Matriks Massa Segitiga dan Massa Neutrino Masif dalam Model Seesaw

Transkripsi

1 JUAL FISIKA DA APLIKASIYA VOLUME 4, OMO JUI 008 Matriks Massa Segitiga Massa eutrino Masif dalam Model Seesaw Intan Fatimah Hizbullah Agus Purwanto Laboratorium Fisika Teori Filsafat Alam (LaFTiFA), Jurusan Fisika, FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh opember, Kampus ITS Sukolilo, Surabaya Intisari Kami analisa bauran neutrino dalam model seesaw melalui segitigaisasi matriks massa umum. Asumsi bahwa matriks massa Dira quark-u serupa memberikan hubungan sederhana antara parameter neutrino massa Majorana. Dilakukan perhitungan eksplisit bagi parameter terkait masalah defisit neutrino surya sebagai implikasi dari hirarki massa Majorana. KATA KUCI: osilasi neutrino, matrik bauran model seesaw I. PEDAHULUA Salah satu perburuan paling menantang di dalam fisika partikel adalah penentuan sifat intrinsik neutrino yaitu massa sudut baur (mixing angle) neutrino. Eksperimen-eksperimen SuperKamiokande, KK, SO KamLAD [1] memberi bukti kuat bahwa neutrino bermassa, tidak seperti sektor quark, sudut baurannya besar. Model paling menarik untuk membangkitkan massa keil neutrino adalah mekanisme seesaw [] yakni dengan memperkenalkan suku tambahan berupa matriks massa Dira Majorana. Matriks massa Dira dapat diatasi dengan mengikuti gagasan GUT yang menyatakan bahwa matriks ini serupa dengan sektor quark. Tetapi kita tidak mempunyai pengetahuan tentang matriks massa Majorana baik orde maupun strukturnya. Di dalam artikel ini, struktur umum matriks massa seesaw akan dianalisa, tanpa harus kehilangan sifat umumnya kita akan bekerja dengan basis yang mana matriks massa diagonal bagi lepton bermuatan Majorana. Di dalam artikel ini diasumsikan bahwa matriks massa Dira menggunakan analogi dengan matriks massa quark mempunyai nilai eigen hirarkis sudut baur kiri keil. Meskipun demikian, di dalam kasus ini bauran besar dapat terjadi melalui keterkaitan antara matriks Dira Majorana. Di dalam model seesaw matriks massa neutrino efektif m ν diberikan oleh hubungan m ν = m D M 1 mt D (1) Seara umum matriks sembarang dapat didekomposisi menjadi perkalian matriks diagonal matriks bi-uniter, U o V o intan@physis.its.a.id m D = U o m diag D V o () Untuk penyederhanaan, kita juga mengabaikan efek simpangan CP sehingga semua matriks bauran rotasi adalah riel. Selanjutnya, sesuai asumsi di depan, di dalam basis matriks Majorana diagonal, M 1 = W W W 3 (3) dengan M i = 1/Wi ; i=1,, 3. Dari hubungan (1) () tampak bahwa V o juga mengandung kontribusi dari diagonalisasi matriks massa Majorana M sehingga dapat saja mempunyai sudut baur besar. Meskipun demikian, kita akan membatasi diskusi pada sudut keil di dalam V o. Pers.(1), () (3) dapat ditulis ulang sebagai U 1 o m ν U o = m diag D V om 1/ }{{} M 1/ V T o m D } {{ } T = T (4) yang mana matriks akan kita gunakan dalam evaluasi lebih lanjut. Matriks Dira diagonal pers.() m diag D = m m m 3 (5) dengan hirarki kuat m 1 << m << m 3. Massa Dira neutrino ini pada skala GUT (m 1 = m u, m = m, m 3 = m t ) mempunyai nilai m diag D (0, 001; 0, 3; 100)GeV [3]. Hirarki ini mereduksi hasil perkaliannya dengan V o menjadi matriks segitiga m diag D V o = m 1V 11 m V 1 m 1 V 1 m V m 1 V 13 m V 3 m 3 V 31 m 3 V 3 m 3 V 33 m 1V m V 1 m V 0 m 3 V 31 m 3 V 3 m 3 V 33 (6) Jurusan Fisika FMIPA ITS

