Matriks Massa Segitiga dan Massa Neutrino Masif dalam Model Seesaw

Transkripsi

1 JURNAL FISIKA DAN APLIKASINYA VOLUME 4, NOMOR 2 JUNI2008 Matriks Massa Segitiga Massa Neutrino Masif dalam Model Seesaw Intan Fatimah Hizbullah" Agus Purwanto Laboratorium Fisika Teori Filsa/at Alam (LaFTIFA), Jurusan Fisika, FMIPA, Institut Teknolog; Sepuluh Nopember, Kampus ITS Sulwlilo, Surabaya Intisari Kami analisa bauran neutrino dalam model seesaw melalui segitigaisasi matriks massa umum. Asumsi bahwa matriks massa Dirac quark-u serupa memberikan hubungan sederhana antara parameter neutrino massa Majorana. Dilakukan perhitungan eksplisit bagi parameter terkait masalah defisit neutrino surya sebagai implikasi dari hirarki massa Majorana. KATA KUNCI: osilasi neutrino, matrik bauran model seesaw L PENDABULUAN Salah satu perburuan paling menantang di dalam fisika partikel adalah penentuan sifat intrinsik neutrino yaitu massa sudut baur (mixing angle) neutrino. Eksperimen-eksperimen SuperKamiokande, K2K, SNO KamLAND [1] memberi bukti kuat bahwa neutrino bermassa, tidak seperti sektor quark, sudut baurannya besar. Model paling menarik untuk membangkitkan massa keeil neutrino adalah mekanisme seesaw [2] yakni dengan memperkenalkan suku tambahan berupa matriks massa Dirac Majorana. Matriks massa Dirac dapat diatasi dengan mengikuti gagasan GUT yang menyatakan bahwa matriks ini serupa dengan sektor quark. Tetapi kita tidak mempunyai pengetahuan tentang matriks massa Majorana baik orde maupun strukturnya. Di dalam artikel ini, struktur umum matriks massa seesaw akan dianalisa, tanpa harus kehilangan sifat umumnya kita akan bekerja dengan basis yang mana matriks massa diagonal bagi lepton bermuatan Majorana. Di dalam artikel ini diasumsikan bahwa matriks massa Dirac menggunakan analogi dengan matriks massa quark mempunyai nilai eigen hirarkis sudut baur kiri keeil. Meskipun demikian, di dalam kasus ini bauran "besar dapat terjadi melalui keterkaitan antara matriks Dirac Majorana. Di dalam model seesaw matriks massa neutrino efektif mv diberikan oleh hubungan Seeara umum matriks sembarang dapat didekomposisi menjadi perkalian matriks diagonal matriks bi-uniter, U o Vo intan@physics.its.ac.id Jurusan Fisika FMIPA ITS (I) (2) Untuk penyederhanaan, kita juga mengabaikan efek simpangan CP sehingga semua matriks baf", rotasi adalah riel. Selanjutnya, sesuai asumsi di dep di dalam basis matriks Majorana diagonal, " " dengan Mi = 1jWh i=l, 2, 3. Dari hubungan (1) (2) tampak bahwa v., juga mengandung kontribusi dari diagonalisasi matriks massa Majorana MN sehingga dapat saja mempunyai sudut baur besar. Meskipun demikian, kita akan membatasi diskusi pada sudut kecil di dalam Vo. Pers.(I), (2) (3) dapat ditulis ulang sebagai U;lmvUo = m~a9vomnl/2 MN1/2VoT md = N N1(4),.. ' N NT yang mana matriks N akan kita gunakan dalam evaluasi lebih lanjut Matriks Dirac diagonal pers.(2) dengan hirarki kuat ml < < m2 < < m3. Massa Dirac neutrino ini pada skala GUT (ml = mu,m2 = mc,m3 = mt) mempunyai nilai m~a9 ~ (0,001; 0,3; loo)gev [3], Hirarki ini mereduksi hasil perkaliannya dengan v., menjadi matriks segitiga (3) (5) ( m,v li m 1V 12 m,v 13 ) m2v21 m2v22 m2v23 m3vin m3y32 m3v 33 ( m,v u JJ 0 m2v21 m2v22 (6) m3v31 m3v

