LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG PTA 16/17

Transkripsi

1 LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG PTA 16/17

2 MATEMATIKA EKONOMI 1 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat, hidayah, dan karunia yang diberikan-nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkan kegunaan modul ini kepada mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran dalam perkuliahan, maka modul ini dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran. Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada. Dengan penuh kesadaran, bahwa modul praktikum ini masih perlu disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya sangat diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terima kasih kepada tim litbang Matematika Ekonomi 1 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini. Akhir kata, penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung. Depok, Juli 2016 Tim Litbang LAB. MANAJEMEN DASAR Hal ii LITBANG PTA 16/17

3 MATEMATIKA EKONOMI 1 SUSUNAN TEAM LITBANG MATEMATIKA EKONOMI 1 Staff Ratna Susilowati, SE Penanggung Jawab Trias Yulianti Ningrum Deret Hitung Deret Ukur Fungsi Linear 1 Fungsi Linear 2 Alifah Faradila Ivo Zola Vinola Desy Atikah. S Utami Nur. H Agung Rahmating Yuliana Reffien Febriano Vien A. R Ledhya Permata Sri Sukmawati Prema Sanjaya Frenky Cardinal Natessa Sharen Ilham Saputra Pria Yoga. D Dwi W. Wulandari Vien A.R Fakhri Fayadhi Syifa Nafisah.Z Nurlaela Phoneo Frenky Cardinal LAB. MANAJEMEN DASAR Hal iii LITBANG PTA 16/17

4 MATEMATIKA EKONOMI 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI iv DAFTAR GAMBAR vii DERET HITUNG Pengertian Deret Penerapan Ekonomi Dalam Deret Hitung Contoh Kasus Contoh Kasus Contoh Kasus Contoh Kasus Contoh Kasus DERET UKUR Konsep Dasar Deret Ukur Definisi Deret Ukur Rumus Deret Ukur Contoh Soal Penerapan Ekonomi Deret Ukur Model Bunga Majemuk Contoh soal dan pengerjaan dengan software EC-Math Model Bunga Sinambung Contoh soal dan pengerjaan dengan software EC-Math Model Present Value LAB. MANAJEMEN DASAR Hal iv LITBANG PTA 16/17

5 MATEMATIKA EKONOMI Contoh soal dan pengerjaan dengan software EC-Math Model Pertumbuhan Penduduk Contoh soal dan pengerjaan dengan software EC-Math 30 FUNGSI LINEAR Pengertian fungsi linier Cara pembentukan fungsi linier Cara koordinat-lereng Cara Dwi-Koordinat Cara Penggal-Lereng Cara Dwi-Penggal Hubungan dua buah garis lurus Berhimpit Sejajar Berpotongan Tegak lurus Penerapan ekonomi Fungsi Linear Fungsi Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran Keseimbangan Pasar Pengaruh Pajak Spesifik Terhadap Keseimbangan Pasar Pengaruh Pajak Proporsional Terhadap Keseimbangan Pasar Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar LAB. MANAJEMEN DASAR Hal v LITBANG PTA 16/17

6 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan Fungsi Konsumsi Fungsi Tabungan Pendapatan Disposibel Fungsi Pajak Fungsi Investasi Fungsi Import Fungsi Pendapatan Nasional 82 DAFTAR PUSTAKA. 85 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal vi LITBANG PTA 16/17

7 MATEMATIKA EKONOMI 1 DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Tampilan Output Data Deret Hitung Mencari Sn....4 Gambar 1.2 Tampilan Output Data Deret Hitung Mencari b dan Sn.. 6 Gambar 1.3 Tampilan Output Data Deret Hitung Mencari n dan Sn.. 8 Gambar 1.4 Tampilan Output Data Deret Hitung Mencari a dan b...10 Gambar 1.5 Tampilan Output Data Deret Hitung Mencari Sn dan Un.. 12 Gambar 2.1. Tampilan Menu Deret Ukur.. 16 Gambar 2.2. Tampilan Hasil Output Contoh Soal No Gambar 2.3. Tampilan Hasil Output Contoh Soal No Gambar 2.4. Tampilan Menu Deret Ukur.. 20 Gambar 2.5. Tampilan Hasil Output Contoh Soal No Gambar 2.6. Tampilan Hasil Output Contoh Soal No Gambar 2.7. Tampilan Menu Deret Ukur Gambar 2.8. Tampilan Hasil Software Contoh Soal No Gambar 2.9. Tampilan Menu Deret Ukur Gambar Tampilan Hasil Software Contoh Soal No Gambar Tampilan Hasil Contoh Soal No Gambar Tampilan Menu Deret Ukur Gambar Tampilan Hasil Output Contoh Soal No Gambar Tampilan Hasil Output Contoh Soal No Gambar 3.1 : Kurva Berhimpit 42 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal vii LITBANG PTA 16/17

8 MATEMATIKA EKONOMI 1 Gambar 3.2 : Kurva Sejajar Gambar 3.3 : Kurva Berpotongan Gambar 3.4 : Kurva Tegak Lurus Gambar 3.5 : Kurva Keseimbangan Pasar Gambar 3.6 : Tampilan Software Ec Math Gambar 3.7 : Output Software Kasus Gambar 3.8 : Kurva Keseimbangan Dengan Pajak Spesifik Gambar3. 9 : Tampilan Software Ec Math Gambar 3.10 : Output Software Kasus Gambar 3.11 : Kurva Keseimbangan Dengan Pajak Proporsional Gambar 3.12 : Tampilan Software Ec Math Gambar3. 13 : Output Software Kasus Gambar 3.14 : Kurva Keseimbangan Dengan Subsidi Gambar 3.15 :Tampilan Software Ec Math Gambar 3.16 : Output Software Kasus Gambar 4.1 Tampilan Hasil Output Kasus Gambar 4.2 Tampilan Hasil Output Kasus Gambar 4.3 Tampilan Hasil Output Kasus Gambar 4.4 Tampilan Hasil Output Kasus Gambar 4.5 Tampilan Hasil Output Kasus Gambar 4.6 Tampilan Hasil Output Kasus LAB. MANAJEMEN DASAR Hal viii LITBANG PTA 16/17

9 MATEMATIKA EKONOMI 1 Gambar 4.7 Tampilan Hasil Output Kasus Gambar 4.8 Tampilan Hasil Output Kasus LAB. MANAJEMEN DASAR Hal ix LITBANG PTA 16/17

