BAB IV ANALISIS MODEL 2

Transkripsi

1 BAB V AAL MODEL BAB V AAL MODEL Pada bab ini akan dibahas titik-titik kesetimbangan Model tanpa delay dan dengan delay. Model yang akan dibahas adalah Model Persamaan elain itu, pada bab ini juga diberikan simulasi Model untuk Persamaan yang sama. 4.1 Titik Kesetimbangan Tanpa Delay Modelnya adalah d () () t t V () t = γ mab γ () t (4.1) V d ( ) () t t τi V ( t τi) = mab γ () t (4.) V dv () () t V t () t = λ V ac λ V () t (4.3) dv ( ) () t V t τe ( t τe) = exp( λτ ) e ac λv ( t) (4.4) dengan tanpa delay terhadap waktu atau diasumsikan τ i dan τ e sama dengan nol, maka keempat Model diatas akan berbentuk d () () t t V () t = γ mab γ () t (4.5) V 3

2 BAB V AAL MODEL d () () t t V () t = mab γ () t (4.6) V dv () () t V t () t = λ V ac λ V () t (4.7) dv () () t V t () t = ac λv () t (4.8) Model diatas akan dinormalisasikan dengan mengasumsikan () t () t =, () t () t =, V () t V () t =, V V V () t () t = sehingga diperoleh Persamaan baru d () t = γ mab () t V() t γ (4.9) d () t = mab () t V() t γ () t (4.1) dv () t = λ acv() t () t λ V() t (4.11) dv () t = acv() t () t λv() t (4.1) Model ini memiliki dua titik kesetimbangan yaitu E = (1,,1, ) dan ( ) E1 = s*, *, Vs*, V * dengan γ ( ac + λ) ma bc γλ s* =, * = ac( mab + γ) ( mab + γ) ca λ( mab + γ) ma bc γλ Vs* =, V* = mab( ac + λ) mab( ac + λ) V Titik kesetimbangan yang pertama merupakan titik kesetimbangan bebas penyakit sedangkan titik yang kedua merupakan titik kesetimbangan endemik. 4

3 BAB V AAL MODEL a. Titik Kesetimbangan on Endemik (Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit) Matrik Jacobi dari Model tanpa delay terhadap waktu di titik kesetimbangan bebas penyakit E = ( 1,,1, ) adalah -γ amb γ amb ac λ ac λ Persamaan karakteristik dari matriks Jacobi di titik kesetimbangan bebas penyakit adalah adalah ( s+ γ )( s+ λ)( s + sλ + sγ a cmb +γλ ) (4.13) Dari Persamaan diatas diperoleh dua nilai eigen yang negatif yaitu λ, γ, dan akar dari polinom (s + sλ + sγ a cmb +γλ) (4.14) elanjutnya dengan aturan Descartes akan ditentukan apakah akar dari polinom tersebut benilai negatif. Dari Persamaan 4.14 koefisien-koefisien Persamaan karakteristik pada saat s = s adalah x x x = 1 = ( γ + λ) 1 = a cmb+ γλ Koefisien x bernilai positif dan koefisien x 1 bernilai negatif, maka menurut aturan Descartes koefisien x a cmb γλ = + haruslah bernilai positif agar didapatkan dua kali perubahan tanda yang mengindikasikan ada dua akar negatif, sehingga x dapat ditulis dalam bentuk x = γλ(1 R ) dengan R = ambc γλ 5

