PENYELESAIAN NUMERIS MASALAH NILAI BATAS MENGGUNAKAN METODE TEMBAKAN ( Linear Shooting Method ) Skripsi

Transkripsi

1 PENYELESAIAN NUMERIS MASALAH NILAI BATAS MENGGUNAKAN METODE TEMBAKAN ( Linear Shooting Method ) Sripsi Diajuan untu Memenuhi Salah Satu Sarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematia Disusun Oleh : Yuli Purwandari NIM : 49 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 8 i

2 NUMERICAL SOLUTION OF BOUNDARY VALUE PROBLEM USING LINEAR SHOOTING METHOD THESIS Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics B : Yuli Purwandari Student Number : 49 MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY 8 ii

3 iii

4 iv

5 HALAMAN PERSEMBAHAN Sesungguhna sesudah esulitan itu ada emudahan, maa apabila telah selesai (dari suatu urusan) maa erjaanlah dengan sungguh sungguh (urusan ang lain) ( QS. Alam Nasrah 6-7) Dengan mengucap puji suur ehadirat Allah SWT ang telah melimpahan rahmat dan hidaah-na sripsi ini upersembahan epada : Bapa dan Ibu ang uhormati ang senantiasa mendoaan serta memberian dorongan moril maupun materiil Mas Novi, Suamiu tercinta,ang selalu sabar memberi duungan Calon anau tersaang. v

6 vi

7 ABSTRAK Masalah menelesaian suatu Persamaan diferensial dapat dibedaan menjadi dua, aitu masalah nilai awal dan masalah nilai batas. Dalam masalah nilai awal, penelesaian husus persamaan diferensial diperoleh dari satu titi awal dan pada masalah nilai batas, penelesaian husus persamaan diferensial diperoleh dari dua nilai ang berbeda atau dari dua titi. Dalam sripsi ini aan dipaparan penelesaian dari masalah nilai batas secara numeri dengan metode tembaan. Metode tembaan meredusi masalah nilai batas menjadi dua masalah nilai awal. Selanjutna edua masalah nilai awal tersebut aan diselesaiaan dengan Metode Runge-Kutta. Penelesaian dari dua masalah nilai awal tersebut aan ditambahan sehingga diperoleh penelesaian masalah nilai batas. Metode tembaan sangat sederhana dan mudah untu digunaan dalam menelesaian masalah nilai batas. Masalah nilai batas ang diredusi menjadi dua masalah nilai awal aan mudah diselesaian satu per satu. vii

8 ABSTRACT The problem to solve a differential equation can be divided into two different problems, which are initial value problem and boundar value problem. The special solution of a differential equation in initial value problem is given b one point and in boundar value problem given b two different values or from two points. This thesis discusses the solution of boundar value problem using shooting method. Linear shooting method reduce the boundar value problem into two initial value problems, then the fourth order Runge-Kutta used to solved the two initial value problems. The both solutions will be added to find the solution of boundar value problem. Shooting method is ver simple and eas to solve boundar value problem. Boundar value problem that reduce into two initial value problems will be eas to solve one b one. viii

9 KATA PENGANTAR Puji suur penusun panjatan ehadirat Allah SWT arena atas rahmat dan Karunia-Na penulisan sripsi ini dapat diselesaian dengan bai. Sripsi ini berjudul PENYELESAIAN NUMERIS MASALAH NILAI BATAS MENGGUNAKAN METODE TEMBAKAN, ang disusun untu memenuhi persaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains pada Faultas Sains dan Tenologi Universitas Sanata Darma Yogaarta. Penulisan sripsi ini tida lepas dari bantuan dan bimbingan berbagai piha, untu itu pada esempatan ini penulis mengucapan bana terima asih epada :. Allah SWT ang selalu menertai hidupu dan Al Qur an ang menjadi pedoman hidupu.. Bapa Y.G Hartono, S.Si, M.Sc dan Ibu Lusia Krismiati Budiasih, S.Si, M.Si, selau Dosen Pembimbing ang telah meluangan watu, tenaga dan piiran untu memberian bimbinganna dengan penuh esabaran epada penusun untu menelesaian sipsi ini.. Bapa Herr Pribawanto, S.Si, M.Sc. sebagai dosen penguji 4. Bapa St. Eo Hari Parmadi, S.Si, M.Kom. sebagai dosen penguji 5. Ir. Greg. Heliaro, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selau Dean FST-USD 6. Segenap dosen dan arawan seretariat FST ang telah mendidi dan menediaan fasilitas ang sangat bermanfaat bagi penulis. 7. Aah, Ibu dan adiu ang senantiasa memberian semangat dan doa serta segala bantuan ang telah diberian sehingga penusun dapat menelesaian sripsi ini. 8. Mas Novi ang telah menduung setiap saat, menemaniu dan mendengaran eluh esahu serta cinta ang begitu besar ang au berian. 9. Teman-teman seperjuangan angatan, Rita, Fana, Daniel, Tedd, Indah, Eria, Ra, Alam, Maria, Deta, Ver, Ajeng dan ang tida dapat penulis sebutan satu per satu, terima asih atas bantuan dan erjasamana. i

10

11 i

12 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... HALAMAN PENGESAHAN... HALAMAN PERSEMBAHAN... HALAMAN HAK CIPTA... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... Halaman i iii iv v vi vii viii i i ii iv BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaang Masalah... B. Rumusan Masalah... C. Pembatasan Masalah... D. Tujuan Penulisan... E. Manfaat Penulisan... F. Metode Penulisan... 4 G. Sistematia Penulisan... 4 BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Pengantar Persamaan Diferensial Klasifiasi Persamaan Diferensial.... Penelesaian Persamaan Diferensial... B. Persamaan Diferensial Orde Dua.... Penelesaian Fundamental Persamaan Diferensial Linear Homogen.... Bebas Linear dan Wronsian Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen... ii

13 C. Redusi Order... 9 D. Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Orde-... BAB III METODE RUNGE-KUTTA A. Metode Simpson... 7 B. Metode Runge-Kutta Orde Empat... 9 C. Analisis Galat... 5 BAB IV PENYELESAIAN NUMERIS MASALAH NILAI BATAS MENGGUNAKAN METODE TEMBAKAN A. Metode Tembaan Linear... 5 B. Penerapan dengan Program Matlab BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN iii

14 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar.... Gambar.... Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar iv

15 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaang Masalah Persamaan diferensial diperenalan oleh Gottfried Leibniz (646 76). Definisi dari persamaan diferensial biasa adalah persamaan ang memuat satu variabel bebas dan satu fungsi ang tida dietahui dan satu atau lebih derivatif dari fungsi ang tida dietahui tersebut. Selanjutna persamaan diferensial dapat dilasifiasian sesuai dengan tingatan atau orde, ani tingat tertinggi dari derivatif ang muncul dalam Persamaan Diferensial tersebut. Persamaan diferensial mempunai dua macam penelesaian, ani penelesaian umum dan penelesaian husus. Penelesaian umum adalah penelesaian ang masih memuat onstanta dan penelesaian husus adalah penelesaian ang tida lagi memuat onstanta. Untu menentuan penelesaian husus digunaan sarat sarat bantu, aitu sarat awal dan sarat batas. Persamaan diferensial dengan sarat awal disebut masalah nilai awal dan persamaan diferensial dengan sarat batas disebut masalah nilai batas. Perbedaan masalah nilai awal dan masalah nilai batas adalah masalah nilai awal merupaan persamaan diferensial ang penelesaian hususna diperoleh dari satu titi sedangan masalah nilai batas adalah persamaan diferensial ang penelesaian hususna diperoleh pada dua nilai ang berbeda atau dari dua titi, titi titi tersebut membatasi satu interval.

