MODUL FUNGSI TRANSENDENTAL

Transkripsi

1 MODUL FUNGSI TRANSENDENTAL 4.1 KONSEP TRANSEDENTAL Merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan. Berguna untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang. Termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Tetapi pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. 4.2 FUNGSI EKSPONENSIAL Adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas. Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah : di mana n > 0 y = n x Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah : di mana n 0 y = ne kx + c e = 2,71828 k, c merupakan konstanta Contoh Soal : Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e 0.5x - 1, pada masing-masing sumbu dan hitunglah f (2)! Jawab : Pada sumbu x ; y = 0 e 0,5x = 1 Ln e 0,5x = Ln 1 0,5x Ln e = Ln 1 Ln e = 1 0,5x = 0 Ln 1 = 0 x = 0 Titik potongnya ( 0 ; 0 ) Pada sumbu y ; x = 0 y = e 0,5x - 1 y = e 0,5 (0) - 1 y = e 0-1 y = 1-1 y = 0 Titik potongnya ( 0 ; 0 ) Untuk x = 2 y = e 0,5x - 1 y = e 0,5 (2) - 1 y = e 1 1 Matematika Ekonomi 2 Hal. 40 Periode ATA

2 y = 2,72 1 y = 1,72 Titik potongnya ( 2 ; 1,72 ) Gambar 4.1 Kurva Eksponensial 4.3 FUNGSI LOGARITMIK Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma. Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah : y = n log x di mana n > 0 n 1 Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah : di mana x > -1 y = a ln (1 + x) + b Contoh soal : Tentukan titik potong kurva logaritmik y = - 0,5 Ln (1 + x) 1, pada masing-masing sumbu dan hitunglah f (3)! Jawab : Pada sumbu x ; y = 0-0,5 Ln (1 + x) = 1 Ln (1 + x) = x = e x = 0,14 x = - 0,86 Titik potongnya (-0,86 ; 0 ) Pada sumbu y ; x = 0 y = -0,5 Ln (1 + x) 1 y = -0,5 Ln (1 + 0) 1 y = -0,5 Ln 1 1 y = -0,5.0 1 y = 1 Titik potongnya ( 0 ; -1 ) Untuk x = 3 y = -0,5 Ln (1 + x) 1 Matematika Ekonomi 2 Hal. 41 Periode ATA

3 y = -0,5 Ln (1 + 3) 1 y = -0,5 Ln 4 1 y = -0,69 1 y = -1,69 Titik potongnya ( 3 ; -1,69 ) Grafik 4.2 Kurva Logaritmik pada y = - 0,5 Ln (1 + x) = PENERAPAN FUNGSI TRANSEDENTAL DALAM EKONOMI Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain : MODEL BUNGA MAJEMUK Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa datang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan. Model bunga majemuk ini tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial. Fn = P(1 + i) n atau Fn = P(1 + i m ) m.n di mana : Fn = Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun. P = Jumlah sekarang (tahun ke-0). i = Tingkat bunga pertahun. m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun. n = Jumlah tahun Di sini Fn sebagai variabel terikat (dependent variabel) dan n sebagai variabel bebas (independent variabel). Dengan demikian prinsip-prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan atas model ini. Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun sehingga jumlah di masa datang tersebut dapat diperoleh dengan cara : Fn Pe i.n di mana e = 2,71828 Matematika Ekonomi 2 Hal. 42 Periode ATA

