ANALISA MATEMATIS EFEK DARI STRATEGI VAKSINASI KONTINU TERHADAP PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DENGAN MENGGUNAKAN MODEL EPIDEMIK SVIR

Transkripsi

1 ANALISA MATEMATIS EFEK DAI STATEGI VAKSINASI KONTINU TEHADAP PENYEBAAN PENYAKIT CAMPAK DENGAN MENGGUNAKAN MODEL EPIDEMIK SVI (Mathematial Analysis A Continuous Vaination Strategy Effet against to spread of Measles by Using the Epidemi SVI Models) Tonaas Kabul Wangkok Yohanis Marentek Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, UPP, tonaasmarentek@gmail.om ABSTACT Vaination is one way to minimize the spread of disease. To omplete a vaination, it is usually done several times and there should be a fied time interval. Considering vaination in the basi SI model, SVI model assumes that individuals are vainated do not get immediate immunity means that individuals who are vainated still allow infeted. So aording to the proess of vaination on SVI model, there are two strategies whih ontinuous vaination strategy (CVS) and disonneted vaination strategy (PVS). In this study only addressed ontinuous vaination strategy in epidemi model SVI. esults from the study indiate that the dynamis of the CVS system is fully dependent on the basi reprodutive number. If the basi reprodutive number is less than one then the fied point asymptotially stable disease-free will whih means that eventually the disease will disappear from the population. Conversely, if more than one fied point is asymptotially stable endemi would mean that the disease will still eist in the population. Mathematial results show that vaination helps to minimize the spread of disease by reduing the basi reprodutive number. But there is a neessary ondition for the disease an be eradiated. If the time for the vaine reipients to obtain immunity or the possibility of vaine reipients infeted negleted, the ondition of the disease will disappear and the disease will always be eradiated. This an lead to over-evaluating the effet of vaination. Keywords: Vaination, SVI, Continuous Vaination strategy, Stability PENDAHULUAN Campak adalah penyakit menular yang disebabkan oleh infeksi virus. Penyakit ini disebabkan oleh virus ubeola, penyakit ini sering juga disebut penyakit ubeola. Penyakit ini biasanya menyerang balita dan anak-anak. Campak merupakan penyakit yang mudah menular, berpotensi menimbulkan wabah atau epidemik. Penularan penyakit ini terjadi seara langsung dari satu individu ke individu yang lain melalui airan yang berasal dari mata, hidung dan tenggorokan yang menyebar lewat udara pada waktu individu yang telah terinfeksi mengalami batuk, bersin ataupun pada saat berbiara. (Seined & Shaulies, 999) Sebelum vaksinasi Campak digunakan seara meluas, wabah ampak terjadi setiap 2-3 tahun, terutama pada anak-anak usia prasekolah dan anak-anak SD. Jika seseorang pernah menderita Campak, maka seumur hidupnya dia akan kebal terhadap penyakit ini. Data yang ada menyebutkan, kematian akibat Campak di dunia yang dilaporkan pada 22 menapai 777. orang. Di negaranegara ASEAN terdapat 22. orang meninggal akibat Campak dan 5 % (3.3 orang) diantaranya berasal dari Indonesia. Setiap tahun diperkirakan 3. anak Indonesia meninggal karena komplikasi yang diakibatkan Campak. Hal ini berarti, kira-kira ada anak yang meninggal setiap 2 menitnya (Depkes I, 27). Baik langsung maupun tidak langsung, Campak merupakan salah satu penyakit yang dapat mengakibatkan kematian. Pemerintah Indonesia telah melakukan beberapa upaya untuk mereduksi kematian, salah satunya yaitu pemberian imunisasi ampak. Besarnya angka kematian karena penyakit Campak ini menunjukan bahwa penyakit ini sangat berbahaya sangat perlu dilakukan suatu upaya untuk menegah penyebaran penyakit ini. Salah satu ara yang efektif untuk menegah penyebaran penyakit ini adalah melakukan program vaksinasi. Menurut amali & Pamoenjak (25), vaksin merupakan suspensi bibit penyakit yang hidup yang telah dilemahkan atau dimatikan untuk menimbulkan kekebalan aktif terhadap suatu penyakit dapat menegah atau mengurangi pengaruh infeksi oleh organisme alami.

