STRATEGI VAKSINASI KONTINU PADA MODEL EPIDEMIK SVIR TONAAS K W Y MARENTEK

Transkripsi

1 STRATEGI VAKSINASI KONTINU PADA MODEL EPIDEMIK SVIR TONAAS K W Y MARENTEK SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Strategi Vaksinasi Kontinu pada Model Epidemik SVIR adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau kutipan dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan diantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus Tonaas Marentek NIM G55938

3 ABSTRACT TONAAS K W Y MARENTEK. A Continuous Vaination Strategy in the SVIR Epidemi Model. Supervised by PAIAN SIANTURI and ALI KUSNANTO. Vaination is onduted to minimize the spread of a disease. The vaination is usually done several times within a fixed time interval. In the SVIR model, it is assumed that individuals do not get immediate immunity following a vaination program. So aording to proess of vaination on SVIR model, there are two strategies, i.e. the ontinuous vaination strategy (CVS) and the pulse vaination strategy (PVS). In this study, only the CVS strategy in epidemi model SVIR is onsidered. Results of the study indiate that dynamis of the CVS system depends on the basi reprodutive number. If the basi reprodutive number is less than one, then the disease-free fixed point is asymptotially stable. It means that the disease will eventually disappear from the population. Conversely, if the basi reprodutive number is greater than one, then the endemi fixed point is asymptotially stable, whih means that the disease will remain exist in the population. Simulation result shows that the vaination would minimize the spread of disease by reduing the basi reprodutive number. If the time for the vainated reipients to obtain the immunity, as well as a possibility of vainated reipients to be infeted are negleted, then the disease will be eradiated. This ondition is alled an over-evaluating effet of vaination. Keywords: vaination, SVIR, ontinuous vaination strategy, stability.

4 RINGKASAN TONAAS MARENTEK. Strategi Vaksinasi Kontinu pada Model Epidemik SVIR. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO. Vaksinasi merupakan metode yang umum digunakan untuk mengendalikan penyebaran penyakit antara lain aar, ampak, polio, tetanus, pertusis, TBC, hepatitis B dan lain-lain. Berdasarkan teori epidemik, penyebaran penyakit menular bisa digambarkan dalam bentuk kompartemen S, I dan R yang pertama kali dikemukakan oleh Kermark dan MKendrik pada tahun 97. Model SVIR dianggap sebagai penambahan kompartemen V ke dalam model SIR. Pada SVIR, populasi dibagi kedalam empat kelompok yaitu, kelompok individu yang sehat tetapi rentan (S), kelompok individu yang mengalami proses vaksinasi (V), kelompok individu yang telah terinfeksi (I) dan kelompok individu yang kebal (R). Oleh karena itu, berdasarkan proses vaksinasi terdapat dua strategi yaitu strategi vaksinasi kontinu (CVS) dan strategi vaksinasi terputus (PVS). Dimana CVS adalah strategi vaksinasi dengan ara melakukan vaksinasi seara terus menerus terhadap individu-individu rentan. Sedangkan PVS adalah suatu strategi vaksinasi yang dilakukan hanya sekali atau bisa juga lebih dari sekali tetapi dengan jangka waktu tertentu. Dalam penelitian ini hanya dibahas strategi vaksinasi kontinu. Hasil analisis kestabilan menunjukkan bahwa dinamika CVS ini sepenuhnya bergantung pada bilangan reproduksi dasar. Titik tetap bebas penyakit akan stabil asimtotik ketika bilangan reproduksi dasar kurang dari satu yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi dan pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Sedangkan titik tetap endemik akan stabil asimtotik ketika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu yang berarti bahwa penyakit akan tetap ada dalam populasi. Selanjutnya, hasil matematis menunjukkan bahwa vaksinasi bermanfaat untuk pengendalian penyakit yaitu dengan mereduksi bilangan reproduksi dasarnya dan menurunkan fraksi individu yang terinfeksi. Ketika yang berarti tidak dilakukan proses vaksinasi maka bilangan reproduksi dasar sistem CVS akan menjadi bilangan reproduksi dasar model SIR. Sedangkan ketika yaitu proses vaksinasi dilakukan akan terdapat dua kasus yaitu kemungkinan individu yang divaksinasi terinfeksi diabaikan ( ) dan kemungkinan individu yang divaksinasi masih memiliki kemungkinan terinfeksi ( ). Pertama, ketika kemungkinan individu penerima vaksin untuk terinfeksi diabaikan ( ). Hal ini berarti bahwa efektifitas vaksin sangat tinggi sehingga individu yang divaksinasi tidak akan terinfeksi penyakit. Seara matematis bilangan reproduksi dasarnya yaitu R akan tereduksi menjadi R, sehingga untuk nilai yang semakin besar R akan mendekati nol. Dapat disimpulkan bahwa ketika efektifitas vaksin sangat tinggi, sehingga individu penerima vaksin tidak akan terinfeksi maka penyakit akan bisa diberantas dengan strategi apapun. Hal ini disebut over evaluating dimana akan menghilangkan nilai kondisi untuk memberantas penyakit dan penyakit selalu dapat diberantas dengan strategi vaksinasi apapun.

5 Kedua, ketika individu penerima vaksin masih memiliki kemungkinan untuk terinfeksi seara matematis bilangan reproduksi dasarnya akan sama dengan R dan untuk yang semakin besar R akan menjadi R. Dimana R adalah kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Jika R maka akan diperoleh nilai kritis sehingga strategi vaksinasi yang harus dilakukan haruslah lebih dari. Dari hasil simulasi kondisi atau strategi yang diperlukan untuk memberantas penyakit bergantung pada nilai-nilai parameter dan. Ketika yang berarti bahwa efektifitas vaksin tinggi sehingga individu yang divaksinasi besar kemungkinannya mendapatkan kekebalan dari pada terinfeksi maka akan semakin melemahkan kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit ( semakin keil) atau akan semakin meningkatkan efisiensi strategi vaksinasi ini. Hasil simulasi terhadap penyakit ampak dengan menggunakkan nilainilai parameter yang diambil dari d Onofrio et al. (7) dan dengan asumsi ketika bilangan reproduksi dasar R.5. Sehingga diperoleh nilai kritis laju individu rentan yang divaksinasi. Nilai kritis ini akan lebih keil jika kemungkinan individu yang divaksinasi untuk terinfeksi lebih keil dari laju ratarata individu yang divaksinasi mendapatkan kekebalan ( ). Sehingga minimal atau minimal.74946% populasi rentan harus divaksinasi setiap hari untuk memberantas penyakit ampak dengan strategi vaksinasi CVS. Kata kuni : Vaksinasi, Model SVIR, Strategi vaksinasi kontinu

6 voor ta pe Zebe Wempie Marentek

7 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun Hak Cipta dilindungi Undang-Undang. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa menantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

8 STRATEGI VAKSINASI KONTINU PADA MODEL EPIDEMIK SVIR TONAAS K W Y MARENTEK Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

