Mengkarakterisasi Homomorfisma Lapangan dengan Persamaan Fungsional

Transkripsi

1 Jurnal Penelitian Sains Edisi Khusus Desember 009 (A) 09:-03 Mengkarakterisasi Homomorfisma Lapangan dengan Persamaan Fungsional Ning Eliyati, Novi Rustiana Dewi, dan Roni Simanjuntak Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia Intisari: Lapangan merupakan ring komutatif dengan elemen satuan dimana setiap elemen satuan yang bukan nol mempunyai invers perkalian. Apabila diberikan fungsi aditif f, g dari suatu lapangan yang memuat Q(bilangan rasional) dan memenuhi persamaan fungsional g(x in ) = f(x i ) n dengan n Z{0, }, N maka akan diselidiki sifat homomorfisma lapangan pada fungsi f. Dari hasil penelitian yang didapat dari teorema 4. adalah jika n > maka f = g = 0 dan e f : K K adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x K dan jika n < 0, maka ē = f() 0, e f: K K adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x K dan g = e n f Kata kunci: homomorfisma lapangan, persamaan fungsi Abstract: Field is comutatif ring with elemen where the non zero of unit elemen has multiplication invers. Let be give additive function f,g from a field which Q and satisfying a functional equation g(x in ) = f(x i ) n where n Z{0, },, N will be observed characteristic of field homomorphism in function f according to the result is got from theorem 4. that is if n > then f = g = 0 and e f : K K is field homomorphism for allx K and if n < 0, then ē = f() 0, e f : K K is field homomorphism for all x K and g = e n f Keywords: field homomorphism, functional equation Desember 009 PENDAHULUAN. Latar belakang S istem bilangan real atau sistem bilangan kompleks memiliki dua operasi biner dasar, yaitu operasi penjumlahan dan perkalian. Teori grup belum cukup merangkum semua struktur aljabar dari kedua sistem bilangan, karena suatu grup hanya berkaitan dengan satu operasi biner saja. Oleh karena itu dibahas struktur aljabar dengan dua operasi biner yang disebut ring. Ring terbentuk dari suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yaitu operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian ( ). jika suatu ring terhadap operasi perkalian mempunyai elemen identitas (elemen satuan) maka disebut ring dengan elemen satuan. Ring merupakan struktur yang lebih luas dari grup dan digunakan sebagai dasar untuk membahas Lapangan adalah satu ring komutatif dengan elemen satuan yang setiap elemen yang bukan nol mempunyai invers perkalian. Karena lapangan merupakan sebuah ring komutatif maka semua sifat-sifat ring berlaku pula dalam Diberikan fungsi aditif f, g dari suatu lapangan yang memuat Q memenuhi persamaan fungsional g(x in ) = (f(x i )) n maka akan diselidiki sifat homomrfisma lapangan pada fungsi untuk menjelaskan persoalan ini secara terperinci, maka peneliti tertarik untuk meneliti lebih lanjut,dimana tujuannya mengkaji sifat-sifat homomorfisma lapangan pada persamaan fungsional g(x in ) = (f(x i )) n.yang dibatasi pada homomorfisma lapangan dari fungsi yg aditif. Manfaatnya memperkuat pemahaman tentang homomorfisma lapangan dan menambah wawasan untuk kajian persamaan fungsional.. Tinjauan Pustaka Berbagai teorema dan definisi yang berhubungan dengan ring, lapangan, dan homomorfisma lapangan merupakan dasar pembahasan pada hasil dan pembahasan yang dihimpun dari berbagai sumber. Suatu ring komutatif R dikatakan mempunyai elemen satuan (unity) yang dinotasikan dengan e jika e a = a e = a untuk setiap a R Ring yang demikian dikatakan ring dengan unity []. Pada ring komutatif dengan elemen satuan berlaku teorema binomial yaitu: (a+b)n = n k 0 (n k )ak a n k dan teorema binomial dipergunakan dalam pembahasan []. Definisi : Misalkan R ring dengan unity. Jika a R dan b R sehingga a b = b a = e maka b disebut c 00 FMIPA Universitas Sriwijaya

