KEKEKARAN REGRESI LINIER GANDA DENGAN ESTIMASI MM (METHOD OF MOMENT) DALAM MENGATASI PENCILAN

Transkripsi

1 KEKEKARAN REGREI LINIER GANDA DENGAN ETIMAI MM (METHOD OF MOMENT) DALAM MENGATAI PENCILAN KRIPI Dajukan kepada Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Neger Yogyakarta untuk memenuh sebagan persyaratan guna memperoleh gelar arjana ans Oleh Lna Dew Kurnawat NIM PROGRAM TUDI MATEMATIKA JURUAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTA MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERITA NEGERI YOGYAKARTA 011

2

3

4

5 MOTO Allah tdak akan membeban seseorang melankan sesua dengan kemampuannya (Q. Al-Baqarah: 86) esungguhnya bersama kesultan tu past ada kemudahan. Maka apabla kamu telah selesa (urusan duna), bersungguh-sungguhlah (dalam berbadah) (Q. Al-Insyroh: 6-7) Barang sapa menempuh jalan untuk memperoleh lmu, maka Allah akan memudahkan bagnya jalan menuju surga (H. R Muslm dar Ab Hurarah) Pertemuan yang menakutkan, selalu menyembunykan hadah-hadah terbak. Dan keajaban mudah-mudahan dturunkan bag yang memberankan dr untuk memkul beban yang lebh besar darpada kemampuannya (Maro Teguh) v

6 PEREMBAHAN krps n kupersembahkan khusus untuk: Kedua Orangtuaku tercnta yang selalu mendoakan yang terbak untukku Adkku tersayang Nell Dw Astut yang selalu memotvasku Penyemangatku Devryad aputra. yang selalu member kash sayang, membantuku, dan selalu menemanku saat suka maupun duka eluruh keluargaku yang selalu mendukung dan mendoakanku. Teman-teman.O.V: Anna, Nawang, Rza, Retno, Azza, Dhta, us, Ika, dan Ff yang selalu memberku semangat. Termakash kebersamaanya selama n v

7 KATA PENGANTAR Puj dan syukur kehadrat Allah WT yang telah melmpahkan rahmat dan hdayah-nya, sehngga penuls dapat menyelesakan penyusunan skrps n dengan bak dan lancar. Penuls dapat menyelesakan skrps n tdak lepas dar bantuan berbaga phak. Dalam kesempatan n penuls mengucapkan terma kash kepada: 1. Bapak Dr. Arswan selaku Dekan Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Neger Yogyakarta, yang telah memberkan jn dalam penulsan skrps n.. Bapak Dr. Hartono selaku Kajurdk Penddkan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Neger Yogyakarta, yang telah memberkan jn dalam menuls skrps n. 3. Ibu Atmn Dhorur, M.., selaku Kaprod Matematka, yang telah membantu dem kelancaran penulsan. 4. Ibu Endang Lstyan, M.., selaku dosen pembmbng, yang telah memberkan bmbngan, saran dan pengarahan dalam penulsan skrps n. 5. Kedua orang tua dan seluruh keluarga yang selalu mendoakan, member motvas, dan semangat sehngga skrps n dapat dselesakan dengan bak. 6. Anna, Nawang, Rza, Retno, Azza, Dhta, Ika, us, Ff dan semua temanteman Matematka 007 yang selalu member bantuan, semangat dan dukungannya selama n. v

8 7. emua phak yang secara langsung atau tdak langsung telah memberkan bantuan dan saran yang tdak dapat penuls sebutkan satu-persatu. Penuls berharap semoga skrps n bermanfaat tdak hanya bag penuls tetap juga bag pembaca. Yogyakarta, Penyusun v

9 KEKEKARAN REGREI LINIER GANDA DENGAN ETIMAI MM (METHOD OF MOMENT) DALAM MENGATAI PENCILAN Oleh : Lna Dew Kurnawat NIM ABTRAK Tujuan penulsan n adalah menunjukkan langkah-langkah dalam menduga parameter regres dengan estmas MM (Method of Moment) dan menunjukkan penerapan estmas MM dalam regres lner berganda. Regres robust merupakan metode regres yang dgunakan ketka ada beberapa outler pada model. Adanya outler menyebabkan estmas koefsen regres yang dperoleh tdak tepat. Metode estmas MM merupakan gabungan dar metode estmas (hgh breakdown) dan metode estmas M. Model regres yang akan destmas yatu regres lner berganda, yang berbentuk Y β β X β X ε. Langkah pertama dalam metode estmas MM = k k + yatu mencar estmator, kemudan menetapkan parameter-parameter regres menggunakan metode estmas M. ebelum mengestmas dengan MM, data ddentfkas terlebh dahulu dengan dagram pencar dan DfFIT (Dfference ftted value FIT) untuk mengetahu apakah data tersebut mengandung penclan. etelah data danalss dan terdeteks adanya penclan kemudan destmas dengan metode MM untuk mendapatkan model regresnya. Pada kasus n dalam mengestmas parameter regres dengan software A 9.1. Contoh kasus pertama yatu mengena hubungan antara gaj tahunan matematkawan dengan ndeks mutu publkas, lama pengalaman, dan ndeks keberhaslan dalam memperoleh dukungan dana. Pada kasus n, ada 1 observas yang merupakan penclan. Pada kasus kedua mengena hubungan antara berat jens kayu pnus dengan serat kayu pnus, kecepatan tumbuh, kelembaban tanah, penyerapan cahaya pada kayu pnus, dan kadar ar pada kayu. Pada contoh kedua ada observas yang merupakan penclan. Hasl pada kedua contoh tersebut menunjukkan bahwa metode estmas MM dapat mengestmas parameter pada data yang terdapat penclan tanpa menghapus penclan tersebut, tetap hanya menurunkan bobot dar penclan tersebut. Berbeda dengan metode kuadrat terkecl, apabla data terdeteks adanya penclan, untuk mendapatkan model regres yang bak data penclan tersebut dhapus. Padahal menghapus data bukan tndakan yang bak, dengan menghapus sebagan data berart mengubah data aslnya sehngga kebenaran hasl predks mash dpertanyakan. x

10 DAFTAR II Halaman Judul... Halaman Persetujuan... Halaman Pengesahan... Halaman Pernyataan...v Halaman Motto...v Halaman Persembahan...v Kata Pengantar...v Abstrak...x Daftar Is...x Daftar Tabel...x Daftar Gambar...x Daftar Lampran...xv BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang...1 B. Pembatasan Masalah...3 C. Rumusan Masalah...3 D. Tujuan...3 E. Manfaat...4 BAB II KAJIAN PUTAKA A. Konsep Dasar tatstk...5 B. Model Regres Lner Berganda...7 x

11 C. Metode Kuadrat Terkecl...8 D. Penclan (Outler)...14 E. Goodness of FIT...18 F. Parameter Lokas dan kala...18 G. Metode Maksmum Lkelhood...19 H. Fungs Obyektf...0 I. Breakdown Pont... BAB III PEMBAHAAN A. Regres Robust...3 B. Estmas M...4 C. Estmas...4 D. Estmas MM...5 E. Penyelesaan untuk β...7 F. Contoh Ilustras Kasus...9 BAB IV PENUTUP A. Kesmpulan...4 B. aran...43 DAFTAR PUTAKA...44 LAMPIRAN...46 x

12 DAFTAR TABEL Tabel.1 Fungs obyektf dan fungs pembobot untuk kuadrat terkecl, Huber, dan Tukey bsquare... Tabel 3.1 Data gaj matematkawan... 9 Tabel 3. Nla DfFIT Tabel 3.3 Hasl estmas regres robust MM Tabel 3.4 Hasl estmas MKT dengan penclan dhapus Tabel 3.5 Data faktor anatom dan berat jens potongan kayu pnus Tabel 3.6 Nla DfFIT Tabel 3.7 Hasl estmas regres robust MM Tabel 3.8 Hasl estmas MKT dengan penclan dhapus x