9 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Jaharuddin, M.Si

10 Judul Tesis : Strategi Vaksinasi Kontinu Pada Model Epidemik SVIR Nama : Tonaas Kabul Wangkok Yohanis Marentek NIM : G55938 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Paian Sianturi Ketua Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi S Matematika Terapan Dekan Sekolah Pasasarjana IPB Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.S. Agr. Tanggal Ujian : 9 Agustus Tanggal Lulus :

11 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada sang Khalik Allah Tritunggal atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember ini adalah vaksinasi pada penyebaran penyakit, dengan judul Strategi Vaksinasi Kontinu pada Model Epidemik SVIR. Terima kasih penulis uapkan kepada Bapak Dr. Paian Sianturi dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si masing-masing selaku ketua dan anggota Komisi Pembimbing, serta bapak Dr. Jaharuddin, M.Si selaku Penguji Luar Komisi dan selaku dosen Program Studi Matematika Terapan yang telah banyak memberikan saran. Uapan terima kasih juga penulis sampaikan pada seluruh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus Tonaas Marentek

12 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Manado Sulawesi Utara pada tanggal 3 Januari 98 dari bapak Wempie Marentek (Alm) dan ibu Yohana Laykesso. Penulis merupakan putra ketujuh dari tujuh bersaudara. Tahun 998 penulis lulus dari SMU Negeri 5 Balikpapan dan pada tahun yang sama menempuh pendidikan di Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik UNSRAT Manado, namun pada tahun penulis pindah di program studi Matematika, FMIPA UNSRAT Manado, lulus pada tahun 7. Tahun 8 sampai 9, penulis menjadi karyawan bank Danamon Manado. Tahun 9, penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan pada Sekolah Pasasarjana Institut Pertanian Bogor.

13 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR xi DAFTAR TABEL... xii DAFTAR LAMPIRAN. xiii I PENDAHULUAN.... Latar Belakang... Tujuan Penelitian....3 Metode Penelitian.. II LANDASAN TEORI. 3. Sistem Persamaan Diferensial Titik Tetap. 3.3 Kondisi Routh-Hurwitz. 5.4 Bilangan Reproduksi Dasar... 6 III MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT 7 3. Model SIR Model SVIR dan Strategi Vaksinasi Kontinu 8 IV HASIL DAN PEMBAHASAN Penentuan Titik Tetap Analisis Kestabilan 4.. Kestabilan Titik Tetap Bebas Penyakit Kestabilan Titik Tetap Endemik Efek Dari Strategi Vaksinasi CVS Kasus Kasus.. V KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran. 4 DAFTAR PUSTAKA. 5 LAMPIRAN.. 7

14 DAFTAR TABEL Halaman Kondisi Kestabilan Titik Tetap... 5 Bilangan Reproduksi Dasar.... 8

15 DAFTAR GAMBAR Halaman Diagram transfer penyebaran penyakit model SIR... 7 Diagram transfer penyebaran penyakit model SVIR dengan strategi CVS Dinamika populasi S, V, I dan R dengan R Dinamika populasi S, V, I dan R dengan R Dinamika populasi I terhadap waktu dengan R Bilangan Reproduksi Dasar pada kasus Dinamika populasi S, V, I dan R, pada kasus dan R Dinamika populasi S, V, I dan R, pada kasus dan R Bilangan Reproduksi Dasar pada kasus Bilangan Reproduksi Dasar untuk memberantas penyakit pada kasus dan Bilangan Reproduksi Dasar untuk memberantas penyakit pada kasus dan....

16 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Bukti Teorema Kriteria Routh-Hurwitz... 8 Program menari titik tetap strategi vaksinasi CVS Menari nilai a, a dan a Dinamika Populasi untuk R Dinamika Populasi untuk R Dinamika Populasi I untuk R Sifat-sifat Matematis Bilangan Reproduksi Dasar Kondisi Bilangan Reproduksi Dasar untuk memberantas penyakit Dinamika Populasi S, V, I dan R untuk kasus dan R Dinamika Populasi S, V, I dan R untuk kasus dan R Kondisi Bilangan Reproduksi Dasar untuk memberantas penyakit pada kasus dan Kondisi Bilangan Reproduksi Dasar untuk memberantas penyakit pada kasus dan.... 4

17 I PENDAHULUAN. Latar Belakang Vaksinasi merupakan metode yang umum digunakan untuk mengendalikan penyebaran penyakit seperti aar, ampak, polio, tetanus, pertusis, TBC, hepatitis B dan lain-lain. Sekarang ini vaksinasi rutin disediakan di semua negara-negara berkembang terhadap semua penyakit. Pemberantasan penyakit aar yang terakhir terlihat dalam kasus alami pada tahun 977 telah dianggap sebagai keberhasilan paling spektakuler vaksinasi (Anonym, 5). Menurut Ramali & Pamoentjak (5), vaksin merupakan suspensi bibit penyakit yang hidup tetapi telah dilemahkan atau dimatikan untuk menimbulkan kekebalan aktif terhadap suatu penyakit sehingga dapat menegah atau mengurangi pengaruh infeksi oleh organisme alami. Sedangkan untuk menyelesaikan proses vaksinasi biasanya ada jadwal yang berbeda untuk penyakit yang berbeda ataupun untuk penerima vaksin yang berbeda. Berdasarkan teori epidemik dari Kermark & MKendrik yang dikemukakan pertama kali pada tahun 97, penyebaran penyakit menular biasanya dapat digambarkan seara matematis oleh model-model kompartemen seperti model SIR atau SIRS dengan setiap huruf mengau pada kompartemen dimana individu dapat berada. Oleh karena itu vaksinasi juga dapat dianggap sebagai penambahan kompartemen seara alami ke dalam model epidemik dasar SIR sehingga modelnya akan menjadi SVIR dimana populasi dibagi ke dalam empat kelompok yaitu, kelompok individu yang sehat tetapi rentan (S), kelompok individu yang mengalami proses vaksinasi (V), kelompok individu yang terinfeksi (I) dan kelompok individu yang telah sembuh dari penyakit atau individu yang telah mendapatkan kekebalan terhadap penyakit baik seara alami ataupun akibat dari vaksinasi (R). Model penyebaran penyakit SVIR ini, berdasarkan prosesnya terdapat dua strategi vaksinasi yaitu strategi vaksinasi yang kontinu (CVS) dan strategi vaksinasi yang terputus (PVS). Dimana strategi CVS dapat dikenali sebagai perilaku dari individu-individu rentan yang dilakukan vaksinasi seara terus menerus sedangkan strategi PVS adalah suatu proses vaksinasi yang dilakukan

18 hanya sekali atau bisa juga lebih dari sekali tetapi dengan jangka waktu tertentu yang telah ditetapkan (musiman). Pada penelitian ini, hanya akan dibahas strategi vaksinasi kontinu (CVS) pada model epidemik SVIR.. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah :. Mengkaji strategi vaksinasi kontinu pada model epidemik SVIR.. Mengkaji efek dari strategi vaksinasi kontinu dengan menganalisis seara matematis. 3. Simulasi efek vaksinasi kontinu terhadap jenis penyakit ampak yang sesuai dengan model SVIR..3 Metode Penelitian Dalam penelitian ini akan dilakukan dengan pendekatan matematis dan studi literatur. Langkah-langkah yang akan dilaksanakan dalam penelitian ini:. Menganalisis strategi vaksinasi kontinu dengan menentukan kesetimbangannya, memeriksa kestabilannya dan menentukan bilangan reproduksi dasarnya.. Menganalisis seara matematis efek dari strategi vaksinasi kontinu berdasarkan bilangan reproduksi dasarnya. 3. Mengimplementasikan dengan ara melakukan simulasi terhadap penyakit ampak yang sesuai dengan model SVIR dengan menggunakan perangkat lunak Mathematia 7..