2 Teori epidemik pertama kali dikemukakan oleh Kermak & MKendrik pada tahun 927, penyebaran penyakit menular dapat digambarkan seara matematis oleh model-model kompartemen seperti model SI ataupun SIS setiap huruf mengau pada kompartemen dimana individu itu dapat berada. Sehingga model SVI seara matematis adalah penambahan kompartemen V seara alami kedalam model epidemik dasar SI. Model epidemik SVI ini, dimana populasi dibagi ke dalam empat kelompok yaitu, kelompok individu yang sehat tapi rentan (S), kelompok individu yang mengalami proses vaksinasi (V), kelompok individu yang telah terinfeksi (I) dan kelompok individu yang telah sembuh dari penyakit atau individu yang telah mendapatkan kekebalan terhadap penyakit baik seara alami maupun akibat dari vaksinasi (). Model epidemik SVI ini dibangun dari model dasar epidemik SI, berdasarkan prosesnya mempunyai dua strategi vaksinasi. Yaitu, strategi vaksinasi kontinu dan strategi vaksinasi terputus. Strategi vaksinasi kontinu adalah ara pemberian vaksin yang dilakukan seara terus menerus kepada kelompok individu yang rentan, sedangkan strategi vaksinasi terputus adalah ara pemberian vaksin yang dilakukan seara berkala dalam periode waktu tertentu kepada sebagian proporsi populasi individu yang rentan. Pada penelitian kali ini, akan dikaji dan dianalisa seara matematis efek dari strategi vaksinasi kontinu terhadap penegahan penyebaran penyakit Campak menggunakan model epidemik SVI. TINJAUAN PUSTAKA SISTEM PESAMAAN DIFEENSIAL Definisi Sistem Persamaan Diferensial Linear Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : (3.) d A b, () dt & A adalah matriks koofisien konstan berukuran dan b vektor konstan. Sistem tersebut dinamakan n n sistem persamaan diferensial linear orde kondisi awal. Jika sistem dikatakan () b homogen dan dikatakan takhomogen jika b. (Tu, 994) Definisi 2 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Misalkan diberikan suatu persamaan diferensial orde d dt = =f (), (3.2) n merupakan fungsi kontinu bernilai real dari f dan mempunyai turunan parsial kontinu. Persamaan (3.2) disebut persamaan diferensial mandiri (autonomous) karena tidak memuat t seara eksplisit didalamnya. (Tu 994) TITIK TETAP Definisi 3 Titik Tetap Misalkan diberikan suatu Sistem Persamaan Diferensial (SPD) sebagai berikut : =f ( ), n (3.3) disebut titik tetap atau titik kritis ataupun Titik disebut juga titik kesetimbangan jika f ( ). (Tu 994) Definisi 4 Titik Tetap Stabil Misalkan adalah titik tetap SPD mandiri dan (t) adalah solusi nilai awal ( )=. Titik dikatakan titik tetap stabil, jika untuk setiap ε >, terdapat r >, sedemikian, maka solusi (t) memenuhi r (t) untuk setiap t>. (Vershulst 99) Definisi 5 Titik Tetap Stabil Asimtotik Titik dikatakan titik tetap stabil asimtotik jika titik stabil dan terdapat sedemikian jika maka, lim ( t ). () t (Szidarovzky & Bahill 998) Definisi 6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan adalah matriks, suatu vektor A n n tak nol didalam disebut vektor eigen dari, A n jika suatu skalar yang disebut nilai eigen dari A berlaku : A (3.4) Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian nilai eigen yang berukuran n n (3.4) dapat dituliskan sebagai berikut :, maka persamaan

