PERENCANAAN LINTASAN PESAWAT UDARA NIR AWAK ( PUNA ) DENGAN MENGGUNAKAN PYTHAGOREAN HODOGRAPH

Transkripsi

1 PERENCANAAN LINTASAN PESAWAT UDARA NIR AWAK ( PUNA ) DENGAN MENGGUNAKAN PYTHAGOREAN HODOGRAPH Nama Mahasiswa : Rusdi Arif Darmawan NRP : Jurusan : Matematika FMIPA-ITS Dosen Pembimbing : Subchan, Ph.D. rusdi_arif@live.com Abstrak : Pesawat Udara Nir Awak (PUNA) yang terbang secara mandiri membutuhkan suatu sistem navigasi, pemandu, dan kendali (NPK) yang mampu memandu PUNA tersebut untuk terbang sampai ke tujuan. Salah satu komponen pemandu yang harus dimiliki oleh PUNA adalah perencanaan lintasan (path planning). Perencana lintasan merupakan suatu alat yang terdiri dari himpunan titik-titik lintasan yang akan dilalui oleh PUNA. Lintasan tersebut dipilih berdasarkan lintasan yang secara fisik dapat dilalui dan diikuti oleh PUNA dari titik awal ke titik tujuan. Dalam penelitian ini akan digunakan metode Pythagorean Hodograph (PH) untuk menentukan lintasan yang akan dilalui dengan energi kelenturan yang minimum. Metode ini menggunakan elemen dari Pythagorean atau Pythagoras yang kemudian digunakan untuk membentuk suatu algoritma perencanaan lintasan. Kata kunci : Pesawat Udara Nir Awak (PUNA), perencanaan lintasan, Pythagorean Hodograph (PH) 1. Pendahuluan Saat ini Pesawat Udara Nir Awak (PUNA) atau dalam bahasa Inggris biasa disebut Unmanned Aerial Vehicle (UAV), sudah banyak digunakan baik untuk kepentingan militer maupun sipil, seperti pada misi pengintaian, pemetaan, pemantauan, pengawasan atau observasi dari udara. PUNA juga sesuai digunakan untuk kondisi geografi yang "berat", pengamanan hutan dari pencurian dan laut dari pencurian pasir laut. Kemampuannya yang bisa dikendalikan dari jarak jauh atau bahkan bisa diprogram untuk terbang sendiri dengan lintasan tertentu, tentunya sangat menguntungkan bagi manusia. Keuntungan yang bisa didapat antara lain biaya akan lebih efisien, meminimalisasi resiko bagi manusia, dan lain sebagainya [10]. PUNA umumnya didesain dengan ukuran yang tidak besar dan ringan. Selain menghemat bahan bakar penggerak PUNA, juga memudahkan manuver dan praktis digunakan untuk berbagai tugas. Dalam perkembangannya, sistem navigasi yang berbasis GPS telah digunakan pada PUNA. Namun untuk ke depannya, PUNA akan lebih otonom dari pada PUNA saat ini yang masih dikendalikan dari dari jarak jauh. PUNA dapat dilengkapi dengan sistem navigasi dan kendali terbang jarak jauh yang akurat, sistem komunikasi yang harus mampu secara terus menerus mengirimkan data status pesawat, target dan informasi penginderaan dengan format gambar digital secara real-time. Salah satu isu teknologi yang mulai dikembangkan saat ini adalah perencanaan lintasan. Sebuah algoritma dari perencanaan lintasan akan menghasilkan satu atau lebih lintasan yang aman untuk PUNA. Lintasan tersebut harus dapat dilalui oleh pesawat tersebut. Karena PUNA memiliki kemampuan yang terbatas, maka waktu yang dibutuhkan untuk melakukan terbang juga harus dikurangi, sehingga panjang lintasan sangat mempengaruhi dalam pembuatan algoritma. Selain itu, lintasan harus bisa diikuti oleh pesawat. Ada banyak metode yang digunakan untuk membuat perencanaan lintasan, salah satunya adalah dengan menggunakan Pythagorean Hodograph (PH) [4,5]. Seperti namanya, Hodograph pada lintasan PH harus memenuhi syarat Pythagoras, dengan Hodograph adalah turunan pertama dari kurva PH. Syarat Pythagoras yaitu jumlah kuadrat sisi tegak segitiga adalah sama dengan kuadrat sisi miringnya. Dalam domain waktu, Hodograph disebut sebagai vektor kecepatan yang selalu sejajar dengan kemiringan lintasan. Jadi, inti dari Pythagorean Hodograph 1

