MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS

Transkripsi

1 Modul Mata Kuliah MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS WIJAYA PUTRA SURABAYA 2014/2015 Erik Valentino, S.Pd., M.Pd

2 DAFTAR ISI Kontrak Perkuliahan... 1 BAB I Barisan dan Deret... 4 BAB II Fungsi BAB III Penggunaan Fungsi Linear Dalam Ekonomi dan Bisnis BAB IV Analisis Break Even Point (Bep) BAB V Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Pendapatan Nasional BAB VI Fungsi Kuadrat (Parabola) Bank Soal Matematika Ekonomi dan Bisnis 1

3 BAB I BARISAN DAN DERET BARISAN adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah barisan dinamakan suku. A. Deret Hitung Adalah barisan yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Ada dua rumus yang digunakan dalam deret hitung : 1. Nilai suku ke n dari deret hitung Un = a + (n 1) b Keterangan: Un= Suku ke-n a = suku pertama b = pembeda n = indeks suku Contoh: 1) Nilai suku ke 101 dari deret hitung 3, 5, 7, 9, 11, adalah. Diket : a = 3 b = 2 n = 101 Ditanya : U101=? Jwb : Un = a + (n 1) b U101 = 3 + (101 1) 2 U101 = x 2 U101 = U101 = 203 2) Diketahui deret hitung berikut 26, 23, 20,..., Tentukan: a. Suku ke 50 dari deret tersebut b. Tentukan banyak semua suku dari deret tersebut. (silakan dicoba) 2. Jumlah nilai dari semua suku pada deret hitung Sn = 1 n (2a + (n 1) b) 2 Keterangan: Sn = Jumlah hingga suku ke-n a = suku pertama b = pembeda n = indeks suku Contoh: Berapa jumlah semua suku s/d suku yang ke 25 dari deret 3, 5, 7, 9, 11, Diket : a = 3 b = 2 n = 25 Dita : S25? Jwb : Sn = 1 n (2a + (n 1) b) 2 Matematika Ekonomi dan Bisnis 2

4 S25 = 1 2 (25) ((2)(3) + (25 1) 2) S25 = 12,5 (6 + (24) 2) S25 = 12,5 (6 + 48) S25 = 12,5 x 54 S25 = 675 Contoh aplikasi dalam ekonomi: 1. Pabrik rokok Kurang Garam menghasilkan bungkus rokok pada tahun pertama berdirinya, dan pada tahun ketujuh. a. Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per tahun? b. Berapa produksinya pada tahun ke-11? c. Pada tahun ke berapakah produksinya bungkus rokok? d. Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke-16? Penyelesaian Diketahui : Produksi tahun pertama = U1 = a = bks U7 Ditanya : = bks a) Pertambahan produksinya per tahun = b =? b) U11 =? c) n =? ; Un = d) Total Produksi sampai tahun ke-16 (S16) =? Jawabn : a) Un = a + (n-1) b U7 = (7-1) b = b 6b = b = b = : 6 b = Jadi, Tambahan produksi Pabrik Rokok Kurang Garam (b) = bks/tahun b) U11 = a + (n-1) b = (11-1) = (10) Matematika Ekonomi dan Bisnis 3

5 = Jadi, Produksi pada tahun ke-11 adalah Rp bks rokok c) n =? ; Un = Un = a + (n-1) b = (n-1) = (n-1) : = (n-1) 15 = n 1 n = 16 Jadi, Pabrik rokok Kurang Garam menghasilkan bks rokok pada tahun ke- 16 d) S16 =? Sn = n/2(2a + (n-1) b) = 16/2[2.( ) + (16-1) ] = 8 [ (15) ] = 8 [ ] = 8 [ ] = Jadi, jumlah total produksi pabrik rokok Kurang Garam selama 16 tahun operasi sebanyak bks. 2. Pabrik Kecap Nambewan memproduksi botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena persaingan keras dari kecap-kecap merk lain, produksinya terus menurun secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi botol. a. Berapa botol penurunan produksinya per tahun? b. Berapa botol produksi pada tahun pertama? c. Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup)? d. Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya? (silakan dicoba) B. Deret Ukur Adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu (dinamakan rasio). Bilangan yang membedakan suku-suku deret ukur dinamakan pengganda atau rasio, yaitu merupakan hasil bagi nilai suku terhadap nilai suku didepannya. Matematika Ekonomi dan Bisnis 4

6 Ada dua rumus yang digunakan dalam deret ukur: 1. Mencari nilai suku ke n dari deret ukur Un = a. r n 1 Keterangan: Un= Suku ke-n a = suku pertama r = rasio n = indeks suku Contoh: Berapa nilai suku yang ke 6 dari deret ukur 2, 4, 8, 16, 32, Diket : a = 2 r = 2 n = 6 Ditanya : U6? Jwb : Un = a. r n 1 U6 = U6 = U6 = U6 = Mencari jumlah sampai dengan n suku pertama Sn = a (1 rn ) 1 r Keterangan: Sn = Jumlah n suku pertama a = suku pertama r = rasio n = indeks suku Contoh: Berapa jumlah 5 suku pertama dari 2, 4, 8, 16, 32, Diket : a = 2 r = 2 n =5 Dita : S5? Jwb : S5 = a (1 rn ) 1 r S5 = 2 (1 25 ) (1 32) S5 = 1 S5 = 2 ( 31) 1 S5 = 62 1 S5 = 62 C. Penggunaan Deret dalam Ekonomi Dalam bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret hitung atau deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relevan ditetapkan untuk menganalisisnya. 1. Model perkembangan usaha Matematika Ekonomi dan Bisnis 5

7 Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, 6actor, produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga atau penanaman modal, berpola seperti deret hitung maka prinsip-prinsip deret hitung digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel tersebut. Berpola deret hitung maksudnya adalah variabel bersangkutan bertambah secara konstan dari satu 6actor6eke periode berikutnya. Contoh soal: Besarnya penerimaan PT. YSSY dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun ke lima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, tentukan: a. berapa perkembangan penerimaannya per tahun? b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama c. Pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp 460 juta? Diket : U5 = U7 = Ditanya : b, a, n dari Un = ? Jwb : Un = a + (n 1) b 720 = a + (5-1) b 980 = a + (7-1) b 720 = a + 4b 980 = a + (6b) -260 = -2b 130 = b Jadi, besar penerimaan pertahun adalah Rp = a + (5 1) b 720 = a + 4 x = a a = a = 200 Jadi, besar penerimaan pada tahun pertama adalah Rp = (n 1) = n = n n = (460-70): 130 n = 390:130 n = 3 Jadi, penerimaan sebesar Rp 460 juta terjadi pada tahun ke Model bunga majemuk Adalah penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan investasi. Dengan modal ini dapat dihitung misalnya, besarnya pengembalian tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima dimana saja. Matematika Ekonomi dan Bisnis 6

