BAB III PEMBAHASAN. tenggorokan, batuk, dan kesulitan bernafas. Pada kasus Avian Influenza, gejala

Transkripsi

1 BAB III PEMBAHASAN A. Permasalahan Nyata Flu Burung (Avian Influenza) Avian Influenza atau yang lebih dikenal dengan flu burung adalah suatu penyakit menular yang disebabkan oleh virus influenza tipe A. Gejala pada manusia ditandai dengan demam, sakit kepala, nyeri otot dan sendi, sakit tenggorokan, batuk, dan kesulitan bernafas. Pada kasus Avian Influenza, gejala dari penyakit akan muncul setelah masa inkubasi pada manusia berkisar antara 2-4 hari. Masa inkubasi yaitu masa dimana virus sudah masuk ke dalam tubuh sampai saat timbulnya gejala untuk yang pertama kali. Penyakit ini masih menjadi salah satu penyakit yang banyak memakan korban. Mengingat belum ditemukannya vaksin pada manusia untuk penyakit ini, maka dibutuhkan suatu tindakan untuk menurunkan laju penyebaran virus flu burung (Avian Influenza). Salah satu cara untuk menurunkan laju penyebaran virus flu burung adalah dengan mengetahui pola penyebaran virus flu burung. Oleh karena itu, ilmu matematika dapat dimanfaatkan untuk mengetahui pola penyebaran virus flu burung yaitu dengan menggunakan model SIRS I V. Pada skripsi ini, model yang akan digunakan adalah model Susceptible pada manusia Infected pada manusia Recovered pada manusia Susceptible pada unggas Infected pada unggas Vactination pada unggas (SIRS I V ) dengan pertimbangan bahwa pemberian vaksin hanya untuk unggas. Vaksinasi yang diberikan adalah vaksin in aktif yang mengandung suspensi virus dengan 44

2 homologi yang tinggi dengan virus penyebab wabah. Vaksin influenza in aktif hanya dapat melindungi sekitar 6-8% terhadap galur yang homolog. Dalam hal ini vaksinasi dengan strain virus homolog telah terbukti menurunkan angka kematian pada unggas. Adanya vaksinasi pada unggas ini menjadi alasan pembentukan model epidemi SIRS I V. Model epidemi SIRS I V dalam penyebaran flu burung pada waktu t memiliki 6 kelas yaitu Susceptible (S) menyatakan populasi manusia rentan terhadap penyakit flu burung, Infected (I) menyatakan populasi manusia yang terinfeksi penyakit flu burung, Recovered (R) menyatakan populasi manusia yang sembuh dari penyakit flu burung, Susceptible (S ) menyatakan populasi unggas rentan terhadap penyakit flu burung, Infected (I ) menyatakan populasi unggas terinfeksi dan Vactinated (V ) menyatakan populasi unggas yang tervaksinasi. B. Asumsi-Asumsi Model Matematika SIRS I V pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas Pembahasan pada skripsi ini menerapkan beberapa asumsi. Asumsi digunakan untuk mempermudah dalam perhitungan dan pemodelan. Adapun asumsi-asumsi yang digunakan dalam pemodelan penyebaran flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas sebagai berikut: 1. Setiap manusia yang lahir diasumsikan masuk dalam populasi rentan. 2. Populasi manusia dianggap tidak konstan dan populasi unggas dianggap konstan. 45

3 3. Populasi manusia (N) terbagi atas populasi rentan (S), populasi terinfeksi (I) dan populasi sembuh (R). 4. Populasi unggas ( ) terbagi atas populasi rentan (S ), populasi terinfeksi (I ), dan populasi yang tervaksinasi (V ). 5. Laju kematian alami pada manusia diasumsikan sama pada setiap kelas. 6. Laju kematian dan kelahiran alami pada unggas diasumsikan sama pada setiap kelas. 7. Setiap unggas yang menetas masuk ke kelas S. 8. Virus flu burung menular melalui kontak langsung antara unggas rentan dengan unggas yang sakit flu burung dan kontak antara manusia sehat dengan unggas yang terinfeksi flu burung. 9. Terjadi kematian karena infeksi flu burung pada populasi manusia terinfeksi. 1. Tidak terjadi kematian karena infeksi flu burung pada populasi unggas. 11. Unggas yang terinfeksi flu burung tidak akan pernah sembuh mengingat umurnya yang pendek. 12. Manusia yang diasumsikan sembuh memungkinkan kembali menjadi manusia yang rentan terhadap penyakit. 46

4 C. Formulasi Model Matematika SIRS I V pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas Didefinisikan variabel dan parameter yang digunakan dalam pemodelan penyebaran flu burung (Avian Influenza) dengan pengaruh Vaksinasi pada unggas yakni ditunjukan pada Tabel 3.1. Tabel 3.1 Variabel dan Parameter dalam Model Simbol Definisi Syarat N(t) Banyaknya populasi manusia pada waktu t N(t) S(t) I(t) R(t) Banyaknya populasi manusia yang retan terinfeksi penyakit pada waktu t Banyaknya populasi manusia yang terinfeksi penyakit pada waktu t Banyaknya populasi manusia yang sembuh dari penyakit pada waktu t S(t) I(t) R(t) (t) Banyaknya populasi unggas pada waktu t (t) S (t) I (t) V (t) Banyaknya populasi unggas yang retan terinfeksi penyakit pada waktu t Banyaknya populasi unggas yang terinfeksi penyakit pada waktu t Banyaknya populasi unggas yang tervaksinasi pada waktu t S (t) I (t) V (t) γ Laju konstan kelahiran dan imigrasi γ > 47

5 β Laju kontak antara unggas sakit dengan manusia sehat β > β Laju kontak antara unggas sehat dengan unggas sakit β > μ Laju kematian dan kelahiran alami dalam populasi unggas tanpa pengaruh flu burung μ > μ α Laju kematian individu dalam populasi manusia tanpa pengaruh flu burung Laju konstan kematian manusia akibat terinfeksi flu burung μ > α > ε Laju kesembuhan populasi manusia yang terinfeksi ε > ω Laju konstan hilangnya kekebalan pada manusia ω > ρ Rasio populasi unggas yang memperoleh vaksinasi < ρ < 1 Berdasarkan variabel dan parameter model matematika penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas disajikan dalam diagram transfer. Diagram transfer dapat dinyatakan pada Gambar

6 Gambar 3. 1 Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Flu Burung (Avian Influenza) dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas Selanjutnya berdasarkan Gambar 3.1 akan diformulasikan model matematika SIRS I V pada penyebaran flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas untuk masing-masing kelas. 1. Perubahan banyaknya individu rentan (Susceptible) terhadap waktu (t). Misalkan S(t) menyatakan banyaknya populasi manusia rentan pada saat t maka pada selang waktu Δt akan terjadi perubahan banyak populasi manusia rentan yang dipengaruhi oleh: a. Jika banyaknya pertambahan individu rentan sebesar γ maka S(t) akan bertambah sebesar γ Δt. b. Jika laju perpindahan penyakit antara individu rentan dan terinfeksi sebesar β, maka S(t) akan berkurang sebesar βi S Δt. c. Jika laju kematian alami individu rentan per satuan waktu sebesar μ, maka S(t) akan berkurang sebesar μsδt. 49

7 d. Jika banyaknya pertambahan individu yang kehilangan kekebalan menjadi individu rentan per satuan waktu sebesar ω, maka maka S(t) akan bertambah sebesar ωrδt. Model matematis dari perubahan banyaknya individu rentan terhadap waktu (t) adalah sebagai berikut: S(t + t) = S(t) + γ Δt βi S Δt μsδt + ωrδt S(t + t) S(t) = γ Δt βi S Δt μsδt + ωrδt S(t + t) S(t) = ( γ βi S S(t + t) S(t) Δt = γ βi S μs + ωr) Δt μs + ωr S(t + t) S(t) lim = lim γ βi S μs + ωr Δt Δt Δt ds dt = γ βi S μs + ωr ds dt = γ (βi + μ) S + ωr. (3.1) 2. Perubahan banyaknya individu terinfeksi (Infected) terhadap waktu (t). Misalkan I(t) menyatakan banyaknya populasi manusia terinfeksi pada saat t maka pada selang waktu Δt akan terjadi perubahan banyak populasi manusia terinfeksi yang dipengaruhi oleh: a. Jika laju perpindahan penyakit antara individu rentan dan terinfeksi sebesar β, maka I(t) akan bertambah sebesar βi S Δt. 5

