PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

Transkripsi

1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS Obyektif : 1. Mahasiswa mengetahui tentang Matriks 2. Mahasiswa mengerti tentang penjumlahan matriks 3. Mahasiswa mengerti tentang pengurangan matriks Definisi Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan secara empat persegi panjang (menurut baris-baris dan kolom-kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks. Contoh : baris 1 A = -7 ½ 9 baris baris 3 kolom Notasi Matriks (Penamaan Matriks) Dapat ditulis dengan huruf besar A, B, S, T dan lain-lain. Bentuk umum dari suatu matriks adalah : Nama matriks = (indeks baris, indeks kolom) 1

2 Sebagai contoh pada matriks A diatas : - berordo 3 x3, ordo yang dimaksud adalah jumlah baris x jumlah kolom - A(1, 1) = 1 - A(2, 3) = 9 dst Kesamaan Matriks Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama jika jumlah baris dan kolomnya sama (berordo sama). PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS dapat dilakukan hanya untuk dua buah matriks atau lebih yang berordo sama (mempunyai jumlah baris dan kolom sama). Contoh : A = B = A + B = 2+(-5) = A - B = 2-(-5) =

3 Logika Program Penjumlahan & Pengurangan Matriks 1. Program dibuat dengan berdasarkan pada basis object dan juga menggunakan menu, yang terdiri dari input matrik, penjumlahan matriks, pengurangan matriks serta exit program. 2. Deklarasi variable dan procedure-procedure yang digunakan. 3. Pendeklarasian ulang variable berorientasi object dengan nama variable lain. 4. Membuat procedure t.input untuk melakukan penginputan matrik. Procedure ini akan dipanggil jika adri menu kita memilih yang nomor Procedure t.tampil akan dieksekusi jika proses menginput data sudah selesai. 6. Menu pilihan ke-2 akan memproses procedure t.tambah untuk melakukan untuk melakukan proses penjumlahan dua matrik. 7. Menu pilian ke 3 akan memproses procedure t.kurang untuk melakukan proses pengurangan matrik. 8. Pada bagian program utama dibuat menu dan akan keluar dari program tersebut jika memilih angka menu untuk keluar. 3

4 PERKALIAN MATRIKS Obyektif : 4. Mahasiswa memahami tentang perkalian skalar matriks 5. Mahasaiswa mampu membuat program perkalian matriks dengan pemrogran pascal. Perkalian Matriks : Dua matriks yang akan dikalikan atau dibagi dapat dilakukan dengan syarat : jumlah kolom matriks pertama = jumlah baris matriks kedua Suatu matriks dapat pula dikalikan atau dibagi oleh suatu besaran skalar. Sebagai contoh Matriks A dan B diatas akan dilakukan operasi : A x B = = x (6x9)+(3x(-5))+(2x0) (6x3)+(3x9)+(2x2) (6x1)+(3x3)+(2x1) = (2x9)+(4x(-5))+(3x0) (2x3)+(4x9)+(3x2) (2x1)+(4x3)+(3x1) (1x9)+(0x(-5))+(1x0) (1x3)+(0x9)+(1x2) (1x1)+(0x3)+(1x1) 2 x A = = 2 x

5 x6 2x3 2x2 = 2x2 2x4 2x3 2x1 2x0 2x = Beberapa Hukum Perkalian pada Matriks : 1. A(B + C) = AB + AC = BA + CA, memenuhi hukum distributif 2. A(BC) = (AB)C, memenuhi hukum asosiatif 3. Perkalian tidak komutatif, AB BA 4. Jika AB + 0 (matriks nol) yaitu matriks yang semua elemennya = 0, kemungkinan-kemungkinannya : a. A = 0 dan B = 0 b. A = 0 dan B = 0 c. A 0 dan B 0 5. Bila AB = AC belum tentu B = C. Syarat Perkalian Dua Matriks 5

