KOMPUTASI DISTRIBUSI SUHU MENGGUNAKAN METODE LINE SUCCESSIVE OVERRELAXATION (LSOR) MELALUI PENDEKATAN BEDA HINGGA DALAM BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB

Transkripsi

1 QUANUM, Jurnal Inovasi Pendidian Sains, Vol., No., April 0, hlm KOMPUASI DISRIBUSI SUHU MENGGUNAKAN MEODE LINE SUCCESSIVE OVERRELAXAION (LSOR) MELALUI PENDEKAAN BEDA HINGGA DALAM BAHASA PEMROGRAMAN MALAB Sarah Miriam Program Studi Pendidian Fisia FKIP Unlam Banarmasin Abstract. he aim of this stud is to design a computation program of thermal distribution b using the Line Successive Overrelaation (LSOR) method through the finite difference approach in the language of MALAB (Matri Laborator). he methodolog used in this stud is a literature stud. he result of this stud is a computation program that can perform appropriatel to show the thermal distribution of a two dimension sstem in a stead state. he output of the program is visualied b MALAB in a contour graphic and a two dimension graphic. Ke words: Computation, thermal distribution, Line Successive Overrelaation (LSOR), finite difference, MALAB PENDAHULUAN Distribusi suhu pada sistem dalam eadaan tuna dapat dinataan dengan model matematis ang dienal sebagai persamaan Laplace. Salahsatu alternatif teni numeri untu menelesaian persoalan ini adalah dengan metode iteratif ang menggunaan pendeatan beda hingga. Metode iteratif ang sudah umum digunaan diantarana adalah metode iterasi Gauss Seidel ang mana lau onvergensi dari metode ini dapat ditingatan dengan menertaan fator relasasi atas ω. Metode Line Successive Overrelaation (LSOR) merupaan contoh dari metode iteratif dengan fator relasasi atas ω dalam perhitunganna. uuan penelitian ini adalah untu membuat suatu program ang dapat melauan omputasi distribusi suhu pada suatu sistem ang dalam eadaan tuna. Bentu geometri sistem ang dipilih adalah penampang buursangar dua dimensi dengan ondisi batas dirichlet. Penurunan Persamaan Perpindahan Panas Pada suatu elemen ecil bahan didalam sebuah benda peal berbentu balo ang tepi-tepina d, d dan d masing-masing seaar dengan sumbu, dan (Gambar ), untu mendapatan persamaan distribusi suhu ditulisan eseimbangan energi sebagai beriut: Lau aliran Panas masu Lau pembangitan panas oleh sumber-sumber dalam Lau aliran panas eluar + = +. () atau secara alabar, ddd d d d cddd Lau perubahan energi dalam dimana lau pembangitan panas per satuan volume dan suhu pada umumna merupaan fungsi dari etiga oordinat, dan maupun watu. Gambar. Setsa nomenlatur penurunan persamaan ondusi panas dalam oordinat Cartesius (Kreith, 997).

2 Sarah, Komputasi Distribusi Suhu Menggunaan Metode LSOR Lau ondusi panas edalam elemen dengan melintasi permuaan iri dalam arah, aitu, dapat ditulis sebagai : dd. () Lau ondusi panas ang eluar dari elemen dengan melintasi permuaan anan pada +d, aitu +d adalah dd d d. (3) Bila lau aliran panas ang masu edalam elemen diurangi dengan lau aliran panas ang meninggalan elemen, diperoleh untu arah, dan : ddd d ; ddd d ; dan ddd d Bila rumus-rumus ini dimasuan edalam eseimbangan energi dan membagi tiap suu dengan ddd, maa aan diperoleh: c (4) Jia sistemna homogen dan panas c serta erapatan ρ tida tergantung dari suhu dan ia dianggap seragam, maa persamaanna menadi: a. (5) dimana onstanta.c/ a disebut difusivitas termal dan dalam SI satuanna adalah m /s. Persamaan diatas dienal sebagai persamaan perpindahan panas umum dan mengatur distribusi suhu dan aliran panas ondusi didalam benda padat ang sifat-sifat fisina seragam. Jia sistemna tida mengandung sumber panas, maa persamaanna berubah menadi persamaan Fourier. a. (6) dalam eadaan tuna, distribusi suhu didalam benda ang tanpa sumber panas harus memenuhi persamaan Laplace, 0 (7) uuan analisa perpindahan panas adalah meramalan lau aliran panas atau distribusi suhu. Dalam sistem dua dimensi tanpa sumber panas, persamaan ang mengatur distribusi suhu dalam eadaan tuna adalah 0. (8)