2 J. FIS. DAN APL., VOL. 4, No.2, JUNI 2008 INTAN FH, dkk. sehingga (7) [4]. Di sini diperlihatkan terlebih dahulu bahwa setiap matriks 3 x 3 sembarang selalu dapat dirotasi sedemikian rupa sehingga menjadi matriks segitiga. Kita berangkat dari matriks 3 x 3 riel paling umum Matriks Massa segitiga ini memungkinkan penyelesaian masalah menjadi lebih sederhana [4]. Matriks ini dapat didiagonalisasi dengan matriks bi-uniter atau matriks rotasi kiri (LH) kanan (RH) dituliskan sebagai Uraian ini memberikan N= UNdiagp = (T o m V2 o (U- 1 U;1) mv (UoU) = (N dia 9)2 Persamaan ini menyatakan bahwa sudut baur untuk Massa keeil neutrino berasal dari UUo, segkan nilai eigen dari N merupakan akar kuadrat Massa keeil neutrino ";m Vi ' Kita mempunyai data-data rentang sudut baur Massa maka kita akan mengestimasi Massa Majorana, yang terakhir ini diperlukan di antaranya dalam kalkulasi besamya lepton asimetri bagi leptogenesis. Di dalam evaluasi ini akan digunakan bentuk matriks segitiga bagi Massa neutrino. Hasil eksperimen osilasi neutrino surya memberi tiga solusi bagi masalah neutrino surya yakni sudut bauran keeil (small mixing angle, SMA) MSW (Mikheyev-Smirnov-Wolfstein), sudut bauran besar (large mixing angle, LMA) MSW osilasi vakum (VO). Orde besaran bagi neutrino surya.6m~ [5].6m~ ~ 1O-6eV 2, sin 2 2(} ~ 8 x 10-3 (SMA) (8) (9).6m~ ~ 1O-5eV 2, sin22(}~0,6(lma) (10).6m~ ~ 1O- 10 ev2, (} ~ 11"/4 (VO) Segkan osilasi atmosferik memberlkan.6m~tm ~ 1O-3eV 2 (11) Di bagian n diperlihatkan bahwa matriks 3 x 3 sembarang selalu dapat dirotasi menjadi matriks segitiga baik segitiga atas maupun segitiga bawah selanjutnya dieari nilai eigen dari matriks segitiga tersebut. Bagian ill penerapan matriks segitiga untuk matriks Massa neutrino efektif dengan input dari data neutrino surya neutrino atmosferik. Akbirnya diberikan diskusi kesimpulan pada bagian IV. n. MATRIKS MASSA SEGmGA A. Segitigaisasi Matriks Sembarang Matriks segitiga telah diterapkan untuk penyelesaian masalah eigen matriks Massa quark matriks Massa lepton (12) Untuk mengantisipasi pemakaian dalam sektor neutrino kita asumsikan (13) Matriks (12) elemen-elemennya dapat dipang sebagai kumpulan tiga vektor sembarang di dalam ruang Cartesian tiga dimensi. Matriks umum 3 x 3 dapat ditransformasi menjadi matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah. Matriks segitiga atas 0** ( * * *) 00* (14) tidak lain merupakan peralihan vektor basis yaitu salah satu vektor, Co diambil sebagai sumbu-z, satu vektor lainoya b berada pada big y-z vektor sisanya bebas. Seeara kuantitatif proses segitigaisasi matriks Massa 3 x 3 dilakukan dengan memperkenalkan tiga matriks rotasi seeara berurutan. Pertama, matriks rotasi (1-3) cosa 0 sin a ) R(13) = ( -sina 0 cosa (15) kalikan dari kanan dengan matriks Massa (12). Perkalian dengan elemen-elemen baris ketiga memberikan dengan c3 = vi c'f + ~ jika C'R (13) = (0 C2 c3) Cl tan a = -. C3 (16) (17) Hasil perkalian antara matriks Massa matriks rotasi (1-3) selanjutnya kalikan dari kanan dengan matriks rotasi (2-3) R(23) = (~ co~fj Si~fj) o - sinfj.cosfj Elemen-elemen baris ketiga menjadi dengan (18) C'R (13) R (23) = (0 0 C;;) (19) (20)