6 Jika matriks A m x n dan matriks B p x q dikalikan, maka : Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya kolom matriks B, sehingga n = p Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo m x q Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks A dengan setiap elemen kolom matriks B yang sesuai Contoh 1 Diketahui matriks-matriks : Manakah diantara operasi-operasi perkalian matriks berikut yang dapat dilakukan : a. A x B Dapat, karena ordo matriks A adalah 2x3 dan ordo matriks B adalah 3x2, kolom matriks A sama dengan baris matriks B b. A x C Tidak, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks A tidak sama dengan baris matriks C c. B x C Dapat, ordo matriks B adalah 3x2 dan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks B sama dengan baris matriks C d. C x D Tidak, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2, kolom matriks C tidak sama dengan baris matriks D 6

7 TRANSPOSE MATRIKS Obyektif : 6. Mahasiswa memahami tentang transpose matriks 7. Mahasisswa memahami logika program transpose matriks 8. Mahasaiswa mampu membuat program transpose matriks dengan pemrogran pascal. Transpose Matriks ( T ) Jika suatu matriks A berukuran mxn, maka matriks transpose A akan berukuran nxm atau dengan kata lain elemen baris dari matriks A akan menjadi elemen kolom matriks A (baris jadi kolom). Contoh : A = A T = Penjelasan : Baris 1 pada matriks A, berubah menjadi kolom 1 pada matriks A T. Begitu juga pada baris 2 dan 3 pada matriks A, berubah menjadi kolom 2 dan 3 pada matriks A T. Matriks A yang berordo 3x3 setelah ditranspose tetap berordo 3x3. Beberapa Sifat Matriks Transpose : (A+B)T = AT + BT (AT)T = A χ(at) = (χa)t, bila suatu skalar (AB)T = BTAT 7

8 Determinan Matriks (det) Syarat : Determinan hanya dapat dilakukan untuk matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Contoh : Terdapat suatu matriks A berukuran (2x2) seperti dibawah ini : a b c d maka det(a) = ad bc. Contoh lain terdapat suatu matriks B (berukuran 2x2) seperti dibawah ini : maka det(b) = (1x5) (2x4) = 5 8 = -3 Berapa determinan dari matriks C berikut ini? Penyelesaian : (-) (-) (-) (+) (+) (+) maka det(c) = (2x6x1) + (3x7x8) + (4x5x9) (8x6x4) (9x7x2) (1x5x3) = = 30 Sifat-sifat Determinan : det(a) = det(a T ) Tanda determinan berubah apabila dua baris/kolom ditukar tempatnya Contoh : 8

9 = = Harga suatu determinan menjadi 1 kali, bila suatu baris/kolom dikalikan dengan 1 (suatu skalar). Contoh : A = bila baris 1 dikalikan 4 maka akan diperoleh A = = = 4 A Harga determinan tidak berubah apabila baris/kolom ke-i ditambah dengan χ baris/kolom ke-j Logika Program Transpose 1. Program ini dibuat dengan berbasis object. Program ini juga menggunakan menu untuk memilih proses yang diinginkan. Menunya terdiri dari input matrik, transpose matrik, determinan matrik dan keluar. 2. Mendeklarasikan variable-variabel dan procedure yang digunakan untuk melakukan penginputan matrik adalah procedure t.input. 3. Melakukan proses penginputan matrik yang berordo 2. Procedure untuk melakukan penginputan matrik adalah procedure t.input. 4. Procedure t.tampil digunakan untuk menampilkan dalam bentuk matrik dari hasil penginputan matrik sebelumnya. 9

10 5. Kemudian apabila memilih menu 2, maka akan ditampilkan transpose dilakukan dengan menukar baris dengan kolom. 6. Apabila memilih menu 3 maka akan dilakukan proses penghitungan determinan dari matrik yang diinput. Rumus untuk menghitung determinan matrik, det = a.d b.c 7. Program tidak akan berhenti sampai memilih menu 4 untuk keluar dari program. Program Menu Transpose {program Transpose dan Determinan} uses crt; type t = object m1,m2 : array [1..2,1..2] of integer; lok : array [1..4] of integer; procedure input; procedure deter; procedure tampil; procedure transpos; var m :t; i, j, k, pil, det1, det2 : integer; procedure t.input; clrscr; writeln (' Input Matrik I'); for i:= 1 to 2 do for j := 1 to 2 do write ('Elemen Matrik [',i,',',j,']:'); readln (m1[i,j]); gotoxy (35,1); writeln('input Matrik II');k:=2; for i:= 1 to 2 do for j := 1 to 2 do gotoxy (35,k);inc (k); write ('elemen Matrik [',i,',',j,']: '); readln (m2[i,j]); 10

