BAB II TINJAUAN PUSTAKA
|
|
- Glenna Sanjaya
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret sistem persamaan linear kompleksitas waktu asimptotik sebagai landasan teori untuk penulisan tugas akhir ini. 1 Teori Bilangan Definisi 1 Misalkan integer integer dengan menghasilkan integer dimana 0 pembagian dinotasikan (hasil pembagian dinotasikan pembagi bersama dari jika maka mod hasil gcd ( jika : Teorema 5 (Algoritme Euclidean Diberikan integer algoritme pembagian dapat dibentuk barisan persamaan berikut : 0 < < 0 < < 0 < 0 < disebut pembagi bersama terbesar (Menezes et al oleh (sisa pembagian sehingga dikatakan sebagai pembagi bersama dari Definisi 4 Suatu integer non-negatif jika terdapat 1 maka pembagian. Sisa pembagian dinotasikan (Menezes et al (gcd dari integer (notasi div (Menezes et al Definisi 3 Suatu integer jika membagi. sedemikian sehingga Definisi 2 Jika integer. < < >.0Berdasarkan
2 gcd ( yang merupakan sisa terakhir tak nol dari proses dengan pembagian. Nilai dari menuliskan setiap dari ( sebagai kombinasi linear dari Definisi 6 Integer dapat diperoleh dengan (Lestari dikatakan prima relatif atau koprima jika gcd( 1 (Lestari didefinisikan ( Definisi 7 (Fungsi- Euler Untuk banyaknya integer pada selang [1 ] yang prima relatif dengan disebut fungsi- Euler (Menezes et al Fungsi Teorema 8 (Sifat-sifat fungsi- Euler prima maka ( Jika Fungsi- Euler bersifat multiplikatif. Artinya jika gcd( ( ( ( 3. Jika ( 1 1 faktorisasi 1 prima sebagai produk dari kuasa prima yang khas: bilangan prima yang dari maka (Menezes et al Fakta 9 (Teorema Dasar Aritmetika Setiap integer 1 maka berbeda 2dapat difaktorkan dimana integer positif (Menezes et al Integer Modulo Definisi 1 (Kongruensi modulo ditulis integer. jika dikatakan kongruen dengan membagi habis ( disebut modulus kongruensi (Menezes et al Teorema 2 (Syarat-syarat Kekongruenan Untuk semua hal-hal di bawah ini benar. 1 jika hanya jika.selanjutnya ℤ mempunyai sisa yang sama jika dibagi dengan. 2 (refleksif 6
3 3 (simetri Jika 4 (transitif Jika 5 Jika maka. maka maka (Guritman et al ekuivalensi integer {012 modulo sedemikian sehingga maka { } terdapat (Lestari Sistem residu tereduksi dimana gcd( 1 himpunan integer Selanjutnya setiap jika untuk setiap integer Definisi 5 (Sistem Residu Tereduksi Modulo modulo (Guritman et al Selanjutnya himpunan dinamakan sistem residu lengkap modulo satu hanya satu ℤ Definisi 4 (Sistem Residu Lengkap Modulo Jika disebut residu dari 1} yang dikenai operasi penjumlahan perkalian diperlakukan dalam modulo. Untuk. dinotasikan ℤ himpunan (kelas Definisi 3 Integer modulo. jika yang prima relatif dengan kongruen dengan suatu pada himpunan tersebut (Lestari Fakta 6 (Invers Misalkan ℤ. memiliki invers jika hanya jika gcd( 1 (Menezes et al Definisi 7 (Invers Multiplikatif Misalkan modulo suatu integer ℤ sehingga ℤ Invers multiplikatif dari 1. Faktanya tidak semua anggota ℤ mempunyai invers ( belum tentu ada. Dalam hal bersangkutan ada maka dinotasikan disebut invertibel invers modulo disebut invers dari (Guritman et al Definisi 8 (Pembagian Misalkan perkalian yang dengan modulo ℤ. Pembagian oleh yang terdefinisi jika modulo mempunyai (Menezes et al