4 BAB V AAL MODEL sehingga x akan bernilai positif jika R < 1. Maka dapat diketahui bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit dari Model tanpa delay akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika R < 1 dan tidak stabil untuk R > 1 b. Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemiknya yaitu E ( V V ) 1 = *, *, *. * dengan γ ( ac + λ) ma bc γλ * =, * = ac( mab + γ) ( mab + γ) ca λ( mab + γ) ma bc γλ V V* =, * = mab( ac + λ) mab( ac + λ) Matrik Jacobinya di titik tersebut adalah mbc + mb ac + γ ac + λ c( mab + γ ) γλ γ ( + λ) γ ac + λ c( mab + γ) cλ( mab+ γ) a mbc+ γλ λ mb( ac + λ) mab + γ cλ( mab + γ) a mbc + γλ λ mb( ac + λ) mab + γ -a γλ γ( λ) a mbc mb ac Persamaan karakteristik dari matrik Jacobi di titik kesetimbangan endemik adalah ( s + γ)( s + λ)( s + sλ + sγ + sambv + sac + mabv λ + γac a mbcv + γλ + a mbcv ) (4.15) Dari Persamaan 4.15 diperoleh dua nilai eigen yang negatif yaitu λ, γ dan akar dari polinom 6

5 BAB V AAL MODEL ( s + sλ + sγ + sambv + sac + mabvλ + γac ambcv γλ ambcv ) + + Persamaan karakteristiknya pada saat s = s adalah (4.16) elanjutnya dengan aturan Descartes akan ditentukan apakah akar dari polinom tersebut bernilai negatif. Dengan mensubtitusikan titik E 1 kesetimbangan ke Persamaan 16, maka akan diperoleh koefisien-koefisien x1 = 1 a mbc γλ a mbc γλ x = λ γ ac + λ amb + γ x 3 λ( a mbc γλ) γ ( a mbc γλ) ( a mbc γλ) ac + λ amb + γ ( ac + λ)( amb + γ) = + + yarat agar titik kesetimbangan stabil, menurut aturan Descartes adalah koefisien x bernilai positif, x 1 bernilai negatif dan x bernilai positif. Aturan Descartes akan terpenuhi jika ambc γλ > atau γλ( R 1) > dengan R = ambc γλ Artinya x 1 akan bernilai negatif dan x bernilai positif jika. Maka kestabilan titik kesetimbangan endemik Model dua akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika R >. 1 R > 1 4. imulasi Model elanjutnya akan ditunjukkan dinamik dari ( t ), ( t ), V ( t ) dan V ( t) yang diperoleh dari Persamaan Model Tanpa Delay Waktu Misalkan diberikan nilai parameter untuk Model tanpa delay waktu yang telah dinormalisasikan, yaitu sebagai berikut 7

6 BAB V AAL MODEL m =, a =.35, b =.15, c =.5, λ =.5, γ =.3 Berdasarkan parameter diatas, akan diperoleh nilai R =.5733 < 1. imulasi ini menggunakan nilai awal () =.9, () =.1, V () = 1, dan V () = Maka Grafik ( t ), ( t ), V ( t ), dan V ( t ) terhadap waktu () t adalah sebagai berikut Gambar 4.1 Model Tanpa Delay Waktu untuk on Endemik Pada Grafik ( t), dapat dilihat bahwa banyaknya susceptible host naik ke titik kesetimbangannya karena ada faktor kelahiran alami. Pada Grafik ( t), dalam populasi terdapat host yang terinfeksi akibat terjadinya kontak antara susceptible host dengan infectious vector sehingga menjadi infectious host. elanjutnya, banyaknya infectious host dalam populasi terus berkurang karena kematian dari infectious host. al ini akan berlangsung terus hingga pada waktu yang lama akan habis menuju kondisi kesetimbangan. Begitu juga dengan Grafik V ( t), pada waktu awal banyaknya susceptible vector akan berkurang disebabkan karena adanya kontak antara susceptible vector dengan 8

7 BAB V AAL MODEL infectious host dan kematian dari susceptible vector. amun, akan bertambah karena adanya kelahiran susceptible vector. Penambahan ini akan terus terjadi sampai pada saat menuju kondisi kesetimbangan untuk waktu yang lama. edangkan untuk Grafik V ( t), dalam populasi vektor mulai ada vektor yang terinfeksi akibat terjadinya kontak antara susceptible vector dengan infectious host sehingga menjadi infectious vector. elanjutnya, banyaknya infectious vector dalam populasi terus berkurang menuju titik kesetimbangannya karena kematian alami dari infectious vector. elanjutnya Model akan dianalisis jika beberapa koefisiennya diganti. Misalkan dengan menaikkan parameter menjadi m =.1, a =.45, b =.5, c =.35. Maka diperoleh hasil seperti pada Gambar 4. sampai 4.5 Gambar 4. Kenaikan Parameter m Gambar 4.3 Kenaikan Parameter a 9

