DESAIN LINEAR QUADRATIC REGULATOR PADA SISTEM INVERTED PENDULUM. Muhammad Wakhid Musthofa 1

Transkripsi

1 PROSIDING ISBN : DESAIN LINEAR QUADRATIC REGULATOR PADA SISTEM INVERTED PENDULUM T Muhammad Wakhid Musthoa Program Studi Matematika Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogakarta e mail: mwakhid_m@ahoo.com Abstak. Makalah ini membahas desain pengontrol tipe Linear Quadratic Regulator (LQR) untuk menstabilkan pendulum ang berada di atas kereta tetap dalam posisi terbalik dengan meminimumkan tenaga listrik ang disuplai ke dalam kereta. Selanjutna disajikan simulasi hasil perhitungan pengontrol untuk memberikan gambaran pengaruh kerja pengontrol dalam menstabilkan sistem. Kata kunci. linear quadratic regulator, optimal control, inverted pendulum.. Pendahuluan Inverted pendulum pada sebuah kereta bergerak adalah sistem klasik ang digunakan untuk mendemonstrasikan aspek teori dan aspek praktis dari teori kontrol. Sistem ini terdiri dari sebuah kereta ang pergerakanna sepanjang track terbatas pada gerak linear dan gerak batang ang dipasang pada kereta. Antara kereta dan batang dihubungkan dengan sebuah engsel. Kereta dilengkapi dengan sebuah motor ang menerima tenaga listrik (voltase) dan dari tenaga listrik tersebut dihasilkan tenaga putar (torsi) ang menggerakkan kereta (gambar ) []. Gambar. sistem inverted pendulum Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 9 95

2 PROSIDING ISBN : Tujuan pengontrolan pada sistem inverted pendulum pada umumna adalah menstabilkan pendulum tetap pada posisi terbalik dengan cara menggerak gerakkan kereta mengikuti arah jatuhna pendulum. Hal ini dapat diilustrasikan sebagaimana seorang pemegang tongkat ang harus meneimbangkan sebuah tongkat pada ujung jari jarina. Pada kondisi tersebut ia harus memperhatikan gerakan tongkat untuk menentukan kapan tongkat tersebut bergerak ke bawah kemudian tepat pada saat tersebut ia harus menggerakkan tanganna sesuai dengan gerakan tongkat tersebut. Analog dengan ilustrasi diatas, dalam sistem inverted pendulum harus diperhatikan sudut pendulum dan posisi kereta dan dengan eedback controller akan ditentukan voltase dari motor ang akan menggerakkan kereta melintas pada track dengan tetap mempertahankan posisi pendulum dalam keadaan terbalik. Tujuan utama pembahasan makalah ini adalah mendesain linear quadratic regulator (LQR) untuk menstabilkan posisi pendulum sehingga pendulum tetap dalam posisi terbalik dengan cara menggerakkan kereta dari satu posisi ke posisi ang lain sehingga state dari sistem tetap berada di sekitar titik equilibrium (titik asal). Masalah tersebut akan dinelesaikan dengan beberapa langkah berikut. Pada bagian akan diturunkan model matematika dari sistem inverted pendulum dengan menggunakan hukum Newton. Selanjutna pada bagian akan didesain teknik kontrol eedback jenis LQR untuk mengatasi ketakstabilan pada sistem inverted pendulum. Pada akhir pembahasan akan disajikan simulasi ang menggambarkan pengaruh kerja pengontrol dalam menstabilkan sistem. Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 9 95

3 PROSIDING ISBN : Model Matematika Gambar. sistem inverted pendulum Dengan menggunakan Hukum Newton pada inverted pendulum, didapat persamaanpersamaan sebagai berikut [] : d m ( + lsin ) F H () dt d m ( lcos ) F V mg () dt d ml F sin cos Vl FHl. () dt Sedangkan pada gerak kereta, diperoleh persamaan d M F c. () dt Dengan mengasumsikan F F maka dari persamaan () dan () diperoleh H V d ( M + m) + ml cos ml sin + F c. (5) dt Sedangkan dari persamaan () dan () diperoleh Besaran d l + cos g sin. (6) dt F c adalah gaa ang bekerja pada kereta ang dirumuskan dengan F c d sign d α V + α + α dt dt. (7) Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 9 95

