PELABELAN GRACEFUL (GRACEFUL LABELING) PADA GRAF SUPERSTAR S 5,n SKRIPSI. Oleh : ZAINIATUL MUARRIFAH NIM

Transkripsi

1 PELABELAN GRACEFUL GRACEFUL LABELING) PADA GRAF SUPERSTAR S 5,n SKRIPSI Oleh : ZAINIATUL MUARRIFAH NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI UIN) MALANG MALANG 008

2 PELABELAN GRACEFUL GRACEFUL LABELING) PADA GRAF SUPERSTAR S 5,n SKRIPSI Dajukan Kepada: Unerstas Islam Neger Malang Untuk Memenuh Salah Satu Persyaratan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sans S. S) Oleh : ZAINIATUL MUARRIFAH NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI UIN) MALANG MALANG 008

3 PELABELAN GRACEFUL GRACEFUL LABELING) PADA GRAF SUPERSTAR S 5,n SKRIPSI Oleh : ZAINIATUL MUARRIFAH NIM Telah dsetuju untuk duj Malang, 6 Februar 008 Dosen pembmbng I Dosen Pembmbng II Wahyu Henky Irawan, M.Pd NIP Ahmad Barz, M.A NIP Mengetahu, Ketua Jurusan Matematka Sr Harn, M. S NIP

4 PELABELAN GRACEFUL GRACEFUL LABELING) PADA GRAF SUPERSTAR S 5,n SKRIPSI Oleh ZAINIATUL MUARRIFAH NIM Telah Dpertahankan D Depan Dewan Penguj Skrps dan Dnyatakan Dterma Sebaga Salah Satu Persyaratan Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sans Tanggal Aprl 008 Susunan Dewan Penguj: Tanda Tangan. Penguj Utama : Dr. Yus M. Cholly, M.S ). Ketua : Abdussakr, M.Pd ) 3. Sekretars : Wahyu Henky Irawan, M.Pd ) 4. Anggota : Ahmad Barz, M.A ) Mengetahu dan mengesahkan, Ketua Jurusan Matematka Sr Harn, M. S NIP

5 Allanghendak kemudahan bagmu, dan t dak menghendak kesukaran bagmu

6 PERSEMBAHAN Robby tak lupa kutengadahkan tangan untuk syukur nkmat dan rdhomu. Dengan kerendahanku kusadar betapa kerdl semesta eksstensku d hadapanmu, mesk serngkal alunan-alunan syukur d dada d gelayut rasa malu, namun lewat gulr tasbh dan detak jantungku, berbu hamdalah terlantun syahdu d setap sujudku untuk seluruh karunamu Dengan kerendahan hat, kupersembahkan karya keclku untuk: Ayah Achmad Zan dan Bunda Wasatus shodaryah makash banyak untuk do,a dan kash sayang yang senantasa mengalr untuk nanda, maafn nanda karena hanya n yang bsa nanda berkan saat n. Semoga Allah membuka pntu kebahagaannya untuk kta ) Adk keclku yang udah mula dewasa Zanun t et ap semangat dan rajn belajar ya walau bagamanapun keadaan kta saat n) Keluarga besarku mbah putr, bu an, bapak, mas qod, mas bashor, mbak um dan kedua ponakanku tersayang), makash banget atas dukungan dan kepedulannya ma aku. karena keluarga nlah aku dapatkan banyak hal dan segalanya yang aku car. Mas Dzanneku, jangan pernah lelah ya dengern keluh kesahku..makash banget atas semuanya, atas dukungan,semangat dan ketulusan mas. Mas dah banyak ngajar aku tentang kehdupan dan kesabaran hngga aku bsa tetap berjalan d jalanku dengan penuh keyaknan. Sodar dan best frendku e, t ek swa kecl, nyt ha, emot h) Har- harku d kampus n banyak ters oleh kebersamaan bersama kalan. So thanks so much untuk semangat, motas dan semuanya. tetap jaga hubungan kta ya? Akhrnya.. kt a bsa wsuda bareng!! Loe U all

7 KATA PENGANTAR Puj syukur ke hadrat Allah Swt., penguasa alam semesta dan snya n, atas rahmat, karuna, dan hdayahnya sehngga penulsan skrps yang berjudul Pelabelan Graceful Graceful Labelng) pada Graf Superstar S5,n dapat terselesakan dengan bak. Shalawat serta salam tetap terlmpahkan atas junjungan Nab Muhammad Saw., yang telah memberkan tuntunan dan sur tauladan kepada seluruh makhluk menuju jalan yang drdho Nya yatu Dnul Islam yang dterang dengan cahaya kemanan. Kranya penuls menyadar sepenuhnya bahwa penyelesaan skrps n telah banyak mendapatkan bantuan dan dorongan semangat dar berbaga phak. Oleh karena tu dengan segala kerendahan dan ketulusan hat, penuls ngn mengucapkan hormat dan terma kash yang setngg-tnggnya kepada:. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo, selaku Rektor UIN Malang.. Prof. Drs. Sutman Bambang Sumtro, SU., DSc, selaku dekan Fakultas Sans dan Teknolog UIN Malang. 3. Sr Harn, M.S, selaku ketua Jurusan Matematka Fakultas Sans dan Teknolog UIN Malang. 4. Wahyu Henky Irawan, M.Pd, selaku dosen pembmbng matematka yang telah berseda meluangkan waktunya untuk memberkan pengarahan kepada penuls dalam penulsan skrps n. 5. Ahmad Barz, M.A, selaku dosen pembmbng kajan keagamaan yang telah banyak membmbng dan memberkan masukan kepada penuls.

8 6. Semua dosen dan Guru-guru yang telah menyalurkan lmunya kepada penuls sehngga penuls bsa terus melangkah menyelesakan skrps n. 7. Ayah, Ibu, dan Adk tersayang yang telah member dukungan penuh dan lmpahan do a terhadap penuls. 8. Rekan-rekan matematka 003 yang telah memberkan semangat dan motas kepada penuls. 9. Kepada semua phak yang telah banyak membantu yang tdak bsa penuls sebutkankan satu persatu. Tada balasan yang dapat penuls berkan selan doa, semoga Allah Swt menerma dan memberkan mbalan yang lebh atas jerh payah serta memberkan perlndungan kepada kta semua. Penuls menyadar sepenuhnya bahwa skrps n jauh dar kesempurnaan. Oleh karena tu, saran dan krtk yang bersfat konstruktf dar para pembaca sangat penuls harapkan. Akhrnya, hanya kepada Allah Swt. penuls berserah dr dan semoga skrps n bermanfaat bag penuls pada khususnya dan semua phak pada umumnya. Malang, 3 Februar 008 Penuls

9 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... ABSTRAK... BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah.... Rumusan Masalah Tujuan Peneltan Manfaat Peneltan Sstematka Penulsan...7 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Defns Graf...9. Dasar-dasar Graf Jens-jens Graf Fungs Pelabelan Graceful...9 BAB III PEMBAHASAN 3. Pelabelan Graceful pada Graf Superstar S 5,n...3 BAB IV PENUTUP 4. Kesmpulan Saran...59 DAFTAR PUSTAKA

10 DAFTAR GAMBAR No Judul Halaman Gambar. : Graf dengan Hmpunan Ttk V dan Hmpunan Ss E...0 Gambar. : Representas Graf Terhadap Waktu-Waktu Shalat...4 Gambar.3 : Graf untuk Menglustraskan Adjacent dan Incdent...5 Gambar.4 : Graf yang Mengandung Loop dan Ss Ganda...5 Gambar.5 : Graf Representas Ibadah Sa...7 Gambar.6 : Graf untuk Menglustraskan Derajat suatu Ttk...7 Gambar.7 : Graf untuk Menglustraskan Jalan, Tral, dan Lntasan...8 Gambar.8 : Graf Representas Hjrah Nab...9 Gambar.9 : Graf Terhubung dan Graf Tak Terhubung...0 Gambar.0 : Graf Lntasan P 4 dan P Gambar. : Graf Superstar S 5, 3... Gambar. : Susunan Tata Surya... Gambar.3 : Representas Tata surya pada Graf Superstar S,3...3 Gambar.4 : Ilustras Fungs...4 Gambar.5 : Fungs f : X Y...5 Gambar.6 : Fungs Satu-Satu...6 Gambar.7 : Fungs Onto...6 Gambar.8 : Fungs Bjektf...7 Gambar.9 : Ilustras Pasangan dalam Bentuk Fungs...8 Gambar.0 : Graf Graceful...30 Gambar 3. : Graf Superstar S 5,n...3 Gambar 3. : Penotasan Graf Superstar S 5,...3

11 Gambar 3. 3 : Pelabelan Graf Superstar S 5,...33 Gambar 3. 4 : Penotasan Graf Superstar S 5,...35 Gambar 3. 5 : Pelabelan Graf Superstar S 5,...35 Gambar 3. 6 : Penotasan Graf Superstar S 5, Gambar 3. 7 : Pelabelan Graf Superstar S 5, Gambar 3. 8 : Penotasan Graf Superstar S 5, Gambar 3. 9 : Pelabelan Graf Superstar S 5,4...43