11 procedure t.tampil; writeln; writeln(' *Matrik I*'); writeln (m1[1,1]:5,m1[1,2]:5); writeln (m1[2,1]:5,m1[2,2]:5); gotoxy(35,7);writeln('* Matrik II *'); gotoxy (35,8);writeln (m2[1,1]:5,m2[1,2]:5); gotoxy (35,9);writeln (m2[1,1]:5,m2[2,2]:5); readln; procedure t.deter; det1 := (m1[1,1]*m1[2,2])-(m1[1,2]*m1[2,1]); det2 := (m2[1,1]*m2[2,2])-(m2[1,2]*m2[2,1]); writeln; writeln ('Determinan Matrik I = ',det1); writeln ('Determinan Matrik II = ',det2); readln; Procedure t.transpos; writeln;writeln ('* Transpose Matrik I *'); writeln(m1[1,1]:5,m1[2,1]:5); writeln(m1[1,2]:5,m1[2,2]:5); gotoxy(35,9);writeln('* Transpose Matrik II *'); gotoxy(35,10);writeln(m2[1,1]:5,m2[2,1]:5); gotoxy(35,11);writeln(m2[1,2]:5,m2[2,2]:5); readln; repeat clrscr; gotoxy(25,1);writeln ('****** Menu Matrik ******'); gotoxy(25,2);writeln ('1. Input Matrik'); gotoxy(25,3);writeln ('2. Transpose Matrik'); gotoxy(25,4);writeln ('3. Determinan Matrik'); gotoxy(25,5);writeln ('4. Keluar'); gotoxy(27,7);write ('pilihan [1..4] :'); readln(pil); case pil of 11

12 1 : m.input; m.tampil; 2 : m.transpos; 3 : m.deter; end. until (pil)=4 Output ****** Menu Matrik ****** 1. Input Matrik 2. Transpose Matrik 3. Determinan Matrik 4. Keluar Pilihan [1..4] :1 Input Matrik I input Matrik II Elemen Matrik [1,1]:2 elemen Matrik [1,1]: 4 Elemen Matrik [1,2]:3 elemen Matrik [1,2]: 2 Elemen Matrik [2,1]:5 elemen Matrik [2,1]: 6 Elemen Matrik [2,2]:3 elemen Matrik [2,2]: 1 *Matrik I* * Matrik II * ****** Menu Matrik ****** 1. Input Matrik 2. Transpose Matrik 3. Determinan Matrik 4. Keluar Pilihan [1..4] :2 12

13 * Transpose Matrik I * * Transpose Matrik II * ****** Menu Matrik ****** 1. Input Matrik 2. Transpose Matrik 3. Determinan Matrik 4. Keluar Pilihan [1..4] :3 Determinan Matrik I = -9 Determinan Matrik II = -8 13

14 ADJOIN MATRIKS Obyektif : 9. Mahasiswa memahami tentang Adjoin matriks 10. Mahasaiswa mampu membuat program Adjoin matriks dengan pemrogran pascal. MATRIKS ADJOIN Pandang matriks A = (a ij ) diatas. Kita sebut kofaktor dari elemen a ij, maka transpose dari matriks (A ij ) disebut MATRIKS ADJOIN dari A. A 11 A 21. A n1 adj. A = A 12 A 22. A n A 1n A 1n. A nn Contoh : Kita hendak mencari matriks adjoin dari A = Maka kofaktor dari kesembilan elemen dari A adalah sebagai berikut : A 11 = = -18, A 12 = = 2, A 13 = = 4, A 21 = = -11, A 22 = = 14, A 23 = = 5, A 31 = = -10, A 32 = = -4,

