METODE NEWTON-COTES TERBUKA BERDASARKAN TURUNAN ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE NEWTON-COTES TERBUKA BERDASARKAN TURUNAN Nurholilah Siagian, Samsudhuha, Khozin Mu tamar Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (893), Indonesia nurholilah.siagian@student.unri.ac.id ABSTRACT This final project discusses Open Newton-Cotes methode based derivatives. Furthermore, in this discussion of numerical solution from Open Newton-Cotes method (ONC) and Open Newton-Cotes Based Derivatives method (ONC) compared with solutions analytically. For some examples of cases it appears that the method ONC provide a better solution, with minimum error. Keywords: Based derivatives methods, open Newton-Cotes. ABSTRAK Skripsi ini membahas penurunan metode Newton-Cotes Terbuka berdasarkan turunan. Selanjutnya pada pembahasan ini solusi numerik dari metode Newton- Cotes Terbuka (NCT) dan metode Newton-Cotes Terbuka Berdasarkan Turunan (NCT) dibandingkan dengan solusi secara analitik. Dari beberapa contoh kasus terlihat bahwa metode NCT memberikan solusi yang lebih baik, dengan eror yang lebih kecil. Kata kunci: berdasarkan turunan, metode newton-cotes terbuka.. PENDAHULUAN Salah satu cara untuk menaksir integral tentu dari suatu fungsi adalah dengan menggunakan formula kuadratur Newton-Cotes Terbuka (NCT) [, h. ], yaitu metode integrasi yang hanya melibatkan titik titik di dalam batas integrasi, yang bentuk umumnya diberikan oleh b a f(x)dx n w i f(x i ). () i= Dalam penerapannya titik x i berjarak sama dan untuk menentukan bobot w i ditentukan dengan menerapkan formula () terlebih dahulu pada monomial x k dimana Repository FMIPA

2 k =,,, P [3, h. ] sehingga hasilnya eksak, sedangkan untuk x P + hasilnya tidak eksak. Dalam metode NCT evaluasi fungsi pada titik ujung interval tidak dilakukan, yaitu b xn+ n f(x)dx = f(x)dx w i f(x i ), a dimana x, x,, x n adalah n + titik integrasi yang berbeda dalam interval [a, b] dengan x i = a+(i+)h, dan h = (b a)/(n+). Selanjutnya ruas kanan persamaan () dinotasikan sebagai n I n (f) = w i f(x i ). i= Pembahasan dimulai dengan mendiskusikan metode Newton-Cotes terbuka pada bagian dua, dilanjutkan dibagian tiga dengan mendiskusikan metode Newton-Cotes berdasarkan turunan. Pendiskusian diakhiri pada bagian empat dengan contoh komputasi. i=. METODE NEWTON-COTES TERBUKA Formula kuadratur Newton-Cotes Terbuka NCT bergantung kepada nilai bobot dari sebuah fungsi yang dievaluasikan sebagai berikut [3, h. ] xn x n f(x)dx w i f(x i ). () Secara umum pendekatan untuk mencari nilai bobot ini berdasarkan prediksi formula kuadratur, yang diintegralkan monomial x k dimana k =,,, P tapi tidak untuk k P +. Dengan menggunakan koefisien yang tidak dapat ditentukan, penggunaan pendekatan yang menghasilkan sebuah sistem P + persamaan linear untuk bobot w i. Untuk n =, persamaan () dapat ditulis menjadi x f(x)dx w f(x ). i= Selanjutnya untuk f(x) = dengan f(x ) = x maka diperoleh x dx w x w h w, f(x)dx =hf(x ) + h3 3 f () ξ I (f) =hf(x ). Repository FMIPA

3 Untuk n = persamaan () dapat ditulis menjadi Untuk f(x) = dengan f(x ) = dan f(x ) = Selanjutnya, f(x)dx w f(x ) + w f(x ). (3) dx w + w x w + w 3h w + w (4) dx w x + w x ( ) x x w x + w x ) w x + w x ( ) ( x x x + x Dari persamaan (4) dan persamaan (5) diperoleh: 3h ( ) x x w x + w x. (5) w = 3h, w = 3h, sehingga persamaan (3) dapat ditulis menjadi f(x)dx = 3h (f(x ) + f(x )) + 3h3 4 f () (ξ), dimana ξ (, x ) I (f) = 3h (f(x ) + f(x )). Untuk n = bentuk kuadratur NCT dapat disederhanakan menjadi x3 f(x)dx = 4h 3 (f(x ) f(x ) + f(x )) + 4h5 45 f (4) (ξ), dimana ξ (, x 3 ) I (f) = 4h 3 (f(x ) f(x ) + f(x )). Untuk n = 3 dan n = 4 diperoleh dengan langkah yang sama seperti di atas sehingga diperoleh x4 f(x)dx = 5h 4 (f(x ) + f(x ) + f(x ) + f(x 3 )) + 95h5 44 f 4 (ξ), Repository FMIPA 3

