ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN HIV PADA POPULASI HOMOSEKSUAL

Transkripsi

1 AAL KEABLA MODEL PEYEBARA HV PADA POPLA HOMOEKAL oleh LDA PJ R HA M KRP ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar arjana ains Matematika. FAKLA MAEMAKA DA LM PEGEAHA ALAM VERA EBELA MARE RAKARA

2 ABRAK Lisda Puji ri Hastuti. AAL KEABLA MODEL PEYEBARA HV PADA POPLA HOMOEKAL. Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan Alam niversitas ebelas Maret. HV (Human mmunodeficiency Virus) merupakan jenis virus obligat yang menyerang sistem kekebalan tubuh manusia dan kemudian menimbulkan AD. Virus ini menyebar secara cepat dan memiliki angka kematian yang cukup tinggi. Oleh karena itu dipandang perlu untuk mempelajari model penyebaran HV terutama pada populasi homoseksual karena penyebaran HV berawal dari populasi tersebut. ujuan dari skripsi ini adalah menganalisis kestabilan di titik kesetimbangan bebas penyakit dan memberikan interpretasi terhadap hasil yang diperoleh. Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur. Adapun langkahlangkahnya yaitu menentukan titik kesetimbangan menganalisis kesetimbangan dan menganalisis kestabilan pada titik-titik kesetimbangan. ntuk menganalisis kestabilan digunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Dapat disimpulkan bahwa model penyebaran HV pada populasi homoseksual dapat dibedakan menjadi dua yaitu model penyebaran HV tanpa adanya tes darah dan model penyebaran HV dengan adanya tes darah. Masingmasing model memiliki dua titik kesetimbangan bebas penyakit. itik kesetimbangan stabil jika rasio reproduksi R <. Jika titik kesetimbangan stabil hal ini menunjukkan bahwa HV tidak akan berkembang menjadi endemis. Kata kunci : HV titik kesetimbangan kestabilan kriteria Routh-Hurwitz

3 ABRAC Lisda Puji ri Hastuti. ABLY AALY OF HE PREADG OF HV MODEL HOMOEXAL POPLAO. Faculty of Mathematics and atural ciences ebelas Maret niversity. Human mmunodeficiency Virus (HV) is one of the virus which attacks human immunity and causes AD. his virus spreads quickly and has a great mortality rate. herefore it is important to study the spreading of the HV especially in homosexual populations because the spreading of the HV started in it. he purposes of this research are to analyze the stability of the equilibrium point and to give the interpretation of the result in the example. he research uses literary study. he steps to find the goal are determining the equilibrium point analizing the equilibrium and the stability of the model. he stability is analyzed by Routh-Hurwitz Criterion. As the conclusion the spreading of HV model can be divided into model without blood screening and model with blood screening. Each model has two free equilibrium points. hose equilibrium points will be stable if the reproduction ratio R <. f the equilibrium points are stable then the virus will not go into the endemic situation. Key words : HV equilibrium point stability Routh-Hurwitz Criterion

4 MOO Allah kelak akan memberikan kelapangan sesudah kesempitan. (Q.. Ath halaq : 7) Kesukaran yang kita jumpai dalam menempuh tujuan merupakan jalan terdekat ke arah tujuan itu. (Kahlil Gibran) egala kesulitan dan ujian hidup akan membuat kita menjadi manusia yang lebih kuat dan lebih baik. (Penulis)

5 PEREMBAHA kripsi ini penulis persembahkan untuk : Almarhum Bapak tercinta salah satu anugerah terbesar dalam hidupku adalah terlahir sebagai putrimu. Aku tidak tahu bagaimana harus mengungkapkan betapa aku merindukanmu love you Dad... bu Azis dan seluruh keluarga besarku kalian adalah api semangat dalam hidupku yang selamanya akan terus menyala dan memberiku kekuatan untuk terus berdiri tegar. My lovely one... terima kasih karena selalu berada di sisiku di saat senang maupun di saat-saat tersulit dalam hidupku. emoga kamu bisa menjadi mamku di dunia maupun di akhirat nanti.

6 KAA PEGAAR Puji syukur alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah W yang senantiasa memberikan rahmat serta hidayah-ya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik karena adanya bantuan dari berbagai pihak. ntuk itu dengan segala kerendahan hati penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini terutama penulis tujukan kepada :. Bapak Drs. utrima M. i. selaku Dosen Pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk membimbing dan mengarahkan penulis dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini.. Bapak rwan usanto. i. DEA selaku Dosen Pembimbing yang telah memberi masukan bagi penulis.. bu Azis dan Yusuf yang telah banyak memberikan dorongan semangat dan doa selama penyusunan skripsi ini. 4. Mas Win Mas Bayu Mbak Ari Mbak urati Lisna dan Astrid yang selalu meluangkan waktu untuk membantu penulis.. eman-teman angkatan yang telah memberikan bantuan dan motivasi.. emua pihak yang telah membantu penulis dalam menyusun skripsi ini. emoga Allah W membalas segala bantuan yang telah diberikan kepada penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. urakarta Oktober Penulis

7 DAFAR JDL... i PEGEAHA... ii ABRAK iii ABRAC iv MOO... v PEREMBAHA vi KAA PEGAAR vii DAFAR viii DAFAR ABEL... x DAFAR GAMBAR xi DAFAR OA xii BAB PEDAHLA..Latar Belakang Masalah.....Perumusan Masalah.....Batasan Masalah...

8 .4.ujuan Penulisan.....Manfaat Penulisan... BAB LADAA EOR..injauan Pustaka eori HV/AD Model Matematika.....Persamaan Diferensial.....4Matriks Kestabilan istem Persamaan Diferensial Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz Kerangka Pemikiran BAB MEODE PELA BAB V PEMBAHAA 4..Model Penyebaran Virus HV anpa Adanya es Darah itik Kesetimbangan Analisis Kestabilan

9 4..Model Penyebaran Virus HV Dengan Adanya es Darah itik Kesetimbangan Analisis Kestabilan imulasi imulasi Pertama imulasi Kedua imulasi Ketiga BAB V PEP..Kesimpulan aran DAFAR PAKA

10 DAFAR ABEL abel 4. abel ilai Parameter untuk imulasi Pertama... abel 4. abel ilai Parameter untuk imulasi Kedua... abel 4. abel ilai Parameter untuk imulasi Ketiga... 4

11 DAFAR GAMBAR Gambar. rayektori pada Bidang Fase... Gambar 4. Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk σ σ... 8 Gambar 4. Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk σ σ... 9 Gambar 4. Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk σ σ... Gambar 4.4 Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk σ σ... Gambar 4. Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk imulasi Kedua...

