OPTIMASI TAKLINEAR. (berdasarkan data-data penelitian, disertai program MATLAB 6.5 ) Dr. H.A. Parhusip

Transkripsi

1

2 OPTIMASI TAKLINEAR (berdasarkan data-data peneltan, dserta program MATLAB 6.5 ) Dr. H.A. Parhusp G R A F I K A Penerbt Tsara Grafka SALATIGA 4

3 Katalog Dalam Terbtan 59.7 PAR Parhusp, H. A. o Optmas taklner (berdasarkan data-data peneltan, dserta program MATLAB 6.5) / H. A. Parhusp. -- Salatga : Tsara Grafka, 4., hlm. ; 5 cm. ISBN Lner programmng.. Mathematcal analyss. 4. MATLAB. I. Ttle. Cetakan pertama : Maret 4 ISBN : Hak Cpta : Pada Penuls Edtor : Dr. Wdowat Desan Sampul : Tsara Grafka Tata letak : Harre Sswanto Percetakan : Tsara Grafka Penerbt : Tsara Grafka Hak Cpta dlndung oleh Undang-undang Dlarang mengutp atau memperbanyak sebagan atau seluruh buku n tanpa sejn penuls Dterbtkan oleh: G R A F I K A JL. DIPONEGORO 98 D - SALATIGA JAWA TENGAH Telp.: Fa : Moble: emal: harss_5@yahoo.com, harresswanto@gmal.com Bank: BNI Cabang Salatga No. Rek

4 Ddedkaskan kepada suam dan anak tercnta

5 v

6 PRAKATA Fakultas Sans dan Matematka (FSM) Unverstas Krsten Satya Wacana (UKSW) merupakan salah satu Fakultas Sans yang menekankan peneltannya pada aplkas sans dan matematka. Adapun aplkas yang dmaksud terkat dengan lngkungan sektar UKSW yatu Salatga, Jawa Tengah dan sektarnya sepert berbaga kasus ndustr kecl dan perusahaan dar pemerntah maupun nstans swasta. Kasus yang dhadap serngkal memerlukan pemrograman untuk dapat menyelesakan. Program yang dgunakan umumnya adalah MATLAB, MAPLE, GEOGEBRA untuk matematka determnstc dan SPSS, Ecell dan R untuk pengolahan data statstk. Program-program n juga banyak dbutuhkan pada berbaga perusahaan. Oleh karena tu teknk menggunakan program-program tersebut perlu dketahu. Pada buku n dperkenalkan penggunaan program MATLAB dalam menterjemahkan problem optmas. Selan untuk kebutuhan pada duna kerja, MATLAB juga banyak dgunakan pada keperluan rset pada berbaga jenjang akademk (S hngga S). Jad program yang dsedakan pada buku n juga untuk memberkan wawasan bag penelt awal. Kurangnya buku ber-isbn yang sesua dengan peneltan d FSM (bahkan belum ada) sangat memungknkan agar segera buku n dapat dbuat dan dapat dmanfaatkan secara umum terlebh lag adanya dorongan yang terus menerus untuk mendsan peneltan yang berkualtas. Buku n dharapkan dapat menjembatan kebutuhan-kebutuhan tersebut d atas dan buku yang berbass peneltan n dapat terus dperbaharu sesua dengan peneltan yang berkembang d FSM bahkan pada lngkungan yang lebh luas pada masa mendatang. Salatga, Maret 4 Dr. Suryasatrya Trhandaru, MSc.nat, S.S. Dekan Fakultas Sans & Matematka Unverstas Krsten Satya Wacana v

7 v

8 KATA PENGANTAR Penggunaan komputer pada perkulahan aras S sekarang khususnya matematka sangat dperlukan khususnya mata kulah yang terkat dengan aplkas matematka sepert metode numerk, pemodelan matematka, program lnear, optmas lnear dan tak lnear dan komputas matematka. Demkan pula beberapa mata kulah dasar sepert kalkulus dan aljabar lnear juga sangat ddukung oleh komputer. Sehubungan dengan hal tu, buku-buku ajar yang mendukung untuk mahasswa dapat menganalsa hasl keluaran dar program juga sangat jarang. Selan tu, buku-buku bdang terkat dalam bahasa Inggrs mempunya lustras kasus yang muncul dar negara Eropa atau Amerka. Sedangkan mahasswa serngkal menjumpa kasus justru dengan data dan kasus dar daerah lokal setempat. Kesenjangan dalam menganalsa dan contoh kongkrt yang kurang mendorong penuls untuk menyusun buku n. Buku n dtujukan pada mahasswa matematka S pada khususnya dan pengguna matematka pada umumnya yang bergelut dengan masalah optmas. Untuk tulah buku n dsusun. Program yang terkat dengan algortma yang dtuls juga dsajkan dalam bahasa MATLAB secara bertahap sehngga pembaca dapat meng-copy program dengan mudah. Cara mengemukakan hasl analsa umumnya bermasalah bag mahasswa. Panduan cara menganalsa juga dberkan pada buku n sehngga pengguna/mahasswa dapat mengkut cara mengemukakan pendapat. Cara membaca buku n Pembaca perlu memaham optmas pada kalkulus dan bahasa MATLAB. Teor-teor terkat pada kalkulus dulas kembal pada Bab, sehngga bag pengguna matematka yang kurang memaham kalkulus dapat mengkut. Untuk memenuh konds krts (stasoner) umumnya dperlukan menyelesakan persamaan taklnear dan sstem persamaan taklnear. Hal n dapat dbaca pada Bab 7. Pembaca dapat belajar MATLAB mula dar Bab untuk memaham teor yang dberkan. Sepanjang Bab - Bab 7 dberkan program yang dapat v

9 dpelajar dan modul cara menganalsa. Demkan pula soal-soal yang memuat hasl-hasl peneltan juga dsajkan khususnya pada Bab 6 dan dlanjutkan pada Bab 7. Tentunya mash banyak kekurangan penuls dalam menyusun buku n. Saran dan pendapat yang mendukung perbakan buku n sangatlah dharapkan. Salatga, Maret 4 Penuls v

10 DAFTAR ISI PRAKATA KATA PENGANTAR DAFTAR ISI v v Bab DASAR-DASAR OPTIMASI TAKLINEAR -48. Permasalahan Optmas dengan Satu Varabel. Optmum Global dan Lokal. Fungs Cembung (conve) dan fungs cekung (concave).4 Permasalahan Optmas dengan Multvarabel 6.4. Maksmum Lokal dan Global 6.5 Metode-metode dasar untuk optmas 8.5. Metode penyelesaan untuk masalah opt-msas berkendala 8 persamaan.5. Persyaratan Kuhn-Tucker.5. Metode Fnalt (Penalty Method) 6.6 Beberapa defns pentng 8.6. Tak Bebas Lnear dan Bebas Lnear 8.6. Kombnas Konveks 9.6. Hmpunan Konveks Penyelesaan Ttk Ekstrm.7 Metode Numerk untuk Optmas tanpa kendala.7. Metode Golden Search (GS).8 Optmas dar peneltan 4 Bab PEMROGRAMAN KUADRATIK Bentuk standar 49. Optmas Pemrograman Kuadratk (Quadratk programmng QP) 5. Menggambar fungs tujuan dengan MATLAB 55.4 Lathan Soal 57 Bab FUNGSI-FUNGSI OPTIMASI PADA MATLAB Fungs fmncon ( ) 6. Optmas dengan kendala persamaan dan tdak persamaan 68. Optmas Pemrograman Kuadratk 7.4 Fungs fmnma () 7.5 Fungs lsqln dan lsqnonln 7.6 Lathan Soal 76

11 Bab 4 PEMROGRAMAN STOKASTIK Program Lnear Stokastk 8 4. Pemrograman Stokastk Nonlnear 94 Bab 5 METODE MODERN DALAM OPTIMASI Smulas Annelng (SA) Algortma SA untuk optmas Cr-cr alogortma SA 5. Optmas dengan kolon semut Sfat perlaku semut Lntasan kembal dan memperbaharu Peremon Penguapan jejak Peromon 9 Algortma 5.4. Algortma Genetk Kelahran Algortma Genetk Representas varabel dsan (varabel keputusan) 5.4. Representas fungs tujuan dan kendala Reproduks, Crossover dan mutas Crossover 5 Crossover program (dan mutas) 9 Bab 6 KEGIATAN PENELITIAN BERDASARKAN HASIL-HASIL 9-8 OPTIMASI DARI PENELITIAN Kegatan Peneltan A 9 Kegatan Peneltan B 46 Kegatan Peneltan C 5 Kegatan Peneltan D 54 Kegatan Peneltan E 57 Kegatan Peneltan G: Optmas dengan kendala 65 Kegatan Peneltan H 7 Kegatan Peneltan I 75 Bab 7 SISTEM PERSAMAAN TAK LINIEAR 8-7. Persamaan Taklnear 8 7. Sstem Persamaan Taklnear Metode Newton Metode Broyden Sstem Persamaan Taklnear dengan fungs fsolve pada MATLAB 6