8 BAB V AAL MODEL Gambar 4.4 Kenaikan Parameter b Gambar 4.5 Kenaikan Parameter c Dari beberapa simulasi diatas, secara keseluruhan untuk R < 1 Grafik,, V dan V konvergen ke nilai kesimbangan bebas penyakitnya yaitu (1,, 1, ). amun jika nilai parameter m, a, b dan c dinaikkan maka Grafiknya jika dibandingkan dengan Grafik 4.1 akan semakin lambat menuju titik kesetimbangan bebas penyakitnya. Artinya semakin lambat menuju keadaan bebas penyakit. elain itu, R akan semakin besar dan mendekati satu yang berarti semakin mendekati epidemi penyakitnya. Misalkan diberikan nilai parameter untuk Model tanpa delay terhadap waktu yang telah dinormalisasikan, yaitu sebagai berikut m =, a =.5, b =.65, c =.35, λ =.5, γ =.3 Berdasarkan parameter diatas, akan diperoleh nilai R = > 1 dengan titik kesetimbangannya adalah (.5678,.43,.995,.75) seperti yang terlihat pada Gambar 4.6. imulasi ini menggunakan nilai awal () = 1, () =, V () =.99, dan V () =.1 Maka Grafik ( t ), ( t ), V ( t ), dan V ( t ) terhadap waktu () t adalah sebagai berikut 3

9 BAB V AAL MODEL Gambar 4.6 Model Tanpa Delay Waktu untuk Endemik Pada Grafik ( t), karena semakin meningkatnya jumlah host yang terinfeksi disebabkan oleh adanya kontak antara susceptible host dengan infectious vector mengakibatkan jumlah susceptible host mengalami penurunan, selain itu juga karena kematian dari susceptible host. Penurunan ini akan terus berlangsung hingga mencapai titik kesetimbangannya. Pada Grafik ( t), di awal terjadinya endemik, jumlah infectious host meningkat akibat terjadinya kontak antara susceptible host dengan infectious vector. al ini akan berlangsung terus hingga pada waktu yang lama akan menuju kondisi kesetimbangannya. Begitu juga dengan Grafik V ( t), pada waktu awal banyaknya susceptible vector akan naik karena ada kelahiran. amun akan berkurang disebabkan karena adanya kontak antara susceptible vector dengan infectious host dan kematian dari susceptible vector. Pengurangan ini akan terus terjadi sampai menuju kondisi kesetimbangan. edangkan untuk Grafik V ( t), pada mulanya dalam populasi vektor ada vektor yang terinfeksi. Kemudian, banyaknya infectious vector dalam populasi berkurang karena 31

10 BAB V AAL MODEL mengalami kematian. amun dengan bertambahnya populasi susceptible vector menyebabkan infectious vector ikut naik karena kontak antara susceptible vector dengan infectious host sehingga menjadi infectious vector. Pertambahan ini akan naik terus mencapai titik kesetimbangannya. elanjutnya Model akan dianalisis jika beberapa koefisiennya diganti. Misalkan dengan menaikkan parameter menjadi m =.1, a =.35, b =.165, c =.135. Maka diperoleh hasil seperti pada Gambar 4.7 sampai 4.1. Gambar 4.7 Kenaikan Parameter m Gambar 4.9 Kenaikan Parameter b Gambar 4.8 Kenaikan Parameter a Gambar 4.1 Kenaikan Parameter c 3