3 J. Fls. DAN ApL., VOL. 4, No.2, JUNI2008 jika C2 tan{3 = ~ (21) Matriks Massa (12) secara umum menjadi N' = NR(l3)R(23) = (~ ~ ~ ) = U) (22) dengan a' 1 = al cos a - a3 sin a a' 2 = -al sin a sin {3 + a2 cos {3 - a3 cos a sin {3 a~ = al sin a cos {3 + a2 sin {3 + a3 cos a cos {3 bi = bl cos a - b3 sin a (23) b' 2 = -b l sin a sin {3 + ~ cos {3 - b3 cos a sin {3 b' 3 = b l sin a cos {3 + b2 sin {3 + b3 cos a cos (3 Vektor c dirotasi sampai berimpit dengan sumbu-z. Selanjutnya, perkenalkan matriks rotasi (1-2) cos,), sin ')' 0) R (12) = -sin')' cos')' 0 ( 001 Kalikan dari kanan terhadap pers.(22) baris kedua menjadi dengan jika b'r(12) = (0 b~ b' tan l' = b} 2 b~) (24) (25) (26) Dengan demikian matriks Massa segitiga atas dari matriks Massa (12) berbentuk dengan Nll. = NR(13)R(23)R(12) (au 1 au 2 a' 3 ) = o b~ b~ (27) o 0 I I a" 1 = al cos l' - a2 sm ')' c a" 2 = ai sin l' + a~ cos 'Y (28) b" 2 = bi sin l' + b~ cos l' INTAN FH, dkk. Evaluasi terhadap komponen akhir matriks Massa memberikan a~ = al sin a cos{3 + a2 sin{3 + a3 cosacos{3 Serupa untuk b~. Cl #t +Ci C2 = al +a2- #t+ci c C C3 Vq+Ci +a3 #t +Ci c al Cl + a2c2 + a3c3 = c = ii c b~ = b c (29) (30) Segkan tiga komponen lainnya dihitung secara langsung dengan langkah cukup panjang yang akhirnya didapatkan a" 1 it (b x c) /b~ a" 2 = it (c x (b xc)) /b~ (31) b" 2 = Ibx cl Langkah serupa untuk merubah matriks umum 3 x 3 menjadi matriks segitiga bawah NR'(13)R'(12)R'(23) = (~~~ c a dengan matriks rotasi R' (13) = ( cosa' si~al o -Sina') 1 0 o cos a', R' (12) = (~:~ ~~~n}' ~) 001 R' (23) sudut-sudut = (~ c~{3' -!(3') o sin {3' cos (3' a3 tana' = al a2 tan 1" = vai+a~ (alb3 - a3bt) a tan{3' = (a + a~) b2 - a2 (albl + a3ba) o ) o 32) c.(bxj) Ibxa (33) (34) Hasil di depan memperlihatkan bahwa setiap matriks sembarang dapat ditransformasi menjadi matriks segitiga

4 , J. FIS. DAN ApL., VOL. 4, NO.2, JUNI 2008 INTAN FH, dkk.. B. Solusi Eigen Matriks Segitiga Diagonalisasi memberikan Karena matriks massa Majorana adalah matriks simetri maka diagonalisasi dilakukan dengan matriks bi-ortogonal. Untuk mendiagonalisasi matriks Nt:;. pertama diagonalisasi terlebih dahulu submatriks (2-3) dengan matriks ortogonal U L (23) UR(23) U LR (23) = (00 1 cos ~~ sin ~~R ) (35) - sin (}~R cos (}f3 R ( a~ ul (23) Nt:;.UR (23) _ NX = 0 o " (}R,. (}R a2 cos 23 - a3 sm 23 a~ sin ()~ + a~ cos ()~ ) J (b~ cos ()~ - b~ sin ()~) 2 + & sin 2 ()~ o o (36) bile (b~ cos6:a-b~ sln6:a)2 +c2 sln 2 6:a telah diambil. (}R L CSlD 23 tan (}23 = b" (}R b" (}R (37) 2cOS 23-3 sm 23 Hubungan (37) (38) memberikan hubungan lebih lanjut yakni tan 2(}f3 L 2b~c 2b C tan 2(}23 = & _ b~12-1pa = & _ b2 (39) Nilai eigen massa didapatkan dengan mensubtitusi sudut ()~ pers.(38) ke dalam suku diagonal /-L2 = J (b~ cos()~ - b~ sin(}~)2 + & sin 2 ()~ /-L3 b 2 + c2 1 / 2 1-;;012 = Y (b 2 + &) - 4 b x ci (40) b~c = -r==============~======= J (b~ cos ()~ - b~ sin ()~) 2 + & sin 2 ()~ b 2 + c2 1 / 2 1-;;012 = -2-+"2y(b 2 +&) -4 bxci (41) Selanjutnya, diagonalisasi submatriks (1-3) dengan COS (}[g 0 sin (}f3 ) Ud13) = ( - sin (}r3 0 cos (}t3 (42) sehingga Ud13)NX ~ (aj ::.~ ) o 0 /-L3 Jika sudut baur (1-3) keeil sekali tan (}f3 ~ sin (}r3 ~ (}t3 (}r3 = l3 «1 /-L3 (43) (44) Terakhir diagonalisasi submatriks (1-2) dengan matriks baur yaitu ur (12) ur (13) NX U R (12) = (1' ~ J') (46) dengan sudut baur (1-2) atau massa eigen (45) L P.2sin(}~ tan (}12 =" (}R (}R (47) a 1 cos 12 - l2 SIn 12 (48) (49) 111 = (a~cos(}~-/-l2sin(}~)2+j.i.~sin2()~ (50)