2 J. FIS. DA APL., VOL. 4, O., JUI 008 ITA FH, dkk. sehingga m 1V 11 W m V 1 W 1 m V W 0 m 3 V 31 W 1 m 3 V 3 W m 3 V 33 W 3 (7) Matriks massa segitiga ini memungkinkan penyelesaian masalah menjadi lebih sederhana [4]. Matriks ini dapat didiagonalisasi dengan matriks bi-uniter atau matriks rotasi kiri (LH) kanan (H) dituliskan sebagai Uraian ini memberikan m diag ν = = U diag P (8) m ν m ν m ν3 = ( U 1 Uo 1 = ( diag) ) mν (U o U) Persamaan ini menyatakan bahwa sudut baur untuk massa keil neutrino berasal dari UU o, segkan nilai eigen dari merupakan akar kuadrat massa keil neutrino m νi. Kita mempunyai data-data rentang sudut baur massa maka kita akan mengestimasi massa Majorana, yang terakhir ini diperlukan di antaranya dalam kalkulasi besarnya lepton asimetri bagi leptogenesis. Di dalam evaluasi ini akan digunakan bentuk matriks segitiga bagi massa neutrino. Hasil eksperimen osilasi neutrino surya memberi tiga solusi bagi masalah neutrino surya yakni sudut bauran keil (small mixing angle, SMA) MSW (Mikheyev-Smirnov-Wolfstein), sudut bauran besar (large mixing angle, LMA) MSW osilasi vakum (VO). Orde besaran bagi neutrino surya m [5] m 10 6 ev, sin (SMA) (9) m 10 5 ev, sin 0, 6 (LMA) (10) m ev, π/4 (V O) Segkan osilasi atmosferik memberikan m atm 10 3 ev (11) Di bagian II diperlihatkan bahwa matriks 3 3 sembarang selalu dapat dirotasi menjadi matriks segitiga baik segitiga atas maupun segitiga bawah selanjutnya diari nilai eigen dari matriks segitiga tersebut. Bagian III penerapan matriks segitiga untuk matriks massa neutrino efektif dengan input dari data neutrino surya neutrino atmosferik. Akhirnya diberikan diskusi kesimpulan pada bagian IV. II. MATIKS MASSA SEGITIGA A. Segitigaisasi Matriks Sembarang Matriks segitiga telah diterapkan untuk penyelesaian masalah eigen matriks massa quark matriks massa lepton [4]. Di sini diperlihatkan terlebih dahulu bahwa setiap matriks 3 3 sembarang selalu dapat dirotasi sedemikian rupa sehingga menjadi matriks segitiga. Kita berangkat dari matriks 3 3 riel paling umum = a 1 a a 3 a b 1 b b 3 b (1) 1 3 Untuk mengantisipasi pemakaian dalam sektor neutrino kita asumsikan a << b (13) Matriks (1) elemen-elemennya dapat dipang sebagai kumpulan tiga vektor sembarang di dalam ruang Cartesian tiga dimensi. Matriks umum 3 3 dapat ditransformasi menjadi matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah. Matriks segitiga atas (14) tidak lain merupakan peralihan vektor basis yaitu salah satu vektor,, diambil sebagai sumbu-z, satu vektor lainnya b berada pada big y-z vektor sisanya bebas. Seara kuantitatif proses segitigaisasi matriks massa 3 3 dilakukan dengan memperkenalkan tiga matriks rotasi seara berurutan. Pertama, matriks rotasi (1-3) (13) = os α 0 sin α (15) sin α 0 os α kalikan dari kanan dengan matriks massa (1). Perkalian dengan elemen-elemen baris ketiga memberikan (13) = ( ) 0 3 (16) dengan 3 = jika tan α = 1 3. (17) Hasil perkalian antara matriks massa matriks rotasi (1-3) selanjutnya kalikan dari kanan dengan matriks rotasi (-3) (3) = os β sin β 0 sin β os β Elemen-elemen baris ketiga menjadi dengan (13) (3) = ( ) (18) (19) 3 = = (0)