3 (3.5) ( A I) adalah matriks identitas. Persamaan (3.5) I memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika yang disebut persamaan det( A I) karakteristik. (Anton 995) ANALISIS KESTABILAN TITIK TETAP Analisa kestabilan untuk setiap titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai eigen yakni : adalah stabil jika dan hanya jika. Sistem & A setiap nilai eigen dari A bagian riilnya bernilai negatif. 2. Sistem & A adalah tidak stabil jika dan hanya jika minimal satu nilai eigen bagian riilnya bernilai positif. (Borrelli & Coleman 998) KONDISI OUTH HUWITZ Misalkan a a 2 a 3 a k bilangan-bilangan real, a j = jika j>k. Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik ( ) ( 2) ( ) k k k p a a2... a k mempunyai bagian real yang negatif jika determinan dari matriks adalah positif. Selanjutnya H j didefinisikan matriks Hurwitz ( a H j sebagai berikut: a 3 a 2 a a 5 a 4 a 3 a 2 a 2 j a 2 j 2 a 2 j 3 a 2 j 4 a j) H j ( h ) lm dan a2 lm, untuk 2l m k hlm, untuk 2 l m, untuk 2 l m atau 2l k m semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang negatif (titik tetap stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz positif, yaitu : H, untuk j,2,..., k menurut kondisi outh-hurwitz untuk suatu k, k =2,3,4 disebutkan bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika (untuk k =2,3,4), j. k=2, a >,a 2 > 2. k=3, a >, a 3 >,a a 2 >a k=4, a >,a 3 >,a 4 >,a a 2 a 3 >a 3 2 +a 2 a 4 a >,a 3 >,a 4 >, a a 2 a 3 >a 3 2 +a 2 a 4 (Edelstein-Keshet 987) Untuk kasus, kriteria outh-hurwitz disajikan k 3 dalam teorema berikut. Teorema Misalkan A,B,C bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p( λ = λ 3 + A λ 2 + B λ +C= adalah negatif jika dan hanya jika A,C bernilai positif dan AB>C. BILANGAN EPODUKSI DASA Bilangan eproduksi Dasar ) adalah rata-rata banyaknya individu rentan yang terinfeksi seara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Kondisi yang akan timbul adalah salah satu diantara kemungkinan berikut :.Jika <, maka penyakit akan menghilang. 2. Jika, maka penyakit akan menetap (endemis). 3. Jika >, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah. (Blyuss & Kyryhko 25) MODEL EPIDEMIK PENYEBAAN PENYAKIT Model Epidemik Dasar SI Model dasar yang digunakan untuk menggambarkan penyebaran penyakit adalah model epidemik SI. Model SI ini dikemukakan oleh Kemar-MKendri pada tahun 927 sebagai model dasar dari pengembangan pemodelan epidemiologi. Model ini mempunyai tiga kompartemen yang menggambarkan proses penyebaran penyakit pada suatu populasi. Kompartemen-kompartemen tersebut adalah : Suseptible (S) yaitu ke lompok individu yang sehat tetapi dapat terinfeksi penyakit, Infeted (I) yaitu kelompok individu yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit dan eovered () yaitu kelompok individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit. Menurut Hethote (2), diasumsikan bahwa μ adalah laju rekrutmen dan laju kematian alami dari populasi, β adalah laju infeksi atau laju transmisi penularan penyakit ketika individu rentan bersinggungan/kontak individu yang terinfeksi dan γ adalah laju pemulihan individu yang terinfeksi dan individu-individu yang pulih atau sembuh yang diasumsikan memiliki kekebalan (kekebalan

