. untuk setiap ada unsur sehingga = = (Aliatiningtyas 2002). Definisi Grup disebut grup komutatif jika operasi bersifat komutatif yaitu,, = (Aliatiningtyas 2002). Definisi (Grup Hingga dan Order) Suatu grup dikatakan berhingga jika banyaknya unsur berhingga. Banyaknya unsur dari grup hingga dinamakan order dari, dinotasikan o()(aliatiningtyas 2002). Definisi (Order dari Unsur Grup) Misalkan grup, dan. Order (notasi o())adalah integer positif minimal sehingga =. Jika tidak ada bilangan yang demikian, maka dikatakan order dari tak hingga atau nol (Aliatiningtyas 2002). Toerema Berikut ini 3 sifat dasar yang berkaitan dengan pengertian order. 1. Misalkan grup, dan o() =, maka ada tepat kuasa dari yaitu =,,,, yang semuanya berbeda. 2. Misalkan grup,. Jika o()tak hingga, maka semua kuasa dari berbeda. Artinya, jika dan adalah dua integer yang berbeda, maka. 3. Misalkan adalah unsur dari grup dan o() =. Maka = jika dan hanya jika adalah kelipatan dari (kelipatan artinya ada integer sehingga = ) (Aliatiningtyas 2002; Guritman 2004). 9

27 Definisi (Subgrup) Misalkan grup dan. Maka disebut subgrup dari jika grup dibawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada. (Notasi : ) (Aliatiningtyas 2002). Definisi (Grup Siklik) Suatu grup dikatakan siklik jika dan hanya jika ada unsur ( disebut generator) sedemikian sehingga = = Z}(Guritman 2004). Teorema Jika grup berorder, maka adalah siklik jika dan hanya jika ada sehingga o() = (Guritman 2004). Teorema (Teorema Lagrange s) Jika grup hingga dan adalah subgrup, maka order dari membagi order dari (Menezes et al. 1997; Aliatiningtyas 2002). Definisi (Ring) Struktur aljabar,, dengan operasi disebut operasi penjumlahan dan operasi disebut operasi perkalian, disebut ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini. 1., grup komutatif. 2. Operasi perkalian bersifat assosiatif. 3. Hukum distributif kiri berlaku :,,, ( ) =. Hukum distributif kanan berlaku :,,, ( ) =. Unsur identitas terhadap dinotasikan dengan 0 dan disebut unsur nol. Selanjutnya, 1. Jika operasi perkalian bersifat komutatif,,, = maka disebut ring komutatif. 2. Jika ada unsur identitas dibawah operasi perkalian (unsur ini disebut unsur kesatuan, dinotasikan dengan 1 dan disingkat unkes), 1, 1 = 1 = maka disebut ring dengan unsur kesatuan (Aliatiningtyas 2002). Definisi Misalkan ring. Himpunan bagian dari ring disebut subring dari jika merupakan ring dibawah operasi dalam (Aliatiningtyas 2002). 10

28 Definisi (Ideal) Misal ring, disebut ideal jika memenuhi : a., dan b. ( ). dan, (Aliatiningtyas 2002). Teorema (Ideal Utama) Misalkan 1 dan ={ ring komutatif dengan unsur kesatuan. Suatu himpunan dilambangkan, yang didefinisikan sebagai dibangun oleh ideal. Ideal yang demikian disebut ideal utama yang merupakan } (Rosdiana 2009). Definisi Misalkan adalah tidak kosong. Himpunan bagian ring, ideal dari, maka koset-koset aditif dari. Definisikan dengan / penjumlahan dan perkalian didefinisikan : ( Teorema / (Aliatiningtyas 2002). Definisi Fungsi R, berlaku ( )( )( )=( )= ={ ). Operasi } (Aliatiningtyas 2002). merupakan ring dan disebut ring faktor dari,, oleh dari ring R ke ring R disebut homomorfisma jika a,b (a b) = (a) (b) (ab) = (a) (b) Kernel ={x R (x) = 0 }, 0 unsur nol dari. Jika ada homomorfisma yang bijektif dari R ke R, maka dikatakan R isomorfik dengan R, dinotasikan : R R (Aliatiningtyas 2002). Teorema Misalkan θ: R R adalah homomorfisma ring. Maka 1. θ(r) subring dari R 2. Ker θ adalah ideal dari R 3. Jika N ideal dari R, maka θ(n) juga ideal dari R (Aliatiningtyas 2002). Definisi (Polinomial) Jika parameter atas ring komutatif, maka polinomial dengan diekspresikan dalam bentuk : ( )= 11