16 Masalah Nilai Batas dapat tida mempunai penelesaian atau jia ada penelesaianna tida tunggal. Masalah Nilai Batas bila mempunai penelesaian tunggal sulit untu diselesaian, arena tida ada teori sederhana untu menjamin penelesaian tunggal pada Masalah Nilai Batas. Untu memperoleh penelesaian Masalah Nilai Batas ang tida tunggal adalah dengan pendeatan secara numeri. Prosedur numeri ang aan digunaan dalam sripsi ini adalah Metode Tembaan (Linear Shooting Methods). Metode Tembaan adalah metode numeri ang digunaan untu menghitung nilai ang dihasilan dari penelesaian husus. Dengan menggunaan pendeatan secara numeri dengan Metode Tembaan, maa penelesaian ang diperolah tida hana penelesaian tunggal, tetapi aan menghasilan beberapa nilai Penelesaian. Prosedur dari metode tembaan aitu dengan memperiraan nilai awal untu turunan fungsi di titi awal dan menghasilan suatu penelesaian, emudian menesuaian penelesaian tersebut sehingga sesuai untu nilai fungsi di titi batas. Salah satu cara untu menelesaian Masalah Nilai Batas dengan Metode Tembaan adalah dengan meredusi persamaan menjadi dua Masalah Nilai Awal dan membentu ombinasi linear dari penelesaian tersebut sehingga diperolah penelesaian Masalah Nilai Batas. Dalam metode ini juga aan digunaan metode Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta adalah metode perhitungan ang pratis

17 arena tida memerluan penghitungan turunan dari fungsi, tetapi hana memerluan fungsi itu sendiri. B. Rumusan Masalah Poo permasalahan ang aan dibahas dalam sripsi ini dapat ditulisan dengan beberapa pertanaan sebagai beriut. Bagaimana untu memperoleh penelesaian Masalah Nilai Batas dengan Metode Tembaan?. Bagaimana apliasina dengan menggunaan MATLAB? C. Pembatasan Masalah Dalam sripsi ini hana aan dibahas tentang Persamaan Diferensial Biasa Linear Orde- dengan Masalah Nilai Batas. Sedangan Persamaan Diferensial Linear Orde-n tida aan dibahas. D. Tujuan Penulisan Penulisan ini bertujuan untu memperdalam pengetahuan tentang Persamaan Diferensial Linear Orde- serta metode penelesaianna. E. Manfaat Penulisan Manfaat ang diharapan dalam sripsi ini adalah penulis dapat mengetahui dan memahami Persamaan Diferensial Linear Orde- metode penelesaianna secara numeri.

18 4 F. Metode Penulisan Metode penulisan ang digunaan dalam penulisan sripsi ini adalah metode studi pustaa, aitu dengan membaca dan mempelajari materi dari buubuu acuan ang telah tersedia. Jadi dalam sripsi ini tida ada penemuan baru. G. Sistematia Penulisan BAB I Pendahuluan A. Latar Belaang Masalah B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematia Penulisan BAB II Persamaan Diferensial Biasa A. Pengantar Persamaan Diferensial B. Persamaan Diferensial Orde Dua D. Redusi Order C. Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Orde- BAB III Metode Runge-Kutta Orde Empat BAB IV Penelesaian Masalah Nilai Batas Dengan Metode Tembaan

19 5 BAB V Penutup A. Kesimpulan B. Saran

20 6 BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Pengantar Persamaan Diferensial Definisi.. Persamaan diferensial adalah persamaan ang memuat derivatif derivatif atau turunan dari satu fungsi. Contoh : a. d e d b. d ( )d c. " 4 ( ). Klasifiasi Persamaan Diferensial Persamaan diferensial dielompoan dalam beberapa cara. Jia fungsi ang tida dietahui hana bergantung pada satu variabel bebas, persamaan tersebut disebut Persamaan Diferensial Biasa. Contoh Persamaan diferensial biasa : a. d ( )d b. " 4 ( ) c. d d 5d Persamaan di atas merupaan persamaan diferensial biasa dengan mewaili fungsi ang belum dietahui atau variabel ta bebas (dependent variable) dan mewaili variabel bebas (independent variable).

21 7 Jia fungsi ang tida dietahui bergantung pada dua atau lebih variabel bebas, maa persamaan tersebut disebut persamaan diferensial parsial. Contoh Persamaan diferensial parsial : u u a. u u b. t t Persamaan tersebut merupaan persamaan diferensial parsial, dengan u mewaili satu fungsi ang belum dietahui atau variabel ta bebas dan,, t mewaili variabel variabel bebas Selanjutna persamaan diferensial dilasifiasian berdasaran orde derivatif tertinggi ang muncul pada persamaan diferensial tersebut atau sering disebut sebagai orde atau derajat. Definisi.. Orde dari persamaan diferensial adalah derajat / orde tertinggi ang muncul pada persamaan diferensial. Klasifiasi persamaan diferensial menurut orde atau derajatna : ) Persamaan Diferensial Orde- Bentu umum persamaan diferensial Orde- F (,, ' )

22 8 Contoh : d a. t dt b. '( t) t ) Persamaan Diferensial Orde- Bentu umum dari persamaan diferensial Orde- F (,, ', " ) Contoh : d a. t dt d d b. 4 dt dt ) Persamaan Diferensial Orde e-n Bentu umum persamaan diferensial Orde e-n F ( n) (,, ',..., ) Definisi.. : Persamaan diferensial orde e-n disebut linear dalam jia persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentu : n ( n ) a ( ) a ( ) a( ) ' a( ) f ( ) n n K dimana a,, a, K a n dan f adalah fungsi ontinu dalam interval dan a n ( ) dalam interval tersebut. Fungsi () disebut oefisien fungsi. a

23 9 Definisi di atas menebutan bahwa persamaan diferensial biasa linear jia ondisi beriut dipenuhi : a. Fungsi ang belum dietahui dan derivatif derivatifna secara aljabar berderajat satu. b. Tida ada hasil ali ang beraitan dengan fungsi ang belum dietahui dan derivatif derivatifna atau dua atau lebih derivatif. c. Tida ada fungsi transendental dari,,, misalna e, cos dan seterusna. Persamaan diferensial ang tida linear disebut nonlinear. Contoh.. : a. Persamaan beriut ini adalah linear : " ' " e 5 Perhatian bahwa pergantian variabel bebas dalam persamaan diferensial tida mempengaruhi lasifiasi linear. b. Persamaan Diferensial Biasa Orde- : ( ) nonlinear arena derivatif pertama dari fungsi ang belum dietahui berderajat tiga. c. Persamaan Diferensial Orde- : 5 cos nonlinear arena cos adalah fungsi transendental dari fungsi ang belum dietahui.

24 . Penelesaian Persamaan Diferensial Definisi..4 : Suatu eluarga berparameter-n dari penelesaian persamaan diferensial orde-n disebut penelesaian umum dari persamaan diferensial jia semua penelesaian Persamaan Diferensial dapat diperoleh dari eluarga berparameter-n. Definisi..5 : Suatu penelesaian persamaan diferensial orde-n ang diperoleh dari penelesaian umum dengan menentuan nilai n parameter disebut penelesaian husus. Contoh.. : a. Penelesaian umum dari 9 adalah eluarga berparameterdua c cos c sin Suatu penelesaian husus dapat diperoleh dengan mengambil dua nilai parameter, misal c dan c, diperoleh penelesaian : cos sin b. Dietahui c e c e adalah penelesaian umum dari persamaan diferensial orde-dua, carilah penelesaian husus ang memenuhi () dan () -. Penelesaian :

25 Diberian nilai untu dan, untu menentuan, penelesaian ang dietahui diturunan terhadap, diperoleh : ce c e untu menghitung c dan c, dengan mensubstitusian, dan, - e persamaan ang sesuai, diperoleh : c c - c c dengan menelesaian persamaan untu c dan c diperoleh 5 c ; c, sehingga penelesaian husus menjadi : e 5 e Penelesaian umum persamaan diferensial orde-n memuat n onstanta sembarang untu menentuan penelesaian husus ditentuan n persamaan pada fungsi penelesaian dan derivatif derivatifna dan emudian menelesaian n onstanta sembarang. Ada dua metode menetapan Sarat sarat bantu. Definisi..6 : ) Jia sarat bantu pada persamaan diferensial ang dietahui berhubungan dengan sebuah nilai, sarat itu disebut sarat awal. Persamaan diferensial dengan sarat awalna disebut Masalah Nilai Awal ( M N A ).