19 3 II LANDASAN TEORI. Sistem Persamaan Diferensial (SPD) Definisi (SPD Linear) Suatu SPD yang dinyatakan sebagai dx dt x Ax b, x() x (.) dengan A adalah matriks koofisien konstan berukuran n n dan b vektor konstan. Sistem tersebut dinamakan sistem persamaan diferensial linear orde dengan kondisi awal x() x. Jika b sistem dikatakan homogen dan dikatakan takhomogen jika b. Definisi (SPD Tak Linear) Suatu SPD yang dinyatakan sebagai (Tu 994) x f ( t, x) (.) dengan x = dan f(t,x) = dimana f merupakan fungsi tak linear pada disebut sistem persamaan diferensial tak linear. (Braun 983) Definisi 3 (SPD Mandiri) Misalkan diberikan suatu SPD orde sebagai berikut :, n x (.3) dengan f merupakan fungsi kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. Persamaan (.3) disebut persamaan diferensial mandiri (autonomous) karena tidak memuat t seara eksplisit di dalamnya. (Tu 994). Titik Tetap Definisi 4 (Titik Tetap) Misalkan diberikan suatu SPD sebagai berikut

20 4 (.4) Titik x disebut titik tetap atau titik kritis ataupun disebut juga titik kesetimbangan jika f( x ). Definisi 5 (Titik Tetap Stabil) (Tu 994) Misalkan x adalah titik tetap SPD mandiri dan x(t) adalah solusi dengan nilai awal dengan x. Titik x dikatakan titik tetap stabil, jika untuk setiap, terdapat, sedemikian sehingga x x r, maka solusi x(t) memenuhi x untuk setiap t>. Definisi 6 (Titik Tetap Stabil Asimtotik Lokal) (Vershulst 99) Titik x dikatakan titik tetap stabil asimtotik jika titik x stabil dan terdapat sedemikian sehingga jika x x maka lim x( t) x, dengan x x (). Definisi 7 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) t (Szidarovzky & Bahill 998) Misalkan A adalah matriks n n, suatu vektor tak nol x di dalam disebut vektor eigen dari A, jika suatu skalar berlaku : yang disebut nilai eigen dari A Ax x (.5) Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen berukuran n n, maka persamaan (.5) dapat dituliskan sebagai berikut : n yang ( A I) x (.6) dengan I adalah matriks identitas. Persamaan (.5) memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika det( A I ) yang disebut dengan persamaan karakteristik. Analisis Kestabilan Titik Tetap (Anton 995) Analisa kestabilan untuk setiap titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai eigen yakni :

21 5. Sistem x Ax adalah stabil jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari A bagian realnya bernilai negatif.. Sistem x Ax adalah tidak stabil jika dan hanya jika minimal satu nilai eigen dari A bagian realnya bernilai positif. (Borrelli & Coleman 998).3 Kondisi Routh Hurwitz Misalkan bilangan-bilangan real,. Semua k ( k ) ( k ) nilai eigen dari persamaan karakteristik p( ) a a... a k mempunyai bagian real yang negatif jika determinan dari matriks positif. Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz H sebagai berikut j H adalah j H j dengan H ( h ) dan j lm h lm a, untuk l m k l m, untuk l m, untuk l m atau l k m semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang negatif (titik tetap stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz positif, yaitu : H j, untuk j,,..., k sehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz untuk suatu k, k =,3,4 disebutkan bahwa titik tetap dan hanya jika (untuk k =,3,4),. k=,. k=3, 3. k=4, stabil jika (Edelstein-Keshet 998) Untuk kasus k 3, kriteria Routh-Hurwitz disajikan dalam teorema berikut.

22 6 Teorema Misalkan A,B,C bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p( = + adalah negatif jika dan hanya jika A,C bernilai positif dan AB>C. Bukti : (Lampiran ).4 Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan Reproduksi Dasar ) adalah rata-rata banyaknya individu rentan yang terinfeksi seara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Kondisi yang akan timbul adalah salah satu diantara kemungkinan berikut :. Jika, maka penyakit akan menghilang.. Jika R, maka penyakit akan menetap (endemik). 3. Jika, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah. (Blyuss & Kyryhko 5)

23 7 III MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT 3. Model SIR Model dasar yang digunakan untuk menggambarkan penyebaran penyakit adalah model epidemik SIR. Model SIR ini dikemukakan oleh Kermark & MKendrik pada tahun 97 sebagai model dasar dari pengembangan pemodelan epidemiologi. Model ini mempunyai tiga kompartemen yang menggambarkan proses penyebaran penyakit pada suatu populasi. Kompartemen-kompartemen tersebut adalah : Suseptible (S) yaitu kelompok individu yang sehat tetapi dapat terinfeksi penyakit, Infeted (I) yaitu kelompok individu yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit dan Reovered (R) yaitu kelompok individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit. Menurut Hethote (), diasumsikan bahwa adalah laju rekrutmen dan laju kematian alami dari populasi, adalah laju infeksi atau laju transmisi penularan penyakit ketika individu rentan bersinggungan/kontak dengan individu yang terinfeksi dan adalah laju pemulihan individu yang terinfeksi dan individu-individu yang pulih atau sembuh yang diasumsikan memiliki kekebalan (kekebalan alami) terhadap penyakit. Asumsi-asumsi tersebut dapat digambarkan ke dalam bentuk kompartemenkompartemen pada Gambar berikut. S I R Gambar Diagram transfer penyebaran penyakit model SIR Dari kompartemen pada Gambar di atas dapat disusun model matematika yang dituliskan sebagai berikut : ds dt di dt dr dt S SI SI I I I R (3.) dengan semua parameter pada sistem (3.) adalah bernilai positif.