5 J. FIS. DAN APL., VOL. 4, No.2, JUNI 2008 INTAN FH, dkk. Segkan perbandingan afj.l2 J.L~ = --;=====:::::::::======:;;====:==:= (aq cos(j~ - J.L2sin(J~)2 + J.L~sin2 (J~ (51) m. DISKUSI DAN BASIL NUMERIK Di dalam ailalisa berikut ini kita akan menggunakan asumsi aya hirarki yang kuat bagi massa Majorana. Matriks bauran sektor lepton dikenal sebagai matriks bauran Pontecorvo Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS)[6]. Hasil-hasil anal isis data eksperimen juga memperlihatkan bahwa massa neutrino surya atmosfer memperlihatkan hirarki yang kuat, matriks bauran neutrino PMNS Uei [7]mempunyai bentuk U = U23( )U13( )U12((J) S: )(52) ct/> yang mana tan ~ 1 terkait dengan bauran maksimal < < 1 terkait dengan bauran keeil [8]. Sudut baur (J dapat bernilai keeil sehingga seeara keseluruhan memberi bauran maksimal tunggal atau bernilai besar maksimal sehingga memberi bauran bi-maksimal. Kita akan mendiskusikan kedua kasus tersebut, pertama kasus < < So kedua > > So A. Kasus pertama f < < 88 Untuk kasus < < So matriks bauran U terseduksi berimplikasi bahwa b c mendekati paralel sampai orde n2/n3. Matriks (54) juga menyatakan bahwa a < < b ~ C sehingga analisis terdahulu juga dapat diterapkan pada kasus N. Matriks (54) dapat dirotasi menjadi matriks segitiga bawah (32) dengan elemen-elemen o 8 p80n2n a a 80c",n2n a a ~ ) (58) -.!! ", Orde akan menentukan suku dominan N. Kesejajaran vektor akan tetap bertahan setelah ketiga vektor dirotasi elemen-elemennya membentuk matriks segitiga bawah. Kesejajaran ini memberi pilihan natural bagi parameter yaitu «m ll2 /m lla = ~/m~ suku dominan N adalah elemen (2,2) (2,3). Dalam limit ini tan(j» ni/n2 memberikan n 1 n 2 + tan2 (J~ n 2 n2 n (53) (59) matriks N (n, 0!) N= U 0 n2 o 0 ( ~n, SOn2 ~) ~ -SOCtf>nl C(Jc",n2 St/>n 3 (54) sos",nl -C(JSt/>n 2 Ct/>n 3 Membandingkan matriks diagonal bagi N (54) (8) serta pers.(9) didapatkan bahwa massa efektif neutrino keeil Sehingga matriks N tereduksi menjadi Untuk sudut bauran maksirnal = 45, [9] (60) (61) (55) Asumsinl «n2 «n3 memberikan b 2 ~ s~n~ c2 ~ ~n~ sehiogga (56) Untuk rotasi kanan Va mendekati satuan Vii ~ 1 Vij < < 1, i =1= j maka (62)

6 J. Frs. DAN APL., VOL. 4, No.2, JUNr 2008 Kedua matriks N terakhir hubungan massa (55) memberikan 2w m m 3 m...l.1. Yl = nl = 2 = 2M3 w I m l m u 2 m Y2 = n2 = --2- = (63) 8~Ml W.2 2 2m~ m Y3 = n3 = 2m 2 = M2 Hasil di atas tidak memperlihatkan keteraturan hubungan antara massa neutrino keeil my; Mi baik dalam bentuk my; IX Mi atau m Yi IX I/Mi. Selain itu, m Y3 berskala m~ bukan m~. Hasil lainnya massa skala menengah M2 tidak bergantung pada sudut baur () hanya bergantung pada massa neutrino keeil m Y3 massa quark m~ sehingga dapat diestimasi terlebih dahulu yakni M2 = 2m~ (64) m Y3 Data-data massa neutrino dari eksperiman neutrino