12 Gambar 4. Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk imulasi Kedua... Gambar 4.7 Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk imulasi Ketiga... Gambar 4.8 Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk imulasi Ketiga... DAFAR OA i k j : kompartemen manusia rawan terinfeksi : kompartemen manusia tidak sadar terinfeksi : kompartemen manusia sadar terinfeksi l : probabilitas transmisi virus dari manusia terinfeksi ke manusia rawan σ m terinfeksi : banyaknya tes darah yang dilakukan : angka kematian p q r : laju pertambahan manusia rawan terinfeksi : rata-rata periode aktifitas seksual manusia terinfeksi : populasi total manusia : populasi total manusia pada tiap kelompok

13 i k j R J λ v z : titik kesetimbangan manusia rawan terinfeksi : titik kesetimbangan manusia tidak sadar terinfeksi : titik kesetimbangan manusia sadar terinfeksi : rasio reproduksi : matriks Jacobian : matriks identitas : nilai eigen : vektor eigen : perturbasi BAB PEDAHLA. Latar Belakang Masalah Penemuan kasus HV (Human mmunodeficiency Virus) pertama kali terjadi sekitar tahun 98 pada populasi homoseksual oleh ahli kesehatan di kota Los Angeles Amerika erikat. Di dalam tubuh seorang gay ditemukan penyakit pneumonia (Pneumonic Carinii) yang disertai dengan penurunan kekebalan tubuh (imunitas). Kemudian pada tahun 98 para ilmuwan menemukan sindrom yang dikenal sebagai Gay Related mmune Deficiency (GRD) yaitu penurunan kekebalan tubuh yang terjadi pada populasi homoseksual. HV sendiri baru diketahui sekitar tahun 98 oleh Lug Montaigneur seorang ahli mikrobiologi Perancis. Pada awalnya penyebaran HV hanya ditemukan pada populasi homoseksual saja. etapi karena pada populasi homoseksual juga terdapat biseksual maka pada akhirnya penyebaran HV semakin meluas dan tidak hanya terbatas pada populasi homoseksual saja (ilalahi 4).

14 Menurut AD (Badan PBB untuk penanggulangan AD) sampai dengan akhir tahun 99 jumlah orang yang terinfeksi HV di dunia telah mencapai 8 juta dengan 4 juta diantaranya adalah kasus bayi dan anak. etiap hari terjadi infeksi baru sebanyak 8 orang. edangkan pada saat ini di beberapa negara terutama negara di benua Afrika lebih dari % populasi penduduk yang berumur antara sampai tahun terinfeksi HV dan secara global telah menyebabkan kematian hingga juta manusia (uckwell ). Virus ini menyebar secara cepat dan memiliki angka kematian yang cukup tinggi. Oleh karena itu diperlukan suatu model matematika yang dapat menyatakan realitas penyebaran HV terutama pada populasi homoseksual karena penyebaran HV berawal dari populasi tersebut. Piqueira Castano dan Monteiro (4) telah menyusun model penyebaran HV pada populasi homoseksual yang didefinisikan sebagai sistem persamaan diferensial nonlinear berikut 4 d ( ) 4 d σ ( ) d σ 8 7 d ( ) 8 7 d σ ( ) 4 d σ dengan i : kompartemen manusia rawan terinfeksi kelompok ke i i j : kompartemen manusia tidak sadar terinfeksi kelompok ke j j k : kompartemen manusia sadar terinfeksi kelompok ke k k

15 l : probabilitas transmisi virus dari manusia terinfeksi ke manusia rawan m terinfeksi l 8 σ : banyaknya tes darah pada manusia terinfeksi kelompok ke m m : angka kematian : laju pertambahan manusia rawan terinfeksi kelompok ke p p q p : rata-rata periode aktifitas seksual manusia terinfeksi ke q q 4 : populasi total manusia r : populasi total manusia pada kelompok ke r r dan ntuk menentukan apakah virus akan punah atau menjadi endemis maka perlu dilakukan analisis kestabilan terhadap model penyebaran HV ini. Analisis kestabilan dilakukan di sekitar titik kesetimbangan.. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah di atas permasalahan yang akan dikaji dalam penulisan skripsi ini adalah. Bagaimana menganalisis kestabilan di sekitar titik kesetimbangan?. Bagaimana interpretasi model?. Batasan Masalah Adapun pembatasan masalah di sini adalah. Model mengabaikan adanya transmisi HV melalui alat suntik transfusi darah dan infeksi pada anak yang ibunya pengidap HV. Pembahasan dalam skripsi ini dibatasi dengan asumsi bahwa transmisi virus hanya terjadi melalui hubungan seksual.. itik kesetimbangan yang dibahas dalam skripsi ini dibatasi hanya pada titik kesetimbangan bebas penyakit.. Model mengabaikan adanya upaya pengobatan.

16 .4 ujuan Penulisan ujuan dari penulisan skripsi ini adalah dapat menganalisis kestabilan model di sekitar titik kesetimbangan dan dapat memberikan interpretasi. Analisis kestabilan dilakukan dengan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz.. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan skripsi ini diharapkan dapat meningkatkan pemahaman tentang model matematika khususnya di bidang biologi dan kedokteran. BAB LADAA EOR. injauan Pustaka ntuk dapat menyelesaikan masalah yang dirumuskan maka diperlukan teori-teori yang mendasari pembahasan. Pada bagian pertama bab ini diberikan tinjauan pustaka yang terdiri atas beberapa definisi dan teorema sebagai dasar pengertian untuk mempermudah pembahasan selanjutnya. edangkan pada bagian kedua disusun suatu kerangka pemikiran berdasarkan definisi dan teorema pada tinjauan pustaka... eori HV/AD HV atau Human mmunodeficiency Virus adalah virus yang menyerang sistem kekebalan tubuh manusia dan kemudian menimbulkan AD. edangkan AD (Acquired mmuno Deficiency yndrome) adalah kumpulan gejala penyakit yang timbul akibat menurunnya kekebalan tubuh. Pada dasarnya HV adalah