3 QUANUM, Jurnal Inovasi Pendidian Sains, Vol., No., April 0, hlm dengan menganggap ondutivitas termalna seragam. Penelesaian persamaan diatas aan menghasilan (,), suhu sebagai fungsi dari edua oordinat ruang dan. Lau aliran panas per luas satuan dalam arah dan dapat dihitung dari persamaan Fourier, masing-masing: A dan A Lau aliran panas total disetiap titi dalam bahan adalah resultan dan dititi tersebut. Sehingga vetor aliran panas total mempunai arah tega lurus terhadap garis-garis suhu tetap (Gambar ). Gambar. Aliran panas dalam dua dimensi (Holman, 997). Pendeatan Beda Hingga Daerah penelesaian D(,) dalam ruang untu sebuah persoalan eseimbangan dua-dimensi diilustrasian dalam Gambar 3. Daerah penelesaian diwaili oleh garis-garis grid dua dimens ang disebut grid beda hingga. Perpotongan-perpotongan dari garis-garis grid ini adalah titi-titi grid dimana penelesaian beda hingga untu persamaan diferensial parsial dihasilan. Subsrip i menunuan tambahan pada arah dan subsrip menunuan tambahan pada arah. ad titi grid menunuan loasi ( i) dan daerah penelesaian D(,). Jumlah total dari garis-garis grid dinotasian dalam gambar oleh i ma, dan umlah total dari garis-garis grid dinotasian oleh ma. ma Daerah penelesaian D(, ) Gambar 3. Daerah penelesaian D (,) dan grid beda hingga (Hoffman, 99) Untu asus perpindahan panas dengan ondutivitas termal tetap, aliran alor dapat dinataan dalam diferensial suhu. Gradien suhu dapat ditulisan dalam pendeatan beda hingga sebagai beriut: i, i, i, i, i i,, i, i i i

4 Sarah, Komputasi Distribusi Suhu Menggunaan Metode LSOR i, i, i, i, i, dalam pendeatan beda hingga, distribusi suhu ang ontinu digantian dengan seumlah batangan penghantar panas haalan ang bersambungan pada setiap titi grid. Metode Line Successive Overrelaation (LSOR) Dalam metode LSOR, ani relasasi garis dengan baris-baris, semua baris penelesaian ditetapan pada nomor iterasi +, ecuali + ditetapan pada nomor iterasi. Disini terandung tiga buah nilai dari titi grid ang tida dietahui: i+l, +, +, i-l, +. Nilai dari - + dietahui dari penelesaian ang baru saa diperoleh dari garis -, dan nilai dari +l + dietahui dari iterasi sebelumna. Gambar 4 menunuan strategi penelesaian relasasi garis dengan baris-baris untu sistem dengan ondisi batas dirichlet. Dalam relasasi garis dengan olom-olom, penelesaian dari olom i hingga i = i ma-, semua olom penelesaian ditentuan pada nomor iterasi +, menisaan hana i+l, ang ditentuan pada nomor iterasi. sehingga tiga buah titi grid ang tida dietahui nilaina adalah : - +, + dan + +. Nilai i-, + dietahui dari penelesaian ang baru diperoleh dari olom i-, dan nilai i+, + dietahui dari iterasi sebelumna. ma i i i Gambar 4. Strategi penelesaian untu relasasi garis (Hoffman, 99) Fator Relasasi Atas Optimum ( opt) Sebuah periraan nilai ω opt ang ba terutama berguna dalam mengurangi usaha omputasi untu sistem-sistem dari persamaan-persamaan ang sangat besar. Fator relasasi atas optimum ω opt tida dapat dipredisi secara teoritis ecuali untu beberapa asus ang husus. Namun begitu, ω opt dapat ditentuan secara esperimen dengan mencoba berulang-ulang sebuah soal ang diberian untu suatu angauan (range) dari nilai-nilai ω dan memonitor ecepatan onvergensina. Untu fator relasasi atas, angauan ω terleta antara.0 dan.0. MEODE PENELIIAN ima