26 ) Jia sarat bantu pada persamaan diferensial ang dietahui berhubungan dengan dua atau lebih nilai, sarat itu disebut sarat batas atau nilai batas. Persamaan diferensial dengan sarat batasna disebut Masalah Nilai Batas ( M N B ). Contoh.. : a., () adalah masalah nilai awal b., (), () adalah masalah nilai awal c. -, (), () - adalah masalah nilai batas Orde-. B. Persamaan Diferensial Orde Dua Persamaan diferensial orde- mempunai Bentu umum : d d d f,, d (.. ) dengan f adalah fungsi ang dietahui. Biasana variabel bebas dinotasian dengan t, arena dalam masalah masalah fisia watu dilambangan dengan t ang merupaan variabel bebas, tapi seringali variabel bebas juga dinotasian dengan dan variabel ta bebas dilambangan dengan. persamaan (.. ) diataan linear jia fungsi f mempunai bentu d d f,, g( t) p( t) q( t) d d (.. ) jia f linear dalam dan. g, p, q adalah fungsi dari variabel bebas tapi tida bergantung pada, maa persamaan ditulis : p() q() g() (.. )

27 atau P() Q() R() G() (..4 ) Jia P( ), maa persamaan (..4 ) dapat dibagi dengan P() Q( ) R( ) G( ) " ' (..5 ) P( ) P( ) P( ) Persamaan (.. ) disebut non linear jia tida dalam bentu (.. ) atau (..4 ). Persamaan diferensial orde- disebut homogen jia pada persamaan (..), g() untu semua dan disebut nonhomogen jia g( ).. Penelesaian Fundamental Persamaan Diferensial Linear Homogen Contoh.. : Carilah penelesaian tunggal dari masalah nilai awal p() q() ; ( ) ; ( ) (..7 ) dengan p dan q ontinu pada interval terbua I dan pada interval tersebut fungsi maa Φ() untu semua di I, memenuhi Persamaan Diferensial dengan etunggalan dari Teorema.. maa Φ() merupaan penelesaian tunggal persamaan diferensial. Teorema.. Jia dan adalah penelesaian persamaan diferensial p() q() maa c c (..8)

28 4 juga merupaan penelesaian persamaan diferensial diatas untu sebarang onstanta c dan c. Buti : Dietahui dan adalah penelesaian persamaan diferensial orde-, maa : p() q() ( arena penelesaian ) p() q() ( arena penelesaian ) Aan dibutian c c juga penelesaian (c c ) p() (c c ) q() (c c ) c c c p() c p() c q() c q() c ( p() q() ) c ( p() q() ) c. c. Jadi terbuti c c juga penelesaian dari persamaan diferensial orde-. Contoh.. Selesaianlah persamaan (..9) Penelesaian : Persamaan (..9) menunjuan bahwa aan dicari suatu fungsi ang turunan edua dari fungsi tersebut sama dengan fungsi itu sendiri atau. Suatu fungsi ang sesuai dengan persamaan tersebut misalna fungsi esponensial () e dan () e -, arena: () e sehingga () e dan () e - sehingga () e -

29 5 Jadi edua fungsi tersebut merupaan penelesaian. Contoh.. Butian apaah fungsi e dan 5e - juga penelesaian persamaan pada contoh..! Penelesaian : () e sehingga () e dan () 5e - sehingga () 5e - dengan cara ang sama fungsi c () c e dan c () c e - juga memenuhi persamaan (..9) untu semua nilai onstanta c dan c, emudian penjumlahan dari penelesaian penelesaian tersebut juga merupaan penelesaian. Misalan dengan fungsi e dan 5e - jia dijumlahan mea juga merupaan penelesaian, arena : e - 5e - e 5e - e - 5e - Selanjutna arena c () dan c () adalah penelesaian, maa demiian juga dengan fungsi c () c () c e c e - (..) untu semua nilai c dan c. Dengan mencari diperoleh : c e c e - c e c e - Jadi dapat dilihat bahwa fungsi () e dan () e - adalah penelesaian dari persamaan (..9) demiian juga ombinasi linear dari persamaan (..).

30 6 Koefisien c dan c pada persamaan (..8) adalah sebarang. Persamaan tersebut merupaan eluarga penelesaian ang tida terbatas dari persamaan (..8). Hal ini memunginan untu mengambil contoh dari eluarga penelesaian ang memenuhi masalah nilai awal. Contoh..4: dengan () ; () (.. ) Penelesaian dari persamaan (..) adalah melalui titi (,) dan pada titi tersebut mempunai gradien m -. Pertama pada dan dan, dengan mensubstitusian pada persamaan (..), diperoleh : c c emudian persamaan (..) diturunan menjadi c e - c e - substitusian nilai dan, diperoleh c - c - dengan menelesaian edua persamaan di atas, dipeoleh c dan c masuan nilai c dan c e persamaan (..), maa diperoleh penelesaian husus dari persamaan (..) aitu : e e

31 7 Teorema.. Jia dan adalah penelesaian dari persamaan diferensial dan dengan p() q() w ( ) ; ( ) dengan sarat awal maa dapat ditemuan onstanta c dan c sedemiian hingga c () c () memenuhi persamaan diferensial dan nilai awal. Buti : Persamaan Diferensial : p() q() (*) ( ) ; ( ) (**) dan penelesaian P. D (*) dan menurut teorema.. c () c () juga penelesaian P.D (*) maa dengan mensubstitusian ( ) dan ( ) diperoleh c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) (i) (ii) Dengan aturan Cramer diperoleh : ' ' ( ) c dan ( ) ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) Supaa c dan c ada maa c ( ' ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) ) ' ( )

32 8 ( ) ( ) ' ' w ( ) ( ) ( ) ( ),, ( ) ( ) Jadi teorema terbuti. Teorema.. : Jia dan adalah penelesaian persamaan diferensial p() q() dan jia pada titi, nilai wronsian dari dan tida sama dengan nol, maa eluarga penelesaian c () c () dengan sebarang oefisien c dan c memuat setiap solusi Persamaan Diferensial Buti : Misalan Φ() penelesaian lain dari persamaan diferensial p() q() ( ) ; ( ) maa Φ p()φ q()φ Φ( ) Φ ( ) Dari Teorema.. dietahui bahwa c () c () juga penelesaian dari persamaan diferensial. Menurut Teorema.. penelesaian persamaan diferensial tunggal, maa Φ() c () c (). Jadi teorema terbuti.