3 J. FIS. DA APL., VOL. 4, O., JUI 008 ITA FH, dkk. jika tan β = (1) Evaluasi terhadap komponen akhir matriks massa memberikan a 3 = a 1 sin α os β + a sin β + a 3 os α os β Matriks massa (1) seara umum menjadi = (13)(3) = dengan a 1 a a 3 a 1 a a 3 a b 1 b b 3 b () 0 0 = a 1 os α a 3 sin α = a 1 sin α sin β + a os β a 3 os α sin β = a 1 sin α os β + a sin β + a 3 os α os β b 1 = b 1 os α b 3 sin α (3) b = b 1 sin α sin β + b os β b 3 os α sin β = b 1 sin α os β + b sin β + b 3 os α os β b 3 Vektor dirotasi sampai berimpit dengan sumbu-z. Selanjutnya, perkenalkan matriks rotasi (1-) (1) = os γ sin γ 0 sin γ os γ Kalikan dari kanan terhadap pers.() baris kedua menjadi dengan jika b (1) = ( ) 0 b b 3 (4) b = b 1 + b (5) tan γ = b 1 b (6) Dengan demikian matriks massa segitiga atas dari matriks massa (1) berbentuk Serupa untuk b 3, 1 = a a a = a a + a 3 3 = a ĉ (9) b 3 = b ĉ (30) Segkan tiga komponen lainnya dihitung seara langsung dengan langkah ukup panjang yang akhirnya didapatkan ( ) 1 = a b ĉ /b ( ( )) = a ĉ b ĉ /b (31) b = b ĉ Langkah serupa untuk merubah matriks umum 3 3 menjadi matriks segitiga bawah a 0 0 (13) (1) (3) = b â b â 0 â (â ( b â)) b â ( b â) b â (3) dengan matriks rotasi (13) = os α 0 sin α sin α 0 os α (1) = os γ sin γ 0 sin γ os γ 0 (33) (3) = os β sin β 0 sin β os β dengan = (13)(3)(1) = a 1 a 3 0 b b (7) 1 = a 1 os γ a sin γ = a 1 sin γ + a os γ (8) b = b 1 sin γ + b os γ sudut-sudut tan α = a 3 a 1 tan γ = tan β = a a 1 + a 3 (a 1 b 3 a 3 b 1 ) a (a 1 + a 3 ) b a (a 1 b 1 + a 3 b 3 ) (34) Hasil di depan memperlihatkan bahwa setiap matriks sembarang dapat ditransformasi menjadi matriks segitiga

4 J. FIS. DA APL., VOL. 4, O., JUI 008 ITA FH, dkk. B. Solusi Eigen Matriks Segitiga Diagonalisasi memberikan Karena matriks massa Majorana adalah matriks simetri maka diagonalisasi dilakukan dengan matriks bi-ortogonal. Untuk mendiagonalisasi matriks pertama diagonalisasi terlebih dahulu submatriks (-3) dengan matriks ortogonal U L (3) U (3) U L (3) = os 3 L sin 3 L (35) 0 sin 3 L os 3 L U T L (3) U (3) u = 1 os 3 a 3 sin 3 sin 3 + a 3 os 3 0 os 3 b 3 sin 3) + sin 3 0 b 0 0 os 3 b 3 sin 3) + sin 3 (36) telah diambil tan 3 = tan 3 L sin 3 = b os 3 b 3 sin 3 b b 3 b 3 + b (37) b ĉ b ĉ = ( ) b ĉ + b ĉ (38) Hubungan (37) (38) memberikan hubungan lebih lanjut yakni tan L 3 tan L 3 = b 3 b = b b 3 b (39) ilai eigen massa didapatkan dengan mensubtitusi sudut 3 pers.(38) ke dalam suku diagonal µ = os 3 b 3 sin 3) + sin 3 = b ) 4 b (40) b µ 3 = os 3 b 3 sin 3) + sin 3 = b ) 4 b (41) Selanjutnya, diagonalisasi submatriks (1-3) dengan U L (13) = os L 13 0 sin 13 L (4) sin 13 L 0 os 13 L sehingga U L (13) u a 1 α 0 0 µ 0 (43) 0 0 µ 3 Jika sudut baur (1-3) keil sekali tan L 13 sin L 13 L 13 L 13 = α 3 µ 3 << 1 (44) Terakhir diagonalisasi submatriks (1-) dengan matriks baur os L 1 sin 1 L 0 U L (1) = sin 1 L os 1 L 0 (45) yaitu U T L (1) U T L (13) u U (1) = dengan sudut baur (1-) atau µ µ µ 3 tan 1 L µ sin 1 = 1 os 1 α sin 1 tan L 1 = tan 1 = α µ µ a 1 α 1α µ + α a 1 (46) (47) (48) (49) massa eigen (a µ 1 = 1 os 1 µ sin 1) + µ sin 1 (50)