5 QUANUM, Jurnal Inovasi Pendidian Sains, Vol., No., April 0, hlm Melalui studi literatur ditemuan bahwa ada beberapa tahapan ang harus dilauan untu membuat program omputasi distribusi suhu pada benda dua dimensi eaadaan tuna. ahapan tahapan tersebut adalah:. Menurunan persamaan Laplace dua-dimensi dalam bentu beda hingga.. Membuat penelesaian persamaan Laplace dua-dimensi dengan metode LSOR. 3. Membuat alogaritma program untu metode LSOR. Persamaan Laplace dalam bentu beda hingga. Dengan pendeatan beda hingga, persamaan Laplace untu dua dimensi (pers.(8)) dapat dibawa edalam persamaan setara ang dapat dinataan sebagai: i, i, i, i, i, i, 0 () dengan subsrip i menandaan posisi dan subsrip menandaan posisi seperti pada Gambar 5. Pada sisi-sisina diberi nilai suhu ang telah ditentuan aitu u, b, t dan s. Jia dimasuan rasio aspe grid /, maa pers.() menadi: 0 i, i, i, i,... (3) Sehingga untu diperoleh i, i, i, i, (4) Gambar 5. Nomenlatur dalam analisis numeri ondusi alor dua dimensi. Karena geometri sistem ang dipilih dalam penelitian ini adalah buursangar maa diambil harga ang sama dengan harga, sehingga =. Dengan demiian pers.(4) dapat ditulis menad 0... (5) i, i, i, i, 4 i, dan didapat nilai untu i, i, i, i,... (6) 4 Persamaan (6) mempunai interpretasi fisia ang sederhana. Ia menunuan bahwa, untu nilai β =, penelesaian disetiap titi adalah rata-rata dari penelesaian eempat titi diseitarna. Hasil ini hana berlau untu persamaan Laplace. Dengan demiian, distribusi suhu pada eadaan tuna untu sistem

6 Sarah, Komputasi Distribusi Suhu Menggunaan Metode LSOR penampang buursangar dua-dimensi dengan ondisi batas dirichlet, nilai suhu pada titi ang berada ditengah-tengah sistem merupaan seperempat dari penumlahan nilai-nilai suhu pada eempat sisina. Untu menghentian perhitungan dalam program omputer, diperluan suatu nilai tasiran galat. Dalam pendeatan iteratif, galat seringali ditasir sebagai selisih antara aprosimasi sebelumna dengan ang searang. Jadi: Galat aprosimasi = aprosimasi searang aprosimasi sebelumna. Sehingga, pengulangan hitungan dalam program omputer aan berhenti bila: i,, i untu semua dimana adalah suatu harga esalahan suhu ang telah ditetapan dan supersrip menandaan nomor iterasi ang lama serta supersrip + menandaan nomor iterasi ang baru. Bila sarat ini sudah terpenuh maa iterasi telah mencapai onvergensi ang artina, telah menghasilan penelesaian dari pemredisian beda hingga terhadap persamaan Laplace untu harga tertentu ang digunaan untu membentu aringan. Penelesaian Persamaan Laplace dua-dimensi dengan metode LSOR Dalam penelesaian persamaan Laplace dua-dimensi dengan metode LSOR, pencarian nilai suhu untu semua i dengan harga ang onstan aan menghasilan sistem persamaan linier ang mempunai matris tridiagonal. Untu relasasi garis dengan baris-baris, semua baris penelesaian ditentuan pada nomor iterasi +, ecuali untu i + ang ditentuan pada nomor iterasi. Dengan demiian, persamaan sisa + untu metode LSOR adalah i, i, i, i,, (7) i Dengan mensubtitusian pers.(9) edalam pers.( 0) diperoleh i, i, Untu. (8) =, pers.(8) menadi i, 4i, i, i, i,.... (9) Pers.(9) dapat di-relasasi atas-an dengan memberian fator relasasi atas ω ang dinataan dalam persamaan: (0) i, i, Algoritma Program Metode LSOR ahap selanutna adalah menusun algoritma program omputasi distribusi suhu dengan metode LSOR, susunanna adalah sebagai beriut:. Memberian uuran grid dan onstanta relasasi atas omega sebagai variabel input. Untu memudahan pembandingan suhu ditengah tengah sistem hasil omputasi dengan nilai teoritis, uuran grid ang dipilih adalah uuran grid ang ganil.. Memasuan nilai dan rumus untu variabel-variabel beriut: panang sistem dalam arah dan (L), interval antar titi (d), iterasi masimum (itma), dan batas eauratan (epsilon).