24 8 3. Model SVIR dan Strategi Vaksinasi Kontinu (CVS) Berdasarkan teori epidemik dari Kermark dan MKendrik, penyebaran penyakit menular dapat digambarkan seara matematis oleh model-model kompartemen SIR dengan setiap huruf mengau pada kompartemen dimana individu berada. Oleh karena itu Vaksinasi juga dapat dianggap sebagai penambahan kompartemen V seara alami ke dalam model epidemik dasar SIR. Kribs-Zaleta & Velaso-Hernandez (), menambahkan kompartemen V ke dalam model SIS dan mempelajari penyakit pertusis dan TBC, sedangkan Arino et al. (3) menambahkan kompartemen V ke dalam model SIRS, Kribs- Zaleta & Martheva () mempelajari efek dari kampanye vaksinasi pada penyebaran suatu penyakit non-fatal seperti hepatitis A dan hepatitis B, baik pada tahap infeksi akut ataupun kronis. Alexander et al. (4) dan Shim (6) menggunakan model SVIR untuk mempelajari model dinamika penyakit influenza (flu) dengan vaksinasi. Semua model kontinu di atas yang berasumsi bahwa individu memperoleh kekebalan setelah divaksinasi dan waktu bagi individu mendapatkan kekebalan atau waktu untuk menyelesaikan proses vaksinasi diabaikan. Pada kenyataannya segera setelah individu yang rentan memulai proses vaksinasi, individu itu akan berbeda dengan individu yang rentan tetapi individu yang divaksinasi harus dibedakan dengan individu yang pulih karena telah mendapatkan kekebalan akibat divaksinasi ataupun kekebalan setelah sembuh dari penyakit. Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan vaksinasi dalam model dasar SIR, model SVIR ini mengasumsikan bahwa individu yang divaksinasi tidak mendapatkan kekebalan segera artinya bahwa individu yang divaksinasi masih memungkinkan terinfeksi atau individu dalam V akan pindah ke R saat mendapatkan kekebalan akibat divaksinasi. Strategi vaksinasi kontinu pada model SVIR ini berdasar pada model dasar SIR untuk suatu penyakit yang tidak menyebabkan kematian (non fatal) misalkan penyakit ampak. Menurut Alexander et al. (4), Arino et al. (4), Kribz- Zaleta & Velaso-Hernandez () total populasi akan berada pada tingkat konstan, maka strategi vaksinasi kontinu ini mengasumsikan bahwa adalah laju rekrutmen dan laju kematian alami dari populasi, adalah laju

25 9 transmisi/penularan penyakit ketika individu yang rentan berinteraksi dengan individu yang terinfeksi dan adalah laju pemulihan individu yang terinfeksi dan individu yang pulih diasumsikan memiliki kekebalan alami terhadap penyakit. Xianning et al. (7) memperkenalkan strategi vaksinasi kontinu pada model epidemik SVIR. Strategi vaksinasi kontinu pada model SVIR seara matematis adalah penambahan kompartemen V pada model dasar SIR, dimana V adalah kelompok baru yang dibagi dari kelompok S dan menunjukkan kepadatan individu yang telah memulai proses vaksinasi. Individu dalam V memerlukan waktu untuk mendapatkan tingkat proteksi terhadap penyakit selama proses vaksinasi dan akan berpindah ke R saat mendapatkan kekebalan. Oleh karena itu, berdasarkan diagram transfer kompartemen model SIR maka dapat digambarkan diagram transfer model kompartemen sebagai berikut dengan asumsi : a) adalah laju dimana individu yang rentan dipindahkan ke dalam proses vaksinasi. b) adalah laju rata-rata ( / adalah waktu rata-rata) bagi individu yang mengalami proses vaksinasi untuk memperoleh kekebalan. ) Sebelum memperoleh kekebalan, individu masih memiliki kemungkinan terinfeksi dengan laju transmisi adalah. Diasumsikan lebih keil dari karena individu yang memperoleh vaksinasi mungkin memiliki kekebalan parsial selama proses vaksinasi. S I R V Gambar Diagram transfer penyebaran penyakit model SVIR dengan strategi CVS

26 Asumsi-asumsi diatas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial berikut : ds dt dv dt di dt dr dt S SI S S VI V V SI VI I I V I R (3.) dengan semua parameter bernilai positif.

27 4. Penentuan Titik Tetap IV HASIL DAN PEMBAHASAN Analisis titik tetap pada sistem persamaan diferensial sering digunakan untuk menentukan suatu solusi yang tidak berubah terhadap waktu (solusi konstan). Titik tetap dari persamaan diferensial (3.) akan diperoleh dengan ds dv di menentukan,, dt dt dt ds dv di, dan dt dt dt direduksi menjadi : ds dt dv dt di dt tidak bergantung pada persamaan S SI S S VI V V SI VI I I sehingga akan diperoleh persamaan-persamaan di bawah ini : ds dt dv dt di dt dr dan. Karena persamaan dt dr dt, maka (3.) dapat (4.) S VI V V (4.) S SI S SI VI I I dengan menyelesaikan seara bersamaan maka akan diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik.. Titik tetap bebas penyakit E ( S, V, I),,. Titik tetap endemik E ( S, V, I ) dengan S S, V I I I I dan I adalah akar positif dari g() I A I A I A dengan : A ( ) 3

28 A A ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 3 4. Analisis Kestabilan Misalkan pada persamaan (4.) dinotasikan sebagai berikut : f ( S, V, I) S SI S g( S, V, I) S h( S, V, I) VI V V SI VI I I (4.3) dengan melakukan pelinearan persamaan-persamaan di atas akan diperoleh matriks Jaobi sebagai berikut. J ( S, V, I) f f f S V I g g g S V I h h h S V I I S I I I S V V 4.. Kestabilan Titik Tetap Bebas Penyakit berikut : Pelinearan pada titik tetap E akan menghasilkan matriks Jaobi sebagai J E S V S V sehingga akan diperoleh nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det J E I. Persamaan karakteristik dari J E adalah : 3 S V S V ( ) R 3 dengan S V

29 3 S V R ( ) (4.4) yang selanjutnya disebut sebagai bilangan reproduksi dasar penyebaran penyakit pada strategi vaksinasi CVS. Perhatikan bahwa nilai eigen yang kesemuanya adalah bilangan real akan negatif jika R. Jadi kestabilan di titik tetap bebas penyakit bergantung pada R. Kondisi stabil yang dipenuhi ketika R dimana R disini merupakan bilangan reproduksi dasar individu yang terinfeksi seara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk kedalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Kondisi stabil asimtotik ketika R karena individu yang terinfeksi hanya akan menularkan kurang dari satu individu baru yang terinfeksi yang artinya penyakit akan menghilang dari populasi. Sebaliknya, ketika R merupakan kondisi yang tidak stabil karena penyakit dapat bertahan dan meningkat dalam populasi. 4.. Kestabilan Titik Tetap Endemik berikut : Pelinearan pada titik tetap E akan menghasilkan matriks Jaobi sebagai J E I S I I S V I V S I S V I S V Jika semua nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jaobi J E mempunyai bagian real negatif, maka solusi titik tetap endemik adalah stabil. Nilai eigen tersebut dapat ditentukan dengan menghitung det J E I dan akan diperoleh persamaan karakteristik J E yaitu :