10 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG MATERI I DERET HITUNG 1. Pengertian Deret Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada pola perubahan bilangan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya. Dilihat dari jumlah suku yang membentuknya, deret digolongkan atas deret berhingga dan deret tak berhingga. Deret berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tertentu, sedangkan deret tak berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tidak terbatas. Sedangkan dilihat dari pola perubahan bilangan pada suku-sukunya, deret bisa dibeda-bedakan menjadi deret hitung, deret ukur, dan deret harmoni. Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai suku yang berurutan. Rumus deret hitung : Suku ke-n : Un = a + (n 1)b Jumlah bilangan sampai suku ke-n : Sn = n/2 (a + Un) atau Sn = n/2 (2a + (n 1)b) Dimana : LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 1 LITBANG PTA 16/17

11 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG a = suku pertama b = beda (selisih antara suku tertentu dengan suku sebelumnya) n = banyaknya suku 2. Penerapan Ekonomi Dalam Deret Hitung Menurut seorang pakar ekonomi politik, yaitu Thomas Robert Malthus, pertumbuhan penduduk mengikuti deret ukur, sedangkan pertumbuhan produksi makanan mengikuti deret hitung. Produksi makanan di satu sisi dari tahun ke tahun memang meningkat, namun tidak secepat peningkatan laju pertumbuhan penduduk. Sesuai deret hitung, produksi makanan bertambah dengan laju peningkatan yang rendah. Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel tersebut. Berpola seperti deret hitung maksudnya disini adalah bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya. 2.1 Contoh Kasus 1 Bapak Hafizh bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal sebesar Rp ,00 setiap tahun Bapak Hafizh mendapat kenaikan gaji sebesar Rp ,00. Berapakah gaji yang diterima pada tahun ke-10 dan berapakah total seluruh gaji yang diterima Bapak Hafizh hingga menyelesaikan kontrak kerjanya? LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 2 LITBANG PTA 16/17

12 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG Diketahui : n = 10 a = b = Ditanya : U10 dan S10? Jawab : Un = a + (n 1) b U 10 = (10 1) U 10 = (9) U 10 = U 10 = S 10 = n/2 (a + Un) S10 = 10/2 ( ) S10 = 5( ) S10 = Analisis : LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 3 LITBANG PTA 16/17

13 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG Jadi, gaji Bapak Hafizh pada tahun ke-10 sebesar Rp dan total seluruh gaji yang Bapak Hafizh terima pada saat kontrak kerjanya selesai adalah sebesar Rp ,00. Dengan Menggunakan Software Ec-Math Adalah Sebagai Berikut : Buka software Ec-Math, kemudian pilih materi Deret Hitung Pilih Mencari Un, Sn, a, b, n setelah pilih Mencari Un, Sn, a, b, n lalu isikan data yang tertera pada soal, kemudian klik Hasil, sehingga muncul hasil yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini: Gambar 1.1 Tampilan Output Data Deret Hitung Mencari Sn 2.2 Contoh Kasus 2 PT. Sekonyong mampu menghasilkan 550 eksemplar majalah pada minggu pertama produksinya. Pada bulan ke-5 produksinya, PT. Sekonyong mampu menghasilkan 770 eksemplar majalah. Jika pertumbuhan produksinya berpola LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 4 LITBANG PTA 16/17

14 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG seperti deret hitung, berapakah peningkatan produksi majalah setiap bulannya? Dan berapakah jumlah seluruh produksi majalah sampai bulan ke-5? Diketahui : U1 = a = 550 U5 = 770 n = 5 Ditanya : b dan S5? Jawab : U5 = a + 4b = 770 U1 = a = 550 4b = 220 b = 55 Sn = n/2 (a + Un) S5 = 5/2 ( ) S5 = 2,5 (1320) S5 = 3300 Analisis : LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 5 LITBANG PTA 16/17

15 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG Jadi, peningkatan produksi majalah setiap bulannya sebesar 55 eksemplar dan jumlah seluruh produksi majalah sampai bulan ke-5 adalah sebesar eksemplar. Dengan Menggunakan Software Ec-Math Adalah Sebagai Berikut : Buka software Ec-Math, kemudian pilih materi Deret Hitung Pilih Mencari Un, Sn, a, b, n setelah pilih Mencari Un, Sn, a, b, n lalu isikan data yang tertera pada soal, kemudian klik Hasil, sehingga muncul hasil yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini: Gambar 1.2 Tampilan Output Data Deret Hitung Mencari b dan Sn 2.3 Contoh Kasus 3 Pada tahun pertama produksi PT. Alip Jaya mampu menghasilkan TV unit dan terjadi peningkatan setiap tahun sebesar 555 unit. Pada tahun keberapakah PT. Alip Jaya mampu menghasilkan TV sebanyak unit? Dan berapakah jumlah produksi sampai bulan ke-n tersebut? LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 6 LITBANG PTA 16/17

16 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG Diketahui : a = b = 555 Un = Ditanya : n saat Un unit dan Sn? Jawab : Un = a + (n 1)b Un = a + (n 1)b = (n 1)555 = n 555 = n = n = n = 11 Sn = n/2 (a + Un) S11 = 11/2 ( ) S11 = 5,5 (27.750) LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 7 LITBANG PTA 16/17

17 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG S11 = Analisis : Jadi, PT. Alip Jaya memproduksi TV sebanyak unit pada tahun ke-11. Dan jumlah produksi TV sampai tahun ke-11 adalah sebanyak unit. Dengan Menggunakan Software Ec-Math Adalah Sebagai Berikut : Buka software Ec-Math, kemudian pilih materi Deret Hitung Pilih Mencari Un, Sn, a, b, n setelah pilih Mencari Un, Sn, a, b, n lalu isikan data yang tertera pada soal, kemudian klik Hasil, sehingga muncul hasil yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini: Gambar 1.3 Tampilan Output Data Deret Hitung Mencari n dan Sn 2.4 Contoh Kasus 4 Perusahaan Maju Mundur Cantik pada bulan ke-5 mampu memproduksi ipet sebanyak 560 unit dan pada bulan ke-7 mampu memproduksi ipet 670 unit. Jika LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 8 LITBANG PTA 16/17

18 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG peningkatan produksi ipet tersebut berpola deret hitung, berapakah besar produksi pada bulan pertama dan peningkatan produksi setiap bulan? Diketahui : U5 = 560 U7 = 670 Ditanya : a dan b? Jawab : U7 = a + 6b = 670 U5 = a + 4b = 560 2b = 110 b = 55 U5 = a + 4b 560 = a + 4(55) 560 = a = a 340 = a Analisis : LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 9 LITBANG PTA 16/17

