PENGGUNAAN TEOREMA HOMEOMORPHY 2-MANIFOLD DAN TEOREMA EULER POINCARE PADA TORUS T DAN SIMPLICIAL COMPLEX K QOWIYYUL AMIN SIREGAR

Transkripsi

1 PENGGUNAAN TEOREMA HOMEOMORPHY 2-MANIFOLD DAN TEOREMA EULER POINCARE PADA TORUS T DAN SIMPLICIAL COMPLEX K QOWIYYUL AMIN SIREGAR DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Teorema Homeomorphy 2-Manifold dan Teorema Euler Poincare pada Torus TT dan Simplicial Complex KK adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi uang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2014 Qowiyyul Amin Siregar NIM G

4 ABSTRAK QOWIYYUL AMIN SIREGAR. Penggunaan Teorema Homeomorphy 2- Manifold dan Teorema Euler Poincare pada Torus T dan Simplicial Complex K. Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan NUR ALIATININGTYAS. Dua ruang topologi berdimensi dua dikatakan homeomorfik apabila memiliki invarian topologi yang sama, di mana salah satu invarian topologi yang digunakan adalah karakteristik Euler. Dasar teorema yang digunakan untuk membedakan ruang topologi berdimensi dua adalah Teorema Homeomorphy 2- Manifold dan Teorema Euler Poincare. Teorema Homeomorphy 2-Manifold melihat nilai karakteristik Euler dari ruang topologi untuk membedakan ruang topologi berdimensi dua. Lalu Teorema Euler Poincare untuk alternatif pencarian nilai karakteristik Euler dari nilai Betti number, yang juga merupakan invarian topologi. Tujuan karya ilmiah ini adalah untuk melihat kehomeomorfisan torus T dan Simplicial Complex K. Ruang topologi torus T dan simplicial complex K memiliki nilai karakteristik Euler yang sama, yaitu bernilai dua. Berdasarkan Teorema Homeomorphy 2-Manifold Torus T dan simplicial complex K dapat dikatakan homeomorfik. Kata kunci: topologi, homeomorfis, Euler, torus, simplicial ABSTRACT QOWIYYUL AMIN SIREGAR. The Use of Homeomorphy 2-Manifold s Theorem and Euler Poincare s Theorem on Torus T and Simplicial Complex K. Supervised by SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS. Two dimensional topological spaces are said to be homeomorphic if they have the same topological invariant, where one of topological invariant used is an Euler characteristic. Homeomorphy 2-Manifold s Theorem and Euler Poincare s Theorem are used to distinguish two topological spaces. Homeomorphy 2- Manifold s Theorem uses Euler characteristic to identify two dimensional topological spaces. Euler Poincare s Theorem is an alternative way to find Euler characteristic with Betti number, which is topological invariant as well. The objective of this paper is to investigate the homeomorphism of torus T and simplicial complex K. Topological space torus and simplicial complex K have the same Euler characteristic, which is two. Based on Homeomorphy 2-Manifold s Theorem topological space torus T and simplicial complex K is homeomorphic. Keywords: topology, homeomorphism, Euler, torus, simplicial

5 PENGGUNAAN TEOREMA HOMEOMORPHY 2-MANIFOLD DAN TEOREMA EULER POINCARE PADA TORUS T DAN SIMPLICIAL COMPLEX K QOWIYYUL AMIN SIREGAR Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7 Judul Skripsi : Penggunaan Teorema Homeomorphy 2-Manifold dan Teorema Euler Poincare pada Torus T dan Simplicial Complex K Nama : Qowiyyul Amin Siregar NIM : G Disetujui oleh Dr Sugi Guritman Pembimbing I Dra Nur Aliatiningtyas, MS Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penilitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2013 ini adalah topologi, dengan judul Penggunaan Teorema Homeomorphy 2-Manifold dan Teorema Euler Poincare pada Torus T dan Simplicial Complex K. Terima Kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Sugi Guritman dan Ibu Dra Nur Aliatiningtyas selaku pembimbing, serta Bapak Muhammad Ilyas, MSi yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, Penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Regi Wahyu selaku Presiden PT. Mediatrac, Bapak Imron Zuhri selaku komisioner PT. Mediatrac, Bapak Tom Malik selaku CEO PT. Mediatrac dan Bapak HasanYusuf selaku Manajer Serta bapak Lurino Bertorani. Ungkapan terimakasih juga disampaikan kepada Ayah, Ibu, teman-teman Departemen Matematika Angkatan 45, 46, dan 47 atas segala doanya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Mei 2014 Qowiyyul Amin Siregar

9 DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 HASIL DAN PEMBAHASAN 12 SIMPULAN DAN SARAN 18 Simpulan 18 Saran 18 DAFTAR PUSTAKA 18 LAMPIRAN 13 RIWAYAT HIDUP 15

10 DAFTAR GAMBAR Beberapa objek 2-manifold. 4 Torus T 13 Simplicial complex K 14 Basic 2-manifold torus. 14 Basic 2-manifold dengan tambahan edge c. 16 DAFTAR LAMPIRAN Koding bentukan simplicial complex K. 20