12 ABSTRAK Muarrfah, Zanatul. 008, Pelabelan Graceful Graceful Labelng) pada Graf Superstar S 5,n, Skrps, Jurusan Matematka Fakultas Sans dan Teknolog Unerstas Islam Neger Malang. Pembmbng: Wahyu Henky Irawan, M.Pd Ahmad Barz, M.A Kata kunc: Pelabelan Graceful, Graf Superstar Graf memlk dua unsur pokok yang dsebut ttk dan ss. Hubungan antara keduanya dapat dkatkan dengan suatu kejadan tertentu melalu pendekatan al- Qur an. Salah satu kejadan yang terkat dengan pernyataan datas adalah perstwa hjrah Nab Muhammad Saw. yang tercantum dalam al Qur an surat al- Baqarah ayat 8. Pelabelan graf merupakan salah satu mater graf yang berkembang dan mendapat banyak perhatan saat n. Dengan mengkaj dan menganalsa pelabelan tertentu akan ddapatkan suatu bentuk pola rumusnya. Pelabelan graf ddefnskan sebaga pemberan label blangan bulat tak negatf Z + ) pada ttk atau ss atau keduanya dengan memenuh aturan-aturan tertentu. Pelabelan graceful pada graf G adalah fungs njektf f dar V G) ke 0,,,..., E G sedemkan hngga jka ss xy dlabel f x f y maka haslnya berbeda. Pada peneltan n akan dbahas pelabelan graceful pada graf superstar S 5,n. Pelabelan graceful pada graf Superstar S 5,n ddefnskan sebaga berkut: Untuk ttk 0, maka f 0 ) = 0 selalu 0, karena menjad pusat sampa ttk ke n) Untuk pelabelan ttk pada graf Superstar S 5,n untuk n adalah blangan asl, maka:,3,5,...,5 n dmana n ganjl,3,5,...,5 n dmana n genap, 4,6,..., dmana n ganjl, 4,6,..., dmana n genap Pembahasan mengena pelabelan graceful n mash terbuka bag penelt lan untuk mengadakan peneltan yang sejens dengan jens-jens graf yang berbeda, msalnya graf roda, graf kpas dan sebaganya.

13 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Sebagan dar sejarah lmu pengetahuan alam adalah catatan dar usaha manusa secara kontnue untuk merumuskan konsep-konsep dan unsur-unsur dalam bdang lmu pengetahuan untuk dapat durakan ke dalam duna nyata. Berbcara tentang lmu pengetahuan, Al-Qur an telah memberkan kepada manusa kunc lmu pengetahuan tentang duna dan akhrat serta menyedakan peralatan untuk mencar dan menelt segala sesuatu agar dapat mengungkap dan mengetahu keajaban dar kedua duna tu Rahman, 99:). Tdak dragukan lag bahwa Al-Qur an, dengan anjuran memperhatkan dan berfkr yang dulangnya beberapa kal menjadkan akttas stud dan peneltan dalam berbaga bdang sebaga sebuah keharusan bag umat Islam. Karena tu Islam memerntahkan manusa untuk berbadah dan berfkr Pasya, 004:5) Manusa telah dcptakan dengan kelebhan akal, mempunya peranan sangat pentng untuk dapat menggal dan memanfaatkan segala bentuk cptaannya sebagamana telah djelaskan dalam Al-Qur an. Dengan semua kelebhannya manusa berperan untuk mengembangkan lmu pengetahuan. Selanjutnya melalu akttas stud dan peneltannya manusa dharuskan mampu memaham kebenaran Al-Qur an.

14 Allah berfrman: Dan orang-orang yang telah dber lmu, meyakn bahwasanya Al Qur an tulah yang hak dar Tuhan-mu lalu mereka berman dan tunduk hat mereka kepadanya dan Sesungguhnya Allah adalah pember petunjuk bag orang-orang yang berman kepada jalan yang lurus Qs. Al- Hajj, : 54) Dalam ayat lan juga djelaskan, Dan janganlah kamu mengkut apa yang kamu tdak mempunya pengetahuan tentangnya. Qs. Al- Israa, 7: 36) Ayat pertama d atas menjelaskan bahwa manusa yang telah berlmu lewat akal dan hatnya mampu memaham dan mengungkap segala bentuk cptaannya yang telah dsebutkan dalam Al-Qur an. Islam menghendak akdah yang dlandas oleh dasar pengetahuan yang benar, bukan atas dasar takld maupun perkraan. Sehngga menegaskan suatu sstem yang sempurna bag hat dan akal untuk menyertakan metode-metode lmah dan penalaran dalam menjalankan tugasnya yang telah tersebut d atas. Demkan halnya akttas manusa dalam memaham konsep matematka memerlukan suatu pengetahuan dasar sehngga mampu menangkap ntegras Al-Qur an dan Sans.

15 Abdushshamad 00:7) mengatakan bahwa banyak sekal dtemukan mukjzat lmu pengetahuan dalam Al-Qur an secara gars besar, termasuk matematka. Namun, Al-Qur an tdak mengangkat metode baru atau teknk baru dalam masalah n, melankan telah menunjukkan tentang adanya eksstens dar sesuatu yang ada d balk alam semesta dengan cara yang sama sepert yang a tunjukkan mengena eksstens dar alam semesta tu sendr Rahman, 99:5). Alam semesta memuat bentuk-bentuk dan konsep matematka, meskpun alam semesta tercpta sebelum matematka tu ada. Alam semesta serta segala snya dcptakan Allah dengan ukuran ukuran yang cermat dan telt, dengan perhtungan-perhtungan yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan yang sembang dan rap Abdusysyakr, 007:79). Dalam Al-Qur an surat Al-Qamar ayat 49 dsebutkan Sesungguhnya kam mencptakan segala sesuatu menurut ukuran. Qs.Al- Qamar, 54: 49) Shhab 003:48) menafsrkan bahwa kata qadar pada ayat d atas dperselshkan oleh para ulama. Dar seg bahasa kata tersebut dapat berart kadar tertentu yang tdak bertambah atau berkurang, atau berart kuasa. Tetap karena ayat tersebut berbcara tentang segala sesuatu yang berada dalam kuasa Allah, maka adalah lebh tepat memahamnya dalam art ketentuan dan sstem yang telah dtetapkan terhadap segala sesuatu. Tdak hanya terbatas pada salah satu aspeknya saja. Manusa msalnya, telah ada kadar yang dtetapkan Allah bagnya. Selaku jens makhluk a dapat makan, mnum dan berkembang bak melalu sstem yang dtetapkan-nya. Manusa memlk potens bak dan buruk. Ia dtuntut

16 untuk mempertanggungjawabkan plhannya. Manusa danugerahkan Allah petunjuk dengan kedatangan sekan rasul untuk membmbng mereka. Akalpun danugerahkan-nya kepada mereka, demkan seterusnya yang kesemuanya dan yang selannya termasuk dalam sstem yang sangat tepat, telt dan akurat yang telah dtetapkan Allah Swt. Demkan juga Allah telah menetapkan sstem dan kadar bag ganjaran atau balasan-nya yang akan dberkan kepada setap orang. Dalam ayat lan dsebutkan. dan Da Telah mencptakan segala sesuatu, dan Da menetapkan ukuran ukurannya dengan serap-rapnya. Qs. Al-Furqan, 5: ) Semua yang ada d alam n ada ukurannya, ada htungan-htungannya, ada rumusnya, atau ada persamaannya. Namun rumus-rumus yang ada sekarang bukan dcptakan manusa sendr, tetap sudah dsedakan. Manusa hanya menemukan dan menymbolkan dalam bahasa matematka. Abdusysyakr, 997:80). Matematka sebaga dspln lmu dkenal sebaga Queen of Scence, karena dalam konsep matematka banyak dgunakan smbol yang mengosongkan art yang juga bsa dpaka dan dterapkan d berbaga bdang kelmuan yang lan, sehngga matematka dapat dterapkan kapanpun, dmanapun dan terbukt telah memberkan pengaruh yang cukup besar serta mempunya peranan pentng terhadap kemajuan dspln lmu lannya, d antaranya lmu statstka, perbankan, dan telekomunkas.