2 Ning dkk./mengkarakterisasi Homomorf... JPS Edisi Khusus (A) 09:-03 invers perkalian dari a dan a disebut unit []. Definisi : Sebuah ring komutatif dengan elemen satuan yang tidak memiliki pembagi nol disebut daerah integral []. Meurut Fraleigh [3] Lapangan adalah suatu ring komutatif F dengan elemen satuan bilamana himpunan F yang memenuhi aksiomaaksioma:. (F, +) grup abelian;. (F {0}) grup abelian; dan 3. Distributif. Contoh (Q, +, ) adalah lapangan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Definisi 3: Misalkan (K, +, ) dan (L, +, ) masingmasing adalah suatu Suatu pemetaan f : K L dikatakan injektif jika dan jika hanya untuk setiap yang memenuhi:. f(a + b) = f(a) + f(b);. f(a b) = f(a) f(b); 3. f() =, f(0) = 0. Definisi 4: Misalkan K dan L adalah Suatu pemetaan f : K L dikatakan injektif jika dan jika hanya untuk setiap a, b, K dengan f(a) = f(b) maka a = b. Menurut Hungerfoord [4] apabila pemetaan f suatu homomorfisma dari lapangan K ke lapangan L, maka himpunan elemen-elemen K yang petanya adalah elemen nol dari L disebut kernel dari f dan dinyatakan notasi ker(f). Ker (f) = {x K F (x) = 0, 0 L}, Ker (f) yang sama dengan nol dari homomorfisma lapangan selalu memenuhi pemetaan injektif dan sebaliknya f pemetaan injektif jika kernelnya sama dengan nol. Jika f : R R memenuhi f(x + y) = f(x) + f(y) untuk semua x, y, R maka (f) disebut fungsi aditif. Lemma : Misalkan f : Q Q memenuhi f(x + y) = f(x) + f(y) x Q maka f(ax) = af(x) untuk a Q. Menurut Halter-Koch and Reich L [5] Persamaan fungsional adalah suatu persamaan dimana variabel berupa suatu fungsi. Sehingga terlebih dahulu harus diketahui variabel fungsi yang memenuhi persamaan tersebut. METODELOGI PENELITIAN Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian sebagai berikut;. Jika f : K K merupakan fungsi aditif dengan K dan K adalah lapang yang memuat Q dan dipenuhi f(x ) = (f(x)) untuk semua x K maka f homomorfisma. Jika f, g : K K merupakan fungsi aditif dengan K dan K adalah lapangan yang memuat Q dan dipenuhi f(x ) = g(x ) untuk setiap N dan x K maka f = g. 3. Jika f, g : K K merupakan fungsi aditif dengan K dan K adalah lapangan yang memuat Q dan dipenuhi (g(x a )) β = r ) f(xai βi.dengan e = f() 0, maka e f : K K adalah homomorfisma lapangan dan g = g()e f 4. Jika f, g : K K adalah fungsi aditif yang injektif dengan n < 0 dimana f dan g memenuhi persamaan fungsional yang memenuhi g(x in ) = (f(x )) n untuk semua x K maka f = g = 0 atau e = f() 0, e f : K K adalah homomorfisma lapangan dan g = e n f 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 3. Lemma tentang Homomorfima Lapangan Lemma : Diberikan K dan K adalah lapangan yang Q. Misalkan f : K K adalah fungsi aditif yang memenuhi f(x ) = (f(x)) untuk semua x K () maka f adalah homomorfisma lapangan [5]. Bukti Akan ditunjukkan bahwa f adalah homomorfisma f adalah fungsi f(x+y) = f(x)+f(y). Dengan mengambil x, y K, ruas kiri pers.() menghasilkan f((x + y) ) = f(x + xy + y ). Karena f fungsi aditif maka: f((x + y) ) = f(x ) + f(xy) + f(y ) () Sementara itu, ruas kanan dari pers.() menghasilkan f(x + y)) = (f(x)) + f(x)f(y) + (f(x)) (3) Karena f(x ) = (f(x)) untuk semua x K, maka diperoleh f(xy) = f(x)f(y) untuk semua x, y K maka terbukti bahwa f adalah suatu homomorfisma Lemma : Misalkan K dan K adalah lapangan yang memuat Q, dan misalkan f, g : K K adalah fungsi aditif sedemikian hingga f(x l ) = g(x l ) untuk setiap l N dan x K, sehingga f = g