4 dimana ξ (, x 4 ) dan untuk n = 4 I 3 (f) = 5h 4 (f(x ) + f(x ) + f(x ) + f(x 3 )), 5 dimana ξ (, x 5 ) f(x)dx = 3h (f(x ) 4f(x ) + 6f(x ) 4f(x 3 ) + f(x 4 )) + 4h7 4 f 6 (ξ). I 4 (f) = 3h (f(x ) 4f(x ) + 6f(x ) 4f(x 3 ) + f(x 4 )) + 4h7 4 f 6 (ξ). 3. METODE NEWTON-COTES TERBUKA BERDASARKAN TURUNAN Misalkan f C n+ [a, b] adalah sebuah fungsi bernilai real. Misalkan pada interval [a, b] dibagi lagi menjadi n + subinterval dengan, x,, x n+. Nilai fungsi dari turunan pertama pada x i (a, b) sehingga bentuk umumnya adalah xn+ f(x)dx = n w i f(x i ) + i= n u i f (x i )h. (6) i= dimana w i dan u i adalah nilai bobot untuk fungsi dan turunannya secara berturutturut, dan n adalah sebuah subinterval yang digunakan pada formula dasar[,h.]. Untuk n =, persamaan (6) dapat ditulis menjadi x f(x)dx = w f(x ) + u f (x )h. (7) Untuk f(x) = dari persamaan (7) sehingga didapat: x dx = w x = w. Oleh karena x = + h maka diperoleh w = h. Repository FMIPA 4

5 Untuk f(x) = x dari persamaan (7) akan menghasilkan x xdx = w x + u h (x x ) = w x + u h ( ) u = h (x )(x + ) w x = ( ) h w x w x u =. Jadi untuk n = bentuk kuadratur NCT dapat disederhanakan menjadi x f(x) = hf(x) + 3 h3 f () (ξ). Untuk n =, persamaan () dapat ditulis menjadi f(x)dx = w f(x ) + w f(x ) + u f (x )h + u f (x )h. (8) Untuk f(x) = dari persamaan (8) sehingga didapat dx = w + w x = w + w. Oleh karena x = + 3h maka diperoleh w + w = 3h. Selanjutnya f(x) = x, dari persamaan (8) akan menghasilkan xdx = w x + w x + u h + u h sehingga diperoleh (x x ) = w x + w x + u h + u h, w + u + u = 3 h. Untuk f(x) = x dari persamaan (8) akan menghasilkan x dx = w x + w x + u hx + u hx (x 3 x 3 ) = w x + w x + u hx + u hx 3 Repository FMIPA 5

6 sehingga diperoleh w + u = 3h Untuk f(x) = x 3 dari persamaan (8) akan menghasilkan diperoleh x 3 dx = w x 3 + w x 3 + 3u hx + 3u hx (x 4 x 4 ) = w x 3 + w x 3 + 3u hx + 3u hx 4 w = 3 h. Jadi untuk n = bentuk kuadratur NCT dapat di sederhanakan menjadi f(x) dx = 3 h[f(x ) + f(x )] 3 4 h [f (x ) + f (x )]. Untuk n = bentuk kuadratur NCT dapat disederhanakan menjadi x3 [ 6 f(x) dx = h 5 f(x ) f(x ) 6 ] 5 f(x ) 8 5 h [f (x ) f (x )]. Untuk n = 3 bentuk kuadratur NCT dapat disederhanakan menjadi x3 [ f(x) dx = h 45 4 f(x ) f(x ) f(x ) 45 ] 4 f(x 3) + h [ f (x ) 35 4 f (x ) f (x ) f (x 3 ) Untuk n = 4 bentuk kuadratur NCT dapat disederhanakan menjadi x3 [ 59 f(x) dx = h f(x ) f(x ) f(x ) ] f(x 4) [ h 7 f (x ) f (x ) f (x 3 ) ] 7 f (x 4 ) 4. CONTOH KOMPUTASI Beberapa contoh simulasi numerik untuk melihat penggunaan metode NCT dalam menghitung integral secara. Simulasi ini menggunakan aplikasi pemrograman MAT- LAB versi (R.). Simulasi akan dilakukan dengan mengambil n = sampai dengan n = 5 untuk masing-masing contoh. ] Repository FMIPA 6