8 Jika misalnya modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga pertahun setingkat (i) maka jumlah akumulatif modal tersebut dimasa datang setelah n tahun (Fn) dapat dihitung sebagai berikut: Fn = P (1 + i) n P = jumlah sekarang n = jumlah tahun i = tingkat bunga pertahun Rumus di atas mengandung anggapan tersirat bahwa bunga diperhitungkan/ dibayarkan satu kali dalam satu tahun. Apabila bunga diperhitungkan atau dibayarkan lebih dari satu kali (misal m kali, masing-masing i/m pertermin) dalam satu tahun maka jumlah dimasa depan menjadi: Fn = P (1 + i m ) m.n m = frekuensi pembayaran bunga dalam satu tahun Suku (1 + i) dan (1 + i ) dalam dunia bisnis dinamakan faktor bunga majemuk m (compounding interest factor) yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari satu bilangan yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa yang akan datang dari suatu jumlah sekarang. Dari rumus diatas dengan manipulasi matematis dapat dihitung nilai sekarang apabila yang diketahui jumlahnya dimasa datang. Nilai sekarang (Present Value) dari suatu jumlah uang tertentu di masa datang adalah: P = Fn( 1 (1+i) n) atau P =Fn ( 1 (1+ i m )m.n) 1 suku atau 1 dinamakan factor diskon to (discount factor) yaitu suatu (1+i) n (1+ i )m.n m bilangan yang lebih kecil dari satu yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang. Contoh Soal 1: Seorang pengusaha meminjam uang di bank sebanyak Rp 250 juta, untuk jangka waktu 4 tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 12% pertahun. Dari data tersebut berapa seluruh uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat pelunasan. a. Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar tiap tahun, berapa jumlah uang yang harus dikembalikan? Dan berapa banyak uang yang harus dibayarkan setiap tahun? b. Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar 4 bulanan, berapa jumlah uang yang harus dikembalikan? Dan berapa banyak uang yang harus dibayarkan setiap 4 bulan? Diket : P= n=4 i=12%=0,12 Ditanmya: a. F4 (m=1) b. F4 (m=3) Jwb : a. F4=P(1+i) n F4= (1+0,12) 4 F4= (1,12) 4 F4= (1,57) F4= Matematika Ekonomi dan Bisnis 7

9 Jadi Pembayaran pertahun adalah b. F4= P(1+ i m )m.n = F4= (1+ 0,12 3 )3.4 F4= (1+0,04) 12 F4= (1,04) 12 F4= (1,601) F4= ,64 Jadi Pembayaran perempat bulan adalah ,64 = Contoh 2: Tabungan seorang nasabah akan menjadi Rp tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang? Apabila pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang? Diket : F= i=6%=0.06 n=3 m=2 Ditanya : a. P Jika tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun b. P pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester Jwb: a. P= 1 (1+i) nf 1 P= (1+0,06) P= (1,06) 3 b. P= P= ,19 P= ,82 1 (1+ i m )n.m 1 P= (1+ 0,06 )3.2F 2 P= (1,03) 6 P= ,19 P= ,82 Soal: 3. Seorang pengusaha meminjam uang di bank sebanyak Rp 250 juta, untuk jangka waktu 3 tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 12% pertahun. Dari data tersebut: a. Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar tiap tahun, berapa jumlah uang yang harus dikembalikan? Dan berapa banyak uang yang harus dibayarkan setiap tahun? b. Berapa seluruh uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat pelunasan? Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar 3 bulanan. Berapa jumlah uang yang harus dikembalikan per 3 bulan? Matematika Ekonomi dan Bisnis 8

10 BAB II FUNGSI Fungsi adalah Suatu bentuk matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lainnya. Contoh: Y = 0,8X + 5 Keterangan: X = Variabel bebas (Independent variabel) adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain. Y = Variabel terikat (Dependent variabel) adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain. 0,8 = adalah koefisien variabel X 5 = adalah konstanta D. Fungsi Linear Definisi: Dikatakan fungsi linear apabila variabel X dan Y dalam persamaan tersebut mempunyai pangkat satu. Contoh: y=2x+5 y=-3x+2 Didalam menyelesaikan persoalan fungsi linear ada dua cara yang perlu diketahui, yaitu: 1. Dengan suatu persamaan linear dapat diperoleh suatu grafik Misal: y= x+4 Untuk menggambar grafiknya dicari dengan cara: mencari titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y. Titik potong terhadap sumbu X, terjadi apabila Y = 0 0= - 1 x+4 1 x=4 x= 4 1 x= Titik potong terhadap sumbu Y, terjadi apabila X = 0 y= y=4 2 Setelah ditemukan koordinat pada masing-masing titik potong, kemudian digambar grafik garis lurusnya. Fungsi linear gambar kurvanya adalah garis lurus Jika ada gambar kurva jika ingin diketahui fungsingya harus ada minimal 2 titik yang dilewati oleh garis tersebut. Rumusnya y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1 2. Dengan suatu grafik linear (garis lurus) didapat persamaan fungsinya. Matematika Ekonomi dan Bisnis 9

11 Maka persamaan fungsi linearnya dapat dicari sebagai berikut: y y 1 = x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 y = x y 3 2 = x Hubungan dua garis lurus Dua garis lurus yang sejajar (y 3)4 = 2(x 2) 4y 12 = 2x 4 4y = 2x + 8 y = 1 2 x + 2 : 4 Dua garis lurus yang berhimpit Dua garis lurus yang berpotongan 4. Gradien Adalah koefisien yang menentukan arah garis fungsi linear, biasanya koefisien ini melekat pada variabel X sisi vertikal sisi horizontal Tanda positif dan negatifnya jika gambar kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah maka nilai gradiennya negatif dan juga sebaliknya Contoh: y = x + 3 Jika x = 0 y = 3, koordinat (0,3) Matematika Ekonomi dan Bisnis 10

12 Jika y = 0 x = 3, koordinat (3,0) Matematika Ekonomi dan Bisnis 11

13 BAB III PENGGUNAAN FUNGSI LINEAR DALAM EKONOMI DAN BISNIS A. Fungsi Permintaan (Demand Function) Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang diminta oleh konsumen dengan anggapan bahwa faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus), yaitu selera tetap, pendapatan tetap dan harga barang-barang lain tetap, maka ini menandakan bahwa apabila harga turun jumlah barang yang diminta oleh konsumen naik, demikian pula sebaliknya. 1. Pada saat harga turun P1 ke P2, maka permintaan naik dari Q1 ke Q2 2. Pada saat harga naik P1 ke P3, maka per mintaan turun dari Q1 ke Q3 Hal hal yang perlu diperhatikan 1. P = harga per unit Q = Quantitas barang 2. Kurva permintaan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah 3. P dan Q positif 4. Pada suatu tingkatan harga (P) hanya terkandung nilai kuantitas (Q) dan sebaliknya 5. Skala P dan Q tidak perlu sama, karena harga tidak sama dengan kuantitas. B. Fungsi Penawaran (Supply Function) Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang ditawarkan kepada konsumen, dengan anggapan faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus). Maka apabila tingkat harga meningkat, jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian pula sebaliknya. 1. P1 P2 : Jumlah barang yang ditawarkan naik Q1 Q2 2. P1 P3 : Jumlah barang yang ditawarkan turun Q1 Q3 C. Market Equilibrium (Keseimbangan Pasar) Definisi: Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan apabila jumlah barang yang diminta dipasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik dan grafik hal ini ditunjukkan oleh persamaan : FS = FD Matematika Ekonomi dan Bisnis 12