3 Ning dkk./mengkarakterisasi Homomorf... JPS Edisi Khusus (A) 09:-03 Bukti Jika x K dan t Q maka berdasarkan teorema binomial Karena f adalah fungsi aditif maka pers.(5) menjadi: l ( + tx) l = ( l k)l k tx l k (4) diperoleh f((+tx) l ) = f(+ltx+ l(l ) (tx) + +t l x l ) (5) f(( + tx) l ) = f() + tlf(x) + ( l(l ) t )f(fx ) + + t l f(x l ) = ϕ(t) untuk suatu polinomial ϕ K(t). Penurunan ϕ(t) terhadap t untuk t = 0 menghasilkan Bukti Misalkan x K dan t Q maka berdasarkan teorema binomial Di sisi lain, ϕ (t) = lf(x) a ( + tx) l = k tx a k (8) g((+tx) l ) = g(+ltx+ sehingga (karena g adalah fungsi aditif) l(l ) (tx) + +t l x l ) (6) g(( + tx) l ) = ψ(t) untuk suatu polinomial ψ K(t). Penurunan ψ(t) terhadap t untuk t = 0 menghasilkan ϕ (0) = lg(x) Selanjutnya karena f(x ) = g(x ) untuk setiap N maka diperoleh (t) = ψ(t) untuk setiap e Q sehingga = ψ. Karena (0) = ψ (0) atau lf(x) = lg(x) untuk setiap l N dan x k akibat f(x) = g(x) untuk setiap x K, maka f = g. Lemma 3: Misalkan K dan K adalah lapangan yang memuat Q, dan misalkan f, g : K K adalah fungsi aditif yang memenuhi fungsional yang berbentuk (g(x a )) β = f(x ai ) βi (7) untuk semua x K dan i =,, 3,..., r, dengan r, a, β, a,..., a r, β,..., β r N sehingga aβ = r a iβ i, dan jika e = f() 0 maka e f : K K adalah homomorfisma lapangan dan g = g()e f Karena g adalah fungsi aditif maka pers.(8) menghasilkan (g( + tx) a ) β = ϕ(t) (9) dengan K(t) adalah suatu polynominal pada K. Untuk f fungsi aditif diperolah (berdasarkan teorema binomial) f(( + tx) a ) β = (t) (0) dengan K(t) adalah suatu polynomial pada K. Selanjutnya dari pers.(7) diperoleh ϕ(t) = r (t) untuk semua t Q, sehingga = Telah diketahui bahwa i K(t) () (t) = (g() + atg(x) + t ( a )g(x ) t a g(x a )) β () Karena itu, pers.() pada t = 0 menghasilkan (0) = g() β dan i (t) = (e + ta i f(x) + t a (a i ) f(x ) t a f(x a ) + t a f(x a )) β (3) Pers.(3) pada t = 0 menghasilkan r i(0) = r (e)β, sehingga diperoleh g() β = r(e) β

4 Ning dkk./mengkarakterisasi Homomorf... JPS Edisi Khusus (A) 09:-03 Dengan menurunkan persamaan ϕ = r ϕ, diperoleh ϕ = (4) atau ϕ r ϕ = ϕ i ϕ = (5) Dan jika kedua ruas dalam pers.(4) diturunkan dan hasilnya dikalikan dengan ϕ diperoleh ϕ n ϕ = ϕ ϕ n i ϕ i + ϕ, (6) atau (karena ϕ = r ) ϕ n ϕ = ϕ ϕ n i ϕ ϕ i + Dengan ϕ = r r, diperoleh bentuk sehingga ϕ n ϕ = ϕ ϕ n ϕ (ϕ ) ϕ = Selanjutnya, bentuk ϕ ϕ ϕ n i ϕ ϕ i ϕ i + ϕ ϕ, ϕ n i ϕ i (7) (8) = r untuk t = 0 menghasilkan αβ(g()) g(x) = e f(x) α i β i. (9) Karena αβ = r α iβ i, diperoleh hasil g(x) = e f(x) (0) Selanjutnya akan ditinjau kaitan (8). Pada t = 0 ruas kiri persamaan tersebut menghasilkan ϕ ϕ ϕ ϕ = β(g()) ( α )g(x ) β(g()) α(g(x)), sedangkan dari ruas kanannya dihasilkan () ϕ i ϕ ϕ i Akibat pers.(8), (9), dan (0) diperoleh = β i (e) ( αi )f(x ) β i (e) (α i f(x)) () e f(x) ( a i β i a β) = e f(x )( a i β i a β) (3) yang uraiannya menghasilkan (e f(x)) = e f(x ) (e f(x)) = e f(x ) (e f(x)) = (e f)(x ). 3. Mengkarakterisasi Homomorfisma Lapangan Sebelum mengkarakterisasi homomorfisma lapangan dengan persamaan fungsional, akan definisikan terlebih dahulu Q = Q {0}, dan K = K {0} dengan K adalah Selanjutnya akan dibuktikan teorema berikut. Karena itu menurut lemma : e f adalah homomorfisma Teorema : Misalkan K dan K adalah lapangan yang memuat Q, n Z{0, }, l N dan f, g : K K