17 Dewasa n semakn banyak muncul penggunaan model matematka maupun penalaran matematka sebaga alat bantu dalam menyelesakan permasalahan yang dhadap dalam berbaga dspln lmu. Teor graf merupakan salah satu cabang matematka yang pentng dan banyak manfaatnya karena teor-teornya dapat dterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehdupan sehar-har. Dengan mengkaj dan menganalsa model atau rumusan teor graf dapat dperlhatkan peranan dan kegunaannya dalam memecahkan permasalahan. Terkat dengan pernyataan d atas, pelabelan graf merupakan salah satu mater graf yang berkembang dan mendapat perhatan saat n. Dtnjau dar pengertannya, Galan 007:) menyatakan bahwa pelabelan graf adalah pemberan label blangan bulat tak negatf Z + ) pada ttk atau ss atau keduanya dengan memenuh aturan-aturan tertentu. Wlson 990:8) menyatakan graf adalah suatu dagram yang terdr dar ttk-ttk ponts) yang dsebut ertex node/ttk) yang dhubungkan dengan gars yang dnamakan ss dmana setap ss terhubung dengan tepat ertex. Dengan demkan akan terdapat dua jens pelabelan graf, yatu pelabelan graf pada ttknya dan pelabelan graf pada ssnya. Pelabelan suatu graf yang melbatkan pemberan nla pada ss maupun ttk dsebut dengan pelabelan total total labelng). Pelabelan graceful ddefnskan sebaga pemberan label pada ttk suatu graf G yang memenuh fungs njektf dar hmpunan ttk ke hmpunan blangan bulat tak negatf {0,,, e}sedemkan hngga jka ssnya mendapat label harga mutlak dar selsh pelabelan kedua ttk yang yang terhubung langsung adjacent) maka haslnya berbeda. Sebuah graf dsebut graceful jka dapat dkena pelabelan Graceful. Dengan demkan pelabelan graceful merupakan salah satu bentuk

18 pelabelan pada ttknya saja, sedangkan label ssnya menjad akbat dar adanya label ttk yang berbeda semua. Pelabelan graf, khususnya pelabelan graceful yang akan dbahas pada skrps n mempunya beberapa nla pentng dalam memaham tafsran Al- Qur an. Kadar dan sstem yang telah djelaskan pada ayat d atas, dalam katannya dengan pelabelan graceful kadar dan sstem yang dmaksud menjelaskan tentang pemberaan nla tanda) blangan bulat tak negatf pada ttk-ttk suatu graf dengan aturan yang telah dtentukan sehngga setap ss pada suatu graf tersebut dapat terlabel dengan hasl harga mutlak yang berbeda dar selsh antara dua ttk yang berbeda pula. Begtulah Al Qur an menjelaskan dan menjad sumber dar lmu pengetahuan yang telah banyak dkembangkan dmuka bum n, khususnya perkembangan lmu matematka. Beberapa kajan terdahulu tentang pelabelan graceful untuk jens-jens graf tertentu telah dbahas pada skrps yang lan sepert pada graf lntasan P n, graf hasl kal kartesus dan graf skel C. Penuls tertark untuk melanjutkan menelt pelabelan graceful pada jens graf yang lan, yatu pada graf superstar S 5,n. Selan memlk bentuk yang menark, graf n dentk dengan sebuah bntang yang memlk 5 sudut. Oleh karena tu penuls merumuskan judul pada skrps n Pelabelan Graceful Graceful Labelng) pada Graf Superstar S 5,n.. Rumusan Masalah Berdasarkan judul dan latar belakang d atas untuk memberkan landasan dan memfokuskan peneltan, maka penelt merumuskan masalah pada bagamana menentukan pelabelan graceful pada graf superstar S 5,n.

19 .3 Tujuan Peneltan Adapun tujuan peneltan n adalah menjelaskan cara menentukan pelabelan graceful pada graf superstar S 5,n..4 Manfaat Peneltan Jurusan Matematka Hasl pembahasan n dapat dgunakan sebaga tambahan bahan dalam pengembangan lmu matematka khususnya d kalangan mahasswa jurusan matematka. Penelt Melalu peneltan n dapat menambah penguasaan mater, sebaga pengalaman dalam melakukan peneltan dan menyusun karya lmah dalam bentuk skrps, serta meda untuk mengaplkaskan lmu matematka yang telah dterma dalam bdang kelmuannya. 3 Pengembangan Ilmu Pengetahuan Menambah wawasan dan mempertegas kelmuan matematka dalam peranannya terhadap perkembangan teknolog dan dspln lmu lan..5 Sstematka Penulsan Agar penulsan skrps n lebh terarah, maka penuls menggunakan sstematka penulsan sebaga berkut: BAB I : PENDAHULUAN Pada bab n terdr dar latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan pembahasan, batasan masalah, manfaat peneltan, dan sstematka penulsan.

20 BAB II : KAJIAN PUSTAKA Pada bab n dfokuskan pada mater atau teor yang berkatan dengan skrps n, yatu: defns graf, dasar-dasar graf, jens-jens graf, fungs, barsan artmatka, dan pelabelan graceful. BAB III : PEMBAHASAN Bers pembahasan tentang pelabelan graceful pada graf Superstar S 5,n. BAB IV : PENUTUP Pada bab n terdr dar kesmpulan dan saran.

21 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Defns Graf Wlson 990: 8) menyatakan graf adalah suatu dagram yang terdr dar ttk-ttk ponts) yang dsebut ertex node/ttk) yang dhubungkan dengan gars yang dnamakan ss dmana setap ss terhubung dengan tepat ertex. Secara matemats graf ddefnskan sebaga berkut, Graf G ddefnskan sebaga pasangan hmpunan V,E), yang mana dalam hal n : V = hmpunan tdak kosong dar smpul-smpul ertces atau node) =,,..., n E = hmpunan ss edges) yang menghubungkan sepasang smpul = e, e,..., en atau G = V,E). Hmpunan smpul V) tdak boleh kosong, sedangkan hmpunan ss E) boleh kosong. Jad, sebuah graf dmungknkan tdak mempunya ss satu pun, tetap smpulnya harus ada, mnmal satu. Graf yang mempunya satu smpul tanpa ss dnamakan graf tral Munr, 003:9). Smpul yang dmaksud pada pernyataan d atas adalah ttk pada pernyataan yang lan. Smpul pada graf dapat dlabel dengan huruf, sepert a, b, c,..., z dengan blangan asl,, 3,... atau gabungan keduanya. Sedangkan ss yang menghubungkan smpul dengan j dnyatakan dengan pasangan, j ) atau dengan lambang e, e,..., e n. Dengan kata lan, jka e adalah ss yang menghubungkan smpul dengan smpul j, maka e dapat dtuls sebaga e =, j )

22 Secara geometr graf dapat dgambarkan sebaga sekumpulan noktah smpul) yang dhubungkan dengan sebuah gars ss). 3 e e e 3 e 4 e e e6 e 3 e 4 3 e8 e 5 e 6 e 7 e 5 e Gambar. Graf dengan Hmpunan Ttk V dan Hmpunan Ss E Gambar d atas memperlhatkan tga graf, G, G, G 3. G adalah graf dengan smpul V dan ss E adalah V = {,, 3, 4} E = {,),,3),,3),,4),3,4)} G adalah graf dengan hmpunan smpul V dengan ss E adalah : V = {,, 3, 4} E = {,),,3),,3),,3),,4),3,4),3,4)} = e, e, e3, e4, e5, e6, e7 G 3 adalah graf dengan hmpunan smpul V dan hmpunan ss E : V = {,, 3, 4} a) G a) G a) G E = {,),,3),,3),,3),,4),3,4),3,4),3,3)} = e, e, e3, e4, e5, e6, e7, e8 Munr, 003:9) Banyak konsep-konsep matematka atau berbaga cabangnya, salah satunya teor graf yang tertuang dalam Al- Qur an, dantaranya: Q.S. Al-Nsa, 04: 03;

23 Q.S. Al-Baqarah, 0: 58 dan 8; Q.S. Yasn, 36: 40. Al- Qur an merupakan mukjzat yang bersfat abad dan bersfat lmah yang sebenarnya mengajak kepada setap pembacanya untuk membahas dan menelt ayat-ayat dalam rangka menemukan hakekat kelmahan yang dtetapkan sebaga suatu lmu. Oleh karena tu tdaklah mengherankan apabla Al-Qur an mampu menegaskan kebenaran dan kesesuaannya terhadap apa yang dhaslkan oleh penemuan-penemuan lmu pengetahuan yang bersfat kontemporer setelah ratusan tahun dtemukan oleh para pakar dengan kajan, pembahasan dan penalaran Mulyono dan Abtokh, 006:3). Dar uraan d atas tdak menutup kemungknan banyak konsep matematka khususnya teor graf yang mash belum dkaj dan terungkap melalu pendekatan Al-Qur an. Sepert yang telah durakan sebelumnya, bahwa suatu graf memlk dua unsur pokok yang dsebut ttk dan ss. Ttk-ttk dalam suatu graf akan salng terhubung dengan adanya suatu gars yang dnamakan ss. Sehngga dengan demkan, hal n menunjukkan adanya suatu hubungan atau keterkatan antara ttk yang satu dengan ttk yang lan. Jka dkatkan dengan kehdupan nyata, maka banyaknya ttk yang terhubung dalam suatu graf dapat dasumskan sebaga banyaknya kejadan tertentu, yang mana kejadan-kejadan tersebut memlk keterkatan dengan ttk lannya yang merupakan kejadan sesudahnya. Shalat dapat drepresentaskan dalam suatu graf. Shalat mempunya kedudukan yang amat pentng dalam Islam dan merupakan fondas yang kokoh bag tegaknya agama Islam. Ibadah shalat dalam Islam sangat pentng, sehngga shalat harus dlakukan pada waktunya, dmanapun, dan bagamanapun keadaan seorang muslm yang mukalaf.