4 alami) terhadap penyakit. Asumsi-asumsi tersebut dapat digambarkan ke dalam bentuk kompartemenkompartemen pada Gambar dan dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan diferensial yang disebut sistem berikut semua parameter pada Sistem diatas bernilai positif. S I Gambar Diagram transfer penyebaran penyakit model SI ds S SI dt di SI I I dt d I dt Model Epidemik SVI Dengan Strategi Vaksinasi Kontinu Berdasarkan teori epidemik dari Kemark dan MKendrik, penyebaran penyakit menular dapat digambarkan seara matematis oleh model-model kompartemen SI setiap huruf mengau pada kompartemen dimana individu berada. Oleh karena itu Vaksinasi juga dapat dianggap sebagai penambahan kompartemen V seara alami ke dalam model epidemik dasar SI. Kribs-Zaleta dan Velaso-Hernandez (2), menambahkan kompartemen V ke dalam model SIS dan mempelajari penyakit pertusis dan TBC, Arino et al (23) menambahkan kompartemen V ke dalam model SIS, Kribs-Zaleta dan Martheva (22) mempelajari efek dari kampanye vaksinasi pada penyebaran suatu penyakit non-fatal seperti Hepatitis A dan hepatitis B, baik pada tahap infeksi akut ataupun kronis. Aleander et al (24) dan Shim (26) menggunakan model SVI untuk mempelajari model dinamika penyakit influenza (flu) vaksinasi. Semua model kontinu di atas yang berasumsi bahwa individu memperoleh kekebalan setelah divaksinasi dan waktu bagi individu mendapatkan kekebalan atau waktu untuk menyelesaikan proses vaksinasi diabaikan. Pada kenyataannya segera setelah individu yang rentan memulai proses vaksinasi, individu itu akan berbeda individu yang rentan tetapi individu yang divaksinasi harus dibedakan individu yang pulih karena telah mendapatkan kekebalan akibat divaksinasi ataupun kekebalan setelah sembuh dari penyakit. Oleh karena itu, mempertimbangkan vaksinasi dalam model dasar SI, model SVI ini mengasumsikan bahwa individu yang divaksinasi tidak mendapatkan kekebalan segera artinya bahwa individu yang divaksinasi masih memungkinkan terinfeksi atau individu dalam V akan pindah ke saat mendapatkan kekebalan akibat divaksinasi. Strategi vaksinasi kontinu pada model epidemik SVI ini yang berdasar pada model epidemik dasar SI sistem sangat ook diterapkan pada penyebaran penyakit Campak. Menurut Aleander et al (24), Arino et al (23), Kribz-Zaleta dan Velaso-Hernandez (2) total populasi akan berada pada tingkat konstan, maka strategi vaksinasi kontinu ini mengasumsikan bahwa adalah laju rekrutmen dan laju kematian alami dari populasi, adalah laju transmisi/penularan penyakit ketika individu yang rentan berinteraksi individu yang terinfeksi dan adalah laju pemulihan individu yang terinfeksi dan individu yang pulih diasumsikan memiliki kekebalan alami terhadap penyakit. Strategi vaksinasi kontinu, seara matematis adalah penambahan kompartemen V, dimana V adalah kelompok baru yang dibagi dari kelompok S dan menunjukkan kepadatan individu yang telah memulai proses vaksinasi. individu dalam V, memerlukan waktu untuk mendapatkan tingkat proteksi terhadap penyakit selama proses vaksinasi dan akan berpindah ke saat mendapatkan kekebalan. Oleh karena itu, berdasarkan diagram transfer kompartemen model SI maka dapat digambarkan diagram transfer model kompartemen sebagai berikut asumsi : a) adalah laju dimana individu yang rentan b) dipindahkan kedalam proses vaksinasi. adalah laju rata-rata ( adalah waktu rata- / rata) bagi individu yang mengalami proses vaksinasi untuk memperoleh kekebalan. ) Sebelum memperoleh kekebalan, individu yang divaksinasi masih memiliki kemungkinan terinfeksi laju transmisi adalah Laju transmisi ini diasumsikan lebih keil dari laju transmisi individu rentan yang belum mengalami.

