Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
|
|
- Sugiarto Johan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan penjelasan mengenai sifat-sifat dasar suatu Grup, mahasiswa minimal 80% dapat : a. Mengidentifikasi suatu himpunan tak kosong terhadap operasi tertentu merupakan suatu Grup b. Membuktikan sifat-sifat sederhana suatu Grup c. Mengidentifikasi suatu himpunan bagian dari suatu Grup merupakan suatu Subgrup atau bukan d. Menentukan orde suatu Grup Deskripsi Singkat : Grup merupakan struktur aljabar dengan satu operasi biner. Dalam bab ini akan dibahas mengenai sifat-sifat atau syarat-syarat suatu Grup, himpunan bagian dari Grup yang merupakan Subgrup, serta menentukan orde suatu Grup. 33
2 3.1. Sifat-sifat Grup Pada bab 2, telah kita pelajari konsep semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner (grupoid terhadap penjumlahan atau perkalian) yang memiliki prasyarat tertutup dan assosiatif. Sedangkan monoid adalah suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner (semigrup terhadap penjumlahan atau perkalian) yang setiap anggotanya memiliki unsur satuan atau identitas. Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari definisi atau syaratsyarat dasar dari suatu Grup dan mengaplikasikannya kedalam contohcontoh soal sederhana, baik itu terhadap penjumlahan maupun terhadap perkalian. Adapun definisi mengenai Grup adalah : Definisi 3.1 : Suatu monoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika setiap anggotanya memliki unsur balikan atau invers, yaitu : a G a -1 G sehingga a * a -1 = a -1 * a = e Dengan kata lain, dari definisi tersebut dapat kita ketahui syaratsyarat dari suatu Grup yaitu memenuhi sifat monoid dan setiap anggotanya memiliki unsur balikan atau invers. Adapun untuk lebih jelasnya mengenai syarat-syarat suatu Grup akan dijabarkan dalam definisi berikut ini : Definisi 3.2 : Grupoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika memenuhi syarat-syarat : 1. Tertutup Misalkan a dan b adalah anggota G, maka a dan b tertutup bila a * b G 34
3 2. Assosiatif Misalkan a,b,c G maka (a * b) * c = a * (b * c) 3. Adanya unsur satuan atau identitas Misalkan a G maka a * e = e * a = a 4. Adanya unsur balikan atau invers Misalkan a G maka a * a -1 = a -1 * a = e Contoh 3.1 : Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Tunjukan bahwa G adalah suatu Grup terhadap perkalian (G,.). Penyelesaian : Tabel 3.1. Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G,.) Dari tabel 3.1. akan ditunjukan bahwa G = {-1, 1} merupakan suatu Grup terhadap perkalian (G,.), yaitu : 35
4 a. Tertutup Ambil sebarang nilai dari G misalkan -1 dan 1 G = -1 karena hasilnya -1 G, maka tertutup terhadap G b. Assosiatif Ambil sebarang nilai dari G misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 G (a. b). c = (-1. -1). 1 = 1. 1 = 1 a. (b. c) = 1. (-1. -1) = 1. 1 = 1 Sehingga (a. b). c = a. (b. c) = 1 maka G assosiatif c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian) Ambil sebarang nilai dari G misalkan -1 G -1. e = e. (-1) = -1 misalkan 1 G 1. e = e. 1 = 1 maka G ada unsur satuan atau identitas d. Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1 G, pilih -1 G, sehingga -1. (-1) = 1 = e, maka (-1) -1 = -1 Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 G, pilih 1 G, sehingga 1. 1 = 1 = e, maka (1) -1 = 1 maka G ada unsur balikan atau invers Jadi, G = {-1, 1} merupakan Grup terhadap perkalian (G,.). 36
5 Contoh 3.2 : Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian : Tabel 3.2. Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) Berdasarkan daftar Cayley dari tabel 3.2. Operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka operasi penjumlahan G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap himpunannya. Sehingga G= {-1, 1} adalah bukan suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +). Contoh 3.3 : Misalkan G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah merupakan himpunan dari Z 6 Tunjukan bahwa G adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +). 37
6 Penyelesaian : Tabel 3.3. Daftar Cayley G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G, +) Dari tabel 3.3. akan ditunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +), yaitu : a. Tertutup Ambil sebarang nilai dari G misalkan 0, 1, 2, 3, 4, 5 G = = = = 0 38