13 DAFTAR GAMBAR Gambar.1 kema dentfkas data penclan dengan IQR atau box plot Gambar 3.1 catterplot antara resdual (e) dengan nla predks Y (Y ) Gambar 3. catterplot antara resdual (e) dengan nla predks Y (Y ) x

14 DAFTAR LAMPIRAN Lampran 1 Prosedur manual mencar estmator MM Lampran ntaks A xv

15 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Analss regres merupakan suatu analss statstk yang mempelajar hubungan antara varabel dependen dengan varabel ndependen. D dalam analss regres, hubungan yang sebenarnya tdak dapat dketahu secara past tetap model hubungan tersebut dapat destmas berdasarkan data pengamatan. Model regres lner yang memuat beberapa varabel ndependen dan satu varabel dependen adalah model regres lner berganda. Bentuk model regres lner berganda adalah Y = β0 + β1x β X + ε, = 1,,..., n dengan Y adalah k k varabel dependen pada pengamatan ke-, X k adalah varabel ndependen pada pengamatan ke- dan parameter ke-k dan β0, β1,..., βk adalah parameter regres yang tdak dketahu nlanya dan akan dcar nla estmasnya. Dalam menentukan estmator terbak sangat dpengaruh oleh penggunaan metode. Metode yang basa dgunakan untuk mengestmas parameter regres antara lan adalah Metode Kuadrat Terkecl (MKT). Metode n tdak dapat bekerja dengan bak apabla terdapat data penclan (outler). Penclan adalah pengamatan yang jauh dar pusat data yang mungkn berpengaruh besar terhadap koefsen regres. Untuk mengatas kelemahan metode kuadrat terkecl tersebut dapat dlakukan dengan dua cara yatu: 1. Mengeluarkan penclan yang dapat ddeteks dengan DfFIT (Dfference ftted value FIT), Cook s Dstance, DfBETA(s) (Dfference ftted value 1

16 Beta), setelah tu tetap menggunakan metode kuadrat terkecl (oemartn, 007:10).. Tetap menggunakan seluruh data, tetap dengan memberkan bobot yang kecl untuk data penclan, metode n dkenal dengan nama metode regres robust (oemartn, 007: 1). Regres robust merupakan metode regres yang dgunakan ketka ada beberapa penclan pada model. Metode n merupakan alat pentng untuk menganalsa data yang dpengaruh oleh penclan sehngga dhaslkan model yang robust atau kekar terhadap penclan. uatu estmator yang kekar adalah relatf tdak terpengaruh oleh perubahan besar pada bagan kecl data atau perubahan kecl pada bagan besar data. Metode estmas dalam regres robust dantaranya estmas M (Maxmum Lkelhood type), LT (Least Trmmed quare), estmas MM (Method of Moment), dan estmas (cale) (Coln Chen, 00:1). Estmas M adalah metode yang palng sederhana dan palng banyak dgunakan yang mempunya nla efsens yang tngg, sedangkan estmas, LT, LM adalah estmas dengan nla breakdown tngg, tetap estmas mempunya nla breakdown yang palng tngg dantara ketganya. Breakdown pont adalah propors mnmal dar banyaknya penclan dbandngkan seluruh data pengamatan. Estmas MM merupakan metode yang bak untuk menanggulang penclan dan dapat menghaslkan estmator yang robust (kekar) dan juga dapat menghaslkan breakdown pont yang tngg dengan efsens tngg. Metode estmas MM dkenalkan oleh Yoha (1987), metode n mempertahankan ke-robust-an dar

17 3 metode estmas, serta efsens dar metode estmas M. Metode n memadukan metode estmas hgh breakdown (estmas ) dan metode estmas M. Dharapkan melalu metode regres robust estmas MM dapat dperoleh estmator yang bak sehngga menghaslkan model yang lebh bak dar model hasl MKT (Metode Kuadrat Terkecl). Oleh karena tu penuls mengangkat judul Kekekaran Regres Lner Ganda dengan Estmas MM (Method of Moment) dalam Mengatas Penclan, untuk djadkan salah satu referens dalam mengestmas parameter pada data yang mengandung penclan. B. Pembatasan Masalah Dalam penulsan skrps n, penuls memberkan pembatasan masalah pada penentuan estmator dengan metode MM untuk mengatas penclan pada model regres lner berganda. C. Rumusan Masalah Berdasarkan uraan latar belakang, maka rumusan masalah yang akan dbahas adalah: 1. Bagamana mengestmas parameter pada model regres lner ganda dengan regres robust estmas MM.. Bagamana penerapan regres robust estmas MM dalam regres lner berganda. D. Tujuan Tujuan dalam penulsan skrps n adalah: 1. Menunjukkan langkah-langkah dalam mengestmas parameter regres robust dengan estmas MM.

18 4. Menunjukkan penerapan estmas MM dalam regres lner berganda. E. Manfaat Manfaat dar penulsan n adalah: 1. Bag Penuls Menambah wawasan serta pengetahuan dalam bdang statstk khususnya mengena metode regres robust dengan estmas MM.. Bag Jurusan Matematka FMIPA UNY Menambah kelengkapan koleks pustakadan menjad dasar pertmbangan untuk peneltan-peneltan selanjutnya. 3. Bag Mahasswa ebaga acuan untuk penulsan karya lmah selanjutnya khusunya mengena regres robust.

19 BAB II LANDAAN TEORI Teor yang dperlukan untuk mendukung pada bab pembahasan dantaranya adalah konsep dasar statstka, model regres lner berganda, metode kuadrat terkecl, metode maksmum lkelhood, breakdown pont, penclan (outler), Goodness of FIT, parameter lokas dan skala, dan fungs obyektf. A. Konsep Dasar tatstka Pada sub bab n, dberkan pengertan tentang varabel random, varabel random dskret, dan varabel random kontnu. 1.1 Varabel Random Defns.1 (Ban dan Engelhardt, 199: 53) varabel random X adalah suatu fungs dengan daerah asal dan daerah hasl blangan real R sedemkan sehngga X(e) = x dengan e dan x R. Huruf besar sepert X, Y, Z dgunakan untuk menotaskan varabel random. edangkan huruf kecl sepert x, y, z dgunakan untuk menotaskan nla yang mungkn dar setap hasl observas pada ruang sampel. Varabel random terbag menjad dua yatu: Varabel Random Dskret Defns. (Ban dan Engelhardt, 199: 56) jka hmpunan semua nla yang mungkn dar varabel random X adalah hmpunan terhtung (countable), { x,x,,x } atau{ x,x, }, maka X dsebut varabel random dskret. Fungs 1 n 1 f(x) = P[X=x], x= x 1,x, menyatakan nla peluang dengan setap nla x yang mungkn dnamakan fungs denstas peluang dskret. 5

20 6 ebuah fungs f(x) dsebut fungs denstas peluang dskret jka dan hanya jka memenuh:. f( x ) 0, x. f( x ) = 1 x Defns.3 (Ban dan Engelhardt, 199: 58) fungs dstrbus kumulatf dar varabel random X ddefnskan oleh F(x) = P[X x] dengan x blangan real. ebuah fungs F(x) dsebut fungs dstrbus kumulatf dar varabel random X jka dan hanya jka memenuh:. lm F( x) = 0 x. lm F( x) = 1 x. v. lm F( x+ h) = F( x) + h 0 a < b maka F(a) F(b) Defns.4 (Ban dan Engelhardt, 199: 61) jka X adalah varabel random dskret dengan fungs denstas peluang f(x), maka nla ekspektas dar X ddefnskan sebaga: EX ( ) = xf. ( x) x 1.1. Varabel Random Kontnu Defns.5 (Ban dan Engelhardt, 199: 64) varabel random X dsebut varabel random kontnu jka terdapat fungs f(x) yang dsebut fungs denstas peluang dar X, sehngga fungs dstrbus kumulatf dapat dtulskan sebaga:

21 7 x F( x) = f () t dt ebuah fungs f(x) dsebut fungs denstas peluang dar varabel random kontnu X jka dan hanya jka memenuh:. f( x) 0, x. f ( x) dx = 1 Defns.6 (Ban dan Engelhardt, 199: 67) jka X adalah varabel random kontnu dengan fungs denstas peluang f(x), maka nla ekspektas dar X ddefnskan sebaga: EX ( ) = xf. ( xdx ) B. Model Regres Lner Berganda Analss regres merupakan alat statstk yang bermanfaat untuk mengetahu hubungan antara dua varabel atau lebh sehngga salah satu varabel dapat dduga dar varabel lannya. Dalam analss regres n dapat dketahu bentuk dan pola hubungan yang ada dan juga dapat dlakukan predks berdasarkan nla varabel yang sudah dketahu. Analss regres dgambarkan dalam model regres yatu suatu cara untuk mengekspreskan dua unsur pentng suatu hubungan statstk, yatu kecenderungan berubahnya varabel dependen (Y) sejalan dengan berubahnya varabel ndependen (X) dan berpencarnya ttk-ttk d sektar kurva hubungan statstk tu. Jka analss regres dlakukan untuk satu varbel tdak bebas (Y) dengan lebh

22 8 dar satu varabel bebas (X) maka regres n dnamakan regres lner berganda dengan model Y = β0 + β1x βk Xk + ε, = 1,,..., n (.1) dengan Y adalah varabel dependen pada pengamatan ke-, X k adalah varabel ndependen pada pengamatan ke-, dan β0, β1,..., βk adalah parameter regres yang tdak dketahu nlanya dan akan dcar nla estmasnya, berdstrbus normal dengan mean nol dan varans C. Metode Kuadrat Terkecl ε adalah galat yang σ atau ε N ( 0, σ ). Parameter β0, β1,..., β k tdak dketahu, sehngga perlu destmas. Estmas parameter yang basa dgunakan adalah metode kuadrat terkecl yatu memnmumkan jumlah kuadrat galat. Dar persamaan (.1) dapat dtuls: n n j = = k k = 1 = 1 (.) ( β ) ε ( y β β X... β X ) Untuk mencar nla-nla β dengan memnmumkan jumlah kuadrat galat, dcar turunan dar ( β j ) secara parsal terhadap β j, j = 0, 1,,, k dan dsama dengan nol, sehngga dperoleh: n = ( y β0 β1x 1... βk xk ) = 0, β 0 1 = 1 n = ( y β0 β1x 1... βk xk ) x 1 = 0, β = 1 n = ( y β0 β1x 1... βk xk ) x = 0, β = 1 (.3)

23 9 n = ( y β0 β1x 1... βk xk ) xk = 0, β k = 1 Persamaan (.3) menghaslkan persamaan normal sebaga berkut: n n n n nβ + β x + β x β x = y k k = 1 = 1 = 1 = 1 β β β β n n n n n 0 x1+ 1 x1+ xx k xx 1 k = xy 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 β β β β n n n n n 0 x + 1 xx 1 + x k xx k = x y = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 (.4) β β β β n n n n n 0 xk + 1 xx 1 k + xx k k xk = xy k = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 Jka dsusun dalam bentuk matrks maka persamaan (.4) menjad: dengan, (.5),,

24 10 Untuk menyelesakan persamaan (.5), kalkan kedua ruas dengan nvers dar (X X). ehngga estmator kuadrat terkecl dar β adalah fat-sfat estmator kuadrat terkecl (Gujarat, 004: 79): 1. Lner Estmator bersfat lner yatu merupakan fungs lner dar varabel random. Persamaan: β = n = 1 n = 1 Y( x x) = ( x x) n = 1 ky dengan, k = n = 1 ( x x) ( x x), untuk = 1,,, n. Menunjukkan bahwa β adalah estmator lner karena merupakan fungs lner dar Y.

25 11 fat-sfat k : a. Karena X dasumskan nonstokastk, sehngga k merupakan nonstokastk juga. b. k = 0 Bukt: k = ( x x) ( x x) = 1 ( ) x x ( x x) = 1 ( x x) ( x nx ) = 1 ( nx nx ) 0 ( x x) = c. k = 1 ( x x) Bukt: k = ( x x) ( ( x x) ) 1 = ( x x) = ( ( x x) ) d. kx = 1 1 ( x x)

26 1 Bukt: ( x x) = x ( x ) x kx. Takbas = 1 ( ) x x x ( x x) 1 = ( x ) xx ( x x) = 1 ( x ) ( x x x) x = 1 ( x nx ) 1 x nx = Takbas yatu ekspektas dar estmator β atau E( β ) = β. Dar persamaan Y = β0 + β1x + ε subttuskan kepersamaan n β = ky, = 1 dengan menggunakan sfat-sfat k sehngga dperoleh: β = k ( β + β X + ε ) 0 1 = β k + β xk + kε 0 1 = β1 + kε maka, E E k ( β) = ( β + ε ) = E β + ke = β + k (0) = β ( ) ( ε )

27 13 Terbukt estmator kuadrat terkecl bersfat takbas. 3. Memlk varans mnmum uatu estmator takbas dengan varans terkecl dketahu sebaga suatu estmator efsen. Dengan menggunakan defns varans, akan dtunjukkan bahwa estmas kuadrat terkecl menghaslkan varans mnmum. var E E ( β) = β ( β) = E ( β β) = E( β + kε β) = E( kε) = E( k1ε1 + kε kn εn + kk 1 εε kn 1knεn 1εn) = E( k1ε1 + kε kn εn ) + E( kk 1 εε kn 1knεn 1εn) = k E ε + kk je εε j k E ε Karena var = E ε = = sehngga, σ untuk setap dan E εε j 0, 0 ( β) σ k = = σ ( x x) (menggunakan defns k ) Msalkan suatu estmator lner alternatf β sebaga berkut: β * = vy dmana v tdak perlu sama dengan k, sehngga:

28 14 E( β *) = ve ( Y) = v ( β + β X ) 0 1 = β v + β 0 1 vx upaya β * tdak bas, maka v = 0 dan vx = 1, dan dapat dtuls: var( β *) = var vy = v vary = σ v ( x x) ( x x) = σ v + ( x x) ( x x) ( x x) v ( ( x x) ) ( x x) ( x x) ( x x) = σ v + σ + σ ( x x) ( x x) ( x x) ( x x) 1 = σ v σ + ( x x) ( x x) Karena hasl terakhr dar persamaan datas adalah konstan, varans dar β * dapat dmnmumkan hanya dengan memanpulas var vy, jka dmsalkan v = ( x x) ( x x), persamaan datas menjad: σ var( β*) = = var ( x x) ( β) ecara sngkat dengan v = k, varans dar estmator lner β * sama dengan varans dar estmator kuadrat terkecl β. D. Penclan (Outler) Penclan adalah pengamatan yang jauh dar pusat data yang mungkn berpengaruh besar terhadap koefesen regres. Penclan dapat muncul karena