19 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG Jadi, besar produksi ipet pada bulan pertama sebesar 340 unit dan peningkatan produksi setiap bulannya adalah sebesar 55 unit. Dengan Menggunakan Software Ec-Math Adalah Sebagai Berikut : Buka software Ec-Math, kemudian pilih materi Deret Hitung Pilih Mencari Un, Sn, a, b, n setelah pilih Mencari Un, Sn, a, b, n lalu isikan data yang tertera pada soal, kemudian klik Hasil, sehingga muncul hasil yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini: Gambar 1.4 Tampilan Output Data Deret Hitung Mencari a dan b 2.5 Contoh Kasus 5 PD. Tetap Setia dalam tahun pertama menerima penghasilan dari usahanya sebesar Rp ,00 dengan adanya penambahan tenaga kerja maka penghasilannya mengalami peningkatan sebesar Rp setiap tahunnya. Maka berapa besar penghasilan yang diterima PD. Tetap Setia pada tahun ke-6 dan berapakah penghasilan PD. Tetap Setia sampai dengan tahun ke-6? LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 10 LITBANG PTA 16/17

20 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG Diketahui : a = b = n = 6 Ditanya : U6 dan S6? Jawab : Un = a + (n 1)b U6 = (6 1) U6 = (5) U6 = U6 = Sn = n/2 (a + Un) S6 = 6/2 ( ) S6 = 3( ) S6 = Analisis : Jadi, besarnya penghasilan yang diterima PD. Tetap Setia pada tahun ke-6 adalah sebesar Rp ,00 dan penghasilan PD. Tetap Setia sampai dengan tahun ke-6 adalah sebesar Rp ,00. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 11 LITBANG PTA 16/17

21 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG Dengan Menggunakan Software Ec-Math Adalah Sebagai Berikut : Buka software Ec-Math, kemudian pilih materi Deret Hitung Pilih Mencari Un, Sn, a, b, n setelah pilih Mencari Un, Sn, a, b, n lalu isikan data yang tertera pada soal, kemudian klik Hasil, sehingga muncul hasil yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini: Gambar 1.5 Tampilan Output Data Deret Hitung Mencari Sn dan Un LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 12 LITBANG PTA 16/17

22 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET HITUNG LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 13 LITBANG PTA 16/17

23 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR MATERI II DERET UKUR 1. Konsep Dasar Deret Ukur 1.1. Definisi Deret Ukur Setelah dibahas pada materi sebelumya mengenai apa itu deret? yang merupakan suatu rangkaian-rangkaian yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku-sukunya, deret bisa dibedakan menjadi Deret Hitung, Deret Ukur, dan Deret Dinamis. Pada bagian ini hanya akan dibahas tentang Deret Ukur. Adapun definisinya sebagai berikut: Deret Ukur atau deret geometri ialah deret yang perubahan sukusukunya mempunyai perbandingan dengan nilai tetap antara dua suku yang berurutan dengan suku berikutnya, biasa kita kenal dengan sebutan rasio (r). Contoh : 1. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, (rasio = 2) 2. 5, 25, 125, 625, 3.125, (raiso = 5) Dari jumlah suku yang membentuknya, deret digolongkan atas deret berhingga dan deret tak berhingga. Dengan definisi sebagai berikut : 1) Deret berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tertentu atau terbatas. 2) Deret tak berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tidak tertentu atau tidak terbatas. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 13 LITBANG PTA 16/17

24 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR 1.2. Rumus Deret Ukur Mencari Suku ke-n Un = a. r (n-1) Keterangan : Un = Suku ke-n a = Suku Pertama r = Rasio n = Banyaknya Suku Mencari Jumlah Suku Sampai ke-n 1) Deret Ukur Berhingga SSSS = aa ( rr nn 1 ) rr 1 Jika r > 1 SSSS = aa ( 1 rr nn ) 1 rr Keterangan : Sn = Jumlah Sampai Suku ke-n a = Suku Pertama r = Rasio n = Banyaknya Suku 2) Deret Ukur Tak Berhingga aa SSSS = 1 rr Jika r < 1 Keterangan : Sn = Jumlah Sampai Suku ke-n a = Suku Pertama r = Rasio n = Tak Hingga (~) LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 14 LITBANG PTA 16/17

25 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR 1.3 Contoh Soal 1) Pada sebuah deret ukur diketahui bahwa suku pertamanya adalah 1 dengan rasio sebesar 5. Berapakah suku ke-6 deret tersebut? Diketahui : a = 1 r = 5 n = 6 Ditanya : U6? Jawab : Un = a. r (n-1) U6 = 1. 5 (6-1) U6 = U6 = Analisis : Jadi, suku ke-6 deret tersebut adalah Langkah langkah pengerjaan dengan menggunakan software EC-Math: 1. Buka software Ec-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Matematika. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 15 LITBANG PTA 16/17

26 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Gambar 2.1. Tampilan Menu Deret Ukur 3. Masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil. Gambar 2.2. Tampilan Hasil Output Contoh Soal No. 1 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 16 LITBANG PTA 16/17

27 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR 2) Diketahui suatu deret geometri sebagai berikut: 1, 5, 25, 125, 625,. Berapakah jumlah sampai suku ke-6 dari deret tersebut? Diketahui : a = 1 r = 5 n = 6 Ditanya : S6? Jawab : Sn = a. (r n -1) / r 1 S6 = 1. (5 6-1) / 5 1 S6 = / 4 S6 = Analisis : Jadi, jumlah sampai suku ke-6 deret tersebut adalah Langkah langkah pengerjaan dengan menggunakan software EC-Math: Masih pada tampilan software materi deret ukur, isikan datanya seperti contoh soal di atas, setelah itu klik hasil seperi ditunjukkan oleh gambar di bawah ini. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 17 LITBANG PTA 16/17

28 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Gambar 2.3. Tampilan Hasil Output Contoh Soal No Penerapan Ekonomi Deret Ukur 2.1. Model Bunga Majemuk Model bunga majemuk merupakan penerapan ekonomi Deret Ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan menggunakan model ini, kita dapat menghitung besarnya nilai modal kita yang akan datang ditambah akumulasi bunga per tahunnya. Misalnya, besarnya pengembalian kredit di masa yang akan datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa mendatang. Jika pembayaran bunga dilakukan pertahun FFFF = PP ( 1 + ii ) nn LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 18 LITBANG PTA 16/17

29 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Jika pembayaran bunga dilakukan per hari, per triwulan, per caturwulan, dan per semester Keterangan : FFFF = PP ( 1 + ( ii )) mm. nn mm Fn = Nilai di Masa yang Akan Datang P i n m = Nilai Sekarang / pada Permulaan Periode = Tingkat bunga per tahun = Jumlah Tahun = Frekuensi Pembayaran Bunga dalam Setahun Contoh Soal 1. Frenal meminjam uang di suatu bank sebanyak Rp , untuk jangka waktu 5 tahun, dengan tingkat bunga 6% per tahun. Berapakah jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan Frenal pada saat pelunasan? Diketahui: P = n = 5 i = 6% = 0,06 Ditanya : F5? Jawab : Fn = P (1 + i) n F5 = (1 + 0,06) 5 F5 = (1,06) 5 F5 = ,031 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 19 LITBANG PTA 16/17

