PENERAPAN MODEL REGRESI LINEAR ROBUST DENGAN ESTIMASI M PADA DATA NILAI KALKULUS II MAHASISWA UNIVERSITAS WIDYA DHARMA KLATEN

Transkripsi

1 PENERAPAN MODEL REGRESI LINEAR ROBUST DENGAN ESTIMASI M PADA DATA NILAI KALKULUS II MAHASISWA UNIVERSITAS WIDYA DHARMA KLATEN Yulana Abstrak:Model persamaan regres lnear dapat dnyatakan dalam bentuk matrks sebaga y X u, dengan dengan j 1, 2,, p adalah parameter yang belum dketahu dar n pengamatan y y, y, 1 2, yn, dengan x j adalah koefsen yang dketahu dan u adalah varabel random ndependen dan berdstrbus dentk. Dalam pengamatan serngkal dtemukan observas yang nlanya jauh berbeda dengan observas lannya. Observas n dsebut sebaga outler yang mengakbatkan asums kenormalan pada regres lnear dlanggar. Regres lnear robust dengan estmas M tdak peka terhadap suatu data yang mengandung pengamatan outler. Dengan estmas n, pengamatan outler n tdak perlu dbuang dar observas karena serngkal justru pengamatan outler sangat berart dalam observas. Peneltan n bertujuan untuk menunjukkan bahwa regres lnear robust dengan estmas M dapat mengatas suatu data yang mengandung pengamatan outler. Setelah tu, penelt menerapkannya pada data nla kalkulus II pada mahasswa Unverstas Wdya Dharma Klaten. Dar data n, penelt mendapatkan persamaan model regres lnear robust: Y 0,177X1 0, 655 0,947, dengan Y menunjukkan nla kalkukulus II, X 1 menunjukkan nla kalkulus I, dan menunjukkan nla trgonometr. Kata kunc : Model regres lnear, Pengamatan outler, Regres lnear robust estmas M. Model regres lnear merupakan suatu persamaan yang menyatakan adanya hubungan antara varabel tak bebas (dependen) dengan varabel bebas (ndependen) secara lnear. Model persamaan regres lnear dapat dnyatakan dalam bentuk matrks sebaga y X u. Varabel y adalah vektor respon, X ( x j ) adalah matrks desan berordo n p ( p n) full rank dan nlanya dketahu, merupakan parameter yang belum dketahu berordo p 1 dan u adalah suatu vektor random sesatan atau selsh nla yang dharapkan dengan nla observas dengan ordo n 1. 2 Dstrbussesatan u adalah N (0, ), dentk dan salng ndependen antara respon satu dengan respon yang lannya. Asums n menghaslkan model regres lnear normal sederhana. Dalam sejumlah data hubungan sebenarnya jarang dapat dketahu akan tetap hubungan tersebut dapat destmas berdasarkan data pengamatan. Metode yang populer dgunakan adalah estmas kuadrat terkecl. Hal n ddasarkan pada kenyataan bahwa a memnmumkan jumlah kuadrat perbedaan nla yang dharapkan dengan nla observasnya. Dalam pengamatan serngkal dtemukan observas yang nlanya jauh berbeda dengan observas lannya. Observas n dsebut sebaga outler yang mengakbatkan asums kenormalan pada regres lnear dlanggar. Nla observas n bsa dosen Unverstas Wdya Dharma Program Stud Penddkan Matematka, Fakultas Keguruan dan Ilmu Penddkan 87

