MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS

Transkripsi

1 Modul Mata Kuliah MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS WIJAYA PUTRA SURABAYA 014/015 Erik Valentino, S.Pd., M.Pd

2 DAFTAR ISI BAB I Barisan dan Deret... BAB II Fungsi BAB III Penggunaan Fungsi Linear Dalam Ekonomi dan Bisnis... 1 BAB IV Analisis Break Even Point (BEP) BAB V Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Pendapatan Nasional... 1 BAB VI Fungsi Kuadrat (Parabola)... 5 BAB VII Aplikasi Turunan Fungsi Dalam Ekonomi dan Bisnis... Bank Soal... Matematika Ekonomi dan Bisnis 1

3 BAB I BARISAN DAN DERET BARISAN adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah barisan dinamakan suku. A. Deret Hitung Adalah barisan yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Ada dua rumus yang digunakan dalam deret hitung : 1. Nilai suku ke n dari deret hitung Un = a + (n 1) b Keterangan: Un= Suku ke-n a = suku pertama b = pembeda n = indeks suku Contoh: 1) Nilai suku ke 101 dari deret hitung, 5, 7, 9, 11, adalah. Diket : a = b = n = 101 Ditanya : U101=? Jwb : Un = a + (n 1) b U101 = + (101 1) U101 = x U101 = + 00 U101 = 0 ) Diketahui deret hitung berikut 6,, 0,..., -71. Tentukan: a. Suku ke 50 dari deret tersebut b. Tentukan banyak semua suku dari deret tersebut. (silakan dicoba). Jumlah nilai dari semua suku pada deret hitung Sn = 1 n (a + (n 1) b) Keterangan: Sn = Jumlah hingga suku ke-n a = suku pertama b = pembeda n = indeks suku Contoh: Berapa jumlah semua suku s/d suku yang ke 5 dari deret, 5, 7, 9, 11, Diket : a = b = n = 5 Dita : S5? Jwb : Sn = 1 n (a + (n 1) b) Matematika Ekonomi dan Bisnis

4 S5 = 1 5 (. + (5 1) ) S5 = 1,5 (6 + (4) ) S5 = 1,5 (6 + 48) S5 = 1,5 x 54 S5 = 675 Contoh aplikasi dalam ekonomi: 1. Pabrik rokok Kurang Garam menghasilkan bungkus rokok pada tahun pertama berdirinya, dan pada tahun ketujuh. a. Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per tahun? b. Berapa produksinya pada tahun ke-11? c. Pada tahun ke berapakah produksinya bungkus rokok? d. Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke-16? Penyelesaian Diketahui : Produksi tahun pertama = U1 = a = bks U7 Ditanya : = bks a) Pertambahan produksinya per tahun = b =? b) U11 =? c) n =? ; Un = d) Total Produksi sampai tahun ke-16 (S16) =? Jawabn : a) Un = a + (n-1) b U7 = (7-1) b = b 6b = b = b = : 6 b = Jadi, Tambahan produksi Pabrik Rokok Kurang Garam (b) = bks/tahun b) U11 = a + (n-1) b = (11-1) = (10) Matematika Ekonomi dan Bisnis

5 = Jadi, Produksi pada tahun ke-11 adalah Rp bks rokok c) n =? ; Un = Un = a + (n-1) b = (n-1) = (n-1) : = (n-1) 15 = n 1 n = 16 Jadi, Pabrik rokok Kurang Garam menghasilkan bks rokok pada tahun ke- 16 d) S16 =? Sn = n/(a + (n-1) b) = 16/[.( ) + (16-1) ] = 8 [ (15) ] = 8 [ ] = 8 [ ] = Jadi, jumlah total produksi pabrik rokok Kurang Garam selama 16 tahun operasi sebanyak bks.. Pabrik Kecap Nambewan memproduksi botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena persaingan keras dari kecap-kecap merk lain, produksinya terus menurun secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi botol. a. Berapa botol penurunan produksinya per tahun? b. Berapa botol produksi pada tahun pertama? c. Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup)? d. Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya? (silakan dicoba) B. Deret Ukur Adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu (dinamakan rasio). Bilangan yang membedakan suku-suku deret ukur dinamakan pengganda atau rasio, yaitu merupakan hasil bagi nilai suku terhadap nilai suku didepannya. Matematika Ekonomi dan Bisnis 4

6 Ada dua rumus yang digunakan dalam deret ukur: 1. Mencari nilai suku ke n dari deret ukur Un = a. r n 1 Keterangan: Un= Suku ke-n a = suku pertama r = rasio n = indeks suku Contoh: Berapa nilai suku yang ke 6 dari deret ukur, 4, 8, 16,, Diket : a = r = n = 6 Dita : U6? Jwb : Un = a. r n 1 U6 =. 6 1 U6 =. 5 U6 =. U6 = 64. Mencari jumlah sampai dengan n suku pertama Sn = a (1 rn ) 1 r Keterangan: Sn = Jumlah n suku pertama a = suku pertama r = rasio n = indeks suku Contoh: Berapa jumlah semua suku yang ke 5 dari, 4, 8, 16,, Diket : a = r = n =5 Dita : S5? Jwb : S5 = a (1 rn ) 1 r S5 = (1 5 ) 1 (1 ) S5 = 1 S5 = ( 1) 1 S5 = 6 1 S5 = 6 C. Penggunaan Deret dalam Ekonomi Dalam bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret hitung atau deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relevan ditetapkan untuk menganalisisnya. 1. Model perkembangan usaha Matematika Ekonomi dan Bisnis 5

7 Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, 6actor, produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga atau penanaman modal, berpola seperti deret hitung maka prinsip-prinsip deret hitung digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel tersebut. Berpola deret hitung maksudnya adalah variabel bersangkutan bertambah secara konstan dari satu 6actor6eke periode berikutnya. Contoh soal: Besarnya penerimaan PT. YSSY dari hasil penjualan barangnya Rp 70 juta pada tahun ke lima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, tentukan: a. berapa perkembangan penerimaannya per tahun? b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama c. Pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp 460 juta? Diket : U5 = U7 = Ditanya : b, a, n dari Un = ? Jwb : Un = a + (n 1) b 70 = a + (5-1) b 980 = a + (7-1) b 70 = a + 4b 980 = a + (6b) -60 = -b 10 = b Jadi, besar penerimaan pertahun adalah Rp = a + (5 1) b 70 = a + 4 x = a + 50 a = a = 00 Jadi, besar penerimaan pada tahun pertama adalah Rp = 00 + (n 1) = n = n n = (460-70): 10 n = 90:10 n = Jadi, penerimaan sebesar Rp 460 juta terjadi pada tahun ke-.. Model bunga majemuk Adalah penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan investasi. Dengan modal ini dapat dihitung misalnya, besarnya pengembalian tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima dimana saja. Matematika Ekonomi dan Bisnis 6

8 Jika misalnya modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga pertahun setingkat I maka jumlah akumulatif modal tersebut dimasa datang setelah n tahun (Fn) dapat dihitung sebagai berikut: Fn = P (1 + i) n P = jumlah sekarang n = jumlah tahun i = tingkat bunga pertahun Rumus di atas mengandung anggapan tersirat bahwa bunga diperhitungkan/ dibayarkan satu kali dalam satu tahun. Apabila bunga diperhitungkan atau dibayarkan lebih dari satu kali (misal m kali, masing-masing i/m pertermin) dalam satu tahun maka jumlah dimasa depan menjadi: Fn = P (1 + i m ) m.n m = frekuensi pembayaran bunga dalam satu tahun Suku (1 + i) dan (1 + i ) dalam dunia bisnis dinamakan faktor bunga majemuk m (compounding interest factor) yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari satu bilangan yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa yang akan datang dari suatu jumlah sekarang. Dari rumus diatas dengan manipulasi matematis dapat dihitung nilai sekarang apabila yang diketahui jumlahnya dimasa datang. Nilai sekarang (Present Value) dari suatu jumlah uang tertentu di masa datang adalah: P = Fn( 1 (1+i) n) atau P =Fn ( 1 (1+ i m )m.n) 1 suku atau 1 dinamakan factor diskon to (discount factor) yaitu suatu (1+i) n (1+ i )m.n m bilangan yang lebih kecil dari satu yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang. Contoh Soal 1: Seorang pengusaha meminjam uang di bank sebanyak Rp 50 juta, untuk jangka waktu 4 tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 1% pertahun. Dari data tersebut berapa seluruh uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat pelunasan? Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar 4 bulanan, berapa jumlah uang yang harus dikembalikan? Diket : P= n=4 i=1%=0,1 m= Ditanmya: a. F4 jika dikembalikan pada saat pelunasan b. F4 jika dibayar 4 bulanan Jwb : a. F4=P(1+i) n F4= (1+0,1) 4 F4= (1,1) 4 F4= (1,57) F4= b. F4= P(1+ i m )m.n Matematika Ekonomi dan Bisnis 7

9 F4= (1+ 0,1 ).4 F4= (1+0,04) 1 F4= (1,04) 1 F4= (1,601) F4= ,64 Contoh : Tabungan seorang nasabah akan menjadi Rp tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang? Apabila pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester berapa tabungan nasabah tersebut pada saat sekarang? Diket : F= i=6%=0.06 n= m= Dita : a. P Jika tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun b. P pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester Jwb: a. P= 1 (1+i) nf 1 P= (1+0,06) P= (1,06) b. P= P= ,19 P= ,8 1 (1+ i m )n.m 1 P= (1+ 0,06 ).F P= (1,0) 6 P= ,19 P= ,8 Soal: Seorang pengusaha meminjam uang di bank sebanyak Rp 50 juta, untuk jangka waktu tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 1% pertahun. Dari data tersebut berapa seluruh uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat pelunasan? Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar bulanan, berapa jumlah uang yang harus dikembalikan? Matematika Ekonomi dan Bisnis 8

10 BAB II FUNGSI Fungsi adalah Suatu bentuk matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lainnya. Contoh: Y = 0,8X + 5 Keterangan: X = Variabel bebas (Independent variabel) adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain. Y = Variabel terikat (Dependent variabel) adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain. 0,8 = adalah koefisien variabel X 5 = adalah konstanta D. Fungsi Linear Definisi: Dikatakan fungsi linear apabila variabel X dan Y dalam persamaan tersebut mempunyai pangkat satu. Contoh: y=x+5 y=-x+ Didalam menyelesaikan persoalan fungsi linear ada dua cara yang perlu diketahui, yaitu: 1. Dengan suatu persamaan linear dapat diperoleh suatu grafik Misal: y= - 1 x+4 Untuk menggambar grafiknya dicari dengan cara: mencari titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y. Titik potong terhadap sumbu X, terjadi apabila Y = 0 0= - 1 x+4 1 x=4 x= 4 1 x=8 Titik potong terhadap sumbu Y, terjadi apabila X = 0 y= y=4 Setelah ditemukan koordinat pada masing-masing titik potong, kemudian digambar grafik garis lurusnya. Fungsi linear gambar kurvanya adalah garis lurus Jika ada gambar kurva jika ingin diketahui fungsingya harus ada minimal titik yang dilewati oleh garis tersebut. Rumusnya y y 1 y y 1 = x x 1 x x 1. Dengan suatu grafik linear (garis lurus) didapat persamaan fungsinya. Matematika Ekonomi dan Bisnis 9

11 Maka persamaan fungsi linearnya dapat dicari sebagai berikut: y y 1 = x x 1 y y 1 x x 1 y 5 = x 6 y = x 4. Hubungan dua garis lurus Dua garis lurus yang sejajar (y )4 = (x ) 4y 1 = x 4 4y = x + 8 y = 1 x + : 4 Dua garis lurus yang berhimpit Dua garis lurus yang berpotongan 4. Gradien Adalah koefisien yang menentukan arah garis fungsi linear, biasanya koefisien ini melekat pada variabel X sisi vertikal sisi horizontal Tanda positif dan negatifnya jika gambar kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah maka nilai gradiennya negatif dan juga sebaliknya Contoh: y = x + Jika x = 0 y =, koordinat (0,) Matematika Ekonomi dan Bisnis 10

12 Jika y = 0 x =, koordinat (,0) Matematika Ekonomi dan Bisnis 11

13 BAB III PENGGUNAAN FUNGSI LINEAR DALAM EKONOMI DAN BISNIS A. Fungsi Permintaan (Demand Function) Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang diminta oleh konsumen dengan anggapan bahwa faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus), yaitu selera tetap, pendapatan tetap dan harga barang-barang lain tetap, maka ini menandakan bahwa apabila harga turun jumlah barang yang diminta oleh konsumen naik, demikian pula sebaliknya. 1. Pada saat harga turun P1 ke P, maka permintaan naik dari Q1 ke Q. Pada saat harga naik P1 ke P, maka per mintaan turun dari Q1 ke Q Hal hal yang perlu diperhatikan 1. P = harga per unit Q = Quantitas barang. Kurva permintaan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah. P dan Q positif 4. Pada suatu tingkatan harga (P) hanya terkandung nilai kuantitas (Q) dan sebaliknya 5. Skala P dan Q tidak perlu sama, karena harga tidak sama dengan kuantitas. B. Fungsi Penawaran (Supply Function) Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang ditawarkan kepada konsumen, dengan anggapan faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus). Maka apabila tingkat harga meningkat, jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian pula sebaliknya. 1. P1 P : Jumlah barang yang ditawarkan naik Q1 Q. P1 P : Jumlah barang yang ditawarkan turun Q1 Q C. Market Equilibrium (Keseimbangan Pasar) Definisi: Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan apabila jumlah barang yang diminta dipasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik dan grafik hal ini ditunjukkan oleh persamaan : FS = FD Matematika Ekonomi dan Bisnis 1

14 ( Fungsi Penawaran = Fungsi Permintaan) Yaitu pada perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran. Pada posisi keseimbangan pasar ini tercipta harga keseimbangan (equilibrium price) dan Jumlah keseimbangan (equilibrium quantity). Soal: Permintaan terhadap barang XYZ yang terjadi di pasar adalah bila diminta 000 unit barang, harga per unit barang Rp.1000 dan bila diminta 500 unit barang, harga menjadi Rp 500. Sedangkan penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 6000 unit barang, maka harga per unit Rp , tetapi jika ditawarkan 8000 unit barang, maka harganya akan naik menjadi Rp per unit. Dari data tersebut tentukan: a. Fungsi penawaran dan fungsi permintaan? b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium? c. Gambar kurvanya. D. Pajak dan Subsidi 1. Pajak Definisi: Jenis pungutan yang dilakukan pemerintah terhadap produsen/penjual sehingga beban pajak akan menambah besarnya biaya yang harus dipikul oleh produsen/penjual. Akibatnya harga yang ditawarkan akan naik, kenaikannya sebesar pajak yang dibebankan Pajak ada macam Pajak Per unit (t) Definisi: Pajak yang dikenakan terhadap suatu barang yang besarnya tetap untuk setiap unit barang Sebelum pajak : FS P = aq + b Setelah pajak: FSt P t = (aq + b) + t Khusus Pajak Per unit Pajak yang ditanggung konsumen:(p t P) Q t Pajak yang ditanggung produsen: (Q t. t) (P t P) Q t Pajak yang diterima pemerintah: Q t. t Pajak Persentase Matematika Ekonomi dan Bisnis 1

15 Definisi: Pajak yang dipungut pemerintah dengan persentase yang tetap terhadap penjualan. Pajak persentase (r) Sebelum pajak : FS P = aq + b Setelah Pajak : FSr P = (aq + b)( 1 + r ). Subsidi (S) Definisi: Subsidi merupakan kebalikan dari pajak, pengaruhnya terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan pengaruh pajak. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil sehingga bersedia menjual lebih murah. Sebelum subsidi : FS P = aq + b Setelah Subsidi : FSs P = aq + b S Soal: 1. Permintaan terhadap suatu barang yang terjadi di pasar adalah bila diminta 0 unit barang, harga per unit barang Rp 80 dan bila diminta 60 unit barang, harga menjadi Rp 40, sedangkan penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 90 unit barang harga per unit Rp 40, tetapi jika ditawarkan 10 unit barang harga akan naik menjadi Rp 60 per unit. Dari data tersebut tentukan: a. Carilah fungsi penawaran dan fungsi permintaan? b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium? c. Apabila atas barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 5 per unitnya, tentukan harga dan kuantitas barang yang baru. d. Gambar kurvanya. Jawaban: a. P P 1 = Q Q 1 P P 1 Q Q 1 Fungsi Permintaan FD Q 1 = 0 P 1 = 80 Q = 60 P = 40 Matematika Ekonomi dan Bisnis 14

16 P 80 Q 0 = P 80 Q 0 = (P 40)40 = 40(Q 0) 40P 00 = 40Q P = 40Q P = 40Q : 40 P = Q Fungsi Penawaran FS Q 1 = 90 P 1 = 40 Q = 10 P = 60 P 40 Q 90 = P 40 Q 90 = 0 0 (P 40)0 = 0(Q 0) 0P 100 = 0Q 40 0P = 0Q P = 0Q P = : 0 Q + 0 b. FS = FD Q 0 = Q Q + Q = Q + Q = 10 5 Q = 10 c. FD P = Q FS P = Q + 0 E(7,8) FSt P = Q Q = 10 5 Q = 60 5 Q = 7 P = Q P = P = 8 E FSt=FD P = Q 15 5 Q 15 = Q Q = 115 Q = 45 4 Et(69,1) Q = 69 P = Q P = P = 1 Matematika Ekonomi dan Bisnis 15

17 FD P = Q Q = 0 P = 1OO P = 0 Q = 100 FS P = Q 0 Q = 0 P = 0 P = 0 Q = 0 FSt P = Q 15 Q = 0 P = 15 P = 0 Q =,5 d. FD P = Q Q = 0 P = 0 FS P = Q = 0 Q 0 P = 0 P = 100 Q = 100 P = 0 Q = 0. Suatu perusahaan mobil ABC mempunyai data tentang fluktuasi penjualan sebagai berikut. Permintaan dan penawaran terhadap mobil yang terjadi di pasar disajikan dalam Tabel Penawaran dan Tabel Permintaan berikut. Tabel Penawaran Tabel Permintaan Prize (P) Quantity (Q) Prize (P) Quantity (Q) 150juta 800 unit 180 juta 900 unit 190juta 100 unit 160 juta 1100 unit Dari data tersebut tentukan a. Fungsi penawaran dan fungsi permintaannya. b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium. c. Apabila barang tersebut dikenakan pajak sebesar 10% per unit, tentukan harga dan kuantitas barang pada market equilibriumnya. d. Apabila barang tersebut dikenakan subsidi sebesar 5juta per unit, tentukan harga dan kuantitas barang pada market equilibriumnya (asumsi tanpa pajak). e. Gambar kurvanya. Matematika Ekonomi dan Bisnis 16