14 ( Fungsi Penawaran = Fungsi Permintaan) Yaitu pada perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran. Pada posisi keseimbangan pasar ini tercipta harga keseimbangan (equilibrium price) dan Jumlah keseimbangan (equilibrium quantity). Soal: Permintaan terhadap barang XYZ yang terjadi di pasar adalah bila diminta 2000 unit barang, harga per unit barang Rp.1000 dan bila diminta 500 unit barang, harga menjadi Rp Sedangkan penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 6000 unit barang, maka harga per unit Rp , tetapi jika ditawarkan 8000 unit barang, maka harganya akan naik menjadi Rp per unit. Dari data tersebut tentukan: a. Fungsi penawaran dan fungsi permintaan? b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium? c. Gambar kurvanya. D. Pajak dan Subsidi 1. Pajak Definisi: Jenis pungutan yang dilakukan pemerintah terhadap produsen/penjual sehingga beban pajak akan menambah besarnya biaya yang harus dipikul oleh produsen/penjual. Akibatnya harga yang ditawarkan akan naik, kenaikannya sebesar pajak yang dibebankan Pajak ada 2 macam Pajak Per unit (t) Definisi: Pajak yang dikenakan terhadap suatu barang yang besarnya tetap untuk setiap unit barang Sebelum pajak : FS P = aq + b Setelah pajak: FSt P t = (aq + b) + t Khusus Pajak Per unit Pajak yang ditanggung konsumen:(p t P) Q t Pajak yang ditanggung produsen: (Q t. t) (P t P) Q t Pajak yang diterima pemerintah: Q t. t Pajak Persentase Matematika Ekonomi dan Bisnis 13

15 Definisi: Pajak yang dipungut pemerintah dengan persentase yang tetap terhadap penjualan. Pajak persentase (r) Sebelum pajak : FS P = aq + b Setelah Pajak : FSr P = (aq + b)( 1 + r ) 2. Subsidi (S) Definisi: Subsidi merupakan kebalikan dari pajak, pengaruhnya terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan pengaruh pajak. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil sehingga bersedia menjual lebih murah. Sebelum subsidi : FS P = aq + b Setelah Subsidi : FSs P = aq + b S Soal: 1. Permintaan terhadap suatu barang yang terjadi di pasar adalah bila diminta 20 unit barang, harga per unit barang Rp 80 dan bila diminta 60 unit barang, harga menjadi Rp 40, sedangkan penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 90 unit barang harga per unit Rp 40, tetapi jika ditawarkan 120 unit barang harga akan naik menjadi Rp 60 per unit. Dari data tersebut tentukan: a. Carilah fungsi penawaran dan fungsi permintaan? b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium? c. Apabila atas barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 5 per unitnya, tentukan harga dan kuantitas barang yang baru. d. Gambar kurvanya. Jawaban: a. P P 1 = Q Q 1 P P 1 Q Q 1 Fungsi Permintaan FD Q 1 = 20 P 1 = 80 Q 2 = 60 P 2 = 40 Matematika Ekonomi dan Bisnis 14

16 P 80 Q 20 = P 80 Q 20 = (P 40)40 = 40(Q 20) 40P 3200 = 40Q P = 40Q P = 40Q : 40 P = Q Fungsi Penawaran FS Q 1 = 90 P 1 = 40 Q 2 = 120 P 2 = 60 P 40 Q 90 = P 40 Q 90 = (P 40)30 = 20(Q 20) 30P 1200 = 20Q 40 30P = 20Q P = 20Q P = 2 : 30 3 Q + 20 b. FS = FD 2 Q 20 = Q Q + Q = Q + 3 Q = Q = c. FD P = Q FS P = 2 Q E(72,28) FSt P = 2 Q Q = Q = Q = 72 P = Q P = P = 28 E FSt=FD P = 2 Q Q 15 = Q Q = 115 Q = Et(69,31) Q = 69 P = Q P = P = 31 Matematika Ekonomi dan Bisnis 15

17 FD P = Q Q = 0 P = 1OO P = 0 Q = 100 FS P = 2 Q 20 3 Q = 0 P = 20 P = 0 Q = 30 FSt P = 2 Q 15 3 Q = 0 P = 15 P = 0 Q = 22,5 d. FD P = Q Q = 0 P = 0 FS P = 2 Q = 0 Q 20 3 P = 0 P = 100 Q = 100 P = 20 Q = Suatu perusahaan mobil ABC mempunyai data tentang fluktuasi penjualan sebagai berikut. Permintaan dan penawaran terhadap mobil yang terjadi di pasar disajikan dalam Tabel Penawaran dan Tabel Permintaan berikut. Tabel Penawaran Tabel Permintaan Prize (P) Quantity (Q) Prize (P) Quantity (Q) 150juta 800 unit 180 juta 900 unit 190juta 1200 unit 160 juta 1100 unit Dari data tersebut tentukan a. Fungsi penawaran dan fungsi permintaannya. b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium. c. Apabila barang tersebut dikenakan pajak sebesar 10% per unit, tentukan harga dan kuantitas barang pada market equilibriumnya. d. Apabila barang tersebut dikenakan subsidi sebesar 5juta per unit, tentukan harga dan kuantitas barang pada market equilibriumnya (asumsi tanpa pajak). e. Gambar kurvanya. Matematika Ekonomi dan Bisnis 16

18 BAB IV ANALISIS BREAK EVEN POINT (BEP) E. Fungsi Biaya Fungsi biaya menunjukkan hubungan antara biaya total dengan tingkat outputnya (produksi yang dihasilkan). Fungsi biaya terdiri dari : Total Cost (TC) adalah biaya yang dikeluarkan produsen secara keseluruhan dalam memproduksi suatu barang. Variabel Cost (VC) adalah biaya yang dikeluarkan produsen secara berubah-ubah sesuai dengan besar kecilnya produksi yang dihasilkan. Fixed Cost (FC) adalah biaya yang dikeluarkan perusahaan secara tetap (tanah, gedung, mesin). Secara Grafis hubungan ketiga fungsi biaya tersebut adalah sebagai berikut: Keterangan: TC,VC,FC adalah pengganti sumbu Y. Q adalah pengganti sumbu X. FC garis sejajar dengan Q, karena FC tidak dipengaruhi oleh besar kecilnya produksi. VC adalah garis yang berpusat pada titik 0, karena jumlah pengeluarannya tergantung dari kuantitas yang dihasilkan, jadi apabila tidak berproduksi, maka VC = 0 Bentuk umum fungsi biaya linear: TC = aq + b Dimana: TC = Total Cost Q = Kuantitas yang dihasilkan a = Variabel cost b = Fixed cost Matematika Ekonomi dan Bisnis 17

19 F. Fungsi Penerimaan (Revenue) Adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara penerimaan total dengan hasil penjualan produksinya. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut: Keterangan: Grafik TR dimulai dari titik 0, karena pada saat produsen tidak menjual barang hasil produksinya adalah 0, maka TR nya juga 0. G. Analisis Break Even Point (BEP). BEP terjadi apabila garis Total Cost (TC) bertemu dengan garis Total Revenue (TR) dalam satu titik, yaitu titik yang menunjukkan keadaan tingkat penerimaan sama dengan biaya yang dikeluarkan. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut: rugi TR BEP laba TC Soal 1 Fixed Cost suatu toko sepatu : Rp Variable cost Rp / unit. Sedangkan harga jual Rp / unit. Tentukan BEP per unitnya. Soal 2 Perusahaan Usaha Maju memiliki data biaya dan rencana produksi sebagai berikut. a. Biaya Tetap sebulan adalah sebesar Rp.140juta yaitu terdiri dari : biaya gaji pegawai + pemilik = Rp biaya penyusutan mobil kijang = Rp biaya asuransi kesehatan = Rp biaya sewa gedung kantor = Rp biaya sewa pabrik = Rp b. Biaya variable per unit Rp. 75, yaitu terdiri dari : biaya bahan baku = Rp biaya tenaga kerja langsung = Rp biaya lain = Rp Harga Jual per Unit Rp Tentukan BEP perusahaan tersebut. Matematika Ekonomi dan Bisnis 18