4 PROSIDING ISBN : Suku pertama dari Fc menatakan gaa ang diberikan oleh motor pada kereta ang besarna proporsional terhadap voltase V ang diberikan pada motor. Suku kedua dari F c menatakan gaa gesek elektromotiv dari motor dan suku ketiga menatakan riksi Coulomb. Berdasarkan [] terdapat dalam persamaan persamaan di atas. pada tabel berikut ini disajikan besaran besaran ang Tabel. Nilai besaran pada persamaan () (7) lambang deskripsi nilai / unit M Massa kereta.95 kg m massa batang. kg l setengah dari panjang batang. m posisi kereta m sudut dari batang radian F gaa pada kereta N c g percepatan graitasi 9.8 m/s V voltase maksimum pada motor 5 V max α koeisien motor. N/V α koeisien gaa gesek elektromotiv 9. kg/s α koeisien riksi Coulomb N Dengan memilih scaling l (8) t V l t (9) g V u () max maka persamaan (5) dan (6) menjadi () ( ) ( ) + cos sin + u+ + sign () Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 9 95

5 PROSIDING ISBN : ( ) + sin cos () d dengan, d dan dt dt m. ( M + m) α V gm ( + m) max.6 l α gm+ m.6 () () (5) α gm ( + m).7. (6) Persamaan () dan () dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai cos sin + u+ + sign cos. (7) sin Persamaan (7) dapat ditulis sebagai sistem persamaan dalam (,,, ) T (,,, ) x v q sebagai T sin sin cos sign x + cos cos + cos cos sin cos sin + cossign cos cos cos + u cos cos cos () t Yaitu dalam bentuk standar dapat ditulis dengan ( ). (8) x () t ( x() t ) + g( x( t) ) u( t) dengan ( t) U dengan U adalah himpunan kontrol ang diperkenankan. ( ) ( ) u (9) Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 9 95

6 PROSIDING ISBN : Feedback Dalam masalah kontrol optimal ini eedback diperlukan karena dua alasan berikut [] :. State x (titik asal) pada sistem inverted pendulum bukan titik equilibrium ang stabil. Hal ini dikarenakan pada state tersebut pendulum masih dalam posisi terbalik. Secara matematis, dapat ditunjukkan bahwa nilai eigen matriks representasi sistem pada state tersebut mempunai bagian real ang positi. Untuk mengimplementasikan pengontrol kita perlu menstabilkan pendulum. Hal tersebut dikerjakan dengan mendesain LQR pada sistem.. Model matematika ang diturunkan dari gerak pendulum dan kereta tidaklah sempurna. Sehingga jika kontrol optimal diaplikasikan pada model tersebut maka pendulum tidak akan mencapai state ang diharapkan. Hal ini disebabkan kesalahan (error) pada model dan aktor aktor gangguan (disturbance). Pada prinsipna seberapa dekat pendulum mengikuti gerak kereta sangat bergantung pada seberapa akurat model tersebut diormulasikan. Untuk mengatasi hal tersebut maka diperlukan pelinearan pada sistem kemudian mendesain LQR pada sistem sehingga kontrol pada sistem tersebut mempunai eedback. Selanjutna untuk mendesain kontrol optimal dari sistem ang berupa LQR dimulai dengan melinearkan persamaan state space sistem (8) ang telah tak berdimensi pada titik x (,,,) sebagai berikut. Persamaan (8) dapat ditulis sebagai dengan () t ( x( t) ) g( x( t) ) u( t) x + (9), (), (5) ( ) sin sin cos + sign ( ) cos cos cos + +, (6) Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 9 955

7 PROSIDING ISBN : Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember ( ) ( ) sin cos sin cos sign cos cos cos cos + + +, (7) g, (8) g, (9) cos g, () cos cos g. () Maka, matriks Jacobian dari sistem (8) adalah A dan di titik asal ( ),,, x dihasilkan matriks A dan b. Sehingga dari sistem (8) didapat sistem linear () ( ) ( ) x t Ax t bu t + () dengan A dan b sebagaimana dideinisikan diatas. Dalam keadaan stead state, ingin dicari kontrol ( ) t u ang meminimalkan indeks perormansi[] ( ) () () () T J u x t Qx t ru t dt + () dengan > Q dan > r merupakan bobot untuk x dan u.