17 jenis virus obligat yaitu virus yang hanya dapat hidup dalam sel atau media hidup. Virus ini hidup dan berkembang biak pada sel darah putih manusia. HV menyerang salah satu jenis dari sel-sel darah putih yang bertugas menangkal infeksi. el darah putih tersebut termasuk limfosit yang disebut "sel -4" atau disebut juga "sel CD-4" (asongko 4). Virus dapat ditemukan pada cairan tubuh yang mengandung sel darah putih seperti darah cairan plasenta air mani atau cairan sperma cairan sumsum tulang cairan vagina air susu ibu dan cairan otak. ransmisi HV terjadi kalau ada pencampuran cairan tubuh yang mengandung HV seperti hubungan seksual dengan pasangan yang mengidap HV jarum suntik dan alat-alat penusuk (tato tindik dan cukur) yang tercemar HV transfusi darah atau produk darah yang mengandung HV dan ibu hamil yang mengidap HV kepada janin atau bayinya... Model Matematika ebelumnya akan diberikan beberapa definisi tentang model matematika yang mendasari penulisan skripsi ini. Definisi. [Meyer 984] Model adalah konsep yang digunakan untuk mempresentasikan sesuatu dan mengubahnya ke dalam bentuk yang dapat dipahami. Definisi. [Meyer 984] Model matematika adalah model yang merupakan bagian dari konsep matematika yang didesain untuk mempelajari sistem yang timbul dalam masalah nyata... Persamaan Diferensial Menurut Kreiszig (99) persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi yang tidak diketahui terhadap variabel bebasnya. edangkan persamaan yang hanya melibatkan turunan pertama disebut persamaan diferensial orde satu.

18 Definisi. [Braun 978] Persamaan diferensial linear orde satu secara umum berbentuk dy a( t) y b( t). Fungsi a (t) dan b (t) merupakan fungsi kontinu terhadap waktu t. Jika b (t) identik dengan nol maka disebut persamaan diferensial linear homogen orde satu jika b (t) tidak identik nol maka disebut persamaan diferensial linear nonhomogen orde satu. istem persamaan diferensial linear orde satu dari n fungsi yang tidak diketahui berbentuk dengan i dx a dx a dx n a n ( t) x ( t) x ( t) x a a a n ( t) x ( t) x ( t) x f dan a ij ( i... n; j... n) a n a a ( t) x n nn n ( t) x ( t) x n n f ( t) f ( t) f ( t) adalah fungsi kontinu. Jika setiap fungsi f t) f ( t) f ( ) identik dengan nol sehingga ( n t n dx dx dx n a a a n ( t) x ( t) x ( t) x a a a ( t) x n ( t) x ( t) x a n a a ( t) x n nn n ( t) x ( t) x n n (.)

19 maka dikatakan sistem persamaan diferensial linear homogen orde satu. Jika f( t) f ( t) f n ( t) tidak identik dengan nol maka disebut sistem persamaan diferensial linear nonhomogen orde satu. istem persamaan diferensial nonlinear orde satu dengan n fungsi tidak diketahui berbentuk dx dx dx n f ( t x x n f ( t x x x f ( t x x n x n x dengan f i adalah fungsi nonlinear untuk n ) ) ) (.) i n. Agar sistem persamaan (.) memiliki penyelesaian maka f i harus merupakan fungsi kontinu...4 Matriks Menurut Kreiszig (99) matriks merupakan suatu susunan bilangan ( i... m; j n) dalam empat persegi panjang dilambangkan dengan a ij... huruf besar dicetak tebal yang berbentuk Bilangan aij a a... a n a a... a n A. (.) am am am amn disebut sebagai unsur matriks A atau elemen matriks A. Garis horizontal disebut sebagai baris atau vektor baris dan garis vertikal disebut sebagai kolom atau vektor kolom. Matriks dengan m baris dan n kolom seperti pada (.) disebut sebagai matriks m n. Jika suatu matriks hanya terdiri dari satu baris disebut matriks baris atau vektor baris dan dilambangkan dengan huruf kecil tebal. Demikian pula matriks kolom atau vektor kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom dan juga dilambangkan dengan huruf kecil tebal.

20 Mariks bujur sangkar (square matrix) n n adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom sama. Definisi.4 [Braun 978] Misal A adalah matriks berukuran n x n dengan elemen a ij dan x vektor komponen dengan komponen x... x n. Didefinisikan perkalian A dengan x dinyatakan dengan Ax yang merupakan vektor dengan komponennya vektor ke-i adalah a x a x... a x i i in n i... n. Dari definisi tersebut maka sistem persamaan (.) dapat dinyatakan dalam bentuk vektor yaitu dx Ax (.4) dengan a a... a n a a... a am am am amn A dan [ ] n x x x... x n. Persamaan diferensial linear homogen orde satu mempunyai penyelesaian t berupa fungsi eksponensial yaitu x λ t ( t) ve dengan v merupakan vektor kolom konstan. Persamaan x λ t ( t) ve merupakan penyelesaian dari persamaan (.4) jika dan hanya jika λ dan v memenuhi ( A λ ) v. (.) Menurut Braun (978) vektor tak nol v yang memenuhi persamaan (.) disebut vektor eigen dari A dengan nilai eigen λ... Kestabilan istem Persamaan Diferensial Persamaan (.) dapat dituliskan dalam bentuk dx f i ( t x). (.)

21 istem persamaan diferensial (.) dimana variabel bebas tidak muncul secara eksplisit dinamakan sistem autonomous. Dalam sistem ini pasangan ( x x ) x n disebut fase sedang bidang x x xn disebut bidang fase. Bila penyelesaian dari sistem persamaan (.) disajikan dalam bidang fase dengan variabel bebas t berubah maka terbentuk kurva penyelesaian di bidang fase yang disebut trayektori. Definisi. [Bellomo and Preziosi 99] itik x e sedemikian sehingga f ( x e ) disebut titik kesetimbangan sistem autonomous d x f (x). Persamaan diferensial pada umumnya merupakan deskripsi dari sistem-sistem fisik maka beberapa nilai variabel tak bebas sering sudah diketahui sebelumnya misalkan untuk t t (biasanya t ). ilai ini disebut syarat/kondisi awal. Jika suatu sistem persamaan diferensial ditambahkan dengan suatu syarat awal maka sistem persamaan diferensial tersebut dinamakan masalah nilai awal (MA). yarat/nilai awal digunakan untuk menentukan nilai-nilai konstanta. itik kesetimbangan dikatakan stabil jika untuk sembarang syarat awal yang cukup dekat dengan titik kesetimbangan trayektori dari penyelesaian tetap dekat dengan titik kesetimbangan. itik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotik jika titik kesetimbangan tersebut stabil dan trayektori dari penyelesaiannya menuju titik kesetimbangan untuk t menuju tak hingga. Menurut Bellomo dan Preziosi (99) sistem persamaan (.) dapat didekati dengan bentuk linear dengan J adalah matriks Jacobian yang berbentuk d z J( x e ) z f f f x x xn f f f J x x x. n f n f n f n x x xn eorema. [Bellomo dan Preziosi 99] Misalkan f i diferensiabel kontinu tingkat dua λ i merupakan nilai eigen dari matriks Jacobian yang