20 BAB V FUNGSI KONSUMSI, FUNGSI TABUNGAN DAN PENDAPATAN NASIONAL Seorang ahli dalam bidang ekonomi bernama Keyness, mempunyai pendapat bahwa pengeluaran seseorang untuk konsumsi dipengaruhi oleh pendapatannya. Semakin tinggi tingkat pendapatan maka tingkat konsumsinya juga semakin tinggi. Sejalan dengan pemikiran tersebut dapat dimengerti bahwa seorang yang tingkat pendapatannya semakin tinggi, semakin besar pula tabungannya karena tabungan merupakan bagian dari pendapatan yang tidak dikonsumsikan. H. Fungsi Konsumsi Secara matematis, hubungan fungsional antara konsumsi dan pendapatan dapat ditulis sebagai berikut: C = a + by (a > 0, b > 0) Keterangan : Y = Pendapatan C = Pengeluaran untuk konsumsi a = Besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan nol. b = MPC (Marginal Propensity to Consume) Besarnya tambahan konsumsi karena adanya tambahan pendapatan. I. Fungsi Tabungan (Saving) Adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara pendapatan dengan tabungan (saving), secara matematis fungsi tabungan dapat ditulis sebagai berikut: Y = C + S S = Y C S = Y ( a + by ) S = Y a by S = a + Y by S = a + (1 b ) Y C/S Keterangan: Y = Pendapatan C = Konsumsi S = Tabungan ( 1 b ) = MPS (Marginal Propensity to Save) Rasio tambahan tabungan terhadap bertambahnya pendapatan Secara Grafis hubungan pendapatan, konsumsi dan tabungan digambarkan sebagai berikut: Y = C a 0 YE E C = a + by S = a + (1 b)y Y Keterangan : C dan S adalah konsumsi dan tabungan sebagai pengganti sumbu Y Y adalah pendapatan sebagai pengganti sumbu X a adalah besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan 0 Y sama dengan C adalah garis impas karena semua titik pada garis tersebut menunjukkan bahwa semua pendapatan habis dikonsumsikan. Matematika Ekonomi dan Bisnis 19

21 E adalah titik impas yaitu titik perpotongan antara garis konsumsi dengan garis impas. Pada titik tersebut semua pendapatan habis dikonsumsikan atau tabungan sama dengan nol. C = a + by adalah garis konsumsi S = -a + ( 1 - b ) Y adalah garis fungsi tabungan YE = adalah besarnya pendapatan yang hanya cukup untuk konsumsi Skala konsumsi (C), Skala Saving (S) = Skala Pendapatan (Y) J. Pendapatan Nasional Pendapatan Nasional pada dasarnya merupakan penjumlahan total dari pendapatan semua sektor di dalam satu negara, meliputi sektor rumah tangga(orang-perseorangan), sektor badan usaha dan sektor pemerintah Pendapatan Disposabel (Yd) Adalah pendapatan nasional yang secara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat, tidak termasuk didalamnya pendapatan yang mempengaruhi besarnya Yd yaitu pajak dan transfer payment. Ada 4 keadaan yang mempengaruhi pendapatan : Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi masyarakat dilambangkan oleh C. Pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh investasi yang dilakukan oleh perusahaan dilambangkan oleh I. Pengeluaran dari sektor pemerintah dicerminkan oleh pengeluaran pemerintah dilambangkan oleh G. Pengeluaran perdangan dengan luar negeri tercermin dari selisih antara ekspor dan impor negara yang bersangkutan dilambangkan oleh (X M). Dengan demikian persamaan pendapatan nasional menurut pendekatan pengeluaran adalah sebagai berikut: Untuk perekonomian 2 sektor (model perekonomian sederhana), Y = C + I Untuk perekonomian 3 sektor (model perekonomian tertutup), Y = C + I + G Untuk perekonomian 4 sektor (model perekonomian terbuka) Y = C + I + G + ( X M ) Persamaan Pendapatan Nasional Adalah persamaan yang menggambarkan jumlah seluruhkeluaran (barang dan jasa)yang dihasilkan oleh suatu negara dalam jangka waktu tertentu. Pengeluaran tersebut terdiri dari: Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi masyarakat dilambangkan oleh C. Pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh investasi yang dilakukan oleh perusahaan dilambangkan oleh I. Pengeluaran dari sektor pemerintah dicerminkan oleh pengeluaran pemerintah dilambangkan oleh G. Tidak ada pajak maupun transfer payment Yd = Y Hanya ada pajak Matematika Ekonomi dan Bisnis 20

22 Yd = Y T Hanya ada transfer payment Yd = Y + R Ada pajak dan Transfer payment Yd = Y T + R Soal. 1. Pada tingkat pendapatan Rp ,00 besarnya konsumsi Rp ,00 dan pada tingkat pendapatan Rp ,00 besarnya konsumsi Rp ,00. Berdasarkan data tersebut fungsi konsumsinya adalah Diketahui fungsi konsumsi masyarakat adalah C = 60 milyar + 0,7 Y. Jika pendapatan nasionalnya Rp milyar maka besarnya tabungan masyarakat adalah Diketahui fungsi konsumsi C = ,00 + 0,70 S. Jika besarnya tabungan masyarakat Rp ,00 maka besarnya konsumsi adalah Jika diketahui fungsi konsumsi C = ,75 Y maka pendapatan saat Break Even Income adalah Jika diketahui fungsi konsumsi C = ,80 Y maka pendapatan pada saat Break Even Income adalah Jika diketahui fungsi konsumsi C = ,75 Y maka pendapatan pada saat Break Even Income adalah Jika diketahui fungsi konsumsi C = ,75 Y maka MPC adalah Jika diketahui fungsi konsumsi S = ,25 Y maka MPC adalah Jika diketahui fungsi konsumsi S = ,25 Y maka MPS adalah Dalam suatu masyarakat memiliki fungsi konsumsi sebesar C = ,25y. Kemudian, pendapatan nasional Negara tersebut adalah Rp ,00. Maka tentukan besar tabungan masyarakat! 11. Saat Budi memiliki pendapatan sebesar $ 5,000, dia memiliki tabungan sebesar $ 1,500. Kemudian, pendapatan Badrun naik menjadi $ 8,000, karena itu tabungannya naik menjadi $ 2,700. Tentukan fungsi konsumsi dari YoonA! 12. Michael Essien, memiliki pendapatan sebesar $ 1,000,000 dengan pendapatan hasil bermainnya di klub besar Real Madrid, dia mengkonsumsi banyak benda dengan menghabiskan $ 1,300,000. Tapi ketika dia naik gaji karena berhasil menjebol gawang Hendro Kartiko, pendapatannya naik menjadi $ 1,250,000 tapi besar konsumsinya pun naik demi memenuhi hasrat laparnya sebesar $ 1,500,000. Tentukan pendapatan Essien pada titik keseimbangan antara pendapatan dan konsumsi yang dilakukan Essien! Matematika Ekonomi dan Bisnis 21