12 Bab DASAR-DASAR OPTIMASI TAKLINEAR Masalah optmas pada dasarnya memnmalkan atau memaksmalkan fungs tujuan. Karena memaksmalkan suatu fungs tujuan sama artnya memnmalkan negatf dar fungs tujuan, maka hampr pada keseluruhan pembahasan buku n membahas tentang memnmalkan fungs tujuan. Selan tu, adanya kendala serngkal membatas hasl yang dperoleh. Akan tetap untuk dapat mempelajar sfat-sfat umum dalam optmas, kta membahas masalah optmas tanpa kendala terlebh dahulu. Secara matemats, kta harus mengetahu terlebh dahulu ada tdaknya pemnmal sebelum mencar nla mnmal fungs tujuan. Oleh karena tu berbaga cara mengenal ada tdaknya pemnmal dbahas lebh lengkap.. Permasalahan Optmas dengan Satu Varabel berbentuk: mnmumkan : dmana Sebuah program tak lnear satu varabel yang tak berkendala f z f (.) adalah sebuah fungs (tak lnear) dar varabel tunggal, dan pencaran nla optmumnya (maksmum atau mnmum) dtnjau dalam selang tak berhngga,. Jka pennjauannya dbatas pada selang berhngga [a,b], maka persoalannya menjad: mnmumkan : z f (.) dengan kendala : a b yang merupakan sebuah program tak lnear satu varabel yang berkendala. OPTIMASI TAKLINEAR

13 . Optmum Global dan Lokal relatf) d Sebuah fungs obyektf * sedemkan sehngga fungs n ddefnskan. Jka f memlk sebuah mnmum lokal (atau jka terdapat sebuah selang (yang kecl) yang berpusat d * f f * f f * untuk semua dalam selang n dmana untuk semua dalam selang n dmana fungs n ddefnskan, maka fungs mnmum d * (d sampng adalah lokal) adalah suatu mnmum global atau mutlak. Maksmummaksmum lokal dan global ddefnskan dengan cara yang sama tetap dengan tanda ketdaksamaan yang terbalk. Contoh. Fungs yang dgambarkan pada Gambar hanya ddefnskan pada R Fungs n memlk mnmum relatf pada ttk B dan D dan maksmum relatf pada ttk A dan C Gambar. Fungs f() =(² - 4) ( - 4) ( - ) ( + ) dengan mnmum dan maksmum lokal Berkut n teorema yang mendefnskan mnmum lokal dan maksmum lokal maupun global. Dasar-Dasar Optmas Taklnear

14 Teorema. : Jka maka f pada selang n. Teorema. : Jka f kontnu pada selang tertutup dan terbatas [a,b], memlk optmum global (bak maksmum maupun mnmum) f memlk optmum lokal d ddefnskan pada sebuah selang kecl yang berpusat ' * f. Inlah syarat mendapatkan ttk *. Teorema. : Jka kecl yang berpusat d f memlk sebuah mnmum lokal d f * dan jka f d dapat *, maka dapat ddefnskan dua kal pada sebuah selang * ' *, dan jka memlk sebuah maksmum lokal d '' * f * ' *. Jka *. f, maka f '' * f dan f Dar kedua teorema yang pertama n dperoleh bahwa jka f, maka kontnu d [a,b], maka optmum lokal dan global akan terjad dantara ttk-ttk dmana ' f (yang pada umumnya dsebut ttk-ttk stasoner atau ttk krts, atau antara ttk-ttk ujung dkembangkan pada optmas fungs multvarabel. a dan b). Selanjutnya teorema n Salah satu cara mengenal ada tdaknya pemnmum fungs tujuan adalah dengan mengenal sfat fungs tujuan yatu apakah fungs tujuan cembung ( conve) atau cekung (concave) sebagamana ddefnskan pada subbab berkut.. Fungs Cembung (conve) dan fungs cekung (concave) fungs varabel Sebuah fungs f adalah cembung pada sebuah selang (berhngga atau tak berhngga),jka untuk setap dua ttk dan semua berlaku d dalam dan untuk OPTIMASI TAKLINEAR

15 (.) Jka pernyataan (.) berlaku dengan tanda pertdaksamaan yang terbalk, maka f cekung, dan sebalknya. Teorema.4: Jka maka f " f adalah cekung. Jad, negatf dar sebuah fungs cembung adalah f adalah cembung pada dalam. " Fungs cekung f Teorema.5: Jka f f f f dapat terdferensal dua kal pada suatu nterval dalam. adalah suatu mnmum global pada. Jka cembung pada, maka setap mnmum lokal pada f cekung pada, maka setap maksmum lokal pada adalah suatu maksmum global pada. Tdak ada jamnan bahwa metode numerk akan menemukan suatu maksmum global. Dapat terjad bahwa metode n hanya konvergen ke suatu maksmum lokal atau lebh buruk lag, sama sekal tdak konvergen. Perkecualannya adalah pada program-program yang memlk fungs obyektf yang cekung (concave functon). fungs multvarabel Kta perlu mengenal beberapa defns pentng berkut n. Vektor graden f yang berkatan dengan sebuah fungs f,,,..., n yang semua turunan pertamanya ada, ddefnskan sebaga f f f f,,..., n T (.4.a) 4 Dasar-Dasar Optmas Taklnear

16 Notas f * menunjukkan nla graden d * dalam berbaga arah. Untuk smpangan yang kecl dar * dalam berbaga arah, maka arah yang * memberkan pertambahan maksmum dalam f( ) adalah arah vektor f *. Contoh. Untuk f,,, dengan T *,,,maka : f 6 sehngga f * Untuk menyeldk sfat pengoptmum (pemaksmum atau pem - nmum) maka kta menyeldk tanda dar pada fungs varabel (menurut Teorema.). Secara sama, kta perlu membangun konds untuk fungs tujuan multvarabel. Hal n dtunjukkan dengan tanda dar matrks Hessan fungs tujuan f,...,, n pada ttk krts *. Jka ada tanda postf atau negatf untuk suatu skalar, maka perlu ada notas postf atau negatf yang dperumum untuk matrks.. Matrks Hessan yang berkatan dengan sebuah fungs f,,..., n yang memlk turunan-turunan kedua yang kontnu adalah: H f f j, j,,,..., n OPTIMASI TAKLINEAR 5

17 Berdasarkan komponennya, matrks Hessan dtuls dalam bentuk: H f f f f n f f f n Notas H menunjukkan nla dar matrks Hessan d * f.. f f *. n n (.4.b) *,, Contoh. Untuk fungs dar contoh., dan T maka 6 6 H f sehngga H f = * 8 7 Beberapa contoh masalah optmas yang berkendala maupun tanpa kendala dtunjukkan sebaga berkut: a). mn f (,, ) kendala,, b). ma,, ) f ( c). mn,, ) kendala 4 f (,, 6 Dasar-Dasar Optmas Taklnear

18 Selanjutnya notas postf dan negatf untuk matrks yang dgunakan untuk matrks Hessan ddefnskan sebaga berkut. Defns berkut n kurang aplkatf tetap lebh bersfat umum. Defns.5 : Sebuah matrks smetrs A berukuran n n (yang memlk sfat A = A T ) adalah sem negatf tegas (defnte negatve) jka T A untuk setap vektor yang berdmens n. Jka T A < untuk setap vektor maka A d atas dsebut negatf tegas ( defnte negatve). Secara sama dapat ddefnskan untuk sem postf tegas (defnte postve). Matrks smetrs yang akan dbahas adalah matrks Hessan Teorema berkut terkadang dgunakan untuk menguj sfat matrks Hessan. Teorema.6: Msalkan A a j sebuah matrks smetrs n n ddefnskan determnan-determnan a a A a A A a a a a a dan a a a n a a a... A n det A (.5) Matrks A adalah negatf tegas ( defnte negatve) jka dan hanya jka A,A,...,A n semuanya negatf. Dengan kata lan A adalah sem negatf tegas ( defnte negatve) jka dan hanya jka A, A, A A (r < n) semuanya negatf dan A yang terssa semuanya nol. r k,, Teorema berkut n serng dgunakan untuk menguj sfat matrks Hessan pada masalah optmas. Teorema.6.b: Suatu matrks smetrs sem negatf tegas (defnte negatve) (sem defnte negatve) untuk semua dalam D yatu setap nla egen matrks tersebut lebh kecl atau sama dengan. OPTIMASI TAKLINEAR 7