22 dievaluasi pada titik kesetimbangan dan ( λ ) i n Re i bagian real dari i λ () jika untuk setiap i Re ( λ ) < () jika terdapat i sedemikian sehingga Re ( ) > stabil. i maka x e disebut stabil asimtotik λ i maka e x disebut tidak ilai eigen matriks Jacobian dapat bernilai real atau kompleks. Misal λ dan λ adalah nilai eigen matriks Jacobian maka trayektori untuk masingmasing nilai eigen adalah sebagai berikut. λ dan λ real i. Jika keduanya negatif maka trayektori berbentuk stable nodal point. ii. Jika salah satunya positif maka trayektori berbentuk unstable nodal point. iii. Jika keduanya positif maka trayektori berbentuk saddle point.. λ λ iω dan λ λ iω kompleks iv. Jika ( ) Re( λ ) Re λ < maka trayektori berbentuk stable focal point. v. Jika ( ) Re( λ ) Re λ > maka trayektori berbentuk unstable focal point. vi. Jika ( ) Re( λ ) Re λ maka trayektori berbentuk vortex point. ebagai ilustrasi diberikan trayektori pada bidang fase sebagai berikut.

23

24 Gambar. rayektori pada Bidang Fase (Bellomo dan Preziosi 99) Jika A adalah matriks.. Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz m m λ adalah nilai eigen dan adalah matriks identitas maka persamaan A λ dapat diturunkan menjadi persamaan polinomial orde ke- m. Persamaan polinomial ini biasa disebut persamaan karakteristik yaitu λ λ λ. (.7) m m m a a... a m Persamaan (.7) dapat dibawa ke bentuk matriks sebagai berikut dengan chief minor a... a a a... H (.8) a... a4 a a a a a a a a a a a a a a 4 a... a a a... m m am m m >. a a a a a eorema. [ chröer ] Jika H adalah matriks (.8) maka bagian real λ i akan bernilai negatif jika hanya jika setiap determinan chief minor dari matriks H positif untuk i m.

25 Karena bagian real λ bernilai negatif maka menurut eorema. dapat dikatakan bahwa titik kesetimbangan sistem persamaan diferensial stabil asimtotik. Hal ini selanjutnya disebut kriteria kestabilan Routh-Hurwitz.. Kerangka Pemikiran Dengan mengacu pada teori dan pengertian pada injauan Pustaka dapat disusun kerangka pemikiran dari skripsi ini. HV (Human mmunodeficiency Virus) adalah virus yang menyerang sistem kekebalan tubuh manusia dan kemudian menimbulkan AD. Penyebaran HV pada populasi homoseksual dapat dibawa ke model matematis dan didefinisikan sebagai enam persamaan diferensial nonlinier. elanjutnya digunakan Definisi. untuk mencari titik kesetimbangan model dan menganalisis kesetimbangannya dengan membawa ke bentuk nyata. Model yang diperoleh merupakan bentuk nonlinear sehingga didekati dengan bentuk linearnya menggunakan matriks Jacobian. ntuk menentukan perilaku model di sekitar titik kesetimbangan maka dilakukan analisis kestabilan dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Analisis kestabilan dilakukan dengan menggunakan eorema. dan eorema..

26 BAB MEODOLOG PEELA Metodologi yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur yang mengacu pada buku-buku pemodelan matematika dan jurnal yang terkait dengan model penyebaran virus HV. Adapun langkah-langkah yang ditempuh adalah. Digunakan Definisi. untuk menentukan titik kesetimbangan model penyebaran HV pada populasi homoseksual.. itik kesetimbangan yang telah diperoleh pada langkah pertama dibawa ke bentuk nyata untuk menganalisis kesetimbangan model penyebaran HV pada populasi homoseksual.. Model yang diperoleh merupakan bentuk nonlinear maka didekati dengan bentuk linearnya dengan menggunakan matriks Jacobian. 4. Digunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz untuk menganalisis kestabilan model penyebaran HV pada populasi homoseksual.

27 BAB V PEMBAHAA Pada bab ini diberikan pembahasan tentang analisis kestabilan model penyebaran HV pada populasi homoseksual. Dalam analisis kestabilan digunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Bab ini terdiri dari tiga bagian yaitu analisis kestabilan model tanpa adanya tes darah model dengan adanya tes darah dan simulasi. Piqueira Castano dan Monteiro (4) telah menyusun model penyebaran HV pada populasi homoseksual. Pada model tersebut dipelajari pengaruh perbedaan sikap pencegahan terhadap penyebaran virus. Oleh karena itu berdasarkan sikap pencegahannya model dibagi menjadi dua kelompok yaitu kelompok pertama yang dinotasikan dengan indeks dan kelompok kedua yang dinotasikan dengan indeks. Perbedaan sikap pencegahan antara dua kelompok terletak pada perbedaan probabilitas transmisi virus ( ) untuk tiap kelompok. Jika nilai relatif kecil maka kelompok tersebut memiliki sikap pencegahan

28 yang positif dan sebaliknya jika nilai relatif besar maka kelompok tersebut memiliki sikap pencegahan yang negatif. Model penyebaran HV pada populasi homoseksual didefinisikan sebagai sistem persamaan diferensial nonlinier berikut: dengan i d d d d d d 4 σ ( ) 4 σ ( ) (4.) 7 8 σ ( ) 7 8 σ ( 4 ) : kompartemen manusia rawan terinfeksi kelompok ke i i j : kompartemen manusia tidak sadar terinfeksi kelompok ke j j : kompartemen manusia sadar terinfeksi kelompok ke k k k l : probabilitas transmisi virus dari manusia terinfeksi ke manusia rawan m terinfeksi l 8 σ : banyaknya tes darah pada manusia terinfeksi kelompok ke m m : angka kematian : laju pertambahan manusia rawan terinfeksi kelompok ke p p q p : rata-rata periode aktifitas seksual manusia terinfeksi ke q q 4 : populasi total manusia r : populasi total manusia pada kelompok ke r r dan