4 Contoh Soal : 1. Seorang pengusaha muda sedang melakukan pengembangan usaha, modal yang dibutuhkan sekitar Rp ,-. Untuk itu, ia meminjam modal ke Bank Konvensional dengan bunga pinjaman 3 % pertahun dan diperhitungkan secara bulanan (1 tahun = 12 bulan) untuk jangka waktu 4 tahun. Hitunglah jumlah yang harus dibayarkan oleh pengusaha muda tersebut pada saat pinjamannya jatuh tempo! Jawab: A. Dengan Rumus Bunga Majemuk Biasa 1). Tanpa Menggunakan Logaritma i Fn = P(1 + m ) m.n F 4 = (1 + 0,03 ) F 4 = (1,0025) 48 F 4 = (1,127) F 4 = ,- 2). Dengan Menggunakan Logaritma F 4 = (1,0025) 48 Log F 4 = log log 1,127 Log F 4 = 7,3 + 0,0519 Log F 4 = 7,3519 F 4 = ,- B. Dengan Rumus Bunga Majemuk Sinambung 1). Tanpa Menggunakan Logaritma Fn Pe i.n F e 0,03. 4 F (e 0.12 ) (1,13) ,- 2). Dengan Menggunakan Logaritma Natural F (e 0,12 ) Ln F 4 Ln ,12 Ln e Ln e = 1 Ln F 4 16,81 + 0,12 Ln F 4 16, ,- Analisis : Jumlah uang yang harus dibayar oleh pengusaha muda tersebut saat jatuh tempo adalah sebesar Rp ,-. Hal ini berarti bunga pinjaman dalam jangka waktu 4 tahun yang harus dibayar adalah sebesar Rp ,-. Matematika Ekonomi 2 Hal. 43 Periode ATA

5 Langkah-langkah menggunakan software : 1. Buka materi matek 2, lalu klik materi transcendental, klik aplikasi. Gambar 4.3 Tampilan Aplikasi Materi Fungsi Transedental 1. lalu pilih icon model bunga majemuk. Gambar 4.4 Tampilan Materi Fungsi Transedental 2. masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui. Matematika Ekonomi 2 Hal. 44 Periode ATA

6 Gambar 4.5 Tampilan Output Materi Trasedental Fungsi Bunga Majemuk Catatan : Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma Model Pertumbuhan Model pertumbuhan juga merupakan salah satu bentuk eksponensial. Model semacam ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi dapat juga diterapkan untuk menaksir variabel - variabel lain, berkenaan dengan pertumbuhannya dan dapat dirumuskan sebagai berikut : P t = P 1. R t-1 R = 1 + r dimana : P t = Jumlah penduduk pada tahun ke-t. t = Jumlah tahun. P 1 = Jumlah penduduk sekarang. r = Tingkat pertumbuhan Matematika Ekonomi 2 Hal. 45 Periode ATA

7 Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variabel dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi : N t = N 1.R t-1 R = 1 + r di mana : N = Variabel yang diamati. r = Persentase pertumbuhannya persatuan waktu. t = Indeks waktu. Contoh Soal : 1. Indomart adalah sebuah toko sembako, mulai beroperasi pada awal tahun 2001 dengan jumlah pegawai sebanyak 222 orang. Pertumbuhan pegawai diperkirakan sebanyak 15% pertahun. Yang ditanyakan berapakah jumlah pegawai alfamart pada tahun 2009 dan berikan analisanya? Diketahui : N = 222 t = 9 R = 1 + 0,15 1,15 Ditanya : Ns? Jawab : Nt = N1 * R^t-1 N = 222 (1,15)^9-1 N = 679 pegawai Analisa: dari perhitungan diatas diketahui bahwa jumlah pegawai indomart pada tahun 2009 adalah sebanyak 679 pegawai dengan peningkatan sebanyak 457 pegawai dari tahun Langkah-langkah menggunakan software : Buka materi matek 2, lalu klik materi transcendental, klik aplikasi. Gambar 4.6 Tampilan Aplikasi Materi Fungsi Transedental Matematika Ekonomi 2 Hal. 46 Periode ATA

8 lalu pilih icon model pertumbuhan majemuk. Gambar 4.7 Tampilan Materi Fungsi Transedental Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui. Gambar 4.8 Tampilan Model Pertumbuhan Penduduk Matematika Ekonomi 2 Hal. 47 Periode ATA