24 Shalat wajb dsebut juga shalat maktubah atau shalat mafrudhah, mula dperlakukan pada malam Isra tahun 6 M. Shalat wajb dlaksanakan lma kal sehar semalam, yatu pada waktu: Dzuhur, Ashar, Magrb, Isya, dan Shubuh. Shalat wajb yang mula-mula dlakukan Rasulullah Saw. adalah shalat dzuhur pada esoknya malam sra tersebut Depag RI, 988:833 ). Frman Allah dalam Al-Qur an surat Al- Nsa ayat 03 Sesungguhnya shalat tu adalah fardhu yang dtentukan waktunya Al- Nsa, 4:03). Qs. Al- Qur an tdak menerangkan secara terpernc waktu-waktu pelaksanaan shalat fardhu, akan tetap, ddalam hads Rasulullah Saw waktu-waktu shalat telah dnyatakan secara terpernc, batas awal sampa batas akhr waktu setap shalat. D antara hads yang menerangkan waktu-waktu shalat tersebut adalah hads yang drwayatkan oleh ahmad An nasa y dan At-Turmudz dar Jabr bn Abdullah r.a adalah sebaga berkut: Bahwasanya Jbrl datang kepada Nab Saw, lalu berkata kepadanya: bangun dan bershalatlah maka nabpun shalat dzuhur dketka telah tergelncr matahar. Kemudan Jbrl datang pula kepada nab pada waktu ashar, lalu berkata: bangun dan bershalatlah. Maka nab bershalat ketka bayangan segala sesuatu tu sepanjang drnya. Kemudan Jbrl datang pula kepada nab pada waktu maghrb, lalu berkata: bangun dan bershalatlah maka nab shalat maghrb dwaktu telah terbenam matahar. Kemudan Jbrl datang pada waktu sya, lalu berkata: bangun dan bershalatlah maka nab bershalat sya dwaktu telah hlang mega-mega merah. Kemudan Jbrl datang pula d waktu shubuh, dketka telah cemerlang fajar. Pada keesokan harnya brl datang lag untuk shalat dhuhur. Jbrl berkata: bangun dan bershalatlah, maka nab shalat dzuhur ketka bayangan segala sesuatu telah menjad sepanjang drnya. Kemudan Jbrl datang lagpada waktu ashar, lalu berkata: bangun dean bershalatlah, maka nab bershalat ashar ketka telah terjad bayangan segala sesuatu dua kal bayangan drnya. Kemudan Jbrl datang lag pada waktu maghrb sama sepert waktu

25 belau datang kemaren. kemudan Jbrl datang lag pada waktu sya dketka telah berlalu separoh malam, atau sepertga malam, maka nabpun bershalat sya kemudan jbrl datang lag waktu fajar telah bersnar terang, lalu berkata: bangun dan bershalatlah, maka nab bangun dan bershalat shubuh. Sesudah tu Jbrl berkata: waktu-waktu dantara kedua waktu n, tulah waktu shalat ktab hadst mam Ahmad, hadst ke 089). Berdasarkan hads d atas maka dapat dpernc ketentuan waktu shalat untuk waktu Dzuhur dmula sejak matahar tergelncr yatu sesaat setelah mencapa ttk kulmnas dalam peredaran harannya sampa bayang-bayang sesuatu sama panjangnya atau tba waktu ashar, waktu Ashar dmula saat panjang bayangbayang suatu benda sama dengan bendanya dtambah dengan bayang-bayang saat matahar berkulmnas sampa matahar terbenam, waktu Maghrb dmula sejak matahar terbenam sampa hlang mega merah, waktu shubuh dmula sejak matahar terbenam sampa hlangnya mega merah, waktu Isya dmula sejak hlangnya mega merah sampa separuh malam terbt fajar), dan waktu Shubuh dmula sejak terbt fajar sampa terbt matahar. Saat n penentuan waktu shalat bsa dtentukan dengan penerapan lmu astronom dan falakyah sehngga ketentuan waktu shalat ddapatkan berdasarkan satuan waktu yang ada dengan melhat perbedaan waktu GMT yang telah dsepakat tanpa harus melhat bayangan suatu benda. Waktu sholat dan selsh dengan waktu shalat sebelumnya atau sesudahnya menjadkan shalat-shalat yang dwajbkan tersebut salng berkesnambungan antara satu dan yang lannya. Sehngga dengan dtetapkannya waktu shalat dan selshnya tersebut dapat menjaga kaum muslmn dar kelalaan.

26 7.5 jam Shubuh 04.0 wb) Dzuhur.35 wb) 3.5 jam Ashar 4.50 wb) 9.08 jam 3.04 jam Isya 9.0 wb).06 jam Maghrb 7.54 wb). Dasar-Dasar Graf Gambar. Representas Graf Terhadap Waktu-Waktu Shalat. Terhubung Langsung adjacent) Dua buah smpul pada pada graf tak berarah G dkatakan adjacent bla keduanya terhubung langsung dengan sebuah ss Munr, 003 : 30). Chartrand dan Lesnak 986: 4) menyatakan ss e = u, ) dkatakan menghubungkan ttk u dan. Jka e u, adalah ss d graf G, maka u dan dsebut terhubung langsung adjacent).. Terkat Langsung ncdent) Jka ss e u, akan dtuls e = u, maka u dan e serta dan e dsebut terkat langsung ncdent) Chartrand dan Lesnak, 986: 4). Pada Gambar.3 ttk 3 adjacent dengan ttk dan 4, tetap tdak adjacent dengan ttk. Ss e4 ncdent dengan ttk 4 dan, tetap tdak ncdent dengan ttk

27 3 e e e 4 e 3 4 Gambar.3 Graf untuk Menglustraskan Adjacent dan Incdent 3. Loop dan Ss Ganda Apabla ttk u dan pada graf G dhubungkan oleh lebh dar satu ss maka ss tesebut dnamakan ss ganda. Sebuah ss yang berawal dan berakhr pada satu ttk yang sama dnamakan loop. Suatu graf yang tdak mengandung ss ganda dan loop dsebut graf sederhana Chartrand and Oellerman, 993: ). Untuk selanjutnya graf yang dbahas dalam skrps n adalah graf sederhana. Pada Gambar.4 dberkan contoh graf yang mengandung loop dan ss ganda. 3 Gambar.4 Graf yang Memuat Loop dan Ss Ganda Suatu graf yang memlk ss ganda, artnya dalam graf tersebut terdapat dua ttk yang memlk lebh dar satu ss memlk hubungan dan ntegrtas yang cukup sgnfkan pada sebuah ayat Al- Qur an:

28 Sesungguhnya Shafaa dan Marwa adalah sebahagan dar sy'ar Allah. Maka barangsapa yang berbadah haj ke Batullah atau ber- 'umrah, maka tdak ada dosa bagnya mengerjakan sa' antara keduanya. dan barangsapa yang mengerjakan suatu kebajkan dengan kerelaan hat, maka Sesungguhnya Allah Maha Mensyukur kebakan lag Maha Mengetahu.Qs. Al-Baqarah, 0:58) Sa art harfahnya adalah usaha, sedangkan art syar ahnya pada badah haj dan umroh adalah berbolak balk sebanyak tujuh kal antara bukt shafa dan marwah dem melaksanakan perntah Allah Shhab, 000:345). Sa merupakan salah satu rukun haj dan umroh, waktunya dlaksanakan setelah selesa melakukan thawaf. Dalam suatu hads djelaskan bahwa Rasulullah bersabda: Dwajbkan atas kamu melakukan Sa maka hendaklah kamu lakukan. Rwayat Ahmad) Pelaksaan Sa lebh bersfat sebaga pemantapan kemanan. Dalam hal n Allah seakan-akan mengngatkan kepada seluruh umatnya yang sedang melakukan badah haj, betapa luar basanya kekhlasan Nab Ibrahm dan keluarganya dalam menjalankan perntah Allah. Betapa Nab Ibrahm pernah dperntahkan Allah untuk mennggalkan str dan anak kesayangannya d sebuah padang tandus, sehngga membuat strnya berlaran kesana kemar untuk mencar sumber ar antara bukt shafa dan marwah. Akhrnya memang terbukt, bahwa Allah selalu memberkan jalan keluar yang berada d luar jangkauan pemkran, kepada hamba yang taat dan khlas kepadanya. Sumur Zam-zampun menjad