8 b. Jika laju kematian alami individu terinfeksi per satuan waktu sebesar μ, maka I(t) akan berkurang sebesar μiδt. c. Jika laju kematian individu karena terinfeksi flu burung per satuan waktu sebesar α, maka I(t) akan berkurang sebesar αiδt. d. Jika proses penyembuhan dari individu terinfeksi ke individu sembuh per satuan waktu sebesar ε, maka I(t) akan berkurang sebesar εiδt. Model matematis dari perubahan banyaknya individu terinfeksi terhadap waktu (t) adalah sebagai berikut: I(t + t) = I(t) + βi S Δt μiδt αiδt εiδt I(t + t) I(t) = βi S Δt μiδt αiδt εiδt I(t + t) I(t) = ( βi S I(t + t) I(t) Δt = βi S μi αi εi) Δt (μ + α + ε)i I(t + t) I(t) lim = lim ( βi S (μ + α + ε)i) Δt Δt Δt di dt = βi S (μ + α + ε)i. (3.2) 3. Perubahan banyaknya individu sembuh (Recovered) terhadap waktu (t). Misalkan R(t) menyatakan banyaknya populasi manusia sembuh pada saat t maka pada selang waktu Δt akan terjadi perubahan banyak populasi manusia sembuh yang dipengaruhi oleh: a. Jika laju kematian alami individu sembuh per satuan waktu sebesar μ, maka R(t) akan berkurang sebesar μrδt. b. Jika proses penyembuhan dari individu terinfeksi ke individu sembuh per satuan waktu sebesar ε, maka R(t) akan bertambah sebesar εiδt. 51

9 c. Jika individu kehilangan kekebalan dari individu sembuh ke individu rentan per satuan waktu sebesar ω, maka R(t) akan berkurang sebesar ωrδt. Model matematis dari perubahan banyaknya individu sembuh terhadap waktu (t) adalah sebagai berikut: R(t + t) = R(t) + εiδt μrδt ωrδt R(t + t) R(t) = εiδt μrδt ωrδt R(t + t) R(t) = (εi μr ωr)δt R(t + t) R(t) = (εi μr ωr) Δt R(t + t) R(t) lim = lim (εi μr ωr) Δt Δt Δt dr dt dr dt = (εi μr ωr) = εi (μ + ω)r. (3.3) 4. Perubahan banyaknya individu unggas rentan (Susceptible) terhadap waktu (t). Misalkan S (t) menyatakan banyaknya populasi unggas rentan pada saat t maka pada selang waktu Δt akan terjadi perubahan banyak populasi unggas rentan yang dipengaruhi oleh: a. Jika laju kelahiran individu unggas sebesar μ maka S (t) akan bertambah sebesar μ N O Δt. b. Jika laju kematian alami individu unggas rentan sebesar μ maka S (t) akan berkurang sebesar μ S Δt. 52

10 c. Jika laju perpindahan penyakit antara individu unggas rentan dan terinfeksi sebesar β, maka S (t) akan berkurang sebesar (1 ρ) β I S Δt. d. Jika laju individu rentan yang tervaksinasi per satuan waktu sebesar ρ, maka S (t) akan berkurang sebesar ρs Δt. Model matematis dari perubahan banyaknya individu unggas rentan terhadap waktu (t) adalah sebagai berikut: S (t + Δt) = S (t) + μ N O Δt μ S Δt (1 ρ) β I S Δt ρs Δt S (t + Δt) S (t) = (μ N O μ S (1 ρ) β I S S (t + Δt) S (t) Δt ρs ) Δt = μ N O μ S (1 ρ) β I S ρs S (t + Δt) S (t) lim = lim μ Δt Δt N O μ S (1 ρ) β I S ρs Δt ds dt = μ N O μ S (1 ρ) β I S ρs ds dt = μ N O (μ + (1 ρ) β I ) S ρs. (3.4) 5. Perubahan banyaknya individu unggas terinfeksi (Infected) terhadap waktu (t). Misalkan I (t) menyatakan banyaknya populasi unggas terinfeksi pada saat t maka pada selang waktu Δt akan terjadi perubahan banyak populasi unggas terinfeksi yang dipengaruhi oleh: a. Jika laju kematian alami individu unggas terinfeksi sebesar μ maka I (t) akan berkurang sebesar μ I Δt. 53

11 b. Jika laju perpindahan penyakit antara individu unggas rentan dan terinfeksi sebesar β, maka I (t) akan bertambah sebesar (1 ρ) β I S Δt. Model matematis dari perubahan banyaknya individu unggas terinfeksi terhadap waktu (t) adalah sebagai berikut: I (t + Δt) = I (t) μ I Δt + (1 ρ) β I S Δt I (t + Δt) I (t) = ((1 ρ) β I S I (t + Δt) I (t) Δt μ I ) Δt = (1 ρ) β I S μ I I (t + Δt) I (t) lim = lim (1 ρ) β I S μ Δt Δt Δt I di dt = (1 ρ) β I S μ I. (3.5) 6. Perubahan banyaknya individu unggas tervaksinasi (Vactinated) terhadap waktu (t). Misalkan V (t) menyatakan banyaknya populasi unggas tervaksinasi pada saat t maka pada selang waktu Δt akan terjadi perubahan banyak populasi unggas tervaksinasi yang dipengaruhi oleh: a. Jika laju kematian alami individu unggas terinfeksi sebesar μ maka V (t) akan berkurang sebesar μ V Δt. b. Jika laju individu rentan yang tervaksinasi per satuan waktu sebesar ρ, maka S (t) akan bertambah sebesar ρs Δt. Model matematis dari perubahan banyaknya individu unggas tervaksiansi terhadap waktu (t) adalah sebagai berikut: 54

12 V (t + Δt) = V (t) μ V Δt + ρs Δt V (t + Δt) V (t) = (ρs μ V )Δt V (t + Δt) V (t) Δt = ρs μ V V (t + Δt) V (t) lim = lim ρs Δt Δt μ V Δt dv dt = ρs μ V. (3.6) Dari Persamaan (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) dan (3.6) didapatkan model matematika untuk penyebaran flu burung dengan memperhatikan pengaruh vaksinasi unggas sebagai berikut: ds dt = γ (μ + βi ) S + ωr, di dt = (βi ) S (μ + α + ε)i, dr dt = εi (μ + ω)r, (3.7) ds dt = μ (μ + (1 ρ) β I ) S ρs, di dt = ((1 ρ) β I ) S μ I, dv dt = ρs μ V. Populasi total dari Sistem 3.7 adalah N = S(t) + I(t) + R(t) untuk manusia sedangkan untuk unggas populasi total adalah N = S (t) + I (t) + V (t). 55

13 D. Transformasi Model Transformasi model digunakan untuk mempermudah dalam mencari titik ekuilibrium dan analisis yang akan dilakukan, maka sistem Persamaan (3.7) perlu dilakukan penyederhanaan dengan cara penskalaan yaitu dengan mengubah sistem Persamaan (3.7) menjadi bentuk proporsi antara banyaknya individu dalam suatu subpopulasi dengan banyaknya populasi total. Didefinisikan variabel baru yaitu proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelas sebagai berikut: dari Sistem 3.7 untuk total populasi manusia diperoleh, dn dt = ds dt + di dt + dr dt = (γ (μ + βi ) S + ωr) + (( βi ) S (μ + α + ε)i) + ( ε (μ + ω)r) = γ μs βi S + ωr + βi S μi αi εi + εi μr ωr = γ μs μi αi μr = γ μs μi μr αi = γ μ(s + I + R) αi Karena N(t) = (S + I + R) sehingga diperoleh, dn dt = γ μn αi. dn dt < saat N γ μ γ μ sehingga diperoleh N γ μ dn dan > saat N γ maka diambil batas maksimal N yaitu dt μ, selanjutnya sistem dapat di skala untuk masingmasing sub populasi manusia pada sistem dan dapat dinyatakan sebagai berikut: 56

14 s = S γ, i = I γ μ μ, r = R γ. μ Selanjutnya untuk total populasi unggas diperoleh, d dt = ds dt + di dt + dv dt = (μ (μ + (1 ρ) β I ) S ρs ) + (((1 ρ) β I ) S μ I ) + ( ρs μ V ) = μ μ S (1 ρ) β I S ρs + (1 ρ) β I S μ I + ρs μ V = μ μ S μ I μ V = μ μ (S + I + V ) Karena (t) = (S + I + V ) sehingga diperoleh, d dt = μ μ = d dt =. Dari Sistem (3.7) dan d dt = artinya = k untuk suatu k bilangan real, sehingga bagian populasi unggas pada sistem dapat di skala dengan mengambil total populasi unggas ( ) yaitu, s = S, i = I, v = V. 57

15 Jadi untuk menyederhanakan dan memudahkan proses analisis, sistem dapat dinyatakan sebagai berikut: s = S γ, i = I γ, r = R γ, n = N γ μ μ μ μ, s = S, i = I, v = V. (3.8) Dari Persamaan (3.8), diperoleh s + i + r = S γ + I γ + R γ μ μ μ = S + I + R γ μ = N γ μ = n, s + i + r = n, n 1. dan s + i + v = S + I + V = S + I + V = = 1, s + i + v = 1, s = 1 (i + v ). Berdasarkan Persamaan (3.8) dapat dibentuk transformasi dari Sistem (3.7) untuk masing-masing kelas sebagai berikut: Transformasi untuk kelas Susceptible pada manusia sebagai berikut, ds dt = d [ S γ ] μ dt = ( 1 γ ) ds dt μ = ( 1 γ ) (γ (μ + βi ) S + ωr) μ 58