19 Contoh.4 Untuk H f pada Contoh., A * = >, maka H f bukan negatf tegas (defnte negatve) ataupun sem negatf tegas (sem defnte negatve) d Kta kembal pada defns konveks dan konkaf untuk fungs tujuan multvarabel. Perhatkan bahwa varabel bebas dber notas vektor yang artnya merupakan multvarabel d n R. * Sehngga notas dferensal menjad notas gradent (dengan operator nabla, atau dtuls ). Sepanjang buku n, maka yang dmaksud dengan vektor adalah merupakan daftar blangan sebanyak n. Defns.6.c: Sebuah fungs f adalah sem cembung (sem conve) pada suatu daerah konveks D, jka untuk dua vektor sembarang dan y dan untuk semua berlaku f ( ( ) y) f ( ) ( ) y (.6.a) Sebuah fungs adalah sem cekung ( sem concave) pada D jka dan hanya tanda pada persamaan (.6.a) sebalknya pada D yatu f ( ( ) y) f ( ) ( ) y. (.6.b) Jka tanda sama tdak berlaku pada persamaan (.6.a) maka f dkatakan sangat cembung ( strctly conve) dan dkatakan sangat cekung (strctly concave) pada persamaan (.6.b). Daerah konveks D dapat berhngga atau tak berhngga. Teorema.7.a : Jka f memlk turunan parsal kedua pada D, maka f cekung pada D jka dan hanya jka matrks Hessan H f sem negatf tegas ( defnte negatve) (sem defnte negatve) untuk semua dalam D yatu setap nla egen matrks dar matrks Hessan H f lebh kecl atau sama dengan. 8 Dasar-Dasar Optmas Taklnear

20 Teorema.7.b : Jka f cekung pada D, maka setap maksmum lokal pada D adalah suatu maksmum global pada D. Jka fungs f adalah cembung (conve) dan terdferensal d n R, maka ttk * f jka memenuh adalah pemnmum global pada fungs konds stasoner yatu f *. (.7) Bukt: jka f adalah cembung dan terdferensal, maka dmlk f * * * f f Tetap jka fungsnya stasoner d ttk * f berlaku * * * f f * * * * f f, sehngga dapat dkatakan bahwa dan * *,. adalah pemnmum global. * f adalah vektor Perhatkan cara menulskan perkalan. Karena * perlu notas dot product. juga vektor, sedangkan hasl perkalan haruslah skalar, maka Defns fungs cembung dan cekung serngkal membngungkan mahasswa. Untuk tu stud secara khusus tentang hal n dapat ddukung dengan yang dtunjukkan sebaga berkut n. Kegatan. Tujuan: Stud konveks Menyeldk apakah f ( ( ) y) f ( ) ( ) y pada doman konveks yang ddefnskan. dpenuh, untuk Kegatan A: Kta akan menguj stud konveks fungs f, ) 5 pada D = R. ( OPTIMASI TAKLINEAR 9

21 Fungs n dapat dgambar dengan MAPLE untuk menambahkan vsualsas fungs tersebut yang dtunjukkan pada perntah dan Gambar. > plotd(5*^ + **y + y^ + * *y +, =-5..5, y=-5..5); Gambar.. Grafk fungs f, ) ( 5 Pada kta tdak bsa menyeldk pada semua bdang semua nla. Hal n karena kta perlu mendskrtkan data. Kta akan menyeldk tahap dem tahap. Tahap. Perhatkan notas ( ) y jka dtulskan atas komponen-komponennya maka y ( ) y = + ( ) ( ) y =. y ( ) y u Kta akan menyebut u ( ) y =. u ( ) y Sehngga untuk menyeldk f, ) conve Dasar-Dasar Optmas Taklnear ( 5 atau strctly conve (Teorema.7.a-..7.b) adalah mengerjakan/menyeldk pertdak-samaan. f ( u) f ( ) ( ) f ( y) atau f ( u) f ( ) ( ) f ( y) R dan untuk

22 dpenuh atau tdak. Msal dambl D adalah gars =, Studkonveks.m dengan s sebaga berkut =.5 buat fle dengan nama %stud konveks lamda=.5; %memlh D adalah hmpunan ttk-ttk pada gars = c=; y=-5::5; n=length(y); =c*ones(,n); plot(,y,'-') as([- - ]) y=[' y'] v()=y(,) v()=y(,) vy()=y(,) vy()=y(,) u()=lamda*v() + (-lamda)*vy() u()=lamda*v() + (-lamda)*vy() fu=5*u()^ + *u()*u() + u()^ - u() + *u() + f=5*v()^ + *v()*v() + v()^ - v() + *v() + fy=5*vy()^ + *vy()*vy() + vy()^ - vy() + *vy() + Kanan=lamda*f + (-lamda)*fy Bandng=[fu Kanan] Keluaran program dapat dperoleh dengan mengetk program pada layar MATLAB >> Studkonveks (Enter) Pembahasan hasl program: Pada hasl menunjukkan bahwa fungs memenuh konds sebaga fungs konveks. Akan dseldk selanjutnya untuk berbaga nla. Kegatan. Membandngkan stud konveks untuk berbaga nla, msal nama fle adalah Studkonveks.m OPTIMASI TAKLINEAR

23 %stud konveks lamda=lnspace(,,); %memvaras lamda %memlh D adalah hmpunan ttk-ttk pada gars = c=; y=-5::5; n=length(y); =c*ones(,n); plot(,y,'-') as([- - ]) y=[' y'] v()=y(,) v()=y(,) vy()=y(,) vy()=y(,) pl=length(lamda); fu=zeros(pl,); Kanan=zeros(pl,); for =:pl u()=lamda()*v() + (-lamda())*vy() u()=lamda()*v() + (-lamda())*vy() fu()=5*u()^ + *u()*u() + u()^- u() + *u() + f=5*v()^ + *v()*v() + v()^ - v() + *v() + fy=5*vy()^ + *vy()*vy() + vy()^ - vy() + *vy() + Kanan()=lamda()*f + (-lamda())*fy end Bandng=[lamda' fu Kanan] fgure,plot(:pl,fu,'*',:pl,kanan,'o') Keluaran Gambar dtunjukkan pada Gambar.. Gambar.. Hasl perbandngan f ( ( ) y) dan f ( ) ( ) y Dasar-Dasar Optmas Taklnear

24 Kegatan : Stud Konveks Seldklah fungs-fungs berkut n conve atau strctly conve pada hmpunan conve yang ddefnskan Jawab : Program pada Matlab : f ( on D = R, ) / / clear close all %stud konveks lamda = lnspace(,,); %memvaras lamda %memlh D adalah hmpunan ttk-ttk pada gars = y = -5::5; n = length (y); for c = : = c*ones(,n); subplot(,,),plot(,y,'-') as ([- - ]) hold on y = [' y'] v() = y(,) v() = y(,) vy() = y(,) vy() = y(,) pl = length (lamda); fu=zeros(pl,); kanan=zeros(pl,); for =:pl u() = lamda()*v() + (-lamda())*vy() u() = lamda()*v() + (-lamda())*vy() fu() = (u().^ )./+ (.*u().^)./+ (sqrt()).*u().*u() f = (v().^ )./+ (.*v().^)./+ (sqrt()).*v().*v() fy = (vy().^ )./+ (.*vy().^)./+ (sqrt()).*vy().*vy() kanan() = lamda()*f + (-lamda())*fy end bandng = [lamda' fu kanan] subplot(,,),plot (:pl,fu,'*') hold on subplot(,,),plot (:pl,kanan,'o') end hold off OPTIMASI TAKLINEAR