7 Contoh Tentukan nilai integral dari e x dx. Solusi eksak untuk Contoh dengan menggunkan integral secara analitik adalah e x dx = erf()π erf()π = , sedangkan solusi dengan uji numerik dapat dilihat pada Tabel. Tabel : Hasil Uji Numerik Contoh dengan Metode NCT dan NCT n eksak NCT eror NCT eror Contoh Tentukan nilai integrasi dari ex cos(x)x dx. Secara manual bentuk integral Contoh dapat diselesaikan dengan integral parsial. Misalkan u = e x dan dv = cos(x), sehingga du = e x dx dan v = sin(x) Selanjutnya integral dihasikan e x cos(x)xdx = e x sin(x) e x sin(x)dx. u = e x dan dv = sin(x)dx sehingga du = e x dx dan v = cos(x) e x cos(x)dx = e x sin(x) e x sin(x)dx [ = e x sin(x) e x ( cos(x)) = e x sin(x) + e x cos(x) = (ex sin(x) + e x cos(x) ) ] e x ( cos(x))dx e x cos(x)dx = (ex sin() + e x cos()) (ex sin() + e x cos()) = Solusi eksak untuk Contoh adalah , sedangkan solusi dengan uji numerik dapat dilihat pada Tabel. Repository FMIPA 7

8 Tabel : Hasil Uji Numerik Contoh dengan Metode NCT dan NCT n eksak NCT eror NCT NCT eror NCT Contoh 3 Tentukan nilai integrasi dari x3 ln 5x dx. Secara manual bentuk integral Contoh 3 dapat diselesaikan secara analitik dengan integral parsial sehingga menghasilkan ( ) x x 3 4 x4 ln 5xdx = ln 5x 4 6 ( () 4 = 4 ln 5() ) ( () 4 6 ()4 4 ln 5() ) 6 ()4 = Solusi eksak untuk Contoh 3 adalah , sedangkan solusi dengan uji numerik dapat dilihat pada Tabel 3. Tabel 3: Hasil Uji Numerik Contoh 3 dengan Metode NCT dan NCT n eksak NCT eror NCT NCT eror NCT Repository FMIPA 8

9 Contoh 4 Tentukan nilai integrasi dari x 3 e x dx. Solusi analitik dari permasalahan ini adalah (x +) ( ) x 3 e x (x + ) dx = x e x (x + ) + ex ( ) ( ) = () e () (() + ) + e() () e () (() + ) + e() = Solusi eksak untuk Contoh 4 adalah , sedangkan solusi dengan uji numerik dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4: Hasil Uji Numerik Contoh 4 dengan Metode NCT dan NCT n eksak NCT eror NCT NCT eror NCT Dari Tabel sampai dengan Tabel 4 dapat dilihat perubahan nilai eror pada metode NCT dan metode NCT. Semakin tinggi nilai orde-n semakin kecil nilai erornya dimana antara metode NCT dan NCT perubahan terbaik terjadi pada metode NCT DAFTAR PUSTAKA [] Brock, B. W. 99. Generating Functions for Newton-Cotes Formulae Weights and Errors Terms. Applicable Analysis, 47: 3-6. [] Burden, R. L. & Faires, J. D.. Numerical Analysis, Ninth Edition. Brooks/Cole, Boston. [3] Burg, C. O. E. & Degny, E. 3. Derivative-Based Midpoint Quadrature Rule, Applied Matehmatics, 4: [4] Graca, M. M.. A Simple Derivation of Newton-Cotes Formulas with Realistic Errors. Journal of American Mathematical Society, 7: 3-6. [5] Faires, J. D. Numerical Method, Third Edition. Youngstown State Univercity. Repository FMIPA 9

10 [6] Jamei, M, M., Milovanovicb, G. V. & Jafari, M. A. 3. Closed Expressions for Coefficients in Weight Newton-Cotes Quadratures. Filomat, 7(4): [7] Munir, R. 8. Metode Numerik. Penerbit Informatika, Bandung. [8] Zafar, F., Saleem, S. & Burg, C. O. E.. Numerical Algorithms for Newton- Cotes Open Quadrature Formulae. International Journal of Current Research, 6: [9] Zafar, F., Saleem, S. & Burg, C. O. E.. New Derivative Based Open Newton-Cotes Quadrature Rules. Abstract and Applied Analysis, 4: -6. Repository FMIPA