23 BAB VI FUNGSI KUADRAT (PARABOLA) Secara umum, persamaan kuadrat dituliskan sebagai ax 2 + bx + c = 0 atau dalam bentuk fungsi dituliskan sebagai f(x) = ax 2 + bx + c, dengan a, b, dan c elemen bilangan Real, dengan a 0. Sifat matematis dari persamaan kuadrat yang menentukan bentuk kurva parabolanya adalah koefisien a dan diskriminan D = b 2 4ac. Jika a > 0, maka kurva parabola terbuka ke atas, sedangkan jika a < 0, maka kurva parabolanya terbuka ke bawah. Jadi jika a > 0 akan ada titik ekstrim minimum dan jika a < 0 akan ada titik ekstrim maksimum. Jika D > 0, maka kurva parabola memotong sumbu-x di dua titik berbeda, jika D = 0, maka kurva parabola akan memotong sumbu-x di satu titik, dan jika D < 0, maka kurva parabola tidak memotong sumbu-x. f(x) f(x) f(x) a > 0 a > 0 a > 0 D > 0 D = 0 D < 0 0 x 0 x 0 x f(x) f(x) f(x) a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0 a < 0 0 x 0 x D > 0 0 x Kurva parabola adalah kurva untuk fungsi kuadrat, sedangkan fungsi kuadrat adalah salah satu fungsi non linear, dimana variabel bebas (x) berpangkat paling tinggi dua. Untuk menggambarkan kurva parabola suatu fungsi kuadrat dapat ditempuh dua cara, yaitu: 1. Tracing process curve, yaitu dengan menentukan lebih dulu nilai x, kemudian disubstitusikan ke dalam fungsinya sehingga diperoleh nilai y. Cara ini kurang efisien, karena diperlukan beberapa pasangan x dan y yang cukup banyak, paling sedikit 8 pasangan Matematika Ekonomi dan Bisnis 22

24 x dan y. Misalkan untuk menggambarkan kurva parabola dari fungsi kuadrat: + 6 digunakan pasangan x dan y sebagai berikut: y = x 2 5x x y Sehingga bila koordinat (x,y) diplot ke dalam koordinat kartesius akan diperoleh kurva sebagai berikut: y y = x 2 5x + 6 (0,6) x (2.5;-0.25) 2. Dengan menggunakan sifat-sifat matematis fungsi kuadrat, sebagai berikut 1) Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y dengan memisalkan x = 0 2) Tentukan titik potong kurva dengan sumbu x dengan memisalkan y = 0, sehingga ax 2 + bx + c = 0 akan memiliki tiga kemungkinan solusi, yaitu: Bila diskriminan D = b 2 4 ac > 0, maka akan terdapat dua titik potong kurva dengan sumbu x yang diperoleh dengan rumus berikut: x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Bila D = 0, maka akan ada satu titik potong kurva dengan sumbu x, yaitu: x 1 = x 2 = b 2a Bila D < 0, maka tidak akan ada titik potong kurva dengan sumbu x 3) Titik ekstrim kurva parabola diperoleh dengan rumus: ( b 2a, D 4a ) 4) Tentukan sumbu simetris yang membagi kurva parabola menjadi dua bagian yang sama. Garis sumbu simetris ini melewati titik ekstrim, persamaan garis simetris ini adalah: x = b 2a Diketahui fungsi kuadrat y = x 2 + 6x 9, gambarkan kurva fungsi kuadrat tersebut dengan menggunakan sifat-sifat matematis. 1) Titik potong kurva dengan sumbu y, Matematika Ekonomi dan Bisnis 23

25 misalkan x = 0 y = 9, sehingga titik potongnya (0, 9) 2) Titik potong kurva dengan sumbu x, misalkan y = 0 x 2 + 6x 9 = 0 karena D = b 2 4ac D = 36 4( 1)( 9) = 0, maka hanya ada satu titik potong yaitu x1 = x2 = b = 6 = 3 (3,0) 2a 2 3) Titik ekstrimnya merupakan titik ekstrim maksimum (3,0) 4) Sumbu simetrisnya adalah x = 3 y (3,0) x (0,-9) y = x 2 + 6x 9 APLIKASI KURVA PARABOLA (FUNGSI KUADRAT) DALAM EKONOMI Aplikasi fungsi kuadrat dalam bisnis dan ekonomi diantaranya: Fungsi permintaan Fungsi penawaran Keseimbangan pasar Kurva transformasi produk atau kurva kemungkinan produksi FUNGSI PERMINTAAN Contoh 1: Diketahui fungsi permintaan suatu barang adalah y = x 2 7x + 12 dimana y adalah harga (P) dan x adalah kuantitas (Q). Gambarkan kurvanya. Titik potong dengan sumbu-y: Misalkan x = 0 y = 12 titik potong (0,12) Titik potong dengan sumbu-x: Misalkan y = 0 x 2 7x + 12 = 0 Karena D = 49 4(1)(12) = 1 D > 0, maka ada dua titik potong dengan sumbu x, yaitu: x 2 7x + 12 = 0 (x 3)(x 4) = 0 x1 = 3 dan x2 = 4 titik potong (3,0) dan (4,0) Karena a > 0, maka kurva parabola terbuka ke atas Titik ekstrim minimum Matematika Ekonomi dan Bisnis 24

26 ( b 2a, D 4a ) (7 2, 1 4 ) y (0,12) y = x 2 7x (3,0) (4,0) x Berdasarkan kurva permintaan di atas, tampak bahwa fungsi permintaan y = x 2 7x + 12 berlaku untuk interval jumlah permintaan 0 x 3 dan harga permintaan 0 y 12 Atau fungsi permintaan di atas dinyatakan dengan: P = Q 2 7Q + 12 untuk 0 Q 3 dan 0 P 12 Contoh 2: Diketahui fungsi permintaan suatu barang y = x 2 x + 12, dimana y adalah harga (P) dan x adalah kuantitas (Q). Gambarkan kurvanya. Titik potong dengan sumbu y: Misalkan x = 0 y = 12 titik potong (0,12) Titik potong dengan sumbu x: Misalkan y = 0 x 2 x + 12 = 0 Karena D = 1 4( 1) (12) = 49 D > 0, maka terdapat dua titik potong dengan sumbu x, yaitu: x 2 x + 12 = 0 (x + 4)( x + 3) = 0 x1 = 4 dan x2 = 3 titik potong ( 4,0) dan (3,0) Karena a < 0, maka kurva parabola terbuka ke bawah titik ekstrim maksimum ( b 2a, D 4a ) ( 1 2, 49 4 ) Matematika Ekonomi dan Bisnis 25

27 y (0,12) y = x 2 x + 12 ( 4, 0) 0 (3,0) x Berdasarkan kurva permintaan di atas, tampak bahwa fungsi permintaan y = x 2 x + 12 berlaku untuk interval jumlah permintaan 0 x 3 dan harga permintaan 0 y 12 Atau fungsi permintaan di atas dinyatakan dengan: P = Q 2 Q + 12 untuk 0 Q 3 dan 0 P 12 FUNGSI PENAWARAN Diketahui fungsi penawaran sejenis barang adalah y = x 2 + 3x + 2, dimana y adalah harga (P) dan x adalah kuantitas (Q). Gambarkan kurvanya. Titik potong dengan sumbu y: Misalkan x = 0 y = 2 Titik potong dengan sumbu x: Misalkan y = 0 x 2 + 3x + 2 = 0 Karena D = 9 4(1) (2) = 1 D > 0, maka terdapat dua titik potong dengan sumbu x, yaitu: x 2 + 3x + 2 = 0 (x + 1)( x + 2) = 0 x1 = 1 dan x2 = 2 titik potong ( 1,0) dan ( 2,0) Karena a > 0, maka kurva parabola terbuka ke atas titik ekstrim minimum ( b 2a, D 4a ) ( 3 2, 1 4 ) Matematika Ekonomi dan Bisnis 26