2 terlalu besar bahkan bsa terlalu kecl dbandngkan dengan lannya. Menurut Sembrng (1995: 72) kategor suatu observas dkatakan outler jka observas tersebut tdak mengkut pola umum model atau nla sesatannya berjarak tga kal standar devasnya atau lebh dar rata ratanya (yatu nol). Observas outler dapat menyebabkan estmas parameter regres lnear tdak tepat sehngga regres yang memlk observas outler harus dambl langkah tepat dalam mengatasnya. Penangganan yang mudah dlakukan adalah dengan membuang observas outler tersebut dar sekumpulan data, kemudan membandngkan estmas data tersebut dengan data penuh. Tndakan n belum tentu bjaksana dkarenakan observas outler serngkal justru memberkan nformas sangat berart dalam estmas. Oleh karena tu sangat dsayangkan jka observas outler tersebut dbuang dar pengamatan. Dengan melhat data mahasswa Unverstas Wdya Dharma Klaten semester I jurusan Penddkan Matematka tahun 2012/2013, sebagan besar mereka berasal dar lulusan SMA IPS dan SMK. Hanya sebagan kecl, mereka yang berasal dar SMA IPA. Padahal mata kulah kalkulus II yang ddalamnya dpelajar mater ntegral harus sudah dpaham sejak d SMA IPA. Adapun sebaga prasyarat dalam mengambl mata kulah kalkulus II, yatu kalkulus I dan trgonometr yang dpelajar d semester I. Melhat konds semacam n, sangat dmungknkan data nla kalkulus II yang dpelajar pada semester II akan memuat suatu data outler sehngga untuk menemukan model regres lnear perlu penanganan khusus. Metode estmas regres robust adalah salah satu alternatf dalam mengatas permasalahan regres lnear, jka dyakn data mengandung suatu outler. Estmas regres robust tdak senstf terhadap observas outler sehngga asums kenormalan pada regres lnear mash tetap dpenuh. Metode regres robust menurut Huber (1981: 43) mempunya tga estmas, yatu estmas L (kombnas lnear dar statstk order/terurut), estmas M (estmas dengan maksmum lkelhood) dan estmas R (estmas yang berasal dar uj rank). Estmas M lebh fleksbel dan dapat dgunakan untuk menyelesakan masalah estmas multparameter. Dalam menentukkan estmas parameter, pada aplkasnya estmas M lebh mudah dgunakan dbandngkan dengan estmas R maupun estmas L. METODE Peneltan yang dlakukan oleh penelt dlaksanakan d Unverstas Wdya Dharma Klaten yang beralamat d Jalan K Hajar Dewantoro, Klaten, kotak pos Dalam peneltan n, yang dmaksudkan subjek peneltannya, yatu mahasswa angkatan 2012/2013. Dar subjek peneltan, dambl data nla kalkulus I dan nla trgonometr sewaktu subjek kulah berada pada semester 1, sedangkan nla kalkulus II dambl saat subjek kulah berada pada semester 2. Metode peneltan yang dgunakan penuls dalam peneltan n melput stud pustaka dan stud kasus. Data yang dgunakan pada peneltan n merupakan data nla ujan akhr semester II mata kulah kalkulus II sebaga varabel dependen dan nla ujan akhr semester I mata kulah kalkulus I dan trgonometr sebaga varabel ndependen. Semua data dperoleh dar pengamatan yang sudah dlakukan oleh penelt pada mahasswa jurusan penddkan matematka 2012/2013. Adapun langkah langkah yang dlakukan oleh, yatu (1) menunjukkkan sfatsfat dar estmas M, (2) mengumpulkan data hasl pengamatan nla ujan akhr semester mata kulah 88