5 J. FIS. DA APL., VOL. 4, O., JUI 008 ITA FH, dkk. µ = 1µ (a 1 os 1 µ sin 1) + µ sin 1 (51) Segkan perbandingan b b ( ) φ + s φ n n 3 s φ φ n 3 n s φ φ n 3 << 1 (57) III. DISKUSI DA HASIL UMEIK Di dalam analisa berikut ini kita akan menggunakan asumsi aya hirarki yang kuat bagi massa Majorana. Matriks bauran sektor lepton dikenal sebagai matriks bauran Ponteorvo- Maki-akagawa-Sakata (PMS)[6]. Hasil-hasil analisis data eksperimen juga memperlihatkan bahwa massa neutrino surya atmosfer memperlihatkan hirarki yang kuat, matriks bauran neutrino PMS U li [7]mempunyai bentuk U = U 3 (φ) U 13 (ɛ) U 1 () s ɛ = (s φ + ɛ s φ ) φ ɛs s φ s φ (5) s s φ ɛ φ ( s φ + ɛs φ ) φ yang mana tan φ 1 terkait dengan bauran maksimal ɛ << 1 terkait dengan bauran keil [8]. Sudut baur dapat bernilai keil sehingga seara keseluruhan memberi bauran maksimal tunggal atau bernilai besar maksimal sehingga memberi bauran bi-maksimal. Kita akan mendiskusikan kedua kasus tersebut, pertama kasus ɛ << s kedua ɛ >> s. A. Kasus pertama ɛ << s Untuk kasus ɛ << s matriks bauran U terseduksi U s ɛ s φ φ s φ (53) s s φ s φ φ matriks = U n n n 3 s φ n 1 φ n s φ n 3 n 1 s n ɛn 3 s s φ n 1 s φ n φ n 3 (54) Membandingkan matriks diagonal bagi (54) (8) serta pers.(9) didapatkan bahwa massa efektif neutrino keil m νi = n i (55) Asumsi n 1 << n << n 3 memberikan b s φ n 3 φ n 3 sehingga m ν3 = n 3 = b s = φ φ (56) berimplikasi bahwa b mendekati paralel sampai orde n /n 3. Matriks (54) juga menyatakan bahwa a << b sehingga analisis terdahulu juga dapat diterapkan pada kasus. Matriks (54) dapat dirotasi menjadi matriks segitiga bawah (3) dengan elemen-elemen n 1 + s n + ɛ n φ s n +s φɛn 3 a s φ s n + φɛn 3 a s φ s n n 3 a 0 s φ n n 3 n 1 a s s φ (58) Orde ɛ akan menentukan suku dominan. Kesejajaran vektor akan tetap bertahan setelah ketiga vektor dirotasi elemen-elemennya membentuk matriks segitiga bawah. Kesejajaran ini memberi pilihan natural bagi parameter ɛ yaitu ɛ << m ν /m ν3 = n /m 3 suku dominan adalah elemen (,) (,3). Dalam limit ini tan >> n 1 /n memberikan a = n 1 + s n + ɛ n 3 = n 3 n 1 n 3 + s n n + ɛ 3 n 1 n n 3 n n + tan n 3 n 3 n 1 = n n + tan n s (59) Sehingga matriks tereduksi menjadi n s 0 0 φ n s φ n 3 0 s φ n φ n 3 n 1 s s φ Untuk sudut bauran maksimal φ = 45 o, [9] (60) n s n n 3 0 (61) 1 1 n n 3 n 1 s Untuk rotasi kanan V o mendekati satuan V ii 1 V ij << 1, i j maka m V 1 W 1 m W 0 m 1W m 3 V 31 W 1 m 3 V 3 W m 3 W 3 (6)

6 J. FIS. DA APL., VOL. 4, O., JUI 008 ITA FH, dkk. Kedua matriks terakhir hubungan massa (55) memberikan m ν1 = n 1 = s W 3 m 3 = s m t M 3 Segkan massa Majorana terkeil M 1 = s m u m (71) m ν = n = W 1 m 1 s = m u s M 1 m ν3 = n 3 = W m = m M (63) Hasil di atas tidak memperlihatkan keteraturan hubungan antara massa neutrino keil m νi M i baik dalam bentuk m νi M i atau m νi 1/M i. Selain itu, m ν3 berskala m bukan m t. Hasil lainnya massa skala menengah M tidak bergantung pada sudut baur hanya bergantung pada massa neutrino keil m ν3 massa quark m sehingga dapat diestimasi terlebih dahulu yakni M = m m ν3 (64) Data-data