2 ini adalah dengan menggunaan elemen Pythagoras yang kemudian digunakan untuk membentuk suatu algoritma perencanaan lintasan. Dalam Tugas Akhir ini diambil studi kasus penggunaan Pythagorean Hodograph untuk merancang sebuah algoritma pada perencanaan lintasan Pesawat Udara Nir Awak. 2. Kurva Pythagorean Hodograph (PH) Kurva Pythagorean Hodograph (PH) pertama kali dikenalkan oleh Farouki dan Sakkalis [4,7]. Kurva PH ini mempunyai sifat sebagai berikut [1,10] : 1. Terdistribusi seragam di setiap titik di dalam kurvanya. 2. Menggunakan eliminasi kuadratur numerik untuk menghitung panjang lintasan. 3. Kecepatan parametrik adalah fungsi polinomial dari parameternya. 4. Lengkungan dan kurva offset dalam bentuk rasional. Sebuah kurva PH adalah sebuah kurva polinomial dengan garis singgung, dan memenuhi [4,7] : (2.1) untuk beberapa polinomial dan. Dari prinsip differensial geometri, panjang lintasan dan kecepatan parametrik dari kurva parametrik diberikan : dan (2.2) Dimana dan adalah hodograph dari kurva, dan adalah sebuah parameter. Namun demikian, persamaan-persamaan tersebut harus memenuhi syarat Pythagoras sebagai berikut : (2.3) tercukupi oleh polinomial jika dan hanya jika persamaan tersebut dapat diubah kedalam bentuk polinomial dengan [7], (2.4) dan merupakan polinomial utama yang relatif. Berdasarkan pada turunan dari polinomial,, dan, kurva PH dapat berupa cubic, quartic, atau quintic. Ekspresi untuk unit sudut, unit normal, dan kurvatur adalah sebagai berikut [4,11] : (2.5.1) (2.5.2) (2.5.3),,,, dan. Kurva offset dari kurva pada saat adalah : (2.5.4) dengan semua dalam bentuk rasional. 3. Perencanaan Lintasan 3.1 Pembentukan Kurvatur Lintasan Dalam pembentukan kurvatur lintasan ini, hal pertama yang harus dilakukan adalah inisialisasi posisi dan sudut di awal dan di akhir dari PUNA tersebut, yaitu [9] : (3.1) : posisi awal pesawat : titik awal pesawat : sudut awal pesawat : posisi akhir / tujuan pesawat : titik akhir / tujuan pesawat : sudut akhir / tujuan pesawat Kemudian dibentuk suatu batasan lintasan lintasan tersebut berada di dalam atau tidak melebihi batas maksimum kurvatur. Hal ini bisa ditulis sebagai berikut : (3.2) : kurvatur pada lintasan ke- : batas maksimum kurvatur pada lintasan 2