3 kalkulus I, trgonometr, dan kalkulus II, (3) melakukan estmas parameter model regres lnear menggunakan metode kuadrat terkecl (MKT), (4) melakukan dentfkas bahwa dar data pengamatan yang telah terkumpul tersebut mengandung suatu pengamatan outler, (5) melakukan estmas parameter model regres lnear dengan estmas M secar teras, (6) memperoleh estmas parameter pada masngmasng terasnya, penelt menggunakan metode kuadrat terbobot, (7) langkah 5 dan 6 d atas dulang secara terus menerus hngga dperoleh estmas parameter model yang konvergen. Untuk memudahkan dalam perhtungan, perhtungan estmas dlakukan menggunakan program komputer, yatu SPSS Statstcs 17 dan perhtungan secara manual. Dalam peneltan n menggunakan uj hpotess t untuk menunjukkan bahwa secara ndvdu varabel X 1 dan berpengaruh atau berart terhadap varabel Y. Adapun langkah langkah uj statstknya sepert dalam Budyono (2004 : 124). Selan menggunakan uj t, penelt melakukan analss menggunakan uj F. Dengan uj F n, penelt hendak menunjukkan bahwa varabel ndependen berpengaruh terhadap varabel dependennya sepert dalam Budyono (2004 : 129). HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Sebelum memperoleh suatu model regres lnear dengan estmas M, pada pembahasan n akan dbahas dahulu mengena estmas M, kemudan mengdentfkas outler dar data yang telah dkumpulkan. Selanjutnya, dar stud kasus dperoleh suatu data yang dgunakan untuk mendapatkan model regres yang tepat. Stud kasus yang dgunakan adalah hubungan nla kalkulus I dan nla trgonometr terhadap nla kalkulus II pada mahasswa Unverstas Wdya Dharma Klaten. Pada umumnya, metode kuadrat terkecl (MKT) dgunakan untuk estmas parameter regress lnear. Akan tetap, estmas parameter menggunakan metode kuadrat terkecl menjad kurang bak apabla dstrbus resdualnya tdak normal dan mengandung outler. Salah satu solus untuk mengatas permasalahan n, yatu menggunakan regres robust. Regres robust n tdak senstf terhadap data yang mengandng pengamatan outler. Metode regres robust yang palng serng dgunakan adalah estmas M, yang dperkenalkan oleh Huber pada tahun 1973 (Chen, 2002). Secara umum, persamaan model regres llnear yatu Y 0 1X 1 2 X 2... p X p X, untuk data ke dan n pengamatan. Taksran model regres lnear berganda, yatu Y b0 b1 X1 b2 X 2... bp X p X b. Menurut Fox (2002), estmas M memnmalsas fungs objektf dengan persamaan ( ) n e ( y Xb). Kemudan, dar persamaan 1 n dcar turunan pertama parsal terhadap parameternya j dengan j = 0,1,2,,k dan dsamadengankan nol. Hal n menghaslkan p = k + T 1 dengan persamaan (1) : n ( Y Xb) X 0, 1 dengandengan ' dan merupakan fungs nfluence yang dgunakan untuk memproleh fungs bobot. Lalu, resdualnya dstandarsas sehngga persamaan (1) menjad per samaan (2) ( Xb) T : n Y X 0. Menurut Fox (2002), 1 nla nla yang harus dtentukan dahulu untuk estmas parameternya,yatu MAR / 0, 6745, dengan MAR merupakan Medan Absolute Resdual, yang dapat dcar menggunakan rumus 1 MAR Y Y n n 1. Kemudan menggunakan 89

4 fungs pembobot w ( e ) / e, dengan merupakan nla resdual yang telah dstandardsas, sehngga e e /. Dengan memasukkan nla nla n, maka persamaan (2) dapat dtuls menjad persamaan (3): n 1 ( Y Xb) w T X 0 atau n n T T X X Xb wy w. Persamaan (3) agar lebh mudah dalam penyelesannya dapat dtuls dalam bentuk matrks menjad persamaan (4) : T T X WXb X WY, dengan W merupakan matrks dagonal berukuran, dengan w sebaga elemen dagonalnya. Persamaan (4) T 1 dkalkan dengan (X WX) pada kedua ruasnya, sehngga menjad persamaan (5) : T 1 T b (X WX) X WY. Bentuk n merupakan penyelesaan estmas parameter regres lnear kuadrat terkecl yang terbobot. Dengan persamaan n, parameter regres robust n dapat destmas dengan tepat. Agar lebh efsen, penelt menggunakan program SPSS Statstcs 17 untuk mendapatkan hasl sepert pada persamaan (5) d atas. Penelt ngn mengetahu hubungan nla kalkulus I (X 1 ) dan nla trgonometr ( ), terhadap nla kalkulus II (Y) dengan melhat model regres lnearnya. Dar peneltan yang telah dlakukan oleh penelt dperoleh data sebaga berkut. e Tabel 1. Data Pengamatan Nla No. Y X 1 No. Y X