33 9 Contoh..5 : Butian bahwa dan adalah penelesaian persamaan diferensial dan tentuan apaah merupaan penelesaian fundamental dari persamaan : 4 ; cos ; sin penelesaian : (i) cos (ii) sin - sin cos -4 cos -4 sin substitusian e persamaan (i) -4 cos 4 cos (ii) -4 sin 4 sin jadi dan adalah penelesaian Wronsian : cos sin (, )( ) w (cos sin ). sin cos jadi dan merupaan penelesaian fundamental. Penelesaian umum dari 4 adalah c () c () c cos c sin. Bebas Linear dan Wronsian Dua buah fungsi f() dan g() diataan bebas linear pada interval I bila persamaan ombinasi linear dari dua fungsi tersebut, m f() n g() untu setiap I hana dipenuhi oleh m n. Bila tida demiian maa diataan f() dan g() bergantung linear.

34 Penelesaian umum persamaan diferensial sebagai ombinasi linear dengan Wronsian tida sama dengan nol, berhubungan dengan onseb bebas linear dari dua fungsi. Aan dilihat sistem persamaan aljabar linear homogen beriut : a a a a (.. ) dan misal Δ aa a a adalah determinan dari oefisien oefisienna. Kemudian, adalah penelesaian tunggal dari sistem (..) jia dan hana jia Δ, selanjutna sistem (..) mempunai ta nol penelesaian jia dan hana jia Δ. Dua fungsi f dan g diataan bebas linear pada interval I jia ada dua onstanata dan, edunna ta nol, sehingga : f() g() (.. ) Untu semua pada interval I. Fungsi f dan g diataan bebas linear pada interval I jia tida ta bebas linear, sehingga persamaan (..) berlau untu semua di I hana jia. Contoh..6 : Tunjuan bahwa fungsi e dan e bebas linear pada setiap interval Penelesaian : Misal : e e (..4 ) Untu semua pada interval, harus ditunjuan bahwa. pilih dua titi dan dimana, dengan mensubstitusian titi titi tersebut pada persamaan (..4), diperoleh :

35 e e e e (..5 ) Determinan dari oefisien oefisienna : e e e e e e (e e ) Karena determinan tida nol, maa penelesaian tunggal dari persamaan (..5) adalah. jadi e dan e bebas linear.. Persamaan Diferensial Orde- Homogen Persamaan Diferensial Homogen mempunai bentu umum : P() q() R() Persamaan diferensial linear orde- homogen dengan oefisien onstan mempunai bentu umum : a" b' c (..6 ) dengan a, b, c sembarang bilangan real. Misalan penelesaian persamaan diatas berbentu e r, dengan r suatu parameter ang harus ditentuan, maa : re r r e r dengan mensubstitusian, dan e persamaan (..6), sehingga diperoleh : r r a( r e ) b( re ) r ( ar br c) e ce r arena r e maa

36 ar br c (..7 ) adalah persamaan arateristi untu persamaan (..6). Parameter r merupaan aar persamaan arateristi dan e r penelesaian dari persamaan (..6). Karena persamaan (..7) adalah persamaan uadrat dengan oefisien - oefisien real, maa persamaan tersebut mempunai dua aar ang aar aarna bisa real dan berbeda, real dan sama atau aar aar omples. a. Aar aar Persamaan Real dan Berbeda Aar aar persamaan real dan berbeda jia b 4ac positif. Andaian aar aar persamaan dinotasian dengan r dan r dimana r r, emudian e r dan e r adalah penelesaian dari persamaan (..6), maa r r c ( ) c ( ) ce ce (..8 ) juga merupaan penelesaian. Untu memerisa bahwa persamaan di atas juga penelesaian, maa dapat diturunan menjadi : r r ' cre cre (..9 ) dan r r ' cr e cr e (..) dengan mensubstitusian edua persamaan di atas e persamaan (..6) diperoleh : r r r r r r a " b' c a( c re c r e ) b( c re c r e ) c( c e c e ) r r c ( ar br c) e c( ar br c) e

37 jumlah dari setiap sisipan pada ruas anan pada persamaan di atas adalah nol, arena r dan r adalah aar aar dari persamaan (..7). Jadi penelesaian umum dari persamaan (..6) adalah persamaan (..8). Andaian diberian suatu nilai awal ( ) dan ( ) dengan mensubstitusian dan pada persamaan (..8), diperoleh : c e r r c e (..) emudian dan pada persamaan (..9), diperoleh c re r r c r e ' dengan menelesaian edua persamaan di atas, diperoleh c ' r r ' r r e dan e r r r r c Jadi dengan nilai dari c dan c pada persamaan di atas, maa persamaan (..8) merupaan suatu penelesaian dari masalah nilai awal a b c dengan ( ) ; ( ) Contoh..7 : Selesaian 5 6 dengan () dan ()! Penelesaian : Misal : e r re r r e r substitusian e Persamaan : " 5' 6

38 4 r e r 5re r 6e r diperoleh persamaan arateristi : r 5r 6 (r ) (r ) r - atau r - Jadi e - dan e - adalah penelesaian fundamental sehingga penelesaian umum : c c c e c e substitusian dan, didapat c c dengan menurunan penelesaian umun dan mensubstitusian dan, diperoleh -c - c dengan menelesaian persamaan (4 dan (5), diperoleh c 9 dan c -7. Jadi penelesaian hususna adalah : 9e - 7e - b. Aar aar Persamaan Karateristi Bilangan Komples Suatu persamaan diferensial homogen a b c (..) dimana a, b dan c adalah bilangan real, telah dietahui bahwa jia dicari penelesaian dari e r maa r adalah aar persamaan arateristi dari ar br c (.. ) andaian disriminan b 4ac negatif, maa aar aar persamaan (..) adalah bilangan omples dan dinotasian dengan dimana r λ iμ dan r λ iμ λ, μ real, dengan nilai

39 5 b λ dan a μ 4ac b a ( λ iμ ) ( λ iμ ) sehingga ( e dan ( e (..4) ) ) persamaan (..4) diubah menjadi rumus Euler s dengan menggunaan deret Talor untu e diseitar : n e dengan - < < n! n jia diasumsian bahwa dapat disubstitusian i untu mengganti pada persamaan di atas e i ( i) n! n n n ( ) (n)! n i n n n ( ) (n )! n arena cos n n ( ) (n)! n dan sin n n ( ) (n )! n maa e i cos i sin (..5) persamaan (..5) disebut sebagai rumus Euler s. Variasi dari rumus Euler s adalah sebagai beriut. Jia diganti dengan, maa : e -i cos - i sin jia diganti dengan μ maa : e i μ cos μ isin μ (..6) jia diganti dengan ( λ i μ), maa : e ( λ μi) e e λ iμ emudian substitusian e persamaan (..6), diperoleh e ( λ iμ ) e λ (cosμ isin μ)

40 6 λ λ e cos μ ie sin μ (..7 ) fungsi () dan () pada persamaan (..4) dan persamaan (..7) adalah penelesaian dari persamaan (..) dengan mensubstitusian ( ) ( ) λ e cos μ u( ) ( ) ( ) λ e sin μ v( ) i denngan menghitung Wronsian dari u dan v λ w( u, v)( ) μe jia μ jadi u() dan v() merupaan penelesaian fundamental dari Persamaan Diferensial. Penelesaian Umum Persamaan Diferensial adalah : e λ ( c cos μ c sin μ ) Contoh..8 : Selesaian! Penelesaian : Substitusian e r ; Persamaan areteristi : r r Aar aar persamaan arateristi : r, ± 4... ± ± ( ) ± ± i

