BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penulisan, tinjauan pustaka serta sistematika penulisan skirpsi ini Latar Belakang Masalah Dalam ilmu matematika murni, matematika analisis merupakan salah satu cabang yang memiliki perkembangan yang cepat. Matematika analisis biasanya mempelajari konsep-konsep yang abstrak. Analisis fungsional merupakan bagian dari topik matematika analisis yang sering dibahas. Konsep yang sering dibahas dalam analisis fungsional mengacu pada ruang vektor yang diberikan beberapa kondisi tertentu. Ruang vektor merupakan struktur dasar dari beberapa konsep ruang. Ruang bernorma merupakan salah satu ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu norma. Ruang bernorma bisa bernilai real atau bernilai kompleks bergantung dari ruang vektornya. Ruang bernorma menarik untuk dipelajari karena terdapat konsepkonsep seperti kekonvergenan barisan, ruang Banach dan pemetaan linear. Dalam ruang bernorma dikenalkan mengenai konsep ruang Banach, yaitu setiap barisan Cauchy yang terdapat pada ruang vektor tersebut konvergen. Kemudian salah satu topik ruang bernorma menarik lainnya yaitu polinomial dan pemetaan linear, khusus pemetaan linear kontinu. Ruang-F merupakan ruang metrik yang lengkap terhadap R dan C sekaligus. Karena itu ruang Banach juga merupakan ruang-f. Kemudian dapat dibentuk konsep baru pada ruang-f yaitu pemetaan holormorfik kuasi. Bayoumi (2003) membahas mengenai pemetaan holormofik kuasi yang terdiri dari beberapa konsep yang diambil dari ruang bernorma bernilai real dan kompleks. Sebelumnya, Bayou- 1

2 2 mi mendefinisikan norma pada ruang-f yang terbatas lokal menggunakan norma kuasi. Kemudian diperkenalkan konsep ekspansi berhingga dari suatu fungsi yang didekati oleh polinomial. Konsep mengenai diferensiabel kuasi membahas mengenai hubungan pemetaan linear kontinu dengan polinomial berderajat-m. Diferensiabel kuasi juga digunakan untuk mengetahui keterkaitan antara generalisasi teorema rata-rata dengan teorema Taylor di ruang-f. Akibatnya diperoleh beberapa teorema Taylor bergantung dari kondisi diferensiabel fungsi yang diberikan. Selanjutnya deret pangkat merupakan konsep yang tidak lepas dari bilangan real maupun kompleks. Karena itu terdapat konsep mengenai deret pangkat di ruang-f. Kekonvergenan deret pangkat merupakan hal yang menarik untuk dipelajari, khususnya jari-jari kekonvergenan pada deret pangkat itu. Berdasarkan hal tersebut, penulis tertarik untuk mempelajari konsep-konsep yang diberikan oleh Bayoumi Perumusan Masalah Perumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini dijabarkan sebagai berikut: 1. Definisi dan teorema yang berkaitan dengan ekspansi berhingga. 2. Diferensiabel kuasi serta hubungannya dengan formula Taylor. 3. Keterkaitan antara teorema nilai rata-rata dengan teorema Taylor di ruang-f. 4. Definisi dan kekonvergenan deret pangkat di ruang-f Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, permasalahan dibatasi pada ekspansi berhingga dari suatu fungsi yang didekati polinomial, generalisasi dan sifat diferensiabel kuasi-m, keterkaitan antara generalisasi teorema nilai rata-rata dengan teorema Taylor, dan jenis-jenis kekonvergenan deret pangkat di ruang-f.

3 Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Progran Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini juga bertujuan untuk mempelajari mengenai pemetaan holomorfik kuasi meliputi ekspansi berhingga dari suatu fungsi yang didekati polinomial, bentuk dan sifat-sifat diferensiabel kuasi, keterkaitan teorema nilai rata-rata dengan teorema Taylor di ruang-f, dan kekonvergenan deret pangkat di ruang-f Tinjauan Pustaka Dasar teori mengenai ruang bernorma diambil dari beberapa referensi. Anton (2000) membahas mengenai definisi ruang vektor dan subruang vektor yang membangun konsep ruang metrik. Ruang metrik berikut teorema dibahas dalam Rudin (1966). Kemudian dalam Darmawijaya (2007) dijelaskan mengenai ruang bernorma, barisan Cauchy, ruang Banach dan konsep mengenai pemetaan linear. Bayoumi (2003) menjelaskan konsep pemetaan multilinear dan polinomial di ruang-f. Selain itu, Darmawijaya (2011) memberikan beberapa konsep mengenai kekonvergenan deret dan juga tes kekonvergenan. Kemudian dalam Bartle dan Sherbert (1999) dijelaskan mengenai teorema Cauchy-Hadamard yang digunakan untuk menghitung jari-jari kekonvergenan pada deret pangkat. Pada pembahasan pemetaan holomorfik kuasi, Bayoumi (2003) memperkenalkan konsep ekspansi sebagai bentuk dasar untuk mengetahui hubungan fungsi linear kontinu yang didekati oleh polinomial. Kemudian mendefinisikan diferensiabel kuasi yang digunakan sebagai dasar untuk menjelaskan hubungan antara teorema nilai rata-rata dengan teorema Taylor kedalam beberapa teorema. Selain itu juga dibahas mengenai kekonvergenan deret pangkat di ruang-f, khususnya mengenai jari-jari kekonvergenan dari deret pangkat.

4 Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah metode studi literatur. Diawali dengan membaca literatur mengenai buku-buku terkait ruang bernorma dan pemetaan linear kemudian mempelajari konsep mengenai diferensiabel kuasi, teorema Taylor dan kekonvergenan deret pangkat. Selanjutnya disusun menjadi sebuah laporan tugas akhir. Adapun langkah-langkah yang dilakukan sebagai berikut. 1. Membahas sifat dalam ruang bernorma dan pemetaan linear kontinu yang membangun definisi ruang-f. 2. Memberikan definisi mengenai ruang-f. 3. Membahas pemetaan multilinear dan polinomial di ruang-f. 4. Memberikan definisi dan sifat tangen kuasi-m yang digunakan sebagai dasar dari konsep ekspansi berhingga. 5. Memberikan definisi dan sifat diferensiabel kuasi serta membahas keterkaitannya dengan polinomial. 6. Membahas keterkaitan antara teorema nilai rata-rata dengan teorema Taylor di ruang-f. 7. Memberikan definisi jari-jari kekonvergenan deret pangkat di ruang-f dan teorema mengenai jari-jari kekonvergenannya Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, digunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Bab ini memuat latar belakang, perumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka dan metode penelitian dari skripsi ini. Bab ini memberikan gambaran umum mengenai materi yang dibahas pada skripsi ini.

5 5 BAB II DASAR TEORI Bab ini memuat teori-teori yang menjadi dasar dalam proses pemecahan masalah yang diberikan dalam perumusan masalah pada Bab I. Beberapa teori yang dibahas, diantaranya ruang bernorma, pemetaan linear, pemetaan multilinear di ruang-f dan polinomial di ruang-f. BAB III PEMETAAN HOLOMORFIK KUASI Bab ini memuat definisi dan teorema mengenai ekspansi berhingga, diferensiabel kuasi, formula Taylor, teorema nilai rata-rata di ruang-f, teorema Taylor dan deret pangkat diruang-f. BAB IV PENUTUP Bab ini memuat kesimpulan terkait dengan pembahasan yang diberikan pada Bab III.