25 Keluaran dtunjukkan pada Gambar.4. Gambar.4. Hasl perbandngan f ( ( ) y) dan f ( ) ( ) y dengan memvaras dar [,] sebanyak angka untuk f (, ) / /. Kesmpulan: f (, ) / / adalah strctly conve (konveks tegas) Kegatan 4. Kegatan 4 akan menguj cembung atau cekung untuk fungs 8 f ( ) ( ) ln(. 4 Dasar-Dasar Optmas Taklnear ) Tahap. Program clear close all %stud konveks lamda=lnspace(,,);%memvaras lamda %memlh D adalah hmpunan ttk-ttk pada gars = y=-5::5; n=length(y); for c=: =c*ones(,n); subplot(,,),plot(,y, - ); as([-. - ]) hold on y=[ y ] v()=y(,) v()=y(,)

26 vy()=y(,) vy()=y(,) pl=length(lamda); fu=zeros(pl,) kanan=zeros(pl,) for =:pl u()=lamda()*v() + (-lamda())*vy() u()=lamda()*v() + (-lamda())*vy() fu()=5*u().^+*u()*u()+u().^-u()+*u()+ f=5*v().^+*v()*v()+v().^-v()+*v()+ fy=5*vy().^+*vy()*vy()+vy().^-vy()+*vy()+ kanan()=lamda()*f + (-lamda())*fy end bandng=[lamda fu kanan] subplot(,,),plot(:pl,fu, * ) hold on subplot(,,),plot(:pl,kanan, o ) end hold off Tahap. Keluaran program hanya dtunjukkan dalam Gambar.5 Gambar.5. Hasl perbandngan f ( ( ) y) dan f ( ) ( ) y dengan memvaras dar [,] sebanyak angka untuk 8 f ( ) ( ) ln( ). OPTIMASI TAKLINEAR 5

27 Berdasarkan Gambar.5 dan data menunjukkan bahwa fungs tesebut adalah strctly conve (< <) menurut defns karena hasl bandng untuk setap adalah y..4 Permasalahan Optmas dengan Multvarabel Pada kasus n akan dpelajar optmas tak lnear dengan lebh dar satu varabel. Tetap dsn hanya akan dtnjau bentuk analog dar (.): mnmumkan : z = f( ), (.7) dmana,..., T, n merupakan vektor pada D. Bentuk persamaan (.7) sebaga optmas tak berkendala. Selanjutnya, kta akan selalu menganggap optmsas dalam persamaan (.7) sebaga maksmsas; semua haslnya dapat dterapkan pada program mnmsas jka f( ) dgant dengan -f( )..4. Maksmum Lokal dan Global Suatu persektaran * dengan jar-jar ( neghbourhood, > ) adalah hmpunan dar semua vektor yang sedemkan rupa sehngga: ( * - ) T ( * - ) * * * * n \... n Dalam stlah geometrs, sebuah persektaran * adalah bagan dalam (nteror) dan batas ( boundary) dar sebuah bola berdmens-n yang berjarjar dan berpusat d *. Sebuah fungs obyektf f( * ) memlk suatu maksmum lokal d, * * jka terdapat suatu persektaran f untuk sedemkan hngga f( ) semua dalam berjarak dmana fungsnya ddefnskan. Jka persyaratan 6 Dasar-Dasar Optmas Taklnear

28 n dpenuh untuk setap yang postf (cukup kecl), maka f( ) memlk suatu maksmum global d *. Kta akan mengngat kembal syarat maksmum dan mnmum global yang dtunjukkan pada kalkulus pada teorema 8- berkut n, Hasl-hasl dar Kalkulus Teorema.8: Jka f( ) kontnu pada suatu daerah yang tertutup dan terbatas, maka f( ) memlk suatu maksmum global ( dan suatu mnmum global pada daerah tu ). Teorema.9: Jka f( ) memlk suatu maksmum lokal ( atau mnmum lokal ) d * dan jka f terdefns pada beberapa persektaran * berjarak maka f =. Teorema. : Jka f( ) memlk turunan-turunan kedua pada suatu persektaran sektar *, dan jka f = dan H f adalah negatf tegas (defnte negatve), maka f( ) memlk suatu maksmum lokal d *. Dar teorema.9 dan teorema. dapat dsmpulkan bahwa maksmum global dar suatu fungs kontnu f( ) tercapa dttk-ttk dmana f = (ttk stasoner) kecual jka fungsnya memlk nla-nla yang besar sekal bla T. Untuk keadaan yang terakhr, fungs tdak memlk maksmum global. Penyelesaan analtk dengan menggunakan kalkulus untuk program multvarabel lebh sult darpada untuk program satu varabel, karena tu sekal lag kta gunakan untuk pendekatan maksmum lokal ke dalam tolerans yang dperbolehkan. OPTIMASI TAKLINEAR 7

29 Contoh.6 Masalah optmsas takberkendala: 4 mn Secara jelas f & f, f,, mnmum. Grad f dberkan oleh: f, 4 ; dsn (,) adalah solus global 4 4 Sehngga pada (,) ddapat, () f..5 Metode-metode dasar untuk optmas.5. Metode penyelesaan untuk masalah optmsas berkendala persamaan Secara umum masalah optmsas yang berkendala persamaan berbentuk: Maksmumkan z = f( ) (.8) dengan kendala: g ( ) = g ( ) = g m ( ) = dengan,..., T, n, dan m < n ( jumlah kendala < jumlah varabel). Sepert halnya dalam optmas lnear basa, program mnmsas dapat dubah ke dalam program maksmsas dengan mengalkan fungs obyektf dengan -. Bentuk standar bag program-program taklnear yang mengandung kendalakendala pertdaksamaan adalah: Maksmumkan z = f( ) (.9) dengan kendala: 8 Dasar-Dasar Optmas Taklnear

30 g ( ) g ( )... g m ( ) dan. Program-program taklnear yang tdak dalam bentuk standar (.9) dpecahkan dengan merubahnya ke bentuk standar atau dengan merubah prosedurprosedur penyelesaan yang dberkan d bawah n untuk program-program dalam bentuk standar. Metode Pengal Lagrange Untuk memecahkan masalah (.8), maka pertama kal kta membentuk fungs Lagrange L,,,..., n,,,,... m f( m ) ( ) (.) dmana,, m,..., g adalah tetapan-tetapan (yang tdak dketahu) yang dsebut pengal Lagrange. Lalu kta pecahkan sstem n+m persamaan L j (j =,,...,n) (.) dan L ( =,,...,m). (.c) Teorema.: Jka masalah (.) memlk suatu penyelesaan, maka penyelesaan n terdapat dantara penyelesaan-penyelesaan bag sstem (.), asalkan f( ) dan g ( ) ( =,,...,m) memlk turunan-turunan parsal pertama yang kontnu dan matrks Jacob m n, dengan OPTIMASI TAKLINEAR 9

31 memlk rank m d = *. J g j Metode pengal Lagrange n ekuvalen dengan menggunakan persamaan kendala untuk menghlangkan beberapa varabel tertentu dar fungs obyektf dan kemudan memecahkan persoalan maksmsas tanpa kendala dalam varabel-varabel yang terssa. Contoh.7. Mnmalkan dengan metode pengal Langrange untuk masalah fungs tujuan dengan kendala persamaan Mn () = + (A.a) h ( ) (A.b) Kta bsa menggantkan kendala persamaan = ke fungs tujuan sehngga masalah n menjad optmas tak berkendala sebaga Mn () = + ( ) = (A.c) yang dapat dengan mudah dpecahkan dengan menetapkan turunan dar hal n. ( ) = 4 4 =, Atau, kta dapat menerapkan metode pengal Lagrange sebaga berkut: Mnnmumkan (, λ) = + + ( + ) Dasar-Dasar Optmas Taklnear

32 Gambar.6 Fungs obyektf dengan kendala contoh.7 Program MATLAB untuk menglustraskan Gambar.6 dtunjukkan berkut n clear close all [X,Y] = meshgrd(-:.5:); Z = X.^ + Y.^; meshc(x,y,z); hold on Z=X + Y-; meshc(x,y,z); hold off L Konds ekstrem adalah sehngga =. Secara sama dperoleh L L sehngga /. Demkan pula. Dperoleh. Dalam contoh n, penggantan (lnear) kendala persamaan lebh mudah darpada metode pengal Lagrange. Namun, tdak selalu terjad, sepert yang dgambarkan oleh contoh berkut. Contoh.8 Memnmalkan masalah kendala taklnear OPTIMASI TAKLINEAR