29 Dalam skripsi ini laju pertambahan manusia rawan terinfeksi ( ) yang digunakan ada dua yaitu konstan dan tidak konstan. ntuk tidak konstan diperoleh dengan asumsi-asumsi sebagai berikut pada awalnya tidak ada manusia rawan terinfeksi maupun manusia tidak sadar terinfeksi dan hanya ada manusia sadar terinfeksi sehingga pada awalnya bernilai nol. Ketika ada manusia dari luar populasi yang mulai memiliki kebiasaan homoseksual maka manusia tersebut akan mulai menjadi bagian dari manusia rawan terinfeksi. Apabila jumlah manusia rawan terinfeksi semakin bertambah maka juga akan semakin bertambah. Pada saat jumlah manusia rawan terinfeksi cukup besar ada kecenderungan bahwa manusia rawan terinfeksi akan lebih suka melakukan hubungan seksual dengan manusia dari dalam populasinya sendiri. Hal ini berarti bahwa pada saat jumlah manusia rawan terinfeksi menuju ke tak hingga maka akan menuju ke nol. Fungsi yang dapat digunakan untuk menggambarkan kondisi tersebut adalah k ke k4 untuk dan k e untuk dengan k k k dan k 4 sembarang konstanta. es darah merupakan salah satu faktor penting dalam upaya pencegahan penyebaran HV. Dengan adanya tes darah diharapkan manusia yang terinfeksi HV sadar akan kondisi dirinya dan berhenti melakukan hubungan seksual agar virus tidak menyebar ke manusia lain. ebaliknya ketiadaan tes darah dimungkinkan dapat meningkatkan laju penyebaran HV. Hal ini disebabkan manusia yang terinfeksi HV tidak sadar akan kondisinya

30 sehingga tetap melakukan aktifitas seksual dan mentransmisikan virus ke pasangannya. ebagai contoh dalam penelitian organisasi kesehatan dunia WHO dilaporkan bahwa pertambahan populasi manusia berpendapatan rendah dapat meningkatkan resiko terinfeksi HV. Hal ini disebabkan pada populasi tersebut jumlah manusia yang mendapatkan informasi tentang HV tidak signifikan. Bahkan beberapa informasi dasar seperti mekanisme transmisi atau metode pencegahan belum banyak diketahui. Hal ini berakibat populasi tersebut tidak melakukan tes darah secara periodik maupun memiliki sikap pencegahan yang positif sehingga HV dapat menyebar secara cepat. Oleh karena itu dalam skripsi ini dibahas dua model yaitu model penyebaran HV tanpa tes darah dan dengan tes darah. nol ( σ ) 4..Model Penyebaran HV tanpa Adanya es Darah Ketiadaan tes darah berakibat banyaknya tes darah yang dilakukan bernilai. elain itu banyaknya manusia sadar terinfeksi juga akan menjadi nol karena tidak ada manusia yang sadar akan kondisinya yang telah terinfeksi HV. Oleh karena itu model hanya akan terdiri dari manusia rawan terinfeksi dan tidak sadar terinfeksi sehingga diperoleh model penyebaran HV tanpa tes darah sebagai berikut d d d d ( ) (4.) ( )

31 dengan dan. 4.. itik Kesetimbangan Dari model (4.) dapat dicari titik kesetimbangan dengan dua laju pertambahan manusia rawan terinfeksi yang berbeda yaitu dan konstan k k4 atau k e dan k e. Dalam skripsi ini titik kesetimbangan manusia rawan terinfeksi dan tidak sadar terinfeksi untuk masing-masing kelompok dinotasikan dengan dan. itik kesetimbangan diperoleh jika persamaan (4.) bernilai nol. Dengan software Mathematica diperoleh titik-titik kesetimbangan sebagai berikut ( ) (4.) ( ) k k ln ln (4.4) k k4 dengan ( ) k k4 ( ) ( ke ) ( ke ) (4.) ( ) dan ( ). (4.) itik (4.) dan (4.4) berturut-turut diperoleh dengan asumsi dan k k4 konstan atau k e dan k e. Kedua titik ini disebut titik kesetimbangan bebas penyakit karena menggambarkan situasi dimana HV tidak muncul dan banyaknya manusia yang terinfeksi adalah nol. Di pihak lain dimungkinkan untuk mendapatkan titik kesetimbangan endemis yang menggambarkan situasi dimana penyakit berada dalam populasi. itik ini

32 k ditunjukkan oleh (4.) untuk dan konstan dan (4.) untuk k e k4 dan k e. etapi titik kesetimbangan ini tidak akan dibahas pembahasan dalam skripsi ini hanya dibatasi untuk titik kesetimbangan bebas penyakit saja. Rasio reproduksi R dapat diartikan sebagai rata-rata jumlah manusia terinfeksi baru yang disebabkan oleh satu orang manusia terinfeksi. Menurut Hethcote () banyaknya manusia terinfeksi baru dipengaruhi oleh / / / dan /. edangkan probabilitas seorang manusia mencapai tahap terinfeksi aktif untuk setiap kelompok adalah / ( ( ) ) dan / ( ( ) ) ( ). Rata-rata periode infeksi adalah sebesar /. Dari uraian tersebut maka rasio repoduksi dapat dirumuskan ( ) ( )( ( ) )( ( ) ) R. Jika R < maka virus akan musnah dan jika R > maka virus akan berkembang menjadi suatu endemis. 4.. Analisis Kestabilan Kestabilan titik kesetimbangan bebas penyakit menentukan kemungkinan perkembangan HV di persekitaran titik kesetimbangan. Analisis kestabilan dilakukan pada titik-titik kesetimbangan dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz.. itik kesetimbangan ( ) Karena sistem persamaan diferensial (4.) nonlinear maka didekati dengan bentuk linearnya menggunakan matriks Jacobian. Diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut

33 ( ) ( ) J.(4.7) elanjutnya disubstitusikan titik kesetimbangan (4.) ke matriks (4.7) sehingga ( ) ( ) J. Dari matrik Jacobian di atas diperoleh persamaan karakteristik ( ) ( ) ( ) γ δ α ρ λ ρ α λ λ dengan ( ) α ( ) ρ γ dan δ. ntuk menyederhanakan perhitungan digunakan asumsi bahwa laju pertambahan manusia rawan terinfeksi pada setiap kelompok memiliki nilai yang sama atau. Persamaan karakteristik di atas mempunyai empat nilai eigen. Dari ( ) λ diperoleh dua nilai eigen yaitu λ. ilai eigen tersebut akan selalu real dan negatif karena parameter positif. Dua nilai eigen tersisa ditentukan dari a a λ λ (4.8) dengan ( ) ρ α a dan γ δ α ρ a. Menurut eorema. titik kesetimbangan akan stabil asimtotik jika semua nilai eigennya negatif. Oleh karena itu matriks J akan stabil jika dan hanya jika