28 y y = x 2 + 3x + 2 (0,2) ( 2,0) ( 1,0) 0 x Berdasarkan kurva penawaran di atas, tampak bahwa fungsi penawaran y = x 2 + 3x + 2 berlaku untuk interval jumlah penawaran x 0 dan harga permintaan y 2 atau fungsi permintaan di atas dinyatakan dengan: P = Q 2 + 3Q + 2 untuk Q 0 dan P 2 KESEIMBANGAN PASAR (MARKET EQUILIBRIUM) Keseimbangan pasar terjadi ketika jumlah permintaan sama dengan jumlah penawaran atau Qd = Qs, harga yang tercipta pada keseimbangan pasar merupakan harga keseimbangan (Pe). Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran sejenis barang adalah: FD: y = x 2 7x + 12 FS: y = x 2 + 3x + 2 Tentukan keseimbangan pasarnya dan gambarkan kurvanya. Jawab: Pada keseimbangan pasar berlaku Qd = Qs atau Pd = Ps, sehingga keseimbangan pasar dapat diselesaikan dengan substitusi: x 2 7x + 12 = x 2 + 3x x = 10 x =1 y dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai x = 1 ke dalam fungsi permintaan atau fungsi penawaran, sehingga diperoleh nilai y sebagai y = (1)2 + 3(1) + 2 =6. Jadi keseimbangan pasar tercapai pada E(1,6). Matematika Ekonomi dan Bisnis 27

29 y (0,12) y = x 2 + 3x E y = x 2 7x x Latihan Soal: Tentukan keseimbangan pasarnya dan gambarkan kurvanya, jika diketahui fungsi permintaan dan penawarannya adalah: 1. FD: 2Q + P 10 = 0 dan FS: P 2 8Q 4 = 0 2. FD: Q 2 + 5Q P + 1 = 0 dan FS: 2Q 2 + P 9 = 0 3. FD: P 2 + P + Q 20 = 0 dan FS: 2P 2 Q 3P 4 = 0 KURVA TRANSFORMASI PRODUK (PRODUCT TRANSFORMATION CURVE) Kurva transformasi produk menunjukkan bagaimana suatu perusahaan berdasarkan proses produksinya menetapkan kombinasi jumlah setiap jenis barang yang dihasilkannya, sesuai dengan sumber daya (kapital, tenaga kerja, bahan baku, energi, manajemen, teknologi, dan sebagainya) yang dimilikinya. Jika suatu perusahaan memproduksi dua jenis barang, misalnya x dan y, dengan menggunakan bahan baku dan tenaga kerja tertentu, maka hubungan kuantitas atau kombinasi kuantitas kedua jenis barang tersebut akan membentuk kurva transformasi produk atau disebut juga sebagai kurva kemungkinan produksi (production possibility curve). Hubungan x dan y atau kombinasi x dan y yang diproduksi digambarkan sebagai curve cembung (concave curve), yaitu curve yang terbuka ke bawah mengarah ke titik origin (titik 0). y 0 x Berdasarkan kurva tersebut tampak bahwa jika jumlah produksi x ditambah, maka jumlah produksi y akan berkurang, demikian sebaliknya. Contoh soal: Matematika Ekonomi dan Bisnis 28

30 Suatu perusahaan melamine memproduksi dua jenis barang yaitu piring (P) dan gelas (G), jika diketahui kurva transformasi produk untuk perusahaan tersebut: P 2 + 3P + 5G = 130. Tentukanlah: 1. Jumlah maksimum piring yang dapat diproduksi 2. Jumlah maksimum gelas yang dapat diproduksi 3. Jumlah maksimum piring yang diproduksi, jika diproduksi 18 gelas 4. Jumlah maksimum gelas yang diproduksi, jika diproduksi 7 piring 5. Gambarkan kurva transformasi produk tersebut Jawab : 1. Perusahaan tersebut akan memproduksi piring dalam jumlah maksimum bila G = 0 (gelas tidak diproduksi, sehingga P 2 + 3P + 5(0) = 130 P 2 + 3P 130 = 0 P 1,2 = 3 ± P 1,2 = 3 ± 32 4(1)( 130) 2(1) P 1,2 = 3 ± 23 2 P 1 = 10 atau P 2 = 13 Jadi jumlah maksimum piring yang diproduksi sebanyak 10 unit 2. Produksi gelas maksimum akan tercapai bila P = 0 (piring tidak diproduksi), sehingga: P 2 + 3P + 5G = G = 130 G = 26 Jadi jumlah maksimum gelas yang diproduksi sebanyak 26 unit 3. Bila diproduksi gelas G = 18, maka: P 2 + 3P + 5G = 130 P 2 + 3P + 5(18) = 130 P 2 + 3P 40 = 0 P 1,2 = 3 ± P 1,2 = 3 ± 32 4(1)( 40) 2(1) P 1,2 = 3 ± 13 2 P 1 = 5 dan P 2 = 8 Jadi jumlah maksimum piring yang diproduksi bila G = 18 adalah 5 unit 4. Bila diproduksi P =7, maka: P 2 + 3P + 5G = (7) + 5G = 130 5G = 60 G = 12 Jadi jumlah maksimum gelas yang diproduksi bila P = 7 adalah 12 unit 5. Gambar kurvanya: Gelas 26 (5,18) (7,12) 10 Piring APLIKASI FUNGSI KUADRAT Diketahui fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang adalah: FD: 2Q + P 10 = 0 Matematika Ekonomi dan Bisnis 29

31 FS: P 2 8Q 4 = 0 Jika pemerintah membebankan pajak proporsional t = 20%, maka tentukan: 1. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak. 2. Besarnya pajak per unit dan total pajak yang ditanggung masing-masing oleh konsumen maupun produsen. 3. Gambarkan kurvanya. Jawab: 1. Keseimbangan pasar sebelum pajak 2Q + P 10 = 0 Q = 1 2 P + 5 P 2 8Q 4 = 0 Q = 1 8 P2 1 2 QS = QD 1 2 P + 5 = 1 8 P P + 40 = P 2 4 P 2 4P + 44 = 0 Dengan rumus abc diperoleh: P 1,2 = 4± 16 4( 1)(44) P 2( 1) 1,2 = 4± 192 2( 1) P 1 = ( 1) P 1,2 = ( 1) = 8, P 1 = 8,93 = 4, P 2 = 4,93 P = 4,93 Untuk mendapatkan Q, substitusikan P = ke Q = 1 P + 5 sehingga diperoleh: 2 Q = 1 (4, ) + 5 = 2, Q = 2,54 2 Jadi keseimbangan sebelum pajak tercapai pada P = 4,93 dan Q = 2,54 atau titik keseimbangan pasar sebelum pajak adalah: E(2,54; 4,93). Keseimbangan sesudah pajak Adanya pajak akan mengubah fungsi penawaran menjadi: P 2 8Q 4 = 0 P = 8Q + 4 P = 1.2 8Q + 4 P 2 = 1.44(8Q + 4) P Q 5.76 = 0 Fungsi permintaan 2Q + P 10 = 0 P = 2Q + 10 Keseimbangan pasar sesudah pajak diperoleh dengan mensubstitusi persamaan P = 2Q + 10 ke dalam persamaan P Q 5.76 = 0 sehingga diperoleh: ( 2Q + 10) Q 5.76 = 0 4Q 2 40Q Q 5.76 = 0 4Q Q = 0 Q Q = 0 Matematika Ekonomi dan Bisnis 30