29 15 kesalahan dalam memasukkan data, kesalahan pengukuran, analss, atau kesalahan-kesalahan lan. Keberadaan penclan akan mengganggu dalam proses analss data dan harus dhndar dalam banyak hal. Dalam katannya dengan analss regres, penclan dapat menyebabkan hal-hal berkut (oemartn, 007: 7): 1. Resdual yang besar dar model yang terbentuk atau Ee [ ] 0. Varans pada data tersebut menjad lebh besar 3. Taksran nterval memlk rentang yang lebar Pada analss regres, terdapat 3 tpe penclan (outler) yang berpengaruh terhadap estmas kuadrat terkecl yatu sebaga berkut (oemartn, 007:14): a. Penclan vertcal (vertcal outler) Merupakan pengamatan yang terpencl pada varabel dependen (Y), tetap tdak terpencl pada varabel ndependen (X). Dalam estmas kuadrat terkecl, penclan vertkal sangat berpengaruh khususnya pada estmas ntersep. b. Good leverage pont Merupakan pengamatan yang terpencl pada varabel X tetap terletak dekat dengan gars regres, yang berart bahwa pengamatan x menjauh tetap y cocok dengan gars regres. Good leverage n tdak berpengaruh terhadap estmas kuadrat terkecl, tetap berpengaruh terhadap nferens statstk karena dapat menngkatkan estmas standar eror. c. Bad leverage pont Merupakan pengamatan yang terpencl pada varabel predktor (X) dan terletak jauh dar gars regres. Bad leverage n berpengaruh sgnfkan terhadap

30 16 estmas kuadrat terkecl, bak terhadap ntersep maupun slope dar persamaan regres. Metode yang dgunakan untuk mengdentfkas adanya outler yang berpengaruh dalam koefsen regres antara lan: 1. Metode Grafs Keuntungan dar metode n yatu mudah dpaham karena menamplkan data secara grafs (gambar) dan tanpa melbatkan perhtungan yang rumt. edangkan kelemahan metode n yatu keputusan yang meperlhatkan data tersebut merupakan penclan atau tdak bergantung pada kebjakan (judgement) penelt, karena hanya mengandalkan vsualsas gambar. a. Dagram Pencar (catter Plot) Metode n dlakukan dengan cara memplot data dengan observas ke- ( = 1,,, n). elan tu, jka sudah ddapatkan model regres maka dapat dlakukan dengan cara memplot antara resdual (e) dengan nla predks Y (Y ). Jka terdapat satu atau beberapa data yang terletak jauh dar pola kumpulan data keseluruhan maka hal n mengndkaskan adanya outler. b. Box Plot Metode n mempergunakan nla kuartl dan jangkauan untuk mendeteks penclan. Kuartl 1,, dan 3 akan membag data yang telah durutkan sebelumnya menjad empat bagan. Jangkauan (IQR, Interquartle Range) ddefnskan sebaga selsh kuartl 1 terhadap kuartl 3, atau IQR = Q3 Q1. Data-data yang merupakan penclan yatu nla yang kurang dar 1.5*IQR terhadap kuartl 1 dan nla yang lebh dar 1.5*IQR terhadap kuartl 3.

31 17 Gambar.1 kema Identfkas Data Penclan Dengan IQR Atau Box Plot. Metode DfFIT (Dfference ftted value FIT) atau tandardzed DfFIT Metode n menamplkan nla perubahan dalam harga yang dpredks blamana case tertentu dkeluarkan, yang sudah dstandarkan. Perhtungan DfFIT adalah sebaga berkut: ( DfFIT) h = t 1 h 1 dmana t adalah studentzed deleted resdual untuk kasus ke- dan h adalah nla leverage untuk kasus ke-. dengan, t = e n p 1 JKG(1 h ) e, e adalah resdual ke- dan JKG adalah jumlah kuadrat galat. Matrks top:

32 18 Elemen dagonal h dalam matrks top dapat dperoleh langsung dar: uatu data yang mempunya nla absolute DfFIT lebh besar dar p/ n maka ddentfkaskan sebaga outler, dengan p banyaknya varabel ndependen dan n banyaknya observas (Montgomery dan Peck, 198: 184). E. Goodness of FIT Ketepatan fungs regres sampel dalam menaksr nla aktual dapat dukur dar Goodness of FITnya. Nla Goodness of FIT dapat dukur dar nla koefsen determnas (R ). Koefsen determnas pada ntnya mengukur seberapa jauh kemampuan model dalam menerangkan varas varabel dependen. Nla koefsen determnas adalah antara nol dan satu. Nla R yang kecl berart kemampuan varabel-varabel ndependen dalam menjelaskan varas varabel dependen amat terbatas, sedangkan jka nla R mendekat satu berart varabel-varabel ndependen memberkan hampr semua nformas yang dbutuhkan untuk mempredks varas varabel dependen (Imam Ghozal, 006: 87). F. Parameter Lokas dan kala Defns parameter lokas dan skala akan dgunakan dalam membahas konsep regres robust dengan estmas M. Defns.7 (Ban dan Engelhardt, 199: 14) parameter η adalah parameter lokas untuk dstrbus dar X jka fungs dstrbus kumulatfnya mempunya bentuk F( x; η) = F ( x η) 0

33 19 Dengan kata lan, fungs denstas peluangnya berbentuk f( x; η) = f ( x η) 0 Defns.8 (Ban dan Engelhardt, 199: 16) parameter θ dsebut parameter skala untuk dstrbus dar X jka fungs dstrbus kumulatfnya mempunya bentuk x F( x; θ ) = F0 ( ) θ Dengan kata lan, fungs denstas peluangnya berbentuk 1 x f( x; θ ) = f0( ) θ θ Defns.9 (Ban dan Engelhardt, 199: 16) parameter η dan θ > 0 dsebut parameter lokas-skala untuk dstrbus dar X jka fungs dstrbus kumulatfnya mempunya bentuk x η F( x; θη, ) = F0 ( ) θ Dengan kata lan, fungs denstas peluangnya berbentuk 1 x η f( x; θη, ) = f0( ) θ θ G. Metode Maksmum Lkelhood Metode n merupakan salah satu cara yang dgunakan untuk mendapat estmator yang bak dar suatu parameter. Metode maksmum lkelhood adalah suatu cara untuk mendapatkan estmator θ yang memaksmalkan fungs lkelhood.

34 0 Defns.10 (Ban dan Engelhardt, 199: 93) fungs denstas peluang bersama dar n varabel random X 1,..., X n yang dpandang sebaga fungs θ dsebut fungs lkelhood. Untuk nla x 1,, x n tertentu, fungs lkelhoodnya merupakan fungs dar θ dan serng dnotaskan dengan L( θ ). Jka X,..., 1 X n sampel random dengan fungs denstas peluang f( x; θ ) maka fungs lkelhood L( θ ) ddefnskan sebaga: L f x1 f x n ( θ) = ( ; θ) ( ; θ), dengan θ parameter yang tdak dketahu Defns.11 (Ban dan Engelhardt, 199: 94) msal L( θ) = f( x1; θ) f( x n ; θ), θ Ω merupakan fungs denstas peluang dar X,..., 1 X n. Dberkan hmpunan pengamatan { x,..., 1 x n}, suatu nla θ dalam Ω yang memaksmumkan L( θ ) dsebut estmator maksmum lkelhood (MLE) dar θ. θ adalah nla dar θ yang memenuh: f( x,..., x ; θ) = max f( x,..., x ; θ) H. Fungs Obyektf 1 n 1 θ Ω n Fungs obyektf adalah fungs yang dgunakan untuk mencar fungs pembobot pada regres robust. Fungs pembobot yang dgunakan antara lan adalah (Montgomery dan Peck, 198: 369): 1. Fungs pembobot yang dsarankan oleh Huber memaka fungs obyektf 1 e, ρ( e ) = 1 c e c, e c e > c

35 1 dengan, e, ( ρ( e )) ψ( e) = ρ'( e) = = c, e c, e c e > c e < -c dan fungs pembobot, 1, ψ ( e ) w = we ( ) = = c e, e e c e > c. Fungs pembobot yang dsarankan oleh Tukey memaka fungs obyektf 3 c e 1 1, 6 c ρ( e ) = c, 6 e c e > c dengan, e e ( ρ( e )) 1, ψ( e) = ρ'( e) = = c e 0, e c e > c dan fungs pembobot, e ψ ( e ) 1, w = we ( ) = = c e 0, e c e > c ecara rngkas, fungs ρ dan fungs pembobot dar estmator kuadrat terkecl, Huber, dan Tukey Bsquare dapat dlhat pada Tabel.1 (Fox, 00: 3). Konstanta yang menghaslkan efsens tngg dengan resdual berdstrbus normal dan dapat memberkan perlndungan terhadap outler yatu konstanta