5 Dar data yang telah terkumpulkan sepert pada Tabel 1 d atas destmas menggunakan MKT untuk mendapatkan estmas parameter model regres lnear berganda. Rumus yang dgunakan adalah T 1 T (X X) X Y. Agar lebh efsen, penelt menerapkan program SPSS Statstcs 17. Hasl estmas parameter yang dperoleh, yatu b 0 = 25,029, b 1 = 0,304, dan b 2 = 0,774 sehngga taksran model regres lnear, yatu Y 0,304X1 0, , 029. Dalam peneltan n, outler dar suatu pengamatan dapat ddentfkas dengan metode grafs, dengan melhat boxplot, dan nla DfFITS. Identfkas outler melalu metode grafs dapat menggunakan boxplot. Hasl yang dperoleh menggunakan SPSS Statstcs 17 dapat dlhat melalu gambar sebaga berkut. Gambar 1 Boxplot Identfkas Outler 91

6 Suatu data dkatakan outler apabla data tersebut bernla kurang dar 1,5 IQR terhadap kuartl 1, atau bernla lebh dar 1,5 IQR terhadap kuartl 3. Oleh karena tu, dperlukan perhtungan nla kuartl 1, kuartl 3, dan IQR agar dapat mengdentfkas outler menggunakan boxplot. Adapun perhtungan IQR terlhat pada Tabel 2 berkut. Tabel 2. Perhtungan IQR Varabel Nla Q 1 Nla Q 3 Nla IQR Y X Berdasarkan data pada Tabel 2, dketahu bahwa tdak terdapat data yang nlanya kurang dar 1,5 kal IQR terhadap Q 1, atau nlanya kurang dar 1,5 kal IQR terhadap Q 1, namun terdapat data yang nlanya lebh dar 1,5 kal IQR terhadap Q 3. Oleh karena tu, dapat dsmpulkan bahwa ttk yang terdapat d luar kotak boxplot merupakan suatu pengamatan outler. Selanjutnya data keberapa saja yang merupakan outler dapat dketahu menggunakan metode DfFITS. Selan menggunakan metode grafs, penelt melakukan dentfkas outler dengan metode DfFITS. Data yang merupakan pengamatan outler, yatu data yang nla mutlak DfFITS nya lebh besar dar 2 p / n 2 2 / 48 0, 408. Adapun, nla DfFITS dar data pada Tabel 1 terlhat pada Tabel 3 berkut. Tabel 3. Nla DfFITS Data DfFITS DfFITS Data DfFITS DfFITS Data DfFITS DfFITS

7 Berdasarkan nla DfFITS pada Tabel 3 d atas, terlhat bahwa terdapat data yang nlanya lebh besar dar 0,408 (data yang dcetak tebal). Data tersebut menunjukkan pengamatan outler. Adapun yang termasuk ke dalam pengamatan outler adalah pada data ke 2, ke 3, ke 4, ke 7, ke 15, data ke 9, data ke 10, data ke 12, data ke 13, data ke 14, data ke 15, data ke 16, data ke 18, data ke 24, data ke 26, data ke 28, data ke 32, data ke 33, data ke 42, data ke 45, dan data ke 46. Selanjutnya, untuk mengatas pengamatan outler tersebut sehngga dperoleh regres lnear yang tepat dgunakan suatu regres robust estmas M. Penelt melakukan estmas pa rameter model regres menggunakan metode kuadrat terkecl, sehngga ddapatkan y ˆ,0, dan menghtung ˆ,0 y y,0, yang dperlakukan sebaga nla awal. Berdasarkan hasl estmas regres lnear berganda dengan MKT, dperoleh b 0 = 25,029, b 1 = 0,304, dan b 2 = 0,774. Untuk efsens perhtungan, penelt menggunakan program SPSS Stattstcs 17. Dar data n dcar, kemudan dcar nla estmas model dan nla resdual, yang hasl selengkapnya dapat dlhat pada data Tabel 4 berkut. Tabel 4. Nla Estmas Model dan Nla Resdual No. X 1 Y Y, 0, No. X 1 Y Y, 0,