4 Definisi 9 Grup multiplikatif ℤ ℤ bilangan prima maka ℤ { 1 { ℤ gcd( 1}. Jika 1}(Menezes et al gcd (. Persamaan Teorema 10 (Solusi Persamaan kongruen Misal kongruen mempunyai solusi dalam hal ini terdapat tepat modulo jika hanya jika 1; solusi ini semua kongruen solusi antara 0 / (Menezes et al Teorema 11 (Teorema Sisa Cina Jika prima relatif satu sama lain kongruensi mempunyai solusi unik modulo mod ( (Menezes et al (i (Teorema Euler Jika (ii Jika maka dari sistem kongruensi Teorema 2 integer. ℤ maka ( 1 Teorema 14 Misalkan untuk semua integer Jika 3. Untuk setiap integer 3 ( prima 1 maka (Menezes et al (Teorema Fermat Jika gcd( 1 maka. produk bilangan prima berbeda jika mod dimana (Menezes et al Teorema 13 Misalkan merupakan integer yang sembarang integer maka sistem Algoritme 12 (Algoritme Gauss s Solusi 11 dapat dihitung sebagai membagi 1. untuk semua integer. (Menezes et al Struktur Aljabar Definisi 3.1 Operasi biner pada suatu himpunan ke yang membawa setiap ( ke suatu fungsi dari yang unik. Jadi 8
5 (. Karena juga berada dalam bawah operasi (Aliatiningtyas 200 memenuhi aksioma-aksioma berikut ini operasi bersifat assosiatif ( ada 3. unsur untuk setiap identitas. ada unsur (Aliatiningtyas 200 untuk ( pada sehingga. sehingga berlaku disebut grup komutatif jika operasi bersifat komutatif Definisi 3.3 Grup yaitu tertutup di dengan operasi biner disebut grup jika Definisi 3.2 (Grup Struktur aljabar maka dikatakan (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.4 (Grup Hingga Order Suatu grup dikatakan berhingga jika banyaknya unsur berhingga. Banyaknya unsur dari grup hingga dinamakan order dari dinotasikan ℴ( (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.5 (Order dari Unsur Grup Misalkan (notasi ℴ( integer positif grup. Jika tidak ada minimal sehingga bilangan yang demikian maka dikatakan order dari. Order tak hingga atau nol (Aliatiningtyas 200 Toerema 3.6 Berikut ini 3 sifat dasar yang berkaitan dengan pengertian order. Misalkan Misalkan grup grup ℴ( maka ada tepat 3. yaitu yang semuanya berbeda.. Jika ℴ( tak hingga maka semua kuasa dari berbeda. Artinya jika kuasa dari dua integer yang berbeda maka. Misalkan unsur dari grup hanya jika sehingga kelipatan dari ℴ(. Maka ( kelipatan jika artinya ada integer (Aliatiningtyas 2002; Guritman
6 Definisi 3.7 (Subgrup Misalkan dari jika. Maka grup grup dibawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada. (Aliatiningtyas 200 (Notasi : Definisi 3.8 (Grup Siklik Suatu grup hanya jika ada unsur ( berorder maka sehingga ℴ( dikatakan siklik jika disebut generator sedemikian sehingga ℤ}(Guritman Teorema 3.9 Jika grup ada siklik jika hanya jika (Guritman Teorema 3.10 (Teorema Lagrange s Jika subgrup disebut subgrup maka order dari grup hingga membagi order dari (Menezes et al. 1997; Aliatiningtyas 200 Definisi 3.11 (Ring Struktur aljabar dengan operasi disebut operasi penjumlahan operasi disebut operasi perkalian disebut ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini. 3. grup komutatif. Operasi perkalian bersifat assosiatif. Hukum distributif kiri berlaku : Hukum distributif kanan berlaku : ( (.. Unsur identitas terhadap dinotasikan dengan 0 disebut unsur nol. Selanjutnya Jika operasi perkalian bersifat komutatif ring komutatif. disebut Jika ada unsur identitas dibawah operasi perkalian (unsur ini disebut unsur kesatuan 1 dinotasikan 1 (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.12 Misalkan ring. Himpunan bagian jika 1 1 dengan maka dari maka disingkat unkes disebut ring dengan unsur kesatuan merupakan ring dibawah operasi dalam dari ring disebut subring (Aliatiningtyas