36 dengan nla c = 1,345 untuk fungs pembobot Huber dan c = 4,685 untuk pembobot Tukey bsquare. Tabel.1 Fungs Obyektf dan Fungs Pembobot untuk Kuadrat Terkecl, Huber, Dan Tukey Bsquare Metode Fungs obyektf Fungs pembobot Interval Kuadrat terkecl 1 we ( ρ ( e) = e ) = 1 e < Huber 1 e ( ) ρ e = 1 c e c Tukey bsquare 3 c e c ρ( e ) = c 6 1 e c we ( ) = c e > c e e 1 we ( ) = c 0 e c e > c I. Breakdown Pont Breakdown pont adalah salah satu cara yang dgunakan untuk mengukur kerobust-an (kekekaran) suatu estmator (Yoha, 003: 11). Breakdown pont merupakan propors mnmal dar banyaknya outler dbandngkan seluruh data pengamatan. Regres robust yang mempunya breakdown pont adalah regres robust dengan metode estmas, LT, LM, dan MM. Metode estmas MM mempunya breakdown pont 50%. Breakdown pont 50% adalah breakdown pont yang tngg.

37 BAB III PEMBAHAAN Cara untuk mengestmas parameter regres adalah menggunakan metode kuadrat terkecl, tetap apabla data tdak normal dan terkontamnas penclan maka metode n tdak bekerja dengan bak. Metode yang lan yang dapat mengatas penclan adalah regres robust. A. Regres Robust Regres robust merupakan metode yang dapat mengatas penclan tanpa menghapus data penclan tersebut. Regres robust bertndak sebaga penurun bobot data penclan. Dalam mendeteks penclan, metode regres robust yang serng dgunakan adalah Huber estmas M, estmas dengan nla breakdown tngg, dan gabungan dar dua metode tersebut. Menurut Chen (00:1) metode-metode estmas dalam regres robust dantaranya adalah: 1. Estmas M (Maxmum lkelhood type) yang dkenalkan oleh Huber (1973) adalah metode yang sederhana bak dalam penghtungan maupun secara teorts. Estmas n menganalss data dengan mengasumskan bahwa sebagan besar yang terdeteks penclan pada varabel ndependen.. Estmas LT (Least Trmmed quares) adalah metode dengan hgh breakdown pont yang dkenalkan oleh Rousseeuw (1984). Breakdown pont adalah ukuran propors mnmal dar banyaknya data yang terkontamnas penclan dbandngkan seluruh data pengamatan. 3

38 4 3. Estmas (cale) juga merupakan metode dengan hgh breakdown pont yang dkenalkan oleh Rousseeuw and Yoha (1984). Dengan nla breakdown yang sama, metode n mempunya efsens yang lebh tngg dbandng estmas LT. 4. Estmas MM (Method of Moment), dkenalkan oleh Yoha (1987). Metode n menggabungkan estmas (estmas dengan hgh breakdown pont) dan estmas M. B. Estmas M (Maxmum lkelhood type) Metode n merupakan metode yang palng sederhana dan serng dgunakan. Estmas M akan menjaga ke-robust-an dengan mengatas penclan vertkal. Estmator M yang memnmumkan fungs ρ (fungs obyektf) dar resdualnya (Montgomery dan peck, 198: 367): n n k mn ρ( e ) = mn ρ y xjβ j β β = 1 = 1 j= 0 (3.1) Dalam mengestmas parameter regres robust M metode teras dperlukan, karena resdual tdak dapat dhtung sampa dperoleh model yang cocok dan parameter regres juga tdak dapat dhtung tanpa mengetahu nla resdual. Iteratvely reweghted least squares (IRL) adalah metode teras yang banyak dgunakan. C. Estmas (cale) Jka data terkontamnas penclan pada varabel X (predktor), estmas M tdak dapat bekerja dengan bak. Estmas M tdak dapat mengdentfkas bad observaton yang berart tdak dapat membedakan good leverage pont dan bad

39 5 leverage pont. Untuk mengatas hal tersebut, estmas hgh breakdown sangat dperlukan (Chen, 00:5). alah satu estmas yang mempunya nla hgh breakdown adalah estmas. Bentuk estmator adalah: β = arg mn σ ( e, e,..., e ) 1 n β (3.) dmana σ adalah estmator skala robust yang memenuh 1 n e ρ = b n = 1. σ dengan b konstan yang ddefnskan b= E[ Φ ( ρ)], Φ adalah dstrbus normal standar. Estmator mempunya nla breakdown tngg yatu 50%. Nla breakdown b dar estmator dapat dtuls = 0,5. max ρ( e) D. Estmas MM (Method of Moment) Estmas MM menggabungkan estmas hgh breakdown pont dan efsens statstk yang dkenalkan oleh Yoha (1987). Langkah pertama dalam estmas n adalah mencar estmator, kemudan menetapkan parameter-parameter regres menggunakan estmas M. Estmas menjamn nla breakdown pont tngg dan estmas M membuat estmator mempunya efsens tngg. Pada umumnya dgunakan fungs Tukey Bsquare β bak pada estmas maupun estmas M. Bentuk dar metode estmas MM: k n n y xjβ j e j= 0 βmm = arg mn ρ = arg mn ρ β = 1 σ β = 1 σ (3.3)

40 6 Metode MM juga menggunakan IRL (Iteratvely Reweghted Least quare) untuk mencar estmas parameter regres. Prosedur estmas parameter pada model regres lner ganda dengan regres robust estmas MM: 1. Menghtung estmator awal koefsen β j dan resdual e dar regres robust dengan hgh breakdown pont (estmas ) dengan bobot huber / bsquare (dlhat sebaga bentuk estmas M).. Resdual e pada langkah pertama dgunakan untuk menghtung skala estmas σ s dan dhtung pula pembobot awal w. 3. Resdual e dengan skala estmas σ s pada langkah kedua dgunakan dalam teras awal sebaga penaksr WL untuk menghtung koefsen regres. e n w x = 0 = 1 σ, s w merupakan pembobot Huber/bsquare. 4. Menghtung bobot baru () w dengan skala estmas dar teras awal WL. 5. Mengulang langkah, 3, 4 (dengan skala estmas tetap konstan) sampa mendapatkan n ( m) e = 1 konvergen (selsh ( m 1) β + j dan β mendekat 0, ( m ) j dengan m banyaknya teras).

41 7 E. Penyelesaan Untuk β Untuk memnmumkan ρ (fungs obyektf) dar resdualnya, dcar turunan parsal pertama dar ρ terhadap β j, j = 0,1,,..., k dan dsama dengan 0. In memberkan p = k + 1 sstem persamaan k n y xjβ j j= 0 xjψ = 0 = 1 σ s (3.4) dengan ψ = ρ' dan ψ merupakan fungs nfluence yang dgunakan dalam memperoleh bobot, x j adalah observas ke- pada regressor ke-j dan x 0 = 1. Ddefnskan suatu fungs pembobot: k y xjβ j j= 0 ψ σ s we ( ) = k y x β j j j= 0 σ s (3.5) dan msal w= we ( ), maka persamaan (3.4) dapat dtuls : n k xw y xβ = 0, j = 0,1,,..., j j j = 1 j= 0 k (3.6) Persamaan (3.6) dselesakan dengan IRL, estmas awal koefsen β dan resdual e dambl dar regres robust dengan hgh breakdown pont (estmas ), untuk bobot permulaan w = we ( ), maka p = k+1 persamaan (3.6) dtuls:

42 8 = 0 n k xw j y xβ j j = 1 j= 0 (3.7) dmana, w k y xjβ j j= 0 ψ σ s =, jka k y xjβ j j= 0 σ s 1 y k xjβ j j= 1 Untuk regres berganda, persamaan (3.6) menjad: = 0 = 0 n k xw y xjβ j = 1 j= 0 n n k w xy xj w β j = 1 = 1 j= 0 n k n xj w β j = w xy = 1 j= 0 = 1 k, jka y = x β j j j= 1 Dalam bentuk matrks dapat dtuls: Dmana W adalah matrks dagonal yang berukuran n x n dengan elemen dagonalnya w 1, w,, w n (n banyaknya observas). Estmator satu langkah dapat dtuls:

43 9 Pada langkah selanjutnya dhtung kembal bobot () () w menggunakan β j dan skala parameter ( m) σ s. Untuk w bobot yang dberkan, dapat dperoleh estmator ( m 1) β + dan ( m) β sampa n ( m) e = 0 mendekat 0), dengan m banyaknya teras. konvergen (selsh nla F. Contoh Ilustras Kasus Contoh Kasus I : ebaga contoh lustras kasus I dalam pembahasan n adalah data yang yang dambl dar buku Model Lner Terapan (Buku II Analss Regres Ganda) karangan J. Netter, W. Wasserman, M. H.Kutner yang dterjemahkan oleh Bambang umantr (1997: 39). Data n merupakan data peneltan yang dlakukan d sebuah yayasan lmah. Penelt ngn mengevaluas hubungan antara gaj tahunan matematkawan (Y, dalam rbuan dolar) dan ndeks mutu publkas (X 1 ), lama pengalaman (X, dalam tahun), dan ndeks keberhaslan dalam memperoleh dukungan dana (X 3 ). Data dtunjukkan pada table 3.1. Tabel 3.1. Data Gaj matematkawan No. X1 X X3 Y 1 3,5 9 6,1 33, 5,3 0 6,4 40,3 3 5,1 18 7,4 38,7 4 5,8 33 6,7 46,8 5 4, 31 7,5 41,4

44 30 No. X1 X X3 Y ,9 37,5 7 6, , ,7 9 3,1 5 5,8 30,1 10 7, 47 8,3 5,9 11 4, , 1 4,9 11 6,4 31, ,6 43,3 14 6, ,1 15 6, ,8 16 3,7 1 4,4 33,6 17 6, 7 5,5 34, ,5 3 3,5 35,9 1 5,9 33 4,9 40,4 5,6 7 4,3 36,8 3 4, , 4 3, ,1 Untuk menganalss data pada tabel 3.1 langkah pertama yatu melakukan dentfkas penclan untuk mengetahu apakah data mengandung penclan atau tdak. A. Identfkas Penclan Mengdentfkas suatu penclan dapat dlakukan dengan cara sebaga berkut: a. Dagram Pencar (catter Plot) Berdasarkan output P 17.0 ddapat plot antara resdual (e) dengan nla predks Y (Y ) sebaga berkut:

45 31 Gambar 3.1. catterplot antara Resdual (E) dengan Nla Predks Y (Y ) Gambar 3.1 memperlhatkan bahwa ada beberapa data yang terletak jauh dar kumpulan data. Data tersebut yang dsebut dengan penclan (outler). Untuk lebh jelasnya data mana yang terdentfkas penclan dapat dlhat pada hasl DfFIT. b. DfFIT Nla DfFIT yang ddentfkas sebaga penclan adalah data yang nla DfFIT-nya lebh besar dar p/ n = 3 / 4 = 0,7071 Tabel 3.. Nla DfFIT No. DfFIT DfFIT 1 0, , ,107 0, , , ,5089 0,5089

46 3 No. DfFIT DfFIT 5-0, , ,1395 0, ,7459 0, , , , , ,565 0, ,083 0, , , ,6549 0, ,1901 0, ,9873 0, , , ,0634 0, ,094 0, , , , , , , ,757 0, ,3619 0, ,0849 0,0849 Berdasarkan tabel 3., data yang dndkaskan sebaga penclan (yang dcetak tebal) yatu data ke 19. Data ternyata terdentfkas penclan, metode yang bsa dgunakan untuk mengestmas parameter yatu regres robust estmas MM atau metode kuadrat terkecl dengan menghapus penclan tersebut. B. Estmas dengan regres robust MM Estmas MM adalah gabungan dar metode estmas dan estmas M. Langkah pertama dalam metode estmas MM yatu mencar estmator, kemudan menetapkan parameter-parameter regres menggunakan metode estmas M. Dengan bantuan software A 9.1 ddapat:

47 33 Tabel 3.3. Hasl Estmas Regres Robust MM Berdasarkan output datas, terlhat bahwa nla R (Koefsen determnas) adalah 0,789. Nla tersebut mendekat satu sehngga dapat dsmpulkan bahwa varabelvarabel ndependen pada contoh I memberkan hampr semua nformas yang dbutuhkan untuk mempredks varas varabel dependen. ehngga ddapatkan persamaan modelnya adalah Y = 18, ,084 X + 0,3188 X + 1,3196 X dengan, 1 3 Y X 1 = Gaj tahunan matematkawan = Indeks mutu publkas X = Lama pengalaman (dalam tahun)

48 34 X 3 = Indeks keberhaslan dalam memperoleh dukungan dana Makna dar model persamaan datas adalah sebaga berkut: - etap penambahan satu satuan ndeks mutu publkas (X 1 ) akan menngkatkan rata-rata gaj tahunan matematkawan sebesar 1,084 apabla lama pengalaman (X ), dan ndeks keberhaslan (X 3 ) tetap. - etap penambahan 1 tahun lama pengalaman (X) akan menngkatkan ratarata gaj tahunan matematkawan sebesar 0,3188 apabla ndeks mutu publkas (X 1 ), dan ndeks keberhaslan (X 3 ) tetap. - etap penambahan satu satuan ndeks keberhaslan (X3) akan menngkatkan rata-rata gaj tahunan matematkawan sebesar 1,3196 apabla ndeks mutu publkas (X 1 ), dan lama pengalaman (X ) tetap. - Jka ndeks mutu publkas (X1), lama pengalaman (X ), dan ndeks keberhaslan (X 3 ) sama dengan 0, maka rata-rata gaj tahunan matematkawan sebesar 18,1903. elan dengan regres robust MM, cara lan dgunakan untuk mengetmas parameter adalah metode kuadrat terkecl (MKT) dengan data penclan dhapus. Tabel 3.4. Hasl Estmas MKT dengan penclan dhapus Berdasarkan tabel 3.3 dan tabel 3.4, terlhat bahwa hasl estmas untuk metode MM dan metode kuadrat terkecl dengan data penclan dhapus hampr sama

49 35 nlanya. Tetap menghapus data penclan bukanlah tndakan yang bak, karena adakalanya data yang mengandung penclan merupakan data yang berpengaruh terhadap keseluruhan data, selan tu juga dengan mengahapus sebagan data berart mengubah data asl yang sudah ada yang mungkn dapat memberkan resko kesalahan yang besar pada hasl estmas. Dengan begtu, metode estmas MM merupakan metode yang dgunakan untuk data yang mengandung penclan tanpa menghapus data penclan tersebut. Contoh lustras kasus II ebaga contoh lustras kasus II adalah data yang berupa 0 sampel potongan kayu pnus yang dpotong melntang dengan ketebalan yang sama. Pada peneltan tersebut akan dtelt berat jens potongan kayu pnus tersebut. Data terdr dar X 1, X, X 3, X 4, X 5 secara berurutan adalah serat kayu pnus (mm ), kecepatan tumbuh (mm), kelembaban tanah (%), penyerapan cahaya pada kayu pnus (%), dan kadar ar pada kayu (%), dan respon Y adalah berat jens kayu. Data merupakan data yang dkarang oleh penuls. Data dtunjukkan pada tabel 3.9. dar data tersebut akan dcar model regres terbaknya. Tabel 3.5. Data Faktor Anatom Dan Berat Jens Potongan Kayu Pnus No X1 X X3 X4 X5 Y ,5 53,8 84,1 0, ,7 54,5 88,7 0, ,4 5,1 9 0, ,9 50,3 87,9 0, ,1 51,9 91,5 0, ,9 55, 91,4 0, , 45,5 8,4 0,481

