Halaman Pengesahan. Lapangan Terurut dan Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar

Transkripsi

1 Halaman Pengesahan Skripsi Lapangan Terurut dan Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar Nursatria Vidya Adikrisna 03/165344/PA/09352 Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui oleh tim penguji Dosen Penguji 1 Dosen Penguji 3 Diah Junia Eksi Palupi, Dra., MS Indah Emilia Wijayanti, Dr.,M.Si (Dosen Pembimbing) Dosen Penguji 2 Dosen Penguji 4 Primastuti Indah Suryani, S.Si., M.Si Mochammad Tari, Drs., M.Si i

2 Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Allah SWT, dengan atas segala rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini yang berjudul Lapangan Terurut dan Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar. Sholawat dan salam semoga selalu terlimpahkan kepada nabi Muhammad SAW yang telah menuntun manusia menuju jalan kebahagiaan hidup di dunia dan akhirat. Banyak pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih dan perhargaan yang tulus kepada: (1) Ibu Dra. Diah Junia Eksi Palupi, MS selaku dosen pembimbing skripsi yang telah bersedia meluangkan pikiran dan waktu hingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. (2) Bapak Prof. Dr. Widodo. selaku dosen pembimbing akademik yang telah memberikan bimbingan akademik selama penulis kuliah. (3) Dosen-dosen di Fakultas MIPA UGM yang telah memberikan ilmu kepada penulis. (4) Ayahanda dan Ibunda tersayang, serta sudaraku tercinta yang telah memberikan dorongan semangat, do a, dan motivasi tiada henti. (5) Dimas Rahardian dan Kartika Rizki Astuti atas persabatan sejati yang telah kalian berikan. (6) Denik Agustino dan Zaki Riyanto yang telah meluangkan banyak waktu dan memberikan banyak masukan selama penyusunan skripsi ini. ii

3 (7) Semua teman-temanku yang tidak mungkin aku sebutkan satu persatu, terimakasih untuk semua hal manis yang telah kalian berikan. (8) Serta semua pihak yang turut membantu hingga selesainya skripsi ini yang tidak bisa penulis sebutkan satu-persatu. Semoga amal baik kalian semua mendapatkan balasan yang setimpal dari Allah SWT. Penulis memohon maaf atas semua kesalahan yang pernah dilakukan baik secara sengaja atau tidak sengaja. Penulis sadar bahwa tulisan penulis ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik selalu penulis terima demi perbaikan tulisan penulis ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Yogyakarta, Agustus 2009 Penulis iii

4 Daftar Lambang dan singkatan x X A B A B A B R C Q Z N P P e 0 e 1 (X, ) G/H G : x elemen dari X : A himpunan bagian atau sama dengan B : Gabungan dari himpunan A dan himpunan B : Irisan dari himpunan A dan himpunan B : Relasi urutan : Himpunan Bilangan Real : Himpunan bilangan kompleks : Himpunan bilangan rasional : Himpunan bilangan bulat : Himpunan bilangan asli : Himpunan positif : Himpunan negatif : Elemen identitas terhadap operasi penjumlahan : Elemen identitas terhadap operasi perkalian : Himpunan relasi urutan parsial (poset) X : Grup Kuosen : Banyaknya elemen (order) dari G m f : m habis membagi f < α > : Himpunan yang dibangun oleh α ker (θ) SQ(K) T : Kernel dari θ : Himpunan semua jumlah kuadrat dari lapangan K : Himpunan kuadratik iv

5 K [x] K (x) Irr K (α) deg f (x) L : K : Gelanggang polinomial atas K : Lapangan kuosen dari polinomial atas K : Polinomial monic iredusibel atas K yang mempunyai akar α : Derajat dari f (x) : Lapangan perluasan L atas K [L : K] : Derajat dari lapangan perluasan L : K [L : K] s : Derajat dari lapangan perluasan separabel L : K K [S] K (S) K [α] F : Gelanggang bagian dari L yang dibangun oleh K S : Lapangan bagian dari L yang dibangun oleh K S : Gelanggang bagian dari L yang dibangun oleh K α : Aljabar Closure Mono K (L,F) Iso K (L,F) Aut K (L) Gal (L : K) : Monomorfisma dari lapangan perluasan L : K ke F : K : Isomorfisma dari lapangan perluasan L : K ke F : K : Automorfisma lapangan perluasan L : K : Grup Galois dari L atas L E Γ : Lapangan tetap dari lapangan E v

6 Daftar Isi Halaman Pengesahan i Kata Pengantar ii Daftar Lambang dan singkatan iv INTISARI 1 ABSTRACT 2 Bab 1. Pendahuluan Latar belakang Rumusan Masalah Tujuan Penulisan Metode Penelitian Tinjauan Pustaka Sistematika Penulisan 5 Bab 2. Dasar Teori Grup Homomorfisma Gelanggang dan lapangan Polinomial Gelanggang faktor dan Ideal Ruang Vektor 21 vi

7 Bab 3. Lapangan Perluasan dan Grup Galois Lapangan Perluasan Lapangan perluasan aljabar dan transedental Lapangan tertutup secara aljabar Lapangan Spliting dan Lapangan Normal Perluasan Separabel dan Primitif elemen Grup Galois 37 Bab 4. Lapangan Terurut dan Generelalisasi Teorema Fundamental Aljabar Relasi urutan Lapangan Terurut Himpunan Kuadratik Lapangan Archimedean Lapangan Tertutup Real Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar 64 Bab 5. Penutup Kesimpulan Saran 68 Daftar Pustaka 69 vii

8 INTISARI Lapangan Terurut Dan Generalisasi Teorema Fundamental Aljabar Nursatria Vidya Adikrisna 03/165344/PA/09352 Himpunan bilangan kompleks C merupakan lapangan perluasan aljabar atas himpunan bilangan real R. Teorema Fundamental Aljabar menyatakan bahwa C merupakan lapangan tertutup secara aljabar. Dalam skripsi ini akan dibahas mengenai lapangan terurut yaitu suatu lapangan yang dilengkapi oleh relasi urutan total. Lapangan terurut, ternyata mempunyai sifat-sifat yang serupa dengan R. Oleh kerena itu lapangan terurut dapat dipandang sebagai generalisasi dari R. Selanjutnya di dalam skripsi ini akan ditunjukkan bahwa teorema fundamental aljabar dapat digeneralisasi ke lapangan terurut Kata Kunci: lapangan terurut, urutan, teorema fundamental aljabar, 1

9 ABSTRACT Ordered Field and Generalization of the Fundamental Theorem of Algebra Nursatria Vidya Adikrisna 03/165344/PA/09352 We know that C complex number is an algebra extension field of R real number. The Theorem of fundamental algebra say that C is algebraic closed field. We discuss about ordered field, a field with total order relation. Ordered field evidently have the same properties with R. Because of that we can view ordered field as the generalization of R. We will prove that the theorem of fundamental algebra can be generalized into ordered field. Keywords: Ordered field, algebraic extension, theorem fundamental algebra 2

10 BAB 1 Pendahuluan 1.1. Latar belakang Sudah diketahui bahwa himpunan bilangan real R merupakan lapangan terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian ( ). Selain itu R mempunyai sifat-sifat sebagai berikut (1) Mempunyai relasi urutan total ( ). (2) Mempunyai sifat archimedean yang menyatakan untuk sebarang x R akan selalu terdapat n N dengan x < n. (3) Polinomial atas R tidak selalu mempunyai akar dalam R. (4) 1 bukan merupakan jumlah kuadrat. (5) Terdapat himpunan bilangan kompleks C dengan R C dan 1 merupakan jumlah kuadrat di dalam C. (6) Terdapat teorema fundamental aljabar yang menyatakan C adalah aljabar closure atas R. Dalam tugas akhir ini akan dipelajari sifat-sifat yang diperoleh jika pada suatu lapangan dikenakan relasi urutan total. Lapangan yang dikenakan relasi urutan total disebut lapangan terurut dan ternyata lapangan terurut mempunyai sifat-sifat seperti di himpunan bilangan real R. Jadi lapangan terurut merupakan generalisasi dari himpunan bilangan real. Hal ini memberikan sudut pandang abstrak terhadap himpunan bilangan real dan juga himpunan bilangan kompleks. 3

11 1.2. Rumusan Masalah Berdasarkan pada latar belakang di atas, permasalahan yang dapat dirumuskan oleh penulis yaitu sebagai berikut. (1) Menjelaskan definisi lapangan terurut dan sifat-sifat yang dimilikinya. (2) Bagaimana menguji suatu lapangan apakah terurut atau tidak. (3) Menunjukkan bahwa pada lapangan terurut juga berlaku sifat archimedean. (4) Membuktikan bahwa perluasan lapangan terurut yang mempunyai sifat-sifat seperti himpunan bilangan kompleks C adalah lapangan tertutup secara aljabar Tujuan Penulisan Selain sebagai syarat untuk memeperoleh kelululusan S1 Matematika UGM, tujuan penulisan tugas akhir ini adalah: (1) Menjelaskan bagaimana relasi terurut mempengaruhi suatu lapangan. (2) Memberikan sudut pandang abstrak pada himpunan bilangan real R. (3) Membuktikan secara aljabar teorema fundamental aljabar Metode Penelitian Penulisan tugas akhir ini dilakukan dengan cara studi literatur dengan mempelajari pokok bahasan yang berhubungan dengan lapangan terurut, lapangan perluasan dan teorema fundamental aljabar. Pada proses penulisan tugas akhir ini, penulis juga senantiasa berkonsultasi mengenai materi dengan dosen pembimbing Tinjauan Pustaka Penulisan tugas akhir ini mengacu pada literaratur utama, yaitu buku yang ditulis oleh Grillet (1999) yaitu membahas mengenai lapangan perluasan, lapangan archimedean, lapangan tertutup real dan teorema fundamental aljabar. Pembahasan mengenai lapangan perluasan juga mengacu pada buku yang sama. 4

12 Dasar teori mengenai grup, gelanggang dan lapangan mengacu pada buku Fraleigh (2000). Pembahasan mengenai relasi terurut dan lemma Zorn juga mengacu pada buku Fraleigh (2000). Untuk lapangan Spliting, normal, separabel dan grup galois mengacu pada buku Baker (2008) Sedangkan untuk pembahasan mengenai ruang vektor digunakan buku yang ditulis oleh Setiadji (1990). Beberapa definisi dan teorema pendukung dirujuk dari buku-buku lain yaitu definisi himpunan kuadratik dari Lorenz (2008). Sedangkan untuk definisi batas atas terkecil dirujuk dari Bartle (1982) Sistematika Penulisan Penulisan tugas akhir ini terdiri 5 bab. Bab I adalah pendahuluan yang berisikan latar belakang dan perumusan masalah, maksud dan tujuan, metode penelitian serta tinjauan pustaka dan sistematika penulisan. Bab II, dasar teori berisiskan pengertian dasar, yaitu definisi-definisi teorema-teorema dasar yang akan digunakan dalam bab berikutnya. Pengertian dasar ini mencakup teori grup, gelanggang, lapangan dan ruang vektor. Bab III, Lapangan Perluasan dan grup Galois dijelaskan mengenai lapangan perluasan dan derajatnya, serta keterkaitan antara lapangan perluasan dan polinomial. Selain itu, dalam bab III dibahas mengenai lapangan perlusan aljabar dan perluasan aljabar tertutup serta keterkaitan antara perluasan aljabar dan polinomial monik iredusibel. Pada bab ini juga dibahas mengenai grup Galois, namun sebelumnya dibahas terlebih dahulu mengenai lapangan perluasan spliting, lapangan perluasan normal dan lapangan perlusan separabel. Pada bab ini juga dibahas mengenai grup Galois dan lapangan perluasan Galois, namun sebelumnya dibahas terlebih dahulu mengenai lapangan perluasan spliting, lapangan perluasan normal dan lapangan perlusan separabel. 5

13 Bab IV, Lapangan terurut merupakan bahasan utama dari tugas akhir ini dibahas mengenai relasi terurut, lapangan terurut, lapangan archimedean, lapangan formal real dan lapangan tertutup real serta generalisasi teorema fundamental aljabar. Bab V, Penutup, berisikan kesimpulan dan saran yang membangun untuk mengembangkan materi tugas akhir ini. 6

14 BAB 2 Dasar Teori Pada Bab ini akan dibahas konsep-konsep dasar pada struktur aljabar, seperti grup, gelanggang, lapangan, ruang vektor dengan kesemuanya merupakan landasan bagi skripsi ini Grup Pada sub-bab akan dijelaskan tentang grup dan beberapa teorema yang berkaitan dengan grup. Kemudian dari grup ini dapat dibentuk suatu subgrup, subgrup siklik, grup koesen. Selain itu dijelaskan juga pemetaan dari suatu grup ke grup lain. Sebelum mendefinisikan grup, terlebih dahulu didefiniskan opersi biner. DEFINISI Operasi biner pada sebarang himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S S ke S. Untuk setiap (a,b) S S maka ((a,b)) S dinotasikan dengan a b. Untuk selanjutnya notasi a b cukup ditulis ab. CONTOH Diberikan himpunan bilangan real R, operasi penjumlahan + merupakan operasi biner. Karena untuk sebarang pasangan (a, b) R R berlaku +((a,b)) = a + b R. DEFINISI Suatu himpunan tak kosong G yang dilengkapi operasi biner disebut grup jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: 1) Asosiatif, jika setiap a,b,c G berlaku a(bc) = (ab)c. 2) Terdapat elemen identitas e G berlaku untuk setiap a G berlaku 7

15 ae = ea = a. 3) Untuk setiap elemen a G terdapat elemen invers a 1 G sedemikian sehingga aa 1 = a 1 a = e. Grup G dikatakan abelian jika untuk setiap a,b G berlaku ab = ba. Jika grup G banyak elemennya berhingga maka disebut grup berhingga. Banyaknya elemen G disebut order dari G dinotasikan G. CONTOH Diberikan himpunan Q + dan didefinisikan operasi biner pada Q + yaitu a b = a b 2 untuk sebarang a,b Q +.Akan ditunjukan Q + dengan operasi biner adalah grup 1) Akan ditunjukan asosiatif. Ambil sebarang a,b,c Q + maka dan a (b c) = a b c 2 (a b) c = a b 2 = a b c 4 c = a b c. 4 Itu berarti (a b) c = a (b c) terbukti asositif. 2) Mempunyai elemen identitas. Ambil 2 Q + dan untuk sebarang a Q + maka 2 a = 2 a 2 Itu berarti 2 merupakan elemen identitas. 3) Setiap elemennya mempunyai invers. Ambil sebarang a Q + maka berlaku = a dan juga a 2 = a 2 2 = a. a 4 a = a 4 2 a = 2 dan juga 4 a a = 4 a a 2 = 2 8

16 Itu berarti invers dari sebarang a di Q + adalah 4 a. Dari 1),2) dan 3) terbukti Q + dengan operasi biner adalah grup. Grup pada Contoh merupakan grup abelian tetapi bukan merupakan grup hingga. Selanjutnya akan dicontohkan grup berhingga. CONTOH Diberikan grup berorder 3, (V, ) = {e,a,b}. Dengan operasi biner didefinisikan melalui tabel berikut V e a b e e a b a a b e b b e a Akan di tunjukan (V, ) adalah grup. 1) Memenuhi sifat asosiatif. Dari tabel diketahui bahwa e(ab) = (ea) b = e 2) Mempunyai elemen identitas. Dari tabel diketahui e merupakan elemen identitas. 3) Setiap elemennya mempunyai invers. Dari tabel diketahui a dan b saling invers atau dengan kata lain a 1 = b dan b 1 = a DEFINISI Diberikan grup G dan himpunan tidak kosong H dengan H G. Himpunan H dikatakan subgrup dari G jika merupakan grup terhadap operasi biner di G, dinotasikan H G CONTOH Diberikan grup (Z 6,+) = {0,1,2,3,4,5} dan H = {0,2,4}. Akan ditunjukan H merupakan subgrup dari Z 6. Karena telah diketahui operasi + bersifat asosiatif dan 0 merupakan elemen identitas maka cukup dibuktikan semua elemen di H mempunyai invers 9

17 2 + 4 = = 0 TEOREMA Diberikan grup G dan himpunan tidak kosang H dengan H G. Himpunan H subgrup G jika hanya jika a,b H maka ab 1 H. TEOREMA Diberikan grup G dan H 1 dan H 2 adalah subgrup G maka H 1 H 2 adalah subgrup juga. Selanjutnya akan dibahas mengenai grup siklik. DEFINISI Diberikan grup G dan a G. Himpunan tak kosong H = {a n n Z} dikatakan subgrup siklik jika merupakan suatu subgrup di G, dinotasikan denga H =< a > dan elemen a disebut pembangun untuk H. Definisi serupa juga diberikan untuk grup siklik. DEFINISI Grup G disebut siklik jika G = {a n n Z} untuk suatu a G. Selanjutnya jika suatu a G dan H =< a > subgrup siklik berhingga dari G maka yang disebut order dari a adalah H atau dengan kata lain order a = < a >. CONTOH Diberikan grup Z 12 ambil 3 Z 12 maka terbentuk subgrup siklik < 3 >= { 3,3 2,3 3,3 4} = {3,6,9,0} dengan order 3 = < 3 > = 4. TEOREMA Setiap subgrup siklik adalah abelian. DEFINISI Diberikan grup G,H G dan sebarang a G. Himpunan ah = {ah h H} disebut koset kiri H dalam G. Jika ah = {ha ha H} maka disebut koset kanan H dalam G tetapi jika berlaku ah = Ha koset kiri sama dengan koset kanan maka H dikatakan subgrup normal G. 10

18 DEFINISI Diberikan H subgrup dari G banyaknya koset kiri H di dalam G disebut indeks dari H di dalam G, dinotasikan (G : H). Dari definisi mengenai koset diperoleh teorema Lagrange. TEOREMA (Teorema Lagrange) Jika H subgrup dari grup berhingga G maka order H membagi order G. CONTOH Diberikan grup (Z 9,+) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} dan subgrup H = {0,3,6} maka dengan mudah diketahui H membagi Z 9. Jika H subgrup normal maka berlaku teorema berikut. TEOREMA Subgrup H dari G adalah normal jika hanya jika ghg 1 = H untuk setiap g G. Selanjutnya akan dibahas mengenai grup faktor atau disebut juga grup kuosen. DEFINISI Diberikan grup G dan subgrup normal H dari G. Grup G/H = {ah a G} disebut grup kuosen atau grup faktor. Dengan operasi biner didefiniskan sebagai berikut a,b G/H berlaku ah bh = (ab)h. hingga. Teorema selanjutnya akan membahas keterhubungan antara grup koesen dan grup G / H. TEOREMA Jika grup G hingga dan H subgrup normal dari G maka G/H = DEFINISI Suatu grup G dikatakan p-grup dengan p prima jika G = p dan setiap a G berlaku a p = e dengan e elemen identitas di G. CONTOH Diberikan (Z 5,+) = {0,1,2,3,4,} maka Z 5 adalah 5- grup. Karena dengan mudah diketahui 0 5 = 1 5 = 2 5 = 3 5 = 4 5 = 0. 11

19 DEFINISI Diberikan grup G berhingga berorder p k m dengan p prima yang tidak membagi m dan suatu k N serta subgrup S. Subgrup S dikatakan subgrup sylow p jika S = p k. CONTOH Diberikan grup (Z 20,+) dan subgrup H = {0,5,10,15} maka diperoleh Z 20 = 20 = 4 5 = dengan 4 = 2 2 = H. Itu berarti H adalah subgrup sylow Homomorfisma Selanjutnya akan dibahas pemetaan pada grup yang disebut homomorfisma serta beberapa sifat-sifatnya. DEFINISI Diberikan grup G dan G. Pemetaan θ : G G dikatakan homomorfisma jika untuk sebarang a,b G berlaku θ(ab) = θ(a)θ(b). Pemetaan homomorfisma θ dari G ke G disebut monomorfisma jika θ injektif. dan kalau θ bijektif disebut isomorfisma. Dua buah grup G dan G dikatakan isomorfis jika terdapat pemetaan isomorfisma dari G ke G dinotasikan G = G. Berikut ini merupakan definisi khusus suatu pemetaan homomorfisma suatu grup G ke dirinya sendiri. DEFINISI Suatu homorfisma dikatakan endomorfisma jika memetakan grup G ke dirinya sendiri dan endomorfisma dikatakan automorfisma jika bersifat bijektif. Selanjutnya akan dijelaskan mengenai kernel. DEFINISI Diberikan grup G dan grup G serta homomorfisma θ : G G. Grup bagian θ 1 [{e }] = {x G θ(x) = e } disebut kernel dari θ dinotasikan ker (θ). 12

20 TEOREMA Suatu pemetaan θ : G G adalah monomorfisma jika hanya jika ker (θ) = {e}. Teorema berikut ini merupakan teorema fundamental Homomorfisma grup. TEOREMA Jika θ : G G merupakan homomorfisma dengan H = ker (θ), maka θ (G) merupakan grup dan pemetaan µ : G/H θ (G) dengan µ (gh) = µ (g) merupakan isomorfisma. Jika γ : G G /H homomorfisma grup dengan γ (g) = gh maka θ (g) = µγ(g), g G Gelanggang dan lapangan Jika pada sub-bab sebelumnya dijelaskan mengenai Grup yaitu himpunan yang dilengkapi satu operasi biner, pada sub-bab ini akan dijelaskan mengenai gelangang dan lapangan yang keduanya sama-sama himpunan tetapi dilengkapi oleh dua operasi biner. DEFINISI Gelanggang (R, +, ) adalah himpunan yang dilengkapi oleh dua operasi biner yaitu operasi penjumlahan + dan operasi perkalian yang memenuhi 1)(R,+) merupakan grup komutatif. 2) operasi bersifat asosiatif. 3) Berlaku sifat distributif kiri dan distributif kanan, yaitu untuk sebarang a,b,c R berlaku a (b + c) = a b + a c dan (a + b) c = a c + b c. a b. Untuk selanjutnya operasi perkalian pada gelanggang cukup ditulis ab yang berarti TEOREMA Jika R merupakan gelanggang, maka untuk sebarang a, b R berlaku 1) ae 0 = e 0 dengan e 0 identitas terhadap penjumlahan. 2) a( b) = a(b) = (ab). 13

21 3) ( a)( b) = ab. DEFINISI Gelanggang komutatif adalah gelanggang yang operasi perkaliannya bersifat komutatif. Gelanggang R yang memuat identitas perkalian e 1 disebut gelanggang dengan unity dan elemen e 1 R tersebut disebut unity. Definisi berikut akan menjelaskan tentang terbentuknya gelanggang bagian dari suatu himpunan bagian tak kosong. DEFINISI Diberikan gelanggang R dan S himpunan bagian tak kosong dari R. Himpunan S dikatakan gelanggang bagian dari R jika S merupakan gelanggang terhadap operasi-operasi biner yang sama pada R. TEOREMA Diberikan gelanggang R dan S himpunan bagian tak kosong dari R. Himpunan S dikatakan gelanggang bagian dari R jika hanya jika 1) e 0 S. 2) Untuk setiap a,b S berlaku a b S. 3) Untuk setiap a,b S berlaku ab S. TEOREMA Diberikan gelanggang R dan S 1 dan S 2 gelanggang bagian dari R maka S 1 S 2 juga merupakan gelanggang bagian. Definisi selanjutnya akan menjelaskan terbentuknya lapangan dari gelanggang satuan. DEFINISI Diberikan gelanggang R dengan unity e 1 e 0. Suatu elemen u R disebut unit jika terdapat v R dengan uv = e 1. Gelanggang R disebut lapangan jika R gelanggang komutatif dengan semua elemen u e 0 R merupakan unit. DEFINISI Diberikan lapangan L dan K himpunan bagian tak kosong dari L. Himpunan K disebut lapangan bagian dari L jika K merupakan lapangan terhadap operasi-operasi biner yang sama pada L. 14

22 Teorema berikut berkaitan dengan lapangan bagian. TEOREMA Diberikan lapangan L dan K himpunan bagian tak kosong dari L. Himpunan K dikatakan lapangan bagian dari L jika hanya jika 1) Untuk setiap a,b K berlaku a b K. 2) Untuk setiap a,b K berlaku ab 1 K, dengan b e 0. TEOREMA Diberikan lapangan L dan K 1 dan K 2 lapangan bagian dari L maka L 1 L 2 juga merupakan lapangan bagian. DEFINISI Diberikan gelanggang R. Jika ada a,b R dengan a dan b bukan e 0 sedemikian sehingga ab = e 0 maka a dan b disebut pembagi nol. CONTOH Diberikan Z 6 = {0,1,2,3,4,5} maka 4 3 = 0, ini berarti 4 dan 3 adalah pembagi nol. TEOREMA Jika p bilangan prima maka Z p tidak mempunyai pembagi nol. Definisi daerah integral termotivasi dari gelanggang komutatif. DEFINISI Gelanggang komutatif dengan elemen satuan e 1 yang tidak mempunyai pembagi nol disebut daerah integral. Teorema berikut menjelaskan keterkaitan antara daerah integral dan lapangan. TEOREMA Setiap lapangan merupakan daerah integral dan daerah integral yang berhingga merupakan lapangan. Suatu gelanggang R yang memuat elemen a terhadap operasi penjumlahan dapat dinyatakan dengan bentuk } a + a + a {{ a } = na. Hal ini memotivasi definisi berikut. n DEFINISI Karakteristik dari gelanggang R adalah bilangan bulat positif terkecil n sedemikian hingga na = e 0, a R. Gelanggang R dikatakan berkarakteristik nol jika tidak ada n yang memenuhi hal tersebut. 15

23 CONTOH Diberikan gelanggang Z 4 maka Z 4 mempunyai karakteristik 4. Teorema berikut berkaitan dengan karakteristik suatu lapangan.. TEOREMA Jika lapangan K berkarakteristik p, maka untuk setiap a,b K berlaku (a + b) p = a p + b p Pembentukan lapangan dari daerah integral akan dijelaskan dalam teorema berikut. TEOREMA Jika D daerah integral, maka dapat dibentuk suatu lapangan K yang memuat semua elemen berbentuk ab 1, a,b R dengan b e 0 lapangan ini disebut lapangan kuosen dari daerah integral D Selanjutnya akan dijelaskan mengenai pembentukan homomorfisma dari pemetaan dua gelanggang berbeda DEFINISI Diberikan dua buah gelanggang R dan R. Pemetaan ϕ : R R disebut homomorfisma gelanggang jika a, b R berlaku ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b) dan ϕ (ab) = ϕ (a)ϕ (b). Pemetaan ϕ disebut monomorfisma gelanggang jika ϕ bersifat injektif. Pemetaan ϕ disebut isomorfisma gelanggang jika pemetaan ϕ bersifat bijektif. Dua buah gelanngang R dan R dikatakan saling isomorfis atau R isomorfis dengan R dinotasikan R = R jika terdapat pemetaan isomorfisma dari R ke R. DEFINISI Diberikan lapangan K dan homomorfisma ϕ : K K. Automorfisma pada K adalah homomorfisma bijektif dari K ke K Polinomial Polinomial merupakan bentuk khusus dari gelanggang. Akibatnya didalam polinomial berlaku operasi yang sama dengan gelanggang, yaitu operasi penjumlahan dan pergandaan. Hal ini akan dijelaskan dalam definisi berikut: 16

24 DEFINISI Diberikan gelanggang R. Polinomial f (x) R[x] adalah jumlahan tak-hingga yang berbentuk i=0 a i x i = a 0 + a i x a n x n +... dengan elemen a i R disebut koefisien dari polinomial f dan x disebut indenterminit. Jika untuk sejumlah i 0, dengan a i 0, nilai i terbesar disebut derajat polinomial f dinotasikan deg f (x). Polinomial f dikatakan berderajat tak hingga jika semua a i e 0 atau semua a i = e 0. Polinomial f dikatakan berderajat n jika polinomial f (x) = a 0 + a 1 x a n x n dan a n e 0. Polinomial f dikatakan polinomial monik jika a n = e 1 dan a n disebut leading koefisien. Diberikan dua buah polinomial f (x) = m i=0 a i x i, g(x) = n i=0 b i x i R[x] dengan m n maka penjumlahan dan perkalian dua buah polinomial tersebut didefinisikan sebagai berikut dan f (x) + g(x) = m i=0 (a i + b i )x i f (x)g(x) = m+n k=0 ( k a i b k i )x k. i=0 Teorema berikut menjelaskan bahwa polinomial juga merupakan gelanggang. Akibatnya sifat-sifat yang dimiliki gelanggang juga dimiliki oleh polinomial. TEOREMA Jika R komutatif maka R[x] juga komutatif. Jika R mempunyai elemen satuan e 1 e 0 maka R[x] juga mempunyai elemen satuan e 1 e 0. Jika D merupakan daerah integral maka D[x] juga merupakan daerah integral. Sebaliknya, jika K lapangan maka K [x] bukan lapangan melainkan hanya sebagai daerah integral. Akibatnya berdasarkan Teorema maka dapat dibentuk lapangan kuosen dari 17

25 daerah integral K [x] dengan K lapangan. Lapangan kuosen dari daerah integral K [x] dinotasikan K (x) yaitu himpunan dari semua elemen berbentuk f (x)g 1 (x) dengan f (x),g(x) K (x) dan g(x) e 0. Teorema berikut merupakan homomorfisma evaluasi. TEOREMA Diberikan K lapangan bagian dari L dan polinomial f (x) K [x], dengan f (x) = a 0 + a 1 x +...a n x n serta suatu elemen α L. Didefinisikan pemetaan θ α : K [x] L sebagai berikut θ α (a 0 + a 1 x +...a n x n ) = a 0 + a 1 α +...a n α n maka θ α merupakan pemetaan homomorfisma yang disebut homomorfisma evaluasi. Hal ini berarti θ α (x) = α dan θ α (a) = a, a K. Akibat teorema muncul definisi baru yaitu akar. DEFINISI Diberikan K lapangan bagian dari L dan elemen α L. Diberikan pula polinomial f (x) K [x] dengan f (x) = a 0 + a 1 x +...a n x n dan homomorfisma evaluasi θ α : K [x] L. Dinotasikan f (α) adalah θ α ( f (x)) = a 0 + a 1 α +...a n α n. Jika f (α) = e 0 maka α disebut akar dari f (x). CONTOH Diberikan f (x) = x 2 9 Q(x) dan homomorfisma evalusi θ 3 : Q R maka diperoleh f (3) = θ 3 ( f (x)) = = 0. Itu berarti 3 merupakan akar dari f (x) Teorema berikut merupakan algoritma pembagian. 18

26 TEOREMA Diberikan polinomial f (x),g(x) K [x] dengan f (x),g(x) e 0 maka terdapat dengan tunggal polinomial q(x),r (x) K [x] sedemikan hingga g(x) = f (x)q(x) + r (x) dengan degr (x) < deg f (x) atau degr (x) = e 0. Selanjutnya akan dijelaskan pengertian polinomial redusibel dan polinomial iredusibel. DEFINISI Suatu polinomial f (x) K [x] dikatakan redusibel atas K, jika polinomial f (x) dapat dinyatakan dalam bentuk f (x) = g(x) h(x) dengan g(x),h(x) K [x], degg(x) < deg f (x) dan degg(x) < deg f (x) tetapi jika f (x) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk tersebut maka f (x) dikatakan iredusibel. CONTOH Diberikan x 2 1 Z[x] maka x 2 1 = (x + 1)(x 1) ini berarti x 2 1 redusibel atas Z tetapi x Z[x] adalah iredusibel atas Z Gelanggang faktor dan Ideal Selanjutnya akan dibahas mengenai gelanggang faktor dan ideal yang merupakan analog dengan koset dan subgrup normal yang telah dibahas pada sub-bab 2.1. DEFINISI Diberikan N gelanggang bagian dari gelanggang R. Jika N memenuhi an N dan Nb N. Untuk semua a,b R maka N dikatakan Ideal. CONTOH Diketahui nz merupakan ideal di dalam gelanggang Z karena nz adalah gelanggang bagian dari Z dan berlaku s(nm) = (nm)s = n(ms) nz untuk semua s Z. 19

27 DEFINISI Diberikan gelanggang R dan ideal N dari R. Gelanggang R/N = {an a N} disebut gelanggang kuosen atau gelanggang faktor. Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada R/N sebagai berikut: Untuk semua a, b R/N berlaku dan (a + N) + (b + N) = (a + b) + N (a + N)(b + N) = (ab) + N TEOREMA Jika R adalah gelanggang dengan unity dan N adalah ideal dari R yang memuat unit maka N = R. AKIBAT Ideal dari suatu lapangan adalah dirinya sendiri atau {e 0 }. Selanjutnya akan dibahas mengenai ideal maksimal dan ideal utama serta teoremateorema yang terkait di dalamnya. DEFINISI Diberikan gelanggang R dan M ideal dari R dengan M R. Ideal M dikatakan ideal maksimal jika tidak terdapat ideal lain N di dalam R sedemikian hingga M N. TEOREMA Diberikan R ring komutatif dengan unity maka M adalah ideal maksimal jika hanya jika R/M adalah lapangan. DEFINISI Jika R ring komutatif dengan unity dan a R, ideal {ra r R} yang merupakan hasil perkalian elemen R dengan a dikatakan ideal utama yang dibangun oleh a dan dinotasikan dengan < a >. Suatu ideal N dari R dikatakan ideal utama jika N =< a > untuk suatu a R. 20

28 CONTOH Setiap ideal dari gelanggang Z mempunyai bentuk nz yang dibangun oleh n, jadi Setiap ideal dari gelanggang Z adalah utama. Dua teorema selanjutnya menjelaskan sifat ideal dari polinomial F [x] atas lapangan F. TEOREMA Jika F adalah lapangan maka setiap ideal di F [x] adalah utama. TEOREMA Suatu ideal < p(x) > {e 0 } dari F [x] adalah maksimal jika hanya jika p(x) iredusibel atas F Ruang Vektor Pada Sub-bab ini akan dijelaskan mengenai ruang vektor. Ruang vektor merupakan suatu struktur aljabar dari suatu himpunan dan lapangan dengan dua operasi biner, yaitu penjumlahan + dan penggandaan skalar. Pengertian ruang vektor termotivasi dari grup komutatif dan ring, hal ini akan dijelaskan dalam definisi berikut. DEFINISI Diberikan himpunan V dan lapangan K. Himpunan V disebut ruang vektor atas lapangan K jika a) (V,+) merupakan grup komutatif. b) a,b K, u,v V berlaku. (1) au V. (2) a(u + v) = au + av. (3) (a + b)u = au + bu. (4) (ab)u = a(bu). (5) e 1 u = u,dengan e 1 elemen unity di K. DEFINISI Diberikan ruang vektor V atas K dan himpunan bagian S dari V. himpunan S dikatakan ruang bagian dari V jika S merupakan ruang vektor atas K terhadap operasi yang sama dengan V. 21

29 TEOREMA Suatu himpunan bagian S dari ruang vektor V atas K adalah ruang bagian jika hanya jika tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan vektor dengan skalar yang didefinisikan v,w S dan α F berlaku v + w S dan αv S. Selanjutnya akan dijelaskan pengertian bebas linier dan tak bebas linear. DEFINISI Diberikan V ruang vektor atas F. Himpunan bagian tak kosong S = {v 1,v 2...v n } dari V dikatakan bebas linier jika terdapat persamaan r 1 v 1 + r 2 v r n v n = e 0 dengan r i F berakibat r i = 0. Jika tidak ada persamaan tersebut maka S dikatakan tak bebas linier. DEFINISI Suatu vektor β V atas K dikatakan kombinasi linier dari himpunan {v 1,v 2...v n } V jika terdapat r i K, i = 1,2,...n sedemikian hingga r 1 v 1 + r 2 v r n v n = β. Akibat definisi dan definisi muncul definisi baru tentang basis. DEFINISI Diberikan ruang vektor V atas K dan himpunan S = {v 1,v 2...v n } V. Himpunan S disebut basis dari V jika S bebas linier dan setiap elemen dari V merupakan kombinasi linier dari S. CONTOH Diberikan ruang vektor R n atas R dan himpunan bagian S = {(1,0,...,0)(0,1,...,0)...(0,0,...1)} R n maka S merupakan basis dari R n. BUKTI. Akan dibuktikan S bebas linier 22

30 (0,0,...,0) = a 1 (1,0,...,0) + a 2 (0,1,...,0) a n (0,0,...1) berakibat a i = 0 R. Selanjutnya akan dibuktikan setiap elemen R n merupakan kombinasi linier dari S. Ambil sebarang (a 1,a 2,...a n ) R n maka jelas berlaku (a 1,a 2,...a n ) = a 1 (1,0,...,0) + a 2 (0,1,...,0) a n (0,0,...1) untuk a i R. Jadi terbukti S adalah basis dari R n. Selanjutnya akan dibahas mengenai dimensi yang masih berkaitan dengan basis. DEFINISI Diberikan ruang vektor V atas lapangan K. Dimensi ruang vektor V adalah banyaknya vektor dalam suatu basis untuk V. Jika suatu ruang vektor mempunyai vektor-vektor basis yang banyaknya berhingga maka ruang vektor tersebut dikatakan berdimensi berhingga tapi jika banyaknya vektor-vektor basis tak hingga maka ruang vektor tersebut dikatakan berdimensi tak hingga. CONTOH Diberikan polinomial p(x) = a 0 +a 1 x+...+a n x n R[x] berderajat n. Diketahui p(x) mempunyai basis {1,x,...x n } maka p(x) berdimensi n

31 BAB 3 Lapangan Perluasan dan Grup Galois Pada bab ini akan dijelaskan mengenai lapangan perluasan dan grup Galois. Bab ini akan membahas lapangan perluasan aljabar, lapangan tertutup secara aljabar dan grup galois. Selain itu, akan dibahas pula, bentuk khusus dari lapangan perluasan aljabar yaitu, lapangan perluasan spliting, normal, separabel dan galois Lapangan Perluasan Pada Sub-bab ini akan dijelaskan bagaimana caranya memperluas suatu lapangan yang telah ada. DEFINISI Suatu lapangan E disebut lapangan perluasan dari lapangan F jika F adalah lapangan bagian dari E, dinotasikan E : F. CONTOH Himpunan bilangan real R adalah lapangan perluasan dari himpunan bilangan rasional Q karena Q adalah lapangan bagian dari R, dan himpunan bilangan kompleks C adalah lapangan perluasan dari R dan Q karena R dan Q sama-sama lapangan bagian dari C. Teorema berikutnya akan membahas keterkaitan lapangan perluasan dan ruang vektor. TEOREMA Lapangan perluasan L : K merupakan ruang vektor L atas K. BUKTI. Karena L adalah lapangan maka L tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan. Akan dibuktikan bahwa L tertutup terhadap operasi pergandaan skalar. Ambil sebarang l L dan k K oleh karena K lapangan bagian dari L dan L tertutup 24

32 terhadap operasi penggadaan maka lk L. Jadi terbukti bahwa L merupakan ruang vektor atas K. DEFINISI Diberikan lapangan perluasan L : K. Derajat perluasan L : K adalah dimensi dari ruang vektor L atas K, dinotasikan [L : K]. Lapangan perluasan L : K dengan derajat berhingga disebut lapangan perluasan berhingga. Jadi suatu lapangan perluasan L : K dikatakan berhingga jika mempunyai derajat yang berhingga atau bisa juga disebut L berhingga atas K, bukan berarti L mempunyai anggota yang berhingga banyaknya. CONTOH Di berikan lapangan perluasan P : K dan suatu α P. Elemenelemen di P mempunyai bentuk a +bα dengan a,b K maka [P : K] = 2. Karena salah satu basis P adalah {e 1,α} TEOREMA Diberikan lapangan perluasan L : K. Derajat [L : K] = 1 jika hanya jika L = K. BUKTI. Diketahui [L : K] = 1, akan dibuktikan L K. Oleh karena [L : K] = 1, maka L ruang vektor atas K berdimensi 1. Berati ada basis L yang hanya terdiri dari satu elemen, misalkan saja basisnya adalah {e 1 }. Oleh karena {e 1 } basis dari L, maka {e 1 } membangun L sehingga untuk setiap y L berlaku y = ke 1 dengan k K. Disisi lain y = ye 1, ini berarti y = k K maka dapat disimpulkan L = K. ditulis Diketahui L = K maka untuk sebarang x L berakibat x K sehingga dapat x }{{} L = e 1 x }{{} K dari L dengan kata lain [L : K]. dengan e 1 L. Hal ini berarti hanya {e 1 } yang merupakan basis Jika ada lapangan-lapangan L, K dan M dengan K L M itu berarti M : L, L : K dan M : K. Teorema selanjutnya akan menjelaskan hubungan [M : L], [L : K] dan [M : K]. 25

33 TEOREMA Diberikan lapangan-lapangan L, K, M. Jika lapangan L merupakan perluasan dari K dan lapangan M merupakan perluasan dari L maka [M : L][L : K] = [M : K]. BUKTI. Dimisalkan {α i i = 1,,n} basis M sebagai ruang vektor atas L dan ambil {β j j = 1,,m} basis L sebagai ruang vektor atas K ini berarti [M : L] = n dan [L : K] = m. Akan ditunjukan bahwa {α i β j i = 1,.n; j = 1, m} adalah basis dari M atas K yaitu bebas linear dan membangun. Akan dibuktikan {α i β j i = 1,.n; j = 1, m} bebas linear dari M atas K. Ambil sebarang λ i j K dengan i = 1,,n dan j = 1,,m yang memenuhi n m ) λ i j α i β j = e 0. i=1( j=1 Karena di dalam ruang vektor berlaku hukum asosiatif dan komutatif maka diperoleh n m i=1 j=1 (λ i j α i )β j = n i=1 m λ i j (α i β j ) = j=1 n i=1 Oleh karena α i adalah basis dari M atas L maka m λ i j (β j α i ) = j=1 n i=1 m j=1 (λ i j β j )α i = e 0. m λ i j β j = e 0. j=1 Oleh karena β j basis L atas K maka λ i j = e 0 untuk i = 1,,n dan j = 1,,m. Jadi terbukti {α i β j i = 1,.n; j = 1, m} bebas linier. Selanjutnya akan dibuktikan {α i β j i = 1,.n; j = 1, m} membangun M. Ambil sebarang z M maka z dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari M atas L sehingga 26

34 z = n i=1 λ i α i. Untuk λ i L. Oleh karena λ i juga merupakan kombinasi linier basis L atas K yaitu Untuk µ i j K akibatnya diperoleh λ i = m µ i j β j. j=1 z = n m µ i j β j )α i = i=1( j=1 n i=1 m µ i j (β j α i ). j=1 Jadi terbukti z dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari M atas K. Telah ditunjukan {α i β j i = 1,.n; j = 1, m} adalah bebas linear dan membangun M itu berarti {α i β j i = 1,.n; j = 1, m} merupakan basis M atas K sehinnga [M : K] = nm = [M : L][L : k]. Selanjutnya akan dibahas mengenai monomorfisma antara dua lapangan perluasan. DEFINISI Diberikan lapangan perluasan F : K dan L : K serta monomorfisma φ dari L ke F φ : L F dengan φ (a) = a untuk semua a K. Monomorfisma yang seperti itu dinotasikan Mono K (L : F). Jika Mono K (L : F). bersifat bijektif maka dinotasikan Iso K (L : F). Selanjutnya akan dibahas bentuk khusus dari Mono K (L : F). DEFINISI Diberikan lapangan perluasan L : K, Aut K (L) adalah Mono K (L : L). 27

35 Selanjutnya akan dibahas gelanggang bagian yang dibangun oleh suatu himpunan bagian. Telah diketahui bahwa suatu irisan gelanggang dengan gelanggang lainnya adalah gelanggang juga. Diberikan E : F dan S adalah himpunan bagian dari E. Irisan dari semua gelanggang bagian dari E yang memuat F dan S adalah gelangang bagian terkecil yang memuat F dan S. Irisan tersebut dikatakan gelanggang bagian yang dibangun oleh F dan S dinotasikan F [S]. Jika S = {α 1,α 2...α n } maka ditulis F [α 1,α 2...α n ]. LEMMA Diberikan E : F, dan S himpunan bagian dari E, maka gelanggang F [S] memuat elemen E yang bisa diekspresikan sebagai bentuk penjumlahan n i=0 a i α i i BUKTI. Diberikan himpunan R = a i F, α i S { n a i αi i a i F,α i S i=0 } akan dibuktikan R adalah gelanggang bagian dari E yang memuat F dan S. m Ambil sebarang i αi i=0a i n, b i αi i R dengan m n i=0 1) Akan dibuktikan R subgrup (E,+) m i=0 a i α i i n i=0 b i α i i m i=0 (a i b i ) α }{{} i i R. F 2) Akan dibuktikan R tertutup terhadap operasi perkalian m i=0 a i α i i n i=0 b i α i i m+n k=0 ( k a i b k i )α k R. i=0 28

36 Dari 1) dan 2) terbukti R adalah gelanggang bagian dari E yang memuat F dan S dan, ini berarti R = F [S]. Telah diketahui pula bahwa irisan lapangan dengan lapangan lainnya adalah lapangan. Diberikan E : F dan S adalah himpunan bagian dari E. Irisan dari semua lapangan bagian dari E yang memuat F dan S adalah lapangan bagian terkecil yang memuat F dan S. Irisan tersebut dikatakan lapangan bagian yang dibangun oleh F dan S dinotasikan F (S) yang merupakan lapangan kuosen dari F [S] atau dengan kata lain F (S) = { ab 1 } a,b F[S],b e 0. DEFINISI Lapangan perluasan E dari lapangan K dikatakan dibangun secara berhingga jika E = K(s 1...s n ) untuk suatu s 1...s n S.dan dikatakan sederhana jika E = K(s) untuk suatu s S. CONTOH Diketahui bahwa Q(i) adalah lapangan perluasan sederhana karena hanya dibangun oleh satu elemen i dan Q( 2, 3) adalah lapangan perluasan yang dibangun secara berhingga. Teorema selanjutnya akan dibahas bagaimana mengkontruksikan lapangan perluasan sederhana.. TEOREMA Diberikan lapangan K dan E = K[x]/q(x) dengan q(x) K[x] adalah polinomial monik iredusibel berderajat n dengan q(α) = e 0 untuk suatu α E maka berlaku 1) E adalah lapangan perluasan sederhana dengan E = K [α] = K (α). 2) E mempunyai basis e 1,α,α 2...α n 1 dengan n = degq dan [E : K] = n. BUKTI. 1) Karena q(x) polinomial monik iredusibel maka q(x) adalah ideal maksimal dari K[x]. Itu berarti E = K[x]/q(x) adalah lapangan sehingga terdapat pemetaan homomorphisma ϕ : K E yang memetakan x K ke x + q(x) E. Itu berarti E mempunyai bentuk {x + q(x)) x K}. 29

37 Jika didefinisikan α = x + q(x) berdasarkan homomorphisma evaluasi ϕ α K[x] E yang memetakan indeterminate x ke α dan koefisien x K ke dirinya sendiri, maka untuk sebarang f (x) F[x] berlaku ϕ α f (x) = f (α), dengan kata lain setiap elemen di E mempunyai bentuk f (α) untuk suatu f (x) F[X]. Itu berarti E = K[α] karena E adalah lapangan maka bisa disimpulkan E = K[α] = K(α). 2) Ambil degq = n maka menurut algoritma pembagian untuk setiap f (x) F[x] diperoleh f (x) = q(x)b(x)+r(x) dengan deqr < degq karena q(α) = e 0 maka diperoleh f (α) = r (α) E. Itu berarti setiap elemen di E mempunyai bentuk r(α) = r 0 + r 1 α r n 1 untuk suatu r 0,r 1...,r n 1 K maka e 0,α,α 2,...,α n 1 adalah basis dari E atas K dengan kata lain [E : K] = n. Teorema menunjukan bahwa setiap polinomial iredusibel q(x) atas K mempunyai akar α pada suatu lapangan perluasan dari K dengan lapangan perlusan tersebut dikontruksikan dengan menggabung α ke K. Polinomial iredusibel q(x) pada Teorema dinotasikan Irr K (a) yang berarti berkoefisien di K dan mempunyai akar a dengan a merupakan suatu elemen pada lapangan perluasan dari K. CONTOH Ambil R dan diketahui Irr R (i) = x dengan i = 1 maka menurut Teorema diperoleh C = R[X]/Irr R (i) = R(i). Contoh menunjukan bagaimana himpunan bilangan kompleks C dibangun dengan menggunakan Teorema Selanjutnya akan dicontohkan bagaimana mengkontruksi lapangan perluasan yang dibangun secara berhingga. ( 2, ) CONTOH Akan dikontruksikan Q 3 : Q. Pertama-tama akan ( 2 ) ( 2 ) dikontruksikan Q : Q, diketahui Irr Q = x 2 2 maka berdasarkan Teorema [ ( 2 ) ] diperoleh Q : Q = 2. Oleh karena itu elemen-elemen di dalam ( 2 ) Q mempunyai bentuk a + b 2 dengan a,b Q. Selanjutnya diambil 30

38 ( 2 ) T = Q akan dikontruksikan T ( 3 ). Diketahui Irr T ( 3 ) = x 2 2 maka berdasarkan Teorema diperoleh [ T 3 : T ] = 2. Oleh karena itu elemen-elemen di dalam T ( 3 ) mempunyai bentuk x + y 3 dengan x,y T. Padahal diketahui elemen di T mempunyai bentuk a + b 2, itu berarti x = a 0 + b 0 2,y = a1 + b 1 2 T dengan a0,a 1,b 0,b 1 Q. Diperoleh x + y 3 ) ( ) (a 0 + b a 1 + b ( ) a 0 + b a1 3 + b1 6 T 2 ( 2 ) ( 2, ) Jadi elemen-elemen di T = Q 3 a + b 2 + c 3 + d 6 dengan a,b,c,d Q. mempunyai bentuk 3.2. Lapangan perluasan aljabar dan transedental Selanjutnya akan dibahas mengenai lapangan perluasan aljabar dan transedental. Diberikan lapangan perluasan L atas K. Suatu elemen α di dalam L perluasan dikatakan aljabar atas K jika terdapat polinomial tidak nol f (x) K [x] dengan f (α) = e 0. Jika tidak ada polinomial tersebut maka α dikatakan transedental atas K. CONTOH Setiap bilangan kompleks merupakan aljabar atas R; 2 dan 5 R merupakan aljabar atas Q dan e serta π adalah transedental atas Q. DEFINISI Suatu lapangan perluasan E atas lapangan K disebut perluasan aljabar jika semua elemen E aljabar atas K. Jika lapangan perluasan E atas K terdapat elemen transedental maka E disebut perluasan transedental dan jika semua elemen di E transedental atas K maka E disebut lapangan perluasan transedental total. 31

39 CONTOH C adalah perluasan aljabar atas R dan R adalah lapangan transedental atas Q serta Q(π) merupakan lapangan transedental total atas Q. LEMMA Diberikan lapangan perluasan sederhana K (α) : K. Jika α transedental atas K maka [K (α) : K] tak hingga. BUKTI. Andai [K (α) : K] = n berhingga, K (α) berdimensi n atas K. Ini berarti terdapat c 0,c 1...c n K yang tidak semuanya nol berlaku c 0 + c 1 α c n α n = e 0 padahal diketahui α transedental, kontradiksi. Jadi haruslah [K (α) : K] tak hingga. Selanjutnya akan dibahas keterhubungan antara lapangan perluasan berhingga dengan lapangan perluasan aljabar TEOREMA Setiap lapangan perluasan berhingga adalah perluasan aljabar. BUKTI. Ambil L lapangan perluasan berhingga atas K dengan [L : K] = n. Jika terdapat α L elemen transedental atas L maka dapat dibentuk K (α) lapangan perluasan sederhana atas K dengan K (α) L menurut Lemma diperoleh [K (α) : K] =. Berdasarkan Teorema maka [L : K] = [L : K (α)][k (α) : K] n = [L : K (α)]. Jelas hal tersebut adalah mustahil, maka haruslah semua elemen L aljabar atas K. 32

40 Teorema menunjukan bahwa C merupakan lapangan perluasan aljabar atas R karena [C : R] = Lapangan tertutup secara aljabar DEFINISI Suatu lapangan K dikatakan tertutup secara aljabar jika semua polinomial non-konstan di K [x] mempunyai akar di K. TEOREMA Untuk suatu lapangan K maka kondisi di bawah ini equivalent 1) Lapangan K tertutup secara aljabar. 2) Setiap polinomial iredusibel di K [x] mempunyai derajat 1. 3) Satu-satunya perluasan aljabar di K adalah K itu sendiri. BUKTI. 1) 2). Jika q(x) K [x] adalah iredusibel dan mempunyai akar r di K maka x r membagi q(x) ini berarti q(x) merupakan hasil perkalian konstanta dari x r dan mempunyai derajat 1. 2) 3) Jika α adalah elemen aljabar atas K maka q(x) = Irr K (α) iredusibel dan monic yang berderajat 1 maka q(x) = x r untuk suatu r K dan q(α) = e 0. Berdasarkan teorema diperoleh E = K [x]/ < q(x) >, [E : K] = 1.Berdasarkan teorema diperoleh E = K. 3) 2) Berdasarkan teorema , jika E = K [x]/ < q(x) >= K maka degq = [E : K] = 1. 2) 1) Karena setiap polinomial non konstan adalah hasil perkalian dari polinomial iredusibel. DEFINISI Lapangan perluasan K : K dikatakan aljabar closure jika merupakan aljabar atas K dan tertutup secara aljabar. Generalisasi teorema fundamental aljabar yang dibahas di bab 4 akan menunjukan bahwa lapangan tertutup secara aljabar itu eksis. 33

41 3.4. Lapangan Spliting dan Lapangan Normal Pada sub-bab ini akan dibahas bentuk khusus dari lapangan perluasan aljabar. DEFINISI Diberikan lapangan L dan polinomial f (x) L[x]. Polinomial f (x) dikatakan split atas L jika dapat diekspresikan ke dalam bentuk faktor-faktor linier, yaitu f (x) = k 1 (x α 1 )(x α 2 )...(x α n ) dengan α 1,α 2...α n L merupakan akar dari f (x) dan k 1 koefisien di dalam L. DEFINISI Diberikan lapangan-lapangan L, K dan f (x) K [x]. Lapangan L dikatakan lapangan spliting untuk f (x) atas K, jika 1) L : K lapangan perluasan dan f (x) split atas L. 2) L merupakan lapangan perluasan terkecil yang memuat akar-akar dari f (x), sedemikan-hingga L = K (α 1,α 2...α n ). ( CONTOH Lapangan Q i ) 2 adalah lapangan spliting untuk x Q[x]. Dari pengertian lapangan spliting maka terbentuk lapangan normal. DEFINISI Diberikan lapangan perluasan aljabar L : K. Lapangan perluasan L : K dikatakan normal jika setiap f (x) K [x] yang iredusibel merupakan split atas L dan mempunyai paling sedikit satu akar di L. TEOREMA (Grillet, 2000, hal 206) Jika L normal atas K dan K E L maka L normal atas E Perluasan Separabel dan Primitif elemen Perluasan Separabel merupakan pengembangan dari lapangan Spliting. Sudah diketahui bahwa di dalam lapangan perluasan Spliting L : K, maka terdapat f (x) K (x) yang split atas L. Akibatnya f (x)dapat difaktorkan menjadi 34

42 f (x) = k 1 (x α 1 )(x α 2 )...(x α n ) dengan α 1,α 2...α n L merupakan akar-akar dari f (x). Hal ini memotivasi pembatasan lapangan perluasan, dengan akar-akar dari f (x) semuanya berbeda. Pembatasan lapangan perluasan ini mengarah pada pembentukan perluasan separabel. DEFINISI Diberikan sebarang lapangan K dan sebarang f (x) K [x] dengan u K sebagai akarnya maka f (x) dapat difaktorkan menjadi f (x) = (x u) g(x) untuk suatu g(x) K [x]. Jika g(u) = e 0 maka u dikatakan multiple atau akar berulang dari f (x). Jika g(u) e 0 maka u dikatakan akar sederhana dari f (x). DEFINISI Diberikan lapangan perluasan L : K. Suatu polinomial iredusibel f (x) K [x] dikatakan separabel atas K, jika setiap akar f (x) di dalam L merupakan akar sederhana. CONTOH Diberikan polinomial iredusibel p(x) = x R[x] maka p(x) separabel atas R karena p(x)mempunyai akar i dan i di dalam C. DEFINISI Diberikan lapangan perluasan L : K. Suatu elemen aljabar u K dikatakan separabel jika irr K (u) K [x] adalah separabel. DEFINISI Suatu lapangan perluasan aljabar dikatakan perluasan separabel jika semua elemen di L separabel atas K. DEFINISI Derajat separabel [L : K] s dari lapangan perluasan aljabar L : K adalah banyaknya Mono K (L, K). TEOREMA (Baker, 2008, hal 44) Diberikan Lapangan perluasan berhingga L : K. Lapangan perluasan L : K separabel jika hanya jika [L : K] = [L : K] s. TEOREMA (Baker, 2008, hal 45) Diberikan lapangan perluasan berhingga L : K dan M : L. Lapangan perluasan M : K separabel jika hanya jika L : K dan M : L separabel. 35

43 Selanjutnya akan dibahas mengenai elemen Primitif. DEFINISI Diberikan lapangan perluasan sederhana L : K. Suatu elemen u L dikatakan elemen primitif jika L = K (u). TEOREMA (Teorema Elemen Primitif) Diberikan lapangan perluasan aljabar yang separabel L : K maka L = K (u), untuk suatu u L. BUKTI. Akan dibuktikan melalui dua kasus L berhingga dan L tak berhingga. Jika L berhingga maka K juga berhingga. Itu berarti L merupakan grup siklik terhadap operasi perkalian yang dibangun oleh suatu elemen tunggal u L dengan L = K (u). Untuk K tak berhingga, cukup dibuktikan K (u) = K (α 1,α 2 ) maka dengan menggunaka metode induksi akan berlaku K (u) = K (α,β) = K (α,β,δ) = K (α,β,δ,ε) Diberikan L = K (α,β) dan f (x) = Irr K (α),g(x) = Irr K (β) K [x] dengan r = degirr K (α),s = degirr K (β). Jika {α 1,α 2,...α i } L dan { β1,β 2,...β j } L adalah himpunan akar-akar berbeda dari polinomial Irr K (α) = f (x) dan Irr K (β) = g(x) maka persamaan α i + xβ j = α 1 + xβ 1 maka mempunyai tepat satu solusi x = α i α 1 β i β 1. Jika diambil suatu c K dengan c α i α 1 β i β 1 α i + cβ α 1 + cβ 1. Jika u = α +cβ L diperoleh f (u cx) = e 0 berkoefisein di K (u) atau dengan kata lain f (u cx) K (u)[x], maka diperoleh: 36

44 g(β) = f (u cβ) = f (α) = e 0. Berakibat x β g(x), x β f (u cx) ini menunjukan x β,g(x) berkoefisein di K (u), yang berakibat β,α = u cb K (u). Dengan ini telah ditunjukan K (α,β) = K (u) = L. Dengan teorema 1.17 diketahui C merupakan perluasan separabel dari R karena C = R(i) 3.6. Grup Galois Pada sub-bab ini akan dibahas mengenai Lapangan perluasan Galois dan grup Galois. Kemudian dari grup Galois dapat dibangun Lapangan tetap, serta keterkaitan lapangan perluasan Galois, Grup Galois dengan Lapangan Tetap. DEFINISI Lapangan perluasan berhingga L : K dikatakan perluasan Galois atau L galois atas K jika normal dan separabel. DEFINISI Diberikan Lapangan perluasan Galois L : K. Grup Galois dari L atas K adalah himpunan semua Aut K (L) terhadap operasi komposisi yang dinotasikan dengan Gal (L : K) = {Aut K (L)} = {δ Aut K (L) δ (x), x K} Selanjutnya akan dibahas keterhubungan antara Lapangan perluasan Galois dengan Grup Galois LEMMA (Baker, 2008, hal 49) Jika L galois atas K maka 37