5 proses vaksinasi untuk terinfeksi, karena ( ) individu yang mengalami proses vaksinasi mungkin memiliki kekebalan parsial selama proses vaksinasi. S I V Gambar 2. Diagram transfer penyebaran penyakit model SVI strategi vaksinasi kontin asumsi-asumsi dan diagram transfer diatas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial sebagai berikut yang selanjutnya disebut sistem 2 : ds S SI S dt dv S VI V V dt sistem 2 di SI VI I I dt d V I dt dan semua parameter lainnya bernilai positif. HASIL DAN PEMBAHASAN Penentuan Titik Tetap Titik tetap akan diperoleh dan. ds, dv, di d dt dt dt dt Karena persamaan keempat pada sistem 2 adalah bebas dari persamaan yang lain maka dapat direduksi menjadi sistem 3 dan menyelesaikan seara bersamaan maka akan diperoleh titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik. ds S SI S dt dv S VI V V dt di SI VI I I dt penyakit E ( S, V, I),, 2. Titik tetap endemik yaitu E ( S, V, I ) S S, V I I I I. g( I ) A I A I A ( ) dan I sistem 3 adalah akar positif dari g(i). Titik tetap bebas A ( ), A ( ) ( ) ( ) dan A ( )( )( ) 2 3

6 Analisis Kestabilan Titik Tetap bebas penyakit Pelinearan pada titik tetap E E akan menghasilkan J E S V S V matriks Jaobi sebagai berikut yaitu mensubtitusi Maka akan diperoleh nilai eigen titik tetapnya : menyelesaikan persamaan karakteristik yaitu : det J E I, dan S V S V ( ) 2 3 ( ) S V Nilai eigen yang kesemuanya adalah bilangan riil akan Analisis Kestabilan Titik Tetap Endemik negatif jika. Jadi titik tetap bebas penyakit akan E Pelinearan pada titik tetap akan menghasilkan stabil jika dan tidak stabil jika. E matriks Jaobi sebagai berikut : S S I S S J E I V V V I I S V I I persamaan karakteristik adalah : J E 3 2 a a a 2 3 Berdasarkan kriteria outh-hurwitz titik tetap endemik akan stabil jika dan hanya jika memenuhi syarat-syarat dan dan kedua syarat tersebut a, a a a a terpenuhi. Sehingga titik tetap endemik asimtotik. E adalah stabil Tabel Kondisi Kestabilan Titik Tetap Kondisi E E Stabil asimtotik Tidak Stabil Tidak stabil Stabil asimtotik Pengaruh Strategi Vaksinasi Kontinu Hasil analisis pada strategi vaksinasi kontinu menunjukkan bahwa dinamika sistem sepenuhnya ditentukan oleh bilangan reproduksi dasar. Sehingga pengaruh dari vaksinasi bergantung pada bilangan reproduksi dasarnya.