15 A 33 = = Jadi adj. A = Dengan pertolongan matriks adjoin kita dapat mencari invers suatu matriks, menggunakan rumus : A -1 = adj.a, dengan syarat det(a) det(a) Contoh : Kita dapat mencari A -1 dengan mengunakan matriks adjoin sebagai berikut : A = , maka A 11 = 3; A 12 = -4; A 21 = -1; A 22 = 2. adj.a = 3-1, det(a) = 2 1 = / 2 -½ Jadi A -1 = = Contoh : det(a) = = =

16 Jadi A -1 = adj.a = = det(a) / / 46 5 / 23-1 / 23-7 / 23 2 / 23-2 / 23-5 / 46 2 / 23 16

17 DETERMINAN MATRIKS Obyektif : 11. Mahasiswa memahami tentang determinan matriks 12. Mahasiswa memahami logika dari pemrograman determinan matriks 13. Mahasaiswa mampu membuat program determinan matriks dengan pemrogran pascal. Determinan Matriks (det) Syarat : Determinan hanya dapat dilakukan untuk matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Contoh : Terdapat suatu matriks A berukuran (2x2) seperti dibawah ini : a b c d maka det(a) = ad bc. Contoh lain terdapat suatu matriks B (berukuran 2x2) seperti dibawah ini : maka det(b) = (1x5) (2x4) = 5 8 = -3 Berapa determinan dari matriks C berikut ini? Penyelesaian : (-) (-) (-) (+) (+) (+) maka det(c) = (2x6x1) + (3x7x8) + (4x5x9) (8x6x4) (9x7x2) (1x5x3) =

18 = 30 Sifat-sifat Determinan : det(a) = det(a T ) Tanda determinan berubah apabila dua baris/kolom ditukar tempatnya Contoh : = = Harga suatu determinan menjadi 1 kali, bila suatu baris/kolom dikalikan dengan 1 (suatu skalar). Contoh : A = bila baris 1 dikalikan 4 maka akan diperoleh A = = = 4 A Harga determinan tidak berubah apabila baris/kolom ke-i ditambah dengan χ baris/kolom ke-j Logika Program Determinan 8. Program ini dibuat dengan berbasis object. Program ini juga menggunakan menu untuk memilih proses yang diinginkan. Menunya terdiri dari input matrik, transpose matrik, determinan matrik dan keluar. 18

19 9. Mendeklarasikan variable-variabel dan procedure yang digunakan untuk melakukan penginputan matrik adalah procedure t.input. 10. Melakukan proses penginputan matrik yang berordo 2. Procedure untuk melakukan penginputan matrik adalah procedure t.input. 11. Procedure t.tampil digunakan untuk menampilkan dalam bentuk matrik dari hasil penginputan matrik sebelumnya. 12. Kemudian apabila memilih menu 2, maka akan ditampilkan transpose dilakukan dengan menukar baris dengan kolom. 13. Apabila memilih menu 3 maka akan dilakukan proses penghitungan determinan dari matrik yang diinput. Rumus untuk menghitung determinan matrik, det = a.d b.c 14. Program tidak akan berhenti sampai memilih menu 4 untuk keluar dari program. Program Menu Determinan {program Transpose dan Determinan} uses crt; type t = object m1,m2 : array [1..2,1..2] of integer; lok : array [1..4] of integer; procedure input; procedure deter; procedure tampil; procedure transpos; var m :t; i, j, k, pil, det1, det2 : integer; procedure t.input; clrscr; writeln (' Input Matrik I'); for i:= 1 to 2 do for j := 1 to 2 do write ('Elemen Matrik [',i,',',j,']:'); readln (m1[i,j]); 19