surya atmosfer memberikan ~m~ «~m~tm' Seeara teoritis hasil pengamatan massa kuadrat ini terkait dengan selisih massa eigen kuadrat ~m~ Asumsi hirarki kuat ni memberikan sehingga, dari data massa cham-quark, diperoleh M 2 :::::: 2m~ = 4 x 10 9 GeV J~m~tm (65) (66) (67) suatu skala yang jauh lebih keeil dari yang diharapkan. Dua massa Majorana masif lainnya bergantung pada solusi atau data neutrino surya. Analisis osilasi neutrino asumsi hirarki juga memberikan (68) segkan m Yl tidak diketahui. Akibatnya, M3 tidak dapat diketahui keeuali batas bawahnya melalui parameter T = m y2 /m Yl» 1 yaitu dari pers.(63) pertama atau Dengan kata lain, M3 = 8 9m t = 8 9m t m Y2 2m Yl 2m Y2 m Yl M3/T = (69) Segkan massa Majorana terkeeil m~ INTAN FH, dick. M 1 = (71) 8~J~m~ Selanjutnya kita estimasi kedua massa Majorana masif dengan input dari tiga solusi defisit neutrino surya yaitu osilasi vakum (VO), sudut besar MSW (LMA) sudut keeil MSW (SMA). VO Sudut baur () = 45 sehingga.lma (72) Dalam kasus ini sin 2 2() :::::: 0,6 maka sin 2 () :::::: 0, 18 seperti perhitungan kasus VO diperoleh SMA Ml = 1,85 x 106Gev, M2 = 4 x 10 9 GeV, M3 > 8,9 x 1015GeV (74) Dalam kasus ini sin 2 2fJ :::::: 8 x 10-3 maka sin 2 fj :::::: 2 x 10-3 seperti perhitungan kasus VO diperoleh Ml = 5 x 10 8 GeV, M2 = 4 x 109GeV, M3 > 1,0 x 1013GeV (75) Hasil-hasil di depan diperoleh dengan asumsi E ~ 0 tetapi jika E» n2/n3 pers.(54) tidak berlaku. Jugajika E» 89 matriks N pers.(60) tidak berlaku matriks yang relevan akan dibahas lengkap berikut. B. Kasus kedua E > > Sf) Untuk kasus E > > 89 matriks bauran U menjadi matriks N (76) (70) N:::::: (77)

7 J. FIS. DAN ApL., VOL. 4, No.2, JUNI 2008 Dalam limit ini matriks segitiga bawah bagi N diberikan oleh Membandingkan matriks segitiga ini dengan pers.(62) diperoleh J2nl = m3w3 E ~ (CB- s:) = m2w2 (79) En3 = mlw I Setelah mensubtitusi massa quark, massa neutrino surya neutrino atmosfer berturut-turut untuk m"l' m"2 m"3 serta parameter r = m"2/m"1 diperoleh massa Neutrino masif m Ml = E2.j~m~tm 2m 2 c M2 ::::: M3 = (CB - ~)2 J~m~ E2m~ 2J~m~ (80) Data solusi neutrino surya yang memenubi batasan masalah E > > s() adalah kasus sudut baur keeil SMA sin 2 2(J ::::: 8 x 10-3 atau sin 2 (J ::::: 2 x Untuk memberi angka tertentu kita ambil E = 10-1 subtitusi nilai-nilai yang relevan pada Mi diperoleb Ml = 3, 16 x 10 6 GeV M2 = 5 x lo 11 GeV M3 = 5 x GeV (81) Hasil-basil di depan menyatakan bahwa kita dapat memperoleh massa Majorana secara langsung jika parameterparameter fisis neutrino diketahui massa Dirac diidentifikasi sebagai massa quark. IV. SIMPULAN Massa keeil neutrino yang diperlihatkan oleb hasil-basil eksperimen dapat dijelaskan seeara alamiah menggunakan INTAN FH, dick. model seesaw. Model ini memberi struktur matriks massa yang cukup rumit sehingga tidak mudah memperoleh sudut baur neutrino dari komponen-komponen model seesaw seperti massa Dirac md massa Majorana Mi/. Di dalam risalah ini pertama diperlihatkan bahwa setiap matriks sembarang 3 x 3 dapat dirotasi menjadi matriks segitiga baik segitiga atas atau segitiga bawah. Matriks segitiga ini diterapkan dalam proses diagonalisasi matriks neutrino dengan langkah-iangkah