34 semua nilai eigennya negatif. Persamaan (4.8) akan memiliki nilai eigen yang negatif jika memenuhi kriteria Routh-Hurwitz yaitu > dan > syarat a > akan dipenuhi apabila. Dari ( ) <. (4.9) edangkan dari a dipenuhi apabila dan. > > ( ( ) )( ( ) ) Persamaan (4.9) dan (4.) dapat disajikan sebagai berikut ( ) ( )( ( ) )( ( ) ) <. (4.) < dimana ruas kiri merupakan persamaan R. Hal ini menunjukkan bahwa R < yang artinya kestabilan terjadi jika rasio reproduksi kurang dari satu. Karena kriteria Routh-Hurwitz dipenuhi maka model penyebaran HV (4.) stabil di titik kesetimbangan (4.) untuk R <.. itik kesetimbangan ( ) k k ln ln k k4 Dengan cara yang serupa pada titik kesetimbangan (4.) analisis dilakukan dengan mensubstitusikan titik kesetimbangan (4.4) ke matriks Jacobian (4.7). Diperoleh persamaan karakteristik ( λ α ρ ) ( ) λ ( α ρ ) λ γ δ dengan α ( ) ρ ( ) γ dan δ. Dari persamaan karakteristik tersebut diperoleh empat nilai eigen

35 dua diantaranya adalah λ. Dua nilai eigen yang lain ditentukan dari persamaan dengan ( α ρ ) a dan a α ρ γ δ. λ a λ a (4.) Persamaan (4.) akan memiliki nilai eigen yang negatif jika > dan. Akan berlaku a > apabila > ( ) <. (4.) Akan berlaku a apabila dan (4.). > > ( ( ) ) ( ) Persamaan (4.) dan (4.) dapat disajikan sebagai berikut ( ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) < <. dimana ruas kiri merupakan persamaan R. Hal ini menunjukkan bahwa R < yang artinya kestabilan terjadi jika rasio reproduksi kurang dari satu. Karena kriteria Routh-Hurwitz dipenuhi maka model penyebaran HV (4.) stabil di titik kesetimbangan (4.4) untuk R <. 4..Model Penyebaran HV dengan adanya es Darah Pada sub bab sebelumnya telah dikemukakan bahwa tes darah merupakan salah satu faktor penting dalam upaya pencegahan virus HV. Oleh karena itu pada sub bab ini dibahas pengaruh adanya tes darah terhadap penyebaran HV. Model penyebaran HV dengan adanya tes darah didefinisikan pada persamaan (4.). es darah mampu mendeteksi adanya HV pada tubuh manusia sehingga manusia tersebut sadar akan kondisinya. Manusia yang sadar telah terinfeksi diharapkan dapat melakukan upaya pencegahan yang positif atau berhenti melakukan hubungan seksual agar HV tidak menyebar. Diasumsikan manusia

36 yang telah sadar terinfeksi akan berhenti melakukan hubungan seksual sehingga berakibat. ehingga diperoleh model penyebaran HV dengan adanya tes darah d d d d d d σ ( ) σ ( ) (4.4) σ ( ) σ ( 4 ) dengan dan. 4.. itik Kesetimbangan Dari model (4.4) diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit dengan k k4 dan konstan atau k e dan k e. Diperoleh titiktitik kesetimbangan bebas penyakit sebagai berikut ( ) (4.) ( ) k k ln ln. (4.) k k4 edangkan untuk titik kesetimbangan endemis diasumsikan populasi terinfeksi dan tidak sadar terinfeksi mencapai nilai setimbang dan.

37 ehingga diperoleh titik kesetimbangan endemis dengan dan konstan atau k e adalah k k4 ke dan dengan ( ) ( ) dan ( ) untuk laju 4 pertambahan manusia rawan terinfeksi konstan. edangkan untuk laju k k4 pertambahan manusia k e dan k e diperoleh k ( ke ) ( ) k4 ( ke ) ( ) dan 4. etapi titik kesetimbangan ini tidak akan dibahas pembahasan dalam skripsi ini hanya dibatasi untuk titik kesetimbangan bebas penyakit saja. Rasio reproduksi R dapat diartikan sebagai rata-rata jumlah manusia terinfeksi baru yang disebabkan oleh satu orang manusia terinfeksi. Menurut Hethcote () banyaknya manusia terinfeksi baru dipengaruhi oleh / / / dan /. edangkan probabilitas seorang manusia mencapai tahap terinfeksi aktif untuk masing-masing kelompok adalah ( σ ( ) ) dan / ( σ ( ) ) / adalah sebesar / ( σ σ ( ) ) repoduksi dapat dirumuskan R. Rata-rata periode infeksi. Dari uraian tersebut maka rasio ( ) ( σ σ ( ) )( σ ( ) )( σ ( ) ) Jika R < maka virus akan musnah dan jika R > maka virus akan berkembang menjadi suatu endemis Analisis Kestabilan

38 Analisis kestabilan dilakukan pada titik-titik kesetimbangan (4.) dan (4.). Analisis dilakukan dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh- Hurwitz.. itik kesetimbangan ( ) Karena sistem persamaan diferensial (4.4) nonlinear maka didekati dengan bentuk linearnya menggunakan matriks Jacobian. Diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut ( ) ( ) ( ) ( ) 4 σ σ σ σ J. Dari matrik Jacobian di atas diperoleh persamaan karakteristik ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) EF D C B A λ λ λ λ λ dengan ( ) σ D ( ) σ C ( ) 4 A ( ) B E dan F. Persamaan karakteristik di atas mempunyai enam nilai eigen. Dari ( ) ( )( ) B A λ λ λ diperoleh empat nilai eigen yaitu λ ( ) λ dan ( ) 4 4 λ. Dua nilai eigen tersisa ditentukan dengan

39 kriteria Routh-Hurwitz yaitu > dan >. Dari syarat a > akan dipenuhi apabila ( ) ( ) ( ) ( ) < σ σ. (4.7) edangkan dari. > a dipenuhi apabila > dan ( ) ( ) ( ) ( ) < σ σ. (4.8) Persamaan (4.7) dan (4.8) dapat disajikan sebagai berikut ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < σ σ σ σ dimana ruas kiri merupakan persamaan R. Hal ini menunjukkan bahwa < R yang artinya kestabilan terjadi jika rasio reproduksi kurang dari satu. Karena kriteria Routh-Hurwitz dipenuhi maka model penyebaran HV (4.4) stabil di titik kesetimbangan (4.) untuk < R.. itik kesetimbangan ( ) ln ln 4 k k k k Dengan cara yang serupa pada titik kesetimbangan (4.) analisis dilakukan dengan mensubstitusikan titik kesetimbangan (4.) ke matriks Jacobian. Diperoleh persamaan karakteristik ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) EF D C B A λ λ λ λ λ dengan ( ) σ D ( ) σ C ( ) 4 A ( ) B E dan F.