5 Ning dkk./mengkarakterisasi Homomorf... JPS Edisi Khusus (A) 09:-03 adalah fungsi aditif yang injektif jika n < 0. Misalkan f dan g memenuhi persamaan fungsional g(x n ) = (f(x l )) n untuk semua x K (4) Maka f = g = 0 atau e = f() 0, e f() : K Kadalah homomorfisma lapangan dan g = e n f. Bukti: Akan ditinjau dua kasus yaitu: Untuk n >. Jika x K atau t Q maka berdasarkan teorema binomial ( + tx) n = n k tx n k Karena g adalah fungsi aditif maka: g(( + tx) n ) = ϕ(t) Selanjutnya, ruas kanan pers.(4) menghasilkan (f( + tx) l ) β = ψ(t) dengan ϕ, ψ K adalah polinomial. Karena g(x n ) = f(x l ) n untuk x K maka ϕ(t) = ψ(t) untuk semua t Q, sehingga diperoleh ϕ = ψ. Jika koefisien dari t dibandingkan maka diperoleh ng(x) = ne n f(x) Untuk semua l N dan n Z{0, } yang mengakibatkan g(x) = e n f(x) xek Karena e 0 dengan mengambil α = n, β =, α = l, β = n, r = dengan r, α, β, α,..., α r, β,..., β r N maka pers.(4) dapat ditulis sebagai: (g(x α )) β = f(x αi ) βi Dan berdasarkan lemma 3 maka e f adalah homomorfisma Untuk n < 0. Ambil m = n, m N dan f, g adalah fungsi injektif, e = f() 0. Pers.(4) dapat ditulis sebagai g( x lm ) = (f(x l )) m (5) Jika x K dan + x lm 0 maka ( + x lm ) lm = j )x lm(lm j) (6) Perkalian ruas kanan dan kiri pada pers.(6) dengan menghasilkan x l m (+x lm ) lm x l m = j ) (x j ) + x lm+j ) lm Selanjutnya, karena g adalah fungsi aditif maka g( ) = g( x l m o (x 0 )lm + xlm+0 + ) (x + x lm (lm ) lm lm) (x lm + x lm+lm ) lm (7) Karena g fungsi aditif maka pers.(38) menjadi (f(x l m ) = lm m j ) (f(x j + x lm+j ) l ) m (8) Perkalian Kedua ruas pers.(40) dengan lm (f((xk + x lm+k ) l ) m menghasilkan = (f(x l m )) m j ) k j ((f((x k + x lm+k ) l ) m ((f((x k + x lm+k ) l ) m (9) Jika λ Q sedemikian hingga + (λx) lm 0 maka x dapat diganti dengan λx, lalu membaginya dengan λ l m lm λklm Q, dan dengan mengambil t = λ lm diperoleh = (f(x l m )) j )t lm j k j f((x k + tx lm+k ) l ) m Untuk (f((x k + tx lm+k ) l ) m diperoleh f((x k + λtx lm+k ) l ) m (30) g(x l m +l m ) = f(x l m ) m f(x l m+m ) (3) Dengan mengambil α = l m + l m, β =, β = m, α = l, pers.(3) menjadi (g(x a )) β = f(x a ) β f(x a ) β = f(x ai ) β, yang berdasarkan lemma 3, e f : K K adalah homomorfisma Untuk x K maka pers.(3) memenuhi e m g(x lm ) = e m g( (x ) lm = (e f)x lm Jadi diperoleh e m g(x lm ) = (e f)x lm. Berdasarkan lemma 3 terbukti bahwa e m g = e f, karena itu g = e f e m = e m f = e n f

6 Ning dkk./mengkarakterisasi Homomorf... JPS Edisi Khusus (A) 09:-03 4 KESIMPULAN DAN SARAN Dari bahasan dapat disimpulan sebagai berikut: Jika mempunyai dua lapangan K dan K memuat Q dan dua fungsi adtif f, g : K K yang memenuhi persamaan fungsional untuk setiap x K maka. Jika n >, makae = f() 0, e f : K K adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x K.. Jika n < 0, maka e = f() 0, f : K K adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x K. dan g = e n f DAFTAR PUSTAKA [] Suharti dan Sukirman, 994, Struktur Aljabar, Universitas Terbuka Depdikbud, Jakarta [] Wahyudin, 000, Pengantar Aljabar Abstrak, Delta Bawean, Bandung [3] Fraleigh, J. B., 993, A First Course in Abstract algebra. Fifth Edition. Addison Weslay Publishing Company Reading, California [4] Hungerfoord, T.W., 984, Graduate Texts in Mathematics, Springer - Verlag, New York [5] Halter-Koch, F. And L. Riech, 000, Characterization of Homomorphism And Derivation By Functional Aequation Math, 59, Pp