16 = ( 1 γ ) (γ (μ + βi ) s ( γ μ ) + ω (γ μ )) μ = μ (μ + βi ) s + ωr = μ (μ + βi )s + ωr. (3.9a) Transformasi untuk kelas Infected pada manusia sebagai berikut, di dt = d [ γ I ] μ dt = ( 1 γ ) di dt μ = ( 1 γ ) (( βi ) S (μ + α + ε)i) μ = ( 1 γ ) (( βi ) s ( γ μ ) (μ + α + ε)i (γ μ )) μ = ( 1 γ ) (βi s ( γ μ ) (μ + α + ε)i (γ μ )) μ = (βi s (μ + α + ε)i). (3.9b) Transformasi untuk kelas Recovered pada manusia sebagai berikut, dr dt = d [ R γ ] μ dt = ( 1 γ ) dr dt μ 59

17 = ( 1 γ ) (εi (μ + ω)r) μ = ( 1 γ ) (εi ( γ μ ) (μ + ω)r (γ μ )) μ = εi (μ + ω)r. (3.9c) Transformasi untuk kelas Susceptible pada unggas sebagai berikut, S ds d [ dt = N ] dt = ( 1 ) ds dt = ( 1 ) (μ (μ + (1 ρ) β I ) S ρs ) = ( 1 ) (μ (μ + (1 ρ) β i ) s ρs ) = (μ (μ + (1 ρ)β i )s ρs ). (3.9d) Transformasi untuk kelas Infected pada unggas sebagai berikut, I di d [ dt = N ] dt = ( 1 ) di dt = ( 1 ) ((1 ρ) β I ) S μ I = ( 1 ) ((1 ρ)β i )s μ i = ((1 ρ)β i )s μ i = (1 ρ)β i (1 (i + v )) μ i. (3.9e) 6

18 Transformasi sitem untuk kelas Vactinated (I ) sebagai berikut, V dv d [ dt = N ] dt = ( 1 ) dv dt = ( 1 ) ( ρs μ V ) = ( 1 ) ( ρs μ v ) = ( ρs μ v ). (3.9f) Dari Persamaan (3.9a), (3.9b), (3.9c), (3.9d), (3.9e) dan (3.9f) sehingga didapatkan hasil transformasi dari Sistem (3.7) adalah sebagai berikut: ds dt = μ (μ + βi )s + ωr, di dt = (βi s (μ + α + ε)i), (3.9) dr = εi (μ + ω)r, dt ds dt = (μ (μ + (1 ρ)β i )s ρs ), di dt = (1 ρ)β i (1 (i + v )) μ i, dv dt = ( ρs μ v ). Sistem (3.9) merupakan sistem persamaan diferensial non linear yang lebih sederhana dari Sistem (3.7), sistem tersebut merepresentasikan penyebaran flu burung dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas. 61

19 E. Titik Ekuilibrium Model Matematika SIRS I V pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas Titik (s, i, r, i, v ) menjadi titik ekulibrium dari sistem jika memenuhi persamaan ds = di = dr = di = dv =. Titik ekuilibrium dari sistem dapat dt dt dt dt dt ditunjuukan dalam Teorema 3.1 berikut ini: Teorema 3.1 i. Jika i = maka sistem memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu E (s, i, r, i, v ) = (1,,,, ρ ). (μ +ρ ii. Jika i maka sistem memiliki titik ekuilibrium endemik yaitu E 1 (s, i, r, i, v ) dengan s = M(1 ρ)(μ + ω)β, β((1 ρ)β (1 v ) μ ) (M + ω μ (μ + α)) + M(1 ρ)(μ + ω)β β(μ + ω)((1 ρ)β (μ + ρ)) i = β((1 ρ)β (μ + ρ)) (M + ω μ (μ + α) + M(1 ρ)(μ + ω)β, βε((1 ρ)β (μ + ρ)) r = β((1 ρ)β (μ + ρ)) (M + ω μ (μ + α) + M(1 ρ)(μ + ω)β, i = (1 ρ)β (μ + ρ) (1 ρ)β, v = ρ (1 ρ)β. dengan M = (μ + α + ε). Bukti : Sistem (3.9) akan mencapai titik ekuilibrium jika ds dt = di dt = dr dt = di dt = dv dt =, maka Sistem (3.9) dapat ditulis, 62

20 ds dt = μ (μ + βi )s + ωr = di dt = (βi s (μ + α + ε)i) = dr = εi (μ + ω)r = dt (3.1c) (3.1a) (3.1b) di dt = (1 ρ)β i (1 (i + v )) μ i = (3.1d) dv dt = ( ρs μ v ) =. (3.1e) dari Persamaan (3.1d) diperoleh (1 ρ)β i (1 (i + v )) μ i = i ((1 ρ)β (1 ρ)β i (1 ρ)β v μ ) = i = atau (1 ρ)β (1 ρ)β i (1 ρ)β i v μ = (1 ρ)β (1 ρ)β v μ = (1 ρ)β i (1 ρ)β (1 v ) μ = (1 ρ)β i i = (1 ρ)β (1 v ) μ (1 ρ)β dengan syarat ρ 1. Berdasarkan Persamaan (3.1d) didapatkan, i = atau i = (1 ρ)β (1 v ) μ (1 ρ)β (3.11) 63

21 dengan i = merupakan kasus untuk bebas penyakit dan i = (1 ρ)β (1 v ) μ (1 ρ)β merupakan kasus untuk endemik, kedua titik tersebut digunakan untuk menetukan titik ekuilibrium yang lain baik bebas penyakit dan endemik. Adapun penjelasannya sebagai berikut: i. Kasus i = untuk titik ekuilibrium bebas penyakit, Jika i =, maka Persamaan (3.1b) diperoleh, (βi s (μ + α + ε)i) = (β()s (μ + α + ε)i) = (μ + α + ε)i = i =. Dengan syarat untuk μ >, α >, dan ε >. Jika i = dan i =, maka Persamaan (3.1c) diperoleh, εi (μ + ω)r = ε() (μ + ω)r = (μ + ω)r = r =. Dengan syarat untuk μ > dan ω >. Jika i =, i =, dan r = maka Persamaan (3.1a) diperoleh, μ (μ + βi )s + ωr = μ ((μ + β())s + ω()) = μ μs = μ(1 s) =. 64

22 Dengan syarat untuk μ > maka s = 1. Jika i = dan s = (1 (i + v ) dan maka Persamaan (3.1e) diperoleh, ( ρs μ v ) = ( ρ(1 (i + v )) μ v ) = ( ρ(1 v ) μ v ) = ( ρ (ρ + μ )v ) = ρ = (ρ + μ )v v = ρ (ρ + μ ). Sehingga didapat titik ekuilibrium bebas penyakit atau disease free ρ E (s, i, r, i, v ) = (1,,,, ). Jadi terbukti bahwa jika i (ρ+μ ) =, maka Sistem (3.9) memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu E (s, i, r, i, v ) = (1,,,, ). (ρ+μ ) ii. Kasus i = (1 ρ)β (1 v ) μ (1 ρ)β ρ untuk titik ekuilibrium endemik, Jika i, maka Persamaan (3.1b) diperoleh, εi (μ + ω)r = εi = (μ + ω)r εi = r. (3.12) (μ + ω) Persamaan (3.12) disubstitusikan ke Persamaan (3.1a) sehingga diperoleh, 65

23 μ (μ + βi )s + ωr = εi μ (μ + βi )s + ω =. (3.13) (μ + ω) Dari Persamaan (3.1b) diperoleh, (βi s (μ + α + ε)i) = βi s = (μ + α + ε)i. (3.14) Persamaan (3.14) disubstitusikan ke Persamaan (3.13) sehingga diperoleh, εi μ (μ + βi )s + ω (μ + ω) = εi μ μs βi s + ω (μ + ω) = εi μ μs (μ + α + ε)i + ω (μ + ω) = εi μ (μ + α + ε)i + ω (μ + ω) = μs (μ + α + ε)i s = 1 + ω εi μ μ (μ + ω) s = 1 1 εi ((μ + α + ε)i ω ). (3.15) μ (μ + ω) Persamaan (3.15) disubstitusikan ke Persamaan (3.14) sehingga diperoleh, βi s = (μ + α + ε)i 66