50 36 No X1 X X3 X4 X5 Y ,6 44,3 91,3 0, , 46,4 85,4 0, ,1 56,4 91,4 0, ,6 48,1 86,7 0, ,9 48,4 81, 0, ,5 51,9 89, 0, ,5 56,5 88,9 0, , ,9 0, ,5 61, 91,9 0, ,6 60,8 95,4 0, , 53,4 91,8 0, ,9 53, 9,9 0, ,4 56,6 90 0,568 Untuk menganalss data pada tabel 3.9, langkah pertama yatu melakukan dentfkas penclan untuk mengetahu apakah data mengandung penclan atau tdak. A. Identfkas Penclan Mengdentfkas suatu penclan dapat dlakukan dengan cara sebaga berkut: a. Dagram Pencar (catter Plot) Berdasarkan output Mntab ddapat plot antara resdual (e) dengan nla predks Y (Y ) sebaga berkut:

51 37 Gambar 3.. catterplot antara Resdual (E) dengan Nla Predks Y (Y ) Gambar 3.4 memperlhatkan bahwa ada beberapa data yang terletak jauh dar kumpulan data. Data tersebut yang dsebut dengan penclan. Untuk lebh jelasnya data mana yang terdentfkas penclan dapat dlhat pada hasl DfFIT. b. DfFIT Nla DfFIT yang ddentfkas sebaga penclan adalah data yang nla DfFIT-nya lebh besar dar p/ n = 1, Tabel 3.6. Nla DfFIT No. DfFIT DfFIT 1 0, , , , , , , , , , , ,90684

52 38 No. DfFIT DfFIT 7 0, , ,39149, ,4917 0, ,0453 0, , , ,1751 0, , , ,9539 0, ,6517 0, , , ,766 0, , , , , , ,04615 Berdasarkan tabel 3.10, data ke 8 dan 16 dndkaskan sebaga penclan karena mempunya nla yang lebh besar dar 1, Apabla terdapat penclan metode yang bsa dgunakan yatu regres robust estmas MM dan metode kuadrat terkecl dengan menghapus penclan tersebut. B. Estmas dengan regres robust MM Estmas MM adalah gabungan dar estmas dengan hgh breakdown (estmas ) dan estmas M. Langkah pertama dalam metode estmas MM yatu mencar estmator, kemudan menetapkan parameter-parameter regres menggunakan metode estmas M. Dengan bantuan software A 9.1 ddapat:

53 39 Tabel 3.7. Hasl Estmas Regres Robust MM Berdasarkan output datas, terlhat bahwa nla R (Koefsen determnas) adalah 0,6638. Nla tersebut mendekat satu sehngga dapat dsmpulkan bahwa varabelvarabel ndependen pada contoh II memberkan hampr semua nformas yang dbutuhkan untuk mempredks varas varabel dependen. ehngga ddapatkan persamaan modelnya adalah dengan, Y = 0, ,0001 X 0,0056 X 0,004 X + 0,0047 X Y = Berat jens kayu pnus X 1 = erat kayu pnus (mm )

54 40 X X X X = Kecepatan tumbuh (mm) = Kelembaban tanah (%) = Penyerapan cahaya pada kayu pnus (%) = Kadar ar pada kayu (%) Makna dar model persamaan datas adalah sebaga berkut: - etap penambahan 1 mm serat kayu pnus (X 1 ) akan menngkatkan rata-rata berat jens potongan kayu pnus sebesar 0,0001, jka kecepatan tumbuh (X ), kelembaban tanah (X 3 ), penyerapan cahaya pada kayu pnus (X 4 ), dan kadar ar pada kayu (X 5 ) tetap. - etap penambahan 1 mm pertumbuhan pnus (X ) tdak membuat rata-rata berat jens potongan kayu pnus berubah karena nla estmasnya nol. - etap penambahan 1 persen kelembaban tanah (X3) akan menurunkan ratarata berat jens potongan kayu pnus sebesar 0,0056 apabla serat kayu pnus (X 1 ), kecepatan tumbuh (X ), penyerapan cahaya pada kayu pnus (X 4 ), dan kadar ar pada kayu (X 5 ) tetap. - etap penambahan 1 persen penyerapan cahaya pada kayu pnus (X4) akan menurunkan rata-rata berat jens potongan kayu pnus sebesar 0,004 apabla serat kayu pnus (X 1 ), kecepatan tumbuh (X ), kelembaban tanah (X 3 ), dan kadar ar pada kayu (X 5 ) tetap. - etap penambahan 1 persen kadar ar pada kayu (X5) akan menngkatkan rata-rata berat jens potongan kayu pnus sebesar 0,0047 apabla serat kayu pnus (X 1 ), kecepatan tumbuh (X ), kelembaban tanah (X 3 ), dan penyerapan cahaya pada kayu pnus (X 4 ) tetap.

55 41 - Jka serat kayu pnus (X 1 ), kecepatan tumbuh (X ), kelembaban tanah (X 3 ), penyerapan cahaya pada kayu pnus (X 4 ), dan kadar ar pada kayu (X 5 ) sama dengan 0, maka berat jens potongan kayu pnus adalah 0,4448. Dalam hal n berart tdak bermakna. elan dengan regres robust MM, cara lan dgunakan untuk mengetmas parameter adalah metode kuadrat terkecl (MKT) dengan data penclan dhapus. Tabel 3.8. Hasl Estmas MKT dengan penclan dhapus Berdasarkan tabel 3.7 dan tabel 3.8, terlhat bahwa hasl estmas untuk metode MM dan metode kuadrat terkecl dengan data penclan dhapus tdak jauh berbeda. Tetap menghapus data penclan bukanlah tndakan yang bak, karena adakalanya data yang mengandung penclan merupakan data yang berpengaruh terhadap keseluruhan data, selan tu juga dengan mengahapus sebagan data berart mengubah data asl yang sudah ada yang mungkn dapat memberkan resko kesalahan yang besar pada hasl estmas. Dengan demkan metode yang dgunakan untuk mendapatkan hasl estmas yang bak dan bersfat robust pada data yang mengandung penclan adalah metode estmas MM.

56 BAB IV PENUTUP A. Kesmpulan Dar hasl pembahasan dapat dambl kesmpulan sebaga berkut: 1. Prosedur estmas parameter pada model regres lner ganda dengan regres robust estmas MM adalah sebaga berkut: a. Menghtung estmas awal koefsen β j dan resdual e dar regres robust dengan hgh breakdown pont (estmas ) dengan bobot huber / bsquare (dlhat sebaga bentuk estmas M). b. Resdual e pada langkah pertama dgunakan untuk menghtung skala estmas σ s dan dhtung pula pembobot awal w. c. Resdual e dengan skala estmas σ s pada langkah kedua dgunakan dalam teras awal sebaga penaksr WL untuk menghtung koefsen regres. e n w x = 0 = 1 σ, s w merupakan pembobot Huber/bsquare. d. Menghtung bobot baru () w dengan skala estmas dar teras awal WL. e. Mengulang langkah, 3, 4 (dengan skala estmas tetap konstan) sampa mendapatkan n ( m) e = 1 konvergen (selsh ( m 1) β + j dan β mendekat 0, ( m ) j dengan m banyaknya teras).. Dalam penulsan n data yang dgunakan adalah data regres lner berganda dan data yang terdentfkas penclan. Contoh kasus pertama mengena 4

