Penggunaan Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium), dan Aturan Simpson Sebagai Hampiran Dalam Integral Tentu

Transkripsi

1 Penggunaan Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium), dan Aturan Simpson Sebagai Hampiran Dalam Integral Tentu Fendi Al Fauzi 15 Desember 1 1 Pengantar Persoalan yang melibatkan integral dalam kalkulus ada kalanya tidak hanya persoalan yang mudah-mudah saja. Untuk fungsi-fungsi yang rumit adakala nya kita akan kesulitan dalam mengintegralkannya. Sebagai contoh 1 e x dx, sin(x) x dx, 1 1 cos(x)dx sangat sulit kita integralkan. Bahkan dengan menerapkan teorema Fundamental Kalkulus dasar Kedua kita mungkin akan kerepotan dengan fungsi-fungsi diatas. Padahal integral pertama sangat penting dalam bidang statistika dan integral kedua sangat penting dalam bidang optik. Akan tetapi bukan berarti integral tersebut tidak dapat kita selesaikan. Penyelesaian integral diatas adalah dengan menggunakan solusi hampiran berupa pengintegralan secara numerik. Jika yang kita bahas adalah pengintegralan secara numerik, maka hasilnya akan berupa angka. Solusi dalam pengintegralan numerik akan berupa hampiran. Namanya hampiran berarti akan ada error (galat). Namun semua kesalahan (galat) dapat kita kontrol untuk mendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak. Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium) Pada kesempatan kali ini saya ingin membahas tentang aturan Trapesium. Jika pada kuliah kalkulus kita sudah menghampiri integral dengan aturan integral Rie- 1

2 mann, maka sekarang kita akan mencoba dengan aturan trapezoidal. Pada aturan ini, fungsi f(x) pada [a, b] dibagi dalam beberapa selang (n). Perhatikan gambar berikut: Kita tahu bahwa integral dari suatu fungsi adalah luas daerah pada fungsi tersebut yang dibatasi oleh selang pengintegralan. Gambar diatas menunjukkan bahwa fungsi f(x) di hampiri dengan luasan trapesium. Jadi menghitung integral fungsi f(x) dengan batas [a, b] adalah jumlah dari luas trapesium. Kita juga ketahui bahwa rumus dari luas trapesium adalah L = h (c + d). Rumus luas ini akan membantu kita untuk mencari luas pada gambar pertama. Karena a = x dan b = x n maka luas sebuah trapesium pada gambar diatas adalah A i = h (f(x i 1) + f(x i )) Untuk lebih akurat, maka kita harus memperbanyak trapesium dalam fungsi tersebut sehingga luas seluruhnya adalah A total = A 1 + A + + A n

3 Dengan A 1 = h (f(x ) + f(x 1 )) A = h (f(x 1) + f(x )). A n = h (f(x n 1) + f(x n )) Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa b a b a f(x)dx = A 1 + A + + A n f(x)dx = h (f(x ) + f(x 1 )) + h (f(x 1) + f(x )) + + h (f(x n 1) + f(x n )) Sehingga hasil diatas dapat kita sederhanakan menjadi b a f(x)dx h [f(x ) + f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n 1 ) + f(x n )] h [ f(x ) + n 1 i=1 f(x i ) + f(x n ) Dengan h = b a n Sekarang kita akan menguji coba aturan ini dengan integral yang kita ketahui nilai eksaknya. 1. Dengan menggunakan aturan Trapezoidal dengan n = 8 hampirilah nilai x dx ] Penyelesaian: Karena n = 8, maka h = 8 = 1 4 =, 5 3

4 i x i f(x i ) c i c i f(x i ) 1 1,5,65,15,5,5,5 3,75,565 1,15 4 1, 1, 5 1,5 1,565 3,15 6 1,5,5 4,5 7 1,75 3,65 6,15 8, 4, 1 4 Jumlah 1,5 Jadi x dx =, 5 (1, 5) =, 15 (1, 5) =, 6875 Jika kita bandingkan dengan nilai eksaknya yaitu x dx = x3 3 = 8 3 =, Kesalahan pada aturan Trapezoidal E n dinyatakan dengan E n = (b a)3 f (c) 1n dengan c adalah suatu titik tengah diantara a dan b. Jika dibandingkan dengan nilai eksaknya maka masih terdapat perbedaan yang cukup signikan. Sehingga kita akan mencoba beralih pada aturan selanjutnya. 4