24 βi (1 1 ((μ + α + ε)i ω εi μ (μ+ω) )) = (μ + α + ε)i β ( (1 ρ)β (1 v ) μ ) (1 1 εi ((μ + α + ε)i ω )) (μ + α + (1 ρ)β μ (μ+ω) ε)i =. Didefinisikan M = (μ + α + ε) β ( (1 ρ)β (1 v ) μ ) (1 1 εi (Mi ω )) Mi = (1 ρ)β μ (μ+ω) β ( (1 ρ)β (1 v ) μ ) (1 1 ωε (M ) i) Mi = (1 ρ)β μ (μ+ω) β ( (1 ρ)β (1 v ) μ (1 ρ)β ) (1 1 μ (M(μ+ω) ωε ) i) Mi = (μ+ω) β ( (1 ρ)β (1 v ) μ (1 ρ) ) (1 1 μ (M(μ+ω) ωε ) i) Mβ i = (μ+ω) β ( (1 ρ)β (1 v ) μ ) (1 1 (Mμ + Mω ωε)i) Mβ (1 ρ) μ(μ+ω) i = β ( (1 ρ)β (1 v ) μ ) (1 1 (Mμ + (μ + α + ε)ω ωε)i) (1 ρ) μ(μ+ω) Mβ i = β ( (1 ρ)β (1 v ) μ ) (1 1 (Mμ + μω + αω)i) Mβ (1 ρ) μ(μ+ω) i = β ( (1 ρ)β (1 v ) μ (1 ρ) Mβ i = ) ( β((1 ρ)β (1 v ) μ ) (Mμ + μω + αω)i) (1 ρ)μ(μ+ω) β ( (1 ρ)β (1 v ) μ ) ( β((1 ρ)β (1 v ) μ )(Mμ+μω+αω) + Mβ (1 ρ) (1 ρ)μ(μ+ω) ) i = β ( (1 ρ)β (1 v ) μ ) ( β((1 ρ)β (1 v ) μ )(M+ ω μ (μ+α)) + Mβ (1 ρ) (1 ρ)(μ+ω) ) i = 67

25 β((1 ρ)β (1 v ) μ ) ( β((1 ρ)β (1 v ) μ )(M+ ω μ (μ+α)) + (μ+ω) M(1 ρ)β ) i = β(μ + ω)((1 ρ)β (1 v ) μ ) (β((1 ρ)β (1 v ) μ ) (M + ω μ (μ + α)) + M(1 ρ)(μ + ω)β ) i = β(μ + ω)((1 ρ)β (1 v ) μ ) = (β((1 ρ)β (1 v ) μ ) (M + ω μ (μ + α)) + M(1 ρ)(μ + ω)β ) i i = β(μ+ω)((1 ρ)β (1 v ) μ ) (β((1 ρ)β (1 v ) μ )(M+ ω μ (μ+α))+m(1 ρ)(μ+ω)β ) = i (3.16) Sehingga i = β(μ+ω)((1 ρ)β (1 v ) μ ) β((1 ρ)β (1 v ) μ )(M+ ω μ (μ+α)+m(1 ρ)(μ+ω)β. Persamaan (3.16) disubstitusikan ke Persamaan (3.15) sehingga diperoleh, s = 1 1 εi ((μ + α + ε)i ω μ (μ + ω) ) = 1 1 ωε ((μ + α + ε) μ (μ + ω) ) i = 1 1 μ = 1 = 1 + ω) ωε (M(μ )i (μ + ω) 1 (μ + ω) 1 (μ + ω) + Mω ωε (Mμ )i μ + Mω ωε (Mμ )i μ 68

26 = 1 = 1 = 1 1 Mω (M + (μ + ω) μ ωε μ )i 1 (μ + α + ε)ω (M + ωε (μ + ω) μ μ )i 1 (μ + ω) (μ + α)ω (M + )i μ = 1 1 (μ+α)ω (M + ) ( (μ+ω) μ = 1 β((μ+ω)((1 ρ)β (1 v ) μ ) β((1 ρ)β (1 v ) μ )(M+ ω μ (μ+α)+m(1 ρ)(μ+ω)β (M+ (μ+α)ω )β((1 ρ)β μ (1 v ) μ ) (β((1 ρ)β (1 v ) μ )(M+ ω μ (μ+α)+m(1 ρ)(μ+ω)β ) ) β((1 ρ)β (1 v ) μ ) (M + ω μ (μ + α) + M(1 ρ)(μ + ω)β = β((1 ρ)β (1 v ) μ ) (M + ω μ (μ + α) + M(1 ρ)(μ + ω)β (μ + α)ω (M + μ ) β((μ + ω)((1 ρ)β (1 v ) μ ) β((1 ρ)β (1 v ) μ ) (M + ω μ (μ + α) + M(1 ρ)(μ + ω)β s = M(1 ρ)(μ+ω)β β((1 ρ)β (1 v ) μ )(M+ ω μ (μ+α)+m(1 ρ)(μ+ω)β = s (3.17) Sehingga s = M(1 ρ)(μ+ω)β β((1 ρ)β (1 v ) μ )(M+ ω μ (μ+α)+m(1 ρ)(μ+ω)β. Persamaan (3.16) disubstitusikan ke Persamaan (3.12) sehingga diperoleh, r = εi (μ + ω) = ε ( β(μ+ω)((1 ρ)β (1 v ) μ ) ) (μ+ω) β((1 ρ)β (1 v ) μ )(M+ ω μ (μ+α)+m(1 ρ)(μ+ω)β r = βε((1 ρ)β (1 v ) μ ) β((1 ρ)β (1 v ) μ )(M+ ω μ (μ+α)+m(1 ρ)(μ+ω)β = r (3.18) 69

27 Sehingga r = βε((1 ρ)β (1 v ) μ ) β((1 ρ)β (1 v ) μ )(M+ ω μ (μ+α)+m(1 ρ)(μ+ω)β. Jika i = (1 ρ)β (1 v ) μ (1 ρ)β dan s = (1 (i + v ) dan maka Persamaan (3.1e) diperoleh, ( ρs μ v ) = ( ρ(1 (i + v ) μ v ) = ( ρ ρi ρv μ v ) = ρ(1 i ) (ρ + μ )v = (ρ + μ )v = ρ(1 i ) (ρ + μ )v = ρ(1 (1 ρ)β (1 v ) μ (1 ρ)β ) (ρ + μ )v = ρ( (1 ρ)β (1 ρ)β (1 ρ)β (1 v ) + μ (1 ρ)β ) (ρ + μ )v = ρ( (1 ρ)β v + μ (1 ρ)β ) (1 ρ)β (ρ + μ )v = (1 ρ)β v ρ + μ ρ (1 ρ)β (ρ + μ )v (1 ρ)β v ρ = μ ρ ((1 ρ)β (ρ + μ ) (1 ρ)β ρ)v = μ ρ (1 ρ)β μ v = μ ρ μ ρ v = (1 ρ)β μ v = ρ (1 ρ)β = v. (3.19) 7

28 Didapatkan titik ekuilibrium endemik yaitu E 1 (s, i, r, i, v ). Jadi terbukti bahwa jika i, maka Sistem (3.9) memiliki titik ekuilibrium endemik yaitu E 1 (s, i, r, i, v ) dengan, M(1 ρ)(μ + ω)β s = β((1 ρ)β (1 v ) μ ) (M + ω μ (μ + α) + M(1 ρ)(μ + ω)β M(1 ρ)(μ + ω)β = β((1 ρ)β (μ + ρ)) (M + ω μ (μ + α) + M(1 ρ)(μ + ω)β, β((μ + ω)((1 ρ)β (1 v ) μ ) i = β((1 ρ)β (1 v ) μ ) (M + ω μ (μ + α) + M(1 ρ)(μ + ω)β β(μ + ω)((1 ρ)β (μ + ρ)) = β((1 ρ)β (μ + ρ)) (M + ω μ (μ + α) + M(1 ρ)(μ + ω)β, βε((1 ρ)β (1 v ) μ ) r = β((1 ρ)β (1 v ) μ ) (M + ω μ (μ + α) + M(1 ρ)(μ + ω)β βε((1 ρ)β (μ + ρ)) = β((1 ρ)β (μ + ρ)) (M + ω μ (μ + α) + M(1 ρ)(μ + ω)β, i = (1 ρ)β (1 v ) μ (1 ρ)β v = = (1 ρ)β (μ + ρ) (1 ρ)β, ρ (1 ρ)β. dengan M = (μ + α + ε). 71

29 F. Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar merupakan bilangan yang menunjukan jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi. Bilangan reproduksi dasar dinotasikan dengan R. Jika R < 1 maka penyakit tidak menyerang populasi, sedangkan jika R > 1 maka penyakit akan menyebar. Penentuan bilangan reproduksi dasar menggunakan metode Next Generation Matriks. Matriks ini merupakan matriks yang dikonstruksikan dari sub-sub populasi yang menyebabkan infeksi. Pada model penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas yang menyebabkan infeksi adalah kelas Infected pada manusia dan kelas Infected pada unggas sehingga persamaan diferensial yang digunakan adalah di dt = (βi s (μ + α + ε)i) di dt = (1 ρ)β i (1 (i + v )) μ i. βi Didefinisikan φ = [ s (μ + α + ε)i ] dan ψ = [ ], (1 ρ)β i (1 ρ)β i (i + v ) + μ i dengan φ merupakan matriks dari laju individu baru terinfeksi penyakit yang menambah kelas infeksi dan ψ merupakan matriks laju perkembangan, kematian dan atau kesembuhan yang mengurangi kelas infeksi. 72