8 Langkah berkutnya menentukan nla ˆ 0 dan pembobot awal w ( ) dengan,0,0,0,0,0 ˆ0. Nla dcar dengan. Metode yang dgunakan untuk memperoleh fungs pembobot, yatu metode Huber, dengan nla koefsen c = 1,345. Apabla menggunakan nla sepert pada Tabel 4 dperoleh. Hasl perhtungan pembobot dapat dlhat pada Tabel 5 berkut. Tabel 5. Perhtungan Pembobot Awal,0, 0 (, 0 w, 0 ) ,0, 0 (, 0 w, 0 )

9 Dar data d atas dsusun matrks pembobot berupa matrks dagonal dengan elemen dagonalnya adalah w,0. Kemudan, penelt menghtung penaksr koefsen regres menggunakan rumus tersebut sehngga dperoleh nla estmas parameter yatu : b robust ke 1 12,943 0,199. Agar lebh efsen dalam 0,694 perhtungan, penelt menggunakan program SPSS Statstcs 17. Estmas penaksr koefsen regres dengan teras dlakukan secara terus menerus, hngga dperoleh penaksr yang konvergen. Haslnya sepert pada Tabel 6 berkut. Tabel 6. Hasl Iteras Estmas Parameter Iteras b 0,robust b 1,robust b 2,robust 1 12,943 0,199 0, ,886 0,182 0, ,220 0,178 0, ,052 0,177 0, ,051 0,177 0, ,049 0,177 0, ,047 0,177 0, ,047 0,177 0,655 Berdasarkan data pada Tabel 6, terlhat bahwa selsh estmas parameter pada teras ke 8 dan ke 7 sudah sama dengan nol sehngga penelt tdak perlu melakukan perhtungan pada teras berkutnya. Hal n menunjukkan bahwa estmas parameter telah konvergen, sehngga dperoleh model regres robust dengan estmas M, yatu: Y 0,177X 0, 655X 0, Agar persamaan regres robust dengan estmas M yang dperoleh dapat dpaka untuk melakukan predks secara cermat, koefsen regres pada model regres lnear robust dengan estmas M perlu duj sgnfkansnya terlebh dahulu. Dalam peneltan n, koefsen regres lnear pada model regres robust perlu dlakukan uj secara ndvdu dan uj serentak. Pada uj ndvdu n, penelt menguj varabel X 1 dan secara terpsah. Hpotess yang dgunakan, yatu: H 0 : Koefsen model regres robust tdak sgnfkan dan H 1 : Koefsen model regres robust sgnfkan. Taraf sgnfkans yang dgunakan, yatu ± = 0,05. Statstk uj yang dgunakan, yatu nla t untuk mengambl suatu kesmpulan yang dapat htung b dcar menggunakan rumus t s. Nla t htung yang b dperoleh terlhat pada Tabel 7 berkut. Tabel 7. Nla t htung Model Regres Lnear Robust Varabel Nla t htung X 1 2,023 2,142 Dengan mengambl taraf sgnfkasns ± = 0,05 dan n = 48 maka dperoleh nla t tabel = 2,0106. Dar data pada Tabel 7 d atas dketahu bahwa nla t htung untuk varabel X 1 = 2,023 sedangkan nla t htung untuk varabel = 2,142. Nla t htung pada model regres robust n, keduanya masng masng mempunya yang nla lebh besar dar nla t tabel, sehngga keputusanya menolak H 0. Hal n berart bahwa koefsen model regres lnear robust X 1 dan, keduanya sgnfkan. 95