3 Bila kurvatur melebihi batas maksimum kurvatur, maka perlu dicari lagi nilai kurvatur dengan interpolasi Hermite pada kurva Quintic PH. Algoritma Algoritma yang diberikan di bawah ini adalah algoritma untuk membentuk suatu batasan kurvatur rencana lintasan PUNA akan dibuat. Step 0 Input posisi dan sudut di awal dan di akhir Step 1 Bila kondisi STOP belum terpenuhi, kerjakan step 2-6 Step 2 Untuk setiap vektor input, kerjakan step 3-4 Step 3 Menghitung kurva Quintic PH Step 4 Dapatkan nilai kappa Step 5 Update nilai max kurva dan min kurva Step 6 Update titik - titik kurva, dengan Jika max kurvatur < kmax && min kurvatur > -kmax, maka titik (baru) = titik (lama) Jika max kurvatur > kmax min kurva < - kmax, maka hitung kurva Quintic PH Step 7 Test kondisi STOP Step 8 Plot kurva rencana lintasan dengan PH Mulai Input posisi dan sudut di awal dan di akhir Update nilai kappa Update max dan min kurva Max kurva < kmax && Min kurva > -kmax Ya Plot kurva Selesai Tidak Gambar 2.1 Flow Chart Perencanaan Lintasan 3.2 Penghitungan Kurva Quintic PH Interpolasi Hermite pada Kurva Quintic PH Interpolasi Hermite merupakan metode interpolasi titik data sebagai fungsional. Interpolasi ini membandingkan kedua nilai dari titik data dan turunan pertamanya. Ini berarti bahwa nilai turunan harus diberikan titik data. Maksimum hasil polinomial akan berderajat [6,8] Solusi Menggunakan Representasi Kompleks Untuk mempermudah mencari kurva Quintic PH, akan digunakan representasi kompleks dengan lemma berikut [3] : Lemma 1 Dalam representasi kompleks, kurva PH biasa yang sesuai dengan kurvanya hodograph merupakan kuadrat sempurna dari polinomial kompleks yang mempunyai bagian real dan imajiner. Sehingga, hodograph dari kurva Quintic PH dapat diekspresikan sebagai berikut : (3.3) untuk bilangan kompleks,, dan tertentu. Utnuk menjamin bahwa pada semua, nilai dan harus mempunyai bagian imajiner tidak nol. Kemudian dengan menggunakan definisi Interpolasi Hermite untuk representasi kompleks berikut [3] : Definisi 1 Data Hermite kompleks dan direduksi ke dalam bentuk kompleks standar : dengan cara 1. Mengurangi dari titik akhir 2. Membagi titik akhir dan turunan akhir dengan Dengan demikian, bentuk interpolant Hermite hanya tergantung pada besaran relatif dan berorientasi pada turunan terakhir dan dengan dan adalah komposisi kompleks dari sudutdi setiap titik inputnya. Karena merupakan pengubahan dari sistem koordinat asli ke dalam operasi aritmatika kompleks, maka diambil 3

4 pertimbangan hanya untuk interpolasi data Hermite dalam bentuk standar. Dengan proses pengintegralan, bentuk quintic PH dapat diekspresikan sebagai berikut : (3.4), dan konstanta integrasi c adalah (3.5) Jadi, dalam bentuk standar masalah interpolasi Hermite oleh kurva quintic PH jumlah penghitungan konstanta kompleks dan yang seperti yang didefinisikan oleh persaman di atas, maka akan didapatkan solusi yang memberikan kurva terbaik. Setelah itu digunakan proposisi bilangan kompleks sebagai berikut untuk menentukan nilai dari dan [3] : Proposisi 1 Diberikan didefinisikan sebagai akar dari pembagian 2 bilangan kompleks sebagai berikut dan diberikan kuadratik (3.6) sebagai 2 solusi persamaan (3.7) Jika dan adalah dua akar dari (3.7) kemudian, untuk nilai dan diberikan sebagai berikut : (3.8) dan yang berkorespondensi dengan nilai k, maka (3.9) dan diberikan dalam bentuk,, dan k pada persamaan di atasnya Energi dari Kurva Quintic PH Lintasan yang dibentuk diidentifikasi dengan menghitung energi kelenturan dari kurva dan memilih lintasan yang memiliki energi minimum. Energi kelenturan dari lintasan adalah : (3.10) Lintasan yang memiliki energi kelenturan yang minimumlah yang dijadikan lintasan. Lintasan dengan energi minimum adalah : (3.11) Kurva quintic merupakan kurva PH orde terendah yang cocok dengan desain umum. Kurva ini dibangkitkan dengan memilih polinomial kompleks kuadratik yaitu : ke dalam persamaan kurva PH berikut (3.12) (3.13) bagian real dan imajinernya adalah elemen dari tiga pythagoras polinomial dan kecepatan parametriknya adalah : (3.14) dari kurva PH. Untuk kurva dapat diekspresikan ke dalam bentuk kompleks, kurvaturnya adalah. Sehingga didapat persamaan berikut : (3.15) untuk kurva PH yang didefinisikan persamaan (3.4). Karena, maka fungsi rasional untuk setiap pada kurva. Kemudian dimisalkan bahwa : (3.16) (3.17) untuk polinomial pada pembilang persamaan (3.15). Sebagai pengganti representasi Bernstein, maka dicari bentuk berikut : (3.18) dan yang dinotasikan ke dalam persamaan akar (3.19) dengan catatan, untuk kurva umum, diberikan dan. Kecepatan parametrik persamaan (3.14) menjadi : 4