30 Kemudian perhitungan bilangan reproduksi dasar (R ) berdasarkan linearisasi φ dan ψ di titik ekuilibrium bebas penyakit. Hasil masing-masing linearisasi dari φ dan ψ di titik ekuilibrium bebas penyakit E = (s, i, r, i, v ) = (1,,,, ) adalah (ρ+μ ) ρ F = [ (βi s) i ((1 ρ)β i ) i (βi s) i ((1 ρ)β i ) βs ] = [ ] = [ β ]. (1 ρ)β (1 ρ)β i ((μ + α + ε)i) i V = ((1 ρ)β i (i + v ) + μ i ) [ i ((μ + α + ε)i) i ((1 ρ)β i (i + v ) + μ i ) i ] (μ + α + ε) = [ ] 2(1 ρ)β i + (1 ρ)β v + μ (μ + α + ε) = [ ]. (1 ρ)β v + μ Selanjutnya dicari V 1, V 1 = 1 (μ + α + ε)((1 ρ)β v + μ ) [(1 ρ)β v + μ (μ + α + ε) ] = [ (1 ρ)β v + μ (μ + α + ε)((1 ρ)β v + μ ) (μ + α + ε) (μ + α + ε)((1 ρ)β v + μ )] = [ 1 (μ + α + ε). 1 (1 ρ)β v + μ ] 73

31 Sehingga diperoleh Next Generation Matriks yaitu, K = FV 1 = [ β ] (1 ρ)β [ 1 (μ + α + ε) 1 (1 ρ)β v + μ ] = [ β (1 ρ)β v + μ (1 ρ)β. (3.2) (1 ρ)β v + μ ] Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari Next Generation Matriks. Jadi bilangan reproduksi dasar dari model matematika penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dengan pengaruh vaksinasi pada unggas adalah (1 R = ρ(k) = FV 1 ρ)β = (1 ρ)β v + μ (1 ρ)β R = ρ (1 ρ)β ( (ρ + μ ) ) + μ. (3.21) G. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Setelah didapatkan titik ekuilibrium model, selanjutnya akan dianalisis kestabilan untuk masing-masing titik ekuilibrium yaitu kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan kestabilan titik ekuilibrium endemik. 1. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Titik ekuilibrium bebas penyakit dari Sistem (3.9) yaitu E = (s, i, r, i, v ) = (1,,,, ρ (ρ+μ ) ekuilibrium sebagai berikut: ). Selanjutnya akan dilakukan analisis kestabilan disekitar titik 74

32 Sistem (3.9) didefinisikian menjadi: f 1 (s, i, r, i, v ) = μ (μ + βi )s + ωr, f 2 (s, i, r, i, v ) = (βi s (μ + α + ε)i), (3.22) f 3 (s, i, r, i, v ) = εi (μ + ω)r, f 4 (s, i, r, i, v ) = (1 ρ)β i (1 (i + v )) μ i, f 5 (s, i, r, i, v ) = ρs μ v. Matriks Jacobian dari Sistem (3.22) adalah J = [ (f 1 (s,i,r,i,v )) s (f 2 (s,i,r,i,v )) s (f 3 (s,i,r,i,v )) s (f 4 (s,i,r,i,v )) s (f 5 (s,i,r,i,v )) s (f 1 (s,i,r,i,v )) i (f 2 (s,i,r,i,v )) i (f 3 (s,i,r,i,v )) i (f 4 (s,i,r,i,v )) i (f 5 (s,i,r,i,v )) i (f 1 (s,i,r,i,v )) r (f 2 (s,i,r,i,v )) r (f 3 (s,i,r,i,v )) r (f 4 (s,i,r,i,v )) r (f 5 (s,i,r,i,v )) r (f 1 (s,i,r,i,v )) (f 1 (s,i,r,i,v )) i v (f 2 (s,i,r,i,v )) (f 2 (s,i,r,i,v )) i v (f 3 (s,i,r,i,v )) (f 3 (s,i,r,i,v )) i (f 4 (s,i,r,i,v )) i (f 5 (s,i,r,i,v )) i v (f 4 (s,i,r,i,v )) v (f 5 (s,i,r,i,v )) v ] = (μ + βi ) ω βs βi (μ + α + ε) βs ε (μ + ω) A (1 ρ)β i [ ρ ( ρ + μ ) ] (3.23) dengan A = (1 ρ)β (1 2i v ) μ. Substitusi titik ekuilibrium bebas penyakit ke Persamaan (3.23) serta didefinisikan M = (μ + α + ε) sehingga diperoleh Matriks Jacobian di titik ekuilibrium bebas penyakit adalah sebagai berikut: J(E ) = μ ω β M β ε (μ + ω) C [ ρ ( ρ + μ )] (3.24) 75

33 dengan C = (1 ρ)β (1 ρ (ρ+μ ) ) μ. Nilai eigen dari matriks J(E ) dapat dicari dengan menentukan det (λi J(E )) = dengan λ adalah nilai eigen dan I adalah matriks identitas, sehingga didapat, λi J(E ) = 1 μ ω β 1 M β λ 1 ε (μ + ω) = 1 C [ 1] [ ρ ( ρ + μ )] λ μ ω β λ M β λ ε (μ + ω) = λ C [ λ] [ ρ ( ρ + μ )] λ + μ ω β λ + M β ε λ + (μ + ω) = λ C ρ λ + ( ρ + μ ) λ + μ ω λ + M (λ C) ε λ + (μ + ω) = λ + ( ρ + μ ) λ + μ ω (λ C)( (λ + M)) λ + (μ + ω) = λ + ( ρ + μ ) λ + μ (λ C)( (λ + M))(λ + ( ρ + μ )) ω λ + (μ + ω) = 76

34 (λ C)( (λ + M))(λ + ( ρ + μ ))(λ + μ)(λ + (μ + ω)) = (λ C)(λ + M)(λ + ( ρ + μ ))(λ + μ)(λ + (μ + ω)) = (3.25) Jadi diperoleh polinomial berikut: p(λ) = (λ C)(λ + M)(λ + ( ρ + μ ))(λ + μ)(λ + (μ + ω)) = (3.26) Dari Persamaan (3.26) diperoleh nilai eigen sebagai berikut: λ 1 = μ, λ 2 = M, λ 3 = (μ + ω), λ 4 = ( ρ + μ ), λ 5 = C = (1 ρ)β (1 ρ (ρ + μ ) ) μ = (1 ρ)β (1 ρ)β ρ (ρ + μ ) μ = (1 ρ)β ((1 ρ)β ρ (ρ + μ ) + μ ) = (1 ρ)β (1 ρ)β R = (1 ρ)β (1 1 R ) = (1 ρ)β ( R 1 R ). dengan R = (1 ρ)β ρ (1 ρ)β (ρ+μ )+μ. 77

35 Dapat disimpulkan bahwa λ 1, λ 2, λ 3 dan λ 4 bernilai negatif atau λ 1 <, λ 2 <, λ 3 <, dan λ 4 < sedangkan untuk λ 5 < atau bernilai negatif saat R < 1, dan λ 5 > saat R > 1. Jadi titik ekuilibrium E stabil asimtotik lokal saat R < 1 dan titik ekuilibrium E tidak stabil saat R > Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik Titik ekuilibrium endemik dari Sistem (3.9) yaitu E 1 = (s, i, r, i, v ). Selanjutnya akan dilakukan analisis kestabilan disekitar titik ekuilibrium sebagai berikut: Sistem (3.9) didefinisikian menjadi: f 1 (s, i, r, i, v ) = μ (μ + βi )s + ωr, f 2 (s, i, r, i, v ) = (βi s (μ + α + ε)i), (3.27) f 3 (s, i, r, i, v ) = εi (μ + ω)r, f 4 (s, i, r, i, v ) = (1 ρ)β i (1 (i + v )) μ i, f 5 (s, i, r, i, v ) = ρs μ v. Matriks Jacobian dari Sistem (3.27) adalah J = [ (f 1 (s,i,r,i,v )) s (f 2 (s,i,r,i,v )) s (f 3 (s,i,r,i,v )) s (f 4 (s,i,r,i,v )) s (f 5 (s,i,r,i,v )) s (f 1 (s,i,r,i,v )) i (f 2 (s,i,r,i,v )) i (f 3 (s,i,r,i,v )) i (f 4 (s,i,r,i,v )) i (f 5( s,i,r,i,v )) i (f 1 (s,i,r,i,v )) r (f 2 (s,i,r,i,v )) r (f 3 (s,i,r,i,v )) r (f 4 (s,i,r,i,v )) r (f 5 (s,i,r,i,v )) r (f 1 (s,i,r,i,v )) i (f 2 (s,i,r,i,v )) i (f 3 (s,i,r,i,v )) i (f 4 (s,i,r,i,v )) i (f 5 (s,i,r,i,v )) i (f 1 (s,i,r,i,v )) v (f 2 (s,i,r,i,v )) v (f 3 (s,i,r,i,v )) v (f 4 (s,i,r,i,v )) v (f 5 (s,i,r,i,v )) v ] 78