29 salah satu keajaban duna karena tdak pernah kerng selama rbuan tahun. Momentum tulah yang dabadkan Allah dalam sa. Terkat dengan kejadan d atas, maka kejadan tersebut dapat drepresentaskan pada graf dengan ss ganda sebaga berkut: SA I Shafa Marwah Gambar.5 Graf Representas Ibadah Sa Melakukan Sa hendaklah dmula dar bukt Shafa dengan jumlah tujuh kal bolak-balk dan akan selesa d bukt Marwah, dengan ketentuan dar Shafa ke Marwah dhtung satu kal dan dar Marwah ke Shafa satu kal yang lan. Dalam pelaksanaannya terdapat dua jalan yang menghubungkan dua bukt tersebut. Satu jalan menuju ke bukt shafa dan satu jalan yang lan menuju ke bukt Marwah Depag RI, 988:830). 4. Derajat degree) Derajat ttk pada graf G adalah jumlah ss dar graf G yang ncdent dengan. Derajat ttk pada graf G dnotaskan dengan deg G atau secara sederhana dapat juga dnotaskan dengan deg Chatrand and Lesnak, 986:7). 3 deg G = 3 deg G 4 = deg G = 4 deg G 5 = deg G 3 = deg G 6 = 3 Gambar.6 Graf untuk Menglustraskan Derajat Suatu Ttk

30 5. Jalan walk), Tral, dan Lntasan path) Msal u dan adalah ttk-ttk d graf G. sebuah jalan u- dalam graf G adalah barsan berselang-selng u = u 0, e, u, e,..u n-, e n, u n = antara ttk dan ss yang dmula dengan ttk dan d akhr dengan ttk sedemkan hngga e = u - u untuk =,,...,n. Sebuah jalan u- dkatakan tertutup jka u =, dan dkatakan terbuka jka u. Suatu jalan u- dsebut tral u- jka semua ss pada jalan tu berlanan. Suatu jalan u- yang semua ttknya berbeda dnamakan lntasan path) Chartrand and Lesnak, 986:6). Pada Gambar.7 dberkan contoh sebuah graf G dengan, e,, e, 3, e,, e 5, 5, e 6, 3, e 3, 4 adalah jalan,, e,, e 5, 5, e 7,, e 8, 3, e 3, 4 adalah tral, dan, e 8, 3, e 3, 4, adalah lntasan. e e 4 e 5 4 e 3 e 5 e 7 e 6 e 8 3 Gambar.7 Graf untuk Menglustraskan Jalan, Tral, dan Lntasan Penglustrasan jalan dan lntasan dapat dambl dar sebuah ayat yang menjelaskan tentang hjrah. Frman Allah dalam Al-Qur an:

31 Sesungguhnya orang-orang yang berman, orang-orang yang berhjrah dan berjhad d jalan Allah, mereka tu mengharapkan rahmat Allah, dan Allah Maha Pengampun lag Maha Penyayang Qs. Al- Baqarah, 0:8) Hjrah menurut pengertannya adalah berpndah tempat, hjrah dlakukan d masa nab Muhammad Saw atas perntah Allah Swt. Hal n dsebabkan karena Lahrnya agama slam menmbulkan berbaga macam pertentangan masyarakat mekah. Berbaga penganayaan, penyerangan terhadap kaum muslmn dlakukan masyarakat Mekah guna menyngkrkan agama slam. Ketka penganayaan semakn menjad-jad nab Muhammad berpkr untuk pndah ke suatu tempat d Madnah yang sebelumnya bernama Yasrb. Tempat n danggap sebaga tempat yang lebh mudah dan aman untuk melakukan msnya menyebarluaskan agama Allah. Bersama pengkutnya yang berjumlah ± 70 orang akhrnya nab mennggalkan Mekkah menuju Madnah. Hjrah nab dar mekkah ke madnah dapat menjad suatu gambaran sebuah lntasan atau jalan pada suatu graf. Representas hjrah nab dgambarkan pada lntasan berkut: HIJRAH Mekkah Madnah Gambar.8 Graf Representas Hjrah Nab 6. Terhubung connected) dan Tak terhubung dsconnected) Suatu graf G dsebut terhubung connected) jka untuk setap ttk u dan d G terdapat lntasan yang menghubungkan kedua ttk tersebut. Sedangkan jka terdapat dua ttk pada graf G yang tdak dhubungkan oleh suatu lntasan, maka graf G dsebut graf tak terhubung dsconnected) Chartrand and Oellerman, 993:). Untuk selanjutnya graf yang dbahas dalam skrps n adalah graf terhubung sederhana. Sebaga contoh Gambar.9 a) adalah graf terhubung dan

32 b) adalah graf tak terhubung karena tdak ada lntasan yang menghubungkan antara 4 dan a) b) Gambar.9 a) Graf Terhubung b) Graf Tak Terhubung.3 Jens-Jens Graf Graf dbag menjad beberapa kelas. Pada subbab n dbahas mengena jens-jens graf yang berkatan pada skrps n.. Graf Lntasan Graf lntasan adalah graf yang terdr dar satu lntasan. Graf lntasan dengan n ttk dnotaskan dengan P n Alfah, 005: 5). Graf lntasan P 4 dan P 5 dtunjukkan pada Gambar P P 5 Gambar.0 Graf Lntasan P 4 dan P 5

33 . Graf Superstar Suatu graf G dsebut graf superstar dsebut graf spder dalam beberapa artkel) jka graf tersebut memuat gabungan m graf lntasan P n dengan ttk akhr d setap lntasan P n salng bersekutu pada satu ttk, yang kemudan ttk tersebut dsebut ttk pusat Shu dkk, 998:). Untuk selanjutnya graf superstar dnotaskan dengan S m,n dengan m adalah banyak lntasan sedangkan n adalah banyak ttk d setap lntasan. Pada Gambar. dapat dlhat graf superstar S 5,3. Gambar. Graf Superstar S5,3 Suatu graf Superstar tergambar pada susunan tata surya d ruang angkasa. Para ahl perbntangan telah menjelaskan bahwa matahar dkellng oleh sekumpulan benda angkasa yang terdr dar planet, bulan, dan komet yang selalu mengkut matahar dan tunduk terhadap kekuatan gratas matahar Abdushshamad, 003:9).

34 Gambar. Susunan tata surya Gaya graftas menark dan menghubungkan benda-benda langt tu, sedangkan gaya tolak justru mendorong benda-benda tu jauh ke luar angkasa sesua dengan pengaruh daya pada benda-benda tu. Dengan demkan, bendabenda angkasa tu berjalan pada dmens yang tetap dalam kelompoknya. Artnya, Allah Swt. memang menyetarakan gaya graftas yang menark benda-benda langt untuk salng berdekatan dengan daya geraknya yang dperolehnya dar gaya tolak. Allah mencegah benda-benda langt agar tdak berjatuhan melalu kekuatan atau gaya pengangkat dan menjaganya dar keterceraan melalu kekuatan atau gaya pengkat. Demkanlah seluruh komponen alam raya datur sedemkan rupa oleh sstem yang sangat rap Pasya, 004:54) Dar uraan tersebut maka graf Superstar dapat dasumskan sebaga susunan dar tata surya, dengan ttk pusat dasumskan sebaga matahar dan ttk-ttk lannya dasumskan sebaga benda-benda langt yang mengellng matahar sesua dengan gars edarnya dan berjalan pada dmens yang tetap dalam kelompoknya.

35 Allah berfrman dalam Al-Qur an Tdaklah mungkn bag matahar mendapatkan bulan dan malampun tdak dapat mendahulu sang. dan masng-masng beredar pada gars edarnya.qs.yasn, 36: 40) Ayat datas menunjukkan tentang gerakan kumpulan benda angkasa yang ada d sekellng matahar. Artnya, matahar, bulan, dan bum yang dumpamakan dengan malam dan sang masng-masng mest beredar bersama-sama mengellng matahar. Sehngga dengan pengatan pada graf superstar akan terlustras sepert pada Gambar.3 b b a Gambar.3 Representas Tata Surya pada Graf Superstar S,3 Dengan asums, a adalah matahar dan b adalah benda-benda langt yang mengellng matahar..4 Fungs Albertson dan Hutchnson 988:40) menyatakan bahwa suatu fungs f adalah suatu pemetaan dar hmpunan D kepada hmpunan T dengan sfat bahwa untuk setap elemen d d D, f memetakan d kepada suatu elemen tertentu, dnotaskan fd) dar T. D dsebut doman f, dan T dsebut codoman f, dtuls f: D

36 T. fd) serng dsebut bayangan mage) dar d oleh f, dan semua hmpunan mage dsebut range R dar f. Dnotaskan R = {fd): d D} Suatu pemetaan dkatakan fungs jka tdak ada elemen dar doman yang dpasangkan pada dua atau lebh elemen d range. Pernyataan tersebut dlustraskan pada Gambar.4 a) Fungs b) Fungs c) bukan fungs d) bukan fungs Gambar.4 Ilustras Fungs Menurut Balakrshnan 99:7) fungs dnyatakan sebaga berkut: Msal X dan Y adalah dua hmpunan tak kosong. X dan Y pada pernyataan n dentk dengan hmpunan D dan hmpunan T pada pernyataan sebelumnya. Suatu fungs f dar X ke Y, dnotaskan dengan f: X Y, adalah aturan yang memasangkan setap elemen d X kepada elemen tertentu d Y. Hmpunan X dsebut doman fungs dan hmpunan Y dsebut codoman. Jka y adalah elemen d Y yang dpasangkan oleh fungs f pada elemen x, maka y dsebut bayangan atau peta dar