11 BAB V AAL MODEL Dari Gambar 4.7 diperoleh R = > 1dengan titik kesetimbangannya adalah (.541,.459,.99,.8). edangkan pada Gambar 4.8 diperoleh R = > 1dengan titik kesetimbangannya (.95,.775,.983,.17). Begitu juga dengan Gambar 4.9 dan Gambar 4.1 dimana diperoleh R = > 1 dan R = > 1 dengan titik kesetimbangan (.5,.775,.9866,.134) dan (.1544,.8456,.946,.54). ecara keseluruhan, berdasarkan kenaikan parameter-parameter diatas diperoleh nilai R >, dan Grafik ( t ), ( t ), V ( t ), dan V ( t) konvergen ke nilai 1 kesetimbangan endemiknya. Dari beberapa simulasi di atas, dapat diketahui bahwa jika nilai m, a, b dan c kita naikkan (R akan naik) maka jumlah susceptible host dan susceptible vector mengalami penurunan lebih cepat sedangkan infectious host dan infectious vector mengalami kenaikan lebih cepat. Artinya terjadinya epidemi demam berdarah lebih cepat jika nilai R semakin besar. elain itu, kenaikan parameter menyebabkan () t, ( t ), V ( t ), dan V ( t) semakin cepat menuju titik kesetimbangan endemiknya. Dari semua simulasi numerik Model Persamaan 4.9 sampai 4.1 dengan tanpa delay, diperoleh hasil seperti yang terlihat pada Gambar 4.1 sampai 4.1. imulasi diatas dilihat untuk mengetahui sensitivitas parameter Model 4.9 sampai 4.1 terhadap nilai R. 33

12 BAB V AAL MODEL ecara umum diperoleh hasil untuk nilai a. R < 1 Jika nilai parameter m, a, b dan c dinaikkan maka ( t ), ( t ), V ( t), dan V () t b. R > 1 akan semakin lambat menuju titik kesetimbangan bebas penyakitnya. Kenaikan parameter menyebabkan ( t ), ( t ), V ( t ), dan V ( t) semakin cepat menuju titik kesetimbangan endemiknya. Jumlah susceptible host dan susceptible vector mengalami penurunan lebih cepat sedangkan infectious host dan infectious vector mengalami kenaikan lebih cepat. Artinya terjadinya epidemik demam berdarah lebih cepat jika nilai R semakin besar. asil yang diperoleh diatas adalah dengan menggunakan nilai awal yang telah ditetapkan. Oleh sebab itu dilakukan simulasi untuk nilai awal yang berbeda-beda, yakni a. () = 1, () =, V () =.9, dan V () =.1 dan () = 1, () =, V () =.75, dan V () =.5 Gambar 4.11 Kenaikan ilai Awal nfectious Vector Jika nilai awal V di perbanyak menjadi.5 (Gambar kanan), maka dan V akan semakin cepat turun sedangkan dan V akan semakin cepat naik. 34

13 BAB V AAL MODEL b. () =.9, () =.1, V () = 1, dan V () = dan () =.75, () =.5, V () = 1, dan V () = Gambar 4.1 Kenaikan ilai Awal nfectious ost Pada mulanya tidak ada vektor yang terinfeksi, namun karena ada host yang terinfeksi kontak dengan susceptible vector menyebabkan mulai bertambahnya vektor yang terinfeksi. Kemudian jika diperbanyak menjadi.5 (Gambar 4.1 kanan), maka penurunan jumlah V dan pertambahan V akan semakin cepat. Dari beberapa simulasi nilai awal diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa Jika nilai awal V diperbesar, menyebabkan jumlah akan ikutan naik sehingga dan V akan turun. Jika nilai awal diperbesar, menyebabkan kenaikan pada jumlah V sehingga V dan juga akan turun. Adanya sangat mempengaruhi pertambahan V atau sebaliknya, walaupun pada keadaan awal nilainya sama dengan nol. ehingga dapat disimpulkan bahwa pemilihan skenario nilai awal tidak terlalu berpengaruh dalam simulasi ini. 35