36 = (μ + βi ) ω βs βi (μ + α + ε) βs ε (μ + ω) A (1 ρ)β i [ ρ ( ρ + μ ) ] (3.28) Dengan A = (1 ρ)β (1 2i v ) μ. Substitusi titik ekuilibrium endemik ke Persamaan (3.28) dan didefinisikan untuk M = (μ + α + ε) sehingga diperoleh Matriks Jacobian di titik ekuilibrium endemik adalah sebagai berikut: J(E 1 ) = μ βi ω βs βi M βs ε (μ + ω) C (1 ρ)β i [ ρ ( ρ + μ ) ] (3.29) dengan C = (1 ρ)β (1 2i v ) μ. Nilai eigen dari matriks J(E 1 ) dapat dicari dengan menentukan det(λi J(E 1 )) = dengan λ adalah nilai eigen dan I adalah matriks identitas, sehingga didapat, λi J(E ) = 1 μ βi ω βs 1 βi M βs λ 1 ε (μ + ω) = 1 C (1 ρ)β i [ 1] [ ρ ( ρ + μ ) ] 79

37 λ μ βi ω βs λ βi M βs λ ε (μ + ω) = λ C (1 ρ)β i [ λ] [ ρ ( ρ + μ ) ] λ + μ + βi ω βs βi λ + M βs ε λ + (μ + ω) λ C (1 ρ)β i = ρ λ + ( ρ + μ ) λ + μ + βi ω βi λ + M (λ C) + ε λ + (μ + ω) λ + ( ρ + μ ) λ + μ + βi ω βs βi λ + M βs (1 ρ)β i ε λ + (μ + ω) = ρ λ + μ + βi ω (λ C)( (λ + ( ρ + μ )) βi λ + M ε λ + (μ + ω) λ + μ + βi ω (1 ρ)β i ρ βi λ + M = ε λ + (μ + ω) λ + M (λ C)(λ + ( ρ + μ )) ((λ + μ + βi ) ε λ + (μ + ω) ω βi λ + M ε ) (1 ρ)β λ + M i ρ ((λ + μ + βi ) ε λ + (μ + ω) ω βi λ + M ε ) = 8

38 (λ C)(λ + ( ρ + μ )) ((λ + μ + βi )(λ + M)(λ + (μ + ω)) βi ωε) (1 ρ)β i ρ ((λ + μ + βi )(λ + M)(λ + (μ + ω)) βi ωε) = (λ C)(λ + ( ρ + μ )) ((λ + μ + βi )(λ + M)(λ + (μ + ω)) βi ωε) (1 ρ)β i ρ ((λ + μ + βi )(λ + M)(λ + (μ + ω)) βi ωε) = ((λ C)(λ + ( ρ + μ )) (1 ρ)β i ρ) ((λ + μ + βi )(λ + M)(λ + (μ + ω)) βi ωε) = (λ 2 + λ(( ρ + μ ) C) (C( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ)) ((λ + μ + βi )(λ 2 + λ(m + μ + ω) + M(μ + ω)) βi ωε) = (λ 2 + λ(( ρ + μ ) C) (C( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ)) (λ 3 + λ 2 (2μ + βi + M + ω) + λ ((M + (μ + ω))(μ + βi ) + M(μ + ω)) + (M(μ + ω)(μ + βi ) βi ωε)) = (λ 5 + λ 4 (( ρ + μ ) C) λ 3 (C( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ) + λ 4 (2μ + βi + M + ω) + λ 3 (2μ + βi + M + ω)(( ρ + μ ) C) λ 2 (2μ + βi + M + ω)(c( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ)) + λ 3 ((M + (μ + ω))(μ + βi ) + M(μ + ω)) + λ 2 ((M + (μ + ω))(μ + βi ) + M(μ + ω)) (( ρ + μ ) C) λ ((M + (μ + ω))(μ + βi ) + M(μ + ω)) (C( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ) + 81

39 λ 2 (M(μ + ω)(μ + βi ) βi ωε) + λ(( ρ + μ ) C)(M(μ + ω)(μ + βi ) βi ωε) ((M(μ + ω)(μ + βi ) βi ωε)(c( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ))) = (λ 5 + λ 4 ((ρ + μ C) + (2μ + βi + M + ω)) + λ 3 ((2μ + βi + M + ω)(ρ + μ C) (C( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ) + ((M + (μ + ω))(μ + βi ) + M(μ + ω))) + λ 2 ( (2μ + βi + M + ω)(c( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ)) + ((M + (μ + ω))(μ + βi ) + M(μ + ω)) (( ρ + μ ) C) + (M(μ + ω)(μ + (βi ) βi ωε)) + λ(( ρ + μ ) C)(M(μ + ω)(μ + βi ) βi ωε) ((M + (μ + ω))(μ + βi ) + M(μ + ω)) (C( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ) ((M(μ + ω)(μ + βi ) βi ωε)(c( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ))) = (3.3) dengan C = (1 ρ)β (1 2i v ) μ, yang dapat disederhanakan menjadi, C = (1 ρ)β (1 2i v ) μ = (1 ρ)β 2(1 ρ)β (1 ρ)β (μ + ρ) (1 ρ)β (1 ρ)β ρ (1 ρ)β μ = (1 ρ)β 2(1 ρ)β + 2(μ + ρ) ρ μ = (1 ρ)β + (ρ + μ ). 82

40 dari Persamaan (3.3) dapat dinyatakan menjadi polinomial sebagai berikut: q(λ) = a λ 5 + a 1 λ 4 + a 2 λ 3 + a 3 λ 2 + a 4 λ + a 5 = (3.31) Dengan a = 1, (3.32) a 1 = (( ρ + μ ) C) + (μ + βi + M + (μ + ω)) = (1 ρ)β + (2μ + βi + M + ω), (3.33) a 2 = ((2μ + βi + M + ω)(ρ + μ C) (C( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ) + ((M + (μ + ω))(μ + βi ) + M(μ + ω))) = (2μ + βi + M + ω)(1 ρ)β + μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω) (3.34) a 3 = ( (2μ + βi + M + ω)(c( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ)) + ((M + (μ + ω))(μ + βi ) + M(μ + ω)) (( ρ + μ ) C) + (M(μ + ω)(μ + βi ) βi ωε)) = (2μ + βi + M + ω)μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) (3.35) a 4 = (( ρ + μ ) C)(M(μ + ω)(μ + βi ) βi ωε) ((M + (μ + ω))(μ + βi ) + M(μ + ω)) (C( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ) 83

41 = (1 ρ)β (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)((1 ρ)β ( ρ + μ ))μ (3.36) a 5 = (M(μ + ω)(μ + βi ) βi ωε)(c( ρ + μ ) + (1 ρ)β i ρ) = (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε)((1 ρ)β (ρ + μ ))μ (3.37) Nilai-nilai eigen yang lain merupakan akar-akar dari polinomial, q(λ) = a λ 5 + a 1 λ 4 + a 2 λ 3 + a 3 λ 2 + a 4 λ + a 5 yang akan ditentukan sebagai berikut: Persamaan (3.33) dan (3.35) dapat dinyatakan menjadi a 1 = (1 ρ)β + (μ + βi + M + (μ + ω)) = (1 ρ)β + (2μ + βi + M + ω) dengan M = μ + α + ε, Berdasarkan asumsi, parameter μ, ω, ε, α, β, β >, i dan ρ 1 sehingga a 1 >. Selanjutnya dibuktikan bahwa a 3 > sebagai berikut: a 3 = (2μ + βi + M + ω)μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) 84

42 = (2μ + βi + M + ω)μ i (1 ρ)β + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) = (2μ + βi + M + ω)μ i (1 ρ)β + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + βi ω(m ε)) dengan M = μ + α + ε, maka M ε = μ + α Berdasarkan asumsi, parameter μ, ω, ε, α, β, β >, i dan ρ 1 sehingga a 3 >. Nilai eigen dari Persamaan (3.31) dapat dicari menggunakan tabel Routh-Hurwitz yang ditunjukan pada Tabel 3.2. Tabel 3.2. Tabel Routh-Hurwitz a a 2 a 1 a 3 b 1 b 2 c 1 c 2 Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, pembuat nol dari Persamaan (3.31) akan bertanda negatif apabila pada kolom pertama Tabel 3.2 tidak ada perubahan tanda. Diketahui bahwa a dan a 1 bernilai positif. Agar kolom pertama pada Tabel 3.2 tidak ada perubahan tanda (memiliki tanda sama) maka b 1 dan c 1 haruslah positif. 85