30 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Analsis : Jadi, jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan Frenal pada saat pelunasan sebesar Rp ,031. Langkah langkah pengerjaan dengan menggunakan software EC-Math: 1. Buka software Ec-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Ekonomi. Gambar 2.4. Tampilan Menu Deret Ukur 3. Pilih Model Bunga Majemuk. Masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 20 LITBANG PTA 16/17

31 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Gambar 2.5. Tampilan Hasil Output Contoh Soal No Valak membeli sebuah motor dengan merek CJR, secara kredit selama 5 tahun seharga Rp dengan bunga sebesar 6% per tahun. Valak melakukan pembayaran bunga per caturwulan. Berapakah jumlah yang harus dibayarkan oleh Valak? Diketahui: P = i = 6% = 0,06 n = 5 m = 12/4 = 3 Ditanya : F5? Jawab : Fn = P ( 1 + (i/m)) m.n ) F5 = (1 + (0,06/3)) 3.5 F5 = ,66 Analisis : Jadi, jumlah yang harus dibayarkan Valak pada saat pelunasan sebesar Rp ,66. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 21 LITBANG PTA 16/17

32 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Langkah langkah pengerjaan dengan menggunakan software EC-Math: Masih pada tampilan software materi deret ukur penerapan ekonomi Model Bunga Majemuk, isikan datanya seperti contoh soal di atas, setelah itu klik hasil seperti ditunjukkan oleh gambar di bawah ini. Gambar 2.6. Tampilan Hasil Output Contoh Soal No Model Bunga Sinambung Model penerapan ekonomi ini digunakan apabila frekuensi pembayaran bunga per tahun (m) sangat sering diperhitungkan secara terus menerus dalam setahun. FFFF = PP. ee. nn Keterangan : Fn = Nilai di Masa yang Akan Datang LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 22 LITBANG PTA 16/17

33 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR P = Nilai Sekarang / pada Permulaan Periode e = Eksponensial (2,71828) n = Jumlah Tahun Contoh Soal 1. Ega mempunyai tabungan deposito darurat dari Bank Jawa pada masa perang Belanda dengan frekuensi pembayaran 5 menit sekali selama 17 tahun. Nilai tabungan Ega di Bank tersebut yaitu Rp pada saat pertama kali setoran. Berapakah jumlah uang Ega 17 tahun kemudian? Diketahui : P = n = 17 Ditanya : F17? Jawab : Fn = P.e.n F17 = x 2,71828 x 17 F17 = ,561 Analisis: Jadi jumlah uang Ega 17 tahun kemudian sebesar Rp ,561. Langkah langkah pengerjaan dengan menggunakan software EC-Math: LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 23 LITBANG PTA 16/17

34 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR 1. Buka software Ec-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Ekonomi. 3. Gambar 2.7. Tampilan Menu Deret Ukur 4. Pilih Model Bunga Sinambung. Masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 24 LITBANG PTA 16/17

35 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Gambar 2.8. Tampilan Hasil Software Contoh Soal No Model Present Value Dari cara Model Bunga Majemuk sebelumnya, dengan sedikit manipulasi matematis, dapat pula dihitung besarnya nilai sekarang apabila yang diketahui jumlahnya dimasa datang. Nilai sekarang (present value) dari suatu jumlah uang tertentu di masa datang adalah:. Jika pembayaran bunga dilakukan pertahun PP = FFnn /( 1 + ii ) nn Jika pembayaran bunga dilakukan per hari, per triwulan, per caturwulan, dan per semester P = Fn / (1 + (i/m)) m.n LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 25 LITBANG PTA 16/17

36 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Keterangan : Fn = Nilai di Masa yang Akan Datang P i n m = Nilai Sekarang / pada Permulaan Periode = Tingkat bunga per-tahun = Jumlah Tahun = Frekuensi Pembayaran Bunga dalam Setahun Contoh Soal 1. Queby menginginkan agar uangnya menjadi Rp pada 7 tahun yang akan datang, berapakah jumlah uang yang harus ditabung Queby saat ini seandainya diberikan bunga sebesar 6% per tahun? Diketahui : Ditanya : Jawab : F6 = i = 6% = 0,06 n = 7 P? P = Fn / (1 + i) n P = / (1 + 0,06) 7 P = / (1,06) 7 P = ,02 Analisis: Jadi uang yang harus ditabung Queby saat ini sebesar Rp ,02. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 26 LITBANG PTA 16/17

37 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Langkah langkah pengerjaan dengan menggunakan software EC-Math: 1. Buka software Ec-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Ekonomi. Gambar 2.9. Tampilan Menu Deret Ukur 3. Pilih Model Present Value. Masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 27 LITBANG PTA 16/17

38 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Gambar Tampilan Hasil Software Contoh Soal No Kieso membeli sebuah kulkas dengan merek Dinginsonic secara kredit selama 5 tahun dengan bunga sebesar 7% per tahun. Kieso melakukan pembayaran per semester. Jika jumlah uang yang dibayarkan oleh Kieso adalah Rp , berapakah mula harga kulkas tersebut? Diketahui : F5 = i = 7% = 0,07 n = 5 m = 12/6 = 2 Ditanya : P? Jawab : LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 28 LITBANG PTA 16/17

39 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR P = Fn / (1 + (i/m)) m.n P = / (1 + (0,07/2)) 2.5 P = ,96 Analisis: Jadi mula-mula harga kulkas tersebut sebesar Rp ,96. Langkah langkah pengerjaan dengan menggunakan software EC-Math: Masih pada tampilan software materi deret ukur penerapan ekonomi Model Present Value, isikan datanya seperti contoh soal di atas, setelah itu klik hasil seperi ditunjukkan oleh gambar di bawah ini. Gambar Tampilan Hasil Contoh Soal No. 2 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 29 LITBANG PTA 16/17

40 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR 2.4. Model Pertumbuhan Penduduk Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara matematik, hal ini dapat dirumuskan sebagai: PPPP = PP 1. RR ( tt 1 ) Keterangan: Pt = Jumlah penduduk pada Tahun ke-t P1 = Jumlah Penduduk pada Tahun Basis R = 1 + r r = Presentase Pertumbuhan per tahun t = Indeks waktu (tahun) Contoh Soal 1. Jika diketahui jumlah penduduk suatu desa pada tahun 2011 berjumlah jiwa, dengan tingkat pertumbuhan 7% per tahun. Berapakah jumlah penduduk di desa tersebut pada tahun 2015? Diketahui : P1 = r = 7% = 0,07 t = 5 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 30 LITBANG PTA 16/17

41 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Ditanya : P5? Jawab : R = 1 + r R = 1 + 0,07 R = 1,07 Pt = P1. R (t-1) P3 = x 1,07 (5-1) P3 = ,193 dibulatkan Analisis: Jadi jumlah penduduk di desa tersebut pada tahun 2015 sebanyak jiwa. Langkah langkah pengerjaan dengan menggunakan software EC-Math: 1. Buka software Ec-Math. 2. Pilih menu Deret Ukur, kemudian pilih Penerapan Ekonomi. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 31 LITBANG PTA 16/17

42 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Gambar 2.12 Tampilan Menu Deret Ukur 3. Pilih Model Petumbuhan Penduduk. Masukkan data yang ada pada soal ke software. Setelah itu untuk menampilkan outputnya, klik Hasil. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 32 LITBANG PTA 16/17

43 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Gambar Tampilan Hasil Output Contoh Soal No Jumlah penduduk di suatu desa pada tahun 2007 adalah jiwa dan jumlah penduduk tersebut mengalami kenaikan pada tahun 2010 menjadi jiwa. Berapakah tingkat pertumbuhan penduduk di kota tersebut dari tahun ? Diketahui : P1 = P4 = t = 4 Ditanya : r? Jawab : Pt = P1. R (t-1) = R (4-1) LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 33 LITBANG PTA 16/17

44 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR R 3 = / R = 3 1, R R = 1,068 (pembulatan) = 1 + r 1,068 = 1 + r r = 1 1,068 r = 0,068 r = 6,8% Analisis: Jadi tingkat pertumbuhan pada tahun mengalami kenaikan sebesar 6,8%. Langkah langkah pengerjaan dengan menggunakan software EC-Math: Masih pada tampilan software materi deret ukur penerapan ekonomi Model Pertumbuhan Penduduk, isikan datanya seperti contoh soal di atas, setelah itu klik hasil seperi ditunjukkan oleh gambar di bawah ini. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 34 LITBANG PTA 16/17

45 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR Gambar Tampilan Hasil Output Contoh Soal No. 2 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 35 LITBANG PTA 16/17

46 MATEMATIKA EKONOMI 1 DERET UKUR LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 36 LITBANG PTA 16/17

47 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 MATERI III FUNGSI LINIER 1 1. PENGERTIAN FUNGSI LINIER Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan antara satu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien dan konstanta. Fungsi linier adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu, oleh karenanya sering juga disebut sebagai fungsi berderajat satu. Fungsi-fungsi lain yang pangkat tertinggi dari variabelnya lebih dari satu, secara umum disebut fungsi non-linier seperti misalnya fungsi kuadrat (x 2 ), dan fungsi kubik (x 3 ). Notasi sebuah fungsi linier secara umum : Keterangan : y b x a = variabel terikat = koefisien arah/gradien = variable bebas = konstanta Koefisien arah/gradient (b) dapat dicari dengan menggunakan rumus : LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 36 LITBANG PTA 16/17

48 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Contoh soal 1 : Carilah koefisien arah/gradien yang melalui titik A (-1,6) dan titik B (5,7)! Jawab : Fungsi linier merupakan bentuk yang paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisa ekonomi. Fungsi linier merupakan hubungan sebab-akibat berbagai variabel ekonomi misalnya antara permintaan dengan harga, antara investasi dengan tingkat bunga, dan antara konsumsi dengan pendapatan nasional. 2. CARA PEMBENTUKAN FUNGSI LINIER Sebuah fungsi linier dapat dibentuk dengan berbagai macam cara, tergantung pada data yang tersedia. Berikut ini dicontohkan empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persaman linier, masing-masing berdasarkan ketersediaan data yang diketahui Cara Koordinat-Lereng Dari sebuah titik dan sebuah lereng, dapat dibentuk suatu persamaan linier. Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1), dan gradien m, maka rumus persamaan liniernya adalah : Contoh soal 2 : Diketahui titik A (1, 7) dengan b = 5 maka, persamaan liniernya adalah : (y y 1 ) = b (x x 1 ) y 7 = 5 (x 1) LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 37 LITBANG PTA 16/17

49 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 y = 5x y = 5x + 2 X y Cara Dwi-Koordinat Sebuah persamaan linier dapat dibentuk dari 2 buah titik. Apabila diketahui 2 titik yaitu A dan B dengan koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah : Contoh soal 3 : Diketahui titik A (1, 6) dengan B (5, 7) maka, persamaan liniernya adalah : LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 38 LITBANG PTA 16/17

50 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 x y Cara Penggal-Lereng Apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan gradien yang memenuhi persamaan, maka persamaan liniernya dapat dibentuk. Rumus persamaan liniernya adalah : Contoh soal 4 : Diketahui konstanta dan gradien suatu garis adalah 16 dan 7. Maka, persamaan liniernya adalah y = 7x LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 39 LITBANG PTA 16/17

51 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 X y Cara Dwi-Penggal Sebuah persamaan linier dapat dibentuk pula apabila diketahui penggal garis masingmasing sumbu, yakni penggal pada sumbu x (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu y (ketika y = 0). Maka rumus persamaan liniernya : a = penggal vertikal (penggal pada sumbu x) c = penggal horizontal (penggal pada sumbu y) Contoh soal 5 : Diketahui penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horizontal masingmasing 6 dan 1, maka persamaan linier yang memenuhinya adalah : LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 40 LITBANG PTA 16/17

52 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 X Y HUBUNGAN 2 BUAH GARIS LURUS Dalam sistem sepasang sumbu-silang, dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan yaitu berhimpit, sejajar, berpotongan dan tegak lurus. Keempatnya akan dijelaskan lebih lanjut sebagai berikut : 1. Berhimpit Apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain. Maka, y = a1+b1x akan berhimpit dengan y = a2 + b2x jika y1 = n.y2, a1 = n.a2, dan b1= n.b2. GAMBAR 3.1 : KURVA BERHIMPIT LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 41 LITBANG PTA 16/17

53 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 2. Sejajar Apabila gradien garis yang satu sama dengan gradien garis yang lain, y = a1 + b1x akan sejajar dengan y = a2 + b2x ; jika a1 a2, b1 = b2 GAMBAR 3.2 : KURVA SEJAJAR 3. Berpotongan Apabila gradien garis yang satu tidak sama dengan gradien garis yang lain, y = a1 + b1x akan berpotongan dengan y = a2 + b2x; jika b1 b2 GAMBAR 3.3 : KURVA BERPOTONGAN LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 42 LITBANG PTA 16/17

54 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 4. Tegak lurus Apabila gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari gradien garis yang lain, y = a1+b1x akan tegak lurus dengan y=a2 + b2x; jika b1 = - 1/b2, atau b1.b2 = -1 GAMBAR 3.4 : KURVA TEGAK LURUS 4. PENERAPAN EKONOMI Fungsi linier sangat lazim diterapkan dalam ilmu ekonomi, baik dalam pembahasan ekonomi mikro maupun makro. Dua variabel ekonomi atau lebih yang saling berhubungan seringkali diterjemahkan ke dalam bentuk persamaan linier Fungsi Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar Fungsi Permintaan Fungsi ini menghubungkan variabel harga dan variabel jumlah (barang/jasa) yang diminta. Bentuk umum fungsi permintaan : Dalam bentuk persamaan di atas terlihat bahwa variabel P (harga) dan variabel Q (jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan hukum permintaan, bahwa apabila harga naik jumlah yang diminta akan berkurang. Karena gerakan harga dengan gerakan jumlah berlawanan arah, maka kurva permintaan berlereng/slope negatif. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 43 LITBANG PTA 16/17

55 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER Fungsi Penawaran Fungsi ini menghubungkan antara variabel harga dan variabel jumlah (barang/jasa) yang ditawarkan. Bentuk umum fungsi penawaran : Dalam bentuk persamaan di atas terlihat bahwa variabel P (harga) dan variabel Q (jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencerminkan hukum penawaran, bahwa apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah. Karena gerakan harga dengan gerakan jumlah searah, maka kurva penawaran berlereng/slope positif Keseimbangan Pasar Keseimbangan pasar atau juga sering disebut dengan equilibrium merupakan keadaan dimana jumlah barang yang diminta di pasar sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan : Dalam grafik keseimbangan pasar ditunjukkan yakni pada perpotongan kurva penawaran dan kurva pemintaan. Pada posisi keseimbangan pasar ini tercipta harga keseimbangan (price equilibrium) dan jumlah keseimbangan (quantity equilibrium). Kasus 1 : Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 - Q, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan oleh persamaan P = 5 + Q. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar? Permintaan Penawaran : P = 15 Q Q = 15 P : P = 5 + Q Q = -5 + P LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 44 LITBANG PTA 16/17

56 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Keseimbangan : Qd = Qs 15 P = Q 15 P = -5 + P 20 = 2P 10 = P (Pe) 5 = Q Qe = 5 Pe = 10 Maka keseimbangan pasarnya adalah (5, 10) Penggambaran grafik : Pd = 15 Q Jika P = 0 ; Q = 15 Jika Q = 0 ; P = 15 Ps = 5 + Q Jika P = 0 ; Q = -5 Jika Q = 0 ; P = 5 GAMBAR 3.5 : KURVA KESEIMBANGAN PASAR Analisa : Pada saat fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan Pd = 15 Q dan fungsi penawaran ditunjukkan oleh persamaan Ps = 5 + Q, harga keseimbangan yang tercipta di pasar adalah Rp. 10 dengan kuantitas keseimbangan sebesar 5 unit. Langkah-langkah pengerjaan software dengan Ec-Math : 1. Buka software Ec-Math versi Pilih materi fungsi linier 1 dan pilih sub materi yang sesuai LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 45 LITBANG PTA 16/17

57 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 GAMBAR 3.6 : TAMPILAN SOFTWARE EC MATH 3. Setelah itu input angka sesuai data-data yang tercantum dalam soal. 4. Klik check. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 46 LITBANG PTA 16/17

58 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 GAMBAR 3.7 : OUTPUT SOFTWARE KASUS Pengaruh Pajak Spesifik Terhadap Keseimbangan Pasar Pengenaan pajak terhadap suatu barang yang diproduksi atau dijual akan mempengaruhi keseimbangan pasar barang tersebut, mempengaruhi harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan. Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut naik. Sebab setelah dikenakan pajak, produsen akan berusaha mengalihkan (sebagian) beban pajak tersebut kepada konsumen yaitu dengan menawarkan harga jual yang lebih tinggi. Pengenaan pajak sebesar t setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas. Fungsi penawaran sebelum pajak : Ps = a + bq LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 47 LITBANG PTA 16/17

59 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Fungsi penawaran setelah pajak Keseimbangan pasar setelah pajak Pajak tanggungan konsumen Pajak tanggungan produsen Pajak yang diterima pemerintah : Pst = a + bq + t : Qd = Qst atau Pd = Pst : tk = Pet Pe : tp = t tk : T = t x Qet Kasus 2 : Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 - Q, sedangkan fungsi penawarannya P = 5 + Q, terhadap barang dikenakan pajak spesifik sebesar Rp. 5 per unit. a. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar sebelum dan sesudah pajak? Gambarkan grafiknya! b. Berapakah pajak yang ditanggung konsumen, ditanggung produsen, dan yang diterima pemerintah? Diketahui : Pd = 15 - Q Qd = 15 P Ps = 5 + Q Qs = -5 + P t = 5 Ditanya : a. Qe, Pe dan Qet, Pet? b. tk, tp, dan T? Jawab : a. Keseimbangan pasar sebelum pajak adalah (5, 10) lihat kasus 1 t = 5 Pst = 5 + Q + 5 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 48 LITBANG PTA 16/17

60 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Pst = 10 + Q Q = P - 10 Keseimbangan pasar setelah pajak : = Q 15 P = P = 2P 2.5 = Q Qet = 2,5 P = 12,5(Pet) Pet = 12,5 Maka keseimbangan pasar setelah pajak adalah (2,5 ; 12,5) b. Pajak tanggungan konsumen : tk = Pet Pe = 12,5 10 = 2,5 Pajak tanggungan produsen : tp = t tk = 5 2,5 = 2,5 Pajak yang diterima pemerintah : T = t x Qet = 5 x 2,5 = 11 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 49 LITBANG PTA 16/17

61 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Penggambaran grafik : Pd = 15 Q Jika P = 0 ; Q = 15 Jika Q = 0 ; P = 15 Pst = 10 + Q Jika P = 0 ; Q = -10 Jika Q = 0 ; P = 10 GAMBAR 3.8 : KURVA KESEIMBANGAN DENGAN PAJAK SPESIFIK Analisa : Saat persamaan fungsi permintaan Pd = 15 Q dan persamaan fungsi penawaran Ps = 5 + Q, harga keseimbangan yang tercipta di pasar adalah Rp 10 dan kuantitas keseimbangan sebesar 5 unit. Setelah dikenakan pajak Rp 5 per unit, jumlah yang diminta turun menjadi 2.5 unit dan harganya naik menjadi Rp. 12,5. Lalu, pajak tanggungan konsumen Rp. 2,5, pajak tanggungan produsen Rp. 2,5 dan pajak yang diterima pemerintah sebesar Rp. 11 Langkah-langkah pengerjaan software dengan Ec-Math : 1. Buka software Ec-Math versi Pilih materi fungsi linier 1 dan pilih sub materi yang sesuai LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 50 LITBANG PTA 16/17

62 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 GAMBAR 3.9 : TAMPILAN SOFTWARE EC MATH LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 51 LITBANG PTA 16/17

63 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Setelah itu input angka sesuai data-data yang tercantum dalam soal 3. Klik check GAMBAR 10 : OUTPUT SOFTWARE KASUS Pengaruh Pajak Proporsional Terhadap Keseimbangan Pasar Pajak proporsional adalah suatu pajak yang dikenakan terhadap suatu barang yang besarnya ditetapkan berdasarkan presentase (%) tertentu dari harga jualnya. Pajak proporsional ini dikenakan sebesar t% dari harga jual (P), maka : Fungsi penawaran sebelum pajak Fungsi penawaran setelah pajak Keseimbangan pasar setelah pajak : Ps = a + bq : Pst = a + bq + t.p : Qd = Qst atau Pd = Pst LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 52 LITBANG PTA 16/17

64 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Pajak tanggungan konsumen Pajak tanggungan produsen Pajak yang diterima pemerintah : tk = Pet Pe : tp = (t x Pet) tk : T = (t x Pet) x Qet Kasus 3 : Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 - Q dan fungsi penawarannya ditunjukkan oleh persamaan P = 5 + Q. Barang tersebut dikenakan pajak sebesar 50%. a. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar sebelum dan sesudah pajak? Gambarkan grafiknya! b. Berapakah pajak yang ditanggung konsumen, ditanggung produsen, dan yang diterima pemerintah? Diketahui : Pd = 15 - Q Qd = 15 P Ps = 5 + Q Qs = -5 + P t = 0,5 Ditanya : a. Qe, Pe dan Qet, Pet? b. tk, tp, dan T? Jawab : a. Keseimbangan pasar sebelum pajak adalah (5, 10) lihat kasus 1 t = 5 Pst = 5 + Q + 0,5P 0,5Pst = 5 + Q Pst = Q 2Q = P 10 Q = 0,5P - 5 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 53 LITBANG PTA 16/17

65 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Keseimbangan pasar setelah pajak : 15 P = Q 15 P = 0,5P = 1,5P 1,67 = Q Qet = 1,67 P = 13,33(Pet) Pet = 13,33 Maka keseimbangan pasar setelah pajak adalah (13,33 ; 1,67) b. Pajak tanggungan konsumen : tk = Pet Pe = 13,33 10 = 3,33 Pajak tanggungan produsen : tp = (t x Pet) tk = (0,5 x 13,33) 3,33 = 3,335 Pajak yang diterima pemerintah : T = (t x Pet) x Qet = (0,5 x 13,33) x 1 = 6,665 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 54 LITBANG PTA 16/17

66 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Penggambaran grafik : Pd = 15 Q Jika P = 0 ; Q = 15 Jika Q = 0 ; P = 15 Pst = Q Jika P = 0 ; Q = -5 Jika Q = 0 ; P = 10 GAMBAR 3.11 : KURVA KESEIMBANGAN DENGAN PAJAK PROPORSIONAL Analisis : Pada saat fungsi permintaan Pd = 15 Q dan fungsi penawaran Ps = 5 + Q, harga keseimbangan yang tercipta di pasar adalah Rp. 10 dengan kuantitas keseimbangan sebesar 5 unit. Setelah dikenakan pajak sebesar 50% dari harga jual, jumlah yang dimintanya turun menjadi 1,67 unit dan harganya naik menjadi Rp. 13,33. Lalu, pajak tanggungan konsumen sebesar Rp. 3,33 pajak tanggungan produsen Rp. 3,335 dan pajak yang diterima pemerintah sebesar Rp. 6,665. Langkah-langkah pengerjaan software dengan Ec-Math : 1. Buka software Ec-Math versi LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 55 LITBANG PTA 16/17

67 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 2. Pilih materi fungsi linier 1 dan pilih sub materi yang sesuai GAMBAR 3.12 : TAMPILAN SOFTWARE EC MATH LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 56 LITBANG PTA 16/17

68 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 3. Setelah itu input angka sesuai data-data yang tercantum dalam soal. 4. Klik check GAMBAR 3.13 : OUTPUT SOFTWARE KASUS Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar Subsidi adalah kebalikan dari pajak, sehingga sering disebut sebagai pajak negatif. Subsidi yang diberikan atas produksi atau penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah, sehingga titik keseimbangannya bergeser menjadi lebih rendah. Fungsi penawaran sebelum subsidi Fungsi penawaran setelah subsidi : Ps = a + bq : Pss = a + bq s LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 57 LITBANG PTA 16/17

69 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Keseimbangan pasar setelah subsidi : Qd = Qss atau Pd = Pss Subsidi yang dinikmati konsumen Subsidi yang dinikmati produsen Subsidi yang diberikan pemerintah : sk = Pe Pes : sp = s sk : S = s x Qes Kasus 4 : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Pd = -Q + 56, sedangkan penawarannya Ps = Q Pemerintah memberikan subsidi sebesar 6 atas setiap unit barang yang diproduksi. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi, subsidi yang dinikmati konsumen, subsidi yang dinikmati produsen, dan subsidi yang diberikan pemerintah? Analisislah! (dalam ribuan rupiah) Diketahui : Pd = -Q + 56 Qd = 56 - P Ps = Q + 10 Qs = P - 10 s = 6 Ditanya : a. (Qe, Pe) dan (Qet, Pet)? b. sk, sp, dan S? Jawab : Pd = Ps Q = 23(Qe) -Q + 56 = Q = Q + Q 46 = 2Q Pd = -Q + 56 Pe = -(23) + 56 Pe = 33 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 58 LITBANG PTA 16/17

70 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Qe, Pe (23, 33) Maka keseimbangan sebelum subsidi (23, 33) Ps = Q + 10 s = 6 Pss = Q Pss = Q + 4 atau Qss = P - 4 Pd = Pss -Q + 56 = Q = Q + Q 52 = 2 Q = 26(Qes) Pss = Q + 4 Pes = Pes =30 Qes, Pes = (26, 30) LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 59 LITBANG PTA 16/17

71 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Keseimbangan setelah subsidi (26, 30) Subsidi yang dinikmati konsumen : sk = Pe Pes sk = = 3 Subsidi yang dinikmati produsen : sp = s sk sp = 6 3 = 3 Subsidi yang diberikan pemerintah: S = Qes x s S = 26 x 6 = 156 Penggambaran grafik : Pd = 56 Q Ps = 10 + Q Pss = 4 + Q Jika P = 0 ; Q = 56 Jika P = 0 ; Q = -10 Jika P = 0 ; Q = -4 Jika Q = 0 ; P = 56 Jika Q = 0 ; P = 10 Jika Q = 0 ; P = 4 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 60 LITBANG PTA 16/17

72 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 GAMBAR 3.14 : KURVA KESEIMBANGAN DENGAN SUBSIDI Analisis : Jadi titik keseimbangan dan sesudah subsidi yang tercipta di pasar masingmasing sebesar (23, 33) dan (26, 30). Subsidi yang dinikmati konsumen dan produsen masing-masing sebesar 3 ribu rupiah dan 3 ribu rupiah. Subsidi yang diberikan pemerintah sebesar 156 ribu rupiah LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 61 LITBANG PTA 16/17

73 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 Langkah-langkah pengerjaan software dengan Ec-Math : 1. Buka software Ec-Math versi Pilih materi fungsi linier 1 dan pilih sub materi yang sesuai GAMBAR 3.15 :TAMPILAN SOFTWARE EC MATH LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 62 LITBANG PTA 16/17

74 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 1 3. Setelah itu input angka sesuai data-data yang tercantum dalam soal 4. Klik check GAMBAR 3.16 : OUTPUT SOFTWARE KASUS 4 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 63 LITBANG PTA 16/17

75 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 2 MATERI IV FUNGSI LINIER 2 1. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan Pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan (pendapatan nasional) dialokasikan ke dalam dua kategori penggunaan, yakni digunakan untuk konsumsi dan sisanya untuk ditabung. Y = C + S Dimana : Y = Pendapatan Nasional C = Konsumsi S = Saving (Tabungan) 1.1 Fungsi Konsumsi Fungsi konsumsi pertama kali diperkenalkan oleh John M. Keynes. Fungsi ini menjelaskan hubungan antara konsumsi dan pendapatan nasional yang secara umum dirumuskan sebagai berikut : C = f (Y) = C0 + cy Dimana : C0 = Konsumsi Otonom c = MPC (Marginal Propensity to Consume) = C / Y LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 64 LITBANG PTA 16/17

76 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 2 Keterangan : a. Konstanta C0 atau Autonomous Consumption menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat pendapatan nasional sebesar nol (mencerminkan konsumsi nasional minimum). b. Koefisien c (MPC) mencerminkan besarnya tambahan konsumsi sebagai akibat adanya tambahan pendapatan nasional sejumlah tertentu. c. C menunjukkan besarnya perubahan konsumsi dan Y menunjukkan besarnya perubahan pendapatan nasional yang mengakibatkan besarnya konsumsi termaksud. Perhatikan : ½ < MPC < 1 Keterangan : a. MPC < 1 menunjukkan bahwa tambahan pendapatan yang diterima seseorang tidak seluruhnya dipergunakan untuk konsumsi, melainkan sebagian untuk saving (tabungan). Contoh : MPC = 0,8 < 1. b. MPC > ½ menunjukkan bahwa penggunaan tambahan pendapatan, sebagian besar digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yang jumlahnya lebih kecil digunakan untuk tambahan saving (tabungan). Contoh : MPC = 0,8 > 0,5 dan MPS = 0,2, karena MPC + MPS = 1 atau c + s = 1. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 65 LITBANG PTA 16/17

77 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 2 Contoh Kasus 1 Konsumsi negara Indonesia pada saat pendapatan nasional sebesar nol adalah sebesar 666 dengan MPC sebesar 0,65. Bentuklah fungsi konsumsinya dan tentukan berapa besar konsumsinya jika pendapatan nasional sebesar 5.556? Analisis! (dalam jutaan rupiah) Penyelesaian Diketahui : C0 = 666 MPC = 0,65 Y = Ditanya : f (C) dan besarnya f (C) saat Y = 5.556? Jawab : C = C0 + cy = ,65Y Saat pendapatan Y = C = C0 + cy = ,65Y = ,65 (5.556) = 4.277,4 = (dibulatkan) Analisis : Jadi, dengan MPC sebesar 0,65 dan konsumsi otonom sebesar 666 dan pendapatan sebesar maka konsumsi masyarakat tersebut sebesar atau Rp LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 66 LITBANG PTA 16/17

78 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 2 Langkah-langkah pengerjaan dengan software : 1) Buka software EC-Math, pilih materi Fungsi Linier 2. 2) Kemudian pilih Adanya Konsumsi Otonom, lalu input angka yang tertera pada soal, pilih rumus apa yang akan dihitung (di kanan bawah tampilan software), kemudian klik hitung. Gambar 4.1 Tampilan Hasil Output Kasus 1 LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 67 LITBANG PTA 16/17

79 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER Fungsi Tabungan Fungsi yang menjelaskan hubungan antara tabungan dengan pendapatan nasional. Saving merupakan bagian dari pendapatan nasional yang tidak dikonsumsi, yang sec ara umum dirumuskan sebagai berikut : S = g (Y) = S0 + sy Dimana : S0 = Saving atau Tabungan Otonom s = MPS (Marginal Propensity to Saving) = S / Y Keterangan : a. Konstanta S0 atau Autonomous Saving menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat pendapatan nasional sebesar nol. b. Koefisien s (MPS) mencerminkan besarnya tambahan tabungan sebagai akibat adanya tambahan pendapatan nasional sejumlah tertentu. Persamaan fungsi tabungan dapat diturunkan melalui persamaan Y = C + S Y = C + S S = Y C S = Y (C0 + cy) S = Y C0 cy S = C0 + (1 c)y LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 68 LITBANG PTA 16/17

80 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 2 Contoh Kasus 2 Konsumsi otonom suatu negara adalah 560 dengan MPC sebesar 0,60. Bentuklah sebuah fungsi tabungannya! Analisis! Penyelesaian Diketahui : C0 = 560 MPC = 0,60 Ditanya : f (S)? Jawab : S = Y C = Y C0 cy = C0 + (1 c)y = (1 0,60)Y = ,40Y Analisis : Jadi, dengan MPC sebesar 0,60 dan konsumsi otonom sebesar 560 maka fungsi tabungannya adalah S = ,40Y. Langkah-langkah pengerjaan dengan software : 1) Buka software EC-Math, pilih materi Fungsi Linier 2. 2) Kemudian pilih Adanya Konsumsi Otonom, lalu input angka yang tertera pada soal, pilih rumus apa yang akan dihitung (di kanan bawah tampilan software), kemudian klik hitung. LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 69 LITBANG PTA 16/17

81 MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI LINIER 2 Gambar 4.2 Tampilan Hasil Output Kasus 2 2. Pendapatan Disposibel Pendapatan nasional pada dasarnya merupakan penjumlahan total dari pendapatan semua sektor di dalam suatu negara yang meliputi sektor rumah tangga, sektor badan usaha dan sektor pemerintah. Pendapatan disposibel adalah pendapatan nasional yang secara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat. Namun tidak termasuk di dalamnya pendapatan pemerintah seperti pajak, cukai dan sebagainya. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut : Dimana : Yd = Y Tx + Tr LAB. MANAJEMEN DASAR Hal 70 LITBANG PTA 16/17