33 Mn f (, ) dmana kendalanya adalah h (, ) =. Dengan cara yang sama, kta perlu menyusun fungs pengal Lagrange yatu L,,. Dperoleh / sehngga /. Sekarang, dalam rangka untuk membertahu apakah masng-masng adalah mnmum atau maksmum, kta harus menentukan postf atau negatf tegas dar turunan kedua (matrks Hessan). = (, λ) = = λ λ Matrks n postf / negatf tegas ( defnte negatve) jka tanda λ adalah postf / negatf. Oleh karena tu penyelesaan (, ) = (-, -) sesua dengan λ mnmum =(lokal) yang ngn kta dapatkan, sedangkan solus (, ) = (, ) berkatan dengan / adalah maksmum (lokal)..5. Persyaratan Kuhn-Tucker Secara umum masalah optmsas yang berkendala pertdaksamaan berbentuk: mnmalkan: f ( ) persamaan dan dengan kendala : Dasar-Dasar Optmas Taklnear h ( ) = ; g ( ). (.) Kta perlu menyusun fungs pengal Lagrange yang melbatkan kendala persamaan dan kendala pertdaksamaan L m p,, f h g j untuk =,,m dan j=,,p (..a) Perhatkan bahwa banyaknya varabel (n), banyaknya kendala persamaan (m) dan kendala pertdaksamaan ( p) tdak harus sama. Secara analog, untuk * * * mendapatkan nla optmal yatu,, maka kta perlu menyelesakan j j

34 L,,. Bentuk n merupakan bentuk sstem persamaan yang bas taklnear yang terdr dar ( n + m +p) persamaan. Umumnya urutan sstem persamaan dengan menyusun turunan L terhadap masng-masng varabel, kemudan barulah turunan L terhadap masng-masng parameter. Konds Karush Kuhn Tucker dtunjukkan berkut n. Teorema. (konds Kuhn Tucker): Anggap bahwa fungs adalah kontnu dan terdferensal, dan * f, h, g adalah feasble dan memenuh kendala. Maka syarat cukup untuk optmum lokal pada * harus ada suatu * dan * Contoh.8 dengan kendala: sedemkan hngga: L f * j g j m p * * * * * h g * ; j,..., p mn j ; ; 4. ; (..b) Bentuk kendala belum memenuh bentuk baku sehngga perlu dtuls dalam bentuk baku (menurut persamaan (.) yatu ; ; 4. Langkah pertama dsusun pengal Lagrange, yatu: L (,, ) ) 4. Dengan persyaratan Kuhn-Tucker ddapat: L L (. OPTIMASI TAKLINEAR

35 L L,, Akan dselesakan dengan per kasus. Kasus:. berkut: Dperoleh solus. Pada kasus n, dperoleh sstem persamaan sebaga 4. dan, sehngga tdak memenuh. Hal n bertentangan dengan kendala Kasus :. Dperoleh solus,,, dengan kendala ketga. Sehngga juga tdak dpenuh. Kasus :,. Ddapat : juga bertentangan Tdak memenuh persyaratan Kuhn-Tucker, karena nla adalah negatf. Kasus 4:,. Ddapat: ; ; ; 4. Hasl n memenuh persyaratan Kuhn-Tucker, sehngga solus optmumnya adalah,,, 4. Sekarang dengan memperhatkan kendala yang dberkan, maka pada kasus d atas akan dselesakan dengan metode pengal Lagrange. 4 Dasar-Dasar Optmas Taklnear

36 OPTIMASI TAKLINEAR 5 Contoh.9 Dengan fungs yang dberkan adalah : mnmumkan,, z y z y f dengan kendala: R z y z y g z y g,, Tahap : susun fungs pengal Lagrange: Dtuls g z y f z y L,,,,,, ( ) dmana m,...,,, adalah tetapan-tetapan (yang tdak dketahu) yang dsebut pengal Lagrange. Tahap : pecahkan sstem 5 persamaan yang telah dbentuk dengan: j L (j =,,); L ( =,) atau dtuls, T j L L L, j=,, ; =,. Sehngga dar masalah contoh.8 dapat dsusun pengal Lagrange, yatu:,,,, g g f g g f L z y z y z y Lalu kta pecahkan sstem persamaan d atas dengan: L 6

37 L y y L y 5 7 z L -y+5z-9 = L 6+y-7z- =. Sstem dapat dtuls dalam bentuk sstem persamaan lnear A = b dengan solus (bantuan MATLAB) 6 Dasar-Dasar Optmas Taklnear =.45 ;y= -.997; z= ; Metode Fnalt (Penalty Method) Metode Fnalt dgunakan untuk menyelesakan kasus dmana kasus mula-mula adalah memaksmalkan w (fungs tujuan) tanpa kendala. Sedangkan Metode Fnalt basa dgunakan untuk memnmalkan fungs dengan kendala. Untuk menggunakan metode n maka masalah optmas harus dsusun dalam bentuk umum sebaga berkut Anggap bahwa f (), g ( ),, () mempunya turunan parsal pertama yang kontnu d berkendala yatu g dlakukan proses sebaga berkut g m n R. Untuk menyelesakan masalah optmas mnmalkan f ( ) dengan kendala ( ), g ( ),..., g ( ), R m n (P..a) (). Untuk setap blangan bulat postf k (dsebut parameter Fnalt), anggap (Peressn,988) * k adalah pemnmum global untuk fungs Fnalt yatu m Pk ( ) f ( ) k g ( ). (P..b)

38 Notas () g menyatakan bahwa untuk suatu kendala (), maka fungs () ddefnskan sebaga g g () = g (). Tunjukkan bahwa subbarsan * k * untuk masalah (P..a)-(P..c). jka g ( ). (P..c) ( ) jka g ( ) g konvergen pada suatu penyelesaan Oleh karena fungs kendala dnyatakan dalam bentuk persamaan (P..c) maka dperlukan adanya jamnan bahwa h( ) [ g ( )] juga mempunya turunan pertama parsal yang kontnu d pada Lemma. berkut n. n R. Hal n dtunjukkan Lemma. : Jka g( ) mempunya turunan parsal pertama yang kontnu d berlaku juga h( ) [ g ( )]. Selan tu turunan parsal tersebut adalah h( ) g g ( ) ( ), untuk semua =,,,n untuk semua Bukt : (Peressn,et.all,988). Secara umum metode Fnalt dtunjukkan oleh Teorema berkut n. n R, hal n n R. Teorema.4: Anggap bahwa f ( ), g ( ),, () g m kontnu d n R dan f () n terbatas ke bawah d R (yatu terdapat suatu konstan c sehngga berlaku n c f () untuk semua * R ). Jka F suatu penyelesaan pada masalah (P..a) yatu mnmalkan f ( ) dengan kendala g( ), g ( ),..., g m ( ), OPTIMASI TAKLINEAR 7

39 dan jka setap blangan bulat postf k, terdapat suatu mn Pk ( k ) Pk ( ), n R R k n sehngga maka (). P ( ) P ( * ) f ( ) untuk setap blangan bulat postf k k lm k m k k F (). ( ) k g k Sebaga konsekuens, jka jka maka. k P adalah subbarsan lm { k P k P } ** adalah penyelesaan untuk problem (P..a). Bukt: (Peressn,et.all,988) ** k yang konvergen dan.6 Beberapa defns pentng.6. Tak Bebas Lnear dan Bebas Lnear Sebuah hmpunan vektor-vektor berdmens m, P, P,..., adalah tak bebas lnear jka terdapat konstanta-konstanta tdak semuanya nol, sedemkan hngga P n,...,n yang P... n P (.) n Teorema.5: Setap hmpunan vektor berdmens m + atau lebh dar m adalah tak bebas lnear. Sebuah hmpunan vektor berdmens m, P, P,......, P n adalah bebas lnear jka satu-satunya nla konstanta untuk (.) berlaku adalah.... n 8 Dasar-Dasar Optmas Taklnear