30 4 3 a a a 3 (4.5) dengan a trae J E S S V J J J J J J a V I S I 3 3 J J J3 J33 J3 J33 V S I V I a3 det J E S I V S Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz kondisi kestabilan sistem (3.) pada titik tetap endemik akan stabil jika dan hanya jika persamaan (4.5) memenuhi syarat-syarat berikut : a, a dan aa a 3. Perhatikan bahwa koefisien-koefisien pada persamaan (4.5) bernilai positif, berarti untuk memeriksa kestabilan titik tetap endemik ukup dibuktikan bahwa aa a 3. Sehingga : S aa a3 S I V I S I S V V V S I S I V I S I S V V V S I S I S I S I S V V berdasarkan kriteria Routh-Hurwits maka disimpulkan titik tetap endemik E adalah stabil asimtotik jika titik tetap endemik ini ada. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa keberadaan titik tetap E akan dipengaruhi oleh R yaitu akan ada jika R. Nilai I adalah akar positif dari g() I A I A I A dengan A A A 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 3 Karena R maka persamaan g() I A I A I A dapat diubah menjadi 3

31 5 g( I) A I A I A ( R ) dengan A 4 ( )( )( ). 4 Keberadaan titik tetap endemik yaitu E dimana I adalah akar real yang bernilai positif dari persamaan g( I) A I A I A ( R ) terpenuhi jika R. Jadi 4 titik tetap endemik E akan ada dan stabil jika R. Tabel Kondisi Kestabilan Titik Tetap Kondisi E E R Stabil asimtotik Tidak ada R Tidak stabil Stabil asimtotik Tabel menunjukkan bahwa dinamika sistem pada strategi vaksinasi CVS adalah sepenuhnya ditentukan oleh bilangan reproduksi dasar. Ketika R titik tetap bebas penyakit E akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi atau dengan kata lain pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Ketika R titik tetap endemik E akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit akan tetap ada dan menyebar dalam populasi. _. _. S(t).... V(t) I(t) _ R(t) Gambar 3 Dinamika Populasi S,V, I dan R dengan R.5833< Pada Gambar 3 di atas, diberikan parameter.,.5,.5,.6 dan.6 dengan nilai awal S ().3, V ()., I ().3, R () dan.8 yaitu 8% populasi rentan divaksinasi yang

32 6 menyebabkan R.5833 terlihat bahwa kurva S, V, I dan R akan menuju ke titik tetapnya yaitu (., ,, ). Kurva I akan menuju nol dan stabil yang artinya bahwa pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Program untuk menampilkan Gambar 3 dapat dilihat pada lampiran 4. _. _. S(t).... V(t) I(t) _ R(t) Gambar 4 Dinamika Populasi S,V, I dan R dengan R,787 Sedangkan pada gambar 4, dengan. yaitu % populasi rentan divaksinasi yang menyebabkan R.787 kurva S, V, I dan R akan menuju titik tetapnya yaitu (.8574,.3463,.,.67966). Kurva I akan stabil menuju. yang artinya bahwa penyakit akan tetap ada dalam populasi. Progam untuk menampilkan Gambar 4 dapat dilihat pada lampiran t Gambar 5 Dinamika Populasi I terhadap waktu dengan R.5833

33 7 Pada Gambar 5, diberikan nilai awal yang berbeda yaitu I().3, I().4, I().5 dan I ().6 terlihat pada akhirnya kurva I yaitu populasi yang terinfeksi akan stabil menuju nol untuk t yang semakin besar sehingga nilai awal tidak berpengaruh jika R berapapun nilai awalnya, pada akhirnya akan menuju nol. Program untuk menampilkan Gambar 5 dapat dilihat pada lampiran Efek Dari Strategi Vaksinasi CVS Hasil analisis pada strategi vaksinasi CVS menunjukkan bahwa dinamika sistem sepenuhnya ditentukan oleh bilangan reproduksi dasar. Sehingga efek dari vaksinasi bergantung pada bilangan reproduksi dasarnya. Seara matematis diuraikan sifat-sifat bilangan reproduksi dasar strategi vaksinasi CVS sebagai berikut :. Ketika yang berarti tidak ada vaksinasi, maka R akan tereduksi menjadi R R yang adalah bilangan reproduksi dasar model SIR.. Ketika, maka akan terdapat dua kasus, yaitu : i. Kasus yang berarti bahwa individu yang divaksinasi tidak akan terinfeksi maka bilangan reproduksi dasarnya menjadi R R dan untuk nilai yang semakin besar ( )( ) maka R akan mendekati nol. ii. Kasus yang berarti bahwa individu yang divaksinasi masih memiliki kemungkinan untuk terinfeksi maka bilangan reproduksi dasarnya adalah sama dengan R dan untuk nilai maka R akan mendekati nilai ( )( ). yang semakin besar Sehingga untuk menganalisa efek dari strategi vaksinasi CVS diasumsikan bahwa tanpa vaksinasi penyakit akan endemik atau tetap ada dalam populasi ( maka R ).

34 8 Tabel Bilangan Reproduksi Dasar Kasus R R lim R ( )( ) R lim R R R Untuk mengamati efek dari strategi vaksinasi CVS ini perlu diimplementasikan kedalam suatu ontoh penyakit yang sesuai dengan model SVIR dalam hal ini penyakit ampak. Sehingga dilakukan simulasi komputer dengan bantuan perangkat lunak Mathematia 7. dengan nilai-nilai parameter yang diambil dari d Onofrio et al (7).. merupakan laju rekrutmen atau laju kematian alami manusia, yakni. L hidup. D /hari terinfeksi mendapatkan kekebalan..3653/hari, dimana L adalah angka harapan, D 7 hari adalah waktu rata-rata individu yang 3. Dimisalkan R.5 maka diperoleh nilai.5/hari adalah waktu rata-rata individu yang rentan terinfeksi sebelum mengalami proses vaksinasi Kasus Dimisalkan individu yang divaksinasi tidak akan terinfeksi ( ) yang berarti bahwa efektivitas vaksin sangat tinggi. Seara matematis R akan sama dengan R yang akan menuju ke nol untuk nilai yang semakin besar. Karena lim R maka dapat disimpulkan bahwa penyakit bisa diberantas dengan

35 9 strategi CVS. Namun jika kemungkinan bagi penerima vaksin terinfeksi diabaikan, hal ini dapat menyebabkan over evaluating dari efek vaksinasi CVS. R R.... R Gambar 6 Bilangan Reproduksi Dasar pada kasus Pada Gambar 6 terlihat bahwa R R akan stabil turun menuju ke nol seiring dengan membesarnya nilai. Jika R maka akan diperoleh nilai kritis dan agar R maka. Artinya dengan strategi vaksinasi CVS maka minimal.83787% populasi rentan harus divaksinasi setiap hari. Program untuk menampilkan Gambar 6 dapat dilihat pada lampiran 8. _. _. S(t).... V(t) I(t) _ R(t) Gambar 7 Dinamika populasi S, V, I dan R, pada kasus dan R.973 Pada Gambar 7, ketika dilakukan strategi vaksinasi CVS dengan. atau.% populasi rentan divaksinasi yang divaksinasi setiap hari yang menyebabkan R.973 terlihat bahwa kurva R stabil naik menuju ke.8 dan kurva S akan turun stabil dari nilai awal.3 menuju titik tetapnya.,