32 dengan rumus abc diperoleh: Q 1,2 = 12,88± ( 12.88)2 4(1)(23.56) 2(1) Q 1,2 = 12,88± 71,6544 Q 2 1 = 12,88+ 71,6544 = 10, Kemudian substitusikan Q = 10, ke persamaan P = 2Q + 10 P = 2(10, ) + 10 P = 11, Karena P bernilai negatif, maka Q = 10, tidak diambil, selanjutnya dihitung Q 2 = 12,88 71, = 2, Q = 2, Kemudian substitusikan Q = 2, ke persamaan P = 2Q + 10 P = 2(2, ) + 10 P = 5, (Harga keseimbangan pasar setelah kena pajak) Jadi keseimbangan pasar sesudah pajak tercapai pada saat P = 5,58 dan Q = 2,21 atau titik keseimbangan pasar sesudah pajak E (2,21 ; 5,58) 2. Lihat gambar kurvanya, Q = 2, substitusikan ke dalam persamaan fungsi penawaran P 2 8Q 4 = 0, sehingga diperoleh: P 2 8(2, ) 4 = 0 P = ± 21, = 4, P = 4,65 Pajak per unit: t = 20% 100%+20% (5, ) = 2 12 (5, ) = 0, t = 0,93 Pajak per unit yang ditanggung konsumen tercermin dari adanya kenaikan harga sebesar: tk = 5, , = 0, tk = 0,66. Pajak per unit yang ditanggung produsen tercermin dari perbedaan: tp = 4, , = tp = 0.27 atau tp = = 0.27 Total pajak yang ditanggung konsumen: Tk = 0, (2, ) Tk = Tk = 1.45 Total pajak yang ditanggung produsen: Tp = ( ) Tp = Tp = 0.61 Matematika Ekonomi dan Bisnis 31

33 3. Gambar kurvanya: P 10 2Q + P 10 = 0 P Q 5.76 = E (2.21;5.58) E(2.54;4.93) P 2 8Q 4 = Q -2 Kurva fungsi permintaan: 2Q + P 10 = 0 perpotongan dengan sb-p misalkan Q = 0 P = 10 dan perpotongan dengan sb-q misalkan P = 0 Q = 5 Kurva fungsi penawaran sebelum pajak: P 2 8Q 4 = 0 perpotongan dengan sb-p misalkan Q = 0 P 2 = 4 P = ± 2 dan perpotongan dengan sb-q misalkan P = 0 Q = ½ Kurva fungsi penawaran sesudah pajak: P Q 5.76 = 0 perpotongan dengan sb-p misalkan Q = 0 P 2 = 5.76 P = ± 2.4 dan perpotongan dengan sb-q misalkan P = 0 Q = ½ SOAL LATIHAN Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran sejenis barang adalah: D: 2Q 2 + P 9 = 0 S: Q 2 + 5Q P + 1 = 0 Jika pemerintah membebankan pajak proporsional t = 20%, maka tentukan: 1. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak. 2. Besarnya pajak per unit dan total pajak yang ditanggung masing-masing oleh konsumen maupun produsen. 3. Gambarkan kurvanya. Matematika Ekonomi dan Bisnis 32

34 BAB VII APLIKASI TURUNAN FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS A. TURUNAN FUNGSI ALJABAR SATU VARIABEL f(x) = ax n Keterangan: f (x) = turunan pertama dari fungsi f(x) a dan n adalah suatu konstanta f (x) = anx n 1 Sifat-sifat yang sering digunakan untuk turanan fungsi dalam ekonomi dan bisnis: 1. f(x) = c. g(x) maka f (x) = c. g (x), di mana c adalah konstanta. 2. f(x) = g(x) ± h(x) maka f (x) = g (x) ± h(x) Keterangan: f (x), g (x), dan h (x) berturut-turut adalah turunan dari fungsi f(x), g(x), dan h(x) B. ANALISIS BIAYA MARGINAL / MARGINAL COST (MC) Biaya marginal dapat juga dikatakan sebagai biaya pertambahan (incremental cost). Biaya marginal merupakan besarnya tambahan biaya produksi yang dikeluarkan untuk menambah produksi sebanyak satu unit produksi tambahan. Secara matematis, MC adalah turunan pertama dari fungsi Biaya Total (TC) atau C. Biaya marginal dapat dihitung dengan menggunakan rumus: TC = aq n MC = TC = dtc dq = anqn 1 Maka, TC minimum tercapai pada saat MC = 0. LATIHAN SOAL: 1. Total biata produksi suatu komoditi untuk Q unit dinyatakan oleh TC = 4 + 3Q + Q 2 Jika TC dalam satuan ribu rupiah, tentukan: a. Fungsi Biaya Marginal. b. Fungsi Biaya Rata-Rata (AC) c. TC, MC, dan AC pada saat memproduksi 10 unit. Jawab : a. MC = TC = d(4 + 3Q + Q2 ) dq = 3 + 2Q Matematika Ekonomi dan Bisnis 33

35 b. AC = 4+3Q+ Q2 Q = 4 Q Q. c. Pada saat Q = 10, TC = 4 + 3(10) = 134 Jadi TC pada saat memproduksi 10 unit adalah Rp MC = 2 + 3(10) = 32 Artinya perkiraan biaya tambahan yang diperlukan untuk memproduksi unit yang ke 11 adalah Rp rupiah. AC = AC = 13,4 Artinya bahwa jika diproduksi 10 unit, maka rata-rata biaya perunit adalah Rp Total biaya produksi motor ABC dinyatakan oleh TC = 4 + 3Q + Q 2 juta rupiah Tentukan: tentukan: a. Fungsi Biaya Marginal. b. Fungsi Biaya Rata-Rata (AC) 3. TC, MC, dan AC pada saat memproduksi 30 unit motor. Biaya total dinyatakan dengan TC = 5Q Q Tentukan: a. Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan total biaya minimum? b. Berapakah total biaya minimum tersebut? Jawab: a. TC = 5Q Q C = 10Q = 10Q Q = 1000 Q = 100 Cek TC = 10 > 0 Jadi total biaya minimum akan tercapai jika berproduksi sebanyak 100 unit. b. Total biaya minimumnya sebesar: C = 5Q Q C = 5(100) (100) C = Jadi total biaya minimumnya sebesar: Rp Biaya total dinyatakan dengan TC = Q 3-90Q Q Tentukan: a. Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan biaya minimum? b. Berapakah biaya minimum tersebut? Matematika Ekonomi dan Bisnis 34

36 C. ANALISIS PENDAPATAN MARGINAL / MARGINAL REVENUE (MR) Marginal Revenue adalah pendapatan/penerimaan tambahan yang diperoleh berkaitan dengan satu unit hasil yang terjual atau diproduksi. Secara matematis, fungsi MR adalah turunan pertama dari fungsi Total Revenue (TR). MR = TR = dmr dq LATIHAN SOAL 1. Fungsi permintaan suatu perusahaan dinyatakan oleh P = Q 2 + 2Q + 1 ribu rupiah. Tentukan: a. Fungsi TR b. Fungsi MR c. Fungsi Pendapatan Rata-rata d. TR, MR, AR pada saat produk yang terjual 10 unit. Jawab: a. TR = P Q = (Q 2 + 2Q + 1) Q = Q 3 + 2Q 2 + Q b. MR = TR = 2Q 2 + 4Q + 1 c. AR = TR Q = Q3 +2Q 2 +Q Q = Q 2 + 2Q + 1 d. TR = 1210 (Rp ) MR = 241 (Rp ) AR = 121 (Rp ) 2. Fungsi permintaan suatu perusahaan dinyatakan oleh P = 5 + 6Q + Q 2 ratus ribu rupiah. Tentukan: a. Fungsi TR b. Fungsi MR c. Fungsi Pendapatan Rata-rata d. TR, MR, AR pada saat produk yang terjual 30 unit. Serta jelaskan maknanya. 3. Harga jual Q puluh unit barang dinyatakan P = - 2Q + 16 juta rupiah, tentukan berapa output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum. Jawab: Fungsi total pendapatan: P = - 2Q + 16 TR = P.Q = (- 2Q + 16) Q TR = - 2Q Q Matematika Ekonomi dan Bisnis 35