14 BAB V AAL MODEL 4.. Model dengan Delay Waktu Misalkan diberikan nilai parameter untuk Model dengan delay waktu, yaitu sebagai berikut m =, a =.3, b =.95, c =.75, λ =.5, γ =.3, = 1, = 1, τ = 4, dan τ = 6 V i e Berdasarkan parameter diatas, akan diperoleh nilai R =.3984 < 1. imulasi ini menggunakan fungsi awal ( t) = exp( t), ( t) = exp( t), V ( t) = exp( t), dan V ( t) = exp( t) Maka Grafik ( t ), ( t ), V ( t ), dan V ( t ) terhadap waktu () t adalah sebagai berikut Gambar 4.15 Model dengan Delay Waktu untuk on Endemik elanjutnya Model akan dianalisis jika beberapa koefisiennya diganti. Misalkan dengan menaikkan parameter menjadi m =.1, a =.4, b =.195, dan c =.175, Maka diperoleh hasil seperti pada Gambar 36

15 BAB V AAL MODEL Gambar 4.16 Kenaikan Parameter m, a, b, dan c Dari beberapa simulasi diatas diperoleh nilai R < 1. Jika nilai parameter m, a, b dan c dinaikkan, dibandingkan dengan Gambar 4.15 keempat Gambar 4.16 akan semakin lambat menuju titik kesetimbangan bebas penyakitnya. Artinya semakin lambat menuju keadaan bebas penyakit. Misalkan diberikan nilai parameter untuk Model dengan delay waktu, yaitu sebagai berikut m =, a =.45, b =.15, c =.85, λ =.5, γ =.3, = 1, = 1, τ = 4, dan τ = 6 V i e Berdasarkan parameter diatas, akan diperoleh nilai R = > 1. imulasi ini menggunakan fungsi awal 37

16 BAB V AAL MODEL ( t) = exp( t), ( t) = exp( t), V ( t) = exp( t), dan V ( t) = exp( t) Maka Grafik ( t ), ( t ), V ( t ), dan V ( t ) terhadap waktu () t adalah sebagai berikut Gambar 4.17 Model dengan Delay Waktu untuk Endemik elanjutnya Model akan dianalisis jika beberapa koefisiennya diganti. Misalkan dengan menaikkan parameter menjadi m =.1, a =.5, b =.5, c =.185, τ = 8, dan τ = 7 Maka diperoleh hasil seperti pada Gambar i e 38

17 BAB V AAL MODEL Gambar 4.18 Kenaikan Parameter m, a, b, dan c Dari beberapa simulasi di atas, dapat diketahui bahwa jika nilai m, a, b dan c kita naikkan maka ( t ), ( t ), V ( t ), dan V ( t) semakin cepat menuju titik kesetimbangan endemiknya. Kemudian hasil yang diperoleh diatas adalah dengan menggunakan fungsi awal ( t) = exp( t), ( t) = exp( t), V ( t) = exp( t), dan V ( t) = exp( t) Oleh sebab itu dilakukan simulasi untuk fungsi awal yang berbeda-beda, yakni a. ( t) = exp(1 + t), ( t) = exp( t), V ( t) = exp( t), dan V ( t) = exp( t) Gambar

18 BAB V AAL MODEL b. ( t) = exp( t), ( t) = exp(1 3 t), V ( t) = exp(1 + t), dan V ( t) = exp( t) Gambar 4. Dari hasil simulasi nilai awal diatas dapat disimpulkan bahwa skenario fungsi awal juga tidak terlalu berpengaruh dalam simulasi ini. elanjutnya akan dibandingkan analisis numerik Model dengan delay dan tanpa delay waktu untuk parameter yang sama yaitu m =, a =.45, b =.15, c =.85, λ =.5, γ =.3, = 1, = 1, τ = 4, dan τ = 6 Maka akan diperoleh hasil sebagai berikut V i e Gambar 4.1 imulasi dengan Delay Gambar 4. imulasi tanpa Delay 4

19 BAB V AAL MODEL Dari simulasi diatas dapat disimpulkan bahwa penggunaan delay waktu membuat,, V dan V lebih lama naik dan turun serta lebih lama menuju titik kesetimbangannya. Artinya dengan adanya delay waktu menyebabkan maksimum kejadian demam berdarah dengue akan semakin lama jika dibandingkan dengan tidak ada delay waktu. 41