41 7 diperoleh λ dan μ penelesaian umum : e ( c cos c sin ) c. Aar aar Persamaan Karateristi Real dan Sama Suatu persamaan diferensial homogen dengan oefisien onstan dengan persamaan arateristi ar br c (..8 ) dimana a, b dan c adalah bilangan real, diataan mempunai aar sama dan real jia b 4ac. Sehingga aar aarna r r b a Jadi hana diperoleh satu penelesaian aitu b a ( ) e sehingga harus dicari penelesaian edua aitu () ang bebas linear. Untu mencari digunaan metode d Alembert. Karena () adalah penelesaian persamaan (..) dan demiian juga dengan c () untu semua c onstan, maa hal tersebut digunaan untu mencari (), denngan mengganti c dengan v(). Sehingga hasil dari v() () adalah penelesaian dari persamaan (..). Andaian : () v() () b a ( ) v( ) e b b b a a '( ) v'( ) e v( ). e a

42 8 a b a b a b e v a b e v a b e v ) ( 4 ) '( ) "( ) '( substitusian e persamaan (..), diperoleh : ' 4 ' " a b e cv v a b v b v a b v a b v a jadi 4 ) 4 ( ' ) ( " a ac b a ac b v c a b a b v b b av sehingga av v a b e d v v d v v ) ( ' " ' diperisa apaah dan bebas linear dengan wronsian ) )(, ( a b a b a b a b a b e e a b e a b e e w jadi diperoleh penelesaian umum : a b a b e c c e ) ( Contoh..9 : Selesaian 4 4 ; (-) ; (-) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

43 9 Penelesaian : Penelesaian umum : 4 4 a ce ce c e ' c e c e c e c e substitusian - dan, diperoleh c e c e substitusian - dan pada, diperoleh -c e c e dengan menelesaian edua persamaan di atas, diperoleh c 7e - dan c 5e - Jadi penelesaian husus : 7e e 5e e C. Redusi Order Persamaan Diferensial Linear Orde- p() q() (.. ) Jia () adalah penelesaian dari persamaan (..), maa dengan menggunaan metode d Alembert dapat dicari (). Karena () penelesaian maa : v() () v () () v() () v () () v () () v() () Dengan mensubstitusian, dan e persamaan (..), diperoleh v ( p )v ( p q )v

44 Karena adalah penelesaian dari persamaan (..) maa oefisien v, sehingga : v ( p )v Dengan mengandaian u v maa u v, sehingga u ( p )u Merupaan persamaan diferensial orde satu sehingga dapat diselesaian sebagai persamaan diferensial t-atau dengan variabel terpisah. Prosedur ini disebut dengan redusi order, arena langah penelesaianna dengan menggunaan persamaan diferensial orde satu. Contoh.. : Misal () - penelesaian dari, carilah ()! Penelesaian : Misal : v() -, maa v -.-v - ; v - v - v - dengan mensubstitusian, dan, diperoleh (v - v - v - ) (v - v - ) v - v v persamaan di atas diredusi menjadi persamaan diferensial orde satu sehingga diperoleh penelesaian : v () c / v() / c / penelesaian umum : / c /

45 D. Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Orde- Definisi.4. : Persamaan diferensial dengan bentu : f (,, ) untu a b (.4.) dengan nilai batas (a) α dan (b) β (.4.) disebut Masalah Nilai Batas Masalah nilai batas adalah persamaan diferensial dengan Penelesaian husus ang diperoleh pada dua nilai ang berbeda dari variabel bebas. Berbeda dengan masalah nilai awal ang penelesaian hususna diperoleh dari satu titi, masalah nilai batas diperoleh dari dua titi. Titi titi tersebut membatasi satu interval dimana masalah nilai batas tersebut harus diselesaian. Definisi.4. : Suatu penelesaian masalah nilai batas adalah penelesaian dari Persamaan Diferensial ang memenuhi nilai batas ang didefinisian sepanjang interval ang diberian. Untu menelesaiaan suatu masalah nilai batas, ada dua langah : a. Mencari penelesaian umum dari persamaan diferensial tersebut b. Menentuan suatu nilai onstan pada penelesaian umum sehingga memenuhi masalah nilai batas.

46 Contoh.4.: Selesaian masalah nilai batas - dengan nilai batas () dan ()! Penelesaian : Misalan : e r re r r e r persamaan arateristi : r aar aar : r v r - Penelesaian Umum : c e c e - Untu : c c (*) Untu : c e c e - (**) Selesaian persamaan (*) dan (**) dengan mengalian persamaan (*) dengan e, diperoleh e e diperoleh penelesaian husus : c dan c e e e e e e e e e e e e Contoh.4. ( Model Difusi ) : Difusi merupaan proses penghamburan atau penebaran suatu zat ang dapat terpisah dalam zat cair pada suatu tempat. Penebaran tersebut dipengaruhi oleh perubahan onsentrasi dan menebar dari onsentrasi tinggi

47 e onsentrasi rendah. Proses tersebut berhenti jia onsentrasina sudah seimbang. Perubahan onsentrasi dari titi e titi merupaan turunan dari onsentrasi tersebut terhadap posisi dan disebut dengan gradien onsentrasi. Jia () adalah onsentrasi di titi, maa gradien onsentrasina di titi adalah () dan aliran zat arena difusi adalah D (). area onsentrasi onsentrasi tinggi -Dc () rendah c c ()< Gambar. Misalan aliran air laut ang mengandung garam dengan onsentrasi tinggi melalui sebuah anal e air ang onsentrasi garamna lebih rendah L. Andaian bagian anal tersebut berada pada oordinat dan Δ. A() V() V( Δ ) Δ Gambar.

48 4 Volume air ang mengalir per satuan watu melalui edua tembo adalah hasil ali antara dari luas permuaan tembo dan ecepatan aliran air pada anan, aitu AV. Dan ecepatan total dimana garam masu arena aliran air adalah hasil ali volume air dengan onsentrasi, aitu AV. Jadi aliran garam ang masu dari ruas iri adalah : A()V()() Dan eluar dari ruas anan A( Δ ) V( Δ ) ( Δ ) Aliran garam melalui suatu area arena difusi adalah D, maa rata rata difusi ang masu melalui ruas iri adalah : -A()-D () dan eluar dari ruas anan : -A( Δ )-D ( Δ ) Jadi total garam ang eluar dari ruas anan -A( Δ )-D ( Δ ) A( Δ ) V( Δ ) ( Δ ) arena massa garam tida dapat berubah menurut watu, dan menurut huum eseimbangan, rata rata masu sama dengan rata rata eluar (rate in rate out), maa -A()-D () -A( Δ )-D ( Δ ) -A( Δ )-D ( Δ ) A( Δ ) V( Δ ) ( Δ ) dengan mengumpulan e ruas anan dan membagi dengan Δ, diperoleh : A( Δ) '( Δ) A( ) '( ) D Δ A( Δ) V ( Δ) ( Δ) A( ) V ( ) ( ) Δ

49 5 arena limit Δ menjadi nol, maa diperoleh persamaan diferensial orde- dengan nilai batas : -D (A () ()) (A () V() ()) dengan nilai batas c() c, c(l) c L Contoh.4. : Selesaian Model difusi D " V' ; () 8 dan (L) dengan D m /s ; V.778 m/s ; L 4, m penelesaian : Misal : e r D V re r r e r persamaan arateristi : r D rv r ( rd V ) r r V D penelesaian umum : c ce V D untu : c c 8 (*) VL D untu L : c c e (**) selesaiaan (*) dan (**) untu memperoleh c dan c, diperoleh

50 6 c 8 e 8 VL D 8e e VL D VL D c e 8 VL D diperoleh penelesaian husus : ( ) 8e e VL D VL D 8e e VL D V D

51 7 BAB III METODE RUNGE - KUTTA A. Metode Simpson Prinsip dasar metode Simpson aitu membagi interval (batas integral) e dalam n subinterval. Selanjutna untu setiap subinterval dibuat urva uadrati ang menginterpolasi titi-titi di dalam subinterval tersebut. Nilai pendeatan integral diperoleh dengan menjumlahan semua luas bidang ang dibatasi sumbu dan urva uadrati tersebut pada semua subinterval. Metode integrasi Simpson merupaan pengembangan metode integrasi trapezoida, hana saja daerah pembagina buan berupa trapesium tetapi berupa dua buah trapesium dengan menggunaan pembobot berat di titi tengahna seperti telihat pada gambar beriut ini. Atau dengan ata lain metode ini adalah metode rata-rata dengan pembobot uadrat. Gambar. Pembagian urva setiap dua buah trapezium dengan pembobot berat.