7 karena hasilnya 0, 3, 4, 5 G, maka tertutup terhadap G b. Assosiatif Ambil sebarang nilai dari G misalkan a = 2, b = 4 dan c = 5 G (a + b) + c = (2 + 4) + 5 = = 5 a + (b + c) = 2 + (4 + 5) = = 5 Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = 5 maka G assosiatif c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan) Ambil sebarang nilai dari G misalkan 0 G 0 + e = e + 0 = 0 misalkan 1 G 1 + e = e + 1 = 1 misalkan 2 G 2 + e = e + 2 = 2 misalkan 3 G 3 + e = e + 3 = 3 misalkan 4 G 4 + e = e + 4 = 4 misalkan 5 G 5 + e = e + 5 = 5 maka G ada unsur satuan atau identitas d. Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G, sehingga = 0 = e, maka (0) -1 = 0 Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 G, pilih 5 G, sehingga = 0 = e, maka (1) -1 = 5 39
8 Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G, sehingga = 0 = e, maka (2) -1 = 4 Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 3 G, pilih 3 G, sehingga = 0 = e, maka (3) -1 = 3 Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G, sehingga = 0 = e, maka (4) -1 = 2 Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 5 G, pilih 1 G, sehingga = 0 = e, maka (5) -1 = 1 maka G ada unsur balikan atau invers Jadi, G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan Grup terhadap penjumlahan (G, +). Assosiatif SEMIGRUP Identitas GRUPOID Tertutup Assosiatif Identitas MONOID Invers Assosiatif Identitas Invers GRUP Gambar 3.1. Bagan dari suatu Grup 40
9 Bila suatu Grup memenuhi sifat komutatif, dimana a * b = b * a, maka Grup tersebut dinamakan Grup Komutatif atau Grup Abelian. Adapun definisinya adalah sebagai berikut : Definisi 3.3 : Suatu grupoid (G,*) dikatakan Grup Komutatif (Grup Abelian), jika memenuhi syarat-syarat : 1. Tertutup Misalkan a dan b adalah anggota G, maka a dan b tertutup bila a * b G 2. Assosiatif Misalkan a,b,c G maka (a * b) * c = a * (b * c) 3. Adanya unsur satuan atau identitas Misalkan a G maka a * e = e * a = a 4. Adanya unsur balikan atau invers Misalkan a G maka a * a -1 = a -1 * a = e 5. Komutatif Misalkan a,b G maka a * b = b * a Contoh 3.4 : Dari contoh 3.1, tunjukan bahwa G = {-1, 1} adalah suatu Grup Komutatif / Grup Abelian terhadap perkalian (G,.). Penyelesaian : Dari contoh 3.1, telah ditunjukan bahwa G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap perkalian (G,.). 41
10 Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Grup tersebut. Ambil sebarang nilai dari G : misalkan -1 dan 1 G (pada tabel 4.1.) = (-1) = -1 sehingga = 1. (-1) = -1 Karena Grup tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Grup tersebut adalah Grup Komutatif atau Grup Abelian terhadap perkalian (G,.). Contoh 3.5 : Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup Komutatif / Grup Abelian terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian : Dari contoh 3.3, telah ditunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +). Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Grup tersebut. Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 dan 5 G (pada tabel 4.3.) = = 0 sehingga = = 0 Karena Grup tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Grup tersebut adalah Grup Komutatif atau Grup Abelian terhadap penjumlahan (G, +). Ada beberapa sifat dari suatu Grup, yang akan dijelaskan dalam teorema berikut ini : 42
11 Teorema 3.1 : Misalkan (G,.) adalah suatu Grup, maka : a. Jika a G, maka (a -1 ) -1 = a b. Jika a, b G, maka (ab) -1 = b -1 a -1 Bukti : a. Dari sifat unsur satuan atau identitas, diketahui a -1. a = e = a. a -1, maka dapat dikatakan bahwa a unsur balikan dari a -1. Dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (a -1 ) -1 = a. b. (ab) (b -1 a -1 ) = ((ab) b -1 ) a -1 = (a (bb -1 )) a -1 = (ae) a -1 = aa -1 = e Dengan cara yang sama didapat : (b -1 a -1 ) (ab) = b -1 (a -1 (ab)) = b -1 ((a -1 a) b) = b -1 (eb) = b -1 b = e Sehingga dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (ab) -1 = b -1 a -1 Dalam operasi penjumlahan (+), teorema tersebut dapat ditulis sebagai berikut : Teorema 3.2 : Misalkan (G, +) adalah suatu Grup, maka : a. Jika a G, maka -(-a) = a b. Jika a, b G, maka -(a + b) = (-b) + (-a) Teorema 3.3 : (Hukum Penghapusan) Misalkan (G,.) adalah suatu Grup dan a, b, x G, maka : a. Jika xa = xb, maka a = b (penghapusan kiri) b. Jika ax = bx, maka a = b (penghapusan kanan) Bukti : a. Misalkan xa = xb maka : x -1 (xa) = x -1 (xb) (x -1 x) a = (x -1 x) b 43