29 dimana dan 0. disebut koefisien dari dalam (). Integer terbesar pada 0 disebut derajad (), dinotasikan deg()dan disebut koefisien utama (leading coeffisien) dari (). Jika () = (polinomial konstan) dan 0, maka ()mempunyai derajad 0. Jika semua koefisien ()adalah 0, maka ()disebut polinomial nol dan derajadnya dinotasikan. Polinomial () dikatakan monik jika koefisien utamanya 1 (Menezes et al. 1997). Definisi Z [x] adalah himpunan semua polinomial dalam peubah x dengan koefisien dalam ring Z merupakan sebuah ring di bawah operasi penjumlahan dan perkalian polinomial (Fraleigh 2000). Definisi (Polinomial Irredusibel) Misal () Z []adalah polinomial berderajad paling kecil 1. ()dikatakan irredusibel atas Z jika f(x) tidak dapat dinyatakan sebagai produk dari dua polinomial berderajad lebih kecil dari f(x) dalam Z []. Dan dikatakan redusibel jika faktorisasinya ada (Menezes et al. 1997). Definisi Misal polinomial tak-nol (), h() Z []. Maka dari () dan h(), dinotasikan gcd ((), h()), adalah polinomial monik berderajad terbesar dalam Z []yang membagi ()dan h()(menezes et al. 1997). Teorema (Teorema Faktor) Jika Z adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan dan () Z [] berderajad 1, maka () = 0 jika dan hanya jika adalah faktor dari ()(Michaels 2000). Definisi (Field) Suatu ring yang komutatif, ada unkes dan setiap unsur tak nolnya mempunyai invers (multiplikatif) disebut lapangan (field) (Aliatiningtyas 2002). Definisi (Subfield) Jika field memuat field (sedemikian sehingga operasi penjumlahan dan perkalian di sama dengan di ), maka disebut subfield dari, dan disebut perluasan field dari (Pretzel 1992). 12

30 Definisi (Finite Field) Suatu field dikatakan berhingga (finite field) jika himpunannya memiliki banyak elemen yang berhingga. Order adalah banyaknya anggota (Menezes et al. 1997). Teorema Eksistensi dan kekhasan finite field. 1. Jika F adalah finite field maka F terdiri dari unsur dengan p prima dan Untuk setiap prima berorder p m, ada finite field yang khas berorder p m. Field ini dinotasikan dengan GF(p m ) (Menezes et al. 1997). Teorema Misal bilangan prima. Himpunan integer modulo berbentuk field berorder dinotasikan dengan () atau Z (Rosdiana 2009). Teorema Unsur tak-nol ( ) membentuk sebuah grup di bawah operasi perkalian disebut grup perkalian dari ( ), dinotasikan dengan ( ) (Menezes et al. 1997). Teorema ( ) adalah grup siklik yang berorder 1 dan berlaku =, untuk setiap ( ) (Menezes et al. 1997). Teorema Finite field ( ) adalah perluasan field Z berderajad, dan setiap elemen ( ) adalah akar polinomial atas Z (Saeki 1997). Teorema Misalkan Z adalah field dan misalkan ()adalah polinomial tak-konstan di Z []. Maka ada perluasan field dari Z dan ada sedemikian sehingga () = 0 (Fraleigh 2000). Definisi adalah perluasan field Z. disebut algebraic atas Z jika () = 0 untuk beberapa polinomial tak-nol () Z []. Jika tidak algebraic atas Z, maka transcendental atas Z (Fraleigh 2000). Teorema Misal () Z []adalah polinomial irredusibel berderajad. Maka Z []/ () adalah finite field dengan order. Penjumlahan dan perkalian polinomial dilakukan dalam modulo ()(Menezes et al. 1997). 13

31 ( ) ℤ[ ]berderajad Definisi Suatu polinomial irredusibel ( ) (Menezes et al. 1997). adalah generator dari polinomial primitif jika disebut Definisi Misal E perluasan field dari field ℤ dan c E algebraic atas ℤ. Polinomial irreducible untuk c atas ℤ dari polinomial monik ( ) dinotasikan dengan irr(c, ℤ ) dan derajad dari polinomial irreducible untuk c atas ℤ dinotasikan dengan deg(c, ℤ ) (Rosdiana 2009). = ℤ ( ) dengan Teorema Misal deg,ℤ =, unik dalam bentuk 1. Setiap unsur = 2009). Teorema berderajad dan dari Diberikan ( ) = 0, ( algebraic atas ℤ, dan = ℤ ( )dapat dinyatakan secara ℤ (Rosdiana, dimana polinomial ( ) ℤ [ ] irredusibel ) ℤ [ ]/ ( ) ℤ ( ) { grup, field. Pada V didefinisikan aturan penjumlahan dan aturan perkalian skalar. disebut ruang vektor atas ℤ untuk semua }(Michaels 2000). Definisi (Ruang Vektor) Misal 1. Untuk setiap jika memenuhi aksioma berikut. dan setiap tertutup terhadap perkalian : di bawah operasi penjumlahan abelian =. dan setiap,, terdapat tunggal = 2. Untuk setiap 3. Untuk setiap 4. Untuk setiap 5. Untuk setiap, 1 = ; 1 unsur identitas di,, dan setiap, ( ) = dan setiap, ( ) = ( )... sehingga, (Rosdiana 2009). Definisi Misalkan V adalah ruang vektor atas skalar, dan misalkan A = {v1, v2,..., vn} adalah himpunan yang terdiri atas n vektor dalam V. A disebut bebas linear jika ( ni ci vi = 0) ( i I = {1,2,,n} ci = 0). Ingkarannya, A disebut terpaut linear jika ( ni ci vi = 0) j I = {1,2,,n} cj 0 (Guritman 2005). 14

32 Definisi Misalkan V adalah ruang vektor atas ={,, dan,, } adalah himpunan berhingga vektor-vektor di dalam V. Untuk menyatakan bahwa V adalah ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada himpunan B dituliskan =. Artinya, =, adalah integer. Definisi Misalkan V adalah ruang vektor atas, dan B adalah himpunan berhingga vektor-vektor di dalam V. Dikatakan B adalah basis untuk V jika B bebas linear dan V= B (Guritman 2005). perluasan field dari field ℤ dan Teorema Misal ℤ. Jika deg basis {1, 2.4, ℤ =, maka ℤ ( )ruang vektor atas ℤ berdimensi- dengan } (Rosdiana 2009).,,, Masalah Logaritma Diskret Definisi (Logaritma Diskret) Misalkan. Logaritma diskret generator, dan adalah integer unik 0, (Menezes et al. 1997). Teorema Misalkan Misal log ( algebraic atas log. dengan basis, dinotasikan log,1 sedemikian generator grup siklik adalah sebuah integer. Maka log ( )= grup siklik berorder ) =(log mod (Menezes et al. 1997). = hingga berorder, dan, 0 2sehingga. log )mod, dan Definisi (Masalah Logaritma Diskret) Diberikan bilangan prima generator dari ℤ, dan,, ℤ. Masalah logaritma diskret adalah menentukan, (mod ()Menezes et al. 1997). Definisi (Masalah Logaritma Diskret diperumum) Diberikan grup siklik berorder, generator menentukan, 0,1sehingga Lemma Jika order dari tidak kongruen modulo, dan modulo (Lestari 2007).. Masalah logaritma diskret adalah = (Menezes et al. 1997). adalah, maka 1,,,, saling 15

33 Teorema Misalkan generator dari Z, maka untuk setiap Z terdapat integer yang khas pada rentang 0 () 1 sehingga (mod )(Lestari 2007). sedemikian Teorema Setiap unsur ( ), prima, memenuhi = atau ekivalen dengan akar dari persamaan = sehingga = (Rosdiana 2009). ( ) Lemma Andaikan adalah himpunan hingga dan diketahui ada fungsi :. Dipilih untuk membangkitkan barisan,,,, dengan menggunakan iterasi = ( ) untuk 0. Ada, sehingga = untuk dan ada > 0 sehingga =. Jika barisan,,, dibangkitkan oleh = menggunakan iterasi = (( )) untuk 0 maka hasilnya akan sama dengan barisan,,, (Safaat 2007). Lemma Andaikan bahwa 1, dan bilangan-bilangan,,, bebas dipilih dari himpunan {1, 2,,}. Peluang bahwa setiap bilangan berbeda adalah (Safaat 2007). 2.5 Sistem Persamaan Linear Definisi Suatu persamaan linear dalam peubah (variabel) adalah persamaan dengan bentuk = dimana,,, dan adalah bilangan-bilangan real dan,,, adalah peubah. Dengan demikian maka suatu sistem linear dari persamaan dalam peubah adalah satu sistem berbentuk : = = = dimana dan semuanya adalah bilangan-bilangan real (Leon 1998). 16

34 Definisi Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika konstantakonstanta di ruas kanan semuanya nol. Sistem-sistem homogen selalu konsisten (Leon 1998). Teorema Sistem persamaan linear homogen memiliki penyelesaian taktrivial jika > (Leon 1998). 2.6 Algoritme Berlekamp s Q-matrix Algoritme Algoritme Berlekamp s Q-Matrix Input : Polinomial monik bebas kuadrat ()berderajad dalam []. Output : Faktorisasi ()dalam polinomial irredusibel monik. 1. Untuk setiap, 0 1, hitung polinomial mod () =,. 2. Bentuk matriks 3. Tentukan basis,,, untuk ruang null pada matriks ( ), dengan matriks identitas. Banyaknya faktor irredusibel pada ()adalah. 4. {()}. 5. Untuk 1, lakukan langkah berikut : 5.1 Untuk setiap polinomial h(), degh() > 1, lakukan langkah berikut Hitung gcd (h(), () ), untuk setiap, dan ganti h()pada dengan semua polinomial hasil perhitungan gcd yang berderajad Hasilnya adalah polinomial-polinomial F yang berupa faktor-faktor irredusibel ()(Menezes et al. 1997). 2.7 Kompleksitas Waktu Asimptotik Algoritme aritmetik yang dihasilkan dalam penelitian ini akan dianalisis dari segi fungsi kompleksitas waktu (time-complexity function), yaitu sebagai fungsi untuk mengukur banyaknya operasi dalam suatu algoritme yang mempunyai variabel input. Yang dimaksud dengan banyaknya operasi adalah banyaknya operasi dasar (jumlah, kurang, kali dan bagi) ditambahkan dengan assignment dan perbandingan (ekspresi logika) (Guritman 2004). Hal ini perlu 17

35 untuk mengetahui kinerja algoritme. Kinerja algoritme akan tampak untuk besar, bukan pada kecil. Langkah pertama dalam pengukuran kinerja algoritme adalah membuat makna sebanding. Gagasannya adalah dengan menghilangkan faktor koefisien di dalam ekspresi (). Sebagai contoh, andaikan bahwa kompleksitas waktu terburuk dari sebuah algoritme adalah () = Untuk besar, pertumbuhan ()sebanding dengan 2, suku 6 1 menjadi tidak berarti dibandingkan 2. Suku-suku yang tidak mendominasi perhitungan pada rumus ()dapat diabaikan, sehingga kompleksitas waktu ()adalah (dengan mengabaikan koefisien 2), ditulis () = ( ). Definisi () = (()) (dibaca ()adalah (()) artinya () berorder paling besar () ) bila terdapat konstanta C dan sedemikian sehingga () ( ()), untuk (Munir 2001). Teorema Bila () = adalah polinom derajad maka () = ( ) (Munir 2001). Setelah mendefinisikan fungsi ()untuk suatu algoritme, kemudian dengan Tabel Oh-Besar (Menezes et al. 1997) kita tentukan order dari sebagai ukuran efisiensi algoritme yang bersangkutan. Dalam tabel berikut diberikan beberapa bentuk Oh-Besar yang sering muncul dalam aplikasi analisis algoritme (Guritman 2004). Urutan batasan lebih baik disusun dari atas ke bawah. Tabel Oh-Besar Bentuk Oh-Besar O(1) O(log 2 n) O(n) O(n log 2 n) O(n 2 ) O(n 3 ) O(n m ), m = 0, 1, 2,... O(c n ), c > 1 O(n!) Nama konstan logaritmik linear n log 2 n kuadratik kubik polinomial eksponensial faktorial 18

36 19

37 BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan hal-hal yang berhubungan dengan masalah logaritma diskret pada (2 ) dan bagaimana mengeksplorasinya dengan menggunakan algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard s rho, Pohlig-Hellman, dan Index Calculus. 3.1 MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) FINITE FIELD ( ) Galois Field adalah nama populer untuk field dengan jumlah elemen terbatas (finite). Disebut Galois Field, sebagai penghargaan terhadap Evariste Galois yang menemukan hubungan antara grup dan persamaan polinomial. Galois Field dinotasikan ( ), berorder, dengan prima dan integer positif. Jika = 1, maka menurut Teorema () (atau bisa juga dinotasikan Z ) adalah integer modulo p berbentuk field berorder. Setiap operasi aritmetikanya dilakukan dalam modulo agar hasilnya tetap berada dalam daerah (). Selanjutnya pembahasan akan difokuskan pada (2 ). Berdasarkan Teorema (2 ) adalah perluasan field Z. Berdasarkan Definisi Z [x] adalah himpunan semua polinomial dalam peubah x dengan koefisien dalam Z merupakan sebuah ring di bawah operasi penjumlahan dan perkalian polinomial. Misalkan ()polinomial tak konstan atas Z [], maka berdasarkan Teorema ada (2 ) sedemikian sehingga () = 0. Jika ada seperti ini, maka disebut algebraic atas Z (Definisi ). Selanjutnya berdasarkan Teorema , jika deg(, Z ) =, maka Z () merupakan ruang vektor atas Z berdimensi- dengan basis {,,,.,, }. Z adalah field. Misalkan () Z []adalah polinomial irredusibel atas Z berderajad, maka menurut Teorema () adalah suatu ideal,