40 .6. Kombnas Konveks Vektor P yang berdmens m adalah kombnas konveks dar vektor berdmens m P, P,.... P n j, n yang jumlahnyaa adalah, sedemkan rupa sehngga P P... np n ka terdapat konstanta-konstanta tak negatf (.4).6. Hmpunan Konveks Sebuah hmpunan vektor berdmens m adalah konveks jka untuk dua vektor yang termasuk dalam hmpunan n berlaku bahwa penggal gars antara kedua vektor juga termasuk dalam hmpunan n. Contoh. Prngan yang darsr pada Gambar.8 kr adalah sebuah hmpunan konveks karena penggal gars antara dua buah ttk sembarangnya (vektor -vektor berdmens ) semuanya berada dalam prngan n. Gambar.8 kanan tdak konveks, karena meskpun R dan S termasuk pada hmpunan berbayangan, tetap terdapat ttk-ttk sepert T yang terletak pada penggal gars antara R dan S tetap bukan merupakan bagan dar daerah bntang. Gambar.8 Ilustras doman konveks (kr) dan yang tdak konveks (kanan) Sebuah vektor P adalah ttk ekstrm dar sebuah hmpunan konveks jka a tdak dapat dnyatakan sebaga kombnas konveks dar dua buah vektor lannya dalam hmpunan n, artnya sebuah ttk ekstrm tdak terletak OPTIMASI TAKLINEAR 9

41 pada penggal gars yang manapun antara dua buah vektor sembarang dalam hmpunan n. Teorema.4: Setap vektor dalam sebuah hmpunan konveks tertutup dan terbatas dengan sejumlah berhngga ttk ekstrm dapat dnyatakan sebaga gabungan konveks dar ttk-ttk ekstrm. Teorema.5: Ruang penyelesaan dar sehmpunan sstem persamaan lnear yang serempak (smultan) adalah konveks yang memlk sejumlah berhngga ttk ekstrm Penyelesaan Ttk Ekstrm Msalkan adalah hmpunan dar semua penyelesaan layak dar program lnear dalam bentuk standar, yatu, adalah hmpunan semua vektor yang memenuh A b dan. Dar teorema.5 dan kenyataan bahwa rsan dar hmpunan-hmpunan konveks adalah juga hmpunan konveks, maka kesmpulannya adalah bahwa merupakan hmpunan konveks yang memlk sejumlah berhngga ttk ekstrm. Catatan : Fungs tujuan mencapa optmumnya (maksmum atau mnmum) pada sebuah ttk ekstrm dar, asalkan ada sebuah optmum. Catatan : Jka A berorde m n (m bars dan n kolom) dengan m n, maka ttk-ttk ekstrm dar memlk sekurang-kurangnya n m komponen yang nol..7 Metode Numerk untuk Optmas tanpa kendala Masalah optmas untuk kasus nyata umumnya melbatkan berbaga kendala. Akan tetap untuk menyusun teor, maka keadaan deal (tanpa kendala) dapat terlebh dahulu dsusun. Dasar-Dasar Optmas Taklnear

42 .7. Metode Golden Search (GS) Metode n berlaku untuk masalah mnmsas yang dbatas sedemkan rupa sehngga nterval solus [a, b] dketahu dan f () adalah unmodal dalam nterval, yatu tanda f () berubah dalam [a, b] sehngga f () menurun/menngkat monoton untuk [a, ] / [,b], dmana adalah solus yang kta car. Golden search (GS) drangkum ddalam program "GS". Algortma GS n dtunjukkan pada prosedur berkut. Prosedur G.S Langkah. Ambl dua ttk c = a + ( - r) h dan d = a + rh dalam nterval [a,b],dmana = dan h = b - a. Langkah. Jka nla-nla f () pada dua ttk yang hampr sama [yatu, f (a) f (b)] dan lebar nterval cukup kecl (yatu, h ), kemudan berhent teras untuk keluar dar loop dan menyatakan = c atau = d tergantung pada apakah f (c) < f (d) atau tdak. Jka tdak, lanjutkan ke Langkah. Langkah. Jka f (c) < f (d), barkan nla-nla f() baru terbatas pada nterval b d, jka tdak, barkan nla-nla f() baru yang lebh rendah terbatas pada nterval a c. Lalu, ke Langkah. Kta akan menggunakan MATLAB Program "UtamaGS.m", yang dgunakan untuk menemukan ttk mnmum. Contoh. Fungs Tujuan untuk memnmumkan persamaan yang dketahu sebaga berkut ( ) = ( 4) 8 OPTIMASI TAKLINEAR

43 Untuk dapat menglustraskan f(), dalam Gambar.9 kta dapat menggunakan Geogebra sepert pada Gambar.9 n. Gambar.9. Ilustras ( ) = Dar Gambar.9 kta menglustraskan fungs f() untuk melhat gambar agar lebh mudah dlhat dan dbayangkan. Dengan Kalkulus, fungs f() akan dturunkan untuk mengetahu nla mnmumnya dmana fungs f() dtuls dalam bentuk ( ) = ( 4) 8 = = 8 = =. Dperoleh nla-nla yang memenuh konds krts adalah = = =. Program "GS" Berkut n adalah program yang terkat. functon [o,fo] = opt_gs(f,a,b,r,tolx,tolfun,k) h = b - a; rh = r*h; c = b - rh; d = a + rh; fc = feval(f,c); fd = feval(f,d); f k <= (abs(h) < TolX & abs(fc - fd) < TolFun) f fc <= fd, o = c; fo = fc; else o = d; fo = fd; end Dasar-Dasar Optmas Taklnear

44 f k ==, fprntf('just the best n gven # of teratons'), end else f fc < fd, [o,fo] = opt_gs(f,a,d,r,tolx,tolfun,k - ); else [o,fo] = opt_gs(f,c,b,r,tolx,tolfun,k - ); end end Program "UtamaGS.m" f7 = nlne('(.*-4).^/8-',''); a = ; b = ; r =(sqrt(5)-)/; TolX = e-4; TolFun = e-4; MaIter = ; [o,fo] = opt_gs(f7,a,b,r,tolx,tolfun,maiter) Langkah 4: Keluaran pada MATLAB Xo=. fo= -. Pembahasan : Secara matemats maka = dan Hasl MATLAB = Perhatkan hal berkut tentang proses golden search. Pada setap teras, lebar nterval baru b - c = b - (a + ( - r) (b - a)) = rh atau d - a = a + rh - a = rh sehngga menjad r kal lebar nterval lama (b - a = h). r raso golden adalah tetap sehngga ttk = h = h dperbaharu pada nterval [c, b] sesua dengan d = a + rh= b - ( - r) h, yatu =. + =, = =. OPTIMASI TAKLINEAR

45 Untuk selanjutnya akan dtunjukkan proses optmas dmana data dperoleh dar peneltan..8 Optmas dar peneltan Proyek. Kasus Pertanan Pada (Parhusp dan Ayunan,9) telah dtunjukkan bahwa hjauan sebaga varabel domnan untuk berat sap yang produktf menghaslkan susu. Hal n dlakukan dengan menggunakan Prncpal Componen Analyss. Selan hjauan terdapat beberapa varabel lan yang dukur sepert pupuk urea, lngkar dada, garam dapur, ketela untuk mempelajar berat sap yang optmal dalam menghaslkan produks susu sap. Data dobservas setap har selama.5 bulan, dar tanggal 5 Jul 8 sampa dengan Agustus 8. Data dperoleh dar Peternakan Rakyat Dukuh Belon, Kelurahan Kumpulrejo, Kecamatan Argomulyo, Kota Salatga. Sebaga salah satu bentuk data hasl surve dtunjukkan pada Tabel a-tabel d. Tabel a Contoh data lngkar dada, berat pupuk urea dan berat untuk sap dar Peternakan Rakyat Dukuh Belon, Kelurahan Kumpulrejo, Kecamatan Argomulyo, Kota Salatga dar tanggal 5 Jul 8 sampa dengan Agustus 8. Lngkar dada (cm) Pupuk urea (gr) Berat sap (kg) Dasar-Dasar Optmas Taklnear

46 Tabel b. Data pupuk urea yang dberkan sesua dengan berat untuk sap dar Peternakan Rakyat Dukuh Belon, Kelurahan Kumpulrejo, Kecamatan Argomulyo, Kota Salatga dar tanggal 5 Jul 8 sampa dengan Agustus 8. 5kg kg 5kg kg 5kg kg >4kg OPTIMASI TAKLINEAR 5