52 8 Bila menggunaan trapesium luas bangun di atas adalah : ( ) ( ) ( i i i i i i i f f f h f f h f f h L ) (..) Pemaaian aturan simpson dimana bobot fi sebagai titi tengah dialian dengan untu menghitung luas bangun diatas dapat ditulisan dengan: ( ) ( ) ( 4 i i i i i i i f f f h f f h f f h L ) (..) perhatian gambar beriut : Gambar. Pembagian urva dengan metode Simpson Dengan menggunaan aturan Simpson, luas dari daerah ang dibatasi fungsi f() dan sumbu X dapat dihitung sebagai beriut : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n f f h f f h f f h f f h f f h f f h L 4 _ (..) atau dapat ditulisan dengan : n igenap i iganjil i f f f f h L 4 (..4) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

53 9 Algoritma Metode Integrasi Simpson adalah : a. Definisian f() b. Tentuan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) c. Tentuan jumlah pembagi n d. Hitung h (b-a)/n e. Hitung : h L f 4 fi fi iganjil igenap f n B. Metode Runge Kutta Orde Empat Peninjauan metode perhitungan ang pratis dimulai dengan suatu elas metode ang luas, ang dienal dengan metode Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta mempunai tiga sifat ang utama :. Metodena satu langah: untu mencapai n hana diperluan eterangan ang tersedia pada titi sebelumna aitu n, n.. Mendeati etelitian metode deret Talor sampai suu dalam h p, dimana nilai p berbeda, dan p ini disebut derajat dari metode.. Tida memerluan penghitungan turunan f(, ) tetapi hana memerluan fungsi itu sendiri. Sifat etiga tersebut ang menebaban metode Runge-Kutta lebih pratis. Metode Runge-Kutta ang aan dibahas dalam Bab ini adalah Metode Runge-Kutta Orde-4. Metode Runge-Kutta Orde-4 mempunai dua versi ang sering digunaan. Bentu pertama aitu berdasaran aturan Simpson s / dan ditulis sebagai beriut : hf( n, n )

54 4, h hf n n (..), h hf n n 4 hf( n, n h) [ ] 4 6 n n bentu edua berdasaran pada aturan Simpson s /8, dan ditulis : hf( n, n ), h hf n n (..), h hf n n 4 hf( n, n h) [ ] 4 8 n n dengan nilai n dimulai dari n dan iterasi berhenti jia nilai sudah terpenuhi. Contoh.. : Hitunglah () dengan menelesaian (), ' dengan metode Runge-Kutta orde-4 dengan h! Penelesaian : Persamaan ditulis sebagai : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

55 4 f (, ) dengan dan. Karena hana diminta untu satu interval maa penghitungan seluruhna adalah : n : hf (, ), h ( (.75) ) hf hf,.64 h ( (.68) ) hf(, h) ( (.6) ) 6 [ ] 6 4 [.5 (.64) (.688).99]. 8 Contoh.. : Selesaianlah ; (), dengan metode Runge-Kutta orde-4 dengan h. pada! Penelesaian : Persamaan ditulis sebagai : f(, ) dengan dan t untu n dan. : hf(, t ). ( ). h hf,. [(.)(.) ].

56 4 h hf,. ( [.)(.) ]. 4 hf( n, n h).[(.)(.) ] [ ] 4 [. (.) (.).8]. 6 untu n dan.4 : hf(, ). [(.6)(.) ].8 hf, h.[(.6.45)(..) ].84 hf, h.[(.6.9)(..) ] hf(, h).[(.6.87)(..) ].7 6 [ ] [.8 (.84) (.87).7]. 49 untu n dan.6 : hf(, ). [(.49)(.4) ].7 hf, h.[(.49.69)(.4.) ].59

57 4 hf, h.[(.49.69)(.4.) ] hf(, h).[( )(.4.) ].8 6 [ ] [.7 (.59) (.549).8]. 677 untu n dan 4.8 : hf(, ). [(.677)(.6) ].8 hf, h.[( )(.6.) ].45 hf, h.[( )(.6.) ].68 4 hf(, h).[( )(.6.) ] [ ] [.8 (.45) (.68).59] untu n 4 dan 5 : hf( 4, 4 ). [(.9945)(.8) ].59

58 44 hf 4, 4 h.[( )(.8.) ].4 hf 4, 4 h.[( )(.8.) ].46 4 hf( 4, 4 h).[( )(.8.) ] [ ] [.59 (.4) (.46).48]. 467 diperoleh penelesaian untu pada () n 5 Pen.hampiran Pen. esa P.esa-P.hamp Kesalahan relatif >>

59 45 Gambar. Grafi metode Runge utta orde 4 Untu h. maa hasilna n Pen.hampiran Pen. Esa P.esa-P.hamp Kesalahan rel

60 >> Gambar.4 Grafi metode Runge utta orde 4 Dari gambar. dan.4 dapat dilihat bahwa jia langah h diperecil n menjadi lebih bana dan selisih antara penelesaian hampiran dan penelesaian esana atau esalahan relatifna semain besar. Jadi penelesaianna tida aurat.

61 47 Apliasi dari metode Runge-Kutta untu Persamaan Diferensial Orde Dua untu Masalah Nilai Awal adalah sebagai beriut. Misalan suatu Persamaan Differensial orde- : () a () b() q(), (), () (..) dimana a dan b adalah oefisien dan q() adalah fungsi ang dietahui dan diberian nilai awal. Dengan mendifinisian : z(t) () (..4) persamaan diatas dapat diredusi menjadi dua Persamaan Diferensial Orde- f(, z,) z, () z g(, z,) -a b q, z() (..5) Metode Runge-Kutta orde 4 untu persamaan diatas tersebut menjadi hf( n, z n, n ) hz n l hg( n, z n, n ), h l z hf n n n, h l z hg l n n n (..6), h l z hf n n n, h l z hg l n n n 4 hf( n, z n l, n h) l 4 hg( n, z n l, n h) [ ] 4 6 n n PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

62 48 [ ] 4 6 l l l l z z n n nilai n dimulai dengan n dan iterasi berhenti jia t terpenuhi. Contoh.. : Hitunglah () untu dengan (), () dan h,5! Penelesaian : Dengan mendifinisian : z(t) (t) f(, z, t) z, () z g(, z, t) -z, z() aan diselesaian dengan h.5, dan n dan n h,5,5 hf(, z, ) hz.5 ( ) l hg(, z, ),5 [ ()], h l z hf,5 (6), h l z hg l,5 [ -6 ( )] 9, h l z hf PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

63 49 l,5 (4,5),5 hg, z l h,5 [-4,5 (,5)] 8,75 4 hf(, z l, h),5(8,75) 9,75 l 4 hg(, z l, h),5[-8,75 (4,5)] 6,5 6 [ ] 6 [ () (,5) 9,75] 5, 5 z z 6 [ l l l l ] 6 untu n dan,5,5 [ 8 7,5 6,5], hf(, z, ) hz.5 (,94 ) 6,97 l hg(, z, ),5 [ -,94 (5,5)] 4,9 hf, z l h,5 [,94,45],95 l hg, z l h,5 [ -6,9 (5,5,5 )] 9,68

64 5 hf, z l h,5 (,78) 6,89 l hg, z l h,5 [-,78 (,9)] 54,57 4 hf(, z l, h),5(68,5) 4,55 l 4 hg(, z l, h),5[-68,5 (,)] 98,95 6 [ ] 5,5 6 4 [ 6,97 6,9,7 4,55], 7 z z 6 [ l l l l ], [ 4,9 79,6 9,4 98,95] Jadi (),7 penghitungan atau iterasi berhenti jia sudah terpenuhi, pertambahan sesuai dengan h ang dietahui, dimana n n h. Metode Runge Kutta Orde Empat ini aan digunaan dalam Metode Tembaan untu menelesaian dua masalah nilai awal ang diperoleh dari meredusi masalah nilai batas.

