Modul ke: Fakultas EKONOMI. Viciwati STl MSi. BISNIS. Program Studi Manajemen dan Akuntansi

Transkripsi

1 SESI 6 MATEMATIKA Modul ke: BISNIS Fakultas EKONOMI BISNIS Viciwati STl MSi. Program Studi Manajemen dan Akuntansi

2 DESKRIPSIMATAKULIAH KULIAH Matakuliah ini merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah dengan menggunakan bahasa matematik,suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan,dipahami, dianalisa dan dipecahkan. KOMPETENSI Mahasiswa mampu menerapkan konsep konsep matematika dalam bidang ekonomi.

3 REFERENSI Dumairy.1999.MatematikaTerapanUntuk BisnisdanEkonomi, Yogyakarta,BPFEUGM

4 METODEPEMBELAJARAN 1. Masingmasingmahasiswadiwajibkanmembawa bukuyangsamadenganbukuyangdipakaiolehdosen supayatransferilmubisaberjalanlebihbaik. 2. Mahasiswadiharapkansiapuntukberpartisipasiaktif dalamkuliahdandiharapkanjugauntuksecara mandiriaktifmenemukan(discover)pengetahuan.aktif menemukan 3. Diluarkelas,mahasiswadiharapkanaktifberdiskusi dengantemantemannya. 4. Mahasiswadiwajibkanmempresentasikanhasil diskusimengenaimaterisesuaidenganpembagian kelompok. 5. Dosenakanmemberikankuismendadakdiawalatau akhirkuliah. 6. Mahasiswadiwajibkanmembuatseluruhtugasyang seluruh tugas diberikan.

5 MATERI PERKULIAHAN Sesi MATERI KULIAH 1 Pengantar, Kontrak Perkuliahan/Silabus.Kegunaan Matematika secara umum, Sistem Himpunan dan sistem Bilangan 2 Deret Hitung dan Ukur dalam Ekonomi dan Bisnis 3 Penerapan Deret dalam Kehidupan (Model Bunga Mejemuk dan Pertumbuhan penduduk 4 Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis 5 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis (Keseimbangan pasar, pajak dan subsidi) 6 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis (BEP dan fungsi konsumsi) 7 Fungsi Kuadrat

6 8 MIDTEST 9 Penerapan Fungsi Non Linier dalam Ekonomi dan Bisnis 10 Fungsi Diferensial Sederhana dan Majemuk 11 Penerapan Fungsi Diferensial dalam Ekonomi dan Bisnis 12 Fungsi Integral Tak Tentu dan Tentu 13 Penerapan Integral (surplus produsen dan konsumen) 14 Fungsi Kaidah Matriks (Determinan dan Inverse) 15 Fungsi Persamaan Optimalisasi (linier programming) 16 U A S

7 PENILAIAN UTS/MidTes 20% UAS/FinalTes 30% PresentasiMateriberupateori,contohsoal, danjawaban 40% Kehadiran 10%

8 PENUGASANDANOUTPUT Tugas Presentasi Kelompok Kelompok yangbertugaspresentasimembuat : Rangkuman materi untuk setiap topicbahasan yangberisi: Teori Contoh Soal dan Jawaban Bahan presentasi dalam bentuk powerpoint Dikumpulkan dalam bentuk hardcopy (cetak)dan softcopy (melalui vicihalo73@yahoo.com) palinglambat 1hari sebelum presentasi

9 TATATERTIBPERKULIAHAN Perkuliahandimulaitepatwaktu sesuai denganjadwalataukesepakatankelas. Toleransiketerlambatan15menit. menit Apabilamahasiswaterlambattetap diperbolehkanmasuk untukmengikuti perkuliahannamundianggaptidakhadir tanpaalasan(bolos)dalampresensi.

10 Apabiladosenterlambatmakamahasiswa yangdatangsebelumnyamendapatkanpoint bonus5. Jumlahkehadiranminimal75% daritatap muka(tatapmukaminimal12kalidan maksimal14kali). Apabilamahasiswa tidakdapatmemenuhi makatidakakanmendapatkannilaip (walaupunmengikutiseluruhperkuliahan).

11 Bolos(tidakmasuktanpaijin) k t iji maksimal3 ki l3 kali Tidakmasukkarenasakitatauijin menggunakansurat tidakdianggapbolos Apabiladosentidakdapathadir maka perkuliahantetapadadengandiberikantugas yangdikerjakanolehmahasiswa.bagi mahasiswayangmasuk(menandatangani daftarhadir)sertamengumpulkantugasakan diberipointbonus10

12 .Ketentuaniniberlakuapabiladosensudah tidakhadirlebihdari25%tatapmukaminimal (tatapmukaminimal12kalidanmaksimal14 kali). Menggunakankemejaataukaosberkerah, bercelanapanjangataurok,bersepatu,dan tidakmengenakantopiselamaperkuliahan p berlangsung

13 Dosenwajibmenyerahkannilaiakhir y sesuai dengantanggalpengumumannilaidikalender akademik.apabilaadapertanyaanmengenai p nilai,dilayanisampaidengan1(satu)minggu setelahtanggaltersebut. Pengajuanujiansusulan,baikUTSmaupun UAS,hanyadilayaniapabilamahasiswa apabila mengajukansuratpermohonanyangdisetujui olehketuajurusans S1ManajemenFEUMB. Alasantidakdapatmengikutiujianyang diterimaadalah: adalah:

14 sakit(melampirisuratketerangandokteratau i i t k t kt t buktimondokdirumahsakit) keluargasakitkeras/meninggaldunia(surat keterangandaripengurusrt) INFORMASITAMBAHAN Bilaadapertanyaandapatmenghubungi: ada dapat Viciwati Vicihalo73@yahoo.com

15 Pendahuluan Dalamkehidupanseharihari,tentunyakita tidakakanpernahterlepasdarikegiatanakan terlepas dari kegiatan ekonomi. Beberapaistilahistilahdalamperekonomian keuanganperludipahamidiantaranyabunga tunggal,diskontotunggal,bungamajemuk, systemkreditcicilan,dananuitas.

16 Sebelum membicarakan tentang bahasan bunga tunggal, bunga majemuk dan seterusnya akan diberikan defenisi matematika dan pembahasan tentang prinsip prinsip matematika yang digunakan dalam ekonomi dan bisnis.

17 ASALKATA DEFENISIMATEMATIKA Asalkata:MATHEINartinyamempelajariatau ti l i t belajar.denganmempelajarimatematika, seseorangakanterbiasamengaturjalanakan at r pemikirannyadgnsistematis. Berpikirmatematis:Seseorangyghendak menempuhjarak2milakanmemilihnaik mobildaripadajalankaki,kecualijika waktunyabanyakterluangatausedang berolahraga.

18 Untukdapatmengenderaimobil,harus mobil belajarmenyupir.untukdapatsupirmobil yangbaik,diaperlupengetahuanmatematika. pengetahuan Matematika,merupakansarana=pendekatan untuksuatuanalisa.denganmempelajari analisa matematika,membawaseseorangkepada kesimpulandalamwaktuyangsingkat. singkat

19 DEFENISIEKONOMI EKONOMIATAUECONOMICBERASALDARI ECONOMIC BAHASAYUNANIYAITUKATA OIKOSATAU OIKU DAN NOMOS OIKOS=HOUSE,NOMOS=LAWATAUCUSTOM. EKONOMIBERARTIILMUSOSIALYANG MEMPELAJARITENTANGPRODUKSI, DISTRIBUSIDANKOMSUMSIBARANGDAN PELAYANANNYA.

20 PENGGOLONGANDANJENISANALISA JENISANALISAPADAILMUEKONOMI 1.ILMUDESKRITIF. GAMBARANTENTANGSUATUKONDISIATAU KEADAANDENGANSEBENARNYA. DENGAN CONTOH:TURUNNILAIKURSRUPIATERHADAP USDOLLAR.

21 2.TEORIILMUEKONOMI.(TEORIEKONOMI). DIDASARKANPADAKONDISINYATAYANG TERJADIPADAMASYARAKATTERUTAMASIFAT SIFATHUBUNGANEKONOMI. CONTOH:PERMINTAANBARANGAKANNAIK, AKAN NAIK, HARGAAKANTURUN,SEBALIKNYA PERMINTAANAKANTURUN,HARGAAKANAKAN TURUN, AKAN NAIK. 3.TEORIEKONOMIAPLIKASI. EKONOMI MENGANALISADANMENELAAHTENTANG HALHALYANGPERLUDILAKUKANMENGENAI SUATUKEJADIANDALAMPEREKONOMIAN.

22 EkonomidanMatematikaEkonomi Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis.bedanya/keuntungannya: a. Dengan pendekatan matematis,persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana. b. Dengan pendekatan matematis,berarti mengaktifkan logika dengan asumsi asumsinya.

23 Dapatmemakaisebanyaknvariabeldalam n menggambarkansesuatu(hubunganantar variabel) MisQ d =f(pr,inc,pi, ),dimana: Pr=hargakomoditiyangbersangkutan Inc= pendapatan, Pi=hargakomoditisubstitusi

24 Kelemahannya pendekatan matematis: a. Bahasa matematis tidak selalu mudah dimengerti oleh oe ahli ekonomi o sehingga sering menimbulkan kesukaran. Contoh Y=f(X) Y=f(X),dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis tersebut,misal dalam:permintaan,produksi, pendapatan nasional,dan lainlainsehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari matematika.

25 a. Seorang ahli ekonomi yangmemiliki pengetahuan dasar matematika,ada kecenderungan: 1. Membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis 2. Membuat beberapaasumsiyang asumsi yangkurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis.artinya,lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi.

26 Kesimpulandaribahasaadalah: adalah: 1.Matematikamerupakanpendekatanbagiilmu ekonomi. 2.Pendekatanmatematismerupakan modeof transportation yaitumembawapemikiran kepadakesimpulandengansingkat(model)

27 PRINSIPPRINSIP PRINSIPMATEMATIKAYANG DIGUNAKANDALAMEKONOMIDANBISNIS Dalamilmumatematika,dikenalkankonsep barisandanderetaritmetikadangeometri. Konsepdaribarisandanderettersebutdalam bidangekonomiantaralaindigunakandalam membahastentang:modelperkembangan usaha,modelpertumbuhanpenduduk,bunga majemuk,nilaimasadatangdarianuitas,dan cadangan,nilaisekarangdarianuitas,dan penyisihanpinjaman

28 Jikaperkembanganvariablevariabletertentu dalamkegiatanusaha(misalnya:produksi, biaya,pendapatan,penggunaantenaga kerja,penanamanmodal)berpolaseperti barisanaritmetika,makaprinsipprinsip barisanaritmetikadapatdigunakanuntuk menganalisaperkembanganvariabel tersebut. Penerapanderetukuryangpaling konvensionaldibidangekonomiadalahdalam halpenghitunganpertumbuhan penduduk,karenapendudukduniatumbuh mengikutipoladeretukur.

29 HIMPUNAN danbilangan

30 DefinisiHimpunan Konsep himpunan adalah suatu konsep yang paling mendasar bagi Ilmu Matematika modern pada umumnya dan di bidang ilmu ekonomi dan bisnisi pada khususnya. Dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalam hal pembentukan model kita harus menggunakan sehimpunan atau sekelompok data observasi dari lapangan

31 HIMPUNAN Pengertian Himpunan Himpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D,,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu Contoh: A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10 A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

32 Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan 1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan -5tetapi t ikurang dari i10 3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20 Jawaban : 1. B = { 3 < 15, A} 2. C = { -5 < 10, B } 3. D = { < 20, A }

33 Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya Jawaban: aba 1. B = { 3 < 15, A} = { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 } 2. C = { -5 < 10, B } = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 3. D = { < 20, A } = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }

34 Keanggotaan Suatu Himpunan Contoh: A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } 1 A 1 B 2 B 2 A 3 A 3 B 4 B 4 A 5 A 5 B 6 B 6 A 7 A 7 B 8 B 8 A 9 A 9 B 10 B 10 A 12 B 12 A Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(a) = 5 Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(b) = 6 Catatan: Lambang dibaca elemen atau anggota Lambang dibaca bukan elemen atau bukan anggota Lambang n(a), n(b) disebut bilangan kardinal

35 HIMPUNAN KOSONG DEFINISI: Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau Contoh : D={ orangyangtingginyalebihdari5m} F = { bilangan prima antara 7 dan 11 } Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11? (coba pikir)

36 Himpunan Lepas Definisi: Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama Contoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 } Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama? Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G Himpunan Tidak Saling Lepas Definisi: Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama Contoh : P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 } Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P Q

37 Himpunan Semesta Definisi : Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan Contoh : A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 } C={ } 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 D = { 2,3,5,7,11 } E = { 0, 2, 4, 6 } Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E 1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C? 2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C? Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C, adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E

38 HIMPUNAN BAGIAN Definisi: A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A B Contoh: S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 } a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A? b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A? Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C a. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B A b. Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C A

39 Rumus Banyaknya Himpunan Bagian Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(a) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2 n(a) Contoh: Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut 1. A = { a, b, c } 2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 } 3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Jawab: 1. n(a) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 2 3 = = 8 2. n(b) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 2 5 = = n(c) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 2 7 = = 128

40 Himpunan Sama Definisi: Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya Contoh : A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e } Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,i,u,e, dan o maka himpunan A = B Himpunan Ekuivalen Definisi: Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama Contoh : P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 } Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )

41 Irisan Dua Himpunan (Interseksi) Definisi: Irisan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B Contoh: Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P Q Jawab : P Q = { d, e } Gabungan Dua Himpunan ( Union) Definisi: Gabungan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B Contoh: Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P Q Jawab : P Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }

42 Komplemen(Complement) Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari unsurunsur yang terdapat dalam himpunan semesta U tapi tidak merupakan unsur dari himpunan A. Notasi : A atau, maka A' / A U A

43 Gabungan(Union) Gabungan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan dimana unsurunsurnya adalah unsur yang berada di A atau di B atau dikeduanya. U A B A B

44 Irisan(Intersection) Irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang unsurunsurnya dimiliki oleh A dan juga dimiliki oleh B secara bersamaan. U A B A B

45 SelisihHimpunan(SetDifference) Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang semua unsurunsurnya termasuk di A tetapi tidak termasuk di B. U A B A B

46 Diagram Venn Langkah-langkah a a g a menggambar diagram a venn 1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan 2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama 3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah 4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi 5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan 6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu 7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

47 Contoh: Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,,3,,5,6,,8,9,,, } A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 } Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas Jawab: S 0 12 A 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C 7 3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C C B 2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B

48 Contoh 2: Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya. a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? b. Ada berapa orang siswa s yang hanya gemar menari? c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya? Jawab: N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(a) = 21 B = {siswa gemar menari} n(b) = 16 A B = {siswa gemar keduanya} n(a B) = 10 Perhatikan Diagram Venn berikut S A B 5 a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

49 Contoh 3: Diketahui : S = { 10 < 20, B } M = { > 15, S } N = { > 12, S } Gambarlah diagram vennya Jawab : S = { 10 < 20, B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 } M = { > 15, S } = { 16,17,18,19,20},,, N = { > 12, S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20} M N = { 16,17,18,19,20 } Diagram Vennya adalah sbb: S N M

50 Contoh 4: Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya. a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay? b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso? c. Ada berapa orang siswa s yang hanya suka siomay? Jawab: N(S) = 60 Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(a) = 20 B = {siswa suka siomay} n(b) = 46 (A B) c = { tidak suka keduanya} n((a B) c ) = 5 Maka A B = {suka keduanya} n(a B) = {siswa suka bakso saja} = 20 - n(s) = (20 )++(46-)+5 60 = 71 - {siswa suka siomay saja} = 46 - X = = 11 Perhatikan Diagram Venn berikut a. Yang suka keduanya adalah = 11 orang S b. Yang suka bakso saja adalah A 20- = 20-11= 9 orang B c. Yang suka siomay saja adalah = 46-11= 35 orang

51 Latihan 1 Dari survei terhadap 270 orang didapatkan hasil sbb : 64 suka donat, 94 suka bolu, 58 suka kacang, 26 suka donat dan bolu, 28 suka donat dan kacang, 22 suka bolu dan kacang, 14 suka ketiga jenis makanan tersebut. Berapa orang tidak suka makan semua jenis makanan yang disebutkan di atas?

52 Penyelesaian A = {orang yang suka donat} B = {orang yang suka bolu} C = {orang yang suka kacang } A B C = A + B + C A B A C B C + A B C = = 154 Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis makanan tersebut ada sebanyak = 116 orang jenis sayur

53 Penyelesaian DONAT BOLU 64 suka donat, 94 suka bolu 58 suka kacang, a = 24 b= 12 e = 14 d = 14 f = 8 g = 22 KACANG c = suka donat & bolu, 28 suka donat & kacang, 22 suka bolu & kacang 14 suka ketiga jenis makanan tsb a + b + d + e = 64 b+c+e+f= d + e + f + g = 58 b + e = 26 d+e=28 e + f = 22 e = 14 yang tidak suka makanan = = 116

54 Latihan 2 Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan p bagian A serta B jika : U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A B (c) A B (e) A B (b) B A (d) A U B (f) B

55 HimpunanBilangan Himpunan bilangan yang pertama kita kenal adalah himpunan bilangan bulat positif (himpunan bilangan asli/bilangan alam), yaitu,1,2,3,...,,3,... Notasinya adalah N. Himpunan N tertutup terhadap operasioperasi perkalian dan pertambahan. Artinya bila kita lakukan operasioperasi tersebut pada himpunan bilangan asli maka hasilnya juga merupakan bilangan asli. Tetapi untukoperasi pengurangan g dan pembagian tidaklah demikian. Jadi N tidak tertutup terhadap operasi pengurangan dan pembagian. Artinya bila kitaoperasikanoperasi tersebutterhadaphimpunan bilangan asli maka akan menimbulkan himpunan bilangan baru. a b akan menghasilkan bil asli bila a > b a : b akan menghasilkan bil asli bila a mrpk kelipatan dari b

56 Beberapa operasi himpunan diantaranya : Operasi Himpunan (Set Operation) Beberapaoperasihimpunandiantaranya: 1. OperasiHimpunan(SetOperation) A B B A A B B A A B B A C A B A C B A ' ' ' B A B A 4. 5 B A B A ' ' ' B A B A A A ' ' 5. 6 A B B A

57 HimpunanBilangan Adapun operasi penambahan dan perkalian pada bil asli tunduk pada hukumhukum berikut: 1.a+b b= ba;hukumkomutasipenjumlahan b+a komutasi 2.(a+b)+c=a+(b+c); hukumasosiasi penjumlahan 3.ab=ba;hukumkomutasiperkalian b k k 4.(a+b)c=ac+bc;hukumdistribusiperkalian

58 HimpunanBilangan Karena bilangan asli tertutup untuk operasi pengurangan dan pembagian, maka para matematikawan menciptakan bilangan nol, bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan. Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal. Desimalnya selalu berakhir atau berulang. Misal: ½ = 0,5 13/11 = /7 = 0, ( berulang) 11/13 = 0, ( berulang)

59 HimpunanBilangan Gabungan bilangan bulat dan bilangan pecahan disebut bilangan rasional. Ternyata bilangan rasional juga tidak mampu untuk memenuhi akan bilangan matematika. Maka pada tahun 500 SM, Phytagoras memperkenalkan suatu bilangan yang disebut bilangan Irrasional. Misal: 2 = 1, = 3, e = 2,

60 Bilanganriiladalahbilanganyangmungkin adalah bulat,mungkinpecahandanmungkin irrasional.

61 SkemaHimpunanBilangan BilanganKompleks BilanganNyata(Riil) BilanganKhayal BilanganIrrasional BilanganRasional BilanganBulatBulat BilanganPecahan Positif Nol Negatif

62 Pangkat, Akar dan Logaritma

63 Pangkat Kaidahpemangkatanbilangan Kaidahperkalianbilanganberpangkat Kaidahpembagianbilanganberpangkat bilangan berpangkat Akar Kaidahpengakaranbilangan Kaidahpenjumlahanbilanganterakar Kaidahperkalianbilanganterakar Kaidahpembagianbilanganterakar Logaritma BasisLogaritma Kaidahkaidah kaidahlogaritma PenyelesaianPersamaandenganLogaritma

64 Pangkat Pangkatdarisebuahbilanganialahsuatu bilangan ialah suatu indeksyangmenunjukkanbanyaknya perkalianbilanganyangsamasecara secara berurutan. Notasi a :bahwaharusdikalikandengan harus dengan itusendirisecaraberturutturutsebanyaka kali.

65 KaidahPemangkatanBilangan a a 6. 0) ( a y y dimana b c a ab b a a c b 1 4. dimana a a a c 5 b a b a a X. 5 X

66 Kaidahperkalianbilanganberpangkat ab b a contoh : a a a y y ) (3 5 contoh :

67 Kaidahpembagianbilanganberpangkat : ab b a : 3 3 contoh : : a : a a y y : 5 3 contoh : 2 2 2

68 Akar Akarmerupakanbentuklainuntukmenyatakan untuk menyatakan bilanganberpangkat. Akardarisebuahbilanganialahbasis()yang )y g memenuhibilangantersebutberkenaandengan pangkatakarnya(a). Bentukumum: a m jika a m

69 Kaidahpengakaranbilangan 1. 1 b b 2. b a a b 3. b y b y 4. b y b b y

70 Kaidahpenjumlahan(pengurangan) bilanganterakar Bilanganbilanganterakarhanyadapat ditambahkanataudikurangkanapabilaakar akarnyasejenis. b a b m n ( m n) a b a

71 Kaidahperkalianbilanganterakar Hasil kali bilangan - bilangan terakar adalah akar dari hasil kali bilangan - bilangannya. Perkalian hanya dapat akar - akarnya berpangkat sama. dilakukan k apabila b b y b y Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat - baru akarnya ialah hasil kali pangkat dari akar - akar sebelumnya. b c a bc a

72 Kaidahpembagianbilanganterakar Hasilbagibilangan bilangan bilanganterakaradalah akardarihasilbagi bilanganbilangannya. b Pembagianhanyadapat dilakukanapabilaakar k k b akarnyaberpangkat b y sama. y

73 Logaritma Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran. Bentuk pangkat a m Bentuk akar a m Bentuk Logaritma log m a Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk

74 BasisLogaritma Logaritmadapatdihitunguntukbasisberapapun. dihitung untuk berapapun. Biasanyaberupabilanganpositifdantidaksama dengansatu. Basislogaritmayangpalinglazimdipakaiadalah10 (commonlogarithm)/(logaritmabriggs) log m berarti 10 log m,log 24 berarti 10 log 24 Logaritmaberbasisbilangane(2,72)disebutbilangan g g logaritmaalam(naturallogarithm)ataulogaritma Napier ln m berarti e log m

75 KaidahkaidahLogaritma n m mn log log log 6 1 log 1 n m m n m mn log log log 7. 0 log1 2. log log log 6. 1 log 1. m a n m n m a 1 log log 8. log 3. log log log 7. 0 log1 2. n m m a m n m a l 5 1 log log log 9. log log 4. m m log 5.

76 PenyelesaianPersamaandenganLogaritma Logaritma dapat digunakan untuk mencari Logaritmadapatdigunakanuntukmencari bilanganyangbelumdiketahui(bilangananu) dalamsebuahpersamaan,khususnya persamaaneksponensialdanpersamaan logaritmik. Persamaanlogaritmikialahpersamaanyang bilangananunyaberupabilanganlogaritma, sebagaicontoh: log(3+298)=3

77 Latihan Denganmelogaritmakankeduaruas,hitunglah kedua ruas untuk3 +1 =27 Selesaikanuntuklog(3+298)=3 log

78 Terima Kasih Viciwati, STL, MSi.