9 Catatan : Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma Kurva Gompertz Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus berjalan. di mana : N = Jumlah variabel yang diamati. c = Batas jenuh pertumbuhan. a = Proporsi pertumbuhan awal. r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r <1). t = Indeks waktu. Contoh Soal : 1. Perusahaan MQ Enterprise merupakan produsen produk VCD penyejuk Qolbu yang sudah beroperasi selama 2 tahun. Produksi awal perusahaan sebanyak buah, terjual laris di pasar. jika tingkat rata-rata pertumbuhannya pertahun sekitar 22 %, dengan batas maksimum produksi sebanyak buah, hitunglah berapa jumlah produksi VCD pada tahun ketiga dan analisislah! Jawab : N = c a r t 1. Diketahui : C = buah r = 0,22 A = X = = 0,16 t = 3 C Ditanya : N untuk tahun ke 3 atau N 3 =.? 3. Jawab : Untuk t = 3 N = ( 0,16 )*0,22^ 3 Log N = log ,22 * 3 log 0,16 Log N = 4, ,66. ( - 0,7959 ) Log N = 4,301 0, Log N = 3,776 N = buah Analisis : Dengan produksi awal sebesar buah. Ditambah rata - rata pertumbuhan sekitar 22 % pertahun didapatkan jumlah produksi tahun ke 3 sebesar 5970 buah. Jumlah produksi tahun ke- 3 masih dibawah produksi maksimum perusahaan yaitu buah. Matematika Ekonomi 2 Hal. 48 Periode ATA

10 Langkah-langkah menggunakan software : 1. Buka materi matek 2, lalu klik materi transcendental, klik aplikasi. Gambar 4.9 Tampilan Aplikasi Materi Fungsi Transedental 2. Lalu pilih icon model kutva gompertz Gambar 4.10 Tampilan Materi Fungsi Transedental Matematika Ekonomi 2 Hal. 49 Periode ATA

11 3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui. Gambar 4.11 Tampilan Output Kurva Gompertz Catatan Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma Kurva Belajar ( Learning Curve) Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk menggambarkan prilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel waktu. Bentuk dasar : y = m - se -kx k, m, s > 0 Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat tercapai. Prilaku Produksi : P = P m - P s. e - r. t Matematika Ekonomi 2 Hal. 50 Periode ATA

12 dimana : P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu. P m = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu. P s = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t = 0). t = Indeks waktu. r = Tingkat pertumbuhan produksi. Prilaku Biaya : Modul Praktikum di mana : C = Biaya total persatuan waktu. C m =Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) persatuan waktu. C s = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0). t = Indeks waktu. r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu. Contoh Soal : 1. Percetakan Adil Sejahtera mempunyai mesin cetak yang dapat memproduksi hingga cetakan (produksi maksimum). Pada awal produksi, optimalisasi (pemanfaatan) produksi diperkirakan baru sekitar 30 % dari kapasitas yang tersedia. Namun, manajer operasional yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sekitar 10 % setiap bulannya. Maka: a. Bentuklah persamaan prilaku produksi bulanan percetakan tersebut! b. Berapa jumlah cetakan / produksi perdananya! c. Berapa cetakan yang dapat dioptimalkan / dimanfaatkan perbulannya setelah pabrik beroperasi selama 1 tahun (12 bulan)! d. Analisislah! Jawab : C = C m - C s. e - r. t Diketahui : P m = r = 0,1 P s = 30 % (10.000) = t = 1 tahun (12 bulan) a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan. P = P m - P s. e - r. t P = e 0,1. t b. Jumlah perdana cetakan / produksi. 70 % x = cetakan c. Jumlah cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan). P = e 0,1. t 0,1. 12 = e = ( 0,3012 ) = P = cetakan. Matematika Ekonomi 2 Hal. 51 Periode ATA

13 Analisis : Hasil cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah sebanyak cetakan, di mana dari cetakan pada awal produksi. Hal ini berarti ada peningkatan dalam optimalisasi cetakan selama 1 tahun (12 bulan) sebesar 2.397cetakan. Langkah-langkah menggunakan software : 1. Buka materi matek 2, lalu klik materi transcendental, klik aplikasi. Gambar 4.12 Tampilan Aplikasi Materi Fungsi Transedental 2. lalu pilih icon model kurva belajar (learning curve) Gambar 4.13 Tampilan Materi Fungsi Transedental Matematika Ekonomi 2 Hal. 52 Periode ATA

14 3. masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui. Gambar 4.14 Tampilan Output Materi Kurva Belajar (Learning Curve) Catatan Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma. Matematika Ekonomi 2 Hal. 53 Periode ATA