5 dan (3.20) (3.21) Pada persamaan (3.17) dimisalkan menjadi 2 real polinomial kuadratik sebagai berikut : (3.22) sehingga persamaan energinya menjadi : (3.23) (3.25) Secara eksplisit, bentuk logaritmik dirumuskan dengan menggabungkan bentuk rasional konjugat dan menulisnya ke dalam bentuk :, kuadran yang tepat ditentukan dengan memeriksa tanda-tanda dan. Sehingga : dengan mengambil pendekaan integran sebagai berikut : (3.26) Untuk mencari nilai dan, kedua sisi dari persamaan (3.24) dikalikan dengan, sehingga : (3.24) Pengintegralan persamaan (3.23) akan memberikan rumusan energi sebagai berikut : (3.27) Kemudian dari persamaan (3.27) dimasukkan nilai dan untuk mencari 5

6 nilai dan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut : (3.30) Setelah dan diketahui, energi total dihitung dengan persamaan untuk. Dengan demikian energi tersebut dapat diekspresikan sebagai berikut : (3.28) Perlu diketahui bahwa koefisien harus ditentukan dalam urutan yang ditunjukkan. Nilai dari dan turunannya pada dan, dibutuhkan untuk mengevaluasi ekspresi di atas, dapat ditulis sebagai berikut : (3.29) Kemudian persamaan (3.29) disubtitusikan ke dalam persamaan (3.28) sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut : (3.31) Algoritma Algoritma yang diberikan di bawah ini adalah algoritma untuk menghitung energi dan nilai kappa pada kurva Quintic PH. Step 0 Input posisi dan sudut di awal dan di akhir Step 1 Bila kondisi STOP belum terpenuhi, kerjakan step 2-5 Step 2 Untuk setiap vektor input, kerjakan step 3-4 Step 3 Ubah vektor input ke dalam bentuk kompleks Step 4 Hitung panjang dan energi kurva Step 5 Ubah hasil ke dalam bentuk asli/awal Step 6 Tes kondisi STOP Step 7 Update nilai kappa 6

7 Mulai Input posisi dan sudut di awal dan di akhir Ubah input ke dalam bentuk kompleks Hitung energi kurva Ubah kembali hasil ke dalam bentuk asli Gambar 4.1 Grafik Simulasi Lintasan 1 dengan Kondisi Simulasi Lintasan 2 Pada simulasi lintasan 2 ini akan diberikan sudut awalnya = 30 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 2 yaitu = 150 derajat. Update nilai kappa Selesai Gambar 3.1 Flow Chart Penghitungan Quintic PH 4. Analisis dan Pembahasan Dari algoritma yang telah dibentuk pada bab 4.1 dan 4.2, bada sub bab ini akan beberapa simulasi lintasan. Simulasi ini akan diberikan 4 kondisi, setiap kondisi akan diberikan sudut yang berbeda pada titik awal dari lintasan. 4.1 Kondisi 1 Pada kondisi 1, simulasi akan dilakukan dengan sudut awal berada di kuadran 1, sedangkan sudut akhir saling bergantian di 4 kuadran. Pada simulasi ini akan diberikan nilai titik awal : = 0, = 0 dan titik akhir : = 10, = 10. Dengan asumsi radius minimum dari pesawat saat manuver = 10 satuan panjang. Dari data tersebut diperoleh hasil simulasi sebagai berikut : Simulasi Lintasan 1 Pada simulasi lintasan 1 ini akan diberikan sudut awalnya = 30 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 1 yaitu = 60 derajat. Gambar 4.2 Grafik Simulasi Lintasan 2 dengan Kondisi Simulasi Lintasan 3 Pada simulasi lintasan 3 ini akan diberikan sudut awalnya = 30 derajat,sedangkan sudut akhir berada di kuadran 3 yaitu = 240 derajat. Gambar 4.3 Grafik Simulasi Lintasan 3 dengan Kondisi 1 7