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Topologi adalah cabang ilmu matematika yang memelajari bentuk dan ruang. Secara formal topologi dapat dikatakan ilmu tentang sifat yang dilihat secara kualitatif terhadap objek-objek yang tidak berubah dalam beberapa macam transformasi. Untuk lebih sederhana topologi adalah ilmu tentang kekontinuan dan keterhubungan. Suatu permasalahan dasar pada ruang topologi ialah penentuan apakah dua ruang tersebut homeomorfik atau tidak (isomorfik dalam struktur ruang topologi atau tidak). Untuk memperlihatkan apakah dua ruang dalam ruang topologi tersebut homeomorfik dapat dilihat dengan mengkonstruksi sebuah fungsi bijektif, dengan fungsi invers yang kontinu yang memetakan suatu ruang ke ruang lainnya. Lalu untuk membuktikan bahwa dua ruang topologi tersebut tidak homeomorfik perlu memperlihatkan tidak ada fungsi seperti yang disebutkan sebelumnya. Namun cara seperti itu sangat sulit untuk dilakukan. Cara yang biasa dilakukan untuk menyelesaikan masalah yang disebutkan sebelumnya (menunjukan dua ruang topologi tidak homeomorfik) ialah dengan menemukan suatu sifat atau ciri ruang topologi (contoh, suatu sifat invariant dalam fungsi homeomorfisma) yang hanya dimiliki satu ruang topologi tersebut dan tidak dimiliki ruang topogi lainnya (Munkres 1984). Suatu ciri atau sifat dasar suatu ruang topologi tidak selalu dapat menjadi acuan untuk menentukan apakah ada suatu homeomorfisma atau tidak. Untuk mengklasifikasikan permukaan kompak dengan dasar homeomorfisma membutuhkan suatu invariant topologi yang luar biasa dibandingkan yang lain. Sehingga dapat menyelesaikan masalah apakah dua ruang topologi tersebut homeomorfik (Munkres 1984). Aljabar topologi sendiri ditemukan oleh dua orang matematikawan yaitu Poincare dan Betti yang bertujuan untuk menemukan suatu invariant topologi. Poincare memperkenalkan suatu grup yang disebut Fundamental Group. Dan Betti memperkenalkan asosiasi dari setiap ruang dengan suatu sekuens dari grup abelian yang disebut grup homologi. Di mana grup homologi ini merupakan suatu invariant topologi juga. Jadi grup homologi dapat menjadi salah satu cara untuk menyelesaikan masalah homeomorfik dengan kelebihan grup homologi lebih mudah untuk dihitung dibandingkan dengan Fundamental Group (Munkres c984). Betti number adalah cara yang paling mudah untuk mendeskripsikan grup homologi. Simplicial complex adalah objek amatan yang berada pada ruang topologi. Pada karya ilmiah ini akan dibahas mengenai pemakaian Teorema homeomorphy 2-manifold dan Teorema Euler Poincare. Penggunana Teorema homeomorphy 2-manifold dipakai untuk melihat homeomorfisma pada torus T dan simplicial complex K. Dan penggunaan Teorema Euler Poincare untuk mencari karakteristik Euler di mana Betti number diperlukan di dalamnya.

12 2 Tujuan Penelitian Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk: 1. Mengkontruksi grup homologi dari sebuah 2-simplex yang berupa simplicial complex J. 2. Menggunakan Teorema homeomorphy 2-manifold untuk menunjukan kehomeomorfisan torus T dan simplicial complex K. 3. Mencari nilai karakteristik Euler torus T dan simplicial complex K menggunakan Teorema Euler Poincare. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan definisi-definisi mengenai teori himpunan dan fungsi, ruang topologi, teori grup, ruang vektor, simplicial complex, karakeristik Euler, free abelian group, grup homologi dan Betti number. Teori Himpunan dan Fungsi Definisi Koleksi Himpunan Koleksi adalah sebuah himpunan yang anggotanya berupa himpunan-himpunan (Munkres 2000). Definisi Produk Cartesian Diberikan himpunan A dan himpunan B. Didefinisikan A B merupakan produk kartesian di mana, A B = a, b a A dan b B. (Munkres 2000) Definisi Fungsi, Domain, Image Suatu fungsi f: A B adalah aturan yang memadankan setiap elemen x dalam himpunan A secara tepat ke satu elemen yang disebut f(x), dalam himpunan B. Himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi, daerah hasil (image) adalah himpunan semua nilai f(x) (Stewart 2001). Definisi Injektif Suatu fungsi f: A B dikatakan injektif (atau fungsi satu-satu) jika f a = f(a ) maka a = a (Munkres 2000). Definisi Surjektif Fungsi f: A B dikatakan surjektif jika b B maka adaa A, di mana b = f(a) (Munkres 2000).

13 Definisi Bijektif Jika f: A B keduanya surjektif dan injektif, maka dikatakan f bijektif (atau dikatakan korespondensi satu-satu) (Munkres 2000). 3 Ruang Topologi Definisi Topologi Sebuah topologi pada himpunan X adalah sebuah koleksi T dari koleksi himpunan bagian X yang mempunyai beberapa ciri: 1. dan X ada di dalam T. 2. Gabungan dari anggota-anggota dari semua bagian koleksi berhingga T ada di dalam T. 3. Irisan dari anggota-anggota dari semua bagian koleksi berhingga T ada di dalam T. Pasangan terurut ( X, T ) disebut ruang topologi. Selanjutnya Pasangan terurut (X, T) akan dinyatakan sebagai X saja. Himpunan bagian X yang dimuat dalam T disebut himpunan terbuka (Munkres 2000). Definisi Basis Jika X adalah sebuah himpunan, sebuah basis dari topologi pada X adalah koleksi B dari himpunan bagian X yang memenuhi pernyataan berikut: 1. Untuk setiap x X, terdapat paling sedikit satu elemen B yang memuat x. 2. Jika x berada pada irisan dari dua elemen B 1 dan B 2, maka ada sebuah elemen B3 yang mengandung x di mana B3 B1 B2. Jika B basis, maka topologi T dibangkitkan dari B (Munkres 2000). Definisi Produk Topologi Misal X dan Y menjadi ruang topologi. Produk X Y adalah ruang topologi (Munkres 2000). Teorema Basis Produk Topologi Produk topologi X Y mempunyai basis B dari koleksi himpunan U V, di mana U adalah himpunan bagian yang terbuka dari X dan V juga himpunan bagian terbuka dari Y (Munkres 2000). Definisi Himpunan Tertutup Sebuah himpunan bagian A dari ruang topologi X dikatakan tertutup jika himpunan X A terbuka (Munkres 2000). Definisi Neighborhood Himpunan U adalah neighborhood dari x jika U himpunan terbuka yang memuat x (Munkres 2000).