37 x dan x dsebut prapeta dar y dan dtuls y = fx). Hmpunan fx) dsebut range fungs. Range suatu fungs merupakan subset dar codomannya. Jka f adalah suatu fungs dar X ke Y, maka pernyataan n dkatakan bahwa f memetakan hmpunan X pada Y. sebaga contoh Gambar.5 adalah suatu fungs f: X Y, dmana X = {a, b, c, d} dan Y = {,, 3, 4}. Kemudan aturan f ddefnskan dengan fa) =, fb) =, fc) = 4, dan fd) =. Range dar f adalah {,, 4}, dmana range tersebut adalah proper subset dar codoman Y X Y a b c d 3 4 Gambar.5 Fungs f : X Y Keterangan: f: X Y f: a dtuls sebaga fa) = dsebut bayangan atau peta dar a a dsebut prapeta dar Suatu fungs f dar X ke Y dkatakan fungs satu satu one to one) atau njecte jka tdak ada dua elemen berbeda d X yang dpetakan kepada satu

38 elemen yang sama d Y. Dengan kata lan, jka x, x X, dan x x maka, fx ) fx ) Roman, 989:40) X Y Gambar.6 Fungs Satu-Satu Fungs f dkatakan fungs pada onto) atau surjektf jka f adalah suatu fungs dar X ke Y dan range dar f adalah Y, maka f dkatakan fungs pada onto). Defns fungs pada onto) dapat dnyatakan dengan notas y Y, x X y f x) X Y Gambar.7 Fungs Onto Apabla fungs f memenuh fungs njektf dan surjektf maka f dnamakan fungs bjektf Johnsonbaugh, 989:8). Contoh fungs bjektf dgambarkan pada gambar berkut:

39 X Y Gambar.8 Fungs Bjektf Terkat dengan defns fungs datas Al-Qur an juga menjelaskan bahwa allah mencptakan setap makhluqnya berpasang-pasangan. Sebagamana Allah berfrman: Dan segala sesuatu kam cptakan berpasang-pasangan supaya kamu mengngat kebesaran Allah Qs. adz-dzaryat, 5:49) Dalam ayat lan dsebutkan: Maha Suc Tuhan yang Telah mencptakan pasangan-pasangan semuanya, bak dar apa yang dtumbuhkan oleh bum dan dar dr mereka maupun dar apa yang tdak mereka ketahu QS.Yasn, 36: 36) Dar seg bahasa, kata azwaj adalah bentuk jamak dar kata zauj yakn pasangan. Kata n menurut pakar bahasa Al-Qur an, ar- Raghb al-ashfahan, dgunakan untuk masng-masng dar dua hal yang berdampngan bersamaan), bak jantan maupun betna, bnatang termasuk bnatang berakal yakn manusa) dan juga dgunakan menunjuk kedua. Da juga dgunakan menunjuk hal yang sama bag selan bnatang sepert alas kak Shhab, 00:539)

40 Jka suatu makhluq, dmsalkan pasangan antara lak-lak dan perempuan dbuat suatu bentuk fungs, maka f: X Y, dmana X = {And, Tono, Bud} dan Y = {Ira, Yun, Wat}. Kemudan aturan f ddefnskan dengan fand) = Wat, ftono) = Ira, fbud) = Yun, sehngga X And perkawnan Y Ira Tono Bud Yun Wat Gambar.9 Ilustras pasangan dalam bentuk fungs Dalam Al-Qur an pasangan antara lak-lak dan perempuan adalah merupakan suatu bentuk katan perkawnan. Sehngga fungs yang memasangkan antara yang satu dan lannya tersebut dapat pula menjad bentuk adanya katan pernkahan pada keduanya. Dalam pandangan Islam suam str dbaratkan sebaga pakaan antara satu sama lan, sebagamana yang telah dterangkan dalam Al-Qur an surat Al-Baqarah, 0:87 Mereka adalah Pakaan bagmu, dan kamupun adalah pakaan bag mereka Asy-Syraz 99:506) mengungkapkan bahwa seorang suam dperumpamakan sebaga pakaan bag seorang str dan seorang str merupakan bag suamnya. Itu berart hubungan antara suam dan str tu sangat erat. Pakaan berfungs untuk menjaga badan dar panas dan dngn serta bahaya-bahaya yang

41 lan dan juga pakaan berguna untuk menutup aurat-aurat badan. Selan tu, pakaan juga merupakan hasan bag manusa. Pasangan suam str masngmasng menjaga satu sama lan dar penympangan dan kekurangan-kekurangan. Sedangkan jka dlhat fungs dar sebuah pakaan untuk menutup aurat, maka seorang suam harus bsa menutup ab seorang str, karena ab str merupakan ab a juga, begtu juga sebalknya. Hal nlah yang menunjukkan bahwa fungs juga termuat dalam Al-Qur an..4 Pelabelan Graceful Galan 007:) menyatakan bahwa pelabelan graf adalah pemberan label blangan bulat tak negatf Z + ) pada ttk atau ss atau keduanya dengan memenuh aturan-aturan tertentu. Pelabelan suatu graf yang melbatkan pemberan nla pada ss maupun ttk dsebut dengan pelabelan total total lebelng). Pelabelan graf dperkenalkan pertama kal oleh Rosa pada tahun 967. Rosa mendefnskan pelabelan n sebaga suatu fungs nla pada suatu graf G yang memenuh fungs njektf dar hmpunan ttk d G ke hmpunan 0,,,...,q, sedemkan hngga jka setap ss xy dber label f x) f y) maka setap ss xy akan mendapat label yang berbeda semua. Selanjutnya Golomb menyebut pelabelan n sebaga pelabelan graceful dan dkenal sampa sekarang Gallan, 007:4). Graf yang dapat dkena pelabelan graceful dsebut graf graceful. Beberapa graf graceful dtunjukkan pada Gambar.0

42 Gambar.0 Graf Graceful Jka berbcara tentang pemberan label sesua dengan aturan yang ada, hal n menunjukkan bahwa suatu graf graceful telah memlk ukuran label tertentu sehngga bsa dkatakan graceful. Mengena ukuran, Allah berfrman dalam Al- Qur an Sesungguhnya kam mencptakan segala sesuatu menurut ukuran Qs. al Qamar, 54:49) Berkenaan dengan ayat d atas Abdusysyakr 007:80 ) mengatakan bahwa semua yang ada d alam n ada ukurannya, ada htungan-htungannya, ada rumusnya, atau ada persamaannya. Namun rumus-rumus yang ada sekarang bukan dcptakan manusa sendr, tetap sudah dsedakan. Manusa hanya menemukan dan menymbolkan dalam bahasa matematka. Begtupun dalam hal n, suatu graf bsa terlabel dengan pelabelan graceful karena sudah memlk ukuran yang sempurna dengan cara dan aturan yang dbuat oleh manusa secara sstemats. Dar snlah Al-Qur an telah mengajak kepada setap pembacanya untuk membahas, dan mengkaj suatu lmu untuk memperluas khasanah kelmuannya.

43 BAB III PEMBAHASAN Pada bab n akan d bahas mengena pelabelan graceful pada graf superstar S 5,n, untuk setap n blangan asl. Dmana setap n blangan asl memlk hmpunan ttk yang berndeks ganjl dan ttk berndeks genap. Maka dar tu pembahasan mengena pelabelan pada graf superstar S5,n untuk pelabelan ttk dkasfkaskan menjad dua bagan, yatu:. Pelabelan pada graf superstar S 5,n, dmana n adalah blangan asl dengan ttk berndeks ganjl.. Pelabelan pada graf superstar S 5,n, dmana n adalah blangan asl dengan ttk berndeks genap. Penuls member label dengan pelabelan graceful pada graf superstar S5,n dmula dar n =. Msalkan graf superstar S 5,n mempunya hmpunan ttk dan hmpunan ss: V S,,,,..., 5, n 0 3 E S,,,..., dmana p 5 n, maka graf superstar 5, n p p 5 S 5,n dapat dgambarkan sebaga berkut:

44 n n- 6 n n n- n 4 n n- 9 8 n- n Gambar 3. Graf Superstar S5,n Dengan demkan, graf superstar S5,n memlk ttk sebanyak + dengan satu ttk 0 yang menjad ttk pusat dengan label yang dtetapkan 0 dan berlaku untuk seterusnya. 3. Pelabelan Graceful pada Graf Superstar S 5,n. Graf Superstar S 5,n, dmana n = Dberkan penotasan ttk dar graf superstar S 5, Gambar 3. Penotasan Graf Superstar S 5,