40 Dari persamaan karakteristik di atas terdapat enam nilai eigen empat diantaranya adalah λ λ ( ) dan λ ( ). Dua nilai eigen yang lain 4 4 ditentukan dengan syarat > dan >. Akan berlaku a > apabila ( σ σ ( ) ) <. (4.9) Akan berlaku a apabila dan. > ( σ ( ) )( σ ( )( ) ) > <. (4.) Persamaan (4.9) dan (4.) dapat disajikan sebagai berikut ( ) ( σ σ ( ) )( σ ( ) )( σ ( ) ) <. Hal ini menunjukkan bahwa R < yang artinya kestabilan terjadi jika rasio reproduksi kurang dari satu. Karena kriteria Routh-Hurwitz dipenuhi maka model penyebaran HV (4.4) stabil di titik kesetimbangan (4.) untuk R <. 4. imulasi Pada sub bab ini dilakukan beberapa simulasi dengan nilai parameter yang berbeda. imulasi pada skripsi ini diambil dari Piqueira Castano dan Monteiro (4). ntuk semua simulasi ditentukan waktunya selama tahun ( t ). 4.. imulasi Pertama Pada simulasi pertama ini diperlihatkan pengaruh adanya tes darah yang dilakukan pada manusia terinfeksi sehingga simulasi dapat dibagi menjadi dua kasus dengan banyaknya tes darah yang berbeda. ntuk kasus yang pertama diketahui banyaknya tes darah adalah ( σ ) σ dan untuk kasus kedua banyaknya tes darah adalah ( σ σ ) parameter yang lain diberikan pada abel 4... edangkan nilai

41 abel 4. abel ilai Parameter untuk imulasi Pertama Parameter 4 ilai 7 8 Parameter 7 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ilai 7 Parameter ( ) ( ) 4 ilai Berdasarkan nilai parameter pada abel 4. diperoleh sistem persamaan diferensial d d d d σ (4.) d d es Darah σ σ σ Analisis dimulai dengan menentukan titik kesetimbangan model dengan banyaknya tes darah σ σ. Dengan menggunakan software Mathematica diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu (4.) (4.)

42 Pada titik kesetimbangan (4.) nilai menunjukkan bahwa tidak ada manusia yang terinfeksi HV dan disebut dengan titik kesetimbangan bebas penyakit. edangkan titik kesetimbangan (4.) menunjukkan adanya manusia yang terinfeksi dan disebut dengan titik kesetimbangan endemis. etapi titik kesetimbangan yang dibahas dalam skripsi ini hanya titik kesetimbangan bebas penyakit. elanjutnya pada titik kesetimbangan yang diperoleh dianalisis kestabilannya. Analisis dilakukan dengan mensubstitusikan titik kesetimbangan (4.) ke matriks Jacobian 4 9 J Dari matriks Jacobian di atas diperoleh persamaan karakteristik ( λ 4) ( λ )( λ ) ( ( λ 9)( λ 4) 4) Persamaan karakteristik di atas mempunyai enam nilai eigen. Dari ( 4) ( λ )( λ ) λ diperoleh empat nilai eigen yaitu λ 4 λ dan λ. Dua nilai eigen tersisa ditentukan dari 4. λ λ 44. (4.4) Dari persamaan (4.4) diketahui dan 9 < > sehingga berdasarkan eorema. dapat dikatakan bahwa sistem persamaan (4.) tidak stabil untuk jumlah tes darah σ σ. Hal ini juga dapat diperlihatkan pada Gambar 4. dan 4..

43 7 7 t HtL HtL HtL Gambar 4. Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk σ σ 7 7 t HtL HtL HtL Gambar 4. Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk σ σ Dari Gambar 4. dan Gambar 4. terlihat bahwa setelah 8 tahun banyaknya manusia rawan terinfeksi dan tidak sadar terinfeksi semakin sedikit. edangkan banyaknya manusia sadar terinfeksi terus bertambah setelah tahun. Hal ini menunjukkan bahwa sistem persamaan (4.) tidak stabil sehingga HV akan berkembang menjadi suatu endemis pada populasi tersebut. Dapat disimpulkan bahwa tes darah sebesar atau % dari total populasi awal tidak cukup untuk menekan penyebaran HV.. es Darah σ σ

44 Diperoleh dua titik kesetimbangan untuk banyaknya tes darah σ σ yaitu (4.) elanjutnya disubstitusikan titik kesetimbangan (4.) ke matriks Jacobian 4 47 J sehingga diperoleh persamaan karakteristik λ 4 λ λ λ 47 λ 4. ( ) ( )( )( ( )( ) ) Dari persamaan karakteristik di atas terdapat enam nilai eigen empat diantaranya λ 4 λ dan λ. Dua nilai eigen yang lain ditentukan dari persamaan 4 λ 98λ. Berdasarkan eorema. diperoleh 98 dan 98 > > sehingga sistem persamaan (4.) stabil untuk tes darah σ σ. Kestabilan ini juga dapat diperlihatkan pada Gambar 4. dan Gambar 4.4.

45 7 7 t HtL HtL HtL Gambar 4. Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk σ σ 7 7 t HtL HtL HtL Gambar 4.4 Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk σ σ Pada kasus kedua ini diperlihatkan bahwa ketika dilakukan tes darah sebesar atau hampir % dari total populasi awal maka HV akan menjadi punah. Dari Gambar 4. dan Gambar 4.4 juga terlihat bahwa banyaknya manusia rawan terinfeksi semakin bertambah. edangkan banyaknya manusia tidak sadar terinfeksi maupun sadar terinfeksi semakin berkurang dan pada akhirnya akan cenderung konstan di sekitar nol. Hal ini menunjukkan bahwa sistem persamaan (4.) stabil sehingga HV tidak akan berkembang menjadi suatu endemis pada populasi tersebut. 4.. imulasi Kedua

46 Pada simulasi kedua ini diperlihatkan kondisi ketika manusia sadar terinfeksi tidak berhenti melakukan hubungan seksual. Diberikan nilai parameter pada abel 4.. abel 4.. abel ilai Parameter untuk imulasi Kedua Parameter 4 ilai 7 Parameter 7 8 σ σ ( ) ( ) ( ) ( ) ilai Parameter ( ) ( ) 4 ilai 7 8 ilai dan 4 yang relatif kecil menunjukkan bahwa kelompok satu memiliki sikap pencegahan yang positif sedangkan nilai 7 dan 8 menunjukkan bahwa kelompok dua memiliki sikap pencegahan yang negatif. Berdasarkan nilai parameter pada abel 4. diperoleh sistem persamaan diferensial d d d d (4.) d d

47 yaitu Dari sistem persamaan diferensial (4.) diperoleh dua titik kesetimbangan (4.7) ubstitusikan titik kesetimbangan (4.7) ke matriks Jacobian J sehingga diperoleh persamaan karakteristik ( ) ( λ 8)( λ λ 9λ ) λ. Persamaan karakteristik di atas mempunyai enam nilai eigen. Dari ( ) ( λ 8) λ diperoleh empat nilai eigen yaitu λ dan λ 8. Dua nilai eigen tersisa ditentukan dari ( λ 9λ ) λ. (4.8) Dari persamaan (4.8) diperoleh sehingga berdasarkan < eorema. dapat dikatakan bahwa sistem persamaan (4.) tidak stabil. Hal ini juga dapat diperlihatkan pada Gambar 4. dan 4..