14 4 Definisi Kekontinuan dari Fungsi Misal X dan Y ruang topologi. Sebuah fungsi f: X Y dikatakan kontinu jika untuk setiap himpunan bagian terbuka V dari Y, maka himpunan f 1 (V) merupakan himpunan terbuka dari X (Munkres 2000). Definisi Terhubung Suatu ruang topologi X dikatakan terhubung jika dan hanya jika satu-satunya himpunan bagian dari X yang terbuka dan tertutup adalah himpunan kosong dan X itu sendiri (Munkres 2000). Definisi Open Covering Suatu koleksi A dari himpunan bagian ruang topologi X disebut open covering X jika gabungan elemen A sama dengan X. Definisi Compact Ruang topologi X dikatakan compact jika setiap open covering X (A) memuat subkoleksi berhingga yang juga open covering X. Definisi Basic 2-Manifold Gambar 1 Beberapa objek 2-manifold. Gambar 1 memberikan basic 2-manifold menggunakan diagram. Pada karya ilmiah ini fokus pada gambar kedua dari kiri yang berupa basic 2-manifold dari torus, suatu kotak dengan verteks v dan sisi a, b. Gambar paling kiri merupakan basic 2-manifold dari bola adalah lingkaran dengan sisi v. Kemudian gambar kedua dari kiri merupakan 2-manifold dari torus. Lalu gambar paling kanan merupakan basic 2-manifold dari klein bottle adalah kotak dengan verteks v dan sisi a, b. Yang terakhir adalah basic 2-manifold dari projective plane adalah kotak dengan verterks v,w dan sisi a, b. Dari basic 2 -manifold torus dapat dikonstruksi kembali menjadi torus berdimensi tiga dengan menyatukan edge yang sama. Pertama bila kita menyatukan edge a akan membuat tansformasi basic 2-manifold torus menjadi tabung lalu dengan menyatukan edge b maka akan menjadi torus berdimensi tiga (Zomorodian 2005). Definisi Metrik Suatu metrik pada himpunan X adalah fungsi dari d: X X R yang mempunyai sifat seperti berikut: (1) d x, y 0 untuk semua x, y X. (2) d x, y = d(x, y) untuk semua x, y X.

15 (3) (Pertaksamaan segitiga) d x, y + d y, z d(x, z), untuk semua x, y, z X. (Munkres 2000) Definisi Ruang Metrik Pasangan terurut (X, d) adalah ruang metrik di mana X adalah himpunan dan d adalah fungsi metrik (Munkres 2000). Definisi Separable Suatu ruang topologi X dikatakan separable jika ruang topologi tersebut memiliki basis yang terhitung (Zomorodian 2005). Definisi 2-Manifold Suatu 2-manifold atau permukaan adalah suatu separable, ruang metrik Σ 2 di mana untuk setiap p Σ 2, ada suatu neighborhood U dari p yang homeomorfik terhadap R 2 (Zomorodian 2005). Definisi Ruang Euclidean Produk Cartesian R n n dengan metrik Euclidean d x, y = i=1 (u i x u i y ) adalah ruang Euclidian R n (Zomorodian 2005). Definisi Homeomorfisma, Homeomorfik Misal X dan Y ruang topologi. Ada f: X Y merupakan fungsi bijektif. Jika kedua fungsi f dan f 1 itu kontinu maka f dikatakan sebuah homeomorfisma. Dan jika f fungsi hoemomorfisma maka X dan Y dapat dikatakan homeomorfik (Munkres 2000). 5 Teori Grup Definisi Operasi Biner Operasi biner pada suatu himpunan S adalah suatu fungsi dari S S ke S yang membawa setiap (a, b) S S ke a b S yang unik. Jadi a, b a b. Karena a b juga berada dalam S maka dikatakan S tertutup di bawah operasi (Fraleigh 1994). Definisi Grup Struktur aljabar G dengan operasi biner disebut grup jika memenuhi aksioma berikut ini, 1. Operasi bersifat asosiatif (x y) z = x y z, x, y, z G. 2. Ada unsur identitas e G untuk pada G sehingga berlaku e x = x e = x, x G. 3. Untuk setiap x G ada unsur x 1 G sehingga x x 1 = x 1 x = e (Fraleigh 1994).

16 6 Definisi Grup Abelian Grup G disebut Grup komutatif jika operasi biner bersifat komutatif yaitu: x, y G, x y = y x. Grup abelian adalah grup yang bersifat komutatif (Zomorodian 2005). Definisi Order Grup Banyak unsur dari grup hingga G disebut order dari G, dinotasikan o(g) atau G (Fraleigh 1994). Definisi Grup Siklik Dinotasikan a = {na n Z}. Jika G = a maka G disebut grup siklik yang dihasilkan oleh a (Fraleigh 1994). Selanjutnya operasi grup berada di bawah operasi tambah. Definisi Grup Hasil Jumlah Langsung Misalkan G 1, G 2,, G n grup dengan unsur identitas, e i, i = 1, 2, 3,, n dan invers dari (a 1, a 2,, a n ) adalah (a 1 1, a 1 2,, a 1 n n ). Untuk notasi aditif, i=1 G i n dinotasikan dengan i=1 G i = G 1 G 2 G n, dan disebut grup hasil jumlah langsung dari G i (Fraleigh 1994). Definisi Homomorfisma Misalkan G grup dengan operasi + dan G adalah grup di bawah operasi #. Fungsi θ: G G disebut homomorfisma grup jika θ x + y = θ x θ(y), x, y G (Fraleigh 1994). Definisi Monomorfisma, Epimorfisma, Isomorfisma, Automorfisma Ada fungsi homomorfisma θ: G G, jika θ injektif maka θ disebut monomorfisma. Jika θ surjektif maka θ disebut epimorfisma. Jika θ bijektif maka θ disebut isomorfisma. Jika G = G dan θ isomorfisma maka θ disebut authomorfisma (Fraleigh 1994). Definisi Kernel Misalkan θ: G G grup homomorfisma. Grup θ 1 ({e }) disebut kernel dari θ dan dinotasikan ker θ. Jadi ker θ = {x G θ x = e } (Fraleigh 1994). Teorema Isomorfik Grup Siklik Takhingga Setiap grup siklik takhingga G isomorfik dengan Z (Fraleigh 1994). Definisi Subgrup Normal Misalkan G grup dan N subgrup dari G. Maka N disebut subgrup normal dari G jika g G, n N, gng 1 N (Fraleigh 1994).