45 Ber label untuk ttk-ttk dar graf superstar S 5, sehngga memenuh fungs satu-satu dar hmpunan ttk ke hmpunan blangan bulat tak negatf 0,,,...,e, sebaga berkut: Gambar 3.3 Pelabelan Graf Superstar S 5, Jka pelabelan tersebut djadkan suatu bentuk fungs, maka dperoleh: Sebaga akbat, maka dperoleh: 0 f ) f 0 ) 5 0 f ) f 0 ) 03 f 3) f 0 ) 4 04 f 4) f 0 ) 05 f 5 ) f 0 ) 3

46 Berdasarkan pelabelan tersebut, jka dlhat dar ndeks ttk, maka dapat dbedakan antara ndeks ttk ganjl dan ndeks ttk genap dengan 0 sebaga ttk pusat. Sehngga yang merupakan pola adalah pada pelabelan untuk: Ttk pusat, maka Ttk dengan ndeks ganjl, maka = 5 = 5 ) 0, maka 3 3 = 4 = 5 ), maka 5 5 = 3 = 5 ) jad dsmpulkan: 5 n) 5 n) 5 n) 3 5 =, 3, 5,..., Ttk dengan ndeks genap, maka = =, maka 4 4 = = 4 jad dsmpulkan: =, 4,...,. Graf Superstar S 5,n, dmana n = Dberkan penotasan ttk dar graf superstar S 5,

47 Gambar 3.4 Penotasan Graf Superstar S5, Ber label untuk ttk-ttk dar graf superstar S 5, sehngga memenuh fungs satu-satu dar hmpunan ttk ke hmpunan blangan bulat tak negatf 0,,,...,e, sebaga berkut: Gambar 3.5 Pelabelan Graf Superstar S5, Jka pelabelan tersebut djadkan suatu bentuk fungs, maka dperoleh: 0 = 0 = 0 = 3 = 9 6

48 4 = 5 = 8 6 = 3 7 = 7 8 = 4 9 = 6 0 = 5 Sebaga akbat, maka dperoleh: = ) f ) = = ) f ) = 0 0 = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) =

49 Berdasarkan pelabelan tersebut, jka dlhat dar ndeks ttk, maka dapat dbedakan antara ndeks ttk ganjl dan ndeks ttk genap dengan 0 merupakan ttk pusat. Sehngga yang merupakan pola adalah pada pelabelan untuk: Ttk pusat, maka 0 0 = 0 Ttk dengan ndeks ganjl, maka =0 = 5 ) 0, maka 3 3 = 9 = 5 ), maka 5 5 = 8 = 5 ), maka 7 7 = 7 = 5 ) 3, maka 9 9 = 6 = 5 ) 4 jad dsmpulkan: =, 3, 5,..., Ttk dengan ndeks genap, maka = =, 4, maka 4 = = 4, maka 6 6 = 3 = 6, maka 8 8 = 4 = 8

50 , 0, maka 0 = 5 = 0 jad dsmpulkan: =, 4,..., 3. Graf superstar S5, n, dmana n = 3 Dberkan penotasan ttk dar graf superstar S5, Gambar 3.6 Penotasan Graf Superstar S5,3 Ber label untuk ttk-ttk dar graf superstar S5,3 sehngga memenuh fungs satu-satu dar hmpunan ttk ke hmpunan blangan tak negatf 0,,,...,e,sebaga berkut: Gambar 3.7 Pelabelan Graf Superstar S5,3

51 Jka pelabelan tersebut djadkan suatu bentuk fungs, maka dperoleh: 0 = 0 = 5 = 3 = 4 4 = 5 = 3 6 = 3 7 = 8 = 4 9 = 0 = 5 = 0 = 6 3 = 9 4 = 7 5 = 8 Sebaga akbat, maka dperoleh: = ) f ) = = ) f ) = 0 0

52 = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = 6 6 = ) f ) = 7 7 = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = Berdasarkan pelabelan tersebut, jka dlhat dar ndeks ttk, maka dapat dbedakan antara ndeks ttk ganjl dan ndeks ttk genap dengan 0 sebaga ttk pusat. Sehngga yang merupakan pola adalah pada pelabelan untuk: Ttk pusat 0, maka 0 = 0 Ttk dengan ndeks ganjl, maka = 5 = 5 3) 0

53 3, maka 3 = 4 = 5 3) 5, maka 5 = 3 = 5 3) 7, maka 7 = = 5 3) 3 9, maka 9 = = 5 3) 4, maka = 0 = 5 3) 5 3, maka 3 = 9 = 5 3) 6 5, maka 5 = 8 = 5 3) 7 jad dsmpulkan: =, 3, 5,..., Ttk dengan ndeks genap, maka = =, maka 4 4 = = 4, maka 6 6 = 3 = 6, maka 8 8 = 4 = 8, maka 0 0 = 5 = 0, maka = 6 =

54 , maka 4 4 = 7 = 4 jad dsmpulkan: =, 4,..., 4. Graf superstar S5, n, dmana n = 4 Dberkan penotasan ttk dar graf superstar S 5, Gambar 3.8 Penotasan Graf Superstar S 5,4 Ber label untuk ttk-ttk dar graf superstar S5,4 sehngga memenuh fungs satu-satu dar hmpunan ttk ke hmpunan blangan tak negatf 0,,,...e, sebaga berkut:

55 Gambar 3.9 Pelabelan Graf Superstar S5,4 Jka pelabelan tersebut djadkan suatu bentuk fungs, maka dperoleh: 0 = 0 = 0 = 3 = 9 4 = 5 = 8 6 = 3 7 = 7 8 = 4 9 = 6 0 = 5

56 = 5 = 6 3 = 4 4 = 7 5 = 3 6 = 8 7 = 8 = 9 9 = 0 = 0 Sebaga akbat, maka dperoleh: = ) f ) =0 0 0 = ) f ) = 0 0 = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) =7 6 6 = ) f ) =6 7 7 = ) f ) = = ) f ) =

57 = ) f ) = = ) f ) = 6 6 = ) f ) = 7 7 = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) =6 7 7 = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = Berdasarkan pelabelan tersebut, jka dlhat dar ndeks ttk, maka dapat dbedakan antara ndeks ttk ganjl dan ndeks ttk genap dengan 0 sebaga ttk pusat. Sehngga yang merupakan pola adalah pada pelabelan untuk: Ttk pusat 0, maka 0 = 0 Ttk dengan ndeks ganjl, maka = 0 = 5 4) 0 3, maka 3 = 9 = 5 4) 5, maka 5 = 8 = 5 4) 3 5

58 7, maka 7 = 7 = 5 4) 3 9, maka 9 = 6 = 5 4) 4, maka = 5 = 5 4) 5 3, maka 3 = 4 = 5 4) 6 5, maka 5 = 3 = 5 4) 7 7, maka 7 = = 5 4) 8 9, maka 9 = = 5 4) 9 jad dsmpulkan: =, 3, 5,..., Ttk dengan ndeks genap, maka = =, maka 4 4 = = 4, maka 6 6 = 3 = 6, maka 8 8 = 4 = 8, maka 0 0 = 5 = 0, maka = 6 =

59 , maka 4 4 = 7 = 4, maka 6 6 = 8 = 6, maka 8 8 = 9 = 8, maka 0 0 = 0 = 0 jad dsmpulkan: =, 4,..., 5. Graf superstar S5, n, dmana n = 5 Berdasarkan uraan d atas tanpa merubah penotasan dan penempatan ttk, maka untuk graf superstar S5,5 dperoleh ttk dan ss sebanyak yatu 55) = 5 dan ttk pusat. Jka pelabelan ttk tersebut djadkan bentuk fungs, maka dperoleh: 0 = 0 = 5 = 3 = 4 4 = 5 = 3 6 = 3 7 =

60 8 = 4 9 = 0 = 5 = 0 = 6 3 = 9 4 = 7 5 = 8 6 = 8 7 = 7 8 = 9 9 = 6 0 = 0 = 5 = 3 =4 4 = 5 = 3 Sebaga akbat, maka dperoleh: = ) f ) = 5 0 0

61 = ) f ) = 0 0 = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = 6 6 = ) f ) = 7 7 = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) =7 6 6 = ) f ) =6 7 7 = ) f ) = = ) f ) = = ) f ) = = 6 f ) f ) = 7 = 7 f ) f ) = 3 8 = 3 8 f ) f ) =0 4 9 = 6 7 f ) f ) = = 5 0 f ) f ) = 8 6 = 6 f ) f ) =7

62 7 = 7 f ) f ) =6 8 3 = 3 8 f ) f ) =5 9 4 = 9 4 f ) f ) = = 5 0 f ) f ) =3 Berdasarkan pelabelan tersebut, jka dlhat dar ndeks ttk, maka dapat dbedakan antara ndeks ttk ganjl dan ndeks ttk genap dengan 0 sebaga ttk pusat. Sehngga yang merupakan pola adalah pada pelabelan untuk: Ttk pusat 0, maka 0 = 0 Ttk dengan ndeks ganjl, maka = 5 = 5 5) 0 3, maka 3 = 4 = 5 5) 5, maka 5 = 3 = 5 5) 7, maka 7 = = 5 5) 3 9, maka 9 = =5 5) 4, maka = 0 = 5 5) 5 3, maka 3 = 9 = 5 5) 6 5, maka 5 = 8 = 5 5)

