Kuliah 07 Persamaan Diferensial Ordinari Problem Kondisi Batas (PDOPKB)

Transkripsi

1 Kuliah 07 Persamaan Diferensial Ordinari Problem Kondisi Batas (PDOPKB) Persamaan diferensial satu variabel bebas (ordinari) orde dua disebut juga sebagai Problem Kondisi Batas. Hal ini disebabkan persamaan diferensial tersebut tidak akan dapat memberikan jawaban spesifik tanpa adanya dua kondisi yang diketahui (nilai variabel tergantung diketahui pada dua nilai variabel bebas). Dua kondisi ini pada umumnya berada pada ujung kiri dan kanan domain komputasi. Beberapa fenomena atau problem keteknikan yang terkait dengan PDOPKB di antaranya adalah distribusi polutan pada aliran permanen, lendutan pada balok gelagar jembatan, aliran air tanah radial tak tertekan, dll. Distribusi polutan D d c dc U dx dx Rc, kondisi batas: di x, c = a dan di x = L, c = β, dengan c adalah konsentrasi polutan di x, D adalah koefisien difusi, U adalah kecepatan aliran, dan R adalah koefisien sumber (source). Lendutan pada balok gelagar jembatan d w dx S EI w = q EI x x l ( ), kondisi batas: di x dan x = l, z, dengan w adalah lendutan (penurunan elevasi gelagar) di x. S, E, dan I adalah koefisien terkait dengan tegangan tarik aksial, modulus elastisitas material konstruksi dan momen inersia tampang gelagar, q adalah koefisien terkait beban merata, dan l adalah panjang balok gelagar dari tumpuan kiri ke tumpuan kanan. Aliran air tanah radial di sekeliling sumur d ( h ) + 1 dr r d ( h ), dr dengan kondisi batas: di r = a, dh dr = α dan r = b, h = β, h adalah tebal aliran air tanah di atas dasar kedap air, r adalah jarak dari pusat sumur. Persamaan dapat disederhanakan dengan subsitusi f = h. d f dr + 1 df r dr Untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde dua ini secara numerik dapat digunakan Metode Diferensi Hingga, Metode Elemen Hingga, atau metode yang 1

2 lain. Dibawah ini akan dibahas penyelesaian dengan Metode Beda Hingga. Metode Elemen Hingga superior di problem persamaan diferensial parsail (mempunyai lebih dari satu variabel bebas). Penyelesaian dengan Metode Beda Hingga (MBH) Penyelesaian dengan MBH mendekati solusi persamaan diferensial dengan membagi domain komputasi menjadi beberapa interval dengan ukuran seragam kemudian mengganti suku-suku diferensial pada persamaan asal dengan skema diferensi yang sesuai dan berlaku pada domain komputasi diskret yang sudah disiapkan. Diskretisasi domain komputasi menggunakan cara yang sama seperti pada penyelesaian problem kondisi awal sehingga mendapatkan: x! = a + i x dengan xi: koordinat lokasi diskret di sumbu x, a: koordinat batas kiri, i: nomor lokasi diskret, x: jarak atau lebar interval. Suku diferensial orde dua dapat didekati dengan skema diferensi tengah pada domain komputasi diskret tersebut di atas sbb. d! c dx! p!!! p! + p!!! x! dengan, c: konsentrasi polutan, pi: pendekat fungsi konsentrasi di xi. Suku diferensial orde satu didekati dengan skema diferensi mundur sbb: dc dx p! p!!! x Penjelasan metode penyelesaian ini selanjutnya akan menggunakan kasus sebaran polutan. Diskretisasi persamaan diferensial akan memberikan persamaan diferensi hingga sbb. D p!!! p! + p!!! x! U p! p!!! R p x! jika dikelompokkan per lokasi diskret sumbu x diperoleh persamaan, D x! + U x p!!! + D x! U x R p! + D x! p!!! Persamaan di atas menunjukkan hubungan nilai p di titik xi dan titik sebelah hulu dan hilirnya. Untuk i = 1,,, n-1 terdapat n-1 persamaan linier dan dua kondisi batas yaitu di batas hulu (kiri), p0 = A, dan batas hilir (kanan), pn = B.

3 Jika, α =! +!!!! linier dapat ditulis sbb.!!, β =! R, dan γ =!, maka sistem persamaan!!!!! p 0 = A α p 0 + β p 1 + γ p α p 1 + β p + γ p 3!!! " " α p n + β p n 1 + γ p n p n = B Persamaan kondisi batas, yaitu persamaan pertama dan terakhir perlu dimasukkan ke dalam sistem persamaan titik-titik internal (bukan titik boundary). Persamaan ke-0 dapat dimasukkan (disubstitusikan) ke dalam persamaan ke-1 sehingga persamaan ke-1 menjadi, β p 1 +γ p αa Demikian juga persamaan ke-n disubstitusikan ke persamaan ke n-1 menjadi, α p n + β p n 1 γb sehingga diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut ini. β p 1 + γ p αa α p 1 + β p + γ p 3!!! " " α p n + β p n 1 γb Sistem persamaan linier ini selanjutnya diselesaikan untuk mendapatkan nilai p1 sampai dengan pn-1 dengan salah satu metode yang telah dipelajari pada bab sebelumnya. Berikut ini penyelesaian contoh problem sebaran polutan di suatu muara sungai. Diketahui polutan memasuki muara sungai pada titik berjarak 5 Km dari muara. Hal ini menyebabkan fluks konsentrasi polutan sebesar 10 mg/(ltr.detik). Hitung konsentrasi polutan di sepanjang sungai dari muara sampai dengan titik yang berjarak 10 Km dari muara. Kecepatan aliran sungai dianggap seragam sebesar 1.0 m/detik, koefisien difusi sebesar 1000 m /detik dan koefisien sink, R, sebesar Kondisi batas hulu dan hilir diasumsikan gradien fluks konsentrasi polutan nol. 3

4 Data di atas perlu diterjemahkan lebih detil ke dalam bentuk yang siap diselesaikan secara numerik dengan Metode Beda Hingga. Hal yang pertama adalah kondisi batas hulu dan hilir. Makna gradien fluks konsentrasi polutan konstan adalah perubahan fluks konsentrasi polutan pada sumbu x nol, atau mengikuti persamaan berikut. Untuk praktisnya, digunakan simbol c untuk pendekatan fungsi konsentrasi (sebelumnya menggunakan simbol p). d(u D)c dx x=0 x=l Persamaan tersebut hanya diberlakukan di batas hulu dan hilir saja. Fluks konsentrasi polutan berasal dari fluks karena aliran air dan fluks karena proses difusi. Untuk batas hulu persamaan tersebut dapat dirinci menjadi, ( U D) c 1 c 0 Δx Kondisi batas tersebut ekivalen dengan mensyaratkan c1 = c0. Demikian juga untuk batas hilir diperlakukan sama sehingga mensyaratkan cn-1 = cn. Dengan mempertimbangkan kondisi batas tersebut diperoleh sistem persamaan linier dengan n-1 buah persamaan. c 0 c 1 αc 0 +βc 1 +γc αc 1 +βc +γc 3!!! " " αc n +βc n 1 +γc n c n 1 +c n Perlakuan untuk efluen (masuknya polutan ke sungai) sebesar 10 mg/detik di xi, adalah dengan memasukkan nilai tersebut sebagai source konstan di ruas kanan. αc i 1 + βc i +γc i+1 =10 Sistem persamaan linier membentuk persamaan tridiagonal matriks. Solusi persamaan ini dapat diperoleh dengan menggunakan tridiagonal solver yang merupakan kasus khusus dari Metode Eleminasi Gauss. Jika digunakan metode iterasi misalnya Gauss-Seidel maka sistem persamaan linier di atas dapat dibentuk menjadi, 4

5 c 0 k = c 1 k 1 ( ) ( ) c k 1 = 0 αc k k 1 0 +γc β c k = 0 αc k k 1 1 +γc 3 β c 50! k = 10 αc 49 c 99! k = 0 αc 98 c k k 100 = c 99 k k 1 ( +γc 51 ) k k 1 ( +γc 100 ) β β Jika digunakan fasilitas iterasi di MS Excel maka bentuk sistem persamaan linier di atas dapat diterapkan pada formula tiap cell tanpa memperhatikan langkah iterasi k. Hasil hitungan dengan MS Excel menunjukkan distribusi polutan sebagai berikut ini. c (mg/l) x (m) Berikut ini penyelesaian contoh problem lendutan balok gelagar jembatan. Sebuah balok gelagar jembatan mempunyai panjang, l, sebesar 50 m. Nilai koefisien S sebesar 5 x 10 6 N, koefisien E sebesar 00 x 10 9 N/m 3 (GigaPa/m), koefisien I sebesar 1.5 m 4, beban merata oleh berat sendiri, q, sebesar 960 N/m. Hitung lendutan gelagar tersebut dan gunakan interval diskretisasi, h, sebesar 5 m. Kondisi batas problem ini adalah pada dukungan di ujung kiri dan kanan tidak ada lendutan. 5

6 Langkah pertama untuk menyelesaikan problem ini dengan MBH adalah dengan mendiskretisasi domain komputasi 0 < x < 50 menjadi 10 interval sehingga diperoleh x! + ih. Pada xi disusun formulasi persamaan beda hingga, w i 1 w i + w i+1 S Δx EI w = q i EI x i ( x i l) w i 1 w i + w i+1 Δx S w i = Δx q EI EI x i ( x i l) w i 1 + Δx S w i + w i+1 = Δx q EI!# "# $ EI x i ( x i l)!## "## $ Kondisi batas problem ini adalah w0 dan w10. α Untuk i = 1 sampai dengan 9, bentuk sistem persamaan linier menjadi, β i w 0 αw 1 +w = β 1 w 1 αw w 3 = β w αw 3 w 4 = β 3! w 8 αw 9 w 10 = β 9 Setelah kondisi batas dimasukkan maka diperoleh persamaan, αw 1 +w = β 1 0 w 1 αw w 3 = β w αw 3 w 4 = β 3! w 8 αw 9 = β 9 0 Persamaan ini dapat diselesaikan dengan tridiagonal solver atau diselesaikan secara Metode G-S dengan persamaan iterasi w k i = β k i w i 1 k 1 w i+1 Persamaan tersebut di atas dikerjakan mulai dari langkah iterasi k = 1. Pada langkah ini nilai wi pada langkah iterasi k merupakan nilai cobaan awal yang ditentukan sembarang namun berdasar intuisi terkait kondisi lapangan. Dalam setiap langkah iterasi, k, hitungan dimulai dari i = 1 sampai dengan i = 9, karena untuk i dan i = 10 nilai w telah diketahui yaitu sama dengan nol (kondisi batas). Jika hitungan iterasi menggunakan fasilitas iterasi MS Excel, maka formula di atas dapat dimasukkan dalam cell tanpa memperhatikan k. α 6

7 Hasil hitungan dengan menggunakan MS Excel problem tersebut di atas dapat dilihat pada grafik berikut ini. 0 x (m) w (m) Berikut ini penyelesaian contoh problem aliran air tanah radial di sekeliling sumur. Diketahui permukaan lapisan tanah kedap air datar berada 0 m di bawah permukaan tanah porus. Sebuah sumur dengan diameter dinding 0.8 m dibuat sampai tanah kedap air. Dari sumur tersebut dipompa debit, Q, sebesar 100 ltr/detik. Jika permeabilitas tanah sebesar 8 x 10-6 m/detik dan elevasi muka air tanah semula 10 m dari dasar kedap air, berapakah penurunan elevasi permukaan air sumur dan penurunan elevasi muka air tanah pada jarak radial.5 m dari as sumur? Permasalahan diatas dapat diasumsikan bahwa terdapat aquifer di atas bidang datar permukaan lapisan kedap air yang luas. Pada batas luar komputasi terdapat kondisi elevasi permukaan air tanah tetap sebesar + 10 m pada radius 16 m walaupun air sumur dipompa dengan debit yang besar. Asumsi ini akan digunakan menjadi kondisi batas, yaitu h = 10 m pada r = 16 m. Kondisi batas di dinding sumur terpengaruh debit pemompaan, Q. Debit air tanah per meter lebar dari dasar sampai permukaan air tanah pada radius tertentu adalah q. Pada dinding sumur, debit tersebut, qw, keluar dari tanah dan tertampung ke dalam genangan di dasar sumur. Pada kondisi seimbang debit yang memasuki genangan di dasar sumur sama dengan debit pemompaan. Oleh karena itu, qw, adalah sebesar Q dibagi dengan keliling dinding sumur, yaitu Q q w = ( πr w ) dengan r w adalah jari-jari dinding sumur. Pada tanah di sebelah dinding sumur, berdasar Hukum Darcy (aliran melalui media porus) diperoleh hubungan q w = kh dh dr = k d ( h ) = k df dr dr Pada persamaan ini, qw mengarah ke titik pusat, dan k adalah koefisien permeabilitas tanah. Dengan dua persamaan di atas, kondisi batas pada dinding sumur (r = D/.4 m) adalah 7

8 df dr = Q kπr w Q bernilai negatif jika pompa menghisap. Domain komputasi dibuat antara dinding sumur dan batas luar yaitu r.4 m dan r = 16 m. Karena kurva solusi muka air tanah melengkung lebih besar di dekat dinding sumur dan kearah radial, maka dipertimbangkan membagi interval dengan nilai yang lebih rapat di dekat dinding sumur dan semakin besar ke arah radial. Dipilih variasi jarak interval sebanding dengan r 3. Supaya domain komputasi dapat terbagi-bagi dengan dengan tepat, maka dipilih rumus r i.4 + (i Δr) 3. Dengan Δr adalah interval awal sebesar 0.1. Persamaan interval untuk sebelah luar titik i (antara i+1 dan i), menjadi Δr i = r i+1 r i atau Δr i = [(i+1) 3 i 3 ] h 3, sehingga diperoleh tabel berikut. Tabel Diskretisasi Domain Komputasi i Δr i r i Baris terakhir adalah pembulatan supaya tepat di kondisi batas. 8

9 Persamaan kondisi batas dinding sumur dapat didiskretisasi menjadi f 1 f 0 = Q Δr 0 kπr 0 f 1 f 0 = Δr Q 0 kπr! 0 Q bernilai negatif (menghisap). Persamaan diferensial parsial aliran air tanah radial adalah sebagai berikut, A d f dr + 1 df r dr Persamaan tersebut dapat didiskretisasikan pada r i menjadi, f i 1 f i + f i+1 Δr i + f i+1 f i r i Δr i 1 Δr + 1 f i 1 + f i + 1 i r i Δr!## "## $ i Δr! i Δr + 1 f i+1 i r i Δr!## "## $ i α i β i Persamaan kondisi batas dan persamaan di atas memberikan sistem persamaan linier sebagai berikut ini. f 0 + f 1 = A α 1 f 0 +β 1 f 1 +γ 1 f α f 1 +β f +γ f 3! " " α n 1 f n +β n 1 f n 1 +γ n 1 f n γ i f n = 10 Dua persamaan kondisi batas disubstitusi ke persamaan di sebelahnya, sehingga sistem persamaan menjadi ( α 1 + β 1 ) f 1 +γ 1 f = α 1 A α f 1 +β f +γ f 3! " " α n 1 f n +β n 1 f n 1 = 100γ n 1 Apabila diselesaikan dengan Metode G-S, maka persamaan iterasinya adalah, 9

10 Untuk persamaan baris pertama, i : f 1 k = α 1A γ 1 f k 1 α 1 + β 1 Untuk persamaan baris selanjutnya, i = n-1: f k i = α i f k k 1 i 1 γ i f i+1 β i Setelah semua nilai f1 sd fn-1 diperoleh, maka f0 = f1 + A dapat dihitung dan selanjutnya semua nilai h dapat diperoleh dengan menghitung akar f. Hasil hitungan dengan menggunakan iterasi MS Excel sebagai berikut h (m) r (m) 10