47 Tabel c. Data berbaga varabel yang dukur pada sap dar Peternakan Rakyat Dukuh Belon, Kelurahan Kumpulrejo, Kecamatan Argomulyo, Kota Salatga dar tanggal 5 Jul 8 sampa dengan Agustus 8. No.urut (tap kolom) menunjukkan no.urut sap Varabel Jumlah hjauan (kg) jumlah katul (kg) jumlah tela (kg) jumlah garam dapur (kg) Jumlah ar/har (lter) Dasar-Dasar Optmas Taklnear

48 Tabel d. Data berbaga varabel yang dukur pada (lanjutan Tabel d) Varabel jumlah hjauan (kg) jumlah katul (kg) jumlah tela (kg) 4 5 jumlah garam dapur (kg) Jumlah ar/har (lter) OPTIMASI TAKLINEAR 7

49 Kta dapat menyusun suatu pertanyaan berdasarkan data tersebut, msalkan: Bagamana menentukan hubungan antara berat dengan lngkar dada dan banyaknya pupuk urea yang dberkan sebaga fungs waktu dan menggunakan varabel domnan pada berat setelah dnyatakan sebaga fungs lngkar dada dan pupuk urea. Berat pupuk urea dberkan perhar sama dalam mnggu dan waktu maksmal yang dberkan adalah 4 mnggu. Berat sebaga fungs parametrk lngkar dada dan pupuk urea dengan parameter waktu. Penetapan parameter dlakukan dengan metode kuadrat terkecl sebagamana telah dtunjukkan pada lteratur (Parhusp, 9). Pemlhan fungs dapat memlh yang ada pada lteratur, msalkan w r( t) e r ( t) u( t) (.a) dengan, dan dcar berdasarkan data dan r(t) = lngkar dada sebaga fungs waktu t, u(t) = fungs berat pupuk urea. Fungs pada persamaan (.a) n telah dgunakan untuk memodelkan pendapatan daerah Salatga sebaga fungs sektor pajak dan retrbus (Parhusp,9). Contoh. Penyusunan () g (a). Jka g( ) untuk setap R adalah fungs kendala, maka g () mempunya bentuk, jka, g () =, jka. Grafk g () dtunjukkan pada Gambar. 8 Dasar-Dasar Optmas Taklnear

50 , jka, Gambar. Ilustras grafk g () =, jka. Oleh karena fungs kendala dnyatakan dalam bentuk persamaan (P..c) maka dperlukan adanya jamnan bahwa h( ) [ g ( )] juga mempunya turunan pertama parsal yang kontnu d mengaplkaskan metode Fnalt pada data yang lebh realsts. n R. Kta akan Contoh. Penggunaan Metode Fnalt untuk penyusunan masalah optmas memaksmalkan berat Msalkan kta akan menganalsa data Tabel a-e. Anggaplah bahwa fungs tujuan adalah w(r,u) : adalah berat dengan r :=r(t) menyatakan lngkar dada dan u(t) := menyatakan berat pupuk urea yang dberkan pada Tabel.a-.d. Jad kta mempunya fungs varabel bebas yang masng-masng merupakan fungs parametrk (dengan parameter t) dan t menyatakan varabel waktu. Berdasarkan (Parhusp dan Sska Ayunan, 9(b)) dperoleh bahwa berat (dengan data tak berdmens) merupakan fungs w.697r( t) e dan u(t) berbentuk model logstk. Yatu u( t) t.757 r( t ).665u( t ) (P..d). (P..e).857e OPTIMASI TAKLINEAR 9

51 Sedangkan r(t) berbentuk r(t) =.54 t +.57,.6 t. (P..f) Perlu dketahu bahwa data lngkar dada, berat pupuk urea dan berat dbuat tak berdmens dengan member aturan penyekalaan berturut-turut Sedangkan r( t) u( t) r( t) dm, u( t) dm, r u ma uma, ma ma ma w( t) w( t) dm. (P..g) w r, w berturut-turut menyatakan lngkar dada maksmum (cm), berat pupuk urea maksmum (kg) dan berat maksmum (kg) berdasarkan data. Dar data Tabel a-e yang dberkan yatu r cm, u gr, w 64kg. (P..h) ma 6 ma ma Kta akan memaksmumkan berat dengan model (P..d) -(P..f). Akan tetap oleh karena metode Fnalt dgunakan untuk memnmalkan fungs tujuan, maka dasumskan Mnmumkan z =-w (P..) dengan kendala dengan ( r, u). g( ) r, g ( ) u, Setelah mengasumskan bahwa fungs tersebut mempunya kendala maka ma (a) harus dsusun g untuk masng-masng r,u yatu: g, r rmn ( ) r rmn, r r mn dengan r mn dan umn, u umn dan g ( ). (b) u umn, u umn menyatakan berturut-turut lngkar dada mnmum dan berat pupuk urea mnmum. Untuk masng- masng g ( ) dan g ( ) akan dsusun fungs Fnalt yatu: 4 Dasar-Dasar Optmas Taklnear

52 F k () f ( ) m k g ( ), (c) dengan k >. Jad masalah yang doptmas menjad memnmumkan () F k pada persamaan (c). Kasus n menjad sepert bentuk memnmalkan fungs tujuan tanpa kendala. Artnya akan dcar yang akan memnmalkan F k (). * F Berart perlu dcar k yang memenuh Fk ( ). Hal dlakukan sebaga berkut, Tahap : Susun g untuk masng-masng r,u yatu: g, r rmn ( ) r rmn, r r mn dan g, u umn ( ) u umn, u u mn (Q.a) Untuk mempermudah notas selanjutnya, maka parameter pada fungs w(r,u) r u akan dtuls dalam bentuk umum sehngga w = e dengan Tahap : Menyusun fungs Fnalt sehngga akan dperoleh bentuk: r u F k () e k( r rmn) k( u umn). (Q.b) * Setelah dketahu fungs F k () maka akan dcar F yatu ( r *, u * ) yang memnmalkan F k (). Hal n berart memnmalkan fungs tanpa kendala sepert yatu dengan mencar ( ) Fk artnya Fk ( ) r Fk ( ) u T T sehngga dperoleh r u e r k, (R.a) r u re u k. (R.b) Karena kedua persamaan (R.a)-(R.b) sama-sama memuat varabel k maka kedua persamaan tersebut sama sehngga dapat dtuls sebaga: r u e r r u r e u (R.c) OPTIMASI TAKLINEAR 4

53 Persamaan ( R.c) dapat lebh dsederhanakan sehngga akan dperoleh persamaan sebaga berkut: e r u r ru (R.d) Bagan eksponen tdak mungkn. Parameter juga tdak boleh. Sehngga kta hanya memperbolehkan faktor r ru =. Dar persamaan (R.d) akan dperoleh nla * u yatu: u r r *. (R.b) Dengan kembal menggunakan nla parameter, dan pada * u sehngga dperoleh z.697r e * *.757r.665u * * * (.757) r.757r.665 * * (.665) r.697r e. (R.e) Untuk selanjutnya fungs z hanya sebaga fungs r dlustraskan pada Gambar.. Gambar.. Fungs z(r) dar persamaan (R.e) Gambar. menunjukkan bahwa pada r= maka z mnmum yatu z = -.7. Artnya w =-z =.7. Dalam bentuk berdmens berart pula bahwa pada lngkar dada r =6 cm maka berat maksmum adalah w =.7*64 kg = 45.kg. Sedangkan nla pupuk urea yang menyebabkan berat maksmum n dtunjukkan oleh persamaan 4 Dasar-Dasar Optmas Taklnear

54 * r (.757) u = =.7 (tanpa dmens). r (.665) Pupuk urea dalam bentuk berdmens sebesar u* =.7* gram= 7. gram. Berdasarkan data maka hal n dbenarkan. Lathan Soal Bab. Varabel domnan yang danggap berperan terhadap produks susu adalah jumlah hjauan (Parhusp dan Ayunan,9, (a)). Sedangkan produks susu yang danggap sudah bagus dhaslkan pada berat mnmal kg (nformas nformal yatu langsung dar petan). Sedangkan berat yang lebh besar dar kg dapat dtuls sebaga fungs lngkar dada dan pupuk urea. Sehngga varabel yang mempengaruh produks susu juga berpengaruh terhadap berat penghasl susu. Untuk tu dapat dsusun fungs dengan ) ( w r( t) u( t) ( ) r( t) e (*) sebaga parameter yang tergantung dar jumlah hjauan. Yang mengakbatkan berat sebaga fungs lngkar dada, pupuk urea dan jumlah hjauan. Oleh karena tu perlu dtetapkan penyusunan fungs ) dplh fungs ) = ( ( dan d b, dengan b dan d parameter yang harus dcar berdasar-kan data. Parameter dapat dcar dengan metode kuadrat terkecl. Kemudan pemodelan dapat dlanjutkan. Yatu persamaan (*) dapat dtuls sebaga w d r( t) u( t) b r( t) e. (a) Dengan menggunakan metode kuadrat terkecl untuk men-dapatkan parameter b,d,, maka perlu memnmalkan dan R n [ w b d r ( t ) u( t ), r( t ) e ], (b) OPTIMASI TAKLINEAR 4