20 gotoxy (35,1); writeln('input Matrik II');k:=2; for i:= 1 to 2 do for j := 1 to 2 do gotoxy (35,k);inc (k); write ('elemen Matrik [',i,',',j,']: '); readln (m2[i,j]); procedure t.tampil; writeln; writeln(' *Matrik I*'); writeln (m1[1,1]:5,m1[1,2]:5); writeln (m1[2,1]:5,m1[2,2]:5); gotoxy(35,7);writeln('* Matrik II *'); gotoxy (35,8);writeln (m2[1,1]:5,m2[1,2]:5); gotoxy (35,9);writeln (m2[1,1]:5,m2[2,2]:5); readln; procedure t.deter; det1 := (m1[1,1]*m1[2,2])-(m1[1,2]*m1[2,1]); det2 := (m2[1,1]*m2[2,2])-(m2[1,2]*m2[2,1]); writeln; writeln ('Determinan Matrik I = ',det1); writeln ('Determinan Matrik II = ',det2); readln; Procedure t.transpos; writeln;writeln ('* Transpose Matrik I *'); writeln(m1[1,1]:5,m1[2,1]:5); writeln(m1[1,2]:5,m1[2,2]:5); gotoxy(35,9);writeln('* Transpose Matrik II *'); gotoxy(35,10);writeln(m2[1,1]:5,m2[2,1]:5); gotoxy(35,11);writeln(m2[1,2]:5,m2[2,2]:5); readln; repeat clrscr; 20

21 gotoxy(25,1);writeln ('****** Menu Matrik ******'); gotoxy(25,2);writeln ('1. Input Matrik'); gotoxy(25,3);writeln ('2. Transpose Matrik'); gotoxy(25,4);writeln ('3. Determinan Matrik'); gotoxy(25,5);writeln ('4. Keluar'); gotoxy(27,7);write ('pilihan [1..4] :'); readln(pil); case pil of 1 : m.input; m.tampil; 2 : m.transpos; 3 : m.deter; end. until (pil)=4 Output ****** Menu Matrik ****** 1. Input Matrik 2. Transpose Matrik 3. Determinan Matrik 4. Keluar Pilihan [1..4] :1 Input Matrik I input Matrik II Elemen Matrik [1,1]:2 elemen Matrik [1,1]: 4 Elemen Matrik [1,2]:3 elemen Matrik [1,2]: 2 Elemen Matrik [2,1]:5 elemen Matrik [2,1]: 6 Elemen Matrik [2,2]:3 elemen Matrik [2,2]: 1 *Matrik I* * Matrik II *

22 ****** Menu Matrik ****** 1. Input Matrik 2. Transpose Matrik 3. Determinan Matrik 4. Keluar Pilihan [1..4] :2 * Transpose Matrik I * * Transpose Matrik II * ****** Menu Matrik ****** 1. Input Matrik 2. Transpose Matrik 3. Determinan Matrik 4. Keluar Pilihan [1..4] :3 Determinan Matrik I = -9 Determinan Matrik II = -8 22

23 INVERS MATRIKS Obyektif : 14. Mahasiswa memahami tentang invers matriks 15. Mahasiswa memahami logika dari pemrograman inversmatriks 16. Mahasaiswa mampu membuat program invers matriks dengan pemrogran pascal. Logika Program Matriks Invers 1. Program menu invers ini dibuat berbasis object. Menunya terdiri dari input matrik, matrik invers, dan keluar. 2. Mendeklarasikan variabel-variabel dan procedure yang digunakan. 3. Menu pertama melakukan penginputan matrik. Pertama memilih ordo yang diinginkan dari matrik tersebut. Ordo 2 atau 3. Procedure t.input. akan melakukan jumlah penginputan sesuai dengan ordo matrik. 4. Menu ke-2 akan menampilkan proses penghitungan determinan matrik. 5. Program akan berakhir jika memilih pilihan ke-3 untuk keluar. Program Matrik Invers uses crt; type matrik = object emat, kof : array [1..3,1..3] of integer; procedure input; procedure tampil; procedure invers;procedure invers2; procedure invers3; var i,j,ordo,det,pil : integer; mat : matrik; procedure matrik.input; 23