43 a a 2 a b 1 = 1 a 3 = a 1a 2 a a 3 = a 1a 2 a 3 a 1 a 1 a 1 a a 4 a b 2 = 1 a 5 = a 1a 4 a a 5 = a 1a 4 a 5 a 1 a 1 a 1 a 1 a 3 b c 1 = 1 b 2 = b 1a 3 b 2 a 1. b 1 b 1 Agar b 1 bernilai positif maka a 1 a 2 a 3 > karena a 1 > Perhatikan bahwa, a 1 a 2 a 3 = [{(1 ρ)β + (2μ + βi + M + ω)}{(2μ + βi + M + ω)(1 ρ)β + μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)}] [(2μ + βi + M + ω)μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) ] = {(1 ρ)β } 2 (2μ + βi + M + ω) + (1 ρ)β μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + (1 ρ)β (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω) + {(2μ + βi + M + ω)} 2 (1 ρ)β + (2μ + βi + M + ω)μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + (2μ + βi + M + ω)(2mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω) (2μ + βi + M + ω)μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) 86

44 = {(1 ρ)β } 2 (2μ + βi + M + ω) + (1 ρ)β μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + {(2μ + βi + M + ω)} 2 (1 ρ)β + (2μ + βi + M + ω)(2mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω) (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) = {(1 ρ)β } 2 (2μ + βi + M + ω) + (1 ρ)β μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + {(2μ + βi + M + ω)} 2 (1 ρ)β + (5Mμ 2 + 5Mβi μ + 2μ 3 + 3μ 2 βi + 3μ 2 ω + 4μωβi + 5μMω + Mβi 2 + μβi 2 + ωβi 2 + 3βi Mω + 2M 2 μ + M 2 βi + M 2 ω + ω 2 μ + ω 2 βi + ω 2 M) (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) = {(1 ρ)β } 2 (2μ + βi + M + ω) + (1 ρ)β μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + {(2μ + βi + M + ω)} 2 (1 ρ)β + (4Mμ 2 + 4Mβi μ + 2μ 3 + 3μ 2 βi + 3μ 2 ω + 4μωβi + 4μMω + Mβi 2 + μβi 2 + ωβi 2 + 2βi Mω + 2M 2 μ + M 2 βi + M 2 ω + ω 2 μ + ω 2 βi + ω 2 M + βi ωε ) = [2μ 3 + 4Mμ 2 + 3μ 2 ω + 4μMω + 2M 2 μ + M 2 ω + ω 2 μ + ω 2 M + {(1 ρ)β } 2 (2μ + M + ω)] + {(2μ + βi + M + ω)} 2 (1 ρ)β + i ({(1 ρ)β } 2 β + {(1 ρ)β } 2 μ + 4Mβμ + 3μ 2 β + 4μωβ + 2βMω + M 2 β + ω 2 β + βωε) + i 2 (Mβ 2 + μβ 2 + ωβ 2 ) = [2μ 3 + 4Mμ 2 + 3μ 2 ω + 4μMω + 2M 2 μ + M 2 ω + ω 2 μ + ω 2 M + {(1 ρ)β } 2 (2μ + M + ω)] + 87

45 {(2μ + β { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) } + M + ω)} 2 (1 R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ ρ)β + { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ } ({(1 ρ)β } 2 β + {(1 ρ)β } 2 μ + 4Mβμ + 3μ 2 β + 4μωβ + 2βMω + M 2 β + ω 2 β + βωε) + { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ } 2 (Mβ 2 + μβ 2 + ωβ 2 ). dengan R = (1 ρ)β ρ (1 ρ)β (μ+ρ) +μ. Jelas a 1 a 2 a 3 > jika R > 1. Jadi dapat disimpulkan bahwa b 1 bernilai positif dengan a 1 a 2 a 3 > dan a 1 > saat R > 1. Selanjutnya agar pada kolom pertama bernilai positif semua maka nilai c 1 harus bernilai positif, dan agar c 1 bernilai positif maka b 1 a 3 b 2 a 1 > karena b 1 >. a 3 a 2 + a 5 = {(2μ + βi + M + ω)μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε)}{(2μ + βi + M + ω)(1 ρ)β + μ ((1 ρ)β (μ + ρ)) + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)} + [(Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε)(1 ρ)β i μ ] = {(2μ + βi + M + ω)μ (1 ρ)β i + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε)}{(2μ + βi + M + ω)(1 ρ)β + μ (1 88

46 ρ)β i + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)} + [(Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε)(1 ρ)β i μ ] = {(2μ + βi + M + ω)(1 ρ)β } 2 i μ + (2μ + βi + M + ω)(μ (1 ρ)β ) 2 i 2 + (2μ + βi + M + ω)μ (1 ρ)β i (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω) + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(2μ + βi + M + ω)((1 ρ)β ) 2 + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)((1 ρ)β ) 2 μ i + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω) 2 (1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε){(2μ + βi + M + ω)(1 ρ)β + 2μ (1 ρ)β i + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)} a 1 a 4 = {(1 ρ)β + (2μ + βi + M + ω)}{(1 ρ)β (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β i μ } = ((1 ρ)β ) 2 (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) + ((1 ρ)β ) 2 (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)μ i +(2μ + βi + M + ω)(mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε)(1 ρ)β + (2μ + βi + M + ω)(2mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β i μ (a 3 a 2 + a 5 a 1 a 4 ) = {(2μ + βi + M + ω)(1 ρ)β } 2 i μ + (2μ + βi + M + ω)(μ (1 ρ)β ) 2 i 2 + (2Mμ + Mβi + μ

47 μβi + ωμ + ωβi + Mω)(2μ + βi + M + ω)((1 ρ)β ) 2 + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω) 2 (1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε){2μ (1 ρ)β i + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)} {((1 ρ)β ) 2 (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε)} a 1 (a 3 a 2 + a 5 a 1 a 4 ) = {(1 ρ)β + (2μ + βi + M + ω)}[{(2μ + βi + M + ω)(1 ρ)β } 2 i μ + (2μ + βi + M + ω)(μ (1 ρ)β ) 2 i 2 + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(2μ + βi + M + ω)((1 ρ)β ) 2 + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω) 2 (1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε){2μ (1 ρ)β i + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)} {((1 ρ)β ) 2 (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε)} ] a 3 a 3 = {(2μ + βi + M + ω)μ (1 ρ)β i + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) }{(2μ + βi + M + ω)μ (1 ρ)β i + (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β + (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) } 9

48 = {(2μ + βi + M + ω)μ (1 ρ)β i } 2 + 2(2μ + βi + M + ω)μ ((1 ρ)β ) 2 i (2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω) + 2(2μ + βi + M + ω)μ (1 ρ)β i (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) + {(2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β } 2 + 2(2Mμ + Mβi + μ 2 + μβi + ωμ + ωβi + Mω)(1 ρ)β (Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε) + {(Mμ 2 + Mβi μ + Mμω + Mβi ω βi ωε)} 2 {a 1 (a 3 a 2 + a 5 a 1 a 4 )} a 3 a 3 = {(2μ + β { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) } + M + ω) (1 R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ ρ)β } 2 { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ } μ {(1 ρ)β + (2μ + β { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ } + M + ω)} + (2μ + β { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ } + M + ω) (μ (1 ρ)β ) 2 { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ } 2 (1 ρ)β + {2μ (2Mμ + Mβ R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ + μ 2 + μβ R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ + ωμ + ωβ R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ + Mω) + β R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) (2Mμ + Mβ R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) + R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ μ 2 + μβ R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ + ωμ + ωβ R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ + Mω) + 91

49 ω (2Mμ + Mβ R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ + μ 2 + μβ R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ + ωμ + ωβ R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ + Mω) + 2M 2 μ 2 + M 2 ω + M 2 β R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ + β R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ ωε)} ((1 ρ)β ) 2 {(1 ρ)β + (2μ + β { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ } + M + ω)} + (2Mμ + μ 2 + ωμ + Mω + (Mβ + μβ + ωβ) { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ }) 2 (1 ρ)β + {(Mμ 2 + Mμω + (Mβμ + (μ + α)βω) { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) })} {2μ R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ (1 ρ)β { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ }} {(1 ρ)β + (2μ + β { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ } + M + ω) 1}} + {(Mμ 2 + Mμω + (Mβμ + (μ + α)βω) { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ })}((4Mμ 2 + 2μ 3 + 3ωμ 2 + 4μMω + (4Mβμ + 3μ 2 β + 4μωβ + 2Mωβ + M 2 β + ω 2 β + βωε) { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ } + (Mβ 2 + μβ 2 + ωβ 2 ) { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) } 2 + 2M 2 μ + M 2 ω + ω 2 μ + Mω 2 ) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ (2Mμ + μ 2 + ωμ + Mω + (Mβ + μβ + ωβ) { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ })(1 ρ)β ) 2 (2μ + 92