7 Definisi 3.13 (Ideal Misal ring disebut ideal jika memenuhi : a. b. (. (Aliatiningtyas 200 Teorema 3.14 (Ideal Utama Misalkan 1 { ring komutatif dengan unsur kesatuan. Suatu himpunan dilambangkan yang didefinisikan sebagai dibangun oleh merupakan } ideal. Ideal yang demikian disebut ideal utama yang (Rosdiana Definisi 3.15 Misalkan tidak kosong. Himpunan bagian ring ideal dari maka koset-koset aditif dari. Definisikan dengan / penjumlahan perkalian didefinisikan : ( Teorema 3.16 / (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.17 Fungsi R berlaku ( ( ( ( {. Operasi } (Aliatiningtyas 200 merupakan ring disebut ring faktor dari oleh dari ring R ke ring R disebut homomorfisma jika ab (a b (a (b (ab (a (b Kernel {xr (x 0 } 0 unsur nol dari. Jika ada homomorfisma yang bijektif dari R ke R maka dikatakan R isomorfik dengan R dinotasikan : R R (Aliatiningtyas 200 Teorema 3.18 Misalkan θ: R R homomorfisma ring. Maka θ(r subring dari R Ker θ ideal dari R 3. Jika N ideal dari R maka θ(n juga ideal dari R (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.19 (Polinomial Jika parameter atas ring komutatif maka polinomial dengan diekspresikan dalam bentuk : ( 11
8 dimana terbesar 0. disebut koefisien dari 0 disebut derajad pada 0 maka ( 0 maka (. Jika ( disebut (polinomial ( mempunyai derajad 0. Jika semua koefisien ( disebut polinomial nol derajadnya dinotasikan. ( dikatakan Polinomial (. Integer ( dinotasikan deg ( koefisien utama (leading coeffisien dari konstan dalam monik jika koefisien utamanya 1 (Menezes et al Definisi 3.20 ℤ [x] himpunan semua polinomial dalam peubah x dengan koefisien dalam ring ℤ merupakan sebuah ring di bawah operasi penjumlahan perkalian polinomial (Fraleigh Definisi 3.21 (Polinomial Irredusibel Misal berderajad paling kecil ( ℤ[ ] polinomial ( dikatakan irredusibel atas ℤ jika f(x tidak dapat dinyatakan sebagai produk dari dua polinomial berderajad lebih kecil dari f(x dalam ℤ [ ]. Dan dikatakan redusibel jika faktorisasinya ada (Menezes et al Definisi 3.22 Misal polinomial tak-nol ( ℎ( ℤ [ ]. Maka dari ( ℎ( dinotasikan gcd ( ( ℎ( polinomial monik berderajad terbesar dalam ℤ [ ]yang membagi ( ℎ( (Menezes et al. Teorema 3.23 (Teorema Faktor Jika ℤ ring komutatif dengan unsur kesatuan ( ℤ[ ] berderajad 1 maka ( 0 jika hanya jika faktor dari ( (Michaels Definisi 3.24 (Field Suatu ring yang komutatif ada unkes setiap unsur tak nolnya mempunyai invers (multiplikatif disebut lapangan (field (Aliatiningtyas 200 Definisi 3.25 (Subfield Jika field operasi penjumlahan perkalian di subfield dari memuat field (sedemikian sehingga sama dengan di disebut perluasan field dari maka disebut (Pretzel
9 Definisi 3.26 (Finite Field Suatu field dikatakan berhingga (finite field jika himpunannya memiliki banyak elemen yang berhingga. Order banyaknya anggota (Menezes et al Teorema 3.27 Eksistensi kekhasan finite field. Jika F finite field maka F terdiri dari unsur dengan p prima Untuk setiap prima berorder pm ada finite field yang khas berorder pm. Field ini dinotasikan dengan GF(pm (Menezes et al Teorema 3.28 Misal field berorder bilangan prima. Himpunan integer modulo dinotasikan dengan Teorema 3.29 Unsur tak-nol ( atau ℤ (Rosdiana ( membentuk sebuah grup di bawah operasi perkalian disebut grup perkalian dari ( (Menezes et al Teorema 3.30 untuk setiap ( dinotasikan dengan ( grup siklik yang berorder Teorema 3.31 Finite field setiap elemen (Saeki ( ( perluasan field ℤ berderajad akar polinomial tak-konstan di ℤ [.] Maka ada perluasan field sedemikian sehingga ( 0 (Fraleigh perluasan field ℤ. ( 0 untuk beberapa polinomial tak-nol atas ℤ maka 1 berlaku ( (Menezes et al Teorema 3.32 Misalkan ℤ field misalkan Definisi 3.33 berbentuk atas dari ℤ ada disebut algebraic atas ℤ jika ( ℤ[ ]. Jika tidak algebraic ( ℤ[ ] polinomial irredusibel berderajad Maka ℤ [ ]/ ( finite field dengan order perkalian polinomial dilakukan dalam modulo ℤ ( polinomial transcendental atas ℤ (Fraleigh Teorema 3.34 Misal.. Penjumlahan ( (Menezes et al