17 7 Teorema Grup Faktor Misalkan G grup, N subgrup normal dari G dan himpunan G N beserta operasi perkalian pada G N adalah sebagai berikut: G N = a N a G an bn = abn. maka G N adalah grup dan disebut grup faktor (Fraleigh 1994). Ruang Vektor Definisi Ruang Vektor Himpunan V bersama-sama dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut terpenuhi. A1. x + y = y + x untuk setiap x dan y di V. A2. x + y + z = x + y + z untuk setiap x, y, z di V. A3. Terdapat elemen 0 di V sehingga x + 0 = x untuk setiap x V. A4. Untuk setiap x V terdapat elemen x di V sehingga x + x = 0. A5. α x + y = αx + αy untuk setiap skalar α dan setiap x dan y di V. A6. α + β x = αx + βx untuk setiap skalar α dan β dan setiap x V. A7. αβ x = α(βx ) untuk setiap skalar α dan β dan setiap x V. A8. 1 x = x. (Leon 2001) Definisi Bebas Linear Vektor-vektor v 1,, vn dalam ruang vektor V disebut bebas linear (linearly independent) jika c 1 v 1 + c 2 v c n vn = 0 mengakibatkan semua skalar-skalar c 1,, c n harus sama dengan 0 (Leon 2001). Definisi Merentang Himpunan {v 1,, vn} disebut himpunan perentang untuk V jika dan hanya jika setiap vektor dalam V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari v 1, v 2,, vn Definisi Basis Vektor-vektor v 1,, vn membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan hanya jika (i) v 1,, vn bebas linear. (ii) v 1,, vn merentang V (Leon 2001).

18 8 Simplicial Complex Definisi Bebas Geometri Poin-poin v 0, v 1,, v q di ruang Euclidean R k dikatakan bebas geometri (atau affine independent) jika satu-satunya solusi dari sistem linear q j =0 q j =0 λ j v j = 0 λ j = 0 adalah solusi trivial λ 0 = λ 1 = = λ q = 0 (Wilkins 2008). (2.1) Dari definisi di atas dapat ditunjukan bahwa poin-poin v 0, v 1,, v j merupakan bebas geometri jika hanya jika vektor v 1 v 0, v 2 v 0,, vj v 0 merupakan bebas linear. Akibatnya suatu himpunan dari poin bebas geometri di R k mempunyai paling banyak k + 1 elemen. Perlu diketahui juga bahwa jika suatu himpunan terdiri dari poin yang bebas geometri di R k maka setiap himpunan bagian dari himpunan tersebut juga terdiri dari poin yang bebas geometri. Definisi q-simplex Sebuah q-simplex di R k dari S = {v 0, v 1,, v q } didefinisikan sebagai himpunan q j =0 t j vj ; 0 t j 1 untuk j = 0,1,, q dan t j q j =0 = 1 (2.2) di mana v 0, v 1,, v q merupakan poin bebas geometri dari R k. Poin v 0, v 1,, v q dapat dikatakan verteks dari simplex. Bilangan bulat taknegatif q menunjukan sebagai dimensi dari simplex (Wilkins 2008). Kumpulan dari q-simplex disebut simplices atau kumpulan simplicial. Sebuah q-simplex juga bisa dilihat sebagai selubung cembung (convex hull) dari q + 1 titik yang bebas goemetri S = {v 0, v 1,, v q }. Semua titik di dalam S adalah verteks-verteks dari simplex (Zomorodian 2005). Definisi Face, Coface Misal σ suatu q -simplex didefinisikan dari S = {v 0, v 1,, v q }. Simplex τ dari T S, disebut face dari σ dan σ disebut coface. Hubungan tersebut dinotasikan dengan σ τ dan σ τ. Definisi Simplicial Complex Sebuah koleksi berhingga K dari kumpulan simplicial di R k dikatakan simplicial complex jika memenuhi dua kondisi berikut: 1. jika σ adalah simplex yang dimiliki K maka setiap face (τ) dari σ juga dimiliki oleh K.

19 2. jika σ 1 dan σ 2 adalah kumpulan simplicial yang dimiliki K maka kedua σ 1 σ 2 = atau σ 1 σ 2 merupakan face umum dari kedua σ 1 dan σ 2 (Wilkins 2008). Dimensi dari simplicial complex K adalah bilangan bulat tak negatif terbesar n sedemikian sehingga K mengandung sebuah n-simplex. Definisi Underlying Space Underlying Space K dari simplicial complex K adalah K = σ K σ. Dapat dikatakan K adalah topologi (Zomorodian 2005). Gabungan dari semua simplicial dari K adalah sebuah himpunan bagian compact K dari R k dikenal sebagai polyhedron dari K. Contoh. Misal K σ terdiri dari beberapa n-simplex σ beserta dengan face σ. Maka K σ adalah simplicial complex dari dimensi n, dan K σ = σ. Definisi Interior Misal v 0, v 1,, v q verteks-verteks dari suatu q-simplex σ di ruang Euclidan R k. Didefinisikan interior dari suatu simplex σ adalah himpunan titik-titik dari σ, q j =0 t j vj ; t j > 0, j = 0,1,2,, q dan t j q j =0 9 = 1 (2.3) Dari bentuk di atas dapat dilihat bahwa interior dari simplex σ memuat semua titik di σ kecuali titik-titik yang berada di ujung σ (Wilkins 2008). Definisi Rentangan Verteks Suatu himpunan verteks K yang dinotasikan dengan vert K = {v 0, v 1, v 2 }, dikatakan merentang K jika elemen elemen vert K merentang suatu simplex di dalam K (Wilkins 2008). Karakteristik Euler Definisi invariant Invariant topologi adalah suatu fungsi yang memetakan objek yang dipandang sama menuju ruang dengan tipe topologi yang sama (Zomorodian 2005). Karakteristik Euler merupakan suatu invariant topologi, di mana dapat mendeskripsikan topologi. Karakteristik Euler dapat membedakan objek topologi berdimensi rendah (dimensi dua) namun gagal untuk membedakan dimensi yang lebih tinggi. Definisi Karakteristik Euler Misal L simplicial complex dan s i = {σ L dim σ = i}. Karakteristik Euler χ(k) adalah (Zomorodian 2005) dim K χ L = 1 i s i i=0

20 10 Karakteristik Euler adalah invariant integer untuk L, yang berada dalam ruang L. Free Abelian Group Misal G Merupakan grup abelian, {a α } index dari keluarga G, dan G α menjadi subgrup dari G yang dibangkitkan oleh {a α }. Jika setiap grup G α merupakan siklik takhingga dan jika G merupakan hasil jumlah langsung dari grup G α maka G merupakan free abelian group yang mempunyai basis a α (Munkres 2000). Himpunan Z merupakan suatu free abelian group karena Z dapat dikonstruksi dari 1 yang merupakan grup siklik takhingga. Lalu contoh lain akan dikonstruksi sebuah free abelian group dari himpunan X = {a, b}. FA X = m 1 a + m 2 b, m 1, m 2 Z, di mana FA(X) adalah suatu free abelian group yang merupakan suatu kombinasi linear dari elemen-elemen X. Operasi biner dari free abelian group FA(X) adalah +, Grup Homologi Definisi Chain Groups Chain group k dari suatu simplicial complex J C k J, + adalah free abelian group pada q-simplices yang berorientasi, di mana σ = [τ] jika σ = τ dan σ dan τ mempunyai orientasi yang berbeda. Elemen dari C k (K) adalah suatu k - chain, q n q [σ q ], n q Z, σ q J (Zomorodian 2005). Contoh. Misal v 0, v 1 dan v 2 menjadi verteks dari segitiga pada suatu ruang Euclidean. Misal K menjadi simplicial complex yang memiliki segitiga tersebut, bersama dengan himpunan verteks dan edge segitiga tersebut. Setiap 0-chain dari K dapat diekspresikan secara unik dalam bentuk n 0 v 0 + n 1 v 1 + n 2 v 2 untuk nilai n 0, n 1, n 2 Z. Hal ini merupakan suatu 1-chain dari K yang juga dapat diekspresikan secara unik dalam bentuk m 0 v 0, v 1 + m 1 v 1, v 2 + m 2 v 2, v 0 untuk m 0, m 1, m 2 Z. Suatu 2 -chain dari K dapat diekspresikan secara unik dalam bentuk n v 0, v 1, v 2 untuk n Z. Definisi Boundary Homomorphism Misal K menjadi suatu simplicial complex dan σ K, σ = v 0, v 1,, v k. Boundary homomorphism k : C k K C k 1 (K) didefinisikan dengan k σ = i ( 1) i v 0, v 1,, v i,, v n, di mana v i dihapus dari sekuens (Zomorodian 2005). Contoh. Misal diletakkan boundary dari simplices berorientasi di dalam gambar. 1 a, b = b a, 2 a, b, c = b, c a, c + a, b = b, c + c, a + [a, b], 3 a, b, c, d = b, c, d a, c, d + a, b, d [a, b, c]. Definisi Cycle, Boundary Grup cycle k adalah Z k = ker k. Grup boundary k adalah B k = im k+1 (Zomorodian 2005).

21 11 Teorema Dua Boundary k 1 k v 0, v 1,, v k = 0,untuk semua k. Bukti. k 1 k v 0, v 1,, v k = k 1 ( 1) i i v 0, v 1,, v i,, v k = 1 i 1 j j <i = 0. (Zomorodian 2005) v 0, v 1,, v i,, v i,, v k + 1 i 1 j >i j 1 v 0, v 1,, v i,, v i,, v k Chain Complex Dari n dimensional J dan boundary homomorfism dapat dikonstruksi suatu sekuens berikut ini, 0 n +1 C n J n C n 1 J n 1 C 1 J 1 C 0 (J) 0 0 Dengan n n 1 C k (J) = 0 untuk semua nilai k. Catatan bahwa jika dimensi n < 0 maka C n = 0 dan C n +1 = 0 karena tidak ada n + 1 -simplex di K. Sekuens tersebut disebut chain complex. Definisi Grup Homologi Grup homologi k adalah H k = Z k B k = ker k im k+1 (Zomorodian 2005). Betti Number Betti number ke- n yang dinotasikan dengan β n, dari suatu simplicial complex adalah suatu jumlah lubang berdimensi n di dalam complex. Secara intuitif Betti number dapat dijelaskan sebagai berikut: Lubang 0-dimensi menjadi sebuah unit yang terhubung (titik). Lubang 1-dimensi menjadi sebuah lingkaran atau independent tunnel. Lubang 2-dimensi menjadi sebuah ruang tak tertutup. Betti number juga merupakan invariant topologi, seperti juga karakteristik Euler dan grup homologi. Grup homologi merupakan salah satu cara untuk mendeskripsikan topologi dan cara termudah utuk mendeskripsikan grup homologi dengan Betti number. Grup homologi ini dapat mendeskripsikan suatu ruang topologi secara feasible yang artinya dapat dipakai secara komputasi. Lalu akan diberikan Betti number: β n = rank H n,n = 0,1,2, (2.4) β n = Betti number dimensi ke- n H n = grup homologi dimensi ke- n. (Zomorodian 2005)

22 12 HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab pembahasan ini akan dikonstruksi grup homologi dari sebuah 2- simplex yang berupa simplicial complex J. Selanjutnya dibuktikan bahwa torus T dan simplicial complex K homeomorfik. Lalu akan diberikan alternatif pencarian karakteristik Euler dari Torus T dan simplicial complex K. Konstruksi Grup Homologi Simplicial Complex J Diketahui Sebuah 2 - simplex mempunyai himpunan simplicial complex J = {[v 0 ], [v 1 ], [v 2 ], [v 0, v 1 ], [v 1, v 2 ], [v 2, v 0 ], [v 0, v 1, v 2 ]}. Di mana v 0 = (0,3), v 1 = (4,0), v 2 = (4,3), v 0, v 1, v 2 Z Z.Akan dikonstruksi suatu k-chain group C k (J), + dari simplicial complex J. Pertama akan dikontruksi 0 - chain, dari himpunan σ 0 = {v 0, v 1, v 2 } lalu dibuat suatu free abelian group, n 1 v 0 + n 2 v 1 + n 3 v 2 yang merupakan anggota 0 - chain. Selanjutnya konstruksi 1 -chain dari himpunan σ 1 = {[v 0, v 1 ], [v 1, v 2 ], [v 2, v 0 ]} Lalu dibuat suatu free abelian group, m 1 [v 0, v 1 ] + m 2 [v 1, v 2 ] + m 3 [v 2, v 0 ] yang merupakan anggota 1 - chain. Dan terakhir konstruksi 2-chain dari himpunan σ 2 = {[v 0, v 1, v 2 ]} dibuat free abelian group, p 0 [v 0, v 1, v 2 ] yang merupakan anggota 2-chain. Selanjutnya akan dikonstruksi chain complex dari simplicial complex J. 0 C 2 J C 1 J C 0 J 0 Karena n 1 v 0 + n 2 v 1 + n 3 v 2 elemen 0-chain maka v 0, v 1, v 2 adalah grup C 0 (J). Begitu juga m 1 [v 0, v 1 ] + m 2 [v 1, v 2 ] + m 3 [v 2, v 0 ] yang merupakan elemen 1 - chain maka [v 0, v 1 ], [v 1, v 2 ], [v 2, v 0 ] adalah grup C 1 (J). Dan juga p 0 [v 0, v 1, v 2 ] yang merupakan elemen 2 - chain maka [v 0, v 1, v 2 ] adalah grup C 2 (J). Dapat dituliskan sebagai berikut, C 0 (J) = v 0, v 1, v 2 C 1 J = a, b, c C 2 J = A Di mana a = [v 0, v 1 ], b = [v 1, v 2 ], c = [v 2, v 0 ], dan A = [v 0, v 1, v 2 ]. Setelah itu akan dicari homologi dari simplicial complex J. Karena v 0 = v 0 = v 0 = 0 sehingga Z = v 0, v 1, v 2 = C 0 (J). Dengan B 0 (a) = [v 0, v 1 ] (c) = [v 2, v 0 ] = v 1 v 0 = v 0 v 2 (b) = d[v 1, v 2 ] = v 2 v 1 H 0 J = Z 0 /B 0 = v 0, v 1, v 1 / v 1 v 0, v 2 v 1, v 0 v 2 = v 0 v 1, v 1 v 2, v 2 / v 0 v 1, v 1 v 2, 0 = v 0 v 1, v 1 v 2, v 2 / v 0 v 1, v 1 v 2 = v 2 = Z grup Z 1 didapat dari,

23 13 C 1 J = m 1 a + m 2 b + m 3 c = (m 1 [v 0, v 1 ] + m 2 [v 1, v 2 ] + m 2 [v 2, v 0 ]) = m 1 ([v 1 ] [v 0 ]) + m 2 ([v 2 ] [v 1 ]) + m 3 ([v 0 ] [v 2 ]) = (m 1 m 2 )[v 1 ] + (m 2 m 3 )[v 2 ] + (m 3 m 1 )[v 0 ] lalu 0 = (m 1 m 2 )[v 1 ] + (m 2 m 3 )[v 2 ] + (m 3 m 1 )[v 0 ] Sehingga m 1 = m 2, m 2 = m 3, m 3 = m 1 m 1 = m 2 = m 3 didapatlah Z 1 = a + b + c H 1 (J) = Z 1 /B 1 B 1 = A = [v 0, v 1, v 2 ] = a + b + c / a + b + c = [v 0, v 1 ] + [v 1, v 2 ] + [v 2, v 0 ] = 0 = a + b + c Kemudian Z 2 didapatkan dari (p 0 A) = p 0 [v 0, v 1, v 2 ] = p 0 ([v 1 v 0 ] + [v 2 v 1 ] + [v 0 v 2 ]) Jika C 2 (J) = 0 maka, 0 = p 0 ([v 1 v 0 ] + [v 2 v 1 ] + [v 0 v 2 ]) p 0 = 0 Jadi Z 2 = 0, dilanjutkan dengan H 2 (J) = Z 2 /B 2 B 2 = 0 = 0/0 = 0 = 0 Penggunaan Teorema Homeomorphy 2-Manifold Didefinisikan S 1 adalah sebuah lingkaran pada R 2. Himpunan S 1 ini dinotasikan sebagai berikut: S 1 = {(x, y) x 2 + y 2 = 1} Ruang S 1 merupakan topologi dengan basis U di mana U merupakan himpunan dari busur-busur pada lingkaran. Didefinisikan bahwa suatu torus T di mana T S 1 S 1 adalah topologi dengan basis U V di mana U dan V merupakan basis dari S 1 (Munkres 2000). Gambar 2 Torus T Didefinisikan simplicial complex K dengan himpunan vertek-verteks vert K = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} dan himpunan,

24 14 Gambar 3 Simplicial complex K K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1,2, 2,3, 3,1, 4,1, 5,2, 6,3, [4, 5], 5,6, 6,4, 7,4, 8,5, 9,5, 7,8, 8,9, 1,5, 2,6, 3,4, 4,8, 5,9, [6,7], 7,2, 8,3, 9,1, 9,7, 1,7, 2,8, 3,9, 1,5,2, 4,1,5, 2,6,3, 5,2,6, 3,4,1, 6,3,1, 4,8,5, 7,4,8, 5,9,6, 8,5,9, 6,7,4, 9,6,7, 7,2,8, [1,7,2] 8,3,9, [2,8,3] 9,1,7, [3,9,1]}. (2.1) Kemudian ada polyhedron K yang merupakan gabungan dari semua anggota K, dan polyhedron K merupakan topologi (Zomorodian 2005). Transformasi torus T dengan definisi basic 2 -manifold sehingga berupa manifold dimensi dua. Dapat dilihat pada Gambar 4, yang merubah himpunan torus tersebut menjadi T = { v, a, b, ab}. Gambar 4 Basic 2-manifold torus. Lalu akan dibuktikan bahwa torus T dan simplicial complex K adalah homeomorfik. Untuk membuktikan hal tersebut pada umumnya akan menggunakan definisi homeomorfisma. Namun itu terlalu sulit untuk dilakukan, maka digunakanlah teorema berikut: Teorema Homeomorphy 2-Manifold Permukaan kompak tertutup M 1 dan M 2 adalah homeomorfik jika hanya jika, a) χ M 1 = χ M 2 b) Kedua permukaannya orientable atau keduanya tidak orientable (Zomorodian 2005). Teorema ini dapat digunakan pada ruang topologi yang berupa manifold dimensi dua. Dalam kasus ini ruang topologi (K, K ) merupakan objek dua dimensi (lihat Gambar 5) dan juga torus yang sudah di transformasi dengan definisi basic 2-manifold. Selanjutnya ruang topologi (K, K ) akan disebutkan menjadi simplicial complex K.

25 Untuk menggunakan teorema tersebut pertama harus mencari karakteristik Euler dari torus T dan simplicial complex K. Nilai Karakteristik Euler didapatkan dengan menggunakan definisi karakteristik Euler, dimulai dengan mencari nilai karakteristik Euler torus T; 2 i=0 χ T 1 = 1 i s i = 1 0 s s s 2 = = 0 Setelah itu mencari nilai karakteristik Euler dari simplicial complex K, 2 i=0 χ K = 1 i s i = 1 0 s s s 2 = = 0 Poin a) terpenuhi karena kedua nilai karakteristik yang didapat bernilai sama. Bila melihat Gambar 3 dan Gambar 4 terlihat bahwa masing-masing torus T dan simplicial complex K mempunyai orientasi, poin b) terpenuhi. Sehingga dengan menggunakan Teorema homeomorphy 2-manifold dapat diyatakan bahwa torus T dan simplicial complex K itu homeomorfik. Selanjutnya akan diberikan alternatif pencarian karakteristik Euler dari simplicial complex K dan torus T. Penggunaan Teorema Euler Poincare Untuk dapat mencari karakteristik Euler di mana dibutuhkan suatu Betti number dari torus T dan simplicial complex K. Betti number didapatkan dari rank grup homologi. Sehingga langkah pertama yang dilakukan yaitu mencari Betti number dari torus T dengan mencari grup homologi torus T. Di mana teorema berikut ini yang akan digunakan: Teorema Euler Poincare Jika K adalah suatu simplicial complex hingga maka karakterisitik Euler K sama dengan alternatif penjumlahan Betti number dari setiap dimensi: χ K = k 15 1 k β k (K) (2.2) Bukti Diperlukan beberapa fakta dari aljabar linear. pertama. Jika Suatu M, L adalah ruang vektor dan A: M L operator linear maka M/ker A im A. Fakta kedua. Jika Y ruang bagian dari ruang vektor X maka dim X/Y = dim X dim Y. Ada empat Vektor yang terlibat dalam peritungan Betti number dari K: grup chain, grup cycle, grup boundary dan grup homologi. Ini merupakan notasi dimensi mereka: c k = dim C k (K), z k = dim Z k k, b k = dim B k K, β k = dim H k (K). Ada operator boundary k : C k K C k 1 (K), lalu definisikan Z k K = ker k, dan B k = Im k+1. Fakta satu dan fakta dua mengimplikasikan suatu,

26 16 dim M dim ker A = dim im A Kemudian mengaplikasikannya kepada operator boundary di atas, didapatkan: dim C k (K) dim ker k = dim im k. Atau, c k z k = b k 1 (2.3) Mengingat bahwa H k K = Z k (K)/B k (K). Maka dari fakta dua mengakibatkan. β k = z k b k (2.4) Langkah selanjutnya, misalkan n dimensi tertinggi dari K, maka: β 0 β 1 + β n β n subtitusikan persamaan (2.4) = z 0 b 0 z 1 b 1 + z 2 b n (z n b n ). = z 0 b 0 z 1 + b 1 + z 2 b n z n ( 1) n b n. = z 0 c 1 z 1 z 1 + c 2 z 2 + z 2 c 3 z 3 + ( 1) n z n 1 n (c n+1 z n +1 ). = z 0 c 1 + c 2 c ( 1) n c n+1 + ( 1) n z n+1. = c 0 c 1 + c 2 c = χ(k). Kelebihan bila mencari karakteristik Euler dengan menggunakan teorema ini adalah akan didapatkan gambaran geometri yang lebih rinci dari Betti number yang didapat bila dibandingkan dengan hanya mengetahui nilai karakteristik Euler saja dari definisi. Untuk mempermudah penggunaan grup homologi, ditambahkan satu edge c (Wieldberg 2012f). Sehingga terjadi perubahan pada torus T menjadi Gambar 5, Gambar 5 Basic 2-manifold dengan tambahan edge c. Lalu akan dimulai menghitung grup homologi torus T. Akan dibuat chain complex terlebih dahulu, 0 C 2 C 1 C 0 0 Di mana C 0 = x, C 1 = a, b, c, C 2 = U, L. Kemudian akan dicari H n, n Z. H 0 = Z 0 B0 x /0 Z (2.5) H 1 = Z 1 B1 a, b, c a + b + c a+b+c,b,c a+b+c b, c Z Z (2.6)

27 H 2 = Z 2 B2 U T 0 Z (2.7) H n = 0 untuk n 0. (2.8) Setelah mendapat grup homologi torus T dilanjutkan dengan mencari Betti number, β 0 = rank H 0 = 1. (2.9) β 1 = rank H 1 = 2. (2.10) β 2 = rank H 2 = 1. (2.11) β n = rank H n = 0, n 3. (2.12) Jadi Betti number dari torus T adalah Lalu setelah mengetahui Betti number dari torus maka akan digunakan Teorema Euler Poincare untuk mencari nilai karakteristik Euler dari torus tersebut. Berdasarkan Betti number yang didapat sebelumnya akan dicari karakteristik Euler dari torus tersebut (lihat Persamaan (2.9), (2.10). (2.11), (2.12)), χ T = β 0 β 1 + β 2 + ( 1) n β n. = ; β n = 0 Untuk n 2 = 0. Setelah itu langkah ketiga. Dengan menggunakan peranti lunak Matlab dapat dihitung Betti number dari simplicial complex K, pemakaian peranti lunak Matlab dikarenakan kesulitan yang dihadapi saat mencari Betti number dari simplicial complex K. Akan dimulai mengkonstruksi dengan menggunakan perangkat lunak Matlab. Kemudian diberikan kodingan dari pembuatan simplicial complex K (lampiran 1). Setelah memasukan koding sebelumnya lalu untuk menunjukan Betti number dari objek tersebut dengan menuliskan perintah berikut: % get persistence algorithm over Z/2Z >>persistence = api.plex4.getmodularsimplicialalgorithm(3, 2); % compute the intervals >>intervals = persistence.computeintervals(stream); % get the infinite barcodes >>infinite_barcodes = intervals.getinfiniteintervals(); % print out betti numbers array >>betti_numbers_array = infinite_barcodes.getbettisequence() 17 Sehingga output yang muncul ialah: betti_numbers_array = 1 2 1

28 18 Nilai Betti number simplicial complex K yang didapat akan dipakai dalam penggunaan Teorema Euler Poincare, χ T = β 0 β 1 + β 2 = = 0 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Didapat grup homologi simplicial complex J adalah H 0 = Z, dan H n = 0 untuk n 1. Lalu dalam subbab selanjutnya terlihat bahwa torus T dan simplicial complex K itu homeomorfik dengan menggunakan Teorema homeomorphy 2 - manifold. karena terlihat karakteristik Euler dari keduanya bernilai sama yaitu bernilai nol. Dan juga keduanya mempunyai orientasi. Dengan menggunakan Teorema homeomorphy 2-manifold didapat kesimpulan bahwa torus T dan simplicial complex K adalah homeomorfik sehingga ada f T K yang memetakan ruang topologi T menuju ruang topologi K. Dan fungsi tersebut berupa fungsi homeomorfisma. Didapatkan hasil pada pembahasan yaitu pertama nilai Betti number torus T adalah kemudian didapat juga karakteristik Euler torus T adalah 0 dengan penggunaan Teorema Euler Poincare. Dari langkah selanjutnya didapatkan karakteristik Euler simplicial complex K yang bernilai sama dengan karakteristik Euler dari torus T juga menggunakan Teorema Euler Poincare. Kemudian Betti number yang didapat menggambarkan bahwa bentuk geometri torus T dan simplicial complex K adalah suatu satu kesatuan yang utuh (β 0 = 1), disusun dari dua lingkaran ( β 1 = 2), dan mempunyai sebuah void (β 2 = 1). Saran Untuk mengembangkan karya ilmiah ini dapat dibuat komputasi persistent homology dari suatu objek topologi. Lalu ruang topologi yang menarik untuk dibahas yaitu klein bottle, bola, projevtive plane dan tetrahedron. DAFTAR PUSTAKA Fraleigh JB A First Course in Abstract Algebra. Ed ke-5. Michigan (US):Addison-Wesley. Leon SJ Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah. Hardani HW, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari:linera Algebra with Application. Ed ke-5.

29 Munkres JR Element of Algebreic Topology. Ed ke-1. Massachusetts (US):Addison-Wesley. Munkres JR Topology. Ed ke-2. New Jersey (US): Prentice Hall. Sexton H, Vedjemo-Johannson M. Jplex simplicial complex library. [diunduh 2013 July 20]. Tersedia pada: Steward J Calculus. Ed ke-4. Kalkulus. Susila IN, Gunawan H, penerjemah. Mahanani N, Hardani W, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari:calculus. Ed ke-4. Wilkins DR Algabreic Topology. Ed ke-1.[tempat tidak diketahui]: [penerbit tidak diketahui]. Wieldberg NJ. 2012a. Algabreic Topology 30. [diunduh 01 Desember 2013]. Tersedia pada: Wieldberg NJ. 2012b. Algabreic Topology 31. [diunduh 01 Desember 2013]. Tersedia pada: Wieldberg NJ. 2012c. Algabreic Topology 32. [diunduh 01 Desember 2013]. Tersedia pada: Wieldberg NJ. 2012d. Algabreic Topology 33. [diunduh 01 Desember 2013]. Tersedia pada: Wieldberg NJ. 2012e. Algabreic Topology 34. [diunduh 01 Desember 2013]. Tersedia pada: Wieldberg NJ. 2012f. Algabreic Topology 35. [diunduh 01 Desember 2013]. Tersedia pada: Zomorodian AJ Topology for Computing. Ciarlet PG, Iserles A, Kohn RV, Wright MH, editor. Cambridge (UK):Cambridge Pr. 19

30 20 Lampiran 1 Koding bentukan simplicial complex K. as a see % We use 9 vertices, which we think of as a 3x3 grid numbered % telephone keypad. We identify opposite sides. For a picture, % "javaplex_tutorial_solutions.pdf". clc; clear; close all; % get a new ExplicitSimplexStream stream = api.plex4.createexplicitsimplexstream(); % add simplices for i = 1:9 stream.addvertex(i); end stream.addelement([1, 2]); stream.addelement([2, 3]); stream.addelement([3, 1]); stream.addelement([7, 8]); stream.addelement([8, 9]); stream.addelement([9, 7]); stream.addelement([4, 5]); stream.addelement([5, 6]); stream.addelement([6, 4]); stream.addelement([1, 7]); stream.addelement([7, 4]); stream.addelement([4, 1]); stream.addelement([2, 8]); stream.addelement([8, 5]); stream.addelement([5, 2]); stream.addelement([3, 9]); stream.addelement([9, 6]); stream.addelement([6, 3]); stream.addelement([2, 7]); stream.addelement([3, 8]); stream.addelement([8, 4]); stream.addelement([1, 9]); stream.addelement([9, 5]); stream.addelement([5, 1]); stream.addelement([7, 6]); stream.addelement([6, 2]); stream.addelement([4, 3]); stream.addelement([1, 2, 7]); stream.addelement([2, 7, 8]); stream.addelement([2, 3, 8]); stream.addelement([3, 8, 9]); stream.addelement([1, 3, 9]); stream.addelement([1, 7, 9]); stream.addelement([4, 7, 8]); stream.addelement([4, 5, 8]); stream.addelement([5, 8, 9]); stream.addelement([5, 6, 9]); stream.addelement([6, 7, 9]); stream.addelement([4, 6, 7]);

31 21 stream.addelement([1, 4, 5]); stream.addelement([1, 2, 5]); stream.addelement([2, 5, 6]); stream.addelement([2, 3, 6]); stream.addelement([3, 6, 4]); stream.addelement([1, 3, 4]); stream.finalizestream();

32 22 RIWAYAT HIDUP Penulis yang bernama Qowiyyul Amin Siregar lahir di Medan pada tanggal 07 Oktober 1991, putra pertama dari Muslil siregar dan Enjuh Juhaeriah. Riwayat pendidikan Penulis SDN Pengadilan 2 (1997), SDIT Ummul Quro (1999), SMPN 2 Bogor (2003), SMAN 3 Bogor (2006), Institut Pertanian Bogor ( ). Penulis mempunyai pengalaman organisasi sebagai pengurus Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 2010/2011, dan anggota Badan Pengawas GUMATIKA periode 2011/2012. Penulis juga aktif mengikuti kepanitiaan seperti IPB Art Contest sebagai anggota. Serta menjadi asisten Kalkulus 2 pada tahun 2011/2012, asisten praktikum Algoritma dan Pemrograman pada tahun 2012/2013, asisten Persamaan Differensial Biasa pada tahun 2012/2013, dan aktif menjadi pengajar di Bimbingan Belajar Gugus Mahasiswa Matematika untuk mata kuliah Pengantar Matematika dan Kalkulus I program Tingkat Persiapan Bersama pada tahun 2010/2012. Penulis aktif mengikuti kompetisi olahraga tingkat fakultas. Beberapa prestasi yang diraih penulis antara lain Juara II Kompetisi Olahraga Cabang Basket Tingkat Fakultas MIPA pada tahun 2010/2011 dan 2012/2013, dan Juara III Kompetisi Olahraga Cabang Basket Tingkat Fakultas MIPA pada tahun 2013/2014.