12 ea = eb sehingga : a = b (penghapusan kiri) b. Misalkan ax = bx maka : (ax) x -1 = (bx) x -1 a (x -1 x) = b (x -1 x) ae = be sehingga : a = b (penghapusan kanan) berikut : Dalam operasi penjumlahan (+), teorema 4.3, dapat ditulis sebagai Teorema 3.4 : (Hukum Penghapusan) Misalkan (G, +) adalah suatu Grup dan a, b, x G, maka : 1. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri) 2. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan) 3.2. Subgrup Pada sub pokok bahasan ini akan diperkenalkan Subgrup yang merupakan bagian dari Grup. Secara harfiah Subgrup dapat diartikan sebagai grup bagian yang mempunyai sifat-sifat dari Grup. Adapun definisinya adalah sebagai berikut : 44
13 Definisi 3.5 : Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan H G. (H,*) dikatakan Subgrup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu Grup terhadap operasi yang ada dalam (G,*). Dari definisi tersebut dapat diartikan bahwa untuk membuktikan bahwa (H,*) adalah Subgrup dari Grup (G,*), harus melalui langkahlangkah sebagai berikut : 1. Harus ditunjukan bahwa H G 2. Harus ditunjukan bahwa (H,*) merupakan suatu Grup Contoh 3.6 : Dari contoh 3.1, tunjukan bahwa H = {1} adalah merupakan Subgrup dari G = {-1, 1} terhadap perkalian (G,.). Penyelesaian : H = {1} merupakan himpunan bagian dari G = {-1, 1}, sehingga H G. Dari tabel 3.1. akan ditunjukan H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu Grup : a. Tertutup misalkan 1 H dan 1. 1 = 1 karena hasilnya 1 H, maka tertutup terhadap H b. Assosiatif misalkan a = 1, b = 1 dan c = 1 H (a. b). c = (1. 1). 1 = 1. 1 = 1 a. (b. c) = 1. (1. 1) = 1. 1 = 1 Sehingga (a. b). c = a. (b. c) = 1, maka H assosiatif c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian) Ambil sebarang nilai dari G misalkan 1 G 45
14 1. e = e. 1 = 1 maka G ada unsur satuan atau identitas d. Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 G, pilih 1 G, sehingga 1. 1 = 1 = e, maka (1) -1 = 1 maka G ada unsur balikan atau invers Jadi, H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H,.) merupakan Subgrup dari (G,.). Contoh 3.7 : Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian : H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H G. Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup : a. Tertutup Ambil sebarang nilai dari H misalkan 0, 2, 4 H = = = = = = 2 karena hasilnya 0, 2, 4 H, maka tertutup terhadap H 46
15 b. Assosiatif Ambil sebarang nilai dari H misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 H (a + b) + c = (2 + 2) + 4 = = 2 a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = = 2 Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = 2 maka H assosiatif c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan) Ambil sebarang nilai dari G misalkan 0 G 0 + e = e + 0 = 0 misalkan 2 G 2 + e = e + 2 = 2 misalkan 4 G 4 + e = e + 4 = 4 maka G ada unsur satuan atau identitas d. Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G, sehingga = 0 = e, maka (0) -1 = 0 Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G, sehingga = 0 = e, maka (2) -1 = 4 Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G, sehingga = 0 = e, maka (4) -1 = 2 maka G ada unsur balikan atau invers e. Adanya unsur satuan atau identitas Ambil sebarang nilai dari H misalkan 4 H 4 + e = = 4 47
16 e + 4 = = 4 Sehingga : 4 + e = e + 4 = 4 maka H ada unsur satuan atau identitas f. Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 H 4 + (-4) = 4 4 = 0 = e (-4) + 4 = = 0 = e Sehingga : 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e maka H ada unsur balikan atau invers Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, +) merupakan Subgrup dari (G, +). Contoh 3.8 : Dari contoh 3.3, tunjukan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +). Penyelesaian : H = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H G. Akan ditunjukan H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu Grup : Ambil sebarang nilai dari H misalkan 2, 3 H Dari tabel 4.3. didapat : = 5 5 G tetapi 5 H, sehingga 5 tidak tertutup terhadap operasi biner (H, +) Maka H = {1, 2, 3} bukan merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 48