8 4.1.4 Simulasi Lintasan 4 Pada simulasi lintasan 4 ini akan diberikan sudut awalnya = 30 derajat,sedangkan sudut akhir berada di kuadran 4 yaitu = 330 derajat Simulasi Lintasan 2 Pada simulasi lintasan 2 ini akan diberikan sudut awalnya = 120 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 2 yaitu = 150 derajat. Gambar 4.4 Grafik Simulasi Lintasan 4 dengan Kondisi 1 Dari hasil simulasi tersebut, lintasan mengarah ke arah yang sama kecuali simulasi 4 yang berbelok ke arah lain. Hal ini dikarenakan untuk menyesuaikan sudut yang akan dibentuk pada titik akhir. 4.2 Kondisi 2 Pada kondisi 2 ini, simulasi akan dilakukan dengan sudut awal berada di kuadran 2, sedangkan sudut akhir saling bergantian di 4 kuadran. Pada simulasi ini akan diberikan nilai titik awal : = 0, = 0 dan titik akhir : = 10, = 10. Dengan asumsi radius minimum dari pesawat saat manuver = 10 satuan panjang. Dari data tersebut diperoleh hasil simulasi sebagai berikut : Simulasi Lintasan 1 Pada simulasi lintasan 1 ini akan diberikan sudut awalnya = 120 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 1 yaitu = 60 derajat. Gambar 4.6 Grafik Simulasi Lintasan 2 dengan Kondisi Simulasi Lintasan 3 Pada simulasi lintasan 3 ini akan diberikan sudut awalnya = 120 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 3 yaitu = 240 derajat. Gambar 4.7 Grafik Simulasi Lintasan 3 dengan Kondisi Simulasi Lintasan 4 Pada simulasi lintasan 4 ini akan diberikan sudut awalnya = 120 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 4 yaitu = 330 derajat. Gambar 4.5 Grafik Simulasi Lintasan 1 dengan Kondisi 2 8

9 akhir berada di kuadran 2 yaitu = 150 derajat. Gambar 4.8 Grafik Simulasi Lintasan 4 dengan Kondisi 2 Dari hasil simulasi tersebut, lintasan berputar ke arah yang sama kecuali simulasi 1 yang pada titik tertentu berbelok berbelok ke arah lain. Hal ini dikarenakan untuk menyesuaikan sudut yang akan dibentuk pada titik akhir. 4.3 Kondisi 3 Pada kondisi 3 ini, simulasi akan dilakukan dengan sudut awal berada di kuadran 3, sedangkan sudut akhir saling bergantian di 4 kuadran. Pada simulasi ini akan diberikan nilai titik awal : = 0, = 0 dan titik akhir : = 10, = 10. Dengan asumsi radius minimum dari pesawat saat manuver = 10 satuan panjang. Dari data tersebut diperoleh hasil simulasi sebagai berikut : Simulasi Lintasan 1 Pada simulasi lintasan 1 ini akan diberikan sudut awalnya = 210 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 1 yaitu = 60 derajat. Dari data tersebut diperoleh : Gambar 4.10 Grafik Simulasi Lintasan 2 dengan Kondisi Simulasi Lintasan 3 Pada simulasi lintasan 3 ini akan diberikan sudut awalnya = 210 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 3 yaitu = 240 derajat. Gambar 4.11 Grafik Simulasi Lintasan 3 dengan Kondisi Simulasi Lintasan 4 Pada simulasi lintasan 4 ini akan diberikan sudut awalnya = 210 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 4 yaitu = 330 derajat. Gambar 4.9 Grafik Simulasi Lintasan 1 dengan Kondisi Simulasi Lintasan 2 Pada simulasi lintasan 2 ini akan diberikan sudut awalnya = 210 derajat, sedangkan sudut Gambar 4.12 Grafik Simulasi Lintasan 4 dengan Kondisi 3 9

10 Dari hasil simulasi tersebut, 2 lintasan berputar ke arah yang sama dan 2 lintasan lainnya memutar ke arah lain. Hal ini dikarenakan untuk menyesuaikan sudut yang akan dibentuk pada titik akhir. 4.4 Kondisi 4 Pada kondisi 4 ini, simulasi akan dilakukan dengan sudut awal berada di kuadran 4, sedangkan sudut akhir saling bergantian di 4 kuadran. Pada simulasi ini akan diberikan nilai titik awal : = 0, = 0 dan titik akhir : = 10, = 10. Dengan asumsi radius minimum dari pesawat saat manuver = 10 satuan panjang. Dari data tersebut diperoleh hasil simulasi sebagai berikut : Simulasi Lintasan 1 Pada simulasi lintasan 1 ini akan diberikan sudut awalnya = 300 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 1 yaitu = 60 derajat Simulasi Lintasan 3 Pada simulasi lintasan 3 ini akan diberikan sudut awalnya = 300 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 3 yaitu = 240 derajat. Gambar 4.15 Grafik Simulasi Lintasan 3 dengan Kondisi Simulasi Lintasan 4 Pada simulasi lintasan 4 ini akan diberikan sudut awalnya = 300 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 4 yaitu = 330 derajat. Gambar 4.13 Grafik Simulasi Lintasan 1 dengan Kondisi Simulasi Lintasan 2 Pada simulasi lintasan 2 ini akan diberikan sudut awalnya = 300 derajat, sedangkan sudut akhir berada di kuadran 2 yaitu = 150 derajat. Gambar 4.16 Grafik Simulasi Lintasan 4 dengan Kondisi 4 Dari hasil simulasi tersebut, lintasan berputar ke arah yang sama kecuali simulasi 1 yang pada titik tertentu berbelok ke arah lain. Hal ini dikarenakan untuk menyesuaikan sudut yang akan dibentuk pada titik akhir. 5. Kesimpulan dan Saran Pada bab ini diberikan kesimpulan dari analisis dan pembahasan yang telah dilakukan terhadap perencana lintasan PUNA. Selain itu, diberikan pula saran yang dapat dilakukan sebagai kelanjutan dari Tugas Akhir ini. Gambar 4.14 Grafik Simulasi Lintasan 2 dengan Kondisi 4 10