7 Untuk menganalisa pengaruh strategi vaksinasi kontinu ini diasumsikan jika tidak dilakukan proses vaksinasi penyakit akan endemik atau tetap ada dalam populasi ( maka ). atau Kasus. Diasumsikan individu yang divaksinasi tidak akan terinfeksi Tabel 2 Sifat-sifat matematis bilangan reproduksi dasar atau karena waktu untuk ( ) mendapatkan kekebalan tak terbatas yang berarti bahwa efikasi vaksin sangat tinggi. Seara matematis akan sama yang akan menuju ke nol untuk nilai yang semakin besar. Karena maka dapat disimpulkan bahwa dan lim penyakit selalu bisa diberantas. Namun jika waktu bagi penerima vaksin untuk mendapatkan kekebalan atau kemungkinan bagi penerima vaksin terinfeksi diabaikan, hal ini dapat menyebabkan over evaluating. Kasus 2. dari Vaksinasi CVS ( ),,, lim, terbatas,, lim 2 atau Seara matematis terbatas akan turun menuju adalah penurunan fungsi 2 yang semakin besar. Karena lim untuk ( )( ) 2, maka kondisi yang diperlukan agar penyakit bisa diberantas haruslah. Jika, maka akan 2 2 terdapat konstanta yang unik yaitu yang. Sebaliknya jika 2 menyebabkan kondisi untuk memberantas penyakit haruslah maka yang 2 mengakibatkan penyakit tidak bisa diberantas untuk setiap nilai. Parameter dan sangat mempengaruhi nilai, dimana adalah laju individu yang 2 divaksinasi terinfeksi dan adalah waktu rata-rata / penerima vaksin mendapatkan kekebalan penuh, nilai kedua parameter ini ditentukan oleh efikasi vaksin. Jika semakin tinggi efikasi vaksin maka nilai akan semakin meningkat dan mengurangi nilai nilai 2 akan semakin keil yang artinya melemahkan kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Simulasi Simulasi dilakukan untuk mengamati pengaruh dari strategi vaksinasi kontinu terhadap penyakit ampak bantuan perangkat lunak Matematia 7. Nilai-nilai parameter seara eksplisit yang diambil dari parameter penyakit Campak d Onofrio et al (27).. Laju rekrutmen atau laju kematian alami manusia, yaitu, dimana L adalah.3653 / hari L angka harapan hidup saat lahir. 2. Laju pemulihan individu yang terinfeksi mendapatkan kekebalan, yaitu, D 7.43 / hari D hari adalah waktu rata-rata individu yang terinfeksi mendapatkan kekebalan. Kasus. atau Pada kasus, diasumsikan tidak ada individu yang divaksinasi akan terinfeksi atau laju individu yang di vaksinasi mendapatkan kekebalan tak terbatas.

8 Gambar 4 kondisi bilangan reproduksi dasar pada kasus -- S(t) -- V(t) -- I(t) -- (t) Gambar 5 Dinamika populasi S, V, I dan ketika., atau pada penyakit ampak -- S(t) -- V(t) -- I(t) -- (t) Gambar 6 Dinamika populasi S, V, I dan Kasus ketika,.5263 atau pada penyakit ampak Pada gambar 4, terlihat bahwa menuju ke nol. Jika kritis Karena.83787, agar akan stabil turun maka akan diperoleh nilai maka akan terus turun menuju nol seiring nilai yang semakin besar, maka dapat disimpulkan penyakit bisa diberantas strategi vaksinasi kontinu. Kasus 2. dan terbatas Pada kasus 2, diasumsikan individu yang divaksinasi akan terinfeksi atau laju individu yang di. Pada gambar 5,,2 terlihat bahwa kurva stabil naik menuju ke.8 dan kurva S akan turun stabil dari nilai awal.3 menuju titik tetapnya.2, kurva V turun stabil menuju nol begitu juga kurva I. Sedangkan pada gambar 6 ketika, akan berlaku hal yang sama.5263 gambar 5. Hal ini terjadi over evaluating karena kemungkinan individu yang divaksinasi terinfeksi dan waktu bagi individu yang divaksinasi mendapatkan kekebalan diabaikan. vaksinasi mendapatkan kekebalan terbatas dan akan terdapat dua kemungkinan yaitu dan. Kemungkinan