berikut. Pertama. massa Dirac dituliskan sebagai md = Uom'fjagvo neutrino Majorana dipilib dalam basis diagonal sehingga MN = M')Ja g. Selanjutnya massa efektif dituliskan sebagai m" = N N7' sehingga N hanya bergantung pada komponen-komponen m'fja g, Va MN 1. Matriks N direduksi menjadi matriks segitiga bentuk matriks segitiga bawah muncul seeara alamiahjika m~iag mempunyai hirarki kuat. Matriks segitiga N memberikan hubungan sederhana antara massa keeil neutrino, massa neutrino Majorana, sudut baur matriks Dirac. Hubungan ini memungkinkan penentuan bolak-balik antar keempat kuantitas tersebut.di dalam evaluasi digunakan input berupa hasil eksperimen neutrino surya atmosferik. Kolaborasi SuperKamiokande memberi bauran maksimal bagi neutrino at~ mosferik, (J23 ::::: IT / 4. eval uasi dibedakan menjadi dua kasus (J13(= E) «sin(j12 E» sin (J12. Di dalam kasus E < < sin (J12, massa neutrino massif M2 tidak bergantung pada sudut baur (J12 berorde 10 9 GeV segkan M3 banya dapat ditentukan nilai terkecilnya. Orde M1 M3 masing-masing untuk data YO, LMA SMA adalah 10 8, 10 6, 10 8 GeV 10 17, 10 16,10 13 GeV. Orde M3 yang sangat besar untuk solusi VO (> > Ge V) membuatnya tidak diunggulkan sebagai kandidat solusi. Di dalam kajian ini tidak ditinjau renormalisasi mengingat efek persamaan grup renormalisasi (RGE) sangat keeil [10]. Untuk kasus E > > sin (J12 hanya data SMA neutrino surya yang rei evan semua massa neutrino baik neutrino keeil maupun masif bergantung pada sudut baur. Massa neutrino M3 tetap banya dapat ditentukan batas nilai terkeeilnya. Orde Mt. M2 M3 masing-masing adalah 10 6, GeV. Ucapao Terima Kasih Penulis (IFH) berterimakasih pada konsorsium fisika teori Indonesia yang memberi kesempatan mendiskusikan sebagian penelitian ini pada Workshop on Theoretical Physics Penulis (AP) menyampaikan terimakasih kepada Indonesia Center for Theoretical and Mathematical Physics (ICTMP) yang mendukung penelitian ini

8 J. FIS. DAN APL., VOL. 4, No.2, JUNl2008 INTAN FH, dkk. [1] Y. Fukuda dkk.., Phys.Rev.Lett. 81, 1158(1998); M.H. Ahn dkk..,phys.rev.lett. 90, (2003); Q.R. Ahmad dkk.., Phys.Rev.Lett 89, ; (2002); K.Eguchi dkk.., Phys.Rev.Lett. 90, (2003). [2] M. Gell-Mann, P.Ramond and R. Siansky, in Super gravity, eds. P. van Nieuwenhuizen and D. Freedman (North Hollad, Amsterdam, 1979); T.Yanagida, in Proceedings of the Workshop on Unified Theories and Baryon Number in the Universe, eds. O.Sawada and A. Sugamoto (KEK, Tsukuba, 1979). [3] H. Fusaoka and Y. Koide, Phys. Rev. DS7, 3986 (1998). [4] J. Hashida, T. Morozumi, and A. Purwanto, Prog. Theor. Phys. 103,379 (2000); T.K. Kuo, G.H. Wu and S.W. Mansour, Phys. Rev. D61, (2000; T. Morozumi, T. Satou, M.N. Rebelo, M. Tanimoto, Phys. Lett B (1997). [5] J.N. Baheal, P.I. Krastev and A. Yu. Smirnov, Phys. Rev. D58, (1998); D60, (1999). [6] B. Pontecorvo, Zh. Eksp. Teor. Fiz (1957); Z. Maki, M. Nakagawa, and S. Sakata, Prog. Theor. Phys. 28,870 (1962). [7] E. Kh. Akhmedov, Phys. Lett B467, 95 (1999). [8] M.Appolonio dkk.. [CHOOZ Collab.], Phys.Lett B420,397( 1998). [9] Y. Fukuda dkk., Phys.Rev.Lett. 81, 1562(1998). [10] K.S. Babu, C.N. Leung and J. Pantaleone, Phy. Lett B (1993)