10 ( ℤ[ ]berderajad Definisi 3.35 Suatu polinomial irredusibel polinomial primitif jika disebut ( (Menezes et al generator dari Definisi 3.36 Misal E perluasan field dari field ℤ c E algebraic atas ℤ. Polinomial irreducible untuk c atas ℤ dari polinomial monik ( dinotasikan dengan irr(c ℤ derajad dari polinomial irreducible untuk c atas ℤ dinotasikan dengan deg(c ℤ (Rosdiana ℤ ( dengan Teorema 3.37 Misal ℤ deg unik dalam bentuk Setiap unsur Teorema 3.38 berderajad dari Diberikan ( 0 ( algebraic atas ℤ ℤ ( dapat dinyatakan secara ℤ (Rosdiana dimana polinomial ( ℤ [ ] irredusibel ℤ [ ]/ ( ℤ ( { grup field. Pada V didefinisikan aturan penjumlahan aturan perkalian skalar. disebut ruang vektor atas ℤ untuk semua }(Michaels Definisi 3.39 (Ruang Vektor Misal Untuk setiap jika memenuhi aksioma berikut. setiap tertutup terhadap perkalian : di bawah operasi penjumlahan abelian. setiap terdapat tunggal Untuk setiap 3. Untuk setiap 4. Untuk setiap 5. Untuk setiap 1 ; 1 unsur identitas di setiap ( setiap ( (... sehingga (Rosdiana Definisi 3.40 Misalkan V ruang vektor atas skalar misalkan A {v1 v2... vn} himpunan yang terdiri atas n vektor dalam V. A disebut bebas linear jika ( ni ci vi 0 ( i I {12 n} ci 0. Ingkarannya A disebut terpaut linear jika ( ni ci vi 0 j I {12 n} cj 0 (Guritman
11 Definisi 3.41 Misalkan V ruang vektor atas { } himpunan berhingga vektor-vektor di dalam V. Untuk menyatakan bahwa V ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada himpunan B dituliskan. Artinya integer. Definisi 3.42 Misalkan V ruang vektor atas B himpunan berhingga vektor-vektor di dalam V. Dikatakan B basis untuk V jika B bebas linear V B (Guritman ℤ. Jika deg basis {1 4 ℤ maka ℤ ( ruang vektor atas ℤ berdimensi- dengan } (Rosdiana Masalah Logaritma Diskret Definisi 4.1 (Logaritma Diskret Misalkan. Logaritma diskret generator integer unik 0 (Menezes et al Teorema 4.2 Misalkan Misal log ( algebraic atas perluasan field dari field ℤ Teorema 3.43 Misal log. dengan basis dinotasikan log 1 sedemikian generator grup siklik sebuah integer. Maka log ( grup siklik berorder (log mod (Menezes et al hingga berorder 0 2sehingga. log mod Definisi 4.3 (Masalah Logaritma Diskret Diberikan bilangan prima generator dari ℤ ℤ. Masalah logaritma diskret menentukan (Menezes et al Definisi 4.4 (Masalah Logaritma Diskret diperumum Diberikan grup siklik berorder generator menentukan 0 1sehingga Lemma 4.5 Jika order dari tidak kongruen modulo modulo (Lestari Masalah logaritma diskret (Menezes et al maka 1 saling 15
12 generator dari ℤ maka untuk setiap Teorema 4.6 Misalkan sehingga (Lestari ( Teorema 4.7 Setiap unsur (Rosdiana Lemma 4.8 Andaikan. Dipilih menggunakan iterasi untuk ada dibangkitkan oleh prima memenuhi ekivalen dengan akar dari persamaan : ( 1 sedemikian yang khas pada rentang 0 terdapat integer ℤ sehingga atau ( himpunan hingga diketahui ada fungsi untuk membangkitkan barisan ( untuk 0. Ada > 0 sehingga Lemma 4.9 Andaikan bahwa 1 dengan sehingga. Jika barisan menggunakan iterasi maka hasilnya akan sama dengan barisan ( ( untuk (Safaat bilangan-bilangan 0 bebas dipilih dari himpunan {1 2 }. Peluang bahwa setiap bilangan 1 berbeda (Safaat Sistem Persamaan Linear Definisi 5.1 Suatu persamaan linear dalam peubah (variabel persamaan dengan bentuk dimana bilangan-bilangan real peubah. Dengan demikian maka suatu sistem linear dari dalam persamaan peubah satu sistem berbentuk : dimana semuanya bilangan-bilangan real (Leon