massa neutrino dari eksperiman neutrino surya atmosfer memberikan m << m atm. Seara teoritis hasil pengamatan massa kuadrat ini terkait dengan selisih massa eigen kuadrat m = m ν m ν 1 m atm = m ν 3 m ν, m ν 3 m ν 1 (65) Asumsi hirarki kuat n i memberikan m atm (66) m ν3 sehingga, dari data massa ham-quark, diperoleh M m m atm = GeV (67) suatu skala yang jauh lebih keil dari yang diharapkan. Dua massa Majorana masif lainnya bergantung pada solusi atau data neutrino surya. Analisis osilasi neutrino asumsi hirarki juga memberikan m (68) m ν segkan m ν1 tidak diketahui. Akibatnya, M 3 tidak dapat diketahui keuali batas bawahnya melalui parameter r = m ν /m ν1 >> 1 yaitu dari pers.(63) pertama atau Dengan kata lain, M 3 = s m t m ν1 M 3 /r = = s m t m ν m ν m ν1 s m t M 3 > s m t m m (69) (70) Selanjutnya kita estimasi kedua massa Majorana masif dengan input dari tiga solusi defisit neutrino surya yaitu osilasi vakum (VO), sudut besar MSW (LMA) sudut keil MSW (SMA). VO Sudut baur = 45 o sehingga LMA M 1 = ( 10 3) GeV ev = 10 8 GeV (7) M 3 > 100 GeV ev =, GeV (73) Dalam kasus ini sin 0, 6 maka sin 0, 18 seperti perhitungan kasus VO diperoleh SMA M 1 = 1, GeV, M = GeV, (74) > 8, GeV M 3 Dalam kasus ini sin maka sin 10 3 seperti perhitungan kasus VO diperoleh M 1 = GeV, M = GeV, (75) > 1, GeV M 3 Hasil-hasil di depan diperoleh dengan asumsi ɛ 0 tetapi jika ɛ >> n /n 3 pers.(54) tidak berlaku. Juga jika ɛ >> s matriks pers.(60) tidak berlaku matriks yang relevan akan dibahas lengkap berikut. B. Kasus kedua ɛ >> s Untuk kasus ɛ >> s matriks bauran U menjadi U s ɛ ɛ s φ φ s φ (76) ɛ φ s φ φ matriks ɛ s φ n 1 φ n s φ n 3 n 1 s n ɛn 3 ɛ φ n 1 s φ n φ n 3 (77)

7 J. FIS. DA APL., VOL. 4, O., JUI 008 ITA FH, dkk. Dalam limit ini matriks segitiga bawah bagi diberikan oleh ɛn 3 ) 0 0 n 3 (1 + sn n ( ɛn s ) 3 ɛ 0 ) n 3 (1 sn n ( + s ) (78) n 1 ɛ ɛ ɛn 3 Membandingkan matriks segitiga ini dengan pers.(6) diperoleh n1 = m 3 W 3 ɛ n ( s ) = m W (79) ɛ ɛn 3 = m 1 W 1 Setelah mensubtitusi massa quark, massa neutrino surya neutrino atmosfer berturut-turut untuk m ν1, m ν m ν3 serta parameter r = m ν /m ν1 diperoleh massa eutrino masif M 1 = M M 3 = m u ɛ m atm m ( s ɛ ) m ɛ m t m (80) Data solusi neutrino surya yang memenuhi batasan masalah ɛ >> s adalah kasus sudut baur keil SMA sin atau sin Untuk memberi angka tertentu kita ambil ɛ = 10 1, subtitusi nilai-nilai yang relevan pada M i diperoleh M 1 = 3, GeV M = GeV (81) = GeV M 3 Hasil-hasil di depan menyatakan bahwa kita dapat memperoleh massa Majorana seara langsung jika parameterparameter fisis neutrino diketahui massa Dira diidentifikasi sebagai massa quark. IV. SIMPULA Massa keil neutrino yang diperlihatkan oleh hasil-hasil eksperimen dapat dijelaskan seara alamiah menggunakan model seesaw. Model ini memberi struktur matriks massa yang ukup rumit sehingga tidak mudah memperoleh sudut baur neutrino dari komponen-komponen model seesaw seperti massa Dira m D massa Majorana M 1. Di dalam risalah ini pertama diperlihatkan bahwa setiap matriks sembarang 3 3 dapat dirotasi menjadi matriks segitiga baik segitiga atas atau segitiga bawah. Matriks segitiga ini diterapkan dalam