24 writeln ; write ('Masukan Elemen Matrik ',ordo,'x',ordo); writeln; for i := 1 to ordo do for j := 1 to ordo do write ('Elemen [',i,',',j,'] = '); readln (emat[i,j]); procedure matrik.tampil; writeln; for i:=1 to ordo do for j:= 1 to ordo do write (emat[i,j]:5,' '); writeln; readln; procedure matrik.invers; if ordo = 2 then matrik.invers2 else matrik.invers3; procedure matrik.invers2; writeln; det := (emat[1,1]*emat[2,2])- (emat[1,2]*emat[2,1]); writeln ('Determinan Matrik = ',det);writeln; writeln ('Matrik Inversnya :'); writeln; writeln (emat[2,2],'/',det,' ','- ',emat[1,2],'/',det); writeln('-',emat[2,1],'/',det,' ',emat[1,1],'/',det); readln; procedure matrik.invers3; 24

25 var deta, detb : integer; {emat, kof : array [1..3,1..3] of integer;} deta:= ((emat[1,1] * emat[2,2] * emat[3,3]) + (emat[1,2] * emat[2,3] * emat[3,1]) + (emat[1,3] * emat[2,1] * emat[3,1])); detb:= ((emat[1,3] * emat[2,2] * emat[3,1]) + (emat[2,3] * emat[3,2] * emat[1,1]) + (emat[1,2] * emat[2,1] * emat[3,3])); det := deta - detb; writeln;writeln ('Determinan Matrik = ', det);writeln; kof[1,1]:=(emat[2,2]*emat[3,3])- (emat[3,2]*emat[2,3]); kof[1,2]:=(emat[2,1]*emat[3,3])- (emat[2,3]*emat[3,1]); kof[1,3]:=(emat[2,1]*emat[3,2])- (emat[2,2]*emat[3,1]); kof[2,1]:=(emat[1,2]*emat[3,3])- (emat[1,3]*emat[3,2]); kof[2,2]:=(emat[1,1]*emat[3,3])- (emat[1,3]*emat[3,1]); kof[2,3]:=(emat[1,1]*emat[3,2])- (emat[1,2]*emat[3,1]); kof[3,1]:=(emat[1,2]*emat[2,3])- (emat[1,3]*emat[2,2]); kof[3,2]:=(emat[1,1]*emat[2,3])- (emat[1,3]*emat[2,1]); kof[3,3]:=(emat[1,1]*emat[2,2])- (emat[1,2]*emat[2,1]); writeln ('Matrik Adjoin :');writeln; for i :=1 to 3 do for j:= 1 to 3 do write (kof[i,j]:8,' '); writeln; writeln;writeln ('Matrik Invers :');writeln; for i:= 1 to 3 do for j:= 1 to 3 do write (kof[i,j],'/',det,' '); writeln; 25

26 readln; repeat clrscr; gotoxy (25,1);writeln ('***** Menu Matrik *****'); gotoxy (25,2);writeln ('1. Input Matrik'); gotoxy (25,3);writeln ('2. Matrik Invers'); gotoxy (25,4);writeln ('3. Keluar'); gotoxy (25,5);writeln ('************************'); gotoxy (27,6);write ('Pilihan [1..3] :'); readln (pil); case pil of 1 : mat.input; mat.tampil; 2 : mat.invers; end. until (pil) = 3; Output Masukan Ordo Matrik [2/3] : 3 Masukan Elemen Matrik 3x3 Elemen [1,1] = 2 Elemen [1,2] = 5 Elemen [1,3] = 3 Elemen [2,1] = 9 Elemen [2,2] = 2 Elemen [2,3] = 1 Elemen [3,1] = 4 Elemen [3,2] = 5 ***** Menu Matrik ***** 1. Input Matrik 2. Matrik Invers 3. Keluar ************************ Pilihan [1..3] :1 26

27 Elemen [3,3] = Determinan Matrik = -193 Matrik Adjoin : ***** Menu Matrik ***** 1. Input Matrik 2. Matrik Invers 3. Keluar ************************ Pilihan [1..3] : Matrik Invers : 9/ / / /-193 2/ /-193-1/ / /

28 PERSAMAAN LINIER DAN VEKTOR Obyektif : 17. Mahasiswa memahami tentang persamaan linier dan vector 18. Mahasiswa memahami tentang dot produk dan sudut antara 2 vektor 19. Mahasaiswa mampu membuat program persamaan linier dan vector dengan pemrogran pascal. 28