17 Contoh 3.9 : G = {-1, 1} adalah Subgrup dari (Z,.), tetapi bukan merupakan Subgrup dari (Z, +) karena operasi di Z dan di G = {-1, 1} tidak sama Orde Suatu Grup Misalkan G adalah suatu Grup dan a G, a merupakan unsur atau anggota atau elemen dari Grup. Unsur dari grup ini dapat membentuk atau membangun suatu Subgrup, jumlah dari unsur suatu Grup atau Subgrup tersebut disebut orde. Definisi 3.6 : Misalkan (G,*) adalah suatu Grup. Banyaknya unsur-unsur dari Grup (G,*) disebut orde dari Grup (G,*), dilambangkan dengan G. (G,*) disebut Grup hingga bila G terhingga (finite) dan disebut Grup tak hingga bila G tak hingga. Definisi 3.7 : Orde dari suatu unsur a dalam suatu Grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga a n = e (e = 1, untuk perkalian) dan na = e (e = 0, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga. Contoh 3.10 : Orde dari Grup (Z, +) dan (Z,.) adalah tak hingga. 49
18 Contoh 3.11 : Orde dari Grup G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah 6 dan orde dari Subgrup H = {0, 2, 4} adalah 3. Contoh 3.12 : Tentukan Subgrup dari Grup (Z 4,+) dan tentukan orde dari masing-masing Subgrup. Penyelesaian : Grup Z 4 = {0, 1, 2, 3}, orde dari Grup Z 4 = 4. Subgrup dari unsur-unsur Z 4 adalah : Misal n = 0, 1, 2, 3 dan H a = {na, n Z 4 ) a = 0 H 0 = {0} sehingga H 0 = 1 a = 1, H 1 = {1, 2, 3, 0} sehingga H 1 = 4 a = 2, H 2 = {2, 0} sehingga H 2 = 2 a = 3, H 3 = {3, 2, 1, 0} sehingga H 3 = 4 50
19 3.4. Rangkuman 1. Grupoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika memenuhi syarat-syarat : a. Tertutup b. Assosiatif c. Adanya unsur satuan atau identitas d. Adanya unsur balikan atau invers 2. Suatu Grup dikatakan Grup Komutatif atau Grup Abelian jika memenuhi syarat-syarat dari Grup dan mempunyai sifat Komutatif. 3. (H,*) dikatakan Subgrup dari Grup (G,*), bila memenuhi langkahlangkah sebagai berikut : a. Harus ditunjukan bahwa H G b. Harus ditunjukan bahwa (H,*) merupakan suatu Grup Dengan kata lain, (G,*) adalah suatu Grup dan H G. (H,*) dikatakan Subgrup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu Grup terhadap operasi yang ada dalam (G,*). 4. Misalkan (G,*) adalah suatu Grup. Banyaknya unsur-unsur dari Grup (G,*) disebut orde dari Grup (G,*), dilambangkan dengan G. (G,*) disebut Grup hingga bila G terhingga (finite) dan disebut Grup tak hingga bila G tak hingga. 5. Orde dari suatu unsur a dalam suatu Grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga a n = e (e = 1, untuk perkalian) dan na = e (e = 0, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga. 51
20 3.5. Soal-soal Latihan 1. Misalkan G = {x Z + } yang didefinisikan operasi biner pada G dengan a * b = a + b + ab, untuk semua a, b G. Tunjukan apakah (G,*) merupakan suatu Grup dan periksa apakah (G,*) juga merupakan Grup Abelian. 2. Misalkan Q + adalah bilangan rasional positif, didefinisikan operasi biner ab a * b = untuk a, b Q +. Buktikan apakah operasi biner tersebut 3 merupakan Grup dan periksa apakah juga merupakan Grup Abelian. 3. Misal G adalah Grup matriks 2 x 2, didefinisikan: i i 0 G = ±, ±, ±, ± i Buktikan G adalah Grup Abelian terhadap operasi biner perkalian (G,.). 4. Misalkan (G, +) adalah suatu Grup Buktikan : a. -(-a) = a, a G b. -(a + b) = (-b) + (-a), a, b G 5. Misalkan (G, +) adalah suatu Grup dan a, b, x G Buktikan : a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri) b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan) 52
21 6. Misalkan G adalah suatu Grup dan H G dengan H 0 dan H terhingga. Buktikan bahwa H suatu Subgrup dari G jika H tertutup terhadap operasi yang ada dalam G. 7. Tentukan Subgrup yang dibangun oleh unsur-unsur dari Grup (Z 9,+) dan tentukan orde dari masing-masing Subgrupnya. 53
Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid
BAB 2 SEMIGRUP DAN MONOID Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid Tujuan Instruksional Khusus : Setelah
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciTUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP
TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP KELOMPOK 8 1. I WAYAN AGUS PUTRAWAN (2008.V.1.0093) 2. I KADEK DWIJAYAPUTRA (2008.V.1.0094) 3. I KETUT DIARTA (2008.V.1.0123) 4. AGUS EKA SURYA KENCANA (2008.V.1.0043)
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal
BAB 7 SUBRING DAN IDEAL Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
Lebih terperinciSOAL DAN PENYELESAIAN RING
SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)
I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciPROSIDING ISBN : Dhian Arista Istikomah, S.Si, M.Sc 1. Abstrak
KARAKTERISASI E SEMIGRUP Dhian Arista Istikomah, S.Si, M.Sc A- Universitas PGRI Yogyakarta dhian.arista@gmail.com Abstrak Dalam suatu semigrup terdapat himpunan elemen idempoten yang menjadi latar E semigrup
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: GRUP
STRUKTUR ALJABAR: GRUP BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI Bandung 2016 1 A. Pendahuluan Ilustrasi 1.1: Perhatikan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciHIMPUNAN BILANGAN KOMPLEKS YANG MEMBENTUK GRUP
HIMPUNAN BILANGAN KOMPLEKS YANG MEMBENTUK GRUP WAHIDA A. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Wahyuni Abidin Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Wahdaniah Info: Jurnal
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
5 BAB 2 LANDASAN TEORI Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu sistem aljabar dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada sistem aljabar tersebut. Struktur
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciRING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA
BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring Tujuan Instruksional
Lebih terperinciUNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA F A K U L T A S M I P A
Fakultas : FMIPA Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah/Kode : Aljabar Abstrak I, MAT 309 Jumlah SKS : Teori=3 sks; Praktek= Semester : Genap Mata Kuliah Prasyarat/kode : Teori Bilangan, MAT
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor
BAB 5 GRUP FAKTOR Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciBAB 3 STRUKTUR ALJABAR DAN CONTOH
BAB 3 STRUKTUR ALJABAR DAN CONTOH Pada bab sebelumnya kita telah membicarakan definisi dari struktur aljabar, dan grupoid merupakan salah satu contohnya. Pada permulaan bab ini akan dibahas beberapa struktur
Lebih terperinciIDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring
Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 41 46 (2013) IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring YOHANA YUNET BAKARBESSY 1, HENRY W. M. PATTY
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciGRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA
GRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Grup Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciRencana Perkuliahan. Kelas : A, B, C, D. SKS/JS : 3/3 : Yus Mochamad Cholily
Rencana Perkuliahan Jurusan : Matematika Mata Kuliah : Struktur Aljabar Semester : IV (empat) Kelas : A, B, C, D. SKS/JS : 3/3 Pengajar : Yus Mochamad Cholily 1. Pendahuluan. Struktur Aljabar atau dikenal
Lebih terperinciBAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI PROGRAM. pengujian struktur aljabar, yaitu implementasi sistem tersebut dan juga evaluasi dari
BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI PROGRAM Pada bab 4 ini akan dijelaskan mengenai hasil dari rancangan program aplikasi pengujian struktur aljabar, yaitu implementasi sistem tersebut dan juga evaluasi dari
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP)
Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : HENDRIJANTO, M.Pd FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA IKIP PGRI MADIUN M A D I U N 2011 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar teori berikut ini sangat penting dalam pembahasan
Lebih terperinciDiktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : FEBRUL DEFILA, S.Pd
Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : FEBRUL DEFILA, S.Pd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SUMATERA BARAT 2012 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciSEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II
ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.