7 QUANUM, Jurnal Inovasi Pendidian Sains, Vol., No., April 0, hlm Menetapan nilai suhu untu daerah-daerah batas (u, s, b, t). Dalam penelitian ini dipilih suhu pada daerah batas sebagai beriut: u = 00 C; b = 50 C, t = 50 C; s = 00 C. Dengan demiian, secara teoritis nilai suhu di tengah tengah sistem haruslah sebesar seperempat penumlahan dari nilai nilai batas tersebut, ani 75 C. 4. Memberian nilai nol sebagai nilai awal suhu di semua titi interior. 5. Menentuan fungsi untu sarat batas. 6. Mengisi elemen-elemen matris tridiagonal. 7. Memulai iterasi dengan metode LSOR. 8. Menghentian iterasi ia sarat onvergensi sudah dipenuhi. 9. Menceta nilai suhu di semua titi. HASIL DAN PEMBAHASAN Program omputasi distribusi suhu dengan metode LSOR ang dihasilan dari penelitian ini diberi nama CPLSOR. Algoritma dan omputasi numeri ang dirancang telah berhasil diterapan pada bahasa pemrograman MALAB 5. Komputasi dilauan untu semua uuran grid ang ganil mulai dari grid 5 5 sampai dengan Beriut ini adalah data data ang diperoleh dari hasil omputasi dengan program CPLSOR: a. Pada semua omputasi ang dilauan, dicapai tingat etelitian = 0-8 dengan galat terbesar teradi pada omputasi untu grid dan galat terecil teradi pada omputasi untu grid 5 5. b. Nilai omega optimum untu mencapai onvergen berada pada angauan. sampai dengan.30. c. Jumlah iterasi minimum untu grid 5 5 adalah sebana 4 dengan watu eseusi 8.46 det sedangan umlah iterasi minimum untu grid adalah sebana 63 dengan watu eseusi deti. Besarna nilai omega optimum, umlah iteras dan watu eseus semain bertambah seiring dengan enaian uuran grid. d. Pada semua omputasi ang dilauan, diperoleh nilai ang sama untu suhu ditengah tengah sistem, ani sesuai dengan nilai ang seharusna, 75 C. Bila input data untu suhu batas diubah, maa suhu ditengah tengah sistem aan berubah pula sesuai dengan semestina, ani sebesar seperempat dari umlah suhu batas di eempat sisina. Dari program CPLSOR diperoleh distribusi suhu di semua titi perpotongan grid pada penampang buursangar. Keluaranna tampil dalam bentu matris beserta grafi ontur dan grafi dua dimensina (Gambar 6). Perubahan suhu di setiap titina ditunuan oleh perubahan warna. Warna biru menunuan suhu ang paling tinggi. Sedangan suhu terendah adalah ang berada ditengah tengah sistem, ani dengan warna paling muda. (a) Grafi ontur (b) Grafi dua dimensi Gambar 6. Distribusi suhu pada penampang buursangar dengan metode LSOR uuran grid 55 55

8 Sarah, Komputasi Distribusi Suhu Menggunaan Metode LSOR KESIMPULAN DAN SARAN Dari studi in program omputasi distribusi suhu ang dirancang menggunaan metode LSOR, melalui pendeatan beda hingga, dalam bahasa MALAB, telah berhasil dirancang dan dapat berfungsi dengan semestina. Secara umum, tingat etelitian dari program omputasi ini dapat diataan cuup tingg ani = 0-8. Hasil eluaran dari program ini divisualisasian oleh MALAB dalam grafi ontur dan grafi dua dimensi ang berwarna. Perbedaan deraat panas ditunuan oleh perbedaan warna pada grafi. Dengan demiian, tuuan dari penelitian ini telah tercapai. DAFAR PUSAKA Aa errence J Applied Numerical Methods for Enggineers. Singapore: John Wile & Sons, Inc. Chapra, Steven C. dan Canale, Ramond P. 99. Metode Numeri. Alih Bahasa I Noman Susila. Jaarta: Penerbit Erlangga. Gere, James M. dan Weaver, Jr. William Alabar Matris untu para Insinur. Alih Bahasa G eosutino. Jaarta: Penerbit Erlangga. Hanselman, Duane dan Littlefield, Bruce MALAB Bahasa Komputasi enis. Alih Bahasa Joep Edanto. Yogaarta: Penerbit ANDI dan Pearson Education Asia Pte. Ltd. Hoffman, Joe D. 99. Numerical Methods for Engineers and Scientists. USA: McGraw-Hill, Inc. Hollman, J.P Perpindahan Kalor. (edisi e-6). Jaarta: Penerbit Erlangga. Kreith, Fran Prinsip-Prinsip Perpindahan Panas. (edisi e-3). Jaarta: Penerbit Erlangga. Purwad PK Metode Beda Hingga dalam Penelesaian Persoalan Perpindahan Panas Kondusi Dua Dimensi Keadaan una, Jurnal SIGMA. Vol. II, No., -5.