11 5.1 Kesimpulan Dari analisis dan pembahasan yang telah dilakukan pada perencanaan lintasan PUNA dengan menggunakan Pythagorean Hodograph diperoleh kesimpulan bahwa : 1. Rancangan ini dapat digunakan untuk semua sudut di semua kuadran baik di titik awal maupun di titik akhir. 2. Untuk merancang lintasan Pythagorean Hodograph harus memenuhi kondisi. 3. Lintasan yang dihasilkan dari penggunaan Pythagorean Hodograph terlihat halus pada saat pengubahan arah / berbelok, sehingga kemungkinan besar lintasan dapat diikuti oleh PUNA. Selain itu rancangan menggunakan Pythagorean Hodograph ini masih memiliki kekurangan yaitu : 1. Terdapat kesalahan saat menghitung panjang lintasan dengan kondisi sudut tertentu. 2. Simulasi Tugas Akhir masih belum bisa digunakan untuk multi PUNA yang bergerak bersamaan Saran Saran yang diajukan dari Tugas Akhir ini untuk penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut : 1. Simulasi pada Tugas Akhir ini masih berupa 2 dimensi. Bisa dikembangkan lagi dengan menambahnya menjadi 3 dimensi. 2. Penggunaan Pythagorean Hodograph pada perencana lintasan untuk penelitian selanjutnya agar lebih dikembangkan dengan multi PUNA dan bila memungkinkan benar-benar diaplikasikan untuk PUNA sungguhan. DAFTAR PUSTAKA [1] Fahimi, F Autonomous Robots : Modeling, Path Planning, and Control. Canada : Mechanical Engineering Department University of Alberta. [2] Farouki, R.T The Elastic Bending Energy of Pythagorean Hodograph Curves. USA : Department of Mechanical and Aeronautical Engineering University of California. [3] Farouki, R.T. dan Neff, C.A Hermite Interpolation by Pythagorean Hodograph Quintics. Mathematics of Computation Volume 64, Number 212. [4] Farouki, R.T Pythagorean- Hodograph Curves : Algebra and Geometry Inseparable. USA : Department of Mechanical and Aeronautical Engineering University of California. [5] Farouki, R.T., dan Han, C.Y Algorithms for Spatial Pythgorean- Hodograph Curves. USA : Department of Mechanical and Aeronautical Engineering University of California. [6] Hermite Interpolation. <URL> _interpolation. Diakses pada tanggal 2 Juni [7] Kwon, S Clifford Algebra, Pythagorean Hodograph, and Rational Parametrization of Curves and Surfaces. Seoul : Department of Mathematical Sciences Seoul National University. [8] Pipenbrinck, Nils Hermite Curve Interpolation. <URL> tm. Diakses pada tanggal 3 Juni [9] Shanmugavel, M Path Planning of Multiple Autonomous Vehicles. Shrivenham : Department of Aerospace, Power, and Sensor Cranfield University. [10] Subchan, S., dkk Pythagorean Hodograph Path Planning for Tracking Airborne Contaminant using Sensor Swarn. IEEE International Instrumentation and Measurement Technology Conference Victoria, Vancouver Island, Canada, May [11] Thread Subject: "Slow-Motion" Plotting, Anyone? <URL> ntral/newsreader/view_thread/1047. Diakses pada tanggal 8 Juni