13 Definisi 5.2 Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika konstantakonstanta di ruas kanan semuanya nol. Sistem-sistem homogen selalu konsisten (Leon Teorema 5.3 Sistem persamaan linear homogen > taktrivial jika 6 (Leon memiliki penyelesaian Algoritme Berlekamp s Q-matrix Algoritme 6.1 Algoritme Berlekamp s Q-Matrix Input : Polinomial monik bebas kuadrat Output : Faktorisasi Untuk Bentuk matriks 3. Tentukan basis setiap 5. { ( }. Untuk 1 dalam ( d alam polinomial irredusibel monik. matriks identitas 4. ( b erderajad 0. 1 hitung polinomial untuk ruang null pada matriks (. Banyaknya faktor irredusibel pada [ ]. mod ( dengan (. lakukan langkah berikut : 5.1 Untuk setiap polinomial ℎ( degℎ( > 1 lakukan langkah berikut Hitung gcd (ℎ( 6. untuk setiap ganti ℎ( pada dengan semua polinomial hasil perhitungan gcd yang berderajad Hasilnya polinomial-polinomial F yang berupa faktor-faktor irredusibel 7 ( ( (Menezes et al Kompleksitas Waktu Asimptotik Algoritme aritmetik yang dihasilkan dalam penelitian ini akan dianalisis dari segi fungsi kompleksitas waktu (time-complexity function yaitu sebagai fungsi untuk mengukur banyaknya operasi dalam suatu algoritme yang mempunyai variabel input. Yang dimaksud dengan banyaknya operasi banyaknya operasi dasar (jumlah kurang kali bagi ditambahkan dengan assignment perbandingan (ekspresi logika (Guritman Hal ini perlu 17
14 untuk mengetahui kinerja algoritme. Kinerja algoritme akan tampak untuk besar bukan pada kecil. Langkah pertama dalam pengukuran kinerja algoritme membuat makna sebanding. Gagasannya dengan menghilangkan faktor koefisien di (. Sebagai contoh andaikan bahwa kompleksitas waktu dalam ekspresi terburuk dari sebuah algoritme pertumbuhan dibandingkan 2 ( sebanding dengan 2 ( 2 suku 6 6. Suku-suku yang tidak mendominasi perhitungan pada rumus mengabaikan koefisien 2 ditulis ( ( berorder paling besar ( Teorema ( untuk 7.2 polinom derajad besar 1 menjadi tidak berarti ( dapat diabaikan sehingga kompleksitas waktu Definisi 7.1 Untuk ( (. ( ( (dibaca ( ( bila terdapat konstanta C Bila (dengan ( ( artinya ( sedemikian sehingga (Munir 200 ( maka ( ( (Munir 200 Setelah mendefinisikan fungsi ( untuk suatu algoritme kemudian dengan Tabel Oh-Besar (Menezes et al kita tentukan order dari sebagai ukuran efisiensi algoritme yang bersangkutan. Dalam tabel berikut diberikan beberapa bentuk Oh-Besar yang sering muncul dalam aplikasi analisis algoritme (Guritman Urutan batasan lebih baik disusun dari atas ke bawah. Tabel 7.1 Oh-Besar Bentuk Oh-Besar Nama O(1 O(log2 n O(n O(n log2 n O(n2 O(n3 m O(n m O(cn c > 1 O(n! konstan logaritmik linear n log2 n kuadratik kubik polinomial eksponensial faktorial 18
15 19
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma
Lebih terperinciEKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A
EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciBAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan hal-hal yang berhubungan dengan masalah dan bagaimana mengeksplorasinya dengan logaritma diskret pada menggunakan algoritme Exhaustive Search Baby-Step
Lebih terperinciLAPORAN PENELITIAN EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK
LAPORAN PENELITIAN EFISIENSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK PADA KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK Oleh : Dra. Eleonora Dwi W., M.Pd Ahmadi, M.Si FAKULTAS KEGURUAN DAN