48 4 7 7 t HtL HtL HtL Gambar 4. Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk imulasi Kedua t HtL HtL HtL Gambar 4. Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk imulasi Kedua Dapat diketahui bahwa ketika manusia sadar terinfeksi tidak berhenti melakukan hubungan seksual maka adanya tes darah tidak akan berpengaruh terhadap penyebaran HV. Meskipun banyaknya tes darah yang dilakukan cukup besar akan tetapi banyaknya manusia sadar terinfeksi tidak mengalami penurunan dan bahkan cenderung konstan setelah tahun. Hal ini menunjukkan bahwa sistem persamaan (4.) tidak stabil sehingga HV akan berkembang menjadi suatu endemis pada populasi tersebut. Dari Gambar 4. dan Gambar 4. terlihat bahwa banyaknya manusia rawan terinfeksi pada kelompok pertama lebih besar daripada kelompok kedua. Hal ini disebabkan probabilitas transmisi virus kelompok dua lebih besar daripada kelompok pertama.

49 4.. imulasi Ketiga Pada simulasi ketiga ini diperlihatkan bagaimana pengaruh sikap pencegahan yang positif terhadap penyebaran HV. Hal ini dilakukan untuk mengetahui apakah jika manusia pada populasi tersebut melakukan sikap pencegahan yang positif maka virus akan menjadi punah atau tidak. ikap pencegahan yang positif ditandai dengan nilai 4 7 dan 8 yang relatif kecil. Diberikan nilai parameter pada abel 4.. abel 4. abel ilai Parameter untuk imulasi Ketiga Parameter 4 ilai 4 8 Parameter 7 8 σ σ ( ) ( ) ( ) ( ) ilai Parameter ( ) ( ) 4 ilai 8 Berdasarkan nilai parameter pada abel 4. diperoleh sistem persamaan diferensial d d d d (4.9) d d yaitu Dari sistem persamaan diferensial (4.9) diperoleh dua titik kesetimbangan

50 (4.) elanjutnya titik kesetimbangan (4.) disubstitusikan ke dalam matriks Jacobian J sehingga diperoleh persamaan karakteristik ( ) ( λ 8)( λ λ 8λ 4) λ. Diperoleh empat nilai eigen yaitu λ dan λ 8. Dua nilai eigen tersisa ditentukan dari > ( λ 8λ 4) λ. Berdasarkan eorema. diperoleh 4 dan > > sehingga sistem persamaan (4.9) stabil. Kestabilan ini juga dapat diperlihatkan pada Gambar 4. dan Gambar t HtL HtL HtL Gambar 4.7 Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk imulasi Ketiga

51 4 7 7 t HtL HtL HtL Gambar 4.8 Grafik ( t ) ( t ) dan ( t ) terhadap t untuk imulasi Ketiga Parameter pada simulasi ini memiliki nilai yang cukup kecil hal ini berarti bahwa manusia pada populasi homoseksual tersebut memiliki sikap pencegahan yang positif. Gambar 4.7 dan Gambar 4.8 menunjukkan bahwa sistem persamaan (4.9) stabil bahkan dengan tes darah yang hanya % dari total populasi awal. Dapat disimpulkan bahwa jika manusia pada populasi homoseksual memiliki sikap pencegahan yang baik maka HV akan menjadi punah.

52 BAB V PEP.. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa model penyebaran HV pada populasi homoseksual didefinisikan sebagai enam persamaan diferensial nonlinear. es darah merupakan salah satu faktor yang mempengaruhi laju penyebaran HV. Oleh karena itu berdasarkan tes darah model dapat dibagi menjadi dua yaitu model tanpa tes darah dan model dengan tes darah. Masing-masing model memiliki dua titik kesetimbangan bebas penyakit. itik kesetimbangan stabil jika rasio reproduksi R <. ntuk model penyebaran HV tanpa adanya tes darah diperoleh persamaan R ( ) R. ( )( ( ) )( ( ) ) edangkan persamaan R untuk model penyebaran HV dengan adanya tes darah adalah sebagai berikut ( ) R. σ σ σ σ ( ( ) )( ( ) )( ( ) ) < > Jika R maka HV akan musnah tetapi jika R maka HV akan berkembang menjadi sebuah endemis. edangkan dari simulasi diperoleh faktorfaktor yang dapat menurunkan laju penyebaran HV antara lain tes darah yang dilakukan cukup besar populasi sadar terinfeksi berhenti melakukan hubungan seksual dan sikap pencegahan yang positif... aran Dalam penulisan skripsi ini titik kesetimbangan endemis tidak dibahas untuk pembahasan lebih lanjut dapat dilakukan analisis kestabilan titik kesetimbangan endemis. elain itu dapat juga dilakukan pembahasan untuk penyebaran HV pada populasi heteroseksual.

53 DAFAR PAKA Bellomo. and Preziosi L. (99). Modelling Mathematical Methods and cientific Computation. CRC Press nc Florida. Braun M. (978). Differential Equations and heir Applications. pringer- Verlag ew York. Hethcote H. W. () he Mathematics of nfectious Diseases. AM Review Vol. 4:99-. Kreiszig E. (99). Matematika ehnik Lanjutan. Alih Bahasa: W. antoso Erlangga Jakarta. Meyer W. J. (984). Concept of Mathematical Modeling. McGraw Hill Book Company ew York. Piquera J. R. C. Castano M. C. and Monteiro L. H. (4). Modeling he preading of HV in Homosexual Populations with Heterogeneous Preventive Attitude. Journal of Biological ystem Vol asongko A. (). Acquired mmuno Deficiency yndrome. Yayasan Kusuma Buana Jakarta. chröer H. (). tability at ystem of sual Different Equations in Virus Dynamics. niversität Heidelberg Jerman. ilalahi L. (4). HV/AD. uckwell H. C. (). Viral Population Growth Models. Journal Epidemiology and nformation cience Perancis