57 43 hubungan antara gaj tahunan matematkawan dengan ndeks mutu publkas, lama pengalaman, dan ndeks keberhaslan dalam memperoleh dukungan dana dan pada kasus kedua mengena hubungan antara berat jens kayu pnus dengan serat kayu pnus, kecepatan tumbuh, kelembaban tanah, penyerapan cahaya pada kayu pnus, dan kadar ar pada kayu. Hasl pada kedua contoh menunjukkan bahwa regres robust estmas MM menghaslkan persamaan regres yang tdak jauh berbeda dengan MKT dengan data penclan yang dhapus. Tetap MKT tdak bak dgunakan dalam kasus yang mengandung penclan karena menghapus data tdaklah bak, dengan menghapus sebagan data berart akan mengubah data asl. Jka menggunakan regres robust estmas MM, data penclan tdak dhapus sehngga dapat mengestmas dengan tetap menggunakan data asl. Dengan begtu regres robust estmas MM adalah alternatf yang tepat untuk data yang mengandung penclan. B. aran 1. Dalam penulsan skrps n metode regres robust yang dgunakan adalah estmas MM. Oleh karena tu bag yang bermnat untuk membahas regres robust dapat menggunakan estmas lan sepert estmas, LT dan LM.. Dalam penulsan n untuk mendapatkan hasl estmas dbantu dengan software A 9.1, tetap software lan juga bsa dgunakan sepert software - PLU.

58 DAFTAR PUTAKA Ban, J. L. & Engelhardt, M. (199). Introducton To Probablty And Mathematcal tatstcs. nd. ed. Calforna: Duxbury Press. Chen, C. (00). Robust Regresson and Outler Detecton wth the ROBUTREG Procedure. UGI Paper North Carolna: A Insttute. Copt,. & Herter,. (006). Robust MM-Estmaton and Inference n Mxed Lnear Models. NHMRC Clncal Trals Centre, Unversty of dney. Draper, R. N. & mth, H. (1998). Appled Regresson Analyss. New York: John Wley & ons Inc. Fox, J. (00). Robust Regresson. Appendx to An R and -Plus Companon to Appled Regresson. January, 00. Imam Ghozal. (006). Aplkas Analss Multvarat dengan Program P. emarang: Badan Penerbt Unverstas Dponegoro. Greene, W. H. (000). Econometrcs Analyss. 4 th. ed. New Jersey: Prentce Hall. Gujarat, D. N. (004). Basc Econometrcs. 4 th. ed. New York: McGraw-Hll. Huber, P. J. (1973). Robust Regresson: Asymptotcs, conjectures and Monte Carlo, Ann. tat., Vol. 1, No.5, Khattree, R. & Nak, N. D. (1999). Appled Multvarate tatstcs Wth A oftware. nd. ed. North Carolna: A Insttute Inc. Maronna, A. R., Martn, D. R., & Yoha, J. V. (006). Robust tatstcs Theory And Methods. an Francsco: John Wley & ons Inc. Montgomery, C. D., & Peck, A. E. (198). Introducton To Lnear Regresson Analyss. New York: John Wley & ons Inc. Netter, J., W. Wasserman, & M. H. Kutner. (1997). Appled Lnear tatstcal Models (Bambang umantr. Terjemahan). Illnos: Homewood. Buku asl dterbtkan tahun1990. O Kelly, M. (006). A Tour Around PROC ROBUTREG. Paper T01. Dubln: Quntles Ireland Ltd. 44

59 45 Rousseeuw, P. J. Least Medan of quares Regresson. (1984). Journal of Amercan tatstcal Assocaton, Vol. 79, No. 388, Rousseeuw, P. J and Yoha, V. (1984). Robust Regresson by Means of Estmator, n Robust and Nonlner Tme eres Analyss, edted by J. Franke, W, Hardle, and R.D. Martn, Lecture Notes n tatstcs 6, prnger Verlag, New York, A TAT User s Gude, Verson 9.1. (004). North Carolna: A Insttute. oemartn. (007). Outler (Penclan). Bandung: UNPAD. Yaffe, A. R. (00). Robust Regresson Analyss: ome Popular tatstcal Package Optons. Academc Computng ervces, Informaton Technology ervces. Yoha, V. J. (1987), Hgh Breakdown Pont and Hgh Effcency Robust Estmates for Regresson, Annals of tatstcs, Vol. 15, No. 0,

60

61 46 Lampran 1 Prosedur manual mencar estmator MM: A. Prosedur manual pada contoh kasus I Prosedur estmas parameter pada model regres lner ganda dengan regres robust estmas MM secara manual: 1. Menghtung estmator awal dan resdual Dengan bantuan software A 9,1 ddapat: e dar metode estmas. Berdasarkan output datas ddapatkan nla parameter teras 1: β β β β = 18,3309 = 0,9958 = 0,3181 = 1,3334

62 47 Estmator dar metode tersebut kemudan dgunakan untuk mencar nla resdual Dengan e : e = Y Y Y X1 X X3 Y e 33, 3,5 9 6,1 3,8184 0, ,3 5,3 0 6,4 38,5044 1, ,7 5,1 18 7,4 39,0044 0, ,8 5,8 33 6,7 43,5376 3,638 41,4 4, 31 7,5 4, , , ,9 36, , , ,0554, ,7 5, ,6844, ,1 3,1 5 5,8 30,741 0,641 5,9 7, 47 8,3 51, , , 4, ,4315 0, ,8 4,9 11 6,4 35,4318 3, , ,6 43, , ,1 6, ,709 1,1709 4,8 6, , , ,6 3,7 1 4,4 34,564 0,964 34, 6, 7 5,5 34,0656 0, ,3593 0, ,448 3,448 35,9 4,5 3 3,5 34,795 1, ,4 5,9 33 4,9 41,3708 0, ,8 5,6 7 4,3 38,97 1,497 45, 4, , , ,1 3, ,6530 1, Resdual e pada langkah pertama dgunakan untuk menghtung pembobot awal w (dengan bobot Tukey bsquare).

63 48 Berdasarkan output A pada langkah pertama datas terlhat nla scale (penduga dar σ ) adalah 1,875. e / σ ps (e / σ ) w 0,1185 0, , , , ,5001-0, , , , , , , ,8438 0,5331 0,654 0, , ,146-0, , ,1097 0, ,4884-0, ,1901 0, , , , ,405 0,6414 0, , ,7446 0, ,4484-0,1334 0, , ,3376 0, , , , ,5663-0,8093 0, , , , , , , , ,7469 0, , , ,5915-0, ,4587 0, ,7833-0, , , , , , , , Resdual e dengan σ s pada langkah kedua dgunakan dalam teras awal sebaga penaksr WL untuk menghtung koefsen regres, w menggunakan pembobot Tukey bsquare. Nla w djadkan matrks dagonal nxn dengan w merupakan elemen dagonalnya, Kemudan dmasukkan kepersamaan dbawah n untuk mendapatkan nla.

64 49 ehngga ddapat nla parameter pada teras kedua: 4. Menghtung bobot baru Mencar nla e = Y Y () () () w dengan skala parameter dar teras awal WL, Y () Y () () e e () ps (e / σ / σ ) () w 33, 3,615 0, , , , ,3 38,493 1, ,0368 0, , ,7 38,8857-0,1857-0,1016-0, , ,8 43, ,8994 1,8003 0, , ,4 4,59-0,859-0, ,471 0, ,5 36,7486 1,5145 0, , , , , , , , ,7 38,705 1, , , , ,1 30,506-0,406-0,996-0,153 0, ,9 51, , ,733 0, , , 37, , , , , ,8 35,1659-3,3659-1,803-0, , ,3 43, , ,7964-0, , ,1 45,8194-1, , , , ,8 44,051-1,51-0,685-0, , ,6 34, , , ,4771 0, , 34,0496 0, , , , ,4104 0, ,371 0, , ,3331-3,3331-1,8386-0, , ,9 34, , ,6875 0, , ,4 41,6183-0, , ,585 0, ,8 38,4016-1, , , , , 44, , , , , ,1 33, , , , ,510534