63 7, maka 7 = 7 = 5 5) 8 9, maka 9 = 6 = 5 5) 9, maka = 5 = 5 5) 0 3, maka 3 = 4 = 5 5) 5, maka 5 = 3 = 5 5) jad dsmpulkan: =, 3, 5,..., Ttk dengan ndeks genap, maka = =, maka 4 4 = = 4, maka 6 6 = 3 = 6, maka 8 8 = 4 = 8, maka 0 0 = 5 = 0, maka = 6 =, maka 4 4 = 7 = 4, maka 6 6 = 8 = 6

64 , maka 8 8 = 9 = 8, maka 0 0 = 0 = 0, maka = =, maka 4 4 = = 4 jad dsmpulkan: =, 4,..., Dar uraan d atas dperoleh: Teorema : Graf superstar S5,n adalah graf graceful untuk setap n blangan asl. Bukt: Defnskan fungs f sebaga fungs njektf dar V S5,n ke {0,,,,e} sebaga berkut: Untuk ttk 0, maka f 0 ) = 0 selalu 0, karena menjad pusat sampa ttk ke n),3,5,...,5 n dmana n ganjl,3,5,...,5 n dmana n genap f, 4,6,..., dmana n ganjl, 4,6,..., dmana n genap

65 Msal: V S,,,,..., 5, n 0 3 E S,,,..., dmana p 5 n 5, n p p 5 Jad banyak ttk d V S5,n adalah +, dan banyak ss d E S 5,n adalah. Akan dtunjukkan bahwa f memetakan V S5,n ke {0,,,,e} a. Untuk 0 berlaku 0 = 0 Jad 0 dpetakan ke {0,,,,e}. b. Untuk ganjl: Akan dtunjukkan bahwa 0,,,..., Dketahu 0 Karena ganjl, maka genap Jad Sehngga, adalah blangan bulat postf dan 0 Jad 0,,,..., Jad f memetakan V S5,n ke {0,,,,e} Selanjutnya, untuk n ganjl akan dtunjukkan 0 f ) Karena maka

66 dan 5 n Sehngga 0 Jad 0 Jad 0, dmana n ganjl. Untuk n genap akan dtunjukkan 0 f ) Karena maka dan 5 n Sehngga 0 Jad 0 Jad 0, dmana n genap c. Untuk genap Akan dtunjukkan bahwa 0,,,..., Dketahu Karena genap maka adalah blangan bulat postf dan 0 Selanjutnya, untuk n ganjl akan dtunjukkan f ) Karena

67 maka Jad 0 Jad 0, dmana n ganjl. Untuk n genap akan dtunjukkan f ) Karena Maka Sehngga 0 Jad 0, dmana n genap. Jad f memetakan V S5, n) ke 0,,,...,. Selanjutnya, akan dtunjukkan bahwa f adalah fungs njektf dar hmpunan ttk ke {0,,,..., e}. Untuk ganjl: Ambl j = j j j Jad, j j

68 Untuk genap: Ambl j = j = j Jad, = j Jad, f adalah fungs njektf dar hmpunan ttk ke {0,,,..., e} untuk setap ganjl dan genap. Selanjutnya akan dtunjukkan bahwa f ) f ) adalah berbeda,, ) j j d G. Untuk 0 Dketahu 0 0 dmana ganjl dmana genap Maka, f 0 ) f ) = = dmana ganjl = dmana genap Untuk, 5 Jka ganjl: dketahu, maka:

69 , 5 = 5 ) ) = ) 5) = Jka genap: dketahu, maka:, 5 = 5 ) ) = 5) = = Dar uraan d atas f ) f ) akan berbeda sesua nla Jad, f ) f ) adalah berbeda,, ) d G. j j Dengan demkan, terbukt bahwa graf superstar S5,n adalah graf graceful untuk setap n blangan asl. j

70 BAB IV PENUTUP 4. Kesmpulan Berdasarkan pembahasan, maka dapat dsmpulkan bahwa graf Superstar S 5,n adalah graf graceful untuk setap n blangan asl. Pelabelan graceful pada graf Superstar S 5,n, untuk n blangan asl ddefnskan sebaga berkut: Untuk ttk 0, maka f 0 ) = 0 selalu 0, karena menjad ttk pusat sampa ttk ke n) Untuk pelabelan ttk pada graf Superstar S 5,n dmana n blangan asl, maka:,3,5,..., untuk n ganjl,3,5,...,5 n untuk n genap, 4,6,..., untuk n ganjl, 4,6,..., untuk n genap 4. Saran Pembahasan mengena pelabelan graceful n mash terbuka bag penelt lan untuk melanjutkan peneltan n pada aplkasnya dan bsa juga mengadakan peneltan yang sejens dengan jens-jens graph yang berbeda, msalnya graf roda, graf kpas dan sebaganya.

71 DAFTAR PUSTAKA Abdusysyakr Ketka Ka Mengajar Matematka. Malang: UIN Malang Press Albertson, Mchaelo and Hutchnson Dscrete Mathematc wth Algorthms. Newyork: Jonhwley & Sons; nc. Alfah Pelabelan Edge Graceful pada Graf Lntasan, Graf Skel, Graf Bntang, dan Graf Superstar. Skrps tdak dterbtkan. Jember: Jurusan Matematka Fakultas MIPA. Unerstas Jember. Balakrshnan, V. K. 99. Introdustory Dscrete Mathematcs. New Jersey: Prentce- Hall Internatonal. Chartrand, Gery and Lesnak, Lnda Graphs and Dgraphs Second Edton. Calforna: a dson of wadsworth, nc. Chartrand, Gery and Oellermann, Ortrud R Appled and Algorthmc Graph Theory. Newyork: Megraw- Hll, nc. Departemen Agama RI Ensklopeda Islam d Indonesa. Jakarta: Drektorat Jendral Pembnaan Kelembagaan Agama Islam. Departemen Agama RI Al-Qur an dan Terjemahnya. Surabaya: CV Jaya Sakt. Fuad Pasya, Ahmad Dmens Sans Al-Qur an Menggal Ilmu Pengetahuan Dar Al-Qur an. Solo: Tga Serangka. Gallan, Joseph A A Dynamc Surey Of Graph Labelng. Onlne): www. Combnatorcs. Com. Dakses tanggal Agustus 007) Jonhsonbaugh, Rchard Dscrete Mathematc Resed Edton. Newyork: Macmllan Publsng Company. Kaml Abdhushshamad, Muhammad Mukjzat Ilmah dalam Al Qur an. Jakarta: Akbar meda eka sarana. Munr, Rnald Matematka Dskrt. Bandung: Informatka Bandung. Mulyono, Agus dan Abtokh, Ahmad Fska dan Al-Qur an. Malang: UIN Press Qurash Shhab, M Tafsr Al-Msbah Pesan, Kesan & Keserasan Al Qur an ol.. Cputat: Lentera Hat.

72 Qurash Shhab, M Tafsr Al-Msbah Pesan, Kesan & Keserasan Al Qur an ol.. Cputat: Lentera Hat. Qurash Shhab, M Tafsr Al-Msbah Pesan, Kesan & Keserasan Al Qur an ol. 3. Cputat: Lentera Hat. Roman, Steen An Introducton to Dscrete Mathematcs Second Edton. Sandego: Academc Press. Rahman, Afzalur. 99. Al Qur an Sumber Ilmu Pengetahuan. Jakarta: Rneka Cpta. Shu, W. C dkk Some k-fold Edge Graceful Labelngs of p, p-)-graphs. Onlne): www. Combnatorcs. Com. Dakses tanggal 5 Aprl 008) Wlson, Robn J dan Walkns, John J Graphs An Introductory Approach: A frst Course n Dscrete Mathematcs. New York: John Wley & Sons, Inc

73 DEPARTEMEN AGAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI UIN) MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jalan gajayana 50 Malang 6544 Telepon/faksmle 034) BUKTI KONSULTASI Nama : Zanatul Muarrfah NIM : Fakultas/Jurusan : Santek/Matematka Judul Skrps : Pelabelan Graceful Graceful labelng) pada Graf Superstar S 5, n Pembmbng I : Wahyu Henky Irawan, M. Pd Pembmbng II : Achmad Barz, M. A No. Tanggal Mater. Agustus 007 Pengajuan Proposal. 4 September 007 Bab I, Bab II 3. Oktober 007 Res Bab I, Bab II 4. 3 Noember 007 Penetapan ayat Al Qur an 5. 0 Desember 007 Keagamaan 6. 5 Januar 008 Bab III 7. Februar 008 Bab IV & Abstrak 8. 3 Februar 008 Res Abstrak 9. 6 Februar 008 Res Keagamaan 0. 6 Februar 008 ACC Keseluruhan Tanda Tangan I II Mengetahu, Ketua Jurusan Sr Harn,M.S NIP