36 kurva V turun stabil menuju nol begitu juga dengan kurva I. Sedangkan pada Gambar 8 ketika dengan strategi. atau.% populasi rentan yang divaksinasi setiap hari yang menyebabkan R.877, akan berlaku hal yang sama dengan gambar 7. Program untuk menampilkan Gambar 7 dan Gambar 8 dapat dilihat pada lampiran 9 dan lampiran. _. _. S(t).... V(t) I(t) _ R(t) Gambar 8 Dinamika populasi S, V, I dan R, pada kasus dan R.877 Pada Gambar 7 dan Gambar 8 terlihat bahwa terjadi over evaluating karena kemungkinan individu yang divaksinasi terinfeksi diabaikan yang berarti bahwa kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit ( ) akan hilang, sehingga dengan strategi vaksinasi CVS ini maka penyakit akan bisa diberantas dengan strategi vaksinasi apapun atau nilai berapapun Kasus Dimisalkan individu yang divaksinasi bisa terinfeksi ( ), seara matematis R adalah penurunan fungsi dari sehingga R akan turun menuju R untuk nilai yang semakin besar. Karena lim R R, ( )( ) maka kondisi yang diperlukan agar penyakit bisa diberantas haruslah R. Jika R, maka akan terdapat konstanta yang unik yaitu yang menyebabkan R sehingga kondisi untuk memberantas penyakit haruslah.

37 Sebaliknya jika R maka R R yang mengakibatkan penyakit tidak bisa diberantas untuk setiap nilai. Kasus ketika dan Pada kasus ini diasumsikan.5.75 dan. R.4. R R.... R Gambar 9 Bilangan Reproduksi Dasar pada kasus R.4. R R.... R Gambar Bilangan Reproduksi Dasar untuk memberantas penyakit pada kasus dengan. Pada Gambar 9 terlihat bahwa kurva R akan stabil turun menuju R ketika semakin besar artinya dengan strategi vaksinasi CVS ini R adalah kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Jika dimisalkan R maka akan diperoleh nilai kritis seperti yang terlihat pada Gambar

38 . Sehingga haruslah minimal % dari populasi rentan harus divaksinasi setiap hari agar penyakit bisa diberantas. Program untuk menampilkan Gambar 9 dan Gambar dapat dilihat pada lampiran. Kasus ketika dan Pada kasus ini diasumsikan.5.55 dan. R R.... R Gambar Bilangan Reproduksi Dasar untuk memberantas penyakit pada kasus dengan. Pada Gambar, ketika, terlihat bahwa nilai kritis agar penyakit bisa diberantas adalah yang berarti bahwa minimal.74946% populasi rentan harus divaksinasi setiap hari. Nilai kritis ini lebih keil dari nilai kritis ketika. Hal ini berarti bahwa ketika kemungkinan individu yang divaksinasi untuk terinfeksi lebih keil dari kemungkinan individu yang divaksinasi mendapatkan kekebalan yaitu dengan efektivitas vaksin yang tinggi akan melemahkan nilai kritis yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Program untuk menampilkan Gambar dapat dilihat pada lampiran. Dari hasil simulasi pada penyakit ampak, didapatkan dua nilai kritis yaitu, ( ) dan ( ) yang artinya bahwa minimal, % populasi rentan harus divaksinasi setiap hari ketika atau,74946% populasi rentan harus

39 3 divaksinasi setiap hari ketika, terlihat bahwa ketika efektifitas vaksin semakin tinggi yang menyebabkan pengurangan nilai dan kenaikan nilai akan semakin melemahkan nilai kritis yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Dari hasil analisis matematis dan simulasi didapatkan nilai parameter dan sangat mempengaruhi nilai R, dimana adalah laju individu yang divaksinasi terinfeksi dan / adalah waktu rata-rata penerima vaksin mendapatkan kekebalan penuh, nilai kedua parameter ini ditentukan oleh efektifitas vaksin. Jika vaksin semakin efektif maka nilai akan semakin meningkat dan mengurangi nilai sehingga nilai R akan semakin keil yang artinya melemahkan kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Vaksinasi sangat membantu untuk mengendalikan penyebaran penyakit dengan dapat menurunkan bilangan reproduksi dasarnya dan mengurangi fraksi individu yang terinfeksi pada tahap endemik. Tapi ada kondisi yang diperlukan agar penyakit bisa diberantas. Jika kemungkinan bagi individu penerima vaksin untuk terinfeksi diabaikan, hal ini dapat menyebabkan over evaluating dari efek vaksinasi yang berarti bahwa kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit akan hilang, sehingga penyakit akan bisa diberantas dengan strategi apapun atau nilai berapapun. Efektifitas strategi vaksinasi bergantung pada kemungkinan penerima vaksin untuk terinfeksi keil ( keil) atau waktu untuk mendapatkan kekebalan singkat ( besar). Jadi semakin tinggi efektifitas vaksin akan semakin melemahkan kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit.

40 4 5. Kesimpulan V KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil dan pembahasan, hasil analisis yang telah dilakukan pada model matematika strategi vaksinasi kontinu (CVS) diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik. Dari analisis kestabilan, dinamika CVS ini sepenuhnya bergantung pada bilangan reproduksi dasar. Ketika bilangan reproduksi dasarnya kurang dari satu maka titik tetap bebas penyakit akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi atau pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Jika bilangan reproduksi dasarnya lebih dari satu maka titik tetap endemik akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit akan tetap ada dan menyebar dalam populasi. Selanjutnya, dari analisis matematis dan simulasi terhadap efek dari strategi vaksinasi CVS diperoleh kesimpulan sebagai berikut :. Vaksinasi bermanfaat untuk mengendalikan penyebaran penyakit yaitu dengan mereduksi bilangan reproduksi dasarnya dan menurunkan fraksi individu yang terinfeksi pada tahap endemik.. Ketika kemungkinan bagi individu penerima vaksin untuk terinfeksi diabaikan, maka kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit akan hilang (over evaluating), sehingga penyakit akan bisa diberantas dengan strategi apapun. 3. Strategi yang diperlukan untuk memberantas penyakit bergantung pada kemungkinan individu penerima vaksin terinfeksi ( keil) dan individu penerima vaksin mendapatkan kekebalan ( besar). Ketika kemungkinan individu penerima vaksin terinfeksi itu lebih keil dari pada kemungkinan individu penerima vaksin mendapatkan kekebalan ( ) maka efektifitas vaksinasi akan semakin baik. Dengan kata lain, semakin tinggi efektifitas vaksin maka akan semakin melemahkan kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit. 5. Saran Penelitian ini perlu dilanjutkan dengan strategi vaksinasi yang berbeda yaitu strategi vaksinasi terputus (Pulse Vaination Strategy-PVS) dan membandingkannya dengan strategi CVS, yang telah dibahas disini.