9 .5.75 dan. 2 Gambar 7 kondisi bilangan reproduksi dasar pada kasus 2 ( ). Gambar 8 kondisi bilangan reproduksi dasar untuk memberantas penyakit pada kasus 2 ( ). Pada gambar 7, pada saat nilai yang semakin besar, akan stabil turun menuju ke. Hal ini berarti 2 adalah kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Jika dimisalkan 2 2 maka akan diperoleh nilai kritis seperti yang terlihat pada gambar 8. Sehingga haruslah minimal % dari populasi rentan harus divaksinasi setiap hari strategi vaksinasi kontinu agar penyakit ampak bisa diberantas. Kemungkinan dan. Gambar 9 kondisi bilangan reproduksi dasar pada kasus 2 ( ). Pada gambar 9 ketika, terlihat bahwa nilai kritis agar penyakit bisa diberantas adalah yang lebih keil dari nilai kritis ketika. Hal ini berarti bahwa ketika kemungkinan individu yang divaksinasi untuk terinfeksi lebih keil dari kemungkinan individu yang divaksinasi mendapatkan kekebalan, terjadi peningkatan efikasi vaksin akan mereduksi nilai kritis yang diperlukan untuk memberantas penyakit. KESIMPULAN

10 Dinamika sistem ini sepenuhnya bergantung pada bilangan reproduksi dasar. Ketika bilangan reproduksi dasarnya kurang dari satu maka titik tetap bebas penyakit akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit tidak akan menyebar dalam populasi atau pada akhirnya penyakit akan hilang dari populasi. Jika bilangan reproduksi dasarnya lebih dari satu maka titik endemik akan stabil asimtotik yang berarti bahwa penyakit akan tetap ada dan menyebar dalam populasi. Dari analisis matematis terhadap pengaruh strategi vaksinasi kontinu, vaksinasi bermanfaat untuk mengendalikan penyebaran penyakit yaitu mereduksi bilangan reproduksi dasarnya dan mungkin menurunkan fraksi individu yang terinfeksi pada tahap endemik. Tetapi, akan terjadi over evaluating ketika diabaikannya waktu bagi penerima vaksin mendapatkan kekebalan atau terinfeksi. Selanjutnya, dari hasil simulasi validitas kondisi yang dibutuhkan bergantung pada kemungkinan individu yang divaksinasi terinfeksi keil atau waktu bagi individu yang divaksinasi untuk mendapatkan kekebalan singkat. Dengan kata lain semakin tinggi efikasi vaksin maka akan mereduksi kondisi yang diperlukan untuk memberantas penyakit. Dari hasil simulasi, didapatkan nilai kritis minimum laju individu rentan yang harus divaksinasi. Nilai kritis ini akan lebih keil jika kemungkinan individu yang divaksinasi terinfeksi lebih keil dari waktu rata-rata individu yang divaksinasi mendapatkan kekebalan. DAFTA PUSTAKA.Aleander, M.E., Bowman, C., Moghadas, S.M., Summers,., Gumel, A.B., Sahai, B.M., 24. A Vaination Model for Transmission Dynamis of Influenza. SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 3, Arino, J., Mluskey, C.C., van den Driesshe, P., 23. Global results for an epidemi model with vaination that ehibits bakward bifuration. SIAM J. Appl. Math. 64, Depkes I. 27. Peta Kesehatan Indonesia 27. Diakses melalui %2Kesehatan%227.pdf pada tanggal 4 November 2. d Onofrio, A., Manfredi, P., Salinelli, E., 27. Vainating behaviour, information, and the dynamis of SI vaine preventable diseases. Theor. Popul. Biol. 7, 3 37 Hethote, HW., 2. The mathematis of infetious diseases. SIAM rev Kribs-Zaleta, C.M., Velaso-Hernandez, J.X., 2. A simple vaination model with multiple endemi states. Math. Biosi. 64,83 2. Kribs-Zaleta, C.M., Martheva, M., 22. Vaination strategies and bakward bifuration in na age-sineinfetion strutured model.math. Biosi. 77&78, Sheined-Shaulies, S Pathogeni aspets of measles virus infetions. Arh Virol Suppl, 5, Shim, E., 26. A note on epidemi models with infetive immigrants and vaination. Math.Eng.3, Xianning, L., Yasuhiro, T., Shingo, I., 27. SVI models with vaination strategies. Shiuzuka University, Hammamatsu ,Japan

11