proses diagonalisasi matriks neutrino dengan langkah-langkah berikut. Pertama, massa Dira dituliskan sebagai m D = U o m diag D V o neutrino Majorana dipilih dalam basis diagonal sehingga M = M diag. Selanjutnya massa efektif dituliskan sebagai m ν = T sehingga hanya bergantung pada komponen-komponen m diag D, V o M 1. Matriks direduksi menjadi matriks segitiga bentuk matriks segitiga bawah munul seara alamiah jika m diag D mempunyai hirarki kuat. Matriks segitiga memberikan hubungan sederhana antara massa keil neutrino, massa neutrino Majorana, sudut baur matriks Dira. Hubungan ini memungkinkan penentuan bolak-balik antar keempat kuantitas tersebut.di dalam evaluasi digunakan input berupa hasil eksperimen neutrino surya atmosferik. Kolaborasi SuperKamiokande memberi bauran maksimal bagi neutrino atmosferik, 3 π/4, evaluasi dibedakan menjadi dua kasus 13 (= ɛ) << sin 1 ɛ >> sin 1. Di dalam kasus ɛ << sin 1, massa neutrino massif M tidak bergantung pada sudut baur 1 berorde 10 9 GeV segkan M 3 hanya dapat ditentukan nilai terkeilnya. Orde M 1 M 3 masing-masing untuk data VO, LMA SMA adalah 10 8, 10 6, 10 8 GeV 10 17, 10 16,10 13 GeV. Orde M 3 yang sangat besar untuk solusi VO (>> GeV) membuatnya tidak diunggulkan sebagai kandidat solusi. Di dalam kajian ini tidak ditinjau renormalisasi mengingat efek persamaan grup renormalisasi (GE) sangat keil [10]. Untuk kasus ɛ >> sin 1 hanya data SMA neutrino surya yang relevan semua massa neutrino baik neutrino keil maupun masif bergantung pada sudut baur. Massa neutrino M 3 tetap hanya dapat ditentukan batas nilai terkeilnya. Orde M 1, M M 3 masing-masing adalah 10 6, GeV. Uapan Terima Kasih Penulis (IFH) berterimakasih pada konsorsium fisika teori Indonesia yang memberi kesempatan mendiskusikan sebagian penelitian ini pada Workshop on Theoretial Physis 008. Penulis (AP) menyampaikan terimakasih kepada Indonesia Center for Theoretial and Mathematial Physis (ICTMP) yang mendukung penelitian ini

8 J. FIS. DA APL., VOL. 4, O., JUI 008 ITA FH, dkk. [1] Y. Fukuda dkk., Phys.ev.Lett. 81, 1158(1998); M.H. Ahn dkk.,phys.ev.lett. 90, (003); Q.. Ahmad dkk., Phys.ev.Lett. 89, ; 01130(00); K.Eguhi dkk., Phys.ev.Lett. 90, 0180(003). [] M. Gell-Mann, P.amond and. Slansky, in Supergravity, eds. P. van ieuwenhuizen and D. Freedman (orth Hollad, Amsterdam, 1979); T.Yanagida, in Proeedings of the Workshop on Unified Theories and Baryon umber in the Universe, eds. O.Sawada and A. Sugamoto (KEK, Tsukuba, 1979). [3] H. Fusaoka and Y. Koide, Phys. ev. D57, 3986 (1998). [4] J. Hashida, T. Morozumi, and A. Purwanto, Prog. Theor. Phys. 103, 379 (000); T.K. Kuo, G.H. Wu and S.W. Mansour, Phys. ev. D61, (000; T. Morozumi, T. Satou, M.. ebelo, M. Tanimoto, Phys. Lett. B (1997). [5] J.. Bahal, P.I. Krastev and A. Yu. Smirnov, Phys. ev. D58, (1998); D60, (1999). [6] B. Ponteorvo, Zh. Eksp. Teor. Fiz (1957); Z. Maki, M. akagawa, and S. Sakata, Prog. Theor. Phys. 8, 870 (196). [7] E. Kh. Akhmedov, Phys. Lett B467, 95 (1999). [8] M.Appolonio dkk. [CHOOZ Collab.], Phys.Lett. B40,397(1998). [9] Y. Fukuda dkk., Phys.ev.Lett. 81, 156(1998). [10] K.S. Babu, C.. Leung and J. Pantaleone, Phy. Lett. B (1993)