37 Langkah pertama mencari turunan pertama fungsi TR, kemudian menentukan Q untuk TR = 0 TR = - 4Q + 16 = 0 4Q = 16 Q = 4 Agar dijamin bahwa jika menjual sebanyak Q = 40 unit maka akan diperoleh total pendapatan maksimum, maka lakukanlah langkah kedua yaitu mencari turunan kedua fungsi total pendapatan: R = - 4 Ternyata R = - 4 < 0 sehingga diperoleh nilai maksimum Keterangan: Turunan kedua untuk menentukan kelengkungan kurva. Jika turunan kedua < 0 maka kurva melengkung ke atas, atau membuka ke bawah Jika turunan kedua > 0 maka kurva melengkung ke bawah, atau membuka ke atas Jika turunan kedua = 0 maka kurva tidak melengkung ke atas maupun ke bawah (titik stasioner) Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum yaitu sebanyak 40 unit. Total pendapatan maksimumnya: R = - 2Q Q R = - 2(4) (4) R = 32 Jadi ketika menjual produk sebanyak 40 unit, maka akan diperoleh total pendapatan maksimum sebesar 32 juta. D. Analisis Laba Marginal Laba Marginal adalah tambahan keuntungan yang diperoleh berkaitan dengan satu unit hasil yang terjual atau diproduksi. Secara matematis, fungsi Laba Marginal adalah turunan pertama dari fungsi Laba. Latihan Soal 1. Seorang manajer perusahaan mengetahui bahwa jika Q ribu unit diprosuksi, maka laba perusahaan adalah P = Q + Q 2 ribu rupiah. Tentukan: a. Fungsi laba marginal b. Laba marginal jika diproduksi Q = 8, Q = 9. Jelaskan. 2. Di berikan fungsi permintaan dan fungsi biaya masing-masing sebagai berikut: P = Q Dan C = Q 3-59Q Q Tentukan: a. Berapakah produk yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di peroleh laba yang maksimum? b. Berapakah laba maksimum tersebut? Matematika Ekonomi dan Bisnis 36

38 Jawab: a. Fungsi pendapatan: TR = P.Q TR = (1000-2Q).Q TR = 1000 Q - 2 Q 2 Fungsi biaya: C = Q 3-59Q Q Fungsi laba: Laba = Pendapatan biaya Laba = (1000Q - 2Q 2 ) - (Q 3-59Q Q ) Laba = - Q Q 2-315Q Turunan pertama: Laba = -3Q Q = Q 2-38Q = (Q - 3) (Q - 35) Q1 = 3 atau Q2 = 35 Turunan kedua: Laba = - 6Q Untuk Q1 = 3, maka turunan ke dua = - 6(3) = 96 > 0 Berarti jika di produksi output sebanyak 3, maka labanya akan minimum. Untuk Q2 = 35, maka turunan ke dua = - 6(35) = - 96 < 0 Berarti jika di produksi output sebanyak 35, maka labanya akan maksimum. b. Laba maksimum nya sebesar : Laba = - Q Q 2-315Q = - (35) (35) 2-315(35) = Jadi dengan memproduksi dan menjual output sebanyak 35 akan di peroleh laba maksimum sebanyak : E. MEMAKSIMALKAN LABA SETELAH DIKENAKAN PAJAK Salah satu sumber penerimaan pemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajak penjualan yang di kenakan pemerintah terhadap setiap unit yang diproduksi dan dijual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak tersebut. Untuk itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak yang akan di berlakukannya sehingga akan di peroleh pajak maksimum. Total pajak yang akan di terima perintah : T = t. Q Keterangan: t = tarif pajak per unit yang di kenakan pemerintah dan Q = Jumlah output yang di produksi dan di jual pengusaha sehingga di peroleh laba maksimum, yang telah mempertimbangkan biaya pajak. Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah: Laba = pendapatan (biaya + pajak) = R (C+T), = R C T = R C t Q Matematika Ekonomi dan Bisnis 37

39 CONTOH SOAL 1. Fungsi penerimaan dan fungsi biaya suatu produk dinyatakan sebagai berikut: R = 360 Q 10,5 Q 2 Dan C = 100 Q 4 Q 2 Tentukan: a. Fungsi laba b. Fungsi produksi agar laba maksimum c. Jika pemerintah ingin memperoleh pajak penjualan yang maksimum, berapakah tarif pajak yang harus di kenakan pemerintah kepada perusahaan tersebut? d. Berapakah produk harus dibuat dan dijual perusahaan agar diperoleh laba maksimum? e. Berapakah total pajak maksimum yang didapat pemerintah? f. Berapakah laba maksimum yang diterima perusahaan setelah dikenakan pajak? Jawab: a. Dari sudut pandang pengusaha: Laba = R C t Q = 360 Q 10,5 Q 2 (100 Q 4 Q 2 ) t Q = 360 Q 10,5 Q Q + 4 Q 2 t Q = 260 Q 6,5 Q 2 t Q b. Turunan pertama: Laba = Q t = t = 13 Q Q = 260 t 13 Q = 20 1 t 13 Turunan ke dua : Laba = - 13 < 0 (kurva membuka ke bawah) Jadi dengan memproduksi sebanyak Q = 20 1 t, pengusaha akan memperoleh 13 laba maksimum. c. Dari sudut pandang pemerintah: Pajak: T = t Q = t ( t) = 20t 1 13 t2 Turunan pertama : T = t = 0 t = 130 Turunan ke dua : T = - 2/13 (kurva membuka ke bawah) Jadi tarif pajak (per unit) yang memberikan total pajak maksimum sebesar t = 130 Matematika Ekonomi dan Bisnis 38

40 d. Produk harus dibuat dan dijual perusahaan agar diperoleh laba maksimum terjadi ketika t = 130, maka Q = t = (130) = = 10 Jadi, perusahaan harus memproduksi sebanyak 10 unit barang agar memperoleh laba maksimum. e. Total pajak maksimum: T = t. Q = = 1300 Jadi total pajak yang di terima pemerintah sebesar f. Laba maksimum yang di terima oleh perusahaan adalah: Laba = 260 Q 6,5Q 2 t Q = 260 (10) 6,5(10) 2 (130)(10) = = 1235 Jadi perusahaan menerima laba maksimum sebesar Total pendapatan dan total biaya di berikan dalam fungsi sebagai berikut : R = 15Q - 2Q 2 Dan C = 3Q Tentukan: a. Berapakah tarif pajak yang sebaiknya di kenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum? b. Berapakah total pajak maksimum yang diperoleh? Jawab: a. Dari sudut pandang pengusaha: Laba = R C t. Q = 15 Q 2Q 2 3Q t. Q = -2Q Q t Q Turunan pertama: Laba = - 4Q + 12 t = 0 12 t = 4Q 12 t Q = 4 Q = t Turunan ke dua: Laba = - 4 < 0 Jadi dengan memproduksi sebanyak Q = t, pengusaha akan memperoleh laba maksimum. Matematika Ekonomi dan Bisnis 39