5 3 Modikasi Aturan Trapezoidal Aturan Trapezoidal diatas dapat dimodikasi sebagai berikut. b a f(x)dx T [f (b) f (a)] h 1 h [f(x ) + f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n 1 ) + f(x n )] [f (b) f (a)] h 1 Sekarang kita akan mencoba mengaplikasikannya dalam contoh diatas. 1. Dengan menggunakan aturan Trapezoidal yang dimodikasi dengan n = 8 hampirilah nilai Penyelesaian: Karena n = 8, maka h = 8 = 1 4 =, 5 x dx i x i f(x i ) c i c i f(x i ) 1 1,5,65,15,5,5,5 3,75,565 1,15 4 1, 1, 5 1,5 1,565 3,15 6 1,5,5 4,5 7 1,75 3,65 6,15 8, 4, 1 4 Jumlah 1,5 Jadi T =, 5 (1, 5) =, 15 (1, 5) T =, 6875 Selanjutnya f (x) = x f () = dan f () = 4 maka [f (b) f (a)] h 1 = (4 )(, 5) 1 = 4(, 65) 1 =, 833 5

6 Sehingga x dx, 6875, 833, hasilnya sama dengan nilai eksak. 4 Aturan Simpson (Parabolik) Jika pada aturan Trapezoidal, kurva f(x) dihampiri dengan ruas-ruas garis. Kali ini kita akan mencoba menghampirinya dengan ruas-ruas parabola dengan partisi (pembagian) selang [a, b] menjadi n subselang dengan panjang h = (b a). Akan teta- n pi pada hampiran kali ini n haruslah bilangan genap. Kemudian kita mencocokkan ruas-ruas parabola dengan titik-titik yang ada di dekatnya. perhatikan gambar. Dengan menggunakan rumus luas sebagai berikut 6

7 maka akan menuntun kita pada sebuah hampiran yang disebut Aturan Barabolic (Parabolic Rule). Aturan ini disebut juga Aturan Simpson berdasarkan nama ahli matematikawan Inggris, Thomas Simpson ( ). b a f(x)dx h 3 [f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n ) + 4f(x n 1 ) + f(x n )]. Dengan menggunakan aturan Parabolic dengan n = 8 hampirilah nilai x dx Penyelesaian: Karena n = 8, maka h = 8 = 1 4 =, 5 i x i f(x i ) c i c i f(x i ) 1 1,5,65 4,5,5,5,5 3,75,565 4,5 4 1, 1, 5 1,5 1, ,5 6 1,5,5 4,5 7 1,75 3,65 4 1,5 8, 4, 1 4 Jumlah 3 Jadi, 1 x dx, 5 3 (3), (3), Luar biasa. Hasilnya sama dengan nilai eksak. Kesalahan pada aturan Parabolik adalah E n = (b a)5 18n f (4) (c) 4 dengan f (4) (x) adalah turunan keempat dan c adalah suatu titik tengah diantara a dan b. 7

8 Dari kesalahan diatas dapat kita simpulkan bahwa jika turunan keempat dari fungsi f(x) bernilai maka kita akan mendapatkan nilai eksak. 5 Contoh Soal Terapan Setelah kita mempelajari kedua metode diatas maka kini saatnya kita aplikasikan dalam memecahkan masalah integral. 1. Gunakan aturan Trapezoidal dan aturan Parabolik untuk menghampiri luas daerah di pinggir danau seperti pada gambar berikut. digunakan adalah kaki (feet). Dengan satuan yang Penyelesaian : Dengan aturan trapezoidal mudah saja kita mendapatkan hampiran luas danau tersebut. A h [f(x ) + f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n 1 ) + f(x n )] 1 [75 + (71) + (6) + (45) + (45) + (5) + (57) + (6) + 59] 5 [914] A 457 Jadi, Dengan menggunakan aturan Trapezoidal Luas Danau tersebut adalah 457 kaki Dengan aturan Parabolik kita dapatkan 8

9 A h 3 [f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n ) + 4f(x n 1 ) + f(x n )] 1 [75 + 4(71) + (6) + 4(45) + (45) + 4(5) + (57) + 4(6) + 59] (137) 4566, Jadi, Dengan menggunakan aturan Parabolik Luas Danau tersebut adalah 4566,6667 kaki. Gunakan aturan Parabolik untuk menghampiri jumlah air yang diperlukan untuk mengisi kolam renang yang mempunyai bentuk seperti pada gambar dibawah. dengan kedalaman 6 kaki. Satuan yang digunakan adalah kaki. Penyelesaian: Dengan aturan Parabolik kita dapatkan A h 3 [f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n ) + 4f(x n 1 ) + f(x n )] 3 [3 + 4(4) + (3) + 4(1) + (18) + 4(15) + (1) + 4(11) + (1) + 4(8) + ] Luas kolam renang tersebut adalah 465 kaki. untuk mengisi kolam tersebut adalah Jumlah air yang diperlukan V = L kolam kedalaman V = = 79 9

10 jadi, Jumlah air yang diperlukan untuk mengisi kolam tersebut adalah 79 kaki 3 Sumber : 1. Purcell, Varberg, Rigdon. 7. Calculus 9 th. Prentice Hall. 1