41 5 DAFTAR PUSTAKA Anonym. 5. Immunization against diseases of publi health importane. mediaentre/fatsheets/fs88/en/index.html/ Anton H Aljabar Linear Elementer (Edisi ke-5). Pantur Silaban & I Nyoman Susila,penerjemah. Jakarta : Erlangga. Alexander ME, Bowman C, Moghadas SM, Summers R, Gumel AB, Sahai BM. 4. A Vaination Model for Transmission Dynamis of Influenza. SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 3, Arino J, Mluskey CC, van den Driesshe P. 3. Global results for an epidemi model with vaination that exhibits bakward bifuration. SIAM J. Appl. Math. 64, Blyuss KB, Kyrihko YN. 5. On a basi model of a two-disease epidemi. Elsevier applied Mathematis and omputation. 6 : Borelli RL, Coleman CS Differential Equations. John Wiley and Sons, In. USA. Braun M Differential equation and their appliations. New York : Springer-Verlag d Onofrio A, Manfredi P, Salinelli E. 7. Vainating behaviour, information, and the dynamis of SIR vaine preventable diseases. Theor. Popul. Biol. 7, 3 37 Edelstein-Keshet L Mathematial Models in Biology. New York : Random House. Hethote HW.. The mathematis of infetious diseases. SIAM rev Kermak M, MKendrik A. 97. Contribution to the Mathematial Theory of Epidemis, Part I. Pro. Roy. A 5, 7-7. Kribs-Zaleta CM, Velaso-Hernandez JX.. A Simple Vaination model with Multiple endemi states. Math. Biosi. 64, 83-. Kribs-Zaleta CM, Martheva M.. Vaination Strategies and bakward bifuration in an age-sine-infetion strutured model. Math. Biosi. 77&78,

42 6 Ramali, Pamoentjak. 5. Arti dan Keterangan istilah. Kamus Kedokteran.et.6. Jakarta Shim E. 6. A Note on epidemi models with infetive immigrants and vaination. Math. Biosi. Eng. 3, Szidarovszky F, Bahill AT Linear System Theory. Seond edition. Florida : CRC Press. Tu PNV Dynami systems : An introdution with appliation in eonomis and biology. New York : Springer-Verlag Verhulst F. 99. Nonlinear differential equation and Dynamial system. Springer-Verlag., Heidelberg, Germany Xianning L, Yasuhiro T, Shingo I, 7. SVIR models with vaination strategies. Shiuzuka University, Hammamatsu , Japan

43 LAMPIRAN 7

44 8 Lampiran Bukti teorema kriteria Routh Hurwitz karakteristik Misalkan A, B, C bilangan riil. Bagian riil dari setiap nilai eigen persamaan 3 p( ) A B C adalah jika dan hanya jika A, C bernilai positif dan AB C. Bukti : 3 Dari persamaan p( ) A B C, maka a, a A, a B, a3 C dan a jika i selainnya. Berdasarkan kriteria i Routh-Hurwitz, maka bagian riil dari setiap akar polimonial 3 p( ) A B C adalah jika dan hanya jika det H j j,,3 dengan, untuk det H a A A a a A C 3 det H AB C a B a a A C 3 det H a 3 a a 3 Dari (), diperoleh A B ABC C A Dari (), diperoleh AB C Dari (3), diperoleh diperoleh C. C AB C sehingga ABC C C( AB C ), karena Dengan demikian diperoleh bahwa bagian riil dari semua akar persamaan karakteristik 3 p( ) A B C adalah negatif jika dan hanya jika A, C bernilai positif dan AB C. Terbukti

45 9 Lampiran Program menari titik tetap strategi vaksinasi CVS Dengan mathematia 7. Solve[{ ( * s) ( * s* i) ( * s), ( * s) ( * v* i) ( * v) ( * v), ( * s* i) ( * v* i) ( * i) ( * i)}, { s, v, i}] / / Simplify {{ i ( ( ) v s ( (4 (4 ( ) ( ( )) (( ( ) ( )) ( )( )) )), ( ) ( ( )) (( ( ) ( )) ( )( )) )) / ( ( ( ))), ( (4 ( ) ( ( )) (( ( ) ( )) ( )( / ( ( ( )))} { i ( ( ) )) )) (4 ( ) ( ( )) (( ( ) ( )) ( )( )) )), v ( s (4 ( ) ( ( )) (( ( ) ( )) ( )( )) )) / ( ( ( ))), ( (4 ( ) ( ( )) (( ( ) ( / ( ( ( )))}, { v, i, s }} ( )( ) )) ( )( )) )) E ( S, V, I ),, E ( S, V, I ) dengan

46 3 S V I S I I I I ( ) 4 ( ) ( ( ) ( ) )

47 3 Lampiran 3 Menari nilai a, a dan a3 S S a tr( J( E )) S V S V a J J J J J J J J 3 3 J J J J a S S V S V I V S I S a V I S I V a 3 V 3 I S I 3 det J ( E ) S S V a I S V a S I S I V V I S S V

48 3 Lampiran 4 Dinamika Populasi untuk R.5833 Perintah ini digunakan untuk menggambarkan simulasi pada Gambar 3 =.; =.5; =.5; =.6; =.6; =.8; R=( )/(( + )( + ))+( )/(( + )( + )( + )).5833 bidsol=ndsolve[{ -( s[t])-( s[t] i[t])-( s[t]) s'[t],( s[t])-( v[t] i[t])-( v[t])- ( v[t]) v'[t],( s[t] i[t])+( v[t] i[t])-( i[t])-( i[t]) i'[t],( v[t])+( i[t])-( r[t]) r'[t], s[].3,v[].,i[].3,r[] },{s[t],v[t],i[t],r[t]},{t,,}] {{s[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],v[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],i[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],r[t] Interpolatin gfuntion[{{.,.}},<>][t]}} Anis=Plot[s[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Blue,Thik}]; Anis=Plot[v[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Green,Thik}]; Anis3=Plot[i[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Red,Thik}]; Anis4=Plot[r[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Blak,Thik}]; Show[Anis,Anis,Anis3,Anis4]

49 33 Lampiran 5 Dinamika Populasi untuk R.787 Perintah ini digunakan untuk menggambarkan simulasi pada Gambar 4 =.; =.5; =.5; =.6; =.6; =.; R=( )/(( + )( + ))+( )/(( + )( + )( + )).5833 bidsol=ndsolve[{ -( s[t])-( s[t] i[t])-( s[t]) s'[t],( s[t])-( v[t] i[t])-( v[t])- ( v[t]) v'[t],( s[t] i[t])+( v[t] i[t])-( i[t])-( i[t]) i'[t],( v[t])+( i[t])-( r[t]) r'[t], s[].3,v[].,i[].3,r[] },{s[t],v[t],i[t],r[t]},{t,,}] {{s[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],v[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],i[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],r[t] Interpolatin gfuntion[{{.,.}},<>][t]}} Anis=Plot[s[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Blue,Thik}]; Anis=Plot[v[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Green,Thik}]; Anis3=Plot[i[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Red,Thik}]; Anis4=Plot[r[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Blak,Thik}]; Show[Anis,Anis,Anis3,Anis4]