8 PROSIDING ISBN : Input kontrol u () t dihitung dengan rumus atau T () b Sx () t u t () r () Kx( t) u t dengan S adalah penelesaian dari persamaan aljabar Riccati dan S >. T T SA A S + bb S Q (5) r Dengan mengambil matriks Q I dan r maka dengan menelesaikan persamaan aljabar Riccati (5) didapatkan kontrol u( t) Kx( t) dan dengan K [ ] S Simulasi Pengaruh Pengontrol pada Sistem Berikut ini dipaparkan pengaruh dari kontrol u( t) Kx( t) pendulum ang didisajikan dalam beberapa graik berikut. terhadap sistem inverted Gambar. dan. menunjukkan pengaruh pengontrol u( t) Kx( t) dalam gerak transersal dari sistem. Dari gambar tersebut terlihat bahwa gerak transersal dari sistem dapat distabilkan ke titik asal setelah detik 8 detik. Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 9 957

9 PROSIDING ISBN : Gambar. gerak transersal sistem tanpa kontrol Gambar. gerak transersal sistem dengan kontrol u t Kx t dalam gerak Gambar 5. dan 6. menunjukkan pengaruh pengontrol ( ) ( ) putar dari sistem. Dari gambar tersebut terlihat bahwa gerak putar dari sistem dapat distabilkan ke titik asal setelah detik 6 detik. Gambar 5. gerak putar sistem tanpa kontrol Gambar 6. gerak putar sistem dengan kontrol Gambar 7. dan 8. menunjukkan pengaruh pengontrol u( t) Kx( t) dalam kecepatan transersal dari sistem. Dari gambar tersebut terlihat bahwa kecepatan transersal dari sistem dapat distabilkan ke titik asal setelah detik 6 detik. Gambar 7. kecepatan transersal sistem tanpa kontrol Gambar 8. kecepatan transersal dengan kontrol Gambar 9. dan. menunjukkan pengaruh pengontrol u( t) Kx( t) dalam kecepatan putar dari sistem. Dari gambar tersebut terlihat bahwa kecepatan putar dari sistem dapat distabilkan ke titik asal setelah detik 8 detik. Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 9 958

10 PROSIDING ISBN : Gambar 9. kecepatan putar sistem tanpa kontrol Gambar. kecepatan putar sistem dengan kontrol Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa desain pengontrol ang dibuat pada sistem inverted pendulum dapat menstabilkan sistem tersebut untuk tetap berada di titik asal. 5. Kesimpulan Dalam malakah ini telah dikaji desain pengontrol pada sistem inverted pendulum ang menstabilkan sistem tersebut dengan meminimumkan tenaga listrik ang disuplaikan pada kereta. Pengaruh kerja pengontrol dalam menstabilkan sistem juga telah disajikan melalui simulasi hasil peritungan. Namun demikian, permasalahan dalam kajian ini masih cukup sederhana. Sehingga pengembangan permasalahan seperti menstabilkan pendulum di atas kereta ang sedang dalam posisi bergerak atau permasalahan ang lainna dapat menjadi bahan kajian lebih lanjut. 6. Reerensi [] Astrom, K. J., Futura, K., (), Swinging up a Pendulum b Energ Control, Automatica, Vol. 6 pp [] Earl, M.G., D Andrea, R., (5), Design and Implementation o a Minimum Time Translation or an Inverted Pendulum, Proceeding o the Asian Conerence o Industrial Automation and Robotic, Bangkok. [] Lewis, F. L., Srmos, V. L., (995), Optimal Control, John Wile and Sons, pp 7 7. [] Olsder, G. J., (99), Mathematical Sstems Theor, 99, Deltse Ultgevers Maatschappij, Netherland, pp 6. Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 9 959