65 5 C. Analisis Galat Galat pada pemotongan dari metode Runge-Kutta untu orde e p adalah Kh p dimana K adalah onstan. Penurunan batas K buanlah hal ang sederhana, dan selain itu perhitunganna memerluan besaran ang tida tampa. Salah satu esuaran dari metode Runge-Kutta adalah urang sederhanana cara penafsiran galatna. Tasiran galat merupaan hasil tambahan dari perhitungan titi ang baru. Tanpa tasiran galat pemotongan, suar untu memilih nilai h ang pantas. Suatu patoan dasar adalah demiian: menjadi lebih besar ( lebih besar dari ratusan ) maa h harus diperecil. Ambil n harga ang benar pada jawab nh. Maa dari metode lasi orde eempat : n (h) n Kh 5 dimana supersrip (h) pada n menunjuan bahwa n dihitung dengan uuran selang h. Bila selanjutna digunaan selang h/, didapat : n h n h 5 jia edua persamaan diurangan : ( h) n h n 5 Kh 6 5 dan galat pemotongan adalah : E T Kh 5 6 h ( h) n n 5

66 5 BAB IV PENYELESAIAN NUMERIK MASALAH NILAI BATAS MENGGUNAKAN METODE TEMBAKAN Untu menelesaian masalah nilai batas persamaan diferensial biasa orde dua ada beberapa metode ang dapat dilauan antara lain metode selisih berhingga, metode elemen hingga, dan metode tembaan (shooting method). Metode tembaan merupaan metode ang sederhana dan mudah digunaan. Metode ini beerja dengan cara mcrcdusi masalah nilai batas menjadi masalah nilai awal. Metode Tembaan sangat bergantung pada pemilihan nilai slope awal ang tida dietahui nilaina. Metode Tembaan aan berhasil pemaaianna bila pemilihan slope awal ang dipilih mendeati slope ang sebenarna. Disebut Metode Tembaan arena pada dasarna metode ini dilauan dengan menemba satu nilai awal sebagai penelesaian, apabila nilai tersebut urang sesuai maa aan ditemba satu nilai di atas nilai tersebut atau dibawah nilai tersebut sampai pada ahirna onvergen e penelesaian. Pada Bab ini aan dibahas Penelesaian Numeri Masalah Nilai Batas menggunaan Metode Tembaan ( Linear Shooting Method ). A. Metode Tembaan Linear Andaian suatu persamaan diferensial linear adalah suatu masalah nilai batas ang berbentu : f (,, ) dengan (a) A dan (b) B (4..)

67 5 mempunai penelesaian tunggal (). Misalan '( a) α. Nilai α belum dietahui. Metode tembaan adalah menafsiran nilai untu '( a) α sehingga menghasilan suatu penelesaian ang sesuai dengan nilai untu (b). Dengan ata lain, misal penelesaian Masalah Nilai Awal dengan '( a) α adalah (, α), aan dicari nilai α sehingga (b, α) B. Untu mendeati penelesaian persamaan (4..) dengan metode tembaan adalah dengan meredusi persamaan (4..) e dalam dua masalah nilai awal. Misal () dan () adalh penelesaian dari masalah nilai awal "( ) p '( ) q ( ) ( a) A; '( a) (4..) dan "( ) ( a) ; p '( ) q ( a) ( ) (4..) misalan () c () c () adalah penelesaian dari () p () q() dilihat dari penelesaian beriut : () c () c () c (p () q ()) c (p () q ()) c p () c q () c p () c q () p(c () c ()) q(c () c ()) p () q() masuan nilai awal untu a dalam penelesaian () c () c () (a) c (a) c (a) c A A (4..4)

68 54 (a) c (a) c (a) c (4..5) sehingga diperoleh c A A maa nilai c dan c masuan nilai batas untu b edalam penelesaian () c () c () (b) c (b) c (b) B (4..6) masuan nilai c dan c edalam persamaan di atas jia c, maa c (b) (b) B (4..7) sehingga c B ( b) ( b) diperoleh penelesaian B ( b) ( ) ( ) ( ) (4..8) ( b) atau jia c, maa (b) c (b) B (4..9) sehingga c ( b) B ( b) diperoleh penelesaian B ( b) ) ( ) ( ) (4..) ( b) ( untu menelesaian () secara numeri dan memperoleh nilai dari () dari persamaan (4..), digunaan metode Runge-Kutta orde empat. Kemudian nilai tersebut digunaan untu mencari nilai dari w n, dengan : w n B ( b) ( ) ( b) dan penelesaian untu () () w n.

69 55 Secara umum langah langah Metode Tembaan sebagai beriut :. Langah : Masuan nilai ang dietahui, a,b, h, B. Tentuan nilai n dengan n [b-a]/h. Hitung penelesaian dengan menggunaan metode Runge-Kutta orde empat dari masalah nilai awal pertama: "( ) p '( ) q ( ) ( a) A; '( a) 4. Hitung penelesaian dengan menggunaan metode Runge-Kutta orde empat dari masalah nilai awal edua "( ) ( a) ; ( a) p '( ) q ( ) B ( b) 5. Hitung nilai Wn dengan w n ( ) ( b) 6. Hitung penelesaian dengan () () wn. Contoh 4.. : Selesaian " ', ().5; (.) -.95, pada interval [,.]! Penelesaian : Fungsi dari p, q dan r adalah p( ), q( ) dan r( ) Langah pertama, persamaan tersebut diredusi menjadi dua persamaan masalah Nilai awal. Misalan () u dan () v, maa persamaan menjadi :

70 56 t u " u' u, u().5 ; u () t " v' v, v() ; v () v Langah edua, untu menelesaian u dan v, digunaan metode Runge-Kutta orde-4. t a. u " u' u, u().5 ; u () persamaan tersebut diredusi menjadi dua persamaan diferensial orde satu u f(u, z, ) z, u().5 t z g(u, z, ) z u, z() b a. diselesaian dengan h. N untu n dan. : hf(u, z, ) hz. () l hg(u, z, ) (). () (.5). () hf u, z l h.(-.5) -. l hg u, z l h (.). (.5) (.5). 98 (.) (.)

71 57 hf u, z l h. (-.549) -.98 l hg u, z l h (.). (.549) (.5). 956 (.) (.) 4 hf(u, z l, t h). (-.956) -.59 l 4 hg(u, z l, t h) (.). (.956) (.99) (.) (.) u u 6 [ ] [ (.) (.98) (.59) ]. 4 z z 6 6 [ l l l l ] 4 [. (.98) (.956) ( 45944) ] diperoleh nilai u(.) u.4 peghitungan atau iterasi berhenti jia nilai sudah terpenuhi, aitu b. t b. v" v' v, v() ; v () diredusi menjadi dua persamaan diferensial orde-

72 58 v f(u, z, ) z, v() t z g(u, z, ) z v, z() diselesaian dengan h. untu n dan. : hf(v, z, ) hz. (). l hg(v, z, ) (). () () () hf v, z l h.(). l hg v, z l h (.). () (.) (.) (.) l hf v, z. (). hg v, z l l h h (.). () (.) (.) (.) 4 hf(v, z l, h). ().