50 34 Lampiran 6 Dinamika Populasi I untuk R.5833 Perintah ini digunakan untuk menggambarkan simulasi pada Gambar 5 =.8; =.8; 3=.8; 4=.8; R=( )/(( + )( + ))+( )/(( + )( + )( + )).5833 bidsol=ndsolve[{ -( s[t])-( s[t] i[t])-( s[t]) s'[t],( s[t])-( v[t] i[t])-( v[t])-( v[t]) v'[t],( s[t] i[t])+( v[t] i[t])-( i[t])-( i[t]) i'[t], s[].3,v[].,i[].3},{s[t],v[t],i[t]},{t,,}]; Tonas=Plot[i[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange All,FrameLabel {"t"},frame {{Tru e,false},{true,false}},plotstyle {Dashed,Blue,Thik}]; bidsol=ndsolve[{ -( s[t])-( s[t] i[t])-( s[t]) s'[t],( s[t])-( v[t] i[t])-( v[t])-( v[t]) v'[t],( s[t] i[t])+( v[t] i[t])-( i[t])-( i[t]) i'[t], s[].3,v[].,i[].4},{s[t],v[t],i[t]},{t,,}]; Tonas=Plot[i[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange All,FrameLabel {"t"},frame {{Tru e,false},{true,false}},plotstyle {Dashed,Red,Thik}]; bidsol3=ndsolve[{ -( s[t])-( s[t] i[t])-( 3 s[t]) s'[t],( 3 s[t])-( v[t] i[t])-( v[t])-( v[t]) v'[t],( s[t] i[t])+( v[t] i[t])-( i[t])-( i[t]) i'[t], s[].3,v[].,i[].5},{s[t],v[t],i[t]},{t,,}]; Tonas3=Plot[i[t]/.bidsol3,{t,,},PlotRange All,FrameLabel {"t"},frame {{Tru e,false},{true,false}},plotstyle {Dashed,Green,Thik}]; bidsol4=ndsolve[{ -( s[t])-( s[t] i[t])-( 4 s[t]) s'[t],( 4 s[t])-( v[t] i[t])-( v[t])-( v[t]) v'[t],( s[t] i[t])+( v[t] i[t])-( i[t])-( i[t]) i'[t], s[].3,v[].,i[].6},{s[t],v[t],i[t]},{t,,}]; Tonas4=Plot[i[t]/.bidsol4,{t,,},PlotRange All,FrameLabel {"t"},frame {{Tru e,false},{true,false}},plotstyle {Dashed,Blak,Thik}]; Show[Tonas,Tonas,Tonas3,Tonas4]

51 35 Lampiran 7 Sifat-sifat Matematis Bilangan Reproduksi Dasar R R ( )( ) ( )( )( ) R R ( )( ) Jelas bahwa, R R. Karena maka : R [( ) ] ( ) ( )( ) R R R. lim R, lim R R lim R R. ( )( )

52 36 Lampiran 8 Kondisi Bilangan Reproduksi Dasar untuk memberantas penyakit Perintah ini digunakan untuk menggambarkan simulasi pada Gambar 6 =.3653; =.5; =; =.43; =.; r= /( + ).53 r=( )/(( + )( + ))+( )/(( + )( + )( + )).54987/( ) r=( )/(( + )( + )).54987/( ) r=( )/(( + )( + )) plot=plot[r,{,,.},plotstyle {Dashed,Blue,Thik},PlotRange {{,.},{,}},AxesLabel {" ","R"}]; plot=plot[r,{,,.},plotstyle {Dashed,Blak,Thik},PlotRange {{,.},{,}},AxesLabel {" ","R"}]; r3= plot3=plot[r3,{,,.},plotstyle {Dashed,Red,Thik},PlotRange {{,.},{, }},AxesLabel {" ","R"}]; Show[plot,plot,plot3]

53 37 Lampiran 9 Dinamika Populasi S, V, I dan R untuk kasus dan R.973 Perintah ini digunakan untuk menggambarkan simulasi pada Gambar 7 =.3653; =.5; =; =.43; =.; =.; bidsol=ndsolve[{ -( s[t])-( s[t] i[t])-( s[t]) s'[t],( s[t])-( v[t] i[t])-( v[t])- ( v[t]) v'[t],( s[t] i[t])+( v[t] i[t])-( i[t])-( i[t]) i'[t],( v[t])+( i[t])-( r[t]) r'[t], s[].3,v[].,i[].3,r[] },{s[t],v[t],i[t],r[t]},{t,,}] {{s[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],v[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],i[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],r[t] Interpolatin gfuntion[{{.,.}},<>][t]}} Anis=Plot[s[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Blue,Thik}]; Anis=Plot[v[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Green,Thik}]; Anis3=Plot[i[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Red,Thik}]; Anis4=Plot[r[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Blak,Thik}]; Show[Anis,Anis,Anis3,Anis4]

54 38 Lampiran Dinamika Populasi S, V, I dan R untuk kasus dan R.877 Perintah ini digunakan untuk menggambarkan simulasi pada Gambar 8 =.3653; =.5; =; =.43; =.; =.; bidsol=ndsolve[{ -( s[t])-( s[t] i[t])-( s[t]) s'[t],( s[t])-( v[t] i[t])-( v[t])- ( v[t]) v'[t],( s[t] i[t])+( v[t] i[t])-( i[t])-( i[t]) i'[t],( v[t])+( i[t])-( r[t]) r'[t], s[].3,v[].,i[].3,r[] },{s[t],v[t],i[t],r[t]},{t,,}] {{s[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],v[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],i[t] InterpolatingFuntion[{{.,.}},<>][t],r[t] Interpolatin gfuntion[{{.,.}},<>][t]}} Anis=Plot[s[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Blue,Thik}]; Anis=Plot[v[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Green,Thik}]; Anis3=Plot[i[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Red,Thik}]; Anis4=Plot[r[t]/.bidsol,{t,,},PlotRange {,},FrameLabel {"t"},frame {{ True,False},{True,False}},PlotStyle {Dashed,Blak,Thik}]; Show[Anis,Anis,Anis3,Anis4]

55 39 Lampiran Kondisi Bilangan Reproduksi Dasar untuk memberantas penyakit pada kasus dan Perintah ini digunakan untuk menggambarkan simulasi pada Gambar 9 dan Gambar =.3653; =.5; =.75; =.43; =.; r= /( + ).53 r=( )/(( + )( + ))+( )/(( + )( + )( + )).54987/( )+( )/( ) r=( )/(( + )( + )) plot=plot[r,{,,.},plotstyle {Dashed,Blak,Thik},PlotRange {{,.},{,.6}},AxesLabel {" ","R"}]; plot=plot[r,{,,.3},plotstyle {Dashed,Blue,Thik},PlotRange {{,.3},{,.6}},AxesLabel {" ","R"}]; plot3=plot[r,{,,.3},plotstyle {Dashed,Red,Thik},PlotRange {{,.3},{,.}},AxesLabel {" ","R"}]; Show[plot,plot,plot3]