50 β { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ } + M + ω) μ ((1 ρ)β ) 2 { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ } (2Mμ + μ 2 + (Mβ + μβ + ωβ) { R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)(r μ (μ +ρ)) } + ωμ + Mω) R (1 ρ)β ρ+(μ +ρ)r μ dengan M = μ + α + ε, maka M ε = μ + α dan R = Jelas {a 1 (a 3 a 2 + a 5 a 1 a 4 )} a 3 a 3 > jika R > 1. (1 ρ)β ρ (1 ρ)β (μ+ρ) +μ. Jadi dapat disimpulkan bahwa c 1 bernilai positif dengan b 1 a 3 b 2 a 1 > dan a 1 > saat R > 1. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa nilai pada kolom pertama Tabel 3.2 bernilai positif yaitu a, a 1, b 1, c 1 > maka titik ekuilibrium E 1 stabil asimtotik lokal saat R > 1. H. Simulasi Model Pada sub bab ini akan disimulasikan secara numerik model penyebaran virus Flu Burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas, dalam hal ini proses simulasi memanfaatkan software Maple 17. Adanya program vaksinasi dilakukan untuk mencegah meluasnya penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia. Vaksinasi dianggap berhasil jika pada waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi. Bilangan reproduksi dasar (R ) dapat digunakan untuk mengetahui penyakit tersebut akan menghilang dari populasi atau bersifat endemik. Saat R < 1 artinya setiap individu yang terinfeksi dapat menularkan virus Flu Burung (Avian Influenza) kepada rata-rata kurang dari satu individu rentan, sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit dapat menghilang dari populasi. 93

51 Namun, untuk R > 1 artinya setiap individu terinfeksi dapat menularkan penyakit flu burung (Avian Influenza) kepada rata-rata lebih dari satu individu rentan, sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit menyebar dalam populasi. Dalam model penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas dipilih nilai parameter yaitu μ =.4, β =.75, β =.35, μ =.4, ω =.1, ε =.25 dan α =.2 (Mohamed Derouich dan Abdesslam Boutayeb: 28). Kemudian untuk parameter ρ menyatakan parameter tingkat vaksinasi. Nilai dari parameter ini dapat bervariasi sesuai dengan kondisi nilai R. Diberikan nilai awal untuk masing-masing banyaknya populasi manusia rentan, banyaknya populasi manusia terinfeksi, banyaknya populasi manusia yang sembuh, banyaknya populasi unggas yang terinfeksi, dan banyaknya populasi unggas yang tervaksinasi adalah s() = 1, i() =, r() =, i () =.5 dan v () =.5. Berdasarkan nilai-niali parameter dan nilai awal yang diberikan, selanjutnya akan dilakukan simulasi numerik untuk model penyebaran virus Flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas. Dari simulasi tersebut akan dilihat pengaruh vaksinasi untuk penyebaran virus Flu burung (Avian Influenza) dalam suatu populasi. 94

52 Tabel 3. 1 Beberapa parameter yang digunakan untuk Simulasi Parameter Percobaan ρ β β R E (1,,,,) - (1,,,,.714) - (1,,,,.833) E 1 - (.239,.142,.355,.2,) - (.693,.57,.14,.27,.6944) - Gambar Gambar 3.2 Gambar 3.3 Gambar 3.4 Gambar 3.5 Gambar 3.6 Perhatikan untuk beberapa simulasi berikut ini: Dalam grafik, garis yang berwarna kuning menunjukkan banyaknya populasi manusia rentan s(t), garis yang berwarna biru menunjukkan banyaknya populasi manusia yang terinfeksi i(t), garis yang berwarna merah menunjukkan banyaknya populasi manusia yang sembuh r(t), garis yang berwarna hijau menunjukkan banyaknya populasi unggas yang terinfeksi i (t), dan garis yang berwarna hitam menunjukkan banyaknya populasi unggas yang tervaksinasi v (t). 95

53 1. Simulasi model Matematika pada Penyebaran Virus Flu burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia tanpa Pengaruh Vaksinasi untuk ρ =. Berikut diberikan simulasi model matematika untuk penyebaran virus flu burung dari unggas ke manusia yang disajikan pada Gambar 3.2 berikut ini: Gambar 3.2 Simulasi model dengan ρ =. Pada Gambar 3.2 dengan parameter β =,35 dan ρ = (tanpa pengaruh vaksinasi), gambar tersebut menunjukkan bahwa banyaknya populasi unggas yang terinfeksi i (t) dan banyaknya populasi manusia yang terinfeksi i(t) menurun namun tidak menuju nol sehingga pada waktu tertentu virus flu burung (Avian Influenza) akan selalu ada dalam populasi sampai waktu yang tak terbatas, keadaan tersebut saat R =,875 < 1. 96

54 2. Simulasi model Matematika pada Penyebaran Virus Flu burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia tanpa Pengaruh Vaksinasi untuk ρ =. Berikut diberikan simulasi model matematika untuk penyebaran virus flu burung dari unggas ke manusia yang disajikan pada Gambar 3.3 berikut ini: Gambar 3.3 Simulasi model dengan ρ =. Kemudian pada Gambar 3.3 dilakukan perubahan nilai parameter untuk β yaitu,5, perubahan paramter dilakukan untuk melihat terjadi epidemi penyakit pada populasi saat ρ = (tanpa pengaruh vaksinasi). Pada Gambar 3.3 terlihat bahwa banyaknya populasi unggas yang terinfeksi i (t) dan banyaknya populasi manusia yang terinfeksi i(t) bersifat konstan atau menjauhi nol artinya bahwa terjadi epidemi virus flu burung (Avian Influenza) 97

55 dari unggas ke manusia dengan bilangan reproduksi dasar pada saat ρ = adalah R = Nilai R = 1.25, artinya bahwa setiap individu yang terinfeksi dapat menularkan virus flu burung kepada satu sampai dua individu dan virus akan selalu ada sampai waktu yang tidak terbatas. 3. Simulasi model Matematika pada Penyebaran Virus Flu burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi untuk ρ =. 1. Berikut diberikan simulasi model matematika untuk penyebaran virus flu burung dari unggas ke manusia yang disajikan pada Gambar 3.4 berikut ini: Gambar 3.4 Simulasi model dengan ρ =.1. 98

56 Pada Gambar 3.3 masih terjadi epidemi virus flu burung dalam populasi saat laju kontak unggas sehat dan unggas sakit sebesar,5 maka pada Gambar 3.4 dilakukan penambahan pemberian vaksinasi pada unggas sebesar ρ =.1, terlihat bahwa banyaknya populasi unggas yang terinfeksi i (t) dan banyaknya populasi manusia yang terinfeksi i(t) menurun lebih cepat dibandingkan pada Gambar 3.2. Jadi dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi vaksin yang diberikan, maka banyaknya populasi unggas yang terinfeksi i (t) dan banyaknya populasi manusia yang terinfeksi i(t) akan semakin cepat menurun menuju nol. 4. Simulasi model Matematika pada Penyebaran Virus Flu burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi untuk ρ =. 1. Berikut diberikan simulasi model matematika untuk penyebaran virus flu burung dari unggas ke manusia yang disajikan pada Gambar 3.5 berikut ini 99

57 Gambar 3.5 Simulasi model dengan ρ =.1. Selanjutnya dilakukan perubahan nilai parameter untuk β yaitu,16 yang terlihat pada Gambar 3.5, dalam gambar tersebut dapat dijelaskan bahwa banyaknya populasi unggas yang terinfeksi i (t) dan banyaknya populasi manusia yang terinfeksi i(t) menurun namun tidak menuju nol sehingga pada waktu tertentu virus flu burung (Avian Influenza) akan selalu ada dalam populasi sampai waktu yang tak terbatas dengan bilangan reproduksi dasar pada saat ρ =.1 adalah R = Simulasi model Matematika pada Penyebaran Virus Flu burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi untuk ρ =. 2. Berikut diberikan simulasi model matematika untuk penyebaran virus flu burung dari unggas ke manusia yang disajikan pada Gambar 3.6 berikut ini: 1

58 Gambar 3.6 Simulasi model dengan ρ =.2. Tingkat pemberian vaksinasipun kemudian ditambah untuk mencapai hasil yang efektif sebesar ρ =.2 pada unggas, yang terlihat pada Gambar 3.6. Dalam gambar tersebut menujukkan bahwa banyaknya populasi unggas yang terinfeksi i (t) dan banyaknya populasi manusia yang terinfeksi i(t) menurun menuju nol sehingga pada waktu tertentu virus flu burung (Avian Influenza) akan menghilang dari populasi. Jadi dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi laju kontak antara unggas sehat dengan unggas sakit (β ) maka penyakit akan menyebar dan terjadi epidemi, dalam hal ini laju kontak antara unggas sehat dan unggas sakit sangat berpengaruh dalam menentukan kestabilan titik ekuilibrium sedangkan semakin tinggi tingkat pemberian vaksinasi maka virus flu burung (Avian Influenza) akan semakin cepat 11