10 Pada uj serentak n, penelt menguj varabel X 1 dan secara bersamaan. Hpotess yang dgunakan pada uj serentak yatu: H 0 : Varabel bebas pada model regres lnear robust tdak berpengaruh terhadap varabel tak bebasnya, dan H 1 : Varabel bebas pada model regres lnear robust berpengaruh terhadap varabel tak bebas. Taraf sgnfkans yang dgunakan, yatu ± = 0,05. Uj statstk yang dgunakan merupakan Uj F, dengan mencar nla F obs sehngga dapat dgunakan untuk mengambl suatu kesmpulan. Setelah dhtung, nla F obs untuk model regres lnear robust dperoleh sebesar 4,757. Berdasarkan tabel statstk dengan mengambl ± = 0,05, dk RKR = 2, dan dk RKG = 45 dperoleh nla F tabel = 3,204. Karena nla F obs pada model regres robust lebh besar darpada nla F tabel maka penelt menolak H 0. Keputusan n menunjukkan bahwa varabel bebas pada model regres lnear robust berpengaruh terhadap varabel tak bebasnya. Dar kedua uj hpotess d atas menunjukkan bahwa koefsen parameter model regres robust sgnfkan dan varabel ndependennya berpengaruh terhadap varabel dependennya. Hal n berart bahwa model regres robust dengan estmas M pada nla kalkulus II sebaga varabel dependen dan nla kalkulus I dan nla trgonometr sudah tepat. SIMPULAN DAN SARAN Smpulan Berdasarkan hasl peneltan dan pembahasan yang telah durakan d atas dapat dsmpulkan bahwa : (1) melalu regres lnear robust dengan estmas M dperoleh suatu estmas parameter regres yang konvergen tanpa harus membuang pengamatan outlernya. Hal n berart regres lnear robust dengan Estmas M dapat dgunakan untuk mengatas suatu data yang mengandung pengamatan outler. (2) Dar model regres robust yang telah ddapat tersebut dperoleh suatu model regres robust dengan persamaan :. Dar model regres lnear robust n dapat dgunakan untuk mempredkskan suatu nla kalkulus II secara tepat. Saran Pada peneltan n penelt hanya menggunakan estmas M untuk mengatas outler, sehngga untuk peneltan selanjutnya dsarankan dapat menggunakan metode estmas robust yang lan, sepert estmas S, LTS, LMS, dan MM. Dsampng tu, penelt hanya menggunakan data sekunder yang sudah ada. Dar data tu, penelt tdak melakukan analss butr soal dan tdak memerksa valdtas maupun realbltas butr soal. Oleh karena tu, penelt menyarankan kepada peneltan berkutnya untuk melakukan analss valdtas dan realbltas yang menjamn bahwa soal yang dujkan benar benar vald. 96

11 DAFTAR PUSTAKA Ban, L.J. and M. Engelhardt Introducton to Prabablty and Mathematcal Statstcs. Second Edton. Duxbury Press, Calforna. Bartle, R. G Introducton to Real Analyss. John Wlley and sons Inc., Sngapore. Budyono Statstk untuk Peneltan. Surakarta: UNS Press. Dudewcz, E. J. and S. Mshra Modern Mathematcal Statstcs. John Wley and Sons Inc., New York. Huber, P. J Robust Statstcs. John Wley and Sons Inc., New York. Sembrng, R. K Analss Regres. ITB, Bandung.SPSS Statstcs 17. Chen, Coln Robust Regresson and Outler Detecton wth the RobustREG Procedure. SUGI Paper : , SAS Insttute, Cary, NC. 97