Lebih terperinciSILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN
SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Struktur Aljabar/PMK 719 2. Jumlah SKS : 3 SKS 3. Jurusan / Program Studi : PMIPA / Pendidikan Matematika 4.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciBABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI
BABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI Soal-soal osnpertamincom di download di www.osnpertamincom 1 Olimpiade Sains Nasional Perguruan Tinggi Indonesia 2010 Petunjuk : 1. Tuliskan secara
Lebih terperinciGrup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari
Grup Permutasi dan Grup Siklis Winita Sulandari Grup Permutasi Suatu Permutasi dari suatu himpunan berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari himpunan S pada dirinya
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh
Lebih terperinciTeorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik ( )
Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik (20110060311101) Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik Program
Lebih terperinciPERBEDAAN SIFAT KOSET DAN KOSET SMARANDACHE TUGAS AKHIR
ERBEDAAN SIFAT KOSET DAN KOSET SMARANDACE TUGAS AKIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh : NIKI OKTAFIANA 00087 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian serta sistematika penulisan dari penyusunan skripsi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciSOAL. Pada himpunan bilangan real, selidiki apakah merupakan grup terhadap operasi yang didefinisikan sebagai berikut: PEMBAHASAN
Halo! Kali ini aku mau membahas soal ujian tengah semester (UTS) mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar I di Prodi Matematika FMIPA UGM pada tahun akademik 2014/2015. Dosen pengampunya adalah Bu Sri Wahyuni.
Lebih terperinciProduk Cartesius Semipgrup Smarandache
Jurnal Matematika Vol. 2 No. 2, Desember 2012. ISSN : 1693-1394 Produk Cartesius Semipgrup Smarandache Yuliyanti Dian Pratiwi Sekolah Tinggi Teknik Wiworotomo Purwokerto e-mail: dianhilal@gmail.com Abstract:
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciBILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8.
BILANGAN CACAH a. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, Bilangan cacah disajikan
Lebih terperinciBAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN PROGRAM. Untuk membuat sistem perlu dilakukan analisa sistem tersebut sehingga dapat
BAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN PROGRAM 3.1 Analisis Sistem Untuk membuat sistem perlu dilakukan analisa sistem tersebut sehingga dapat diketahui tahapan dan proses yang dibutuhkan sistem agar program (perangkat
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciELEMEN PEMBANGUN ( DALAM SEMIGRUP - ( Y.D. Sumanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstrak
ELEMEN PEMBANGUN ( DALAM SEMIGRUP - ( Y.D. Sumanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Misalkan M himpunan tak kosong dan ( himpunan operasi biner assosiatif pada M. Jika untuk setiap (, ( ( ( dan untuk
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Drs. R. J. Pamuntjak, M.Sc. S PENDAHULUAN istem persamaan linear yang muncul hampir dalam semua penerapan aljabar linear, juga sangat diperlukan sebagai landasan dalam pembahasan bagian lain
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum
Lebih terperinciBAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI
BAB 2 KONSEP DASAR Pada bab 2 ini, penulis akan memperkenalkan himpunan, fungsi dan sejumlah konsep awal yang terkait dengan semigrup, dimana sebagian besar akan sangat diperlukan hingga bagian akhir dari
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah 2 30/8/2014 2
30/8/2014 1 Aljabar Linier Kuliah 2 30/8/2014 2 Bab 1 Subpokok Bahasan Ruang Vektor Subruang Subruang Lattice Jumlah Langsung Himpunan Pembangun dan Bebas Linier Dimensi Ruang Vektor Basis Terurut dan
Lebih terperinciMATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan
MATEMATIKA 1 Silabus: Logika, Teori Himpunan, Sistem Bilangan, Grup, Aljabar Linier, Matriks, Fungsi, Barisan dan deret, Beberapa Cara pembuktian Pengertian Himpunan Pengantar Teori Himpunan Himpunan adalah
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang
BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup
Lebih terperinciSemigrup Legal Dan Beberapa Sifatnya
Semigrup Legal Dan Beberapa Sifatnya A 19 Oleh : Soffi Widyanesti P. 1, Sri Wahyuni 2 1) Soffi Widyanesti P.,Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta dyansofi@rocketmail.com
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta diakhiri dengan sistematika penulisan. 1.1 Latar
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih
Lebih terperinciGRAF PANGKAT PADA SEMIGRUP. Nur Hidayatul Ilmiah. Dr. Agung Lukito, M.S.
GRAF PANGKAT PADA SEMIGRUP Nur Hidayatul Ilmiah Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya. mia_ilmiah99@yahoo.com Dr. Agung Lukito, M.S. Jurusan Matematika,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinci