Penyelesaian Numerik dan Analisa Kestabilan pada Model Epidemik SEIR dengan Memperhatikan Adanya Penularan pada Periode Laten

Transkripsi

1 Penyelesaian Numerik dan Analisa Kestabilan pada Model Epidemik SEIR dengan Memperhatikan Adanya Penularan pada Periode Laten Labibah Rochmatika,Drs. M. Setijo Winarko, M.Si dan Drs. Lukman Hanafi, M.Sc Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya Abstrak Terdapat beberapa penyakit yang memiliki masa inkubasi, semisal penyakit meales (cacar). Dalam model epidemik masa inkubasi biasa disebut periode laten (exposed). Model SEIR merupakan model matematika untuk penyakit-penyakit tersebut. Pada penulisan ini dianalisa kestabilan dari model SEIR. Akan ditunjukkan bahwa kestabilan titik ekuilibrium tergantung pada rasio reproduksi dasar (RR 00 ). Tidak terjadi endemik jika RR 00 < 1 dan terjadi endemik jika RR 00 > 1. Selanjutnya dilakukan penyelesaian numerik untuk model SEIR menggunakan metode Runge-Kutta Orde 4. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang menyangkut nilai awal dengan ukuran langkah waktu yang bervariasi, sehingga dapat memenuhi stabilitas lokal dari titik kesetimbangan. Katakunci Bilangan Reproduksi Dasar, Model SEIR, Metode Runge-Kutta Orde 4. M I. PENDAHULUAN ODEL matematika adalah salah satu alat yang dapat membantu dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah tersebut dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsiasumsi tertentu. Selanjutnya akan dicari solusinya baik secara analitis maupun numerik. Salah satu masalah dalam kehidupan adalah mengenai penyebaran penyakit. Dalam dunia kesehatan terdapat penyakit yang bersifat menular (infectious diseases) dan tidak menular (non infectious diseases). Pada sebagian kasus, terdapat penyakit yang dapat memasuki kondisi endemik. yaitu kondisi dimana mewabahnya suatu penyakit pada suatu wilayah dalam kurun waktu yang lama. Beberapa penyakit yang mengalami kondisi endemik adalah malaria, measles (cacar) dan poliomyelitis (polio). Model epidemik mempelajari tentang dinamika penyebaran atau penularan suatu penyakit pada suatu populasi [1]. Model epidemik pertama kali bertipe SIR yang dikemukaakan oleh Kermack dan McKendrick (197) []. Pada perkembangannya model ini terus dimodifikasi dengan asumsi yang berbeda-beda agar bisa menjelaskan berbagai fenomena penyakit yang makin kompleks [1]. Beberapa penyakit seperti measles (campak), malaria, pertusis dan HIV memiliki masa inkubasi, yaitu masa dimana virus sudah masuk pada tubuh manusia namun tubuh tersebut belum menunjukkan adanya infeksi suatu penyakit. Dalam model epidemik masa inkubasi biasa disebut periode laten (exposed). Li dkk (1994) mengkontruksi model epidemic SEIR yang terdiri dari empat kompartemen dengan mempertimbangkan adaya penularan pada periode laten. Selanjutnya Li dkk (1999) mengasumsikan bahwa besar laju rekrutmen dan kematian alami tidak sama. [] Prihandoko.B (009) dalam penelitiannya, Analisis kualitatif dan bifurkasi pada model epidemik tipe SEIR dengan transmisi vertikal. Mengkaji tentang penyebaran penyakit bertipe SEIR dengan transmisi vertikal. Dimana penyakit menyebar melalui transfer transpacental (bersifat turun-menurun) [4]. Dalam tugas akhir ini akan dibahas permodelan SEIR transmisi horizontal, dengan mempertimbangkan adanya penularan pada periode laten. II. METODE PENELITIAN A. Tahap Studi Literatur Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dengan mencari referensi yang menunjang penelitian semisal jurnal ilmiah, buku-buku Tugas Akhir maupun artikel dari internet. B. Tahap Mengkaji Model SEIR dengan memperhatikan penularan pada periode laten Dilakukan kajian model SEIR dengan menyusun asumsiasumsi tertentu sehingga dapat dibuat model kompartemen dengan 4 kelompok individu, yaitu individu susceptible (individu yang rentan terhadap penyakit), exposed (individuindividu yang tertular penyakit tetapi belum menunjukkan tanda-tanda mengidap penyakit), infected (individu yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit), dan recovered (individu yang telah sembuh dari penyakit). C. Tahap Menganalisa Kestabilan Lokal Pada model dinamik SEIR akan ditentukan titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. dari titik setimbang bebas penyakit didapatkan 1

2 bilangan reproduksi dasar (RR 0 ). Kemudian untuk menentukan kestabilan lokal dengan membentuk matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik yang selanjutnya dapat ditentukan nilai eigen matrik Jacobiannya. D. Tahap Menyusun Simulasi Numerik Runge-Kutta Orde 4 Pada tahap ini dilakukan penyusunan simulasi numerik skema Runge-Kutta Orde 4 dari model dinamik SEIR. Simulasi menggunakan software pemrograman yaitu MATLAB yang menggambarkan grafik kestabilan dan penyelesaian numerik model dinamik SEIR. E. Tahap Kesimpulan dan Saran Setelah dilakukan analisa dan pembahasan maka akan diambil suatu kesimpulan dan saran sebagai masukan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut. III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN A. Model Epidemik SEIR Model epidemik tipe SEIR mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut : a. Populasi dibagi menjadi 4 kelompok yaitu : SS adalah populasi susceptible yaitu individu-individu yang rentan terhadap penyakit pada saat tt. EE adalah populasi exposed yaitu individu-individu yang tertular penyakit tetapi belum menunjukkan tanda-tanda mengidap penyakit pada saat tt. II adalah populasi infected yaitu individu-individu pengidap penyakit menularkan penyakit pada saat tt. RR adalah populasi individu recovered yaitu individu yang telah sembuh/ bebas penyakit pada saat tt. b. αα 10 adalah laju kematian yang disebabkan penyakit pada klas laten, sedangkan αα 0 adalah laju kematian yang disebabkan penyakit pada klas terinfeksi. c. ββ 10 adalah laju kontak klas laten, ββ 0 adalah laju kontak pada klas terinfeksi, dan ββ 0 adalah laju kontak pada klas sembuh, d. kk 0 adalah laju kesembuhan, γγ 0 adalah laju antara terekspose dan terinfeksi. Dari asumsi-asumsi tersebut diperoleh model epidemik tipe SEIR sebagai berikut: = ββ 10SSSS ββ 0 SSSS ββ 0 SSSS = ββ 10SSSS + ββ 0 SSSS + ββ 0 SSSS γγ 0 EE ( + αα 10 )EE = γγ 0EE kk 0 II ( + αα 0 )II = kk 0II B. Domain Penyelesaian Dalam melakukan perhitungan, nilai input yang dimasukkan harus memenuhi keterbatasan penyelesaian, hal ini dilakukan untuk memudahkan pada saat simulasi. Kriteria kestabilan dari sistem persamaan diferensial tergantung pada perilaku sistem. Jika NN adalah proporsi jumlah populasi total maka, NN = SS + EE + II + RR, sehingga = ddtt ddtt ddtt ddtt ddtt = (SS + EE + II + RR) αα 10 EE αα 0 II = αα 10 EE αα 0 II dimisalkan = ; αα 1 = αα 10 dan αα = αα 0 maka persamaan diatas menjadi: = NN αα 1EE αα II (1.1) persamaan (1.1) dapat diselesaikan dengan menggunakan pemisahan variabel. Asumsikan individu pada klas laten dan terinfeksi sama dengan nol. Maka persamaan (1.1) menjadi: ddττ = NN dengan menggunakan metode pemisahan variabel didapatkan persamaan sebagai berikut: NN(ττ) = 1 1 CC ee ττ lim ττ NN(ττ) = lim 1 ττ 1 CC ee ττ = Hal ini menunjukkan bahwa jumlah populasi tidak konstan, tetapi memiliki batas atas yaitu. Dari daerah penyelesaian diatas, didapatkan daerah keterbatasan penyelesaian dari sistem yaitu, Ω = (EE, II, RR, NN) 0 EE + II + RR NN C. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Titik setimbang bebas penyakit merupakan suatu titik setimbang dimana jumlah populasi yang terjangkit penyakit bernilai nol. Hal ini berarti tidak terjadi penyebaran pada populasi atau II = 0. Titik kesetimbangan model dapat diperoleh dengan menjadikan ruas kanan dari system model epidemic SEIR sama dengan nol. Sebelumnya dimisalkan terlebih dahulu = ; ββ 1 = ββ 10 ; ββ = ββ 0 ; ββ = ββ 0 ; kk = kk 0 ; γγ = γγ 0 ; αα 1 = αα 10 dan αα = αα 0 Sehingga didapat: 1SSSS ββ SSSS ββ SSSS SS = 0 (1.) ββ 1 SSSS + ββ SSSS + ββ SSSS δδee = 0 (1.) γγee ωωωω = 0 (1.4) kkkk RR = 0 (1.5) pada saat II = 0. Maka dari persamaan (1.4) didapatkan EE = 0, dan dari persamaan (1.5) didapatkan RR = 0, hal ini menyebabkan nilai SS = pada persamaan (1.). Jadi diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit EE 0 =, 0,0,0

3 D. Titik Kesetimbangan Endemik Titik setimbang endemik merupakan suatu titik setimbang yang menunjukkan masih adanya kemungkinan penyebaran penyakit pada populasi. Syarat untuk mendapatkan titik setimbang endemik berbeda dari sebelumnya. jumlah populasi yang terjangkit penyakit tidak bernilai nol. Dari persamaan (1.4) dapat dituliskan II = γγγγ, ωω selanjutnya nilai II disubtitusikan ke persamaan (1.1) sehingga didapatkan: EE = ωω (1.6) Dari persamaan (1.4) dapat dituliskan II = ωωωω γγ, selanjutnya nilai EE disubtitusikan ke persamaan (1.1) sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: II = γγ (1.7) Subtitusikan nilai II pada persamaan (1.5) didapatkan: RR = kk γγ αα 1 ωω+ αα γγ (1.8) Persamaan (1.) dapat disederhanakan menjadi SS(ββ 1EE + ββ II + ββ RR + 1) = 0 SS = (ββ 1 EE+ββ II+ββ RR+1) Subtitusikan nilai EE, II, RR pada persamaan diatas, didapatkan: SS = ( ) (ββ 1 ωω+ββ γγ+ββ kkγγ)+( ) (1.9) Dari langkah-langkah diatas didapat titik setimbang endemik EE 1 = (SS, EE, II, RR ) Dengan SS = EE = ωω II = γγ ( ) (ββ 1 ωω+ββ γγ+ββ kkγγ)+ ( ) RR = kk γγ F. Bilangan Reproduksi Bilangan reproduksi dasar (basic reproduction number) merupakan parameter yang digunakan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Bilangan reproduksi dasar RR 0 dari model dapat dicari dengan langkahlangkah sebagai berikut, Subtitusikan nilai SS, EE, II dan RR pada persamaan (1.) menjadi: ( ) ( )(ββ 1 ωω+ββ γγ+ββ kkγγ)+( ) (ββ 1 ωω + ββ γγ + ββ kkkk) δδ ωω = 0 ( )δδδδ (δδδδ αα 1 ωω αα γγ)(ββ 1 ωω + ββ γγ + ββ kkγγ) δδδδ( ) = 0 (1.10) Persamaa n (4.10) dapat dituliskan secara sederhana menjadi FF(NN)( ) = 0 Dengan FF(NN) = δδδδ (δδδδ αα 1 ωω αα γγ)(ββ 1 ωω + ββ γγ + ββ kkγγ) δδδδ( ) System berada pada titik kesetimbangan bebas penyakit PP 0 =, 0,0,0 pada interval, 0 FF = δδδδ (δδδδ αα 1ωω αα γγ) (ββ 1 ωω + ββ γγ + ββ kkγγ) δδδδ( ) = δδδδ (δδδδ αα 1 ωω αα γγ)(ββ 1 ωω + ββ γγ + ββ kkγγ) δδδδ( ) = ( αα 1 ωω+αα γγ)(ββ 1 ωω + ββ γγ + ββ kkγγ) δδδδ( ) = δδδδ( αα 1 ωω+αα γγ) (ββ 1ωω +ββ γγ +ββ kkγγ) 1 δδδδ = δδδδ( αα 1 ωω+αα γγ)[rr 0 1] Sehingga didapatkan nilai RR 0 = (ββ 1ωω +ββ γγ +ββ kkγγ) δδδδ G. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Kestabilan model ditentukan oleh nilai eigen matriks Jacobian dari persamaan (1.) sampai (1.5) pada titik kesetimbangan bebas penyakit EE 0 =, 0,0,0 Misal: ff(ss, EE, II, RR) = = ββ 1SSSS ββ SSSS ββ SSSS SS gg(ss, EE, II, RR) = h(ss, EE, II, RR) = ii(ss, EE, II, RR) = = ββ 1SSSS + ββ SSSS + ββ SSSS δδee = γγee ωωωω = kkkk RR Sehingga didapat matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit adalah :

4 1 ββ 1 ββ ββ JJ = 0 ββ 1 δδ ββ ββ 0 γγ ωω kk 1 Nilai eigen diperoleh dari JJ λλλλ = 0 maka 1 λλ ββ 1 ββ ββ 0 ββ 1 δδ λλ ββ ββ = 0 0 γγ ωω λλ kk 1 λλ didapatkan persamaan sebagai berikut: (1 + λλ) λλ ββ 1 δδ ωω 1 λλ ββ 1 δδ (1 + ωω) ωω + ββ γγ λλ γγ ( ββ kk + ββ ) ββ 1 δδ ωω = 0 (1.11) Salah satu nilai eigen dari persamaan (1.11) adalah -1, nilai eigen yang lain merupakan akar-akar polynomial berikut: λλ + + BBBB + CC = 0 (1.1) dengan = ββ 1 + δδ + ωω + 1 > 0 BB = ωω ββ δδ (1 + ωω) ββ 1 γγ > 0 CC = γγ ββ kk + ββ ββ δδ ωω > 0 1 Untuk mencari nilai eigen yang lain dapat digunakan metode Routh Huwitz. Dengan menentukan tanda pada bagian real dari nilai eigen dapat diketahui kestabilan system. Berikut tabel Routh huwiz Tabel 1 Persamaan Karakteristik Routh-Hurwitz aa 0 = 1 aa = BB aa 1 = aa = CC bb 1 = aa 1aa aa 0 aa aa 1 Didapatkan aa 1 aa > aa 0 aa, karena elemen pada kolom pertama table Routh Huwitz memiliki tanda yang sama yaitu positif maka system titik kesetimbangan bebas penyakit EE 0 =, 0,0,0 stabil asimtotik lokal. H. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik Pada titik kesetimbangan endemic EE 1 (SS, EE, II, RR )atau dapat pula diganti dengan EE 1 (EE, II, RR, NN )matriks Jacobiannya adalah mmββ 1 nn δδ mmββ nn mmββ nn nn JJ γγ ωω = kk 1 0 (1.1) αα 1 αα 0 1 Nilai eigen diperoleh dari JJ λλλλ = 0 dengan misalkan nn = (ββ 1 EE + ββ II + ββ RR) dan mm = δδδδ ωω ββ 1 +γγββ +kkkk ββ Sehingga didapat persaman sebagai berikut: (1 + λλ)λλ + (1 + ωω) + (nn + δδ mmββ 1 )λλ + γγ(nn mmββ ) + αα 1 nn + ωω + (nn + δδ mmββ 1 )(1 + ωω)λλ + ωω (nn + δδ mmββ 1 ) + γγ(nn mmββ ) + γγγγ(nn mmmm ) + nn() = 0 (1.14) Salah satu nilai eigen dari persamaan (1.14) adalah -1, nilai eigen yang lain merupakan akar-akar polynomial berikut: λλ + DDDD + EEEE + FF = 0 (1.15) dengan DD = (1 + ωω) + nn + δδ mmββ 1 > 0 EE = γγ(nn mmββ ) + αα 1 nn + ωω (mmββ 1 nn δδ) (1 + ωω) > 0 FF = ωω (nn + δδ mmββ 1 ) + γγ(nn mmββ ) + γγγγ(nn mmmm ) + nn() > 0 Untuk mencari nilai eigen yang lain dapat digunakan metode Routh Huwitz sebagaimana pada matriks jacobian titik kesetimbangan bebas penyakit. Karena elemen pada kolom pertama table Routh Huwitz memiliki tanda yang sama yaitu positif maka system titik kesetimbangan endemic EE 1 (EE, II, RR, NN ) stabil asimtotik lokal. I. Penyelesaian Numerik Penyelesaian numerik yang didapatkan digunakan untuk memeriksa hasil analitis yang telah didapatkan pada sub bab sebelumnya. Metode Runge-Kutta orde empat adalah salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang menyangkut nilai awal dengan ukuran langkah waktu l yang bervariasi. dengan membuat simulasi numeriknya menggunakan software MATLAB dengan memberikan nilai awal SS(0) = 40, EE(0) = 15, II(0) = 5 dan RR(0) = 0. dengan parameter = 0.5, = 0., γγ = 1., kk = 0.4, αα 1 = 0.1, αα = 0., ββ 1 = 0.001, ββ = 0.1, dan ββ = 0.00 []. Gambar 1 Simulasi Model SEIR dengan nilai l = Pada gambar di atas menunjukkan bahwa populasi susceptible bergerak naik ±8 bulan, kemudian menurun pa- 4

5 da tahun pertama menuju ke titik setimbangan dengan jumlah SS = Populasi exposed bergerak naik mulai tahun pertama selama ± tahun, kemudian menuju ke titik setimbangan dengan jumlah EE = Populasi infected bergerak naik selama ± tahun menuju ke titik setimbangan dengan jumlah II = Populasi recovered bergerak turun pada tahun pertama kemudian bergerak naik menuju ke titik kesetimbangan dengan jumlah RR = Dari grafik terlihat bahwa masing-masing sub populasi berada pada kondisi setimbang saat tt > 4 tahun. Dari grafik tersebut nilai bilangan reproduksi dasar yaitu RR 0 = > 1. Berdasarkan grafik dan besarnya bilangan reproduksi dasar, dapat disimpulkan bahwa masih terjadi penyebaran penyakit pada populasi. Gambar Simulasi Model SEIR dengan nilai l = mula-mula sama seperti awal, dengan langkah waktu l = Variasi nilai (konstanta penambahan susceptible) = % = % = 150 Gambar Grafik Populasi SS, EE, II, RR terhadap tt dengan Variasi Nilai Parameter Pada simulasi keempat diatas grafik tidak mencerminkan perilaku sistem. sehingga dapat disimpulkan sistem tidak stabil pada rentang waktu l = Berikut diberikan tabel yang menggambarkan kestabilan sistem bergantung pada nilai l. Tabel 4.5 Perilaku Sistem Bergantung pada l Langkah waktu (l) Prilaku Sistem Stabil 0.01 Stabil 0.1 Stabil 0.11 Stabil 0.1 Stabil 0.15 Stabil 0.16 Stabil 0.17 Stabil Tidak Stabil Sehingga skema numerik Runge-Kutta orde empat memenuhi sifat stabilitas model SEIR ketika ukuran langkah waktu (l) tidak lebih besar dari Analisa Sensitivitas Penyebaran penyakit tidak terlepas dari pengaruh setiap inputan nilai parameter yang diberikan. Variasi nilai input yang diberikan akan berpengaruh terhadap output dari simulasi yang dilakukan. Namun, tidak semua parameter memiliki tingkat kesensitivan yang sama. Sehingga diperlukan adanya analisa sensitivitas terhadap setiap parameter tersebut. Berikut diberikan nilai input dari setiap parameter yakni, ββ 1, ββ, ββ,, αα 1, αα, γγ dan KK. Nilai input parameter Grafik diatas menunjukkan bahwa variasi konstanta penambahan susceptible signifikan terhadap perubahan jumlah subpopulasi susceptible dan exposed.. Variasi nilai ββ (laju kontak antara pada klas infected) ββ = 0.1 ββ 50% = 0.05 ββ + 50% = 0.15 Gambar 4 Grafik Populasi SS, EE, II, RR terhadap tt dengan Variasi Nilai Parameter ββ Variasi nilai input parameter γγ terhadap titik setimbang endemik pada grafik di atas menunjukkan bahwa 5