55 , r ( t ).54t. 57,.857 e.6 t. (c) u( t ) t Carlah nla parameter tersebut dengan menggunakan MATLAB (dapat menggunakan fungs lsqnonln). Buatlah karya tuls tentang hasl model n. Proyek. Kasus Perekonoman Data yang mudah dperoleh pada bdang ekonom adalah data perencanaan subsd kedela pada pengusaha tempe dan tahu d Salatga pada tahun 8. Contoh data dtunjukkan pada Gambar.. Gambar.8 Daftar penerma subsd kedela perkecamatan kota Salatga Oktober 8 (Parhusp,9) Serngkal data harus dedt terlebh dahulu untuk dapat dolah dengan mudah, msalkan setelah dkoleks maka dapat ddaftar sebagamana dtunjukkan pada Tabel.e. 44 Dasar-Dasar Optmas Taklnear

56 Tabel.e. Daftar data banyaknya tenaga kerja tahu dan tempe berdasarkan wlayah d Salatga Kelurahan Jml tenaga kerja p.tahu Jml tenaga kerja p.tempe Total Jml tenaga kerja Salatga 8 8 Sdorejo- Lor Kauman- Kdul Bugel Blotongan 6 6 Pulutan 4 8 TNG(orang) P(orang) Subsd (kg.kedela) Salatga Sdorejo- Lor Kauman- Kdul Bugel Blotongan Pulutan 7 Sumber : Dsperndag Salatga 8. (Parhusp,9). Kta dapat menyusun suatu permasalahan yang dapat membantu pembuat keputusan dalam memberkan subsd yatu apakah perencanaan tersebut cukup optmal. Bagamana banyaknya pengusaha dan tenaga kerja dapat membantu sebaga pertmbangan tersebut?. Kta dapat menyatakan subsd sebaga fungs tenaga kerja dan pengusaha. Untuk selanjutnya kta akan mencar tenaga kerja dan banyaknya pengusaha yang optmal yang memnmumkan subsd. Masalah n berkatan dengan optmas yatu menyusun fungs tujuan dan memnmalkan fungs tujuan tu. Jka hasl yang dperoleh ternyata berada pada nterval data yang dberkan maka perencanaan subsd yang dberkan bak. Sebalknya, jka OPTIMASI TAKLINEAR 45

57 nla optmal tdak berada pada nterval data yang ada maka perencanaan subsd tersebut tdak bak dan perlu dbenah. Secara gars besar, maka kta dapat memformulaskan kajan data sebaga cara memlh data. Hasl analsa n telah dtunjukkan pada (Parhusp, 9, (b)). Proyek. Optmas pada lmu Sans Dberkan data-rata dan devas standard penurunan warna pada pembuatan srup stevosda pada panjang gelombang 9 nm dan 5 nm (Parhusp dan Martono, ) yang dtunjukkan pada Tabel. dan prosentase kandungan stevosda pada Tabel. dengan berbaga tpe absorbans. Tabel. Rata-rata ( ) dan standar devas (s) dar penurunan warna srup stevosda pada panjang gelombang 9 nm wavelength. Dukur oleh Y. Martono, pada laboratorum Kma FSM Januar-Februar (sudah tdak bersatuan). Smbol B, K, A, S merupakan symbol untuk nama absorbans dan campuran B dan K dsmbulkan BK, BKA merupakan campuran B, K, dan A, demkan pula BKAS : merupakan absorbans dengan campuran dar B, K, A dan S. Tpe absorbans Sampel I Sampel II Sampel III s S S Ekstras dasar Netral B K A S BK BKA BKAS Dasar-Dasar Optmas Taklnear

58 Tabel. Rata-rata ( ) dan standar devas (s) dar kandungan stevosda pada panjang gelombang 9 nm wavelength. Dukur oleh Y. Martono, pada labo-ratorum Kma FSM Januar-Februar (sudah tdak bersatuan). Smbol B, K, A, S merupakan symbol untuk nama absorbans dan campuran B dan K dsmbulkan BK, BKA merupakan campuran B, K, dan A, demkan pula BKAS: merupakan absorbans dengan campuran dar B, K, A dan S Tpe absorbans Ekstraks dasar Sample I Sample II Sample III s S S Netral B K A S BK BKA BKAS Dasumskan penurunan warna (y) merupakan fungs logstk dar presentase kandungan stevosda () dalam bentuk K K y( ()) y( ), A,. k K Ae y( ()) Dar peneltan dperoleh bahwa K* dan k* adalah K*=.549 and k*=.66 Pertanyaan :. mnmumkan y() sehngga.549 K * y( ()) y( ), A Ae y( ()) algortma Golden search. dengan kendala.4 dengan menggunakan. Susunlah fungs Lagrange dar masalah n. OPTIMASI TAKLINEAR 47

59 . Seldk turunan kedua y pada * (pemnmum y) dan smpulkan apakah y() memenuh defns ttk krts mnmum. 4. Kedua parameter K*=.549 and k*=.66 dperoleh dengan memnmumkan n Ky,data (, ),data,data, data R K k y. k Ky K y e Seldklah sfat matrks Hessan R apakah negatve defnte pada kedua parameter tersebut dan smpulkan jawaban anda apakah kedua parameter tersebut memang memnmumkan R? DAFTAR PUSTAKA Parhusp, H.A dan Martono, Y.. Optmzaton Of Colour Reducton For Producng Stevosde Syrup Usng Ant Colony Algorthm Of Logstc Functon, proceedng of The Ffth Internatonal Symposum on Computatonal Scence,ISSN:5-776,Vol, pp9-, GMU. Parhusp H. A., dan Ayunan, S. 9(a). Prncpal Component Analyss (PCA) untuk Analss Perlakukan Pemberan Pakan dan Mneral terhadap Produks Susu, Prosdng Semnar Nasoanal Matematka UNPAR, Vol 4 hal.aa 4-5, ISSN Parhusp H. A., Ayunan, S. 9(b). Metode Fnalt untuk Menentukan Berat Optmal, Prosdng Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka, FMIPA UNY 5 Des 9, ISBN: ,T-7, hal Parhusp H. A., 9. Data Selecton wth Hessan Matr, Proceedng of IndoMS Internatonal Conference on Mathematcs and Its Applcatons (IICMA), Oct - 9, ISBN: , 4-5. Peressn, A.L,et.all, 988. The Mathematcs of Nonlnear Programmng, Sprnger Verlag, New York, Inc. hal Dasar-Dasar Optmas Taklnear

60 Bab PEMROGRAMAN KUADRATIK Telah banyak peneltan tentang optmas taklnear yang penyelesaannya menggunakan pemrograman kuadratk. Loqman, dkk () menggunakan pemrograman kuadratk untuk penjadwalan pekerja pada suatu perusahaan. Gharb () mengangkat masalah pemrograman kuadratk yang daplkaskan dalam lmu komputer dan komunkas kemudan dselesakan dengan lnearsas -. Selan tu ada juga peneltan oleh Bhowmk, dkk () masalah pemrograman nteger dubah ke pemrograman kuadratk dan dselesakan dengan teknk heurstk. Pada bab n, pemrograman kuadratk merupakan masalah optmas dengan fungs tujuan bentuk kuadratk yang djelaskan secara mendasar dan selanjutnya fungs yang ada pada MATLAB juga dperkenalkan.. Bentuk standar Menurut Peressn, dkk (998) optmas program kuadratk merupakan masalah konveks (cembung) (fungs tujuan merupakan fungs konveks), sehngga penyusunan fungs tujuannya analog dengan penyusunan fungs tujuan untuk masalah konveks. Bentuk umum dar masalah memnmalkan pemrograman kuadratk adalah OPTIMASI TAKLINEAR 49