73 59 l 4 hg(v, z l, h) (.). () (.) (.) (.) v v 6 [ ] 6 [. (.) (.) (.)]. z z 6 [ l l l l ] 4 4 () 6 arena b maa diperoleh v v(.). dan penghitungan atau iterasi berhenti. emudian u dan v digunaan untu menghitung w B u( b) B u(.) w v( t) v(.) v( b) v(.).95.4 w (.). jadi () u() w B. Penerapan dengan Program Matlab Penelesaian Contoh 4.. menggunaan Program Matlab dengan masuan nilai B, a, b, h, u, p, v, q maa hasilna sebagai beriut :

74 6 a. Pada Interval [,.] Gambar 4. Metode Tembaan

75 6 b. Pada Interval [,4]

76 6 Gambar 4. Metode Tembaan

77 6 c. Pada interval [,]

78 64 Gambar 4.

79 65 BAB V PENUTUP A. Kesimpulan Masalah menelesaian suatu persamaan diferensial dapat dibedaan menjadi dua, aitu masalah nilai awal dan masalah nilai batas. masalah nilai awal adalah persamaan diferensial ang penelesaian hususna diperoleh dari satu titi dan masalah nilai batas adalah persamaan diferensial dengan penelesaian husus ang diperoleh pada dua nilai ang berbeda atau dari dua titi. Masalah nilai batas dapat tida mempunai penelesaian atau jia ada penelesaianna tida tunggal. Masalah nilai batas bila mempunai penelesaian tunggal sulit untu diselesaian, arena tida ada teori sederhana untu menjamin penelesaian tunggal pada masalah nilai batas. Penelesaian masalah nilai batas ang tida tunggal dapat diperoleh dengan pendeatan secara numeris. Prosedur numeris ang aan digunaan dalam sripsi ini adalah Metode Tembaan (Linear Shooting Methods). Untu mendeati penelesaian persamaan masalah nilai batas tersebut dengan metode tembaan adalah dengan meredusi persamaan masalah nilai batas e dalam dua masalah nilai awal, emudian menelesaian masalah nilai awal tersebut menggunaan metode Runge Kutta Orde Empat.

80 66 Keuntungan dari metode Tembaan ini adalah pratis arena masalah nilai batas dapat diredusi menjadi dua masalah nilai awal ang lebih mudah diselesaian dengan metode Runge-Kutta. sedangan eurangan dari metode tembaan ini adalah pada pemilihan slope awalna, jia pemilihan slope awalna tida atau urang mendeati, maa penggunaan Metode Tembaan tida aan berhasil. B. Saran Mesipun ada euntungan dalam menggunaan metode tembaan untu menelesaian masalah nilai batas, aitu pratis dan mudah, tetapi masih ada eurangan aitu dalam etelitian memilih slope awal. Jia pemilihan slope awalna tida atau urang mendeati, maa penggunaan Metode Tembaan tida aan berhasil. Jadi disaranan agar pembaca dapat menggunaan metode lain untu menelesaian masalah nilai batas, misalna dengan Metode Beda Hingga (Finite-Difference Method).

81 67 DAFTAR PUSTAKA Diprima, B., Elementar Diferential Equations, seventh edition, John Wile and Sons, Inc. Djojodihardjo, H,, Metode Numeri, PT Gramedia Pustaa Utama, Jaarta. Davis, P.W., Differential Equation For Mathematics, Science and Engineering, Prentice Hall International Inc. Fausett, R. L. And D.J, Faires, 987, Applied Numerical Analiss, Fifth Edition, PWS Publishing Compan Boston, Boston, Mathews, J.H., Numerical Methods for Mathematics, Science, And Engineering,second Edition, Naamura, S.,, Numerical Analsis and Graphic Vizualization with MATLAB, Second Edition, Prentice Hall PTR, New Jerse, Plbon, B.F., 99, An Introduction To Apllied,PWS Publishing Compan Boston, Boston, Rice, Bernard J. And J.D, Strange, 986, Ordinar Differential Equations With Applications, Broos / Cole Publishing Compan, Montere, California. Tutoo, A, 99, Ditat Persamaan Diferensial Biasa, Universitas Sanata Dharma, Yogaarta.

82 68 LAMPIRAN Program Metode Runge Kutta Orde 4 function[]frunge_orde4(a,b,h,) % Fungsimetode Runge Kutta Orde 4 % input : f fungsi ang digunaan ' * % a adalah titi awal interval % b adalah titi ahir interval % h adalah uuran langah untu maghitung nilai pada interval % n adalah banana langah % w dan untu menimpan nilai dan clc n[b-a]/h zeros(,n); wzeros(,n); zzeros(,n); ; fprintf('\n \n') fprintf(' Pen.hampiran Pen. esa P.esa-P.hamp Kesalahan rel \n') fprintf('\n \n') for j:n h*feval('pers',,); h*feval('pers',h/,/); h*feval('pers',h/,/); 4h*feval('pers',h,); (j)[**4]/6;

83 69 (j)ah*j; w(,j)(j); (j); (j); z(j)(j)/(-(*(j)*(j)/)); err(j)abs((j)-z(j)); rel(j)(err(j)/z(j))*; %membuat tabel fprintf('\n %.f %9.6f %.6f %.6f %.6f ',(j),w(j),z(j),err(j),rel(j)) end %grafi plot(,w,'') hold on plot(,z,'o') legend('pen hampiran','pen esa',4); title('grafi Metode Runge Kutta Orde 4') label('nilai ') label('nilai ')

84 7 LAMPIRAN Fungsi Metode Tembaan. Fungsi untu persamaan function UShooting(a,b,h,u,p) % Fungsi metode tembaan (shooting Method) % input : f fungsi ang digunaan u' z dan p' (/*)p(/*) % a adalah titi awal interval % b adalah titi ahir interval % h adalah uuran langah untu maghitung nilai pada interval % n adalah banana langah n(b-a)/h; ; for j:n h*feval('pers',p); lh*feval('pers',u,p,); h*feval('pers',pl/); lh*feval('pers',u/,pl/,h/); h*feval('pers',pl/); lh*feval('pers',u/,pl/,h/); 4h*feval('pers',pl); l4h*feval('pers',u,pl,h); u(j)u[**4]/6; p(j)p[l*l*ll4]/6; (j)ah*j;

85 7 c(j)u(j); (j); uu(j); pp(j); nn; end Uu; plot(,c,'') title('grafi Metode Tembaan') label('nilai ') label('nilai u'). Fungsi untu persamaan function VShooting(a,b,h,v,q) % Fungsi metode tembaan (shooting Method) % a adalah titi awal interval % b adalah titi ahir interval % h adalah uuran langah untu maghitung nilai pada interval % n adalah banana langah n(b-a)/h; ; for j:n h*feval('pers4',q); lh*feval('pers5',v,q,); h*feval('pers4',ql/); lh*feval('pers5',v/,ql/,h/); h*feval('pers4',ql/);

86 7 lh*feval('pers5',v/,ql/,h/); 4h*feval('pers4',ql); l4h*feval('pers5',v,ql,h); v(j)v[**4]/6; q(j)q[l*l*ll4]/6; (j)ah*j; c(j)v(j); %fprintf('\n%.f %9.4f ',(j),v(j)); (j); vv(j); qq(j); end Vv; %grafi plot(,c,'') title('grafi Metode Tembaan') label('nilai ') label('nilai v')