Lebih terperinciEKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD?????? SALAMIA
EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD SALAMIA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone,
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Sekarang ini teknologi untuk berkomunikasi sangatlah mudah. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone, internet, dan berbagai macam peralatan
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)
I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciPERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Konstruksi Algoritme Aritmetik (5 ) Dengan Operasi Dibangkitkan Dari Sifat Grup siklik adalah karya saya dengan arahan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang
BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Pada bab ini dibahas landasan teori yang akan digunakan untuk menentukan ciri-ciri dari polinomial permutasi atas finite field.
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas landasan teori yang akan digunakan untuk menentukan ciri-ciri dari polinomial permutasi atas finite field. Hal ini dimulai dengan memberikan pengertian dari group
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciBAB III PERLUASAN INTEGRAL
BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, penjelasan, dan teorema yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang diberikan diantaranya adalah definisi
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. enkripsi didefinisikan oleh mod dan menghasilkan siferteks c.
enkripsi didefinisikan oleh mod dan menghasilkan siferteks c 3 Algoritme 3 Dekripsi Untuk menemukan kembali m dari c, B harus melakukan hal-hal berikut a Menggunakan kunci pribadi a untuk menghitung mod
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciLECTURE NOTES MATEMATIKA DISKRIT. Disusun Oleh : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA.
LECTURE NOTES MATEMATIKA DISKRIT Disusun Oleh : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA PONDOK CINA, MARET 2004 0 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... 1 BAB I STRUKTUR ALJABAR...
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian
Lebih terperinciAKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO
AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom
BAB 9 RING POLINOM Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. membahas tentang penerapan skema tanda tangan Schnorr pada pembuatan tanda
BAB II DASAR TEORI Pada Bab II ini akan disajikan beberapa teori yang akan digunakan untuk membahas tentang penerapan skema tanda tangan Schnorr pada pembuatan tanda tangan digital yang meliputi: keterbagian
Lebih terperinciBAB I Ring dan Ring Bagian
BAB I Ring dan Ring Bagian Sistem bilangan yang telah dikenal seperti bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan kompleks mempunyai dua operasi yang didefinisikan padanya yaitu penjumlahan dan pergandaan.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan
Lebih terperinciAnalisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN TEOREMA DAN LEMMA YANG DIBUTUHKAN DALAM KONSTRUKSI ARITMETIK GF(5m)
BAB III PEMBAHASAN TEOREMA DAN LEMMA YANG DIBUTUHKAN DALAM KONSTRUKSI ARITMETIK GF5m) Teori finite field mulai diperkenalkan pada abad ke tujuh dan abad ke delapan dengan tokoh matematikanya Pierre de
Lebih terperinciSYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Himpunan merupakan suatu kumpulan obyek-obyek yang didefinisikan. himpunan bilangan prima kurang dari 12 yaitu A = {2,3,5,7,11}.
BAB II KAJIAN TEORI A. Lapangan Berhingga Himpunan merupakan suatu kumpulan obyek-obyek yang didefinisikan dengan jelas pada suatu batasan-batasan tertentu. Contoh himpunan hewan berkaki empat H4 ={sapi,
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: GRUP
STRUKTUR ALJABAR: GRUP BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI Bandung 2016 1 A. Pendahuluan Ilustrasi 1.1: Perhatikan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciHimpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal
Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Universitas Sumatera Utara
5 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Kriptografi Kriptografi adalah ilmu yang mempelajari bagaimana mengirim pesan secara rahasia sehingga hanya orang yang dituju saja yang dapat membaca pesan rahasia tersebut.
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciEKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A
EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
5 BAB 2 LANDASAN TEORI Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu sistem aljabar dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada sistem aljabar tersebut. Struktur
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciKONSEP KETERBAGIAN PADA IDEAL DALAM RING Z[ ] DAN APLIKASINYA UNTUK PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOPHANTINE NON LINEAR. (Skripsi) Oleh KARINA SYLFIA DEWI
KONSEP KETERBAGIAN PADA IDEAL DALAM RING Z[ ] DAN APLIKASINYA UNTUK PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOPHANTINE NON LINEAR (Skripsi Oleh KARINA SYLFIA DEWI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciARITMETIK RING POLINOMIAL UNTUK KONSTRUKSI FUNGSI HASH BERBASIS LATIS IDEAL
ARITMETIK RING POLINOMIAL UNTUK KONSTRUKSI FUNGSI HASH BERBASIS LATIS IDEAL S. Guritman 1, N. Aliatiningtyas 2, T. Wulandari 3, M. Ilyas 4 Abstrak Sebagai hasil awal dari penelitian konstruksi fungsi hash
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor
BAB 5 GRUP FAKTOR Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciTeori Bilangan (Number Theory)
Bahan Kuliah ke-3 IF5054 Kriptografi Teori Bilangan (Number Theory) Disusun oleh: Ir. Rinaldi Munir, M.T. Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung 2004 3. Teori Bilangan Teori bilangan
Lebih terperinciPENGGUNAAN BIG O NOTATION UNTUK MENGANALISA EFISIENSI ALGORITMA
PENGGUNAAN BIG O NOTATION UNTUK MENGANALISA EFISIENSI ALGORITMA Ikhsan Fanani NIM : 13505123 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung E-mail : ikhsan_fanani@yahoo.com
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sejak tiga abad yang lalu, pakar-pakar matematika telah menghabiskan banyak waktu untuk mengeksplorasi dunia bilangan prima. Banyak sifat unik dari bilangan prima yang menakjubkan.
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum kita membahas mengenai uji primalitas, terlebih dahulu kita bicarakan beberapa definisi yang diperlukan serta beberapa teorema dan sifat-sifat yang penting dalam teori bilangan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori dalam aljabar dan teori bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan carmichael akan dibutuhkan definisi
Lebih terperinciELLIPTIC CURVE CRYPTOGRAPHY. Disarikan oleh: Dinisfu Sya ban ( )
ELLIPTIC CURVE CRYPTOGRAPHY Disarikan oleh: Dinisfu Sya ban (0403100596) SEKOLAH TINGGI SANDI NEGARA BOGOR 007 A. Fungsi Elliptic Curves 1. Definisi Elliptic Curves Definisi 1. : Misalkan k merupakan field
Lebih terperinciKONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT
KONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT Paridjo Pendidikan Matematika FKIP Universitas Pancasakti Tegal muhparidjo@gmail.com Abstrak Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan sistem bilangan Real
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan dari skripsi
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:
5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP)
Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : HENDRIJANTO, M.Pd FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA IKIP PGRI MADIUN M A D I U N 2011 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar teori berikut ini sangat penting dalam pembahasan
Lebih terperinci