6 variasi laju antara terexposed dan infected hanya signifikan terhadap perubahan subpopulasi infected.. Variasi nilai KK (laju kesembuhan) KK = 0.4 KK 50% = 0. KK + 50% = 0.6 Gambar 5 Grafik Populasi SS, EE, II, RR terhadap tt dengan Variasi Nilai Parameter KK a. titik setimbang bebas penyakit EE 0 0,0,0, b. titik setimbang endemik EE 1 (SS, EE, II, RR ) dengan SS = EE = ωω II = γγ RR = kk γγ ( ) (ββ 1 ωω+ββ γγ+ββ kkkk )+( ) αα 1 ωω+ αα γγ. Hasil penyelesaian numerik model SEIR dengan metode Runge-Kutta orde empat memenuhi sifat stabilitas model SEIR ketika ukuran langkah waktu l tidak lebih besar dari Dengan melakukan variasi nilai input dari masingmasing parameter maka didapatkan parameter sensitif, yaitu yang memberikan pengaruh yang cukup besar terhadap arah penyebaran penyakit pada populasi. Parameter-parameter sensitif tersebut ialah,, ββ, γγ dan KK. Variasi nilai input parameter KK terhadap titik setimbang endemik pada grafik populasi terhadap waktu menunjukkan bahwa variasi laju kesembuhan hanya signifikan terhadap perubahan subpopulasi recovery. Sesuai dengan analisa sensitivitas yang telah dilakukan, didapatkan beberapa parameter yang sensitif terhadap arah penyebaran penyakit yaitu,, ββ, γγ dan KK. IV. KESIMPULAN Berdasarkan hasil analisa yang telah dilakukan, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Bilangan reproduksi dasar dari model SEIR dengan memperhatikan penularan pada peiode laten adalah RR 0 = (ββ 1ωω +ββ γγ +ββ kkγγ) δδδδ Titik setimbang bebas penyakit stabil asimtotik jika RR 0 < 1, ini menunjukkan bahwa tidak terjadi penularan penyakit. Sedangkan titik kesetimbangan endemik adalah stabil asimtotik jika RR 0 > 1, sehingga menunjukkan bahwa terjadi penularan penyakit ketika RR 0 lebih dari 1.. Didapatkan titik setimbang dari model epidemic SEIR yaitu V. DAFTAR PUSTAKA [1] Guihua Li, Zhen Jin.(005). Global Stability of SEIR epidemic model with infectious forse in latent, infected and immune period.chaos, Solitons and Fractals. Hal [] Hethcote HW, van den Drissche P.(1991). Some epidemiological models with nonlinear incidence. J Math BiolVol 9.Hal 71. [] Rusdi Wahyudi,dkk.(01). Kestabilan Model Epidemik SEIR dengan Waktu Tunda.Tugas Akhir jurusan Matematika Universitas Hasanuddin. [4] Priyandoko Bagus.(009). Analisis kualitatif dan bifurkasi pada model epidemik tipe SEIR dengan transmisi vertikal.tugas akhir jurusan matematika ITS. [5] Gao LQ, Hethcote HW.(199). Disease transmission models with density-depent demographics. J Math Biol. 0:717. [6] Hethcote HW, van den Drissche P.(1991). Some epidemiological models with nonlinear incidence. J Math Biol. 9:71. [7] Derrick WR, van den Drissche P.(199). A disease transmition model in a non constant population. J Math Biol. 1: 495. [8] Nedelman J. (1985). Introductory review. Some new thoughts about some old malaria models. Math Biosci. Hal