38 dengan () = {()() () []}. Z Selanjutnya, berdasarkan Teorema Z []/ () adalah finite field berorder 2, dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial dilakukan dalam modulo (). Dari uraian di atas dan berdasarkan Teorema dan Teorema , jika diberikan polinomial irredusibel () Z []berderajad dan () = 0, maka setiap Z () dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk =, dimana Z, 0, 1dan (2 ) Z []/ () Z () { Z untuk semua }. Contoh 1 (Finite Field ( )) () = 1 adalah polinomial irredusibel berderajad 4 atas Z, dan () = 0 1 = 0 = 1, maka (2 ) = Z []/ () = {,,,,,,,,,,,,,,, } = {0,1,,,, 1,,, 1, 1,, 1,, 1, 1, 1 } Dari uraian di atas, ada beberapa cara yang dapat dilakukan untuk merepresentasikan elemen-elemen (2 ), diantaranya adalah dengan representasi grup siklik, representasi polinomial, representasi himpunan. representasi vektor dan 1) Representasi grup siklik : 0, 0, 1,...,, dengan adalah generator (2 ), dimana (2 ) = (2 ) {0}. 2) Representasi polinomial dalam peubah :, dimana Z, ) Representasi vektor : [,,,...], dengan Z 4) Representasi himpunan : {,,,...}, dengan 0. Cara merepresentasikan elemen-elemen (2 ) dengan representasi himpunan mengacu pada tesis Rosdiana Representasi himpunan selanjutnya diperlukan pada saat komputasi untuk menentukan masalah logaritma diskret. Pada contoh 1 di atas cara merepresentasikan elemen-elemen (2 ) adalah 20

39 dengan representasi grup siklik dan representasi polinomial. Tabel berikut memperlihatkan elemen-elemen (2 ) dalam beberapa representasi. Tabel Elemen-elemen ( ) No Representasi Himpunan Representasi Vektor Representasi Grup Siklik Representasi Polinomial 1 {} [0,0,0,0] {0} [1,0,0,0] {1} [0,1,0,0] {2} [0,0,1,0] {3} [0,0,0,1] {0,1} [1,1,0,0] {1,2} [0,1,1,0] {2,3} [0,0,1,1] {0,1,3} [1,1,0,1] {0,2} [1,0,1,0] {1,3} [0,1,0,1] {0,1,2} [1,1,1,0] {1,2,3} [0,1,1,1] {0,1,2,3} [1,1,1,1] {0,2,3} [1,0,1,1] {0,3} [1,0,0,1] Setiap operasi aritmetika (2 ) dilakukan terhadap polinom yang tidak dapat direduksi lagi (irredusibel) dalam Z. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. Misalkan ()adalah polinomial irredusibel atas Z berderajad, maka operasi penjumlahan dan perkalian dalam (2 ) dapat didefinisikan sebagai berikut : 1. Penjumlahan Jika =, = (2 ). Maka =, dimana = dengan (mod 2). 2. Perkalian 21

40 Jika =, = (2 ). Maka. =, dimana s= dengan = (mod 2), 0. 1 Penjumlahan dan perkalian dalam (2 ) ini dihitung dengan menggunakan algoritme standar untuk integer dan aritmetika polinomial. Unsur identitas penjumlahannya adalah polinomial 0, dan unsur identitas perkaliannya adalah polinomial 1. Pengurangan adalah invers dari penjumlahan; jika (2 ) maka invers penjumlahan dari (dinotasikan ( ))pada (2 ) adalah solusi unik untuk persamaan = 0dalam (2 ). Selanjutnya, pembagian adalah invers dari perkalian; jika (2 ) maka invers perkalian dari (dinotasikan ) pada (2 ) adalah solusi unik untuk persamaan. = 1pada (2 ). Invers perkalian dalam (2 ) dapat dihitung secara efisien dengan menggunakan Algoritme Euclidean yang Diperluas. Dalam pembahasan selanjutnya akan dibahas (2 ) tanpa elemen {0}, dinotasikan dengan (2 ), membentuk grup di bawah operasi perkalian (Definisi ) MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA ( ) Berdasarkan Teorema , (2 ) adalah grup siklik yang berorder = 2 1. Karena (2 ) generator yang membangun (2 ) diberikan elemen primitif dari (2 ) adalah, maka o() = (Teorema 2.3.9), sehingga : merupakan grup siklik maka terdapat suatu (2 ) = = {,,,, } yang disebut elemen primitif. Jika dan diketahui order dari (2 ) dan berdasarkan Teorema 2.3.6,,,, semuanya berbeda. (2 ) Berdasarkan Definisi dan Definisi 2.4.4, jika diberikan grup siklik berorder, generator (2 ), (2 ), dan () adalah polinomial irredusibel atas Z. Logaritma diskret dengan basis adalah integer unik, 0, 1sedemikian sehingga : (mod ()) (1) 22

41 dan bagaimana menentukan rentang 0 disebut masalah logaritma diskret. Nilai pada 1 yang merupakan solusi masalah logaritma diskret (mod ( )) dijamin ada (Teorema 2.4.6). Menentukan masalah logaritma diskret menjadi sulit apabila order grup multiplikatif (2) besar. Karena itu diperlukan suatu teknik tertentu untuk menyelesaikannya. Beberapa teknik yang dapat digunakan untuk menentukan masalah logaritma diskret ini adalah Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard s rho, Pohlig Hellman, dan Index Calculus. Dalam Menezes et el. (1997) kelima algoritme tersebut dikenakan pada grup siklik G umum, sedangkan pada tulisan ini dikenakan pada sistem aritmatik grup multiplikatif (2). ( ) 3.2 SOLUSI MASALAH LOGARITME DISKRET PADA Untuk menentukan masalah logaritma diskret diatas ada beberapa algoritme yang bisa digunakan, diantaranya adalah Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard s rho, Pohlig-Hellman dan Index Calculus. Algoritme untuk menentukan masalah logaritma diskret dalam Menezes et al. (1997) dijelaskan secara umum dalam grup siklik berhingga generator ℤ berorder dengan, dan untuk pendekatan yang lebih konkrit dipilih grup multiplikatif berorder 1dimana operasi grupnya adalah operasi perkalian modulo. Pada tulisan ini algoritme-algoritme tersebut dieksplorasi untuk menentukan masalah logaritma diskret pada (2) Solusi Masalah Logaritma Diskret pada Exhaustive Search ( ) dengan Algoritme Ide dasar Algoritme Exhaustive Search adalah Definisi Masalah Logaritma Diskret (Definisi 2.4.4).Misalkan algebraic atas ℤ, maka ( )adalah polinomial irredusibel atas ℤ dan (2) = = {1, Menentukan masalah logaritma diskret pada,,, = (2 ) sehingga,, = }. dengan Algoritme Exhaustive Search adalah dengan mencoba semua kemungkinan nilai,0 2 2, sampai ditemukan yang benar, artinya jika dipangkatkan 23

42 akan sama dengan dalam mod ()dinotasikan (mod ()). Atau dengan bahasa sederhana untuk menentukan masalah logaritma diskret, kalikan dengan sampai ditemukan. Banyaknya langkah dalam proses perkalian ini adalah, =. =. =. =. = = (2) Selama proses perkalian jika ditemukan, maka direduksi ke mod () dan dalam proses reduksi berlaku aturan penjumlahan dan perkalian dalam (2 ). Selanjutnya dari (1) dan (2) diperoleh : Jadi = ( mod ()). = = log = log = Berikut Algoritme Exhaustive Search yang dieksplorasi dari Definisi Masalah Logaritma Diskret secara umum (Definisi 2.4.4) Algoritme Algoritme Exhaustive Search untuk menentukan masalah logaritma diskret pada (2 ) Input : generator grup multiplikatif (2 ) berorder = 2 1, (2 ), dan ()polinomial irredusibel atas Z berderajad. Output : logaritma diskret log (mod ()). 1) Untuk setiap, 0, 1hitung nilai (mod ()). 2) Setelah langkah ke-dimana (mod ()), maka proses berhenti. 3) Solusi dari (mod ()) adalah (mod ). 24

43 Dalam Menezes et al. (1997) nilai harapan kompleksitas waktu Algoritme Exhaustive Search adalah (2 ). Algoritme Exhaustive Search ini diimplementasikan dengan bantuan sofware Maple 11, dapat dilihat pada Lampiran 3.1 Contoh 2 (Menentukan masalah logaritma diskret pada grup multiplikatif (2 ) dengan Algoritme Exhaustive Search) Diketahui : adalah generator grup multiplikatif (2 ), = 1 (2 ), dan () = 1. Tentukan log (mod ()). Solusi : Grup multiplikatif (2 ) dibangun oleh suatu polinomial ()berderajad 7 irredusibel atas Z. Diketahui adalah generator grup multiplikatif (2 ). Perkalian dari elemen-elemen (2 ) sehingga sebab 1 1 dalam Z. () 0(mod ()) 1 0mod () adalah perkalian dalam modulo (), 1 1(mod()), Grup multiplikatif (2 ) berorder = 2 1 = 127, artinya ada 127 kemungkinan nilai, 0 126, yang memenuhi (mod ()). Dengan Algoritme Exhaustive Search, akan dicari nilai sedemikian sehingga 1(mod ()). Kita akan coba untuk setiap kemungkinan nilai, 0 126, sampai ditemukan nilai yang benar yang memenuhi (mod ()). Tabel Representasi Polinomial ( (mod ())untuk (2 ) dengan = 1 mod ()

44 mod () Pada saat = 21, diperoleh kongruensi (mod ()). Dengan demikian diperoleh solusi dari log (mod ()) adalah (mod ) 21 (mod 127). Karena Algoritme Exhaustive Search ini metodenya yaitu dengan mencoba semua kemungkinan solusi yang ada, maka solusi yang tepat secara pasti akan ditemukan. Namun kelemahannya adalah kompleksitas waktu yang besar sehingga tidak efisien digunakan untuk menyelesaikan masalah logaritma diskret dalam (2 ) berorder besar. Oleh karena itu diperlukan metode lain agar penyelesaian masalah logaritma diskret pada (2 ) menjadi lebih efisien untuk kasus yang relatif besar. 26

45 ( ) dengan Algoritme Solusi Masalah Logaritma Diskret pada Baby-Step Giant-Step Algoritme Baby-Step Giant-Step pertama kali dipublikasikan oleh Shanks pada tahun Algoritme ini merupakan time-memory trade-off dari Algoritme Exhaustive Search yakni situasi dimana memori komputer digunakan untuk mengurangi biaya dan waktu eksekusi program (Menezes et al. 1997). (2 ) yang Berikut analisis Algoritme Baby-Step Giant-Step untuk dieksplorasi dari Algoritme Baby-Step Giant-Step untuk grup siklik (2 ), dengan order adalah sebuah generator grup siklik Misalkan (2) adalah, (2) dan ( )polinomial irredusibel berderajad atas ℤ. Masalah logaritma diskret adalah menentukan sedemikian log sehingga umum. (mod ( ))., 0 Untuk,1 menentukan (mod ( )), dengan Algoritme Baby-Step Giant-Step ada dua fase log yang harus dilewati yaitu fase baby-step dan fase giant-step. Ide dasarnya adalah membagi {1, dengan,,, =, }., sampai ditemukan dalam himpunan = Langkah pertama menentukan nilai dimaksudkan untuk menentukan batas minimal banyaknya representasi polinomial yang akan disimpan dalam memori komputer. Langkah (, (mod kedua ( ),) 0 polinomial sebanyak {,,,, adalah < membentuk tabel dengan pasangan,1dimaksudkan untuk menentukan representasi yang akan disimpan di memori komputer, yakni }. Untuk membentuk tabel pasangan (, (mod ( ))dapat digunakan Algoritme Exhaustive Search. Selanjutnya representasi polinomial polinomial disimpan dalam memori komputer. Penyimpanan representasi polinomial polinomial ini disebut fase baby-step. Langkah ketiga Algoritme Baby-Step Giant-Step adalah menentukan nilai dan sedemikian sehingga adalah dengan membagi ditemukan (mod ( ),) untuk suatu dengan representasi polinomial yang